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Geometría noGeometría no
euclideanaeuclideana
Santiago FernándezSantiago Fernández
Asesor de matemáticas del Berritzegune Nagusia - BilbaoAsesor de matemáticas del Berritzegune Nagusia - Bilbao
Unibibliotek Salzburg
Artes liberales Geometria
¿ Paralelas que se cortan?
Versión proyectiva
Paralelas que no se cortan
Visión euclidea
En ocasiones los sentidos nos juegan malas pasadas
El juego de las paralelas
Geometría no euclideana
Victor Vasarely(1906-97)
¿ cómo empezó todo esto?
Euclides (300 a.J.C.)Euclides (300 a.J.C.)
El gran artífice
Teón de AlejandríaTeón de Alejandría
Teón fué el padre de Hipatia y
parece ser que murió antes de que
ella fuera asesinada en el año 415.
Teón es famoso por sus
comentarios en varios trabajos
tales como el Almagesto de
Tolomeo y los trabajos de
Euclides. Estos comentarios fueron
escritos por sus estudiantes,
algunos incluso parecen ser notas
tomadas por sus alumnos durante
sus clases
Hipatia
Euclides
La Escuela de
Atenas, 1510/11
Rafael Sanzio
““ Los Elementos” de EuclidesLos Elementos” de Euclides
 Euclides (300 a.C.) reorganiza laEuclides (300 a.C.) reorganiza la
geometríageometría de manera sistemática ,de manera sistemática ,
motivado por el estudio del espaciomotivado por el estudio del espacio
físico, seguramente bajo influenciafísico, seguramente bajo influencia
de Platónde Platón
 Recoge la mayoría del conocimientoRecoge la mayoría del conocimiento
matemático en 13 librosmatemático en 13 libros
El Primer Libro de LosEl Primer Libro de Los
ElementosElementos
 23 definiciones23 definiciones: descripciones intuitivas: descripciones intuitivas
del conocimiento geometrico condel conocimiento geometrico con
referencia al Mundo “real”referencia al Mundo “real”
““Punto es lo que no tiene partes”Punto es lo que no tiene partes”
 Axiomas o nociones comunesAxiomas o nociones comunes: verdades: verdades
de caracter general y que tienen validezde caracter general y que tienen validez
universal .universal .
 5 postulatos5 postulatos: verdades evidentes,: verdades evidentes,
característicos de la geometriacaracterísticos de la geometria
Breve descripción de los ElementosBreve descripción de los Elementos
( los 13 libros)( los 13 libros)
 LosLos 44 primeros libros están dedicados a losprimeros libros están dedicados a los
conocimientos fundamentales de la geometriaconocimientos fundamentales de la geometria
plana (plana (teoría elemental de geometría planateoría elemental de geometría plana))
 Los librosLos libros V y VIV y VI se dedican a lase dedican a la teoría de lateoría de la
proporciónproporción
 Los librosLos libros VII, VIII y IXVII, VIII y IX son libros sobreson libros sobre
aritméticaaritmética
 El libroEl libro XX se le conoce comose le conoce como “la cruz de los“la cruz de los
matemáticos”matemáticos”
 Los librosLos libros XI, XII y XIIIXI, XII y XIII tratan sobre latratan sobre la geometríageometría
en el espacioen el espacio
http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm
Distintas ediciones
de los Elementos
Los Elementos de San Millán de la Cogolla
En 1482, durante su etapa veneciana, Erhard Ratdolt realizó la
primera impresión latina de los elementos de Euclides
La primera edición impresa de los Elementos de Euclides
reproduce una versión latina compuesta en el año 1260 de
Campano de Novara capellán del papa Urbano IV, y para la
cual utilizó diversas fuentes árabes y una de las versiones
latinas de Adelardo de Bath
La recuperación del Euclides pristino es, hoy en día, una
ilusión , el texto de los Elementos que hoy cabe
considerar como el más aproximado al original es el
establecido por la edición crítica de J.L. Heiberg y H.
Menge
J.L.Heiberg (1854-1928)
F: FlorentinoXXVIII. Biblioteca Laurentiana- original
siglo X
Heiberg, manejó estos siete manuscritos.
Los más fiables se considera a los P y F
y el uso adicional de un palimpsesto del
British Museum que contiene varios
fragmentos del libro X y alguno del libro
XIII
Construcción de la geometríaConstrucción de la geometría
euclideaeuclidea
Nociones ComunesNociones Comunes AXIOMASAXIOMAS
TEOREMASTEOREMAS
DefinicionesDefiniciones
Euclides llama paralelas a dos rectas
coplanarias que, prolongadas cuanto se
quiera no se encuentran( Def XXIII)
1. Postúlese el trazar una recta desde un punto
cualquiera hasta un punto cualquiera.
2.Y el describir cualquier círculo con cualquier centro y
distancia.
3.Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
4.Y el prolongar continuamente una recta finita en linea
recta.
5.-.Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los
ángulos internos del mismo menores que dos rectos, las dos
rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado
en que están los (ángulos) menores que dos rectos.
Los Postulados de EuclidesLos Postulados de Euclides
El V PostulatoEl V Postulato
Si una recta incide sobre otras dos rectasSi una recta incide sobre otras dos rectas
formando ángulos internos menores que dosformando ángulos internos menores que dos
rectos, al prolongarlasrectos, al prolongarlas indefinidamenteindefinidamente sese
encontrarán por el lado en que los ángulos seanencontrarán por el lado en que los ángulos sean
menores que dos rectosmenores que dos rectos
α
β
A
B
P
Ya desde la antigüedad la mayoría de los
comentarios referidos al V postulado
opinaban que su formulación era
sustancialmente distinta a la de los otros
cuatro postulados.
Para intentar solucionar este conflicto se hicieron
dos tipos de intentos:
a) El primero consistió en sustituir el quinto
postulado por otro enunciado más evidente,
b) Mientras que el segundo se centró en deducirlo
de los otros cuatro y de los teoremas proposiciones
que se iban construyendo
La primera de las opciones ha dado lugar a
postulados sustitutivos.
Otras formulaciones del VOtras formulaciones del V
postuladopostulado
““Dos rectas paralelas forman con unaDos rectas paralelas forman con una
transversal ángulos conjugados internostransversal ángulos conjugados internos
suplementarios“suplementarios“ (Ptolomeo)(Ptolomeo)
““Dos rectas coplanarias equidistantes sonDos rectas coplanarias equidistantes son
paralelas”paralelas” (Posidonio)(Posidonio)
““Por un punto fuera de una recta se puedePor un punto fuera de una recta se puede
trazar una y una sola recta paralela a latrazar una y una sola recta paralela a la
recta dadarecta dada ”” (Proclo)(Proclo)
Cinco Proposiciones equivalentes alCinco Proposiciones equivalentes al
V Postulado De EuclidesV Postulado De Euclides
LegendreLegendre .. Existe un Triángulo en el cual la suma deExiste un Triángulo en el cual la suma de
sus tres ángulos vale dos rectos.sus tres ángulos vale dos rectos.
