Este manual presenta una introducción a la geometría y su historia. Explica que la geometría estudia las propiedades del espacio y se divide en euclidiana y no euclidiana. Dentro de la geometría euclidiana se incluyen ramas como la geometría plana, sólida, trigonometría, proyectiva, analítica y diferencial. También presenta breves antecedentes sobre figuras importantes en el desarrollo de estas ramas como Euclides, Arquímedes y Descartes.

1.
Manual
de
Geometría
y
Trigonometría
para
alumnos
del
CETis
63
Ameca
Manual
de
Geometria
I n g .
G e r a r d o
S a r m i e n t o
D í a z
d e
L e ó n

2. Antecedentes
Históricos
Geometría
La
geometría
(del
griego
geo,
tierra
y
metrein,
medir),
es
la
rama
de
las
matemáticas
que
se
ocupa
de
las
propiedades
del
espacio.
El
origen
del
término
geometría
es
una
descripción
precisa
del
trabajo
de
los
primeros
geómetras,
que
se
interesaban
por
problemas
como
la
medida
del
tamaño
de
las
tierras
o
del
trazado
de
edificaciones.
Para
llegar
a
la
geometría
fractal
hay
que
hacer
un
recorrido
de
miles
de
años
pasando
por
el
Antiguo
Egipto,
Sumeria
y
Babilonia,
Grecia,
Europa
y
los
Estados
Unidos
de
Norteamérica.
Para
comenzar,
podríamos
establecer
una
primera
clasificación
determinando
dos
tipos
principales
de
geometría:
euclidiana
y
no-­‐euclidiana.
En
el
primer
grupo
se
encuentran
la
geometría
plana,
la
geometría
sólida,
la
trigonometría,
la
geometría
descriptiva,
la
geometría
de
proyección,
la
geometría
analítica
y
la
geometría
diferencial;
en
el
segundo,
la
geometría
hiperbólica,
la
geometría
elíptica
y
la
geometría
fractal.
Planos
diédricos
de
proyección
y
esfera
cuyo
eje
es
la
línea
de
tierra.
Psudoesfera.
La
geometría
euclidiana
se
basa
en
las
definiciones
y
axiomas
descritos
por
Euclides
(c.325
-­‐
c.265
a.C.)
en
su
tratado
Elementos,
que
es
un
compendio
de
todo
el
conocimiento
sobre
geometría
de
su
tiempo.
Principalmente
comprende
puntos,
líneas,
círculos,
polígonos,
poliedros
y
secciones
cónicas,
que
en
secundaria
se
estudian
en
Matemáticas
y
en
Educación
Plástica
y
Visual.
Inspirados
por
la
armonía
de
la
presentación
de
Euclides,
en
el
siglo
II
se
formuló
la
teoría
ptolemaica
del
universo.
Dentro
de
las
geometrías
euclidianas
se
encuadran:
◊ La
geometría
sólida
que
fue
desarrollada
por
Arquímedes
(287
-­‐
212
a.C.)
y
que
comprende,
principalmente,
esferas,
cilindros
y
conos.
Las
secciones
cónicas
fueron
el
tema
de
los
estudios
de
Apolonio
en
la
misma
época
(c.260
-­‐
200
a.C.).
viñeta
◊ La
trigonometría
que
es
la
geometría
de
los
triángulos.
Fue
desarrollada
por
Hiparco
de
Nicea
(c.
190
-­‐
120
a.C.).
Puede
dividirse
en
trigonometría
plana,
para
triángulos
en
un
plano,
y
trigonometría
esférica,
para
triángulos
en
la
superficie
una
esfera.
◊ La
geometría
proyectiva
que
tiene
su
origen
en
los
pintores
del
Renacimiento,
aunque
la
base
matemática
inicial
la
elaboro
el
arquitecto
Filippo
Brunelleschi
(1377–1446).
Piero
della
Francesca,
Leone
Battista
Alberti
y
Alberto
Durero
reflexionaron
sobre
las
nociones
de
proyección
y
sección
en
su
afán
de
entender
el
problema
de
la
representación
plana
de
un
objeto
real
tridimensional,
pero
fue
el
arquitecto
e
ingeniero
militar
Gérard
Desargues
(1591–1661),
el
primer
matemático
que
expuso
estas
ideas
al
publicar
en
Paris
en
el
año
1639
Paris
el
libro:
“Brouillon
project
d’une
atteinte
aux
ëvénements
des
rencontres
d’un
cone
avec
un
plan”
(“Primer
borrador
sobre
los
resultados
de
intersecar
un
cono
con
un
plano”).
Los
métodos
proyectivos
permiten
a
Desargues
un
tratamiento
general
y
unificado
de
las
cónicas,
en
contraposición
con
los
métodos
clásicos
de
Apolonio.
viñeta
◊ La
geometría
analítica
que
fue
inventada
por
René
Descartes
(1596
-­‐
1650),
trabaja
problemas
geométricos
a
base
de
un
sistema
de
coordenadas
y
su
transformación
a
problemas
algebraicos.
Se
subdivide
en
geometría
analítica
plana,
para
ecuaciones
con
dos
variables,
y
geometría
analítica
sólida,
para
ecuaciones
con
tres
variables.
viñeta
◊ La
geometría
diferencial
que
tiene
su
origen
siglo
XVIII,
cuando
los
matemáticos
siguiendo
los
descubrimientos
de
Descartes,
añadieron
cálculo
diferencial
e
integral
a
curvas,
superficies
y
otras
entidades
geométricas.
viñeta
El
análisis
vectorial
que
estudia
las
cantidades
que
poseen
magnitud
y
dirección.
Conocida
desde
los
tiempos
de
Aristóteles,
y
más
aún
por
Simon
Stevin
en
las
últimas
décadas
del
siglo
XVI,
la
teoría
moderna
data
de
principios
del
siglo
XIX.
Las
geometrías
no
euclidianas
dentro
de
las
que
se
encuadra
la
geometría
fractal
surgen
en
el
siglo
XIX,
cuando
algunos
matemáticos
comenzaron
a
desarrollar
otros
tipos
de
geometría,
para
los
cuales,
al
menos
uno
de
los
axiomas
de
Euclides
no
se
sostiene.
Sin
embargo
el
origen
de
la
geometría
fractal
y
de
los
fractales,
habría
que
establecerlo
hacia
1875–1925,
cuando
se
produce
una
crisis
en
la
definición
de
dimensión.
Algunos
de
los
“hitos”
en
la

3. historia
de
las
matemáticas
no
lineales
y
de
la
geometría
fractal
se
presentan
en
este
cuadro
resumen.
Punto,
Línea,
Plano
El
punto
sólo
tiene
posición.
No
posee
ni
longitud,
ni
anchura
ni
espesor.
No
obstante,
es
necesario
tener
presente
que
el
punto
gráfico
representa
el
punto
geométrico
pero
no
es
el
punto
geométrico,
en
la
misma
forma
que
en
un
mapa
un
.
puede
representar
una
localidad
sin
ser
la
localidad
misma.
A
diferencia
del
punto
geométrico,
el
punto
gráfico
tiene
tamaño.
La
línea
posee
longitud,
pero
carece
de
anchura
y
de
espesor.
Se
puede
representar
por
medio
del
trazo
que
deja
la
tiza
en
el
tablero
o
mediante
una
cinta
de
caucho
estirada.
Un
plano
es
una
superficie
tal
que
si
una
recta
tiene
común
con
ella
dos
de
sus
puntos,
los
tiene
comunes
todos,
es
decir,
la
recta
descansará
completamente
sobre
el
plano.
Un
plano
se
puede
representar
por
medio
de
la
superficie
de
un
espejo
llano
o
una
pared
lisa,
o
por
la
tapa
de
un
pupitre.
Proposiciones
verdaderas
Proposición
Es
un
enunciado
o
juicio
el
cual
solo
puede
originar
uno
y
solo
uno
de
los
términos
verdadero
o
falso.
Las
proposiciones
más
comunes
que
se
utilizan
son:
axiomas,
postulados,
teoremas
y
corolarios.
Axiomas
Es
una
verdad
que
no
requiere
demostración
y
se
la
cumple
en
todas
las
ciencias
del
conocimiento.
Postulados
Es
una
proposición
aceptada
como
verdadera.
A
diferencia
de
los
axiomas,
estos
se
los
emplea
generalmente
en
geometría,
los
mismos
que
no
se
han
constituido
al
azar,
sino
que
han
sido
escogidos
cuidadosamente
para
desarrollar
la
geometría
Teorema
Es
la
proposición
cuya
verdad
necesita
ser
demostrada:
una
vez
que
el
teorema
se
ha
probado
se
lo
puede
utilizar
para
la
demostración
de
otros
teoremas,
junto
con
axiomas
y
postulados.
Un
teorema
consta
de:
hipótesis
y
tesis:
Hipótesis:
son
las
condiciones
o
datos
del
problema
Tesis:
es
la
propiedad
a
demostrarse.
Corolario
Es
la
consecuencia
de
un
teorema
demostrado.
Razonamiento
Lógico
Cuando
una
persona
se
empeña
en
una
"reflexión
clara"
o
en
una
reflexión
rigurosa,
está
empleando
la
disciplina
del
razonamiento
lógico.
Demostraciones
Es
un
conjunto
de
razonamientos
que
demuestra
la
verdad
de
la
proposición
junto
con
axiomas
y
postulados.
Una
demostración
bien
elaborada
solo
puede
basarse
en
proposiciones
antes
demostradas,
la
demostración
también
es
necesaria
para
fundamentar
la
generalidad
de
la
proposición
que
se
demuestra.
Por
medio
de
las
proposiciones,
las
verdades
geométricas
se
reducen
a
un
sistema
armonioso
de
conocimientos
científicos.
Nomenclatura
y
Notación
de
la
Recta
Recta
Desde
un
punto
de
vista
geométrico,
el
concepto
de
recta
es
sumamente
difícil
de
construir.
Puede
decirse
que
una
recta
es
el
elemento
geométrico
unidimensional
(su
única
dimensión
es
la
longitud),
el
cual
esta
formado
por
varios
segmentos.
Un
segmento
de
recta
es
la
línea
más
corta
que
une
dos
puntos
y
el
lugar
geométrico
de
los
puntos
del
plano
(o
el
espacio)
en
una
misma
dirección.
Es
uno
de
los
entes
geométricos
fundamentales,
junto
al
punto
y
el
plano.
Son
considerados
conceptos
primitivos
ya
que
no
es
posible
su
definición
a
partir
de
otros
elementos
conocidos.
Sin
embargo,
es
posible
elaborar
definiciones
basándose
en
los
Postulados
característicos
que
determinan
relaciones
entre
los
entes
fundamentales.
Algunas
de
las
definiciones
de
la
recta
son
las
siguientes:
La
recta
es
la
línea
más
corta
entre
dos
puntos.
La
recta
es
un
conjunto
de
puntos
en
el
cual
un
punto
que
se
encuentra
entre
otros
dos
tiene
la
mínima
distancia
a
estos;
se
prolonga
al
infinito
en
ambas
direcciones,
en
contraposición
con
el
segmento
y
la
semirrecta.
La
recta
es
el
lugar
geométrico
de
un
punto
que
se
mueve
de
tal
manera
que
tomados
dos
puntos
cualquiera
de
ella,
la
pendiente
m
calculada
mediante
la
fórmula
,
resulta
siempre
constante.
La
recta
es
un
conjunto
de
puntos
situados
a
lo
largo
de
la
intersección
de
dos
planos.

