Guía acadèmica matemàtica i manuel buenaño

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL

SISTEMA DE EDUCACION A DISTANCIA

ING. MANUEL BUENAÑO MBA.

GUIA ACADEMICA DE APRENDIZAJE PARA EL
MODULO DE

MATEMATICA 1
CARRERA INGENIERIA DE EMPRESAS Y RECURSOS HUMANOS

Publicaciones de la Universidad Tecnológica Equinoccial
Sept 2012 –feb 2013
QUITO- ECUADOR

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1. BIENVENIDA
Quienes formamos parte de la Universidad Tecnológica Equinoccial,
y en especial la carrera de Administración de Empresas y Recursos Humanos
de la Modalidad de Educación a Distancia
queremos darle una cordial bienvenida y felicitarle por
el avance de sus estudios en esta modalidad,
en la cual me será muy grato
apoyarle en calidad de TUTOR,
en la materia de MATEMATICAS 1.

Anhelo brindarle asesoramiento grupal e
individual, trabajo conjunto en el cual
aspiro que Ud. exponga sus inquietudes,
podamos intercambiar ideas,
reflexionar, comparar y construir una respuesta
que le permita poner en juego su creatividad, imaginación,
habilidades y destrezas y así,
desarrollar un método de aprendizaje que
facilite el cumplimiento de nuestros objetivos.

2. PRESENTACION DEL TUTOR
.
PERMITAME PRESENTARME, soy Manuel Buenaño, su TUTOR,
Una breve reseña de mi actividad docente y profesional es la siguiente:

EXPERIENCIA DOCENTE:

28 años como Profesor en las modalidades Presencial y Educación a Distancia Además
Director de Tesis y Miembro de Tribunales de Grado, en:
* Escuela Politécnica del Ejército, Facultades de Ingeniería Comercial y Administración de
Empresas,.
* Universidad Central del Ecuador, Facultad de Ciencias Administrativas.
* Universidad Tecnológica Equinoccial –UTE, Escuela de Contabilidad y Auditoría,
Y Carrera de Turismo y Preservación Ambiental, Hotelería y Gastronomía..

EXPERIENCIA PROFESIONAL:

Consultor en Empresas Públicas y Privadas.
Auditor Técnico de la Contraloría General Del Estado en el Municipio de Quito.
Director de Planificación en INAMHI y Ministerio de Trabajo y Empleo,
Asesor de La Dirección General del IESS;
Director de Recursos Humanos en la DINSE.

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Puede contactarse conmigo a través del celular 093 321 607, y al correo electrónico
mbuenanio@ute.edu.ec.

El HORARIO DE ATENCION ES: LUNES DE 17HOO A 18H00 Y LOS SABADOS DE
7H00 A 9H00. LE AGRADECERE CUMPLIR CON ESTE HORARIO.

3. INTRODUCCIÓN

La Asignatura desarrolla las técnicas matemáticas, que le sean útiles al futuro
profesional formado en el sector de las empresas y los recursos humanos, para la
toma de decisiones relativas a la optimización de recursos escasos, en el marco de
la búsqueda permanente de las mejores alternativas en los diferentes problemas
matemáticos empresariales, coordinando a futuro con los conocimientos específicos
de otras ciencias como: estadística, administración, finanzas, talento humano,
mercadeo, etc; lo cual le permitirá tener éxitos en el manejo gerencial de los
negocios, en un marco de principios técnicos y éticos,

La materia tiene por objetivo desarrollar la capacidad del estudiante para analizar,
comparar y resolver problemas matemáticos, utilizando técnicas y procedimientos de
resolución sobre la base de conocimientos sólidos, en un marco de lógica, sentido
común y razonamiento práctico.

La METODOLOGIA a aplicar se fundamenta en el APRENDER HACIENDO, para lo
cual el estudiante debe establecer una autodisciplina de estudio y desarrollar la lectura
comprensiva.

Por su parte la UTE, que mantiene un programa académico en constante evolución y
actualización a las necesidades modernas de la profesión, a implementado esta
asignatura enfocada en forma práctica, por ello la Matemática que se imparte es de
aplicación directa en la gestión gerencial. Se refuerza la enseñanza con materiales
documentales y audiovisuales, junto con las tutorías virtuales mediante
videoconferencias.

PRODUCTOS ESPERADOS.-
Reforzar los conocimientos matemáticos adquiridos por el alumno en el bachillerato e
incorporar nuevas tendencias pedagógicas: aprendizaje activo, participativo y colaborativo,
uso del software matemático, el trabajo en equipo y el manejo de técnicas profesionales.

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De modo que al concluir el nivel, el alumno esté capacitado para:

1. Desarrollar el Pensamiento analítico para Identificar y analizar los factores que
intervienen en los problemas empresariales, y poder aplicar conceptos y técnicas
matemáticas al mundo de los negocios.

2. Determinar y aplicar los marcos conceptuales relevantes y técnicas adecuadas para
abordar problemas en el marco de la gestión empresarial mediante conocimientos de
matemáticas unidos al de otras ciencias.

3. Desarrollar habilidades de pensamiento global crítico y sano juicio empresarial,
logradas al experimentar un autoaprendizaje orientado y sostenido.

4. CONTENIDO DE LA ASIGNATURA
UNIDAD FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA 1. Los números reales
Nº 1 (CAPITULO 0 DEL TEXTO) 2. Exponentes y radicales
3. Operaciones con expresiones
algebraicas
4. Factorización y fracciones
5. Ecuaciones lineales
6. Ecuaciones cuadráticas
Para entender la aplicación de las matemáticas a los negocios y a las ciencias sociales es
vital saber Algebra, cuyo contenido que corresponde a simplificación de expresiones
algebraicas, fracciones, monomios, polinomios, etc. es parte del conocimiento fundamental
de la materia.
Empiece por los objetivos y trate de comprender el por qué el conocimiento del álgebra
básica es importante para los administradores, revise con detenimiento el estudio
relacionado con el campo de los números reales (recuerde que no necesita memorizar),
luego prosiga con el brevísimo repaso de Aritmética (recuerde que el álgebra se fundamente
en estos conocimientos elementales). Después continúe con los conocimientos básicos del
álgebra. Continúe con el tema de la división, note que se fundamenta en conocimientos de
la escuela ya adquiridos por usted.
Finalmente tratará las expresiones racionales y la teoría de exponentes junto con los
radicales.
UNIDAD DESIGUALDADES LINEALES Y 1. Desigualdades lineales y
Nº 2 VALOR ABSOLUTO aplicaciones
(CAPITULO 1 DEL TEXTO)
2. Valor absoluto y Notación
de sumatoria.

La solución de muchos problemas de aplicación empresarial abarca el tema de la línea
recta, fundamentados en las ecuaciones con una variable, y posteriormente, en base a dichos

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conocimientos es factible resolver las desigualdades Con estas herramientas el futuro
profesional podrá atender positivamente la resolución de situaciones especiales en el
manejo de los recursos empresariales.

FUNCIONES Y GRAFICAS
UNIDAD Nº (CAPITULO 2 DEL TEXTO) 1. Funciones
3 2. Funciones especiales
3. Gráficas

Las funciones le permitirán al profesional, a futuro, resolver temas de ingreso y de
mercado; las funciones definidas por expresiones polinomiales o racionales son de uso
cotidiano en los negocios y, en especial en la matemática aplicada, asì se demuestra la
importancia de estos temas avanzados de matemáticas 1.

UNIDAD
RECTAS, PARABOLAS Y 1. Rectas y aplicaciones de funciones
SISTEMAS DE ECUACIONES lineales
(CAPITULO 3 DEL TEXTO) 2. Funciones cuadráticas
Nº 4 3. Sistemas de ecuaciones lineales

UNIDAD
No. 5 FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARITMICAS
- Funciones exponenciales, y
(CAPITULO 4 DEL TEXTO) logarítmicas

- Ecuaciones logarítmicas
y exponenciales.

Este tipo de funciones juegan un papel clave en Administración, Economía y Ciencias
Sociales, ya que se usan para estudiar el crecimiento del dinero y de las organizaciones,
curvas de aprendizaje, crecimiento poblacional, etc. Lo cual permite que el futuro
profesional vaya ingresando a un mundo diferente del conocimiento apoyado en los
números.

4. BIBLIOGRAFIA

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TEXTO GUIA: HAEUSSLER,JR. Ernest, RICHARD Paul y RICHARD Wood,
Matemáticas para Administración y Economía, décimo segunda edición, Editorial
PEARSON – PRENTICE HALL. 2008.