..GaussGauss.. Si k un entero cualquiera, existe siempre unSi k un entero cualquiera, existe siempre un
Triángulo cuya área es mayor que k.Triángulo cuya área es mayor que k.
BolyaiBolyai.. Por tres puntos no alineados pasa siempre unaPor tres puntos no alineados pasa siempre una
circunferencia.circunferencia.
Pero sin duda la más famosa
es……
Por un punto exterior a una
recta se puede trazar una
paralela y sólo una ( Playfair)
Proclo
CONSTRUIR UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO SOBRE UN
SEGMENTO LIBRO1, PROPOSICIÓN 1LIBRO1, PROPOSICIÓN 1
 1.-1.- PROPOSICIÓNPROPOSICIÓN::   Sea AB el segmento dado. SeSea AB el segmento dado. Se
trata de construir untrata de construir un triángulo equiláterotriángulo equilátero ABABCC sobresobre
elel segmentosegmento AB.AB.
 2.-2.- DEMOSTRACIÓNDEMOSTRACIÓN::
 Dibuja el círculo de centro A y radio ABDibuja el círculo de centro A y radio AB    Post 3Post 3  
 Dibuja el círculo de centro B y radio ABDibuja el círculo de centro B y radio AB    Post 3Post 3  
 Dibuja los segmentos BC y AC siendo C el punto donde se cortanDibuja los segmentos BC y AC siendo C el punto donde se cortan
los círculos               los círculos               
 AC=ABAC=AB yy BC=BA por ser radios del mismo círculoBC=BA por ser radios del mismo círculo    def 15def 15
 YY AB=BA por tener los mismos extremosAB=BA por tener los mismos extremos Post 1Post 1
 Y como cosas que son iguales a una tercera son igualesY como cosas que son iguales a una tercera son iguales
entre síentre sí                                                       NC 1NC 1

Por tantoPor tanto AC=BC =AB y el triángulo es equiláteroAC=BC =AB y el triángulo es equilátero ..
ElEl II libro de los Elementoslibro de los Elementos
 Contiene exactamente 48Contiene exactamente 48
proposicionesproposiciones
 Las primeras 28 proposiciones fueronLas primeras 28 proposiciones fueron
demostradas por Euclides empleandodemostradas por Euclides empleando
los 4 primeros postuladoslos 4 primeros postulados
 La proposición 31 dice :La proposición 31 dice :
““Por un punto dado se puede trazarPor un punto dado se puede trazar
un recta paralela a un recta dada”un recta paralela a un recta dada”
En el libro I de los Elementos no se utiliza el
postulado quinto hasta la proposición XXIX.
Las anteriores proposiciones pertenecen a lo que
actualmente se llama geometría absoluta.
Líneas paralelas a una misma recta son paralelas
entre sí. ( Prop. XXX)
Por un punto dado se puede trazar una sóla recta
paralela a una recta dada ( prop XXXI)
La proposición XXXII habla de la equidistancia de
dos rectas paralelas.
Fallas en los Elementos
1.- Muchos términos que aparecen en las definiciones no
están a su vez definidos
2.- Varias de las 23 definiciones no son utilizadas.
3.- En la mayoría de las demostraciones se utiliza la
intuición geométrica
4.- Aparece el concepto de movimiento, aspecto que no
ha sido formalmente definido
5.- Se echan de menos unas reglas de inferencia lógica.
6.- No hay mucha claridad entre nociones comunes y
postulados
7.- En varias demostraciones hay imprecisiones
Intentos por demostrar elIntentos por demostrar el
V postuladoV postulado ( los precursores)( los precursores)
Mat. ÁrabesMat. Árabes Tabit ibn Qurra (836-901)Tabit ibn Qurra (836-901)
Omar Jayyam (1045-1130)Omar Jayyam (1045-1130)
Nasir al Din al Tusi (1201-1274)Nasir al Din al Tusi (1201-1274)
Mat. OccidentalesMat. Occidentales John Wallis (1616-1703)John Wallis (1616-1703)
Giordano Vitali (1633-Giordano Vitali (1633-
1711)1711)
John PlayfairJohn Playfair
(1748-1819)(1748-1819)
Gerolamo Saccheri (1667-Gerolamo Saccheri (1667-
1733)1733)
Johann LambertJohann Lambert
(1728-1777)(1728-1777)
A. Marie LegendreA. Marie Legendre
Geometría no euclideana
El jesuíta G. Saccheri (1677-1733)El jesuíta G. Saccheri (1677-1733)
 Obra: “Euclides emendado de toda mancha” (1733)Obra: “Euclides emendado de toda mancha” (1733)
 Intenta dar una demostración , porIntenta dar una demostración , por reducción alreducción al
absurdoabsurdo, del quinto postulado, del quinto postulado
““Admitamos los cuatro primeros postulados yAdmitamos los cuatro primeros postulados y
negemos el quintonegemos el quinto: si obtuvieramos el: si obtuvieramos el teorema Tteorema T
el no Tel no T entonces el V postulado sería válido”entonces el V postulado sería válido”
La obra de SaccheriLa obra de Saccheri
 Para sus razonamientos iniciales se basa en elPara sus razonamientos iniciales se basa en el
“Cuadrilátero Birrectángulo Isosceles”“Cuadrilátero Birrectángulo Isosceles”
El birrectángulo de SaccheriEl birrectángulo de Saccheri
Si AD = CDSi AD = CD
Y los ángulos en A y BY los ángulos en A y B
son rectos,son rectos, entonces losentonces los
ángulos en D y Cángulos en D y C son IGUALESson IGUALES
A B
CD
El birrectángulo de SaccheriEl birrectángulo de Saccheri
Se pueden dar por tanto tres hipótesis .Se pueden dar por tanto tres hipótesis .
D= C = 90º ángulo rectoD= C = 90º ángulo recto
D=C >90º ángulo obtusoD=C >90º ángulo obtuso
D=C <90º ángulo agudoD=C <90º ángulo agudo
CD
La Hipótesis del ángulo rectoLa Hipótesis del ángulo recto
A B
D C
α β
δ γ
• AB = CD
• Suma de los ángulos internos = 180°
• Corresponde a la geometria euclidea
Hipótesis del ángulo obtusoHipótesis del ángulo obtuso
• AB>CD
• La suma de los ángulos internos de un triángulo > 180°
• Vale si vale el V postulado, pero esto implica la hipótesis
del ángulo recto: y por tanto es contradictoria
A B
D C
α β
δ γ
Hipótesis del ángulo agudoHipótesis del ángulo agudo
• AB<CD
• La suma de los ángulos de un triángulo < 180°
• Conduce a la existencia de rectas coplanarias asintoticas.
Dice Sacheri : va en contra de nuestra razón
A B
D C
α β
δ γ
Sacchieri quedó sumamente satisfecho de su logro,
pero Klügel (1739-1812) observó en su disertación de
1763 que los resultados de Saccheri no conducían a
una contradicción sino a resultados que parecían estar
en contraposición con la experiencia.