4. Unidades
de
Medida
MEDIDAS
de
VOLUMEN
El
volumen
de
un
cuerpo
es
el
espacio
que
éste
ocupa.
Para
medirlo,
se
debe
ver
cuantas
veces
entra
en
él
una
unidad
de
volumen
utilizada
como
unidad
de
medida.
Esta
unidad
se
llama
metro
cúbico,
y
corresponde
a
un
cubo
de
un
metro
de
lado.
MEDIDAS
de
SUPERFICIE
Para
medir
una
superficie,
lo
que
hacemos
es
ver
cuantas
veces
entra
en
ella
una
unidad
de
medida.
La
unidad
principal
de
superficie
se
llama
metro
cuadrado,
y
corresponde
a
un
cuadrado
de
un
metro
de
lado.
MEDIDAS
de
LONGITUD
Cuando
medimos
la
longitud
de
un
objeto,
estamos
viendo
cuantas
veces
entra
una
unidad
de
medida
en
el
largo
del
objeto.
Para
que
todos
obtengamos
el
mismo
resultado
debemos
usar
la
misma
unidad
de
medida.
Para
ello
se
creó
una
unidad
principal
de
longitud
llamada
metro
que
es
fija,
universal
el
sistema
de
unidades
de
medida
que
incluye
al
metro
junto
a
sus
múltiplos
y
submúltiplos
se
llama
Sistema
Métrico
Decimal.
Divisiones
de
la
línea
recta
(semirrecta,
segmento)
Semirecta
Un
punto
sobre
una
línea
recta,
la
separa
en
dos
líneas
continuas
llamadas
semirrectas,
el
punto
es
el
extremo
de
ambas
semirrectas
y
no
pertenece
a
ninguna.
Si
B
está
en
una
de
las
semirrectas
entonces,
ésta
se
denota
por
Segmento
de
recta
a
la
porción
de
una
recta
que
está
limitada
por
dos
puntos.
A
estos
puntos
se
le
llama
extremos.
Posiciones
de
dos
rectas
en
el
plano.
Llamaremos
plano
al
espacio
geométrico
que
queda
delimitado
por
tres
puntos
no
alineados.
Posee
dos
dimensiones
y
contiene
infinitos
puntos
y
rectas.
Lo
representamos
como
un
paralelogramo
o
con
una
figura
de
bordes
irregulares.
Una
recta
y
un
punto
no
perteneciente
a
ella
también
determinan
un
plano.
Debemos
destacar
que:
• un
punto
no
tiene
dimensión.
• una
recta
tiene
una
sola
dimensión.
• un
plano
tiene
dos
dimensiones.
1.9.
Posiciones
de
la
recta
en
el
plano.
1.10.
Definición,
notación
y
clasificación
de
ángulos
1.11.
Unidades
de
medidas
de
ángulos
1.12.
Conversiones
1.13.
Medición
de
ángulos
1.14.
Teoremas
Puntos,
rectas
y
axiomas
de
la
geometría
euclidiana
Los
puntos
contenidos
en
un
mismo
plano
se
llaman
coplanares
y
los
que
se
encuentran
sobre
una
misma
línea
recta,
colineales
Punto
Colineales

5.
Puntos
Coplanares
AXIOMA
2.
Por
cada
punto
de
un
plano
pasa
una
infinidad
de
rectas
contenidas
en
ese
plano.
Si
al
punto A
le
corresponden
varias
rectas,
decimos
que
estas
rectas se cortan
(se
intersecan
o
concurren)
en
el
punto A,
o bien
que las rectas
tienen
el
punto común A
AXIOMA 3.
Dos
puntos
distintos A/B
determinan
una
y
sólo
una
recta
que
pasa
por
ellos.
Otra
forma
equivalente
de
expresar
el
Axioma 3
es
la
siguiente:
Por
dos
puntos
distintos AjB
pasa
una
y
sólo
una
recta.
La
recta
que
pasa
por
los
puntos AyB (véase
la
figura
1.14)
se
llama
"recta AB"
y
su
notación
es AB, o
sea,
señalamos
los
dos
puntos
que
la
determinan
y
colocamos
el
símbolo
<—>
sobre
las
literales
que
indican
los
dos
puntos.
Es
importante
entender
que
una
línea
recta
no
termina
donde
su
figura
lo
hace,
sino
que
se
extiende
indefinidamente
en
ambas
direcciones.
De
la
misma
manera,
un
plano
se
extiende
indefinidamente
en
todas
las
direcciones.
En
consecuencia,
una
hoja
de
papel
no
es
un
plano,
forma
parte
de
un
plano,
y
una
parte
muy
pequeña
de
él.
Analiza
cada
cuestión
e
ilústrela
con
un
dibujo
adecuado.
Argumenta
tu
respuesta,
es
decir,
cita
el
axioma
correspondiente
o
la
definición
según
sea
el
caso.
a) Cuantos
puntos
como
mínimo
son
necesarios
para
especificar
la
posición
de
una
recta
en
un
plano.
b) Cuantas
rectas
determinan
3
puntos
a)
colineales,
b)
no
colineales
c) Los
puntos
M,
N
y
P
son
diferentes
y
colineales,
señala
todas
las
posibles
maneras
de
simbolizar
la
recta
que
pasa
por
los
puntos
M,
N,
y
P
utilizando
dos
de
tres
puntos
M,
N,
y
P
d) Que
figuras
forman
todas
las
rectas
que
pasan
por
un
plano
Concepto
de
semirecta
Como
ya
dijimos,
una
línea
recta
contiene
una
infinidad
de
puntos.
Para
interpretar
la
disposición
de
los
puntos
en
una
línea
recta
hay
dos
posibles
órdenes,
siendo
uno
opuesto
al
otro.
Al
escoger
uno
de
estos
órdenes,
decimos
que
asignamos
un
sobre
la
recta.
El
siguiente
axioma
especifica
la
interpretación
de
la
disposición
de
los
puntos
en
una
línea
recta
Axioma
4
(de
Orden)
de
tres
puntos
cualesquiera
de
una
recta,
uno
de
ellos
se
encuentra
entre
los
dos.
A
A
B
M
N
p
A
B
O