Es altamente recomendable que el estudiante tenga el texto, ya que el proceso de
enseñanza lo requiere.

Adicionalmente en este archivo de la GUIA ACADEMICA, que consta en la
plataforma WEB de la UTE, se han incluido resúmenes de la teoría, pastillas
prácticas (orientaciones especificas de uso práctico) y ejercicios tipo resueltos
acompañados de explicaciones didácticas. Pero en ningún caso estos apuntes
reemplazan al material del texto guía.

5. LO QUE EL ESTUDIANTE DEBE SABER SOBRE LA
EDUCACION A DISTANCIA
Es una modalidad educativa que mediante diferentes métodos, técnicas, estrategias y
medios, en una situación en que tutores y estudiantes se encuentran separados
físicamente y solo se relacionan de manera presencial ocasionalmente. Por tanto la
posibilidad de enseñanza SE BASA EN LA COMUNICACIÓN NO PRESENCIAL.

Estudiar a distancia supone autodidaxia., es decir el estudio por uno mismo, el estudio
independiente, sin asistir a clases presénciales. Así, la mayor responsabilidad del
aprendizaje recae en el estudiante, quien debe organizarse adecuadamente para cumplir
con éxito su objetivo.

EL SISTEMA PEDAGÓGICO de la Universidad Tecnológica Equinoccial se ajusta a las
modernas técnicas de enseñanza a distancia, haciendo que sus educandos a
distancia disfruten del aprendizaje de las diversas materias de la carrera
seleccionada, garantizando el éxito para aquellos estudiantes que estén dispuestos

a mantener un proceso eficiente de auto educación, con disciplina, autodominio de
estudio y organización de actividades.

CÓMO ESTUDIAR A DISTANCIA?

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SI USTED DESEA TENER ÉXITO EN SU ESTUDIO, ES IMPORTANTE QUE,
DURANTE EL DESARROLLO DE LAS GUÍAS Y EXÁMENES DEL TRIMESTRE, TOME
EN CONSIDERACION LAS SIGUIENTES INSTRUCCIONES:

 Nuestro mayor interés es, que usted desarrolle una
LECTURA COMPRENSIVA, sin olvidar que, el avance en
dicha lectura se consigue reflexionando sobre el
contenido conceptual y de cada ejemplo,
comprendiendo el por qué, razonando los cálculos y
analizando los resultados.

Para tener éxito en su lectura siga las siguientes pautas:

 No inicie la lectura señalada sin saber cuáles son las actividades que se le
proponen en relación con ésta.

 Revise brevemente los temas propuestos en el capítulo para que se entere
de qué se trata su estudio.

 Lea con detenimiento marcando el texto y registrando las dudas o las
reflexiones que le vayan surgiendo. Le serán útiles en la instancia tutorial
donde podrá aclarar los puntos confusos.

 En ningún momento intente aprender de memoria conceptos o definiciones;
por el contrario haga lo posible por comprender el significado.
Elabore cuadros sinópticos o esquemas que orienten su aprendizaje
sobre los temas y contenidos,
los mismos que a futuro le servirán como material
de consulta rápida.

 El avance en el conocimiento tiene necesariamente
que ser gradual y disciplinado para lograr el éxito
deseado. Trate de evitar cualquier retraso, por
causas justificadas o no, ya que ello ocasionará un
aprovechamiento insuficiente de la materia y
posiblemente un cambio en sus planes de estudio.

 Como alumno, usted deberá cumplir con las disposiciones reglamentarias
establecidas por la modalidad. No olvide que, desde las más sencillas hasta
las más complejas, han sido diseñadas para favorecer su proceso de
aprendizaje.


Asista a las instancias tutoriales, en la medida de sus posibilidades ya que
NO ES OBLIGATORIO, con todas sus dudas y reflexiones anotadas.

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COMO UTILIZAR EL TEXTO GUIA (UNIDAD DIDACTICA DE

ESTUDIOS) ?
 El estudiante tiene que fundamentar su estudio en su TEXTO GUIA, para lo
cual seguirà la programación sesión por sesión establecida en el archivo del
SILABO de la materia.

 Si alguna parte de su estudio no está claro, trate de resolver sus dudas por
usted mismo mediante una lectura más detenida, comparando contenidos y
ejemplos.

 Con los conocimientos adquiridos, Ud. estimado estudiante estará en
condiciones de resolver las actividades solicitadas en cada una de sus
Unidades de Aprendizaje y cada mes en la GUÍA que se le entrega el
momento de la matrícula.

QUÉ ES LA GUIA ACADEMICA DE APRENDIZAJE?

 LA GUÍA ha sido diseñada estrictamente
con apego al perfil del profesional en
Administraciòn de Empresas y Recursos
Humanos. Se divide en dos unidades de
estudio elaboradas para desarrollarlas una en
cada BIMESTRE. Cada UNIDAD contiene:

1) Asesorías Didácticas, que son
orientaciones pedagógicas para guiar el
estudio del alumno, y

2) Las respectivas Actividades de Aprendizaje, que se deberán desarrollar al
finalizar la lectura señalada (de preferencia en cada semana para
mantener un estudio permanente y ordenado). Las actividades de
aprendizaje le permiten poner en práctica los conocimientos obtenidos con
la lectura comprensiva del material sugerido en cada unidad. Contiene

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preguntas de reflexión, ejercicios de análisis, síntesis y de aporte personal
asi como la aplicación práctica.

 Si no puede resolver una actividad, revise los conceptos teóricos en que se
fundamenta el tema tratado, procurando realizar un meticuloso análisis y
sistemático razonamiento; es conveniente que intercambie criterios con
algunos compañeros de estudio para aclarar sus dudas. Finalmente, usted
puede consultar con su Tutor.

 El estudiante deberá entregar este material debidamente resuelto, para que
sea evaluado por su Tutor en la Universidad Tecnológica Equinoccial, en la
fecha y de conformidad al horario señalado en el cronograma de actividades
estudiantiles que se le entrega el momento de la matrícula.

PARA RECORDAR:

AREA: CIENCIAS EXACTAS
PERIODO: septiembre 2012 a febrero 2013
ASIGNATURA: MATEMATICAS 1
TUTOR Ing. Manuel Buenaño MBA.

 la aprobación de la asignatura, representa cuatro (4) créditos en su carrera.

Ud. debe programar su estudio de la materia en forma rigurosa..
Permítame sugerirle invertir su tiempo con meticuloso orden y obteniendo el máximo
provecho posible, para lo cual debe señalar un horario conveniente y permanente..
El silabo le ayuda en ese sentido ya que tiene ordenado el estudio en cada sesión y
sujeto a un cronograma.

Finalmente, es oportuno mencionarle que para estudiar a distancia es muy
importante, además de generar hábitos de estudio, adquirir un gran sentido de
responsabilidad, mantener orden y disciplina férrea.

 RECUERDE QUE LA TAREA DE SU TUTOR, EN LA TUTORÍA INDIVIDUAL O GRUPAL DE CADA
SEMANA, ES FACILITARLE EL CAMINO......SOLVENTANDO DUDAS SOBRE parte o todo DE
UN TEMA ESTUDIADO POR USTED

PUEDE TRABAJAR CON SUS COMPAÑEROS?

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Si tiene la oportunidad de reunirse con otros compañeros para estudiar, le
recomendamos que no deje de aprovecharla. Confrontar nuestros puntos de
vista con los de otro siempre resulta positivo en el proceso de aprendizaje.
Así, podemos escuchar, argumentar y muchas veces modificar nuestras
opiniones iniciales.

 Aprenda a “trabajar en grupos o equipos”, sin que esto signifique dedicarse
solamente a copiar trabajos.

Recuerde que las guías entregadas por usted y que sean consideradas
como copias (por ser iguales o muy similares a las guías de otros
alumnos) serán sancionadas con la calificación de CERO puntos. Por
tanto, la resolución de las Actividades de Aprendizaje deberá mantener
su propia “identidad” en la presentación, contenidos, desarrollo paso a
paso de ejercicios, interpretación de resultados, etc.

QUÉ ASPECTOS DEBE OBSERVAR PARA LA ELABORACIÓN DE LAS
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE?

 Usted puede presentar sus guías realizadas a letra manuscrita (o sea
manualmente) con esferográfica o tinta, o computadora, pero nunca a
lápiz.
 La resolución de ejercicios o problemas numéricos que se incluyan en la guía,
que usted envía para la evaluación correspondiente, deberá contener TODO
EL PROCESO DE CALCULO

QUE HACER PARA PRESENTARSE AL EXAMEN PRESENCIAL?

 Haber realizado sus trabajos con responsabilidad.