Esto motivó a Lambert (1728-1777) a considerar otras
posibilidades
LambertLambert (1728-1777)(1728-1777)
LegendreLegendre (1752-1833(1752-1833))
El cuadrilátero trirrectángulo deEl cuadrilátero trirrectángulo de
J.L.Lambert (J.L.Lambert (1728-17771728-1777))
 Al igual que Saccheri razona con un cuadrilátero, pero conAl igual que Saccheri razona con un cuadrilátero, pero con
las siguientes condiciones:las siguientes condiciones:
Los ángulos correspondientes a A, B, D son rectos, y los lados AD yLos ángulos correspondientes a A, B, D son rectos, y los lados AD y
BC son iguales ,BC son iguales , entonces concluye que el cuartoentonces concluye que el cuarto ángulo puede serángulo puede ser
recto,agudo urecto,agudo u obtusoobtuso
AB
C D
Hipótesis del ángulo obtuso de LambertHipótesis del ángulo obtuso de Lambert
 Razona a partir de la figura, llegando a la desigualdadRazona a partir de la figura, llegando a la desigualdad
siguiente, que claramente es falsa , pues cuando n crece elsiguiente, que claramente es falsa , pues cuando n crece el
segundo valor puede crecer indefinidamente , mientras que elsegundo valor puede crecer indefinidamente , mientras que el
primero no puede ser mayor que el segmento BAprimero no puede ser mayor que el segmento BA
B BB B11 BB22 BB nn
A AA A11 AA22 AAnn
La hipótesis del ángulo agudo deLa hipótesis del ángulo agudo de
Lambert.Lambert.
 Después de obtener resultados cada vez másDespués de obtener resultados cada vez más
extraños , se encuentra que la medida de losextraños , se encuentra que la medida de los
segmentos se le puede dar un significadosegmentos se le puede dar un significado
absoluto. Lambert dice al respecto :absoluto. Lambert dice al respecto :
““Esta medida absoluta repugna nuestraEsta medida absoluta repugna nuestra
intuición euclideana”.intuición euclideana”.
 Sin embargo actuó sabiamente y fue obteniendoSin embargo actuó sabiamente y fue obteniendo
diversos resultados en esa nueva geometría .diversos resultados en esa nueva geometría .
En definitiva , no la desterró.En definitiva , no la desterró.
Lambert sugiere que la geometría del ángulo
agudo corresponde a la geometría
sobre una esfera de radio imaginario.
Recuerda que en la geometría sobre la esfera
Geometría no euclideana
Geometría no euclideana
Si A tiende a infinito, entonces el ángulo α tiende a cero y el
ángulo β se convierte en el ángulo de paralelismo del lado
BC, que denotaremos por Π(a)
α
B
C
A
β
90
A. M. LegendreA. M. Legendre
 Legendre, sigue un camino paralelo a losLegendre, sigue un camino paralelo a los
seguidos por Saccheri y Lambert, pero razonaseguidos por Saccheri y Lambert, pero razona
con la suma de los ángulos de un triángulo,con la suma de los ángulos de un triángulo,
suma que él quiere demostrar que es igual asuma que él quiere demostrar que es igual a
dos rectos.dos rectos.
 Escribe un libro famosoEscribe un libro famoso “Los Elementos de“Los Elementos de
Geometría”Geometría”
A. M. LegendreA. M. Legendre
Estudia tres casosEstudia tres casos
A)  La suma de los tres ángulosA)  La suma de los tres ángulos es iguales igual aa dosdos rectosrectos
B)   La suma de los tres ángulosB)   La suma de los tres ángulos es mayores mayor que dos rectosque dos rectos
C)C) La suma de los tres ángulosLa suma de los tres ángulos es menores menor que dosque dos
rectorectoss
V Postulado = Suma de ángulos 180º ???
Los fundadores de laLos fundadores de la
geometría no euclideageometría no euclidea
F.GaussF.Gauss (1777-1855)(1777-1855)
N.I.LobacheskiN.I.Lobacheski (1793-1856)(1793-1856)
J.BolyaiJ.Bolyai (1802-1860)(1802-1860)
F.A.Taurinus (1794-1874)F.A.Taurinus (1794-1874)
F.C.Schweikart (1780-1856)F.C.Schweikart (1780-1856)
F.GaussF.Gauss (1777-1855)(1777-1855)
¿El mejor de los¿El mejor de los
matemáticos?matemáticos?
El PríncipeEl Príncipe
F.GaussF.Gauss
Obra de GaussObra de Gauss
 Fue el primero en tener una visión clara de unaFue el primero en tener una visión clara de una
geometría independientegeometría independiente deldel VV postuladopostulado
 Comenzó a escribir sus meditaciones con 15Comenzó a escribir sus meditaciones con 15
años(1792)años(1792)
 Inicialmente trata de razonar como Saccheri yInicialmente trata de razonar como Saccheri y
Lambert (Lambert (tomando como hipótesis la falsedad deltomando como hipótesis la falsedad del VV postulado)postulado)
 Posteriormente procede al desarrollo de unaPosteriormente procede al desarrollo de una
nueva geometría que la llama sucesivamente :nueva geometría que la llama sucesivamente :
antieuclideana,antieuclideana, astralastral y finalmentey finalmente no-euclideanano-euclideana
Obra de GaussObra de Gauss
 Gauss corta sus investigaciones a raiz deGauss corta sus investigaciones a raiz de
conocer el trabajo de J.Bolyai (1832)conocer el trabajo de J.Bolyai (1832)
 En el año 1831 en carta a Shumacher,En el año 1831 en carta a Shumacher,
Gauss le da conocimiento de la longitud deGauss le da conocimiento de la longitud de
una circunferencia de radio R, en funciónuna circunferencia de radio R, en función
de una constante Kde una constante K
J. BolyaiJ. Bolyai (1802-60)(1802-60) W.F. BolyaiW.F. Bolyai
N.I.Lobachevski (N.I.Lobachevski (1792-18561792-1856))
“Vivir es sentir, gustar la vida,
ensayar constantemente algo
nuevo que recuerde que
vivimos...nada estorba tanto a
la plenitud de la vida como la
ignorancia..." Lobachevski.
Los esposos LobachevskiLos esposos Lobachevski
Fechas claves en la obra deFechas claves en la obra de
N.I.LobachesvskiN.I.Lobachesvski
 1815. Se ocupa del problema de las paralelas1815. Se ocupa del problema de las paralelas
 1826. Lectura de un manuscrito en la Universidad.1826. Lectura de un manuscrito en la Universidad.
de Kazán , expone fundamentos de una nuevade Kazán , expone fundamentos de una nueva
geometríageometría
 1829. Se imprime una memoria sobre los1829. Se imprime una memoria sobre los
fundamentos de la geometríafundamentos de la geometría
 1835. Geometría imaginaria1835. Geometría imaginaria
 1836. Aplicaciones de la g. Imaginaria a alguna integral1836. Aplicaciones de la g. Imaginaria a alguna integral
 1837, 1840........escritos en francés y alemán1837, 1840........escritos en francés y alemán
 1855. La Pangeometría1855. La Pangeometría
El razonamiento de LobacheskiEl razonamiento de Lobacheski
r
t
sP
O A B
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Estudió las consecuencias que tenía, el hecho de que no
se cumpliera necesariamente el quinto postulado
El ángulo de las paralelasEl ángulo de las paralelas
PP
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a−
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Π
2
)(
Π(a)
a
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sP
O A B
ll’
Esto es, supuso que por un punto P no situado
en la recta AB pasan, en el plano, más de
una recta no secante con AB, tal como
muestra el dibujo.