6. Considera
los
tres
puntos
colineales A, O
y B
de
la
figura.
Uno
de
estos
puntos
entre
los
otros
dos.
Si
el
punto 0 está
entre
los
puntos AyB,
decimos
que A precede a O y B sigue
a
0,
en
el
sentido
de A
hacia B.
De
igual
manera,
decimos
que
B
precede
a O y A
sigue
a
0
en
el
sentido
de B
al
punto A.
En
otras
palabras,
el
pun
to
O
divide
a
todos
los
puntos
de
esta
recta
en
puntos
que
lo
preceden
y
en
puntos
que
lo
siguen.
Lo
expuesto
en
el
axioma
sobre
el
orden
de
los
puntos
en
una
línea
recta
nos
permite
definir
el
concepto
de
semirrecta
que
necesitaremos
para
el
establecimiento
de
los
demás
hechos
geométricos.
Resulta
que
cada
punto
0
de
una
recta
divide
a
todos
los
demás
puntos
de
ésta
en
dos
partes
que
llamamos
semirrectas
o
rayos
con
punto
inicial
0,
cuya
definición
formal
es
la
siguiente.
D
E
F
I
N
I
C
I
Ó
N
1
.
6
.
Semirrecta
o
rayo
es
cada
una
de
las
partes
en
las
cuales
queda
divida
una
recta
por
cualquiera
de
sus
puntos.
Para
indicar
una
de
las
semirrectas
en
que
un
punto
0
divide
a
una
recta,
en
la
parte
de
la
recta
de
nuestro
interés
señalamos
un
punto
cualquiera
A
y
simbolizamos
la
semirrecta
por
OA
(véase
la
figura
1.20a).
De
igual
manera,
el
símbolo
OB
denota
la
parte
de
la
recta
formada
por
el
punto
O
y
todos
los
puntos
que
siguen
a
0
en
el
sentido
de
0
a
B
(véase
la
figura
1.20b).
Concepto
de
segmento
y
su
medida
Si
sobre
una
recta
consideramos
dos
puntos
distintos
AyB,
éstos
junto
con
todos
los
puntos
de
la
recta
que
se
encuentran
entre
ellos
forman
el
segmento
AB.
Dicho
segmento
lo
representamos
con
el
símbolo
AB
o
BA.
Los
puntos
A
y
B
son
los
extremos
del
segmento.
D
E
F
I
N
I
C
I
Ó
N
1.7.
Un
segmento
es
la
porción
de
recta
comprendida
entre
dos
puntos,
incluyendo
estos
puntos.
En
las
figuras
1.22a
y
1.22b
puedes
identificar
varios
segmentos.
¿Cuántos
segmentos
hay
en
total?
¿Cuáles
son?
•
En
la
figura
1.22a
(izquierda)
hay
tres
segmentos:
KL,
LM
y
KM.
•
En
la
figura
1.22b
(derecha)
hay
diez
segmentos:
AB,
BC,
CD,
AD,
AC,
BD,
AJE,
EC,MyED.
En
la
figura
1.23
se
ilustra
un
procedimiento
para
comparar
los
segmentos
CD,
EF
y
GH
con
el
segmento
AB.
La
abertura
del
compás
es
la
misma
en
todos
los
casos.
Es
de
especial
interés,
en
el
estudio
de
la
geometría,
el
caso
en
que
los
segmentos
son
iguales.
Cuando
comparamos
figuras
geométricas,
en
lugar
de
decir
"es
igual"
acostumbramos
decir
"es
congruente"
y
lo
anotamos
con
el
símbolo
=.
De
esta
manera,
decimos
que
el
segmento
AB
es
congruente
con
el
segmento
EF
y
escribimos
AB-­‐EF.
La
relación
de
congruencia
de
segmentos
tiene
tres
propiedades
básicas
que
están
descritas
en
el
siguiente
axioma
de
congruencia.
A
X
I
O
M
A
5
(D
E
C
O
N
G
R
U
E
N
C
I
A)
.
Dados
tres
segmentos
A
B,
C
D
y
E
F
cualesquiera,
la
relación
de
congruencia
entre
ellos
posee
las
siguientes
propiedades:
A
O
B
O

7.
Propiedad
reflexiva:
AB
~
BA.
Propiedad
simétrica:
Si
AB
=
CD
entonces
CD
=
AB.
Propiedad
transitiva:
S¿AB
=
CDjCD
=
EF
entonces
AB
=
EF.
La
propiedad
reflexiva
establece
que
todo
segmento
es
congruente
consigo
mismo
y
el
orden
en
la
anotación
de
los
extremos
no
tiene
importancia:
AB
también
lo
representamos
como
BA
y
se
trata
del
mismo
segmento.
C
O
N
S
T
R
U
C
C
I
Ó
N
1.1.
Constrúyase
un
segmento
C
D
congruente
con
un
segmento
dado
AB.
Paso
1
Trazamos
con
la
regla
una
recta
€
cualquiera
y
marcamos
un
punto
C
de
ella
(véase
la
figura
1.28).
Paso
2
Con
la
punta
de
un
compás
en
C
y
su
abertura
igual
a
la
longitud
del
segmento
AB,
trazamos
un
arco
que
corte
a
la
recta
en
D.
a) Traza
un
segmento
AB.
Sobre
éste
coloca
dos
puntos
distintos
CyD.
Señala
todos
los
segmentos
posibles.
¿Cuántos
son?
b) Traza
una
recta
y
sobre
ella
señala
un
punto
K.
Localiza
y
señala
sobre
la
misma
recta
los
puntos
situados
a
3.7
cm
de
distancia
del
punto
K.
¿Cuántos
c) son?
d) Determina
la
longitud
de
tu
paso
medio.
Para
esto,
mide
con
una
cinta
métrica
una
distancia
de
20
m
en
un
terreno
plano.
Recorre
esta
distancia
en
línea
recta
andando
normalmente
y
cuenta
el
número
de
pasos
e) que
das.
Dividiendo
la
longitud
total,
20
m,
entre
el
numero
de
pasos
obtienes
la
longitud
media
de
un
paso
tuyo.
Memonza
esta
longitud
para
que,
en
caso
necesario,
puedas
emplearla
en
las
mediciones.
f) Mide
los
elementos
de
tu
propia
mano
y
memoriza
los
resultados
de
estas
mediciones.
Utilizando
estas
medidas
podrás
medir
aproximadamente
objetos
de
magnitudes
medianas
en
caso
de
que
no
tengas
disponible
una
cinta
métrica.
Observa
la
siguiente
figura.
Por
cada
dos
de
los
puntos
marcados
traza
una
recta.
¿Cuántas
rectas
en
total
puedes
trazar?
1. El
segmento
PQ
mide
2m
y
PR,
54
cm.
¿Cuántos
centímetros
mide
el
segmento
QR
si
los
puntos
P,
Q
y
R
son
colineales
y
el
punto
P
está
entre
Q
y
R?
Elabora
un
esquema
de
lo
descrito.
2. Sobre
una
recta
situamos
tres
puntos
A,
R
y
C
de
tal
manera
que
AB
=
1
+
5x,
BC
=
3
—
2x
y
AC
=
4
+
3x
¿Para
qué
valor
de
x
el
punto
B
se
encuentra
entre
A
y
C?
Elabora
un
dibujo
de
la
situación
descrita
y
establece
la
relación
que
satisfaga
las
condiciones
del
problema.
3. Sobre
una
recta
situamos
los
puntos
A,
B,
C
y
D
de
tal
manera
que
AB
=
48
mm,
AC
—
12
mm
y
DB
=
19
mm.
Elabora
el
dibujo
y
calcula
la
longitud
de
CB.
4. El
Un
segmento
mide
12.5
cm.
¿Cuántos
milímetros
mide
su
quinta
parte?
5. Menciona
las
características
de
un
segmento
que
lo
diferencian
de
una
recta
y
de
una
semirrecta.
6. Si
el
segmento
a
=
7
cm
y
el
segmento
b
=
2
¾
cm,
¿cuántos
centímetros
exactamente
mide
el
segmento
2b
1/3
a?
Operaciones
con
Segmentos
Suma
de
segmentos
La
suma
de
dos
segmentos
es
otro
segmento
que
tiene
por
inicio
el
origen
del
primer
segmento
y
como
final
el
final
del
segundo
segmento

8.
La
longitud
del
segmento
suma
es
igual
a
la
suma
de
las
longitudes
de
los
dos
segmentos
que
lo
forman
Diferencia
de
segmentos
La
diferencia
de
dos
segmentos
es
otro
segmento
que
tiene
por
origen
el
final
del
segmento
menor
y
por
final
el
final
del
segmento
mayor
La
longitud
del
segmento
diferencia
es
igual
a
la
resta
de
las
longitudes
de
los
dos
segmentos
Producto
de
un
número
por
un
segmento
El
producto
de
un
número
con
un
segmento
es
otro
segmento
resultado
de
repetir
el
segmento
tantas
veces
como
indica
el
número
por
el
que
se
multiplica
La
longitud
del
segmento
obtenido
es
igual
al
número
por
la
longitud
del
segmento
inicial
División
de
un
segmento
por
un
número
La
división
de
un
segmento
por
un
número
es
otro
segmento
tal
que
multiplicado
por
ese
número
da
como
resultado
el
segmento
original
La
longitud
del
segmento
obtenido
es
igual
la
longitud
del
segmento
inicial
divido
por
el
número