 Estar seguro de haber asimilado los conocimientos
teóricos y prácticos.

 Revisar las guías, chequear su solución correcta.

Presentarse al examen en la fecha prevista en el calendario, portando su documento
personal de identificación (cédula o carné), hoja de papel ministro. Concurrir con
anticipación de por lo menos quince minutos para ubicar con tranquilidad el aula
asignada.

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Portar consigo el material necesario para consulta en el examen, incluida una
calculadora.

 Recuerde que, el examen presencial es con Libro abierto y con consulta al
material didáctico. Por tanto no es necesario que Ud. memorice conceptos sino
que esté en capacidad de aplicarlos.

QUÉ COMPROMISO ADQUIERE COMO ESTUDIANTE A DISTANCIA?

Ponga en práctica su propio CODIGO DE HONOR, que
considera:

La disciplina en el aprendizaje y la presentación
oportuna de trabajos y exámenes.

La legalidad en el cumplimiento de su tarea.
La fidelidad a principios morales y éticos.

El fiel cumplimiento de los reglamentos y
disposiciones establecidos por la modalidad y la Institución Educativa.

6. CALENDARIO DE TUTORIAS

CUÁNDO SOLICITAR LAS TUTORIAS?

 Al estudiar, haga todo lo posible por entender la teoría y siempre revise con
gran detenimiento los problemas resueltos de ilustración que trae el Texto
Guía, procurando entender el por qué de los aspectos utilizados, el cómo de
su uso, el por qué de la secuencia metodológica, etc.

 Procure discutir los temas claves o de duda razonable con otros
compañeros de asignatura. Si después de ello aún tiene dudas, solicite
ayuda, telefónica o presencial, a su TUTOR.

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CALENDARIO DE TUTORÍAS
Asignatura: MATEMATICAS 1 Carrera: ADMINISTRACION DE. EMPRESAS Y R.H.
Docente tutor: ING. MANUEL BUENAÑO TELF. 093 321 607
TUTORIA ENERO y FEB
SEPT 2012 OCT NOV DIC 2012
2013
POR CORREO 15 22 29 6 13 20 3 10 17 24 1 8 15 22 29 5 12 19 y
SABADOS DE Y 26en
7H15 A 8H00 27
POR VIDEO 2 9
CONFERENCIA feb feb
SABADOS DE 8H15
A 9H00, CADA 15
DIAS

TUTORIA
INDIVIDUAL
PRESENCIAL
LUNES DE 17H15
A 18H00

IMPORTANTE: CADA ESTUDIANTE TIENE LA OBLIGACION DE RESPETAR EL PRESENTE HORARIO DE
TUTORIAS, LO CUAL FACILITARÀ LA APROPIADA ORGANIZACIÓN DE LA ASESORIA QUE EL TUTOR BRINDA A
TODOS LOS ESTUDIANTES DEL CURSO.

AHORA SÍ, EN LA PROYECCIÓN DE NUESTROS MUTUOS

IDEALES DE EXCELENCIA, LO INVITAMOS A INICIAR EL
ESTUDIO DE MATEMATICAS 1 A DISTANCIA

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7. ORIENTACIONES PEDAGOGICAS PARA DESARROLLAR LA
GUIA ACADEMICA DE APRENDIZAJE

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA

EDUCATIVO
Evidenciar el dominio científico-técnico de la materia en el contexto de las
actividades socio-económicas que desarrolla la empresa, con solvencia para
identificar y proponer alternativas de solución a problemas relacionados con el
ejercicio de su función, con criterio profesional, manifestando ética y demostrando
capacidad comunicativa y liderazgo.

INSTRUCTIVO
Manejar adecuadamente los diferentes conceptos y técnicas fundamentales de
Matemáticas 1. Conocer el procedimiento de análisis y resolución de aquellos
procesos técnicos vinculados con las diversas aplicaciones de la matemática,
para garantizar el uso correcto de esta herramienta en el proceso administrativo y
la toma de decisiones internas y externas, en el marco del desarrollo de su
profesión.

DE MANERA ESPECÌFICA el estudiante, al terminar el estudio de la presente
guía estará capacitado para:

Fortalecer los conocimientos adquiridos en el bachillerato, en el campo de
las matemáticas.
Comprender el papel que desempeña la información generada por la
Matemática 1, con la finalidad que en una empresa la toma de decisiones
sea competitiva dentro de la globalización.
Identificar con eficiencia el tipo de función, y su procedimiento de
resolución.
Resolver con solvencia ejercicios, mediante anàlisis numérico o gráfico.
Desarrollar habilidades y destrezas para solucionar problemas
empresariales que requieren conocimientos matemáticos.

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Indicaciones generales sobre este material de estudio.-

En este archivo de la GUIA ACADEMICA, que también consta en la plataforma
WEB de la UTE, se han incluido resúmenes DE ALGUNOS TEMAS QUE
FORMAN PARTE DE TODO EL MATERIAL DE ESTUDIO QUE CONSTA EN EL
TEXTO GUIA.
Este material sintetizado, NO REEMPLAZA AL TEXTO GUIA, pero reúne un
conjunto de “ pastillas prácticas” (orientaciones especificas de uso práctico) y
ejercicios tipo resueltos acompañados de explicaciones didácticas, que le serán de
gran utilidad al estudiante.

ASESORÍA DIDÀCTICA No. 1
La asesoría didáctica constituye las orientaciones que el estudiante debe
considerar para estudiar el TEXTO GUIA.

Un estudio serio demanda de usted una o dos horas diarias, una lectura
comprensiva de los contenidos ayudará de una manera positiva a entender mejor
lo que está estudiando. Recuerde que “la constancia vence lo que el tiempo no
alcanza”.

Inicie su lectura comprensiva y reflexiva del capítulo cero en la página 1 del
Texto, de la lectura de este capítulo dependerá que Usted aprecie el verdadero
aporte del algebra en la resolución de problemas matemáticos, con lo cual
ampliará sus conocimientos y campo de acción. Lea con detenimiento, procure
elaborar un resumen de lo más importante, mediante esquemas o si lo prefiere
una síntesis muy concreta de los aspectos más fundamentales como conceptos,
reglas básicas y pasos para resolver ejercicios.

En este capítulo se tratan los temas de números reales, ecuaciones de grado 1,
polinomios, factorización, expresiones racionales, exponentes y radicales. EN
CONCLUSIÓN DEBE ESTUDIAR DESDE LA PÁGINA 1 HASTA LA PÁGINA 45.

VEAMOS UN PEQUEÑO RESUMEN DE LA TEORIA DE RADICALES.- este es
un material de refuerzo para el capitulo cero del texto guía.

Recuerde que, la radicación es la operación inversa de la
potenciación. ESTO SIGNIFICA QUE UN EJERCICIO DE RADICACION SE
PUEDE RESOLVER COMO POTENCIACION Y VICEVERSA.

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Revise la siguiente información, que se ha tomado de la guía de estudios del
profesor Fernando Osorio, prestigioso colega de la materia de Matemáticas.

“Llamamos raíz enésima de un número dado a al número b que elevado a la n
nos da …..

Potencias de exponente fraccionario.

Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical.

4.1 Operaciones. Producto de radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los
n
radicandos. an b n
a .b

División de radicales del mismo índice:

Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los
radicandos.

n
a a
n
n
b b

Potencia de radical

Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia,
manteniendo el índice.

x
n n x
a a

Radical de radical

Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos.

m n mn
a a

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4.2 Extracción de factores.
Para extraer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se
saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al
resto.

4 2 2
x x

4.3 Suma y resta de radicales.
Para sumar (restar) radicales es necesario que tengan el mismo índice y el mismo
radicando, cuando esto ocurre se suman (restan) los coeficientes y se deja el
radical.

cn a dn a (c d )n a
cn a dn a (c d )n a

4.4 Producto de radicales de distinto índice.
Para multiplicar radicales de distinto índice, primero se reducen a índice común y
luego se multiplican los radicandos.

n = m.c.m (n1,n2)

4.5 Cociente de radicales de distinto índice
Para dividir radicales de distinto índice, primero se reduce a índice común y luego
se dividen los radicandos.

n = m.c.m (n1,n2)

4.6 Racionalización

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Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra
expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se
multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma
que al operar desaparezca la raíz del denominador.

Ejemplo.
Racionalizar la expresión.

5x
3x 2 x

5x 3x 2 x 5x 3x 2 x
3x 2 x 3x 2 x 3x 4x

5 3x 2 x

PASTILLAS PRACTICAS.-
Las Pastillas Prácticas son consejos didácticos de aplicación práctica, QUE LE
DA SU TUTOR PARA APOYAR SU ESTUDIO.