Lobachevski, a partir de una hipótesis tan absurda
comienza a deducir resultados, con la intención de
encontrar alguna contradicción.
Curiosamente construye un raro, pero armonioso, edificio
geométrico que él llama Geometría imaginaria, y que
actualmente llamamos Geometría hiperbólica o de
Lobachevski
El razonamiento de LobachevskiEl razonamiento de Lobachevski
 ππ(a) el ángulo del paralelismo(a) el ángulo del paralelismo
 La suma de los tres ángulos internos deLa suma de los tres ángulos internos de
un triángulo es menor que dos rectosun triángulo es menor que dos rectos
 Si 2R-(Si 2R-(αα++ββ++γγ)=)= δδ es la diferenciaes la diferencia
angularangular
 El área del triángulo vale A = kEl área del triángulo vale A = k22
δδ
Algunas consecuenciasAlgunas consecuencias
 Se A tiende a 0,Se A tiende a 0, δδ tiende a cero y la suma de lostiende a cero y la suma de los
tres ángulos internos de un triángulo vale 2Rtres ángulos internos de un triángulo vale 2R
 La geometria euclidea es el límite de laLa geometria euclidea es el límite de la
geometría hiperbolica al tender A a cerogeometría hiperbolica al tender A a cero
 En general , AEn general , A≤≤ kk22
ππ (si(si δδ== ππ entonces la sumaentonces la suma
de los ángulos vale cero)de los ángulos vale cero)
 La geom. Euclidea vale para la escalaLa geom. Euclidea vale para la escala
terrestreterrestre
Teoría de las paralelas, 1840
La geometría esféricaLa geometría esférica
B. Riemann(B. Riemann(1826-18661826-1866))
A propuesta de Gauss, la disertación de
Riemann versó sobre la hipótesis de la
Geometría
En 1867, se publicó la disertacioón que había
pronunciado años atrás en la Universidad de
Göttingen , y en la que sugería la idea de un tipo más
importante de geometría no euclidiana, distinguiendo
entre espacio ilimitado y espacio infinito.
Riemann proponía una geometría en superficies
de curvatura positiva constante, justo lo opuesto
a la geometría de Lobachevski-Bolyai, superficies
de curvatura negativa constante.
Además, Riemann sugirió una geometría en
superficies de curvatura variable, en la que el
movimiento de una figura cambiaría su tamaño y
sus propiedades
La suma de los ángulos interiores de un triángulo
mide más de 180º, y, entre dos triángulos, el que
tiene mayor suma angular, tiene la mayor área.
Este último resultado difiere sustancialmente del
análogo en la geometría hiperbólica, donde se
cumple exactamente lo contrario
Superficies de curvatura constanteSuperficies de curvatura constante
Valor de laValor de la
curvaturacurvatura
Tipo deTipo de
superficiesuperficie
Carácter específicoCarácter específico
K=0K=0 PlanoPlano A+B+C=180ºA+B+C=180º
K> 0K> 0 EsferaEsfera A+B+C >180ºA+B+C >180º
K <0K <0 PseudoesferaPseudoesfera A+B+C < 180ºA+B+C < 180º
Para el estudio de estas geometrías Riemann
introdujo el formalismo del tensor de curvatura y
demostró que la geometría euclídea, la
geometría hiperbólica y la geometría elíptica son
casos particulares de geometrías riemanninanas,
caracterizada por valores constantes del
tensor de curvatura.
En relación al propósito de la geometría riemanniana,
más allá de lo que podría interpretarse como mera
especulación de los matemáticos, nos podemos
preguntar si la geometría de Riemann
¿ tiene algún modelo donde ella pueda validarse, o un
mundo que pueda visualizarse con esta geometría ?
Supercies y curvatura GaussianaSupercies y curvatura Gaussiana
K < 0K < 0
K=0K=0
K >0K >0
Geometría no euclideana
Geometría no euclideana
Lobachevski
primera mitad s. XIX
Geometrías
No-euclideanas
Lobachevski, Bolyai, Gauss, … habían ideado
una nueva geometría pero surgía una gran
pregunta:
¿ había algún modelo real capaz de explicar
dicha teoría?
BeltramiBeltrami (1835-1900)(1835-1900) CesaroCesaro
La pseudoesfera de Beltrami,1868La pseudoesfera de Beltrami,1868
Una pseudoesfera es la superficie de
revolución que se obtiene girando una
tractriz alrededor de su asíntota.
Es una superficie con curvatura de Gauss
constante negativa, lo que implica que cada
uno de sus puntos es un punto de silla
pseudoesfera
La pseudoesferaLa pseudoesfera
Modelo de Beltrami paraModelo de Beltrami para
la geometría hiperbólicala geometría hiperbólica
La pseudoesferaLa pseudoesfera
El modelo de F.KleinEl modelo de F.Klein ((1849-19251849-1925))
 Sustituye el V postuldo por el siguente:Sustituye el V postuldo por el siguente:
““Por un punto P fuera de una recta pasanPor un punto P fuera de una recta pasan
al menos dos rectas paralelas a la rectaal menos dos rectas paralelas a la recta
dada”dada”
A
B
P
Modelo hiperbólico deModelo hiperbólico de
H. PoincaréH. Poincaré ((1854-19121854-1912))
Modelo Hiperbólico de PoincaréModelo Hiperbólico de Poincaré
 Los puntos interioresLos puntos interiores
al círculo son puntosal círculo son puntos
del plano hiperbólicodel plano hiperbólico
 Las rectas de éstaLas rectas de ésta
geometría son arcosgeometría son arcos
de circunferenciade circunferencia
perpendiculares a laperpendiculares a la
originaloriginal
http://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html
Software geometría hiperbólica- Poincaré
Rectas en el plano hiperbólico
Rectas paralela a la recta AB y que
pasan por el punto C
Medidas del triángulo
El pintor M.C. Escher (1898-1972)El pintor M.C. Escher (1898-1972)
Su obra es una bitácora de un viaje que seSu obra es una bitácora de un viaje que se
extiende por tres campos que implican tresextiende por tres campos que implican tres
temas matemáticos:temas matemáticos:
1) La estructura el espacio1) La estructura el espacio
2) La estructura de las superficies2) La estructura de las superficies
3) La proyección del espacio tridimensional en3) La proyección del espacio tridimensional en
el planoel plano
Geometría no euclideana
Consistencia, fundamentación yConsistencia, fundamentación y
rupturaruptura

PeanoPeano Pasch HilbertPasch Hilbert
Poincaré
Axiomas de la Gometría elementalAxiomas de la Gometría elemental
por D. Hilbertpor D. Hilbert
 Todos los axiomas se dividen enTodos los axiomas se dividen en
cinco gruposcinco grupos
I . Axiomas de incidencia (8)I . Axiomas de incidencia (8)
II. Axiomas de orden (4)II. Axiomas de orden (4)
III. Axiomas de congruencia(5)III. Axiomas de congruencia(5)
IV. Axiomas de continuidad (2)IV. Axiomas de continuidad (2)
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Geometría no euclideana

  • 1. Geometría noGeometría no euclideanaeuclideana Santiago FernándezSantiago Fernández Asesor de matemáticas del Berritzegune Nagusia - BilbaoAsesor de matemáticas del Berritzegune Nagusia - Bilbao