9. ANGULOS
Definición
de
ángulo
y
su
notación
Dos
semirrectas
con
origen
común
separan
el
plano
en
dos
regiones
infinitas.
Cada
una
de
las
regiones
del
plano,
junto
con
las
semirrectas,
forma
una
figura
geométrica
llamada
ángulo
(véase
la
figura
1.33).
Observa
que
dos
semirrectas
con
origen
común
forman
no
uno,
sino
dos
ángulos.
Por
comodidad,
para
señalar
la
región
del
plano
correspondiente
a
un
ángulo
trazamos
un
arco
o
la
llamada
"marca
de
ángulo".
D
E
F
I
N
I
C
I
Ó
N
1
.
8
.
Un
ángulo
es
la
figura
formada
por
dos
semirrectas
con
un
origen
común
y
una
de
las
regiones
en
que
dichas
semirrectas
separan
el
plano.
Siendo
OA
y
OB
dos
semirrectas
distintas
que
tienen
un
origen
común
O,
el
ángulo
que
forman
se
indica
por
cualquiera
de
las
notaciones
2^AOB
o
A^BOA,
donde
el
símbolo
4.
significa
ángulo
(véase
la
figura
1.34a).
Debes
tener
cuidado
en
que
la
letra
de
en
medio
sea
la
que
indica
el
vértice.
Las
semirrectas
OA
y
OB
se
llaman
lados
del
ángulo
y
el
origen
común,
el
punto
0,
se
denomina
vértice
del
ángulo
(véase
la
figura
1.34b).
A
veces
nombramos
un
ángulo
con
una
sola
letra
para
simplificar
el
lenguaje
y
la
notación.
Por
ejemplo,
al
hablar
del
%.AOB,
decimos
simplemente
"el
ángulo
O"
y
escribimos
4-­‐0,
es
decir,
nada
más
señalamos
el
vértice
del
ángulo.
Otra
forma
de
nombrar
un
ángulo
es
utilizar
las
letras
del
alfabeto
griego,
por
ejemplo,
4_a
("ángulo
alfa"),
4-­‐P
("ángulo
beta"),
etc.
Observa
las
notaciones
de
ángulos
en
la
figura
1.35.
Es
importante
señalar
que
los
lados
de
un
ángulo
no
terminan
en
donde
su
figura
lo
hace,
sino
que
se
extienden
indefinidamente.
Eso
se
debe
a
que
los
lados
de
un
ángulo
son
semirrectas,
no
segmentos.
Además,
resumiendo
lo
antes
expuesto,
recuerda
que
dispones
de
tres
formas
comunes
para
nombrar
un
ángulo:
1)
Mediante
tres
letras
mayúsculas,
de
modo
que
la
de
en
medio
corresponda
al
vértice
y
las
otras
dos
a
puntos
sobre
los
lados
del
ángulo,
como
^AOC
o
2^PQR,
etcétera.
2)
Por
medio
de
una
sola
letra
mayúscula
que
corresponda
al
vértice
del
ángulo,
como
3)
Mediante
una
letra
minúscula
del
alfabeto
griego
como
α,
β,
etcétera.
En
ocasiones
también
conviene
denotar
los
ángulos
con
números,
como
etc.,
poniendo
el
número
entre
los
lados
del
ángulo,
sobre
la
curva
trazada
entre
ellos,
o
con
letras
minúsculas
de
nuestro
alfabeto,
usadas
de
la
misma
manera
que
la
notación
con
números:
etcétera.
Para
familiarizarte
con
el
lenguaje
matemático,
su
interpretación
y
el
manejo
de
la
regla
y
el
compás,
te
invitamos
a
explorar
las
siguientes
construcciones.
C
O
N
S
T
R
U
C
C
I
Ó
N
1
.
4
.
Constrúyase
un
ángulo
congruente
con
un
ángulo
dado.
Paso
1
Trazamos
con
la
regla
una
recta
t.
Paso
2
Con
una
abertura
conveniente
del
compás,
apoyando
su
punta
en
el
vértice
A
del
ángulo
dado,
trazamos
un
arco
que
corte
a
sus
lados
en
los
puntos
P
y
Q
respectivamente.
Paso
3
Con
la
misma
abertura
del
compás,
apoyando
su
punta
en
un
punto
E
de
la
recta
€
antes
trazada,
marcamos
un
arco
que
corte
a
la
recta
en
el
punto
Q'.
Paso
4
Con
centro
en
Q'
y
la
abertura
de
compás
igual
a
la
longitud
del
segmento
PQ,
trazamos
un
arco
que
corte
al
arco
anterior
en
el
punto
P.
Paso
5
Con
la
regla
trazamos
la
semirrecta
EP'.
El
ángulo
P'EQ'
es
un
ángulo
congruente
con
el
ángulo
dado.
C
O
N
S
T
R
U
C
C
I
Ó
N
1
.
5
.
Constrúyase
un
ángulo
igual
a
la
suma
de
dos
ángulos
dados.

10.
Paso
1
Se
traza
una
semirrecta
con
extremo
en
un
punto
0.
Paso
2
Con
una
abertura
conveniente
del
compás,
apoyando
su
punta
en
el
vértice
A
de
uno
de
los
ángulos
dados,
y
después
en
el
vértice
B
del
otro
ángulo
dado,
se
marcan
arcos
de
radios
iguales.
Denótense
con
P
y
Q
los
puntos
de
intersección
del
arco
y
los
lados
del
y
con
R
y
S
los
puntos
de
intersección
del
otro
arco
y
los
lados
del
.
Paso
3
Con
la
misma
abertura
del
compás,
apoyando
su
punta
en
el
punto
0,
se
traza
un
arco.
Denótese
con
P'
el
punto
de
intersección
de
este
arco
y
la
semirrecta
trazada.
Paso
4
Sobre
la
semirrecta
OP'
se
construye
el
congruente
con
el
,
y
sobre
la
semirrecta
OQ'
el
congruente
con
el
El
es
igual
a
la
suma
de
los
ángulos
dados
Medida
sexagesimal
de
los
ángulos
Las
unidades
más
conocidas
para
la
medida
de
ángulos
son
los
grados
y
los
radianes.
La
primera
está
basada
en
la
asignación
de
360
grados
al
ángulo
completo
(sus
lados
coinciden).
La
utilización
de
este
sistema
data
de
los
antiguos
babilonios,
quienes
dividieron
el
ángulo
completo
en
360
partes
iguales
porque
en
su
época
consideraban
que
la
duración
del
año
era
de
360
días.
D
E
F
I
N
I
C
I
Ó
N
1
.
9
.
La
unidad
de
medida
de
ángulos
es
—parte
de
un
ángulo
completo
y
se
llama
grado.
En
la
notación
de
la
medida
de
un
ángulo,
la
palabra
grado
se
sustituye
por
el
símbolo
un
pequeño
círculo
colocado
justamente
arriba
y
a
la
derecha
del
número.
Así,
para
indicar
siete
grados
escribimos
7
o
;
un
ángulo
de
90
grados
lo
apuntamos
como
90°;
la
décima
parte
de
un
ángulo
completo
lo
indicamos
como
36°.
Para
medir
fracciones
de
grado,
dividimos
el
grado
en
60
partes
iguales,
cada
una
de
las
cuales
recibe
el
nombre
de
minuto.
El
minuto
lo
designamos
con
un
apóstrofo
así,
medio
grado
son
30
minutos
y
se
escribe
30'.
El
minuto
también
se
divide
en
60
partes
iguales,
cada
una
de
las
cuales
se
llama
segundo
y
su
símbolo
es
";
así,
para
indicar
un
cuarto
de
minuto,
o
sea
15
segundos,
anotamos
15".
Utilizando
estas
subdivisiones
y
símbolos,
expresamos
la
medida
de
los
ángulos
con
el
número
de
grados,
minutos
y
segundos
que
contienen.
Por
ejemplo,
la
medida
42°
22'30"
la
leemos:
"42
grados,
22
minutos,
30
segundos".
De
igual
forma,
un
ángulo
de
7
grados,
56
minutos,
49
segundos
lo
denotamos
como
7
o
56'49".
En
la
mayoría
de
los
cálculos
es
conveniente
representar
las
fracciones
de
los
grados
con
decimales.
Las
calculadoras
científicas,
por
lo
general,
tienen
una
tecla
para
convertir
un
ángulo
dado
en
grados
decimales
a
grados,
minutos
y
segundos,
y
viceversa.
También
puedes
transformar
grados,
minutos
y
segundos
a
decimales,
y
viceversa,
utilizando
el
procedimiento
que
describimos
en
los
dos
ejemplos
siguientes.
Ejemplo
1.3
Expresa
7°
56'49"
como
decimal
hasta
diezmilésimos
de
grado.
Suma
de
ángulos
Gráfica
La
suma
de
dos
ángulos
es
otro
ángulo
cuya
amplitud
es
la
suma
de
las
amplitudes
de
los
dos
ángulos
iniciales.

11.
Numérica
1º
Para
sumar
ángulos
se
colocan
los
grados
debajo
de
los
grados,
los
minutos
debajo
de
los
minutos
y
los
segundos
debajo
de
los
segundos;
y
se
suman.
2º
Si
los
segundos
suman
más
de
60,
se
divide
dicho
número
entre
60;
el
resto
serán
los
segundos
y
el
cociente
se
añadirán
a
los
minutos.
3º
Se
hace
lo
mismo
para
los
minutos.
Resta
de
ángulos
Gráfica
La
resta
de
dos
ángulos
es
otro
ángulo
cuya
amplitud
es
la
diferencia
entre
la
amplitud
del
ángulo
mayor
y
la
del
ángulo
menor.
Numérica
1º
Para
restar
ángulos
se
colocan
los
grados
debajo
de
los
grados,
los
minutos
debajo
de
los
minutos
y
los
segundos
debajo
de
los
segundos.
2º
Se
restan
los
segundos.
Caso
de
que
no
sea
posible,
convertimos
un
minuto
del
minuendo
en
60
segundos
y
se
lo
sumamos
a
los
segundos
del
minuendo.
A
continuación
restamos
los
segundos.
3º
Hacemos
lo
mismo
con
los
minutos.
Multiplicación
de
ángulos
Gráfica
La
multiplicación
de
un
número
por
un
ángulo
es
otro
ángulo
cuya
amplitud
es
la
suma
de
tantos
ángulos
iguales
al
dado
como
indique
el
número.
Numérica
1º
Multiplicamos
los
segundos,
minutos
y
grados
por
el
número.
2º
Si
los
segundos
sobrepasan
los
60,
se
divide
dicho
número
entre
60;
el
resto
serán
los
segundos
y
el
cociente
se
añadirán
a
los
minutos.
3º
Se
hace
lo
mismo
para
los
minutos.
División
de
ángulos
Gráfica
La
división
de
un
ángulo
por
un
número
es
hallar
otro
ángulo
tal
que
multiplicado
por
ese
número
da
como
resultado
el
ángulo
original.