Cuando usted vaya adquiriendo capacidad de análisis y de interpretación, estará
en capacidad de sintetizar algunas “pastillas prácticas”, obtenidas del estudio de
los temas que le he mencionado.

Diferencie entre variable y constante: la primera toma varios valores, la
segunda un solo valor.
Usualmente las variables se representan con las últimas letras del alfabeto,
esto es x, y, z; en cambio las constantes se simbolizan con las letras iniciales
a, b, c.

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En una expresión algebraica los términos están separados por el signo más o
el signo menos.
Un término tiene cuatro elementos: signo, número o coeficiente, letra y
exponente.
Toda expresión incluida en un radical puede convertirse en potencia, para lo
cual la expresión incluida en el radical se escribirá elevada al exponente ½.
Si bien existen 3 signos de agrupación , paréntesis, corchete y llaves, en la
práctica se acostumbra a usar sólo el paréntesis. Se controlará que la misma
cantidad de paréntesis que se abran, se deberán cerrar.
La división se puede resolver como multiplicación, así: 3 / b2 equivale la
siguiente expresión 3 . b –2
Antes de dividir 2 polinomios controle que el polinomio del dividendo
(numerador) sea de mayor o igual grado que el polinomio del divisor
(denominador). Si esto no se cumple, usted no puede realizar la división. Este
criterio lo reforzaremos en un próximo capítulo.
En la resolución de fracciones algebraicas incluidas como una división,
siempre cuide que la recta de operación principal (la raya que delimita que es
el numerador y cual es el denominador) coincida con el signo igual. Esto le
evitará confusiones operativas.
Recuerde que el producto de extremos se escribe en el numerador, y el
producto de medios en el denominador.

Siga con el mismo interés,
el éxito será su recompensa

EJERCICIOS DEMOSTRATIVOS de otros temas del capítulo cero
del texto guía.

Son ejercicios resueltos, desarrollados por su Tutor, que le permitirán comprender mejor la
teoría del texto guía.

A. Simplificar por medio de la suma

(5x + 6x - 6) – ( -x –x +4)

El signo menos antes del paréntesis, hace que cambien los signos de los términos
contenidos en dicho paréntesis
11x - 6 + x + x - 4
13x – 10

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( x -7x -1) + ( -7x -4x +6)

El signo más antes del paréntesis, hace que se mantengan los signos de los
términos contenidos en dicho paréntesis

- 6x -1 -11x + 6
-17x + 5

(9x -9x +3) – (-5x(-2) +7x -1)

Primero se resuelve las operaciones dentro del paréntesis
3 – ( +10x + 7x – 1)
3 – 10x - 7x + 1
-17x +4

B. Indicar la operación que debe realizar en cada situación.

Pepe tiene una tarjeta de crédito con saldo a favor de $299. pagó con la tarjeta
$ 269, luego $103 y posteriormente $76. Como había gastado mucho,
depositó $130. ¿Qué saldo tiene ahora?

Nótese que los pagos son gastos que se pueden sumar
299 – (269 +103 +76) +130
299 – 348 +130
-48 +130 = $82

C. Indique si es verdadero o falso.

7/6 es un número racional ( verdadero )

4/2 no es un entero positivo ( verdadero )

Todo entero es positivo e negativo ( verdadero )

D. Simplifica cada expresión

( ½ + x )²
(1/2 + X) (1/2 +X)
¼ + ½ x + ½ x +x ²
X²+x+¼
Si deseamos obtener el valor de la variable X , igualamos a cero

X ² + x + 1/4 = 0

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(x + 1/2) (x + ½)
Cada uno se iguala a cero y se obtienen los dos resultados similares que
equivalen a un solo resultado.

X+½=0 entonces X = - 1/2

((2 – y )²)²
((2 – y ) (2 – y))²
(4 – 2y – 2y + y²))²
(4 – 4y + y²))²
(4 – 4y + y²) (4 – 4y + y²)
16 – 16y + 4y² -16y +16y² - 4y3 + 4y2 – 4y3 + y4
16 -32y + 24y2 -8y3 +y4

E. Resuelva las siguientes expresiones

( x – 2 )² = 0
(x – 2) (x – 2) =0
X=2; X=2

³
2bx²
3y6

Al resolver el numerador 8 b ³ (x ²)³ el paréntesis significa por
=8b³ X2x3
=8b³ X6

Al resolver el denominador 27 (y6 )³
=27 y6x3
=27 y18

³
2bx²
3y6

= 8b³ X6 / 27 y18

²
4bw ² ³
5yˆ6

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El exponente se puede dividir
(4bw -2)^0.67
2.53 b^0.67 (w-²) ^0.67
= 2.53 b^0.67 w^-1.34

(5y^6 )^0.67
5^0.67 (y^6) ^0.67
= 3.35 y ^4.02

Finalmente: 2.53 b^0.67 w^-1.34 / 3.35 y ^4.02

F. Efectué los siguientes productos

(2x -1) (3x +2) = 0
6x2 + 4x – 3x -2 = 0
6x2 +x -2 =o

(a ³ -8) (a4 +3a ² +4)

a3a4 al tener las mismas bases, se suman los exponentes
a3+4
a7

a7 + 3 a5 + 4a ³ - 8 a4 – 24a ² - 32
(c² -2c -6) (2c + 5)
2c3 + 5c ² - 4c2 -10c – 12c - 30
2c3 + c2 - 22c - 30

Realice las siguientes divisiones.

Dividir el polinomio -2x ² + 3x ³ - 4x - 4 entre el binomio -3 + X

Solución: se escribe en orden descendente

(3x ³ - 2x ² - 4x - 4) / (X -3) o sea

3x ³ -2x ² - 4x - 4
X -3

21

3x ³ - 2x ² - 4x – 4 X-3

-3X3 + 9X2 3X2 + 7X + 17 inicio con 3X3 / X = 3X2
Nótese que al retornar cambia de signo
Es el caso de - 3X3, y de + 9X2
7X2 - 4X - 4
-7X2 + 21X

17X - 4
-17X - 51

- 55

La respuesta es (3X2 + 7X + 17) + (X – 3) / - 55

Dividir el polinomio 5x – 7x ² +12x ³ - 9 entre 3x ² -1 +2x .

(5x – 7x ² +12x ³ - 9) / (3x ² -1 +2x) ordeno descendentemente

12x ³ – 7x ² + 5x – 9 3x ² +2x -1

-12X3 – 8X2 + 4X 4X - 5

-15X2 + 9X – 9
+15X2 +10X - 5

19X – 14 nótese que 19X ya no es divisible para 3X2

La respuesta es (3x ² +2x -1) + (19X – 14) / 4X - 5

G. simplifique las siguientes expresiones.
5
a^5b^7c^9
2b

(a ^5 )^5 (b ^7) ^5 (c ^9) ^5
2 5 b5

= a ^25 b ^35 c ^45
32 b5

22

= a25 b35 b-5 c45 / 32

= a25 b35 - 5 c45 / 32 = a25 b30 c45 / 32

4
- 27 (2 x^8 y ^12 z)²
8 3

- 27 (22 X8(2) Y12(2) Z2
8
34

- (1/ 24) ( 4 X16 Y24 Z2 )

Máximo común divisor MCD

Es el mayor número común entre los números dados y tiene el menor exponente.

Recuerde que, “Factorizar un número natural significa expresarlo como producto
de otros números naturales.
Un número primo es un número natural mayor que 1, cuyos únicos factores son el
1 y él mismo. También podemos decir que un número primo es divisible para si
mismo y para la unidad.

Ejemplo 1.- Encontrar los factores comunes de 50 y 80

50 = 1 * 2 * 5 *5
80 = 1*2 4 *5

El MCD es 5 porque es el mayor número común entre las dos descomposiciones
y tiene el menor exponente.”1

Ejemplo 2.- Encontrar los factores primos de 650, todos sus factores y escribirlo
como producto de potencias de primos.

Solución. 650 = 2 * 5 * 5 *13

Su factorización en producto de potencias de primos es:
650 = 2 * 5 2 * 13

1
Oteyza Lam Hernández Carrillo., Álgebra, México, Pearson Educación, Segunda, Cáp. 3, pág. 58,59, año 2003

23

OTROS EJERCICIOS DEMOSTRATIVOS, pero de un nivel más avanzado.

A) ECUACIONES LINEALES

Las ecuaciones con una incógnita es cuando aparece una sola letra (incógnita,
normalmente la x).