  • 3. ¿ Paralelas que se cortan? Versión proyectiva
  • 4. Paralelas que no se cortan Visión euclidea
  • 5. En ocasiones los sentidos nos juegan malas pasadas
  • 6. El juego de las paralelas
  • 9. Euclides (300 a.J.C.)Euclides (300 a.J.C.) El gran artífice
  • 10. Teón de AlejandríaTeón de Alejandría Teón fué el padre de Hipatia y parece ser que murió antes de que ella fuera asesinada en el año 415. Teón es famoso por sus comentarios en varios trabajos tales como el Almagesto de Tolomeo y los trabajos de Euclides. Estos comentarios fueron escritos por sus estudiantes, algunos incluso parecen ser notas tomadas por sus alumnos durante sus clases
  • 11. Hipatia Euclides La Escuela de Atenas, 1510/11 Rafael Sanzio
  • 12. ““ Los Elementos” de EuclidesLos Elementos” de Euclides  Euclides (300 a.C.) reorganiza laEuclides (300 a.C.) reorganiza la geometríageometría de manera sistemática ,de manera sistemática , motivado por el estudio del espaciomotivado por el estudio del espacio físico, seguramente bajo influenciafísico, seguramente bajo influencia de Platónde Platón  Recoge la mayoría del conocimientoRecoge la mayoría del conocimiento matemático en 13 librosmatemático en 13 libros
  • 13. El Primer Libro de LosEl Primer Libro de Los ElementosElementos  23 definiciones23 definiciones: descripciones intuitivas: descripciones intuitivas del conocimiento geometrico condel conocimiento geometrico con referencia al Mundo “real”referencia al Mundo “real” ““Punto es lo que no tiene partes”Punto es lo que no tiene partes”  Axiomas o nociones comunesAxiomas o nociones comunes: verdades: verdades de caracter general y que tienen validezde caracter general y que tienen validez universal .universal .  5 postulatos5 postulatos: verdades evidentes,: verdades evidentes, característicos de la geometriacaracterísticos de la geometria
  • 14. Breve descripción de los ElementosBreve descripción de los Elementos ( los 13 libros)( los 13 libros)  LosLos 44 primeros libros están dedicados a losprimeros libros están dedicados a los conocimientos fundamentales de la geometriaconocimientos fundamentales de la geometria plana (plana (teoría elemental de geometría planateoría elemental de geometría plana))  Los librosLos libros V y VIV y VI se dedican a lase dedican a la teoría de lateoría de la proporciónproporción  Los librosLos libros VII, VIII y IXVII, VIII y IX son libros sobreson libros sobre aritméticaaritmética  El libroEl libro XX se le conoce comose le conoce como “la cruz de los“la cruz de los matemáticos”matemáticos”  Los librosLos libros XI, XII y XIIIXI, XII y XIII tratan sobre latratan sobre la geometríageometría en el espacioen el espacio
  • 17. Los Elementos de San Millán de la Cogolla En 1482, durante su etapa veneciana, Erhard Ratdolt realizó la primera impresión latina de los elementos de Euclides
  • 18. La primera edición impresa de los Elementos de Euclides reproduce una versión latina compuesta en el año 1260 de Campano de Novara capellán del papa Urbano IV, y para la cual utilizó diversas fuentes árabes y una de las versiones latinas de Adelardo de Bath La recuperación del Euclides pristino es, hoy en día, una ilusión , el texto de los Elementos que hoy cabe considerar como el más aproximado al original es el establecido por la edición crítica de J.L. Heiberg y H. Menge
  • 20. F: FlorentinoXXVIII. Biblioteca Laurentiana- original siglo X Heiberg, manejó estos siete manuscritos. Los más fiables se considera a los P y F y el uso adicional de un palimpsesto del British Museum que contiene varios fragmentos del libro X y alguno del libro XIII
  • 21. Construcción de la geometríaConstrucción de la geometría euclideaeuclidea Nociones ComunesNociones Comunes AXIOMASAXIOMAS TEOREMASTEOREMAS DefinicionesDefiniciones
  • 22. Euclides llama paralelas a dos rectas coplanarias que, prolongadas cuanto se quiera no se encuentran( Def XXIII)
  • 23. 1. Postúlese el trazar una recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera. 2.Y el describir cualquier círculo con cualquier centro y distancia. 3.Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí. 4.Y el prolongar continuamente una recta finita en linea recta. 5.-.Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en que están los (ángulos) menores que dos rectos. Los Postulados de EuclidesLos Postulados de Euclides
  • 24. El V PostulatoEl V Postulato Si una recta incide sobre otras dos rectasSi una recta incide sobre otras dos rectas formando ángulos internos menores que dosformando ángulos internos menores que dos rectos, al prolongarlasrectos, al prolongarlas indefinidamenteindefinidamente sese encontrarán por el lado en que los ángulos seanencontrarán por el lado en que los ángulos sean menores que dos rectosmenores que dos rectos α β A B P
  • 25. Ya desde la antigüedad la mayoría de los comentarios referidos al V postulado opinaban que su formulación era sustancialmente distinta a la de los otros cuatro postulados.
  • 26. Para intentar solucionar este conflicto se hicieron dos tipos de intentos: a) El primero consistió en sustituir el quinto postulado por otro enunciado más evidente, b) Mientras que el segundo se centró en deducirlo de los otros cuatro y de los teoremas proposiciones que se iban construyendo La primera de las opciones ha dado lugar a postulados sustitutivos.
  • 27. Otras formulaciones del VOtras formulaciones del V postuladopostulado ““Dos rectas paralelas forman con unaDos rectas paralelas forman con una transversal ángulos conjugados internostransversal ángulos conjugados internos suplementarios“suplementarios“ (Ptolomeo)(Ptolomeo) ““Dos rectas coplanarias equidistantes sonDos rectas coplanarias equidistantes son paralelas”paralelas” (Posidonio)(Posidonio) ““Por un punto fuera de una recta se puedePor un punto fuera de una recta se puede trazar una y una sola recta paralela a latrazar una y una sola recta paralela a la recta dadarecta dada ”” (Proclo)(Proclo)
  • 28. Cinco Proposiciones equivalentes alCinco Proposiciones equivalentes al V Postulado De EuclidesV Postulado De Euclides LegendreLegendre .. Existe un Triángulo en el cual la suma deExiste un Triángulo en el cual la suma de sus tres ángulos vale dos rectos.sus tres ángulos vale dos rectos. ..GaussGauss.. Si k un entero cualquiera, existe siempre unSi k un entero cualquiera, existe siempre un Triángulo cuya área es mayor que k.Triángulo cuya área es mayor que k. BolyaiBolyai.. Por tres puntos no alineados pasa siempre unaPor tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia.circunferencia.