12. :4
=
Numérica
Dividir
37º
48'
25''
entre
5
1º
Se
dividen
los
grados
entre
el
número.
2º
El
cociente
son
los
grados
y
el
resto,
multiplicando
por
60,
los
minutos.
3º
Se
añaden
estos
minutos
a
los
que
tenemos
y
se
repite
el
mismo
proceso
con
los
minutos.
4º
Se
añaden
estos
segundos
a
los
que
tenemos
y
se
dividen
los
segundos.
Realizar
las
siguientes
operaciones
a.
56º
20'
40"
-­‐
37º
42'
15"
b.
125º
15'
30"
-­‐
24º
50'
40"
c.
33º
33'
33"
-­‐
17º
43'
34"
Operaciones
con
medidas
de
ángulos

15.
Clasificación
de
Ángulos
Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°
Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°
Nulo = 0º Completo = 360°
Negativo < 0º Mayor de 360°
Tipos
de
Ángulos
según
su
posición
Ángulos
consecutivos
Ángulos
consecutivos
son
aquellos
que
tienen
el
vértice
y
un
lado
común
Ángulos
adyacentes
Ángulos
adyacentes
son
aquellos
que
tienen
el
vértice
y
un
lado
común,
y
los
otros
lados
situados
uno
en
polongación
del
otro
Ángulos
opuestos
por
el
vértice
Son
los
que
teniendo
el
vértice
común,
los
lados
de
uno
son
prolongación
de
los
lados
del
otro.
Los
ángulos
1
y
3
son
iguales
Los
ángulos
2
y
4
son
iguales
Clases
de
ángulos
según
su
suma
Ángulos
complementarios

16.
Dos
ángulos
son
complementarios
si
suman
90°
Ángulos
suplementarios
Dos
ángulos
son
suplementarios
si
suman
180°
Ángulos
entre
paralelas
y
una
recta
transversal
Ángulos
correspondientes
Los
ángulos
1
y
2
son
iguales
Ángulos
alternos
internos
Los
ángulos
2
y
3
son
iguales
Ángulos
alternos
externos
Los
ángulos
1
y
4
son
iguales
Ángulos
en
la
circunferencia
Ángulo
central
El
ángulo
central
tiene
su
vértice
en
el
centro
de
la
circunferencia
y
sus
lados
son
dos
radios
La
medida
de
un
arco
es
la
de
su
ángulo
central
correspondiente
Ángulo
inscrito
El
ángulo
inscrito
tiene
su
vértice
está
en
la
circunferencia
y
sus
lados
son
secantes
a
ella
Mide
la
mitad
del
arco
que
abarca
Ángulo
semiinscrito
El
vértice
de
ángulo
semiinscrito
está
en
la
circunferencia,
un
lado
secante
y
el
otro
tangente
a
ella
Mide
la
mitad
del
arco
que
abarca
Ángulo
interior
Su
vértice
es
interior
a
la
circunferencia
y
sus
lados
secantes
a
ella

17. Mide
la
mitad
de
la
suma
de
las
medidas
de
los
arcos
que
abarcan
sus
lados
y
las
prolongaciones
de
sus
lados
Ángulo
exterior
Su
vértice
es
un
punto
exterior
a
la
circunferencia
y
los
lados
de
sus
ángulos
son:
o
secantes
a
ella,
o
uno
tangente
y
otro
secante,
o
tangentes
a
ella:
Mide
la
mitad
de
la
diferencia
entre
las
medidas
de
los
arcos
que
abarcan
sus
lados
sobre
la
circunferencia
Ángulos
de
un
polígono
regular
Ángulo
central
de
un
polígono
regular
Es
el
formado
por
dos
radios
consecutivos.
Si
n
es
el
número
de
lados
de
un
polígono:
Ángulo
central
=
360°
:
n
Ángulo
central
del
pentágono
regular=
360°
:
5
=
72º
Ángulo
interior
de
un
polígono
regular
Es
el
formado
por
dos
lados
consecutivos.
Ángulo
interior
=180°
−
Ángulo
central
Ángulo
interior
del
pentágono
regular
=
180°
−
72º
=
108º
Ángulo
exterior
de
un
polígono
regular
Es
el
formado
por
un
lado
y
la
prolongación
de
un
lado
consecutivo.
Los
ángulos
exteriores
e
interiores
son
suplementarios,
es
decir,
que
suman
180º.
Ángulo
exterior
=
Ángulo
central
Ángulo
exterior
del
pentágono
regular
=
72º
Sistemas de medidas angulares
# Sistema Sexagesimal: en éste sistema la unidad de
medida es el grado sexagesimal que corresponde a
1/360 que se abrevia 1°; éste a su vez se divide en 60
partes iguales y 1°/60 corresponde a un minuto
sexagesimal que se abrevia 1´; éste a su vez se divide
en 60 partes iguales y 1´/60 corresponde a un segundo
sexagesimal que se abrevia 1".
# Sistema Circular: en éste sistema la unidad de
medida es el radian.
¿Qué es el radian?: El radian es un ángulo central que
tiene como lados 2 radios de una circunferencia, cuyo
arco es igual al radio de la circunferencia al cual
pertenece.
1 radián = 360º/2.π.R = 360º/6,283185307 =
57,29577951º = 57º 17´ 44,8"
Siendo;
π = 3,141592654

18. R = 1
Las unidades de medida que pasaré a estudiar
pertenecen al sistema sexagesimal y circular.
Equivalencia entre los sistemas
α°/360°
=
αrad/2.π
Ejercicios
propuestos
1- Expresar en grados.
a) 53° 16´ 50" = Respuesta: 53,28055556°
b) 170° 36´ 50" = Respuesta: 170,6138889°
c) 28° 10´ = Respuesta: 28,16666667°
d) 45° 36" = Respuesta: 45,01°
e) 276° 09´ 07" = Respuesta: 276,1519444°
2- Expresar en minutos.
a) 16° 29´ 32" = Respuesta: 989,5´
b) 148° 19´ 37" = Respuesta: 8899,6´
c) 45° 10´ = Respuesta: 2710´
d) 82° 18" = Respuesta: 4920,3´
3- Expresar en segundos.
a) 35° 19´ 43" = Respuesta: 127183"
b) 72° 40´ = Respuesta: 261600"
c) 180° 19" = Respuesta: 496819"
d) 342° 18´ 56" = Respuesta: 1232336"
4- Expresar en grados, minutos y segundos.
a) 38,466° = Respuesta: 38° 27´ 57,6"
b) 126,03334° = Respuesta: 126° 02´
c) 136,44´ = Respuesta: 2° 16´ 26,4"
d) 362,62´ = Respuesta: 6° 02´ 37,2"
e) 40436" = Respuesta: 11° 13´ 56"
f) 68367" = Respuesta: 18° 59´ 27"
5- Reducir al sistema circular. Para π = 3,14.
a) 42° 29´ 36" = Respuesta: 0,74 rad
b) 150° =
Respuesta: 2,61 rad = (5/6).π
rad
c) 36° 18´ = Respuesta: 0,63 rad
d) 146° 36" = Respuesta: 2,54 rad
e) 184,68´ = Respuesta: 0,05 rad
f) 58348" = Respuesta: 0,28 rad
g) 270° =
Respuesta: 4,71 rad = (3/2).π
rad
6- Reducir al sistema sexagesimal.
a) 1,36 rad = Respuesta: 77° 57´ 42,42"
b) 0,28 rad = Respuesta: 16° 03´ 03,44"
c) (3/2).π rad = Respuesta: 270°
d) (3/4).π rad = Respuesta: 42° 59´ 37,07"
e) (2/5).π rad = Respuesta: 72°
f) (3/7).π rad = Respuesta: 77° 08´ 34,29"

19. g) (5/9).π rad = Respuesta: 100°
h) (11/12).π rad = Respuesta: 165°
Ejercicios de aplicación
Se considera para π = 3,14.
1- Expresar en el sistema circular un ángulo de:
a) 18° = Respuesta: (1/10).π rad
b) 30° = Respuesta: (1/6).π rad
c) 36° = Respuesta: (1/5).π rad
d) 43° = Respuesta: 0,75 rad
e) 45° = Respuesta: (1/4).π rad
f) 60° = Respuesta: (1/3).π rad
g) 72° = Respuesta: (2/5).π rad
h) 75° = Respuesta: (5/12).π rad
i) 80° = Respuesta: (4/9).π rad
j) 120° = Respuesta: (2/3).π rad
k) 161° = Respuesta: 2,81 rad
l) 540° = Respuesta: 3.π rad
ll) 35° 40´ = Respuesta: 0,62 rad
m) 42° 27´ 32" = Respuesta: 0,74 rad
n) 42° 59´ 37" = Respuesta: 0,75 rad
ñ) 46° 20´ 30" = Respuesta: 0,81 rad
o) 55° 84´ = Respuesta: 0,98 rad
p) 97° 25´ = Respuesta: 1,70 rad
q) 150° 03´ 24" = Respuesta: 2,61 rad
2- Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo de:
a) (1/12).π rad = Respuesta: 15°
b) (1/8).π rad = Respuesta: 22° 30´
c) (1/5).π rad = Respuesta: 36°
d) 1 rad = Respuesta: 57° 19´ 29,43"
e) (3/5).π rad = Respuesta: 108°
f) (2/3).π rad = Respuesta: 120°
g) (3/4).π rad = Respuesta: 135°
h) 2,5 rad = Respuesta: 143° 18´ 43,5"
i) (4/5).π rad = Respuesta: 144°
j) 2,7 rad = Respuesta: 154° 46´ 37,4"
k) 3,6 rad = Respuesta: 206° 22´ 09,94"
l) (4/3).π rad = Respuesta: 240°
ll) 4,18888 rad = Respuesta: 240° 07´ 36,76"
m) (7/5).π rad = Respuesta: 252°
n) (5/3).π rad = Respuesta: 300°
ñ) (7/4).π rad = Respuesta: 315°
o) 5,55555 rad = Respuesta: 318° 28´ 15,6"
p) 6 rad = Respuesta: 343° 56´ 56,5"
q) 6,17222 rad = Respuesta: 353° 49´ 17,5"
r) (7/3).π rad = Respuesta: 420°