Por ejemplo: x + 1 = x + 4 Se dice que son de primer grado cuando dicha letra
no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).

Ejemplos :

3x + 1 = x - 2 ; 3x = 2x - 9.

Pero si está elevada al exponente 2 es de segundo grado, ejemplo:

x2 + 1 = x + 4

B) METODOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Dado 2x – 10 + 16x = 2 hallar el valor de x

1) ANALITICO.-

2x – 10 + 16x = 2 se acostumbra dejar la incógnita en el lado izquierdo

2x + 16x = 2 + 10
18x = 12 la incógnita X debe quedar sola, el 18 le está multiplicando,
entonces pasa al otro miembro dividiendo a todo lo que esté allí.

X = 12 / 18

2) GRAFICO
Una vez resuelto analíticamente procedo a graficar solo en el eje de las X, es decir en el
eje horizontal.

X = 12 / 18
X = 4 / 6 = 2/3 = 0,66

24

-2 -1 0 1 2
0,66

C) IDENTIDADES O ECUACIONES CON INFINITAS SOLUCIONES

Resolver: 2x-1 = 3x + 3 - x - 4

2x – 3x + x = 3 – 4 +1

0=0

¿qué significa?. La igualdad que has obtenido es cierta pero se ha eliminado la
incógnita x. ¿Cuál es la solución?.

Significa que la igualdad es cierta para cualquier valor de x.

Compruébalo sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.

D) PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Ejercicio.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 10 años más
que el segundo y este 8 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre
que tiene 80 años ¿qué edad tiene cada hermano ?

Solución.- Nótese que la edad del hermano menor determinará la edad de los otros dos
hermanos, por lo tanto:
Hermano menor = X

Luego el segundo hermano tiene 8 años más que el hermano menor
Hermano segundo o intermedio = X + 8

Finalmente el hermano mayor tiene 10 años más que el segundo hermano
Hermano mayor = (X + 8) + 10

Ahora, entre todos tienen la edad del padre:

X + X + 8 + (X + 8) + 10 = 80
3X + 26 = 80
3X = 80 – 26

25

3X = 54
X = 54 / 3 = 18

RESPUESTAS :
HERMANO MENOR X= 18
HERMANO INTERMEDIO x + 8 = 18 + 8 = 26
HERMANO MAYOR (X+8) + 10 = 18+8+10 = 36
SUMA 80

E) EJERCICIOS CON SIGNOS DE AGRUPACION

Resolver 2x -[x -(x -50)] = x - (800 -3x)

Primero se realizan las operaciones más interiores
2x -[x -x +50] = x - 800 +3x
2x -[50] = 4x – 800
2X – 50 = 4X – 800 se ubican las incógnitas en el primer miembro
2X – 4X = -800 + 50
- 2X = - 750 se despeja la X
X = - 750 / - 2 nótese que el signo es del número 2, por lo tanto se va con el.
X = 325

F) GRAFICAR UNA FUNCIÓN LINEAL.

Dado, y – 2x = - 3

Paso 1: Despeje la variable Y de la ecuación original. y = 2x - 3

Paso 2: tabla de valores
Asigne valores a X en la ecuación, para obtener los valores de Y.

X Y
0 -3
1 -1
-1 -5

Pero lo más fácil es dar el valor de cero tanto a X como a Y
X Y
0 -3
1,5 0

26

Al ser la ecuación lineal su gráfico es una recta que solo requiere dos puntos.

Paso 3) Ubique los puntos en el plano cartesiano.

1.4 GLOSARIO.-

Variable durante el ejercicio toma cualquier valor.
constante durante el ejercicio toma un valor fijo.
Polinomio expresión algebraica que tiene signo, número, letra y
exponente
Método de solución técnica para resolver ejercicios o problemas

1.5 AUTOEVALUACION.-

El estudiante deberá realizar la siguiente autoevaluación que le permitirá evaluar su nivel de
avance en los conocimientos adquiridos. Cada pregunta debe ser contestada y su puntaje parcial es
de dos puntos. Si obtiene un mínimo de siete puede proseguir con el siguiente CAPITULO. Caso
contario se aconseja revisar nuevamente este capìtulo.

PREGUNTAS:
1 La variable toma un solo valor? SI NO
2 La constante puede ser una letra? SI NO
3 El cero es un número real? SI NO

27

4 El número 0,233333 es número real? SI NO
5 El dato X-3 es polinomio? SI NO
6 Resuelva 5 ejercicios de diferentes temas de la materia, y califíquese.

A continuación le presento el SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN

TEMA 1

PREGUNTAS RESPUESTA
1 NO
2 SI
3 SI
4 SI
5 SI
6 usted debe calificarse…

Ahora sí usted está listo para realizar su ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
No. 1
LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE CORRESPONDEN A LA TAREA O
TRABAJO, CONTIENEN LOS EJERCICIOS O PROBLEMAS QUE USTED DEBE
RESOLVER.

TODO ESTE MATERIAL RESUELTO DEBE ENVIAR COMO TRABAJO A SU
TUTOR PARA QUE ÈL LE CALIFIQUE.

LA TAREA A DESARROLLAR ES LA SIGUIENTE:
SI EL NUMERO DE LETRAS DE SU PRIMER APELLIDO ES IMPAR, por ejemplo
CHIRIBOGA …tiene 9 letras , es número IMPAR.

ENTONCES DEL CAPITULO CERO, EN TODOS LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS O.1 de la página 3; PROBLEMAS 0.2
de la página 8; PROBLEMAS O.3 de la página 14; así sucesivamente hasta el final del
capítulo).
RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS IMPARES:

INICIE CON EL 1, LUEGO 1 + 8, SIGA AUMENTANDO DE 8 EN 8 UNIDADES. ES
DECIR, RESUELVA LOS EJERCICIOS 1 , 9 , 17, 25 , ETC…

28

SI EL NUMERO DE LETRAS DE SU PRIMER APELLIDO ES PAR, por ejemplo
CARRASCO…. Tiene 8 letras, es número PAR.

ENTONCES DEL CAPITULO CERO EN TODOS LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS O.1 de la página 3; PROBLEMAS 0.2
de la página 8; PROBLEMAS O.3 de la página 14; así sucesivamente hasta el final del
capítulo).
RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS PARES:

DECIR, RESUELVA LOS EJERCICIOS 2,10, 18, 26 , ETC…

EN EL TEXTO GUIA SE ENCUENTRA TODO EL MATERIAL QUE USTED
PRECISA PARA CUMPLIR CON SU OBJETIVO DE APRENDIZAJE.

EL MATERIAL DE APOYO INCLUIDO EN ESTA GUIA ACADEMICA LE SIRVE
DE ORIENTACION Y REFERENCIA PARA SU ESTUDIO, PERO NO
REEMPLAZA AL TEXTO GUIA.

ASESORÍA DIDÁCTICA Nº 2
Luego de haber realizado su primera Actividad de Aprendizaje, continúe con la
lectura del capítulo 1, inicie la misma con la pagina 46, aquí Ud. podrá revisar
DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO.

Lea con detenimiento las paginas siguientes de todo el capitulo, en ellas Ud.
encontrará una detallada explicación de la teoría y de los ejercicios resueltos, es

29

importante que Ud. vaya resaltando las partes más importantes. Fíjese muy bien
en las representaciones gráficas.

Es importante que comprenda y diferencie cada tema y seleccione los ejercicios
TIPO, determine en qué circunstancias procede la aplicación particular de cada
uno de ellos.

Para apoyar su estudio SIEMPRE analice con detenimiento y revisando la
teoría, los ejercicios resueltos del Texto Guía.

ALGUNOS “EJERCICIOS TIPO” DE INECUACIONES Y
DESIGUALDADES

Problema 1

30

Problema 2

Problema 3

31

Problema 4

Problema 5

Problema 6

32

Problema 7

Problema 8

33

Problema 10

Problema 11

35

Problema 13

Problema 14

37

Problema 15

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones lineales:

38

El conjunto solución es el interior del triángulo sombreado, sin incluir ninguno de
los lados. Para aclarar mejor la solución debemos calcular las coordenadas de
los vértices del triángulo, lo cual se consigue resolviendo los tres sistemas:

Problema 16

39

Problema 23

a) b)

Problema 24

47

No. 2
LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE CORRESPONDE A LA TAREA O
RESOLVER.




ENTONCES DEL CAPITULO UNO, EN TODOS LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 1.1 de la página 51; PROBLEMAS 1.2
de la página 58; PROBLEMAS 1.3 de la página 60; así sucesivamente hasta el final del
capítulo).