  • 29. Pero sin duda la más famosa es…… Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y sólo una ( Playfair) Proclo
  • 30. CONSTRUIR UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO SOBRE UN SEGMENTO LIBRO1, PROPOSICIÓN 1LIBRO1, PROPOSICIÓN 1  1.-1.- PROPOSICIÓNPROPOSICIÓN::   Sea AB el segmento dado. SeSea AB el segmento dado. Se trata de construir untrata de construir un triángulo equiláterotriángulo equilátero ABABCC sobresobre elel segmentosegmento AB.AB.  2.-2.- DEMOSTRACIÓNDEMOSTRACIÓN::  Dibuja el círculo de centro A y radio ABDibuja el círculo de centro A y radio AB    Post 3Post 3    Dibuja el círculo de centro B y radio ABDibuja el círculo de centro B y radio AB    Post 3Post 3    Dibuja los segmentos BC y AC siendo C el punto donde se cortanDibuja los segmentos BC y AC siendo C el punto donde se cortan los círculos               los círculos                 AC=ABAC=AB yy BC=BA por ser radios del mismo círculoBC=BA por ser radios del mismo círculo    def 15def 15  YY AB=BA por tener los mismos extremosAB=BA por tener los mismos extremos Post 1Post 1  Y como cosas que son iguales a una tercera son igualesY como cosas que son iguales a una tercera son iguales entre síentre sí                                                       NC 1NC 1  Por tantoPor tanto AC=BC =AB y el triángulo es equiláteroAC=BC =AB y el triángulo es equilátero ..
  • 31. ElEl II libro de los Elementoslibro de los Elementos  Contiene exactamente 48Contiene exactamente 48 proposicionesproposiciones  Las primeras 28 proposiciones fueronLas primeras 28 proposiciones fueron demostradas por Euclides empleandodemostradas por Euclides empleando los 4 primeros postuladoslos 4 primeros postulados  La proposición 31 dice :La proposición 31 dice : ““Por un punto dado se puede trazarPor un punto dado se puede trazar un recta paralela a un recta dada”un recta paralela a un recta dada”
  • 32. En el libro I de los Elementos no se utiliza el postulado quinto hasta la proposición XXIX. Las anteriores proposiciones pertenecen a lo que actualmente se llama geometría absoluta. Líneas paralelas a una misma recta son paralelas entre sí. ( Prop. XXX) Por un punto dado se puede trazar una sóla recta paralela a una recta dada ( prop XXXI) La proposición XXXII habla de la equidistancia de dos rectas paralelas.
  • 33. Fallas en los Elementos 1.- Muchos términos que aparecen en las definiciones no están a su vez definidos 2.- Varias de las 23 definiciones no son utilizadas. 3.- En la mayoría de las demostraciones se utiliza la intuición geométrica 4.- Aparece el concepto de movimiento, aspecto que no ha sido formalmente definido 5.- Se echan de menos unas reglas de inferencia lógica. 6.- No hay mucha claridad entre nociones comunes y postulados 7.- En varias demostraciones hay imprecisiones
  • 34. Intentos por demostrar elIntentos por demostrar el V postuladoV postulado ( los precursores)( los precursores) Mat. ÁrabesMat. Árabes Tabit ibn Qurra (836-901)Tabit ibn Qurra (836-901) Omar Jayyam (1045-1130)Omar Jayyam (1045-1130) Nasir al Din al Tusi (1201-1274)Nasir al Din al Tusi (1201-1274) Mat. OccidentalesMat. Occidentales John Wallis (1616-1703)John Wallis (1616-1703) Giordano Vitali (1633-Giordano Vitali (1633- 1711)1711) John PlayfairJohn Playfair (1748-1819)(1748-1819) Gerolamo Saccheri (1667-Gerolamo Saccheri (1667- 1733)1733) Johann LambertJohann Lambert (1728-1777)(1728-1777) A. Marie LegendreA. Marie Legendre
  • 36. El jesuíta G. Saccheri (1677-1733)El jesuíta G. Saccheri (1677-1733)  Obra: “Euclides emendado de toda mancha” (1733)Obra: “Euclides emendado de toda mancha” (1733)  Intenta dar una demostración , porIntenta dar una demostración , por reducción alreducción al absurdoabsurdo, del quinto postulado, del quinto postulado ““Admitamos los cuatro primeros postulados yAdmitamos los cuatro primeros postulados y negemos el quintonegemos el quinto: si obtuvieramos el: si obtuvieramos el teorema Tteorema T el no Tel no T entonces el V postulado sería válido”entonces el V postulado sería válido”
  • 37. La obra de SaccheriLa obra de Saccheri  Para sus razonamientos iniciales se basa en elPara sus razonamientos iniciales se basa en el “Cuadrilátero Birrectángulo Isosceles”“Cuadrilátero Birrectángulo Isosceles”
  • 38. El birrectángulo de SaccheriEl birrectángulo de Saccheri Si AD = CDSi AD = CD Y los ángulos en A y BY los ángulos en A y B son rectos,son rectos, entonces losentonces los ángulos en D y Cángulos en D y C son IGUALESson IGUALES A B CD
  • 39. El birrectángulo de SaccheriEl birrectángulo de Saccheri Se pueden dar por tanto tres hipótesis .Se pueden dar por tanto tres hipótesis . D= C = 90º ángulo rectoD= C = 90º ángulo recto D=C >90º ángulo obtusoD=C >90º ángulo obtuso D=C <90º ángulo agudoD=C <90º ángulo agudo CD
  • 40. La Hipótesis del ángulo rectoLa Hipótesis del ángulo recto A B D C α β δ γ • AB = CD • Suma de los ángulos internos = 180° • Corresponde a la geometria euclidea
  • 41. Hipótesis del ángulo obtusoHipótesis del ángulo obtuso • AB>CD • La suma de los ángulos internos de un triángulo > 180° • Vale si vale el V postulado, pero esto implica la hipótesis del ángulo recto: y por tanto es contradictoria A B D C α β δ γ
  • 42. Hipótesis del ángulo agudoHipótesis del ángulo agudo • AB<CD • La suma de los ángulos de un triángulo < 180° • Conduce a la existencia de rectas coplanarias asintoticas. Dice Sacheri : va en contra de nuestra razón A B D C α β δ γ
  • 43. Sacchieri quedó sumamente satisfecho de su logro, pero Klügel (1739-1812) observó en su disertación de 1763 que los resultados de Saccheri no conducían a una contradicción sino a resultados que parecían estar en contraposición con la experiencia. Esto motivó a Lambert (1728-1777) a considerar otras posibilidades
  • 45. El cuadrilátero trirrectángulo deEl cuadrilátero trirrectángulo de J.L.Lambert (J.L.Lambert (1728-17771728-1777))  Al igual que Saccheri razona con un cuadrilátero, pero conAl igual que Saccheri razona con un cuadrilátero, pero con las siguientes condiciones:las siguientes condiciones: Los ángulos correspondientes a A, B, D son rectos, y los lados AD yLos ángulos correspondientes a A, B, D son rectos, y los lados AD y BC son iguales ,BC son iguales , entonces concluye que el cuartoentonces concluye que el cuarto ángulo puede serángulo puede ser recto,agudo urecto,agudo u obtusoobtuso AB C D
  • 46. Hipótesis del ángulo obtuso de LambertHipótesis del ángulo obtuso de Lambert  Razona a partir de la figura, llegando a la desigualdadRazona a partir de la figura, llegando a la desigualdad siguiente, que claramente es falsa , pues cuando n crece elsiguiente, que claramente es falsa , pues cuando n crece el segundo valor puede crecer indefinidamente , mientras que elsegundo valor puede crecer indefinidamente , mientras que el primero no puede ser mayor que el segmento BAprimero no puede ser mayor que el segmento BA B BB B11 BB22 BB nn A AA A11 AA22 AAnn
  • 47. La hipótesis del ángulo agudo deLa hipótesis del ángulo agudo de Lambert.Lambert.  Después de obtener resultados cada vez másDespués de obtener resultados cada vez más extraños , se encuentra que la medida de losextraños , se encuentra que la medida de los segmentos se le puede dar un significadosegmentos se le puede dar un significado absoluto. Lambert dice al respecto :absoluto. Lambert dice al respecto : ““Esta medida absoluta repugna nuestraEsta medida absoluta repugna nuestra intuición euclideana”.intuición euclideana”.  Sin embargo actuó sabiamente y fue obteniendoSin embargo actuó sabiamente y fue obteniendo diversos resultados en esa nueva geometría .diversos resultados en esa nueva geometría . En definitiva , no la desterró.En definitiva , no la desterró.