21.
1.
Determina
el
complemento
de
72º.
2.
¿Cuál
es
el
suplemento
de
139º?
3.
¿Cuál
es
el
suplemento
de
(a
-­‐
12)º
4.
Determina
el
complemento
del
suplemento
de
143º.
5.
Si
36º
es
el
complemento
del
suplemento
de
x.
¿Cuántos
grados
mide
x?
6.
¿Cuál
es
el
suplemento
del
complemento
de
(a
-­‐
10)º.
7.
¿Cuántos
grados
resultan
si
al
complemento
de
37º
se
le
suma
el
suplemento
de
93º.
8.
Determina
la
diferencia
entre
el
suplemento
de
(a
-­‐
15)º
y
el
complemento
de
(a
-­‐
45)º
9.
Un
ángulo
y
su
suplemento
están
en
razón
7:2.
¿Cuánto
mide
el
ángulo
menor?

22. 10.
Un
ángulo
y
su
complemento
están
en
razón
2:1.
¿Cuánto
mide
el
suplemento
del
ángulo
mayor?
11.
Determina
el
ángulo
que
es
el
triple
de
su
complemento.
12.
Determina
el
ángulo
que
es
la
cuarta
parte
de
su
suplemento.
13.
Dos
ángulos
son
complementarios
y
el
mayor
es
5
veces
el
menor.
¿Cuánto
mide
el
ángulo
menor?
14.
Si
x
e
y
son
ángulos
adyacentes
y
x
tiene
27º
más
que
y.
¿Cuánto
mide
x?
15.
Un
ángulo
tiene
35º
menos
que
otro
ángulo
cuyo
complemento
es
12º.
¿Cuánto
resulta
de
sumar
dichos
ángulos?
16.
Dos
ángulos
que
suman
50º
están
en
la
razón
de
2:3.
¿En
qué
razón
están
los
complementos
respectivos
de
estos
ángulos?
17.
El
complemento
y
el
suplemento
de
un
ángulo
son
entre
sí
como
1:5.
¿Cuánto
mide
el
ángulo?
18.
Determina
el
complemento
de
42º18'.
19.
Determina
el
suplemento
de
154º27'42''.
20.
Si
el
suplemento
de
un
ángulo
es
113º26'14'',
determina
dicho
ángulo.
21.
Si
m
=
92º35'14''
y
n
=
27º47'32'',
¿cuánto
es
m
+
n?
22.
Un
ángulo
recto
se
divide
en
razón
1:2:3.
¿Cuál
es
la
diferencia
entre
el
ángulo
mayor
y
el
ángulo
menor
de
esta
división?
23.Dos
ángulos
opuestos
por
el
vértice
miden
(20
-­‐
a)º
y
(a
+
74)º.
¿Cuánto
vale
a?
24.
El
complemento
de
un
ángulo
de
47º
es
(ß
-­‐
30)º.
¿Cuánto
vale
ß?
25.
Si
la
diferencia
entre
dos
ángulos
complementarios
es
22º.
¿Cuál
es
la
diferencia
entre
sus
complementos
respectivos?
26.
A
la
cuarta
parte
de
un
ángulo
se
le
suma
su
tercera
parte
resultando
7º.
¿Cuánto
mide
el
ángulo?
27.
El
doble
de
un
ángulo
es
la
cuarta
parte
de
su
complemento.
¿Cuánto
mide
el
ángulo?

23. TRIANGULOS
Un
triángulo,
en
geometría,
es
un
polígono
de
tres
lados
determinado
por
tres
segmentos
de
tres
rectas
que
se
cortan,
denominados
lados
(Euclides);
o
tres
puntos
no
alineados
llamados
vértices.
También
puede
determinarse
un
triángulo
por
cualesquiera
otros
tres
elementos
relativos
a
él,
como
por
ejemplo
un
ángulo
y
dos
medianas;
o
un
lado,
una
altura
y
una
mediana.
Si
está
contenido
en
una
superficie
plana
se
denomina
triángulo,
o
trígono,
un
nombre
menos
común
para
este
tipo
de
polígonos.
Si
está
contenido
en
una
superficie
esférica
se
denomina
triángulo
esférico.
Representado,
en
cartografía,
sobre
la
superficie
terrestre,
se
llama
triángulo
geodésico
Convención
de
escritura
Los
puntos
principales
de
una
figura
geométrica,
como
los
vértices
de
un
polígono,
suelen
ser
designados
por
letras
latinas
mayúsculas:
A,
B,
C,
...
Un
triángulo
se
nombra
entonces
como
cualquier
otro
polígono,
nombrando
sucesivamente
sus
vértices,
por
ejemplo
ABC.
El
orden
de
citación
de
los
vértices
es
irrelevante,
porque
todos
los
segmentos
de
los
que
estos
vértices
son
los
extremos,
son
los
lados
del
triángulo.
Los
lados
del
triángulo,
son
llamados,
como
todos
los
segmentos,
por
sus
extremos:
AB,
BC
y
AC,
en
nuestro
ejemplo.
Para
nombrar
la
longitud
de
un
lado,
por
lo
general
se
utiliza
el
nombre
del
vértice
opuesto,
convertido
a
minúscula
latina:
a
para
BC,
b
para
AC,
c
para
AB.
La
notación
general
para
el
ángulo
entre
dos
segmentos
OP
y
OQ
que
comparten
el
extremo
O
es
También
podemos
utilizar
una
letra
minúscula,
griega
lo
más
a
menudo,
coronada
por
un
acento
circunflejo
(en
rigor,
los
ángulos
deben
ser
designados
por
letras
mayúsculas
y
su
medida
por
minúsculas,
pero
a
menudo
se
utilizan
los
mismos
nombres
para
los
dos
con
el
fin
de
simplificar
la
notación).
En
el
caso
de
un
triángulo,
el
Contenido
1
Convención
de
escritura
2
Clasificación
de
los
triángulos
2.1
Por
la
longitud
de
sus
lados
2.2
Por
la
amplitud
de
sus
ángulos
2.3
Otras
denominaciones
3
Congruencia
de
triángulos
3.1
Postulados
de
congruencia
4
Semejanza
de
triángulos
4.1
Semejanzas
de
triángulos
rectángulos
5
Propiedades
de
los
triángulos
6
Centros
del
triángulo
7
Cálculo
de
elementos
en
un
triángulo
8
Elementos
notables
de
un
triángulo
8.1
Medianas
y
centro
de
gravedad
8.2
Mediatrices
y
círculo
circunscrito
8.3
Bisectriz
y
círculo
inscrito
8.4
Alturas
y
ortocentro
8.5
Recta
y
círculo
de
Euler