ENTONCES DEL CAPITULO 1 EN TODOS LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DEL
TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 1.1 de la página 51; PROBLEMAS 1.2 de la
página 58; PROBLEMAS 1.3 de la página 60; así sucesivamente hasta el final del
capítulo).


TODOS PODEMOS APROBAR
UNA MATERIA, SOLO SE
NECESITA CONSTANCIA
50

ASESORÍA DIDÁCTICA Nº 3
Inicie la lectura de este capítulo DOS a partir de la pagina 74. Lea detenidamente
sobre los MÈTODOS APLICABLES para resolver analítica o gráficamente las
funciones de cualquier tipo: cuadráticas, polinomiales, racionales, por partes.

Continuando con la lectura usted deberá poner mucha atención a la graficaciòn,
ya que este es un recurso matemático de enorme utilidad en el mundo de los
negocios, siendo una herramienta que facilita el proceso de toma de decisiones y
el diseño de estrategias de la empresa debido a que ofrece información más
exacta y confiable

Para apoyar su estudio revise con detenimiento los ejercicios RESUELTOS
del Texto Guía.

Le presento un resumen de conocimientos y aplicaciones para resolver y
graficar funciones de diferentes tipo. Este material, unido al del texto, le será
de gran utilidad práctica.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.-

Resolver las siguientes ecuaciones con radicales

Ejercicio 1

2x 1 x 4 3

Solución
Distribuimos los radicales

2x 1 3 x 4

Elevamos al cuadrado para eliminar el radical
2 2
2x 1 3 x 4
2
2x 1 9 6 x 4 x 4

2x 1 9 6 x 4 x 4

2x 1 x 4 9 6 x 4

x 4 6 x 4

51

2 2
x 4 6 x 4
2
x 8x 16 36 x 4
2
x 8x 16 36 x 144
2
x 8x 16 36 x 144 0
2
x 44 x 160 0
x 40 x 4 0

x 40 0

x 40

x 4 0

x 4

Reemplazamos los valores encontrados en la ecuación original

Para x=40

2 40 1 40 4 3

81 36 3

9 6 3

15 3 No comprueba el valor x = 40

Para x=4

2 4 1 4 4 3

9 0 3

3 0 3

3 3 Comprueba el valor x = 4
Respuesta x=3

52

Ejercicio 2

2x 2 2
2
2x 5 1

Solución
Simplificamos la ecuación y distribuimos los radicales

2x 2 2 2( 2 x 5 1)

2x 2 2 2x 5 2 2

2x 2 2 2x 5

2 2
2x 2 2 2x 5

2x 2 4 2x 5

2x 2 8x 20

6x 18

x 3

D) Resolver algebraicamente los siguientes SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRATICAS

Ejercicio 3

a) 2 x
2 2
5y 27

b) 2 x 5y 3

Solución
Despejamos el valor de x de la ecuación b)
2x 3 57

3 5y
x
2

53

Reemplazamos el valor de x en la ecuación a)
2
3 5y 2
2 5y 27 0
2
2
9 30 y 25 y 2
2 5y 27 0
4

2
25 y 30 y 9 2
5y 27 0
2
2 2
25 y 30 y 9 10 y 54 0
2
15 y 30 y 45 0

Dividimos para 15
2
y 2y 3 0

y 3 y 1 0

y 3 0

y 3

y 1 0

y 1

Reemplazamos los valores encontrados en la ecuación original
Para y=3
2x 5 (3) 3

2x 3 15

2x 12

x 6

Para y=-1
2x 5 ( 1) 3

2x 5 3

2x 8

x 4

54

P1 6 , 3

P2 4, 1

Ejercicio ESPECIAL con incógnitas xy

a) 2 xy 5y 6

b) 3 xy 2x y 2

Solución
Despejamos el valor de y de la ecuación a)
y (2 x 5) 6

6
y
2x 5
Reemplazamos el valor de x en la ecuación b)

6 6
3x 2x 2
2x 5 2x 5

18 x 6
2x 2
2x 5 2x 5

18 x 2 x(2 x 5) 6
2
2x 5
2
18 x 4x 10 x 6 4x 10
2
18 x 4x 10 x 6 4x 10 0
2
4x 12 x 16 0

Dividimos para 4
2
x 3x 4 0
x 4 x 1 0

x 4 0

x 4

x 1 0

55

x 1

Reemplazamos los valores obtenidos de x y encontramos y
6
y
2x 5

Para x=-4
6
y
2( 4) 5

6
y
13

6
y
13

Para x=1
6
y
2 (1) 5

6
y
2 5

6
y
3

y 2

6
P1 4,
13

P2 1, 2

E) Resolver gráficamente los siguientes sistemas

Ejercicio 4
2 2
2x y 11
2 2
9x 4y 27

56

Solución GRAFICA
Asignamos valores para x y obtenemos y para las dos ecuaciones y procedemos a
graficar
x y x y
-2 1,73 -3 5,20
-1 3,00 -2 3,97
0 3,32 -1 3,00
1 3,00 0 2,60
2 1,73 1 3,00
2 3,97
3 5,20

METODO GRAFICO

Y 5

4

P4(-1,3) 3 P1(1,3)

2

1

2x^2 + y^2 =
11
0

-3 -2 -1 0 1 2 3 9x^2 -4y^2=-27

-1

-2

-3

P3(-1,-3) P2(1,-3)
-4

-5

X

Ejercicio 5
2
x
y 0
4

x 2y 2

57

Solución GRAFICA
graficar

x y x y
-6 9,00 -6 4,00
-5 6,25 -5 3,50
-4 4,00 -5 3,50
-3 2,25 -3 2,50
-2 1,00 -2 2,00
-1 0,25 -1 1,50
0 0,00 0 1,00
1 0,25 1 0,50
2 1,00 2 0,00
3 2,25 3 -0,50
4 4,00 4 -1,00
5 6,25 5 -1,50
6 9,00 6 -2,00

METODO GRAFICO

Y 10

9

8

7

6

5

y
4 - x^2/4=0

3

P1(-3.2,-2.6) 2

1
P2(1.2,0.4)
0

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1

-2

X

LAS FUNCIONES POLINOMIALES, son polinomios de grado n.

Si n es 1, entonces son polinomiales lineales.

58

Si n es 2, entonces son polinomiales cuadráticas; y asi el valor de n puede ir creciendo.
En el texto se estudia hasta el grado 4 como valor de n, ver pagina 169.

LAS FUNCIONES RACIONALES, son el cociente de dos polinomios, es decir es una
división de polinomios. En el texto se presentan ejercicios de diferentes combinaciones,
por ejemplo, en el numerador y/ o denominador puede haber polinomio lineal o
cuadrático.

PASTILLAS PRACTICAS (son consejos didácticos, de aplicación práctica)

Para graficar una ecuación lineal con dos variables, lo mejor es obtener los puntos de
corte en los ejes coordenados, para lo cual haga x = 0, obtenga el valor de y;
posteriormente haga y = 0, obtenga el valor de x. De esta manera ha obtenido dos
puntos de corte:
P1 = (0 ; valor de Y) P2 = (valor de X ; 0)
La gráfica corresponderá a una línea recta.

Las escalas en los ejes coordenados X, Y, no necesariamente serán las mismas.

La GRAFICA DE UNA FUNCION, es un tema de gran aplicación en economía y
finanzas, por lo tanto será un gran pilar en su futura profesión. Estudie con gran interés.

Recuerde: para graficar una recta se necesitan dos puntos; para graficar una curva
(parábola) se requieren mínimo tres puntos, lo ideal cinco.

En toda ecuación las incógnitas usualmente son las últimas letras del alfabeto: x,y,z; en
cambio si hay otras letras como a,b,c, estas son constantes, significa que las raíces o
respuestas de la ecuación (valores para x,y,z) pueden obtenerse en términos de dichas
constantes.

Ahora usted está listo para realizar su ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
No. 3

Vamos, siga adelante, la meta
está muy próxima!

59

LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE CORRESPONDE A LAS TAREAS,
CONTIENEN LOS EJERCICIOS O PROBLEMAS QUE USTED DEBE RESOLVER.


LA TAREA A DESARROLLAR ES LA SIGUIENTE


ENTONCES DEL CAPITULO DOS, EN TODOS LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
capítulo).



ENTONCES DEL CAPITULO DOS EN TODOS LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
capítulo).


¿QUÉ DEBE HACER PARA PRESENTARSE AL EXAMEN PRESENCIAL?

Haber realizado sus trabajos con plena conciencia de responsabilidad hacia
usted mismo.

Estar seguro de haber asimilado los conocimientos teóricos y prácticos.