  • 48. Lambert sugiere que la geometría del ángulo agudo corresponde a la geometría sobre una esfera de radio imaginario. Recuerda que en la geometría sobre la esfera
  • 51. Si A tiende a infinito, entonces el ángulo α tiende a cero y el ángulo β se convierte en el ángulo de paralelismo del lado BC, que denotaremos por Π(a) α B C A β 90
  • 52. A. M. LegendreA. M. Legendre  Legendre, sigue un camino paralelo a losLegendre, sigue un camino paralelo a los seguidos por Saccheri y Lambert, pero razonaseguidos por Saccheri y Lambert, pero razona con la suma de los ángulos de un triángulo,con la suma de los ángulos de un triángulo, suma que él quiere demostrar que es igual asuma que él quiere demostrar que es igual a dos rectos.dos rectos.  Escribe un libro famosoEscribe un libro famoso “Los Elementos de“Los Elementos de Geometría”Geometría”
  • 53. A. M. LegendreA. M. Legendre Estudia tres casosEstudia tres casos A)  La suma de los tres ángulosA)  La suma de los tres ángulos es iguales igual aa dosdos rectosrectos B)   La suma de los tres ángulosB)   La suma de los tres ángulos es mayores mayor que dos rectosque dos rectos C)C) La suma de los tres ángulosLa suma de los tres ángulos es menores menor que dosque dos rectorectoss
  • 54. V Postulado = Suma de ángulos 180º ???
  • 55. Los fundadores de laLos fundadores de la geometría no euclideageometría no euclidea F.GaussF.Gauss (1777-1855)(1777-1855) N.I.LobacheskiN.I.Lobacheski (1793-1856)(1793-1856) J.BolyaiJ.Bolyai (1802-1860)(1802-1860) F.A.Taurinus (1794-1874)F.A.Taurinus (1794-1874) F.C.Schweikart (1780-1856)F.C.Schweikart (1780-1856)
  • 56. F.GaussF.Gauss (1777-1855)(1777-1855) ¿El mejor de los¿El mejor de los matemáticos?matemáticos? El PríncipeEl Príncipe
  • 58. Obra de GaussObra de Gauss  Fue el primero en tener una visión clara de unaFue el primero en tener una visión clara de una geometría independientegeometría independiente deldel VV postuladopostulado  Comenzó a escribir sus meditaciones con 15Comenzó a escribir sus meditaciones con 15 años(1792)años(1792)  Inicialmente trata de razonar como Saccheri yInicialmente trata de razonar como Saccheri y Lambert (Lambert (tomando como hipótesis la falsedad deltomando como hipótesis la falsedad del VV postulado)postulado)  Posteriormente procede al desarrollo de unaPosteriormente procede al desarrollo de una nueva geometría que la llama sucesivamente :nueva geometría que la llama sucesivamente : antieuclideana,antieuclideana, astralastral y finalmentey finalmente no-euclideanano-euclideana
  • 59. Obra de GaussObra de Gauss  Gauss corta sus investigaciones a raiz deGauss corta sus investigaciones a raiz de conocer el trabajo de J.Bolyai (1832)conocer el trabajo de J.Bolyai (1832)  En el año 1831 en carta a Shumacher,En el año 1831 en carta a Shumacher, Gauss le da conocimiento de la longitud deGauss le da conocimiento de la longitud de una circunferencia de radio R, en funciónuna circunferencia de radio R, en función de una constante Kde una constante K
  • 60. J. BolyaiJ. Bolyai (1802-60)(1802-60) W.F. BolyaiW.F. Bolyai
  • 61. N.I.Lobachevski (N.I.Lobachevski (1792-18561792-1856)) “Vivir es sentir, gustar la vida, ensayar constantemente algo nuevo que recuerde que vivimos...nada estorba tanto a la plenitud de la vida como la ignorancia..." Lobachevski.
  • 62. Los esposos LobachevskiLos esposos Lobachevski
  • 63. Fechas claves en la obra deFechas claves en la obra de N.I.LobachesvskiN.I.Lobachesvski  1815. Se ocupa del problema de las paralelas1815. Se ocupa del problema de las paralelas  1826. Lectura de un manuscrito en la Universidad.1826. Lectura de un manuscrito en la Universidad. de Kazán , expone fundamentos de una nuevade Kazán , expone fundamentos de una nueva geometríageometría  1829. Se imprime una memoria sobre los1829. Se imprime una memoria sobre los fundamentos de la geometríafundamentos de la geometría  1835. Geometría imaginaria1835. Geometría imaginaria  1836. Aplicaciones de la g. Imaginaria a alguna integral1836. Aplicaciones de la g. Imaginaria a alguna integral  1837, 1840........escritos en francés y alemán1837, 1840........escritos en francés y alemán  1855. La Pangeometría1855. La Pangeometría
  • 64. El razonamiento de LobacheskiEl razonamiento de Lobacheski r t sP O A B ll’ Estudió las consecuencias que tenía, el hecho de que no se cumpliera necesariamente el quinto postulado
  • 65. El ángulo de las paralelasEl ángulo de las paralelas PP ea tag a− = Π 2 )( Π(a) a
  • 66. r t sP O A B ll’ Esto es, supuso que por un punto P no situado en la recta AB pasan, en el plano, más de una recta no secante con AB, tal como muestra el dibujo.