24. ángulo
entre
dos
lados
todavía
puede,
por
tolerancia
y
en
ausencia
de
ambigüedad,
ser
designado
por
el
nombre
del
vértice
común,
coronado
por
un
acento
circunflejo.
En
resumen,
en
nuestro
ejemplo,
podemos
observar
los
ángulos:
2.
Clasificación
de
los
triángulos
Los
triángulos
se
pueden
clasificar
por
la
longitud
de
sus
lados
o
por
la
amplitud
de
sus
ángulos.
2.1
Por
la
longitud
de
sus
lados
Por
la
longitud
de
sus
lados,
los
triángulos
se
clasifican
en:
Triángulo
equilátero:
si
sus
tres
lados
tienen
la
misma
longitud
(los
tres
ángulos
internos
miden
60
grados
ó
radianes.)
Triángulo
isósceles:
si
tiene
dos
lados
de
la
misma
longitud.
Los
ángulos
que
se
oponen
a
estos
lados
tienen
la
misma
medida.
Triángulo
escaleno:
si
todos
sus
lados
tienen
longitudes
diferentes.
En
un
triángulo
escaleno
no
hay
ángulos
con
la
misma
medida.
2.2
Por
la
amplitud
de
sus
ángulos
Por
la
amplitud
de
sus
ángulos,
los
triángulos
se
clasifican
en:
Triángulo
rectángulo:
si
tiene
un
ángulo
interior
recto
(90°).
A
los
dos
lados
que
conforman
el
ángulo
recto
se
les
denomina
catetos
y
al
otro
lado
hipotenusa.
Triángulo
obtusángulo:
si
uno
de
sus
ángulos
es
obtuso
(mayor
de
90°);
los
otros
dos
son
agudos
(menor
de
90°).
Triángulo
acutángulo:
cuando
sus
tres
ángulos
son
menores
a
90°;
el
triángulo
equilátero
es
un
caso
particular
de
triángulo
acutángulo.
Se
llama
triángulo
oblicuángulo
cuando
no
tiene
un
ángulo
interior
recto
(90°).
Los
triángulos
obtusángulos
y
acutángulos
son
oblicuángulos.
3.
Otras
denominaciones
Además,
tienen
estas
denominaciones
y
características:
Los
triángulos
acutángulos
pueden
ser:
Triángulo
acutángulo
isósceles:
con
todos
los
ángulos
agudos,
siendo
dos
iguales,
y
el
otro
distinto,
este
triángulo
es
simétrico
respecto
de
su
altura
diferente.
Triángulo
acutángulo
escaleno:
con
todos
sus
ángulos
agudos
y
todos
diferentes,
no
tiene
ejes
de
simetría.
Los
triángulos
rectángulos
pueden
ser:
Triángulo
rectángulo
isósceles:
con
un
angulo
recto
y
dos
agudos
iguales
(de
45°
cada
uno),
dos
lados
son
iguales
y
el
otro
diferente,
naturalmente
los
lados
iguales
son
los
catetos,
y
el
diferente
es
la
hipotenusa,
es
simétrico
respecto
a
la
altura
que
pasa
por
el
ángulo
recto
hasta
la
hipotenusa.
Triángulo
rectángulo
escaleno:
tiene
un
ángulo
recto
y
todos
sus
lados
y
ángulos
son
diferentes.
Los
triángulos
obtusángulos
son:
Triángulo
obtusángulo
isósceles:
tiene
un
ángulo
obtuso,
y
dos
lados
iguales
que
son
los
que
parten
del
ángulo
obtuso,
el
otro
lado
es
mayor
que
estos
dos.
Triángulo
obtusángulo
escaleno:
tiene
un
ángulo
obtuso
y
todos
sus
lados
son
diferentes.
Triángul
o
equilátero
isósceles
escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
3.
Congruencia
de
triángulos
Dos
triángulos
son
congruentes
si
hay
una
correspondencia
entre
sus
vértices
de
tal
manera
que
el
ángulo
del
vértice
y
los
lados
que
lo
componen
sean
congruentes
con
los
del
otro
triángulo.

25. Dos
triángulos
son
congruentes
si
hay
una
correspondencia
entre
sus
vértices
de
tal
manera
que
el
ángulo
del
vértice
y
los
lados
que
lo
componen
sean
congruentes
con
los
del
otro
triángulo.
3.1
Postulados
de
congruencia
Triángulo
Postulado
Postulado
LAL
(Lado,
Ángulo,
Lado)
Dos
lados
en
un
triángulo
tienen
la
misma
longitud
que
dos
lados
en
el
otro
triángulo,
y
los
ángulos
comprendidos
entre
esos
lados
tengan
también
la
misma
medida.
Postulado
ALA
(Ángulo,
Lado,
Ángulo)
Dos
ángulos
interiores
y
el
lado
comprendido
entre
ellos,
en
un
triángulo,
tienen
la
misma
medida
y
longitud,
respectivamente
con
los
del
otro
triángulo.
(El
lado
comprendido
para
un
par
de
ángulos
es
el
lado
que
es
común
a
ellos).
Postulado
LLL
(Lado,
Lado,
Lado)
Cada
lado
de
un
triángulo
tiene
la
misma
longitud
que
un
lado
correspondiente
del
otro
triángulo.
Postulado
AAL
(Ángulo,
Ángulo,
Lado)
Dos
ángulos
y
un
lado
correspondiente
no
comprendido
entre
los
ángulos,
en
un
triángulo,
tienen
la
misma
medida
y
longitud,
respectivamente,
que
las
del
otro
triángulo.
4.0
Semejanza
de
triángulos
Dos
triángulos
son
semejantes
si
sus
ángulos
tienen
la
misma
amplitud
y
los
lados
opuestos
de
estos
ángulos
son
proporcionales.
Criterio
aa
(ángulo,
ángulo).
Si
dos
de
sus
ángulos
son
semejantes
Criterio
lal
(lado,
ángulo,
lado).
Si
dos
de
sus
lados
son
proporcionales
y
el
ángulo
comprendido
entre
ellos
es
congruente.
Criterio
lll
(lado,
lado,
lado).
Si
sus
tres
lados
son
proporcionales.
Semejanzas
de
triángulos
rectángulos
Dos
triángulos
rectángulos
son
semejantes
si
cumple
con
al
menos
uno
de
los
criterios
siguientes:
Si
uno
tiene
un
ángulo
agudo
de
igual
amplitud
que
un
ángulo
agudo
del
otro.
Si
uno
tiene
los
dos
catetos
proporcionales
con
los
del
otro.
Si
uno
tiene
un
cateto
y
la
hipotenusa
proporcionales
con
los
del
otro.
5.0
Propiedades
de
los
triángulos
Un
triángulo
puede
ser
definido
como
un
polígono
de
tres
lados,
o
como
un
polígono
con
tres
vértices.
Después
del
punto
y
el
segmento,
el
triángulo
es
el
polígono
más
simple.
Es
el
único
que
no
tiene
diagonal.
En
el
espacio,
tres
puntos
definen
un
triángulo
(y
un
plano).
Por
el
contrario,
si
cuatro
puntos
de
un
mismo
plano
forman
un
cuadrilátero,
cuatro
puntos
que
no
estén
en
el
mismo
plano
no
definen
un
polígono,
sino
un
tetraedro
Por
otra
parte,
cada
polígono
puede
ser
dividido
en
un
número
finito
de
triángulos
que
se
forman
con
una
triangulación
del
polígono.
El
número
mínimo
de
triángulos
necesarios
para
esta
división
es
n
−
2,
donde
n
es
el
número
de
lados
del
polígono.
El
estudio
de
los
triángulos
es
fundamental
para
el
estudio
de
otros
polígonos,
por
ejemplo
para
la
demostración
del
Teorema
de
Pick
Los
tres
ángulos
internos
de
un
triángulo
miden
180°
lo
que
equivale
a
π
radianes,
en
geometría
euclidiana.1
La
suma
de
los
ángulos
de
un
triángulo
es
180
grados.
Euclides
había
demostrado
este
resultado
en
sus
Elementos
(proposición
I-­‐32)
de
la
siguiente
manera:
trazamos
la
paralela
a
la
línea
(AB)
que
pasa
por
C.
Siendo
paralelas,
esta
recta
y
la
recta
(AB)
forman
con
la
recta
(AC)
ángulos
iguales,
codificados
en
color
rojo
en
la
figura
de
al
lado
(ángulos
alternos-­‐internos).
Del
mismo
modo,
los
ángulos
codificados
en
color
azul
son
iguales
(ángulos
correspondientes).
Por
otro
lado,
la
suma
de
los
tres
ángulos
del
vértice
C
es
el
ángulo
llano.
Así
que
la
suma
de
las
medidas
del
ángulo
de
color
rojo,
del
ángulo
verde
y

26. del
azul
es
un
ángulo
de
180
°
(o
π
radianes).
La
suma
de
los
ángulos
de
un
triángulo
es
180
°.
Esta
propiedad
es
el
resultado
de
la
geometría
euclidiana.
No
se
verifica
en
general
en
la
geometría
no
euclidiana.
La
suma
de
las
longitudes
de
dos
de
sus
lados
es
siempre
mayor
que
la
longitud
del
tercer
lado.
El
valor
de
la
paralela
media
de
un
triángulo
(recta
que
une
dos
puntos
medios
de
dos
lados)
es
igual
a
la
mitad
del
lado
paralelo.
Para
cualquier
triángulo
se
verifica
el
Teorema
del
seno
que
establece:
«Los
lados
de
un
triángulo
son
proporcionales
a
los
senos
de
los
ángulos
opuestos»:
El
teorema
de
Pitágoras
gráficamente.
Para
cualquier
triángulo
se
verifica
el
Teorema
del
coseno
que
demuestra
que
«El
cuadrado
de
un
lado
es
igual
a
la
suma
de
los
cuadrados
de
los
otros
lados
menos
el
doble
del
producto
de
estos
lados
por
el
coseno
del
ángulo
comprendido»:
Para
cualquier
triángulo
rectángulo,
cuyos
catetos
miden
a
y
b,
y
cuya
hipotenusa
mida
c,
se
verifica
el
Teorema
de
Pitágoras:
7.
Centros
del
triángulo
Geométricamente
se
pueden
definir
varios
centros
en
un
triángulo:
Baricentro:
es
el
punto
que
se
encuentra
en
la
intersección
de
las
medianas,
y
equivale
al
centro
de
gravedad
Circuncentro:
es
el
centro
de
la
circunferencia
circunscrita,
aquella
que
pasa
por
los
tres
vértices
del
triángulo.
Se
encuentra
en
la
intersección
de
las
mediatrices
de
los
lados.
Además,
la
circunferencia
circunscrita
contiene
los
puntos
de
intersección
de
la
mediatriz
de
cada
lado
con
las
bisectrices
que
pasan
por
el
vértice
opuesto.
Incentro:
es
el
centro
de
la
circunferencia
inscrita,
aquella
que
es
tangente
a
los
lados
del
triángulo.
Se
encuentra
en
la
intersección
de
las
bisectrices
de
los
ángulos.
Ortocentro:
es
el
punto
que
se
encuentra
en
la
intersección
de
las
alturas.
Exincentros:
son
los
centros
de
las
circunferencias
exinscritas,
aquellas
que
son
tangentes
a
los
lados
del
triángulo.
Se
encuentra
en
la
intersección
de
una
bisectriz
interior
y
dos
bisectrices
exteriores
de
los
ángulos.
El
único
caso
en
que
los
cuatro
primeros
centros
coinciden
en
un
único
punto
es
en
un
triángulo
equilátero.
Cálculo
de
elementos
en
un
triángulo
Para
resolver
triángulos
utilizamos
generalmente
el
Teorema
de
Pitágoras
cuando
son
triángulos
rectángulos,
o
los
Teoremas
del
seno
y
del
coseno.
8.1
Medianas
y
centro
de
gravedad
Medianas
y
centro
de
gravedad
de
un
triángulo
Se
lama
mediana
de
un
triángulo
cada
una
de
las
tres
líneas
que
pasan
por
un
vértice
del
triángulo
y
por
el
punto
medio
del
lado
opuesto
al
vértice.
Cada
una
de
las
tres
medianas
dividen
el
triángulo
en
dos
triángulos
de
áreas
iguales.
Las
tres
medianas
de
un
triángulo
son
concurrentes.
Su
punto
de
intersección
G
es
llamado
centro
de
gravedad
del
triángulo
8.2
Mediatrices
y
círculo
circunscrito