Revisar la guía, chequear los ejercicios TIPO y su solución correcta.

Realizar un resumen o síntesis de cada uno de los temas estudiados , incluyendo
las fórmulas y procedimientos utilizados.

60

Haber realizado o por lo menos revisado los ejercicios resueltos que vienen
en cada capítulo.

Presentarse al examen en la fecha prevista en el calendario, llevar su cédula
o carné para verificar su identificación. Concurrir con una anticipación de
por lo menos quince minutos para ubicar con tranquilidad el aula asignada.

Portar consigo el material necesario para consulta en el examen, incluida una
calculadora.
Asistir con una hoja de papel ministro a cuadros para resolver el examen.
Portar consigo la cédula de ciudadanía y el carné estudiantil.

Y bien ha concluido el estudio del primer hemisemestre de MATEMATICA 1.

61

SEGUNDO HEMISEMESTRE

ASESORIA DIDACTICA No. 4
Continuaremos el estudio de matemática 1 con la revisión de las rectas, parábolas
y sistemas de ecuaciones, Inicie en la pagina 116 del texto guía.

A CONTINUACION SE DESARROLLAN ALGUNOS EJEMPLOS TIPO DE
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, FUNCIONES O ECUACIONES
CUADRATICAS, PRINCIPALMENTE,

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.-

Ejercicio 1
Aplique todos los cinco métodos
a) 8 x 12 y 20

b) 6 x 16 y 10

Método de igualación
Solución
Despejamos x de ecuación a)
8x 12 y 20
8x 20 12 y
20 12 y
x
8

Despejamos x de ecuación b)
6x 16 y 10
6x 10 16 y
10 16 y
x
6
Igualamos los valores obtenidos de x

62

20 12 y 10 16 y
8 6

Resolvemos la ecuación

6 20 12 y 8 10 16 y
120 72 y 80 128 y
120 80 128 y 72 y
40 200 y
40 1
y
200 5
1
y
5
Reemplazamos el valor de y en la ecuación a) para obtener el valor de x
8x 12 y 20
1
8x 12 20
5
5 8x 12 5 20
40 x 12 100
40 x 100 12
40 x 88
88 22 11
x
40 10 5
11
x
5

Método de sustitución

a) 8 x 12 y 20

b) 6 x 16 y 10

Solución
Despejamos x de la ecuación a)
8x 12 y 20
8x 20 12 y
20 12 y
x
8

63

Reemplazamos el valor de x en la ecuación b)
6x 16 y 10

20 12 y
6 16 y 10
8

6 20 12 y 8 (16 y ) 8 10

120 72 y 128 y 80

120 80 72 y 128 y

40 200 y

40
y
200

1
y
5
Reemplazamos el valor de y en la ecuación a) para obtener el valor de x
8x 12 y 20
1
8x 12 20
5
5 8x 12 5 20
40 x 12 100
40 x 100 12
40 x 88
88 22 11
x
40 10 5
11
x
5

Método de reducción o suma y resta

a) 8 x 12 y 20

b) 6 x 16 y 10

Solución

64

Eliminamos la variable x de las dos ecuaciones.
m.c.m de 6 y 8 es 24 ecuación a) multiplicamos por 3 y ecuación b) multiplicamos por 4

*3 8x 12 y 20

3 (8 x ) 3(12 y ) 3( 20 )

24 x 36 y 60

*4 6x 16 y 10

4(6 x ) 4 (16 y ) 4 (10 )

24 x 64 y 40

Restamos las ecuaciones obtenidas
24 x 36 y 60

24 x 64 y 40

100 y 20

20
y
100

1
y
5

Reemplazamos el valor de y en la ecuación a)
8x 12 y 20
1
8x 12 20
5
5 8x 12 5 20
40 x 12 100
40 x 100 12
40 x 88
88 22 11
x
40 10 5
11
x
5

65

Método gráfico

a) 8 x 12 y 20

b) 6 x 16 y 10

Solución
graficar
x y x y
0 1,67 0 -0,63
1 1,00 1 -0,25
2 0,33 2 0,13
3 -0,33 3 0,50
4 -1,00 4 0,88
5 -1,67 5 1,25
6 -2,33 6 1,63
7 -3,00 7 2,00
8 -3,67 8 2,38
9 -4,33 9 2,75
10 -5,00 10 3,13

66

METODO GRAFICO

4
Y

3

2

1 P3(2.2,0.2)

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1 8x + 12y =
20

-2

-3

-4

-5

-6

X

Método de determinantes

a) 8 x 12 y 20

b) 6 x 16 y 10

Solución
20 12
16 16 20 ( 16 ) 10 (12 ) 320 120 440 22 11
x
8 12 8 (16 ) 6 (12 ) 128 72 200 10 5
6 16

67

8 20
6 10 8 (10 ) 6 ( 20 ) 80 120 40 1
y
8 12 8 (16 ) 6 (12 ) 128 72 200 5
6 16

Ejercicio 2
Aplique el método grafico
a) 6 x 14 y 20

b) 8 x 6y 10

Solución
graficar
x y x y
0 1,43 0 -1,67
1 1,00 1 -0,33
2 0,57 2 1,00
3 0,14 3 2,33
4 -0,29 4 3,67
5 -0,71 5 5,00
6 -1,14 6 6,33
7 -1,57 7 7,67
8 -2,00 8 9,00
9 -2,43 9 10,33
10 -2,86 10 11,67

68

METODO GRAFICO

13
Y
12

11

10

9

8

7

6

5 6x + 14y = 20

4 8x - 6y = 10

3

2 P1(1.8, 0.7)
1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1

-2

-3

-4

X

Ejercicio 3
Aplique el método de determinantes
a) 5 x 12 y 40

b) 3 x 16 y 30

40 12
30 16 40 ( 16 ) 30 (12 ) 640 360 1000 500 250
x
5 12 5 ( 16 ) 3 (12 ) 80 36 116 58 29
3 16

5 40
3 30 5 ( 30 ) 3 ( 40 ) 150 120 30 15
y
5 12 5 ( 16 ) 3 (12 ) 80 36 116 58
3 16

69

Ejercicio 4
Ejercicio a libre elección
a) 11 x 13 y 163

b) 8x 7y 94

Método de sustitución

Solución
8x 7y 94

8x 7y 94

7y 94
x
8

Reemplazamos el valor de y en la ecuación a)

7y 94
11 13 y 163
8

77 y 1034
13 y 163
8

77 y 1034 8 (13 y ) 8 ( 163 )

27 y 270 0

27 y 270

270
y
27

y 10

Reemplazamos el valor obtenido de y para obtener el valor de x
7y 94
x
8

7 (10 ) 94
x
8

70

70 94
x
8

x 3

Ejercicio 5

x y x y 1
a)
6 4 3

2x y 3 x 2y
b)
8 2 2

Solución
Simplificamos ecuación a)
x y x y 1
6 4 3
m.c.m 12
2x 3y x y 1
12 3

3( 2 x 3 y) 12 ( x y 1)

6x 9y 12 x 12 y 12 0

6x 3y 12 0

Dividimos para 3
2x y 4 0

Simplificamos ecuación b)
2x y 12 x 2y
8 2

4x 2y 24 8x 16 y

4x 2y 24 8x 16 y 0

4x 18 y 24 0

71

Dividimos para 2
2x 9y 12 0

2x y 4 0

2x 9y 12 0

Método de reducción

2x y 4 0

2x 9y 12 0

8y 16 0

8y 16

16
y
8

y 2

Reemplazamos el valor de y para obtener x
2x y 4 0

2x ( 2) 4 0

2x 2 4 0

2x 6

6
x
2

x 3

Ejercicio 6
a) 9 x 20 y 33

b) 8 x 15 y 21

Método de reducción

Solución

72

m.c.m de 20 y 15 es 60 ecuación a) multiplicamos por 3 y ecuación b) multiplicamos
por 4

*3 9 x 20 y 33

*4 8 x 15 y 21

27 x 60 y 99

32 x 60 y 84

Restamos las ecuaciones obtenidas
27 x 60 y 99

32 x 60 y 84

5x 15

15
x
5

x 3

Reemplazamos el valor obtenido para hallar y
9x 20 y 33

9 ( 3) 20 y 33

27 20 y 33

20 y 33 27

20 y 60

y 3

Recuerde que le conviene seguir con detalle los procedimientos planteados en los
problemas resueltos del texto por usted elegido. Usted comprobará que se requiere de mucha
concentración, orden y gran lógica para resolver los ejercicios y problemas. Siempre
trabaje con mucha paciencia, sin apuros, cuidando cada detalle operativo.