  • 67. Lobachevski, a partir de una hipótesis tan absurda comienza a deducir resultados, con la intención de encontrar alguna contradicción. Curiosamente construye un raro, pero armonioso, edificio geométrico que él llama Geometría imaginaria, y que actualmente llamamos Geometría hiperbólica o de Lobachevski
  • 68. El razonamiento de LobachevskiEl razonamiento de Lobachevski  ππ(a) el ángulo del paralelismo(a) el ángulo del paralelismo  La suma de los tres ángulos internos deLa suma de los tres ángulos internos de un triángulo es menor que dos rectosun triángulo es menor que dos rectos  Si 2R-(Si 2R-(αα++ββ++γγ)=)= δδ es la diferenciaes la diferencia angularangular  El área del triángulo vale A = kEl área del triángulo vale A = k22 δδ
  • 69. Algunas consecuenciasAlgunas consecuencias  Se A tiende a 0,Se A tiende a 0, δδ tiende a cero y la suma de lostiende a cero y la suma de los tres ángulos internos de un triángulo vale 2Rtres ángulos internos de un triángulo vale 2R  La geometria euclidea es el límite de laLa geometria euclidea es el límite de la geometría hiperbolica al tender A a cerogeometría hiperbolica al tender A a cero  En general , AEn general , A≤≤ kk22 ππ (si(si δδ== ππ entonces la sumaentonces la suma de los ángulos vale cero)de los ángulos vale cero)  La geom. Euclidea vale para la escalaLa geom. Euclidea vale para la escala terrestreterrestre
  • 70. Teoría de las paralelas, 1840
  • 71. La geometría esféricaLa geometría esférica
  • 72. B. Riemann(B. Riemann(1826-18661826-1866)) A propuesta de Gauss, la disertación de Riemann versó sobre la hipótesis de la Geometría En 1867, se publicó la disertacioón que había pronunciado años atrás en la Universidad de Göttingen , y en la que sugería la idea de un tipo más importante de geometría no euclidiana, distinguiendo entre espacio ilimitado y espacio infinito.
  • 73. Riemann proponía una geometría en superficies de curvatura positiva constante, justo lo opuesto a la geometría de Lobachevski-Bolyai, superficies de curvatura negativa constante. Además, Riemann sugirió una geometría en superficies de curvatura variable, en la que el movimiento de una figura cambiaría su tamaño y sus propiedades
  • 74. La suma de los ángulos interiores de un triángulo mide más de 180º, y, entre dos triángulos, el que tiene mayor suma angular, tiene la mayor área. Este último resultado difiere sustancialmente del análogo en la geometría hiperbólica, donde se cumple exactamente lo contrario
  • 75. Superficies de curvatura constanteSuperficies de curvatura constante Valor de laValor de la curvaturacurvatura Tipo deTipo de superficiesuperficie Carácter específicoCarácter específico K=0K=0 PlanoPlano A+B+C=180ºA+B+C=180º K> 0K> 0 EsferaEsfera A+B+C >180ºA+B+C >180º K <0K <0 PseudoesferaPseudoesfera A+B+C < 180ºA+B+C < 180º
  • 76. Para el estudio de estas geometrías Riemann introdujo el formalismo del tensor de curvatura y demostró que la geometría euclídea, la geometría hiperbólica y la geometría elíptica son casos particulares de geometrías riemanninanas, caracterizada por valores constantes del tensor de curvatura.
  • 77. En relación al propósito de la geometría riemanniana, más allá de lo que podría interpretarse como mera especulación de los matemáticos, nos podemos preguntar si la geometría de Riemann ¿ tiene algún modelo donde ella pueda validarse, o un mundo que pueda visualizarse con esta geometría ?
  • 78. Supercies y curvatura GaussianaSupercies y curvatura Gaussiana K < 0K < 0 K=0K=0 K >0K >0
  • 81. Lobachevski primera mitad s. XIX Geometrías No-euclideanas
  • 82. Lobachevski, Bolyai, Gauss, … habían ideado una nueva geometría pero surgía una gran pregunta: ¿ había algún modelo real capaz de explicar dicha teoría?
  • 84. La pseudoesfera de Beltrami,1868La pseudoesfera de Beltrami,1868 Una pseudoesfera es la superficie de revolución que se obtiene girando una tractriz alrededor de su asíntota. Es una superficie con curvatura de Gauss constante negativa, lo que implica que cada uno de sus puntos es un punto de silla pseudoesfera
  • 86. Modelo de Beltrami paraModelo de Beltrami para la geometría hiperbólicala geometría hiperbólica La pseudoesferaLa pseudoesfera
  • 87. El modelo de F.KleinEl modelo de F.Klein ((1849-19251849-1925))  Sustituye el V postuldo por el siguente:Sustituye el V postuldo por el siguente: ““Por un punto P fuera de una recta pasanPor un punto P fuera de una recta pasan al menos dos rectas paralelas a la rectaal menos dos rectas paralelas a la recta dada”dada” A B P
  • 88. Modelo hiperbólico deModelo hiperbólico de H. PoincaréH. Poincaré ((1854-19121854-1912))
  • 89. Modelo Hiperbólico de PoincaréModelo Hiperbólico de Poincaré  Los puntos interioresLos puntos interiores al círculo son puntosal círculo son puntos del plano hiperbólicodel plano hiperbólico  Las rectas de éstaLas rectas de ésta geometría son arcosgeometría son arcos de circunferenciade circunferencia perpendiculares a laperpendiculares a la originaloriginal
  • 91. Rectas en el plano hiperbólico
  • 92. Rectas paralela a la recta AB y que pasan por el punto C
  • 94. El pintor M.C. Escher (1898-1972)El pintor M.C. Escher (1898-1972) Su obra es una bitácora de un viaje que seSu obra es una bitácora de un viaje que se extiende por tres campos que implican tresextiende por tres campos que implican tres temas matemáticos:temas matemáticos: 1) La estructura el espacio1) La estructura el espacio 2) La estructura de las superficies2) La estructura de las superficies 3) La proyección del espacio tridimensional en3) La proyección del espacio tridimensional en el planoel plano
  • 96. Consistencia, fundamentación yConsistencia, fundamentación y rupturaruptura  PeanoPeano Pasch HilbertPasch Hilbert Poincaré
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  • 98. Geometría del UniversoGeometría del Universo  El estudio de los últimos datos aportados porEl estudio de los últimos datos aportados por los nuevos ingenios astronómicos han llevado alos nuevos ingenios astronómicos han llevado a los científicos a unas conclusioneslos científicos a unas conclusiones sorprendentes: En el Universo hay muchasorprendentes: En el Universo hay mucha masa , la constante cosmológica es cero, pormasa , la constante cosmológica es cero, por tanto el modelo cosmológico del Universo es eltanto el modelo cosmológico del Universo es el la Geometría Euclideala Geometría Euclidea ¿ El Universo es Plano ?¿ El Universo es Plano ?
  • 99. Modelo del UniversoModelo del Universo  Hasta ahora se pensaba que elHasta ahora se pensaba que el modelo seguido por nuestro Universomodelo seguido por nuestro Universo era el correspondiente a unaera el correspondiente a una Geometría EsféricaGeometría Esférica, en la que se, en la que se expandiríaexpandiría hasta un determinadohasta un determinado límite y después selímite y después se comprimiría.comprimiría.
  • 100. Gracias por vuestra atención