27. Mediatrices
y
círculo
circunscrito
de
un
triángulo.
Se
llama
mediatriz
de
un
triángulo
a
cada
una
de
las
mediatrices
de
sus
lados
[AB],
[AC]
et
[BC].
Las
tres
mediatrices
de
un
triángulo
son
concurrentes
en
un
punto
Ω
equidistante
de
los
tres
vértices.
El
círculo
de
centro
Ω
y
radio
ΩA
que
pasa
por
cada
uno
de
los
tres
vértices
del
triángulo
es
el
círculo
circunscrito
al
triángulo.
Notas:
Un
triángulo
es
obtusángulo
si
y
sólo
si
las
bisectrices
se
cortan
fuera
del
triángulo.
Un
triángulo
es
acutángulo
si
y
sólo
si
las
bisectrices
se
cortan
dentro
del
triángulo.
Propiedad:
ABC
es
un
triángulo
rectángulo
en
A
si
y
sólo
si
el
centro
de
su
círculo
circunscrito
es
el
centro
de
[BC].
8.3
Bisectriz
y
círculo
inscrito
Bisectrices
y
círculo
inscrito
de
un
triángulo.
Las
bisectrices
de
un
triángulo
son
las
tres
bisectrices
de
sus
ángulos
internos.
Las
tres
bisectrices
de
un
triángulo
son
concurrentes
en
un
punto
O.
El
círculo
inscrito
del
triángulo
es
el
único
círculo
tangente
a
los
tres
lados
del
triángulo
y
está
totalmente
incluido
en
el
triángulo.
Tiene
por
punto
central
O,
que
es
pues
el
centro
del
círculo
inscrito
en
el
triángulo.
8.4
Alturas
y
ortocentro
Alturas
y
ortocentro
de
un
triángulo
Se
llama
altura
de
un
triángulo
a
cada
una
de
las
tres
líneas
que
pasan
por
un
vértice
del
triángulo
y
son
perpendiculares
a
la
cara
opuesta
al
vértice.
La
intersección
de
la
altura
y
el
lado
opuesto
se
denomina
«pie»
de
la
altura.
Estas
3
alturas
se
cortan
en
un
punto
único
H
llamado
ortocentro
del
triángulo.
Notas:
Un
triángulo
es
rectángulo
si
y
sólo
si
su
ortocentro
es
uno
de
los
vértices
del
triángulo
Un
triángulo
es
obtusángulo
si
y
sólo
si
su
ortocentro
se
encuentra
fuera
del
triángulo
Un
triángulo
es
acutángulo
si
y
sólo
si
su
ortocentro
está
dentro
del
triángulo
Recta
y
círculo
de
Euler
Recta
y
círculo
de
Euler
de
un
triángulo
Los
tres
puntos
H,
G
y
Ω
están
alineados
en
una
línea
recta
llamada
recta
de
Euler
del
triángulo
y
verifica
la
relación
de
Euler:
Por
otra
parte,
los
puntos
medios
de
los
tres
lados,
los
tres
pies
de
las
alturas
y
los
puntos
medios
de
los
segmentos
[AH],
[BH]
y
[CH]
están
en
un
mismo
círculo
llamado
círculo
de
Euler
o
círculo
de
los
nueve
puntos
del
triángulo
Ejercicios.
1. Traza
3
triángulos
uno
acutángulo,
uno
rectángulo
y
otro
obtusángulo,
del
tamaño
que
puedas
manejar
con
facilidad.
Recorta
los
triángulos
trazados
y
suma
sus
ángulos
interiores.
2. Prepara
4
palillos
de
madera
con
las
siguientes
medidas.
6,
10,
12
y
14
cm.
Forma
todos
los
triángulos
posibles
empleando
tres
palillos
¿Cuántos
triángulos
puedes
formar?
¿Qué
clase
de
triángulo
es
cada
uno
de
ellos?
Anota
tus
resultados
en
una
tabla.

28. 3. Calcula
la
medida
de
os
{angulos
interiores
de
los
siguientes
triángulos.
4. Completa
correctamente
los
siguientes
enunciados.
a) Los
ángulos
agudos
de
un
triángulo
rectángulo
son
__________
b) Si
en
un
triángulo
dos
de
sus
ángulos
interiores
miden
34ᵒ
y
75ᵒ
r4espectivamente
el
tercer
ángulo
mide
_________
y
el
triángulo
es
________________
c) Si
uno
de
los
ángulos
agudos
de
un
triángulo
rectángulo
mide
29ᵒ
48’
56”
el
otro
ángulo
agudo
debe
de
medir
___________________
5. Deduce
las
medidas
faltantes
de
los
ángulos
interiores
de
todos
los
triángulos
del
esquema
siguiente
y
clasifícalos
según
las
amplitudes
de
sus
ángulos
y
las
longitudes
de
sus
lados.
Presenta
los
resultados
en
una
tabla.
6. Traza
un
triángulo
rectángulo
uno
de
cuyos
catetos
mida
3
cm
y
uno
de
sus
ángulos
agudos
mida
50ᵒ.
Con
los
elementos
dados
¿cuántos
triángulos
rectángulos
puedes
trazar?
7. Traza
un
triángulo
isósceles
con
los
siguientes
datos.
¿Cuántos
triángulos
isósceles
puedes
trazar
en
cada
caso?
a) Un
ángulo
adyacente
al
lado
desigual
mide
45ᵒ
b) El
ángulo
comprendido
entre
los
lados
congruentes
mide
45ᵒ
8. Traza
un
triángulo
isósceles
con
los
elementos
proporcionados
¿Cuántos
triángulos
isósceles
puedes
trazar
en
cada
caso?
a) El
segmento
AB
es
la
base
y
un
ángulo
adyacente
a
ella
mide
45ᵒ
b) El
ángulo
opuesto
a
la
base
mide
110ᵒ
y
uno
de
los
lados
congruentes
es
el
segmento
PR
9. Analiza
los
datos
en
cada
inciso
y
responde:
¿es
posible
construir
un
triángulo
con
estas
medidas?
Utiliza
la
notación
de
la
siguiente
figura.
a) a=12
cm
b=7
cm
c=4
cm
b) a=10
cm
b=3
cm
A=30ᵒ
B=40ᵒ
10. Dos
de
los
ángulos
interiores
de
un
triangulo
miden
23ᵒ
y
34ᵒ
respectivamente
¿Qué
clase
de
triángulos
es?
a) Acutángulo
b) Rectángulo
c) Obtusángulo
d) Equiángulo
11. Uno
de
los
ángulos
agudos
de
un
triángulo
rectángulo
mide
39ᵒ
30’.
¿Cuánto
mide
el
otro
ángulo?
a) 51ᵒ30’
b) 140ᵒ30’
c) 50ᵒ30’
d) 89ᵒ30’
12. Es
la
suma
de
las
medidas
de
los
ángulos
interiores
K
y
M
del
triángulo
KLM
de
la
siguiente
figura
a) 63ᵒ
b) 117ᵒ
c) 90ᵒ
d) 27ᵒ
54
108
90
147.7
27
65
45
33
55
33
45
A
B
C
E
H
D
F
G
A
B
45
A
B
110
A
B
C
a
b
c
117
K
L
M

29.
2
Observadores
separados
250
m
ven
un
globo
estático
situado
entre
ellos
bajo
ángulos
de
72ᵒ
y
85ᵒ
¿a
que
altura
se
encuentra
el
globo?
¿a
que
distancia
se
encuentra
cada
observador
del
glolbo?
La
base
de
un
triángulo
isóceles
mide
58
cm
y
los
lados
iguales
39
cm,
calcular
los
ángulos
POLIGONOS
Polígono
es
la
superficie
plana
encerrada
dentro
de
un
contorno
formado
por
segmentos
rectos
unidos
en
sus
extremos.
Cada
uno
de
los
segmentos
se
denomina
lado.
El
punto
de
unión
de
cada
par
de
segmentos
se
denomina
ángulo.
El
número
de
lados,
(
y
por
tanto
de
ángulos)
ha
de
ser
mayor
o
igual
a
tres.