No reniegue de sus errores, piense que así se aprende, en base a los errores.
Lo importante es asimilar los errores, entender por qué se cometieron y hallar su solución
para no volver a cometerlos.

73

SIGA CON EL MISMO ENTUSIASMO. ¡ ANIMO ¡

ECUACIONES CUADRATICAS

A) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado

Ejercicio 1 USO DE LA FORMULA
2
15 x 9x 1 0

Solución
a 15

b 9

c 1

2
b b 4 ac
x
2a
Reemplazamos en la formula los valores

2
9 9 4 15 1
x
2 15

9 81 60
x
30

9 21
x
30

Ejercicio 2
2 2 2
abx a x b x ab 0
2 2 2
abx x(a b ) ab 0

Solución

74

a ab
2 2
b (a b )

c ab

2
b b 4 ac
x
2a
2 2 2 2 2
( (a b ) ( (a b )) 4 ( ab )( ab )
x
2 ( ab )
2 2 4 2 2 4 2 2
(a b ) a 2a b b 4a b
x
2 ab
2 2 4 2 2 4
(a b ) a 2a b b
x
2 ab
4 2 2 4 2 2 2
a 2a b b (a b )

2 2 2 2 2
(a b ) (a b )
x
2 ab
2 2 2 2
(a b ) (a b )
x
2 ab
2 2 2 2
(a b ) (a b )
x
2 ab
2 2 2 2
(a b ) (a b )
x1
2 ab
2
2a
x1
2 ab
2
a
x1
ab

a
x1
b

2 2 2 2
(a b ) (a b )
x2
2 ab

75

2
2b
x2
2 ab
2
b
x2
ab

b
x2
a

B) Resolver por la forma cuadrática las siguientes ecuaciones de grado superior

Ejercicio 3 RESOLUCION POR FACTOREO
8 4
x 16 17 x

Solución
8 4
x 17 x 16 0
4 4
(x 16 )( x 1) 0
4
(x 16 ) 0
4
x 16
4
x 16

4 4
x 2
x 2
4
(x 1) 0
4
x 1
4
x 1

x 1

Ejercicio 4 RESOLUCIÒN USANDO ARTIFICIO
MATEMÀTICO
2 2 2
(x 2) 9( x 2) 14 0

Solución

76

Artificio
2 2 2
u (x 2)
2
u (x 2)

2
u 9u 14 0
(u 7 )( u 2) 0

(u 7) 0

u 7

(u 2) 0

u 2

Reemplazamos los valores de u2 y u

2
u (x 2)
2
(x 2) 7
2
x 9

x 9

x 3

2
u (x 2)
2
(x 2) 2
2
x 4

x 4

x 2

77

No. 4
RESOLVER.




ENTONCES DEL CAPITULO TRES, EN TODOS LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 3.1 de la página 123; PROBLEMAS
3.2 de la página 129; PROBLEMAS 3.3 de la página 136; así sucesivamente hasta el final
del capítulo).



ENTONCES DEL CAPITULO TRES EN TODOS LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 3.1 de la página 123; PROBLEMAS
3.2 de la página 129; PROBLEMAS 3.3 de la página 136; así sucesivamente hasta el final
del capítulo).


78

ASESORIA DIDACTICA No. 5
Concluiremos el estudio de matemática 1 con la revisión de Las funciones
exponenciales y logarítmicas. Inicie en la pagina 162 del texto guía, que
corresponde al capítulo 4.

Las funciones exponenciales SE BASAN EN LA TEORIA DE LOS EXPONENTES
y su aplicación es la POTENCIACION.

Veamos una pequeña síntesis de los logaritmos aplicando su teoría a ejercicios.

PARTE I, LOGARITMOS

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

79

PROBLEMA 9.- en la hoja siguiente
1
log 2
x log 2
y 1
2
1
(log 2
x. y ) 1
2
1
2
log 2
(( xy ) ) 1
1 1
2 2
log 2
(x y ) 1
1 1
2 2
2 x y
1 1
2 2 2 2 2
2 (x ) (y )
2
2 xy
2
2
x
y
4
x
y
4
x
30
2
x
15

Problema 10

80

x
2 55
x
log 2 log 55
x log 2 log 55
log 55
x
log 2
1 . 74036
x
0 . 30103
x 5 . 7814

Problema 11

2
log( x 1) log( x 1) 65
2
(x 1)
log 65
(x 1)
(x 1)( x 1)
log 65
(x 1)
log( x 1) 65
65
x 1 10
65
x 10 1

Problema 12
log( x 1) log( x 1) 1 . 38021
(x 1)
log 1 . 38021
(x 1)
(x 1)
24
(x 1)
(x 1) 24 ( x 1)
25 23 x
x 25 / 23

Problema 13

81

log( 2 x ) 3
3
2x 10
2x 1000
x 500

Problema 14
log( x 5) log( x 4) 1
log( x 5 )( x 4) 1
2
x x 20 10
(x 6 )( x 5) 0
x 0 y x 5

Problema 15

Problema 16

Problema 17

Problema 18

Problema 19

Problema 20

Problema 21

Problema 22

Problema 23

82

Problema 24

No. 5
RESOLVER.

83




ENTONCES DEL CAPITULO CUATRO, EN TODOS LOS PROBLEMAS
PROPUESTOS DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 4.1 de la página 173;
PROBLEMAS 4.2 de la página 180; PROBLEMAS 4.3 de la página 185; así
sucesivamente hasta el final del capítulo).



ENTONCES DEL CAPITULO 4 EN TODOS LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DEL
TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 4.1 de la página 173; PROBLEMAS 4.2 de
la página 180; PROBLEMAS 4.3 de la página 185; así sucesivamente hasta el final del
capítulo).


8. SISTEMA DE EVALUACION

Qué factores de valoración cuantitativa debe considerar?

Para aprobar la materia en un semestre académico, debe satisfacer el
cumplimiento de las siguientes actividades:

Dos Trabajos a distancia, a ser entregados de acuerdo a los plazos y
fechas establecidas en los calendarios respectivos.
Cada uno de los trabajos es calificado cuantitativamente sobre veinte (20)
puntos, Por tanto siendo dos trabajos, la suma de los dos tienen un peso
del 40% en la nota final.

84

El mínimo puntaje para acreditar la aprobación en trabajos es de veinte y
ocho sobre cuarenta (28/40). En caso de no hacerlo, el estudiante
REPRUEBA LA CÁTEDRA. No hay examen de recuperación por trabajos.

Dos exámenes presenciales, a rendir en la Universidad en los días y
horas definidas en el calendario respectivo, socializado con antelación.
Cada uno de los exámenes presenciales es calificado cuantitativamente
sobre treinta (30) puntos, Por tanto siendo dos exámenes, la suma de los
dos tienen un peso del 60% en la nota final.

El puntaje mínimo para acreditar la aprobación por exámenes es de
cuarenta y dos sobre sesenta (42/60). En caso de no hacerlo y contar con
un mínimo de DOCE puntos en una de sus dos notas, de examen, el
estudiante puede someterse a un examen SUPLETORIO sobre treinta
puntos, para reemplazar la calificación más baja, en forma tal que pueda
acumular el mínimo de 42 puntos requeridos.

PRIMERA SEGUNDA TOTAL
EVALUACIÓN EVALUACIÓN
VALOR % VALOR %
Actividad de 6 12% 6 12%
Aprendizaje Nº 1
Aprendizaje Nº 2
Aprendizaje Nº 3
Total GUIAS 20 40% 20 40% 40/40
EXAMEN 30 60% 30 60% 60/60

TOTAL 50/50 100% 50/50 100% 100/100

85

¿QUÉ DEBE HACER PARA PRESENTARSE AL EXAMEN PRESENCIAL?

Haber realizado sus trabajos con plena conciencia de responsabilidad hacia
usted mismo.

Estar seguro de haber asimilado los conocimientos teóricos y prácticos.

Revisar la guía, chequear los ejercicios TIPO y su solución correcta.

Realizar un resumen o síntesis de cada uno de los temas estudiados , incluyendo
las fórmulas y procedimientos utilizados.
Haber realizado o por lo menos revisado los ejercicios resueltos que vienen
en cada capítulo.

Presentarse al examen en la fecha prevista en el calendario, llevar su cédula
o carné para verificar su identificación. Concurrir con una anticipación de
por lo menos quince minutos para ubicar con tranquilidad el aula asignada.

Portar consigo el material necesario para consulta en el examen, incluida una
calculadora.
Asistir con una hoja de papel ministro a cuadros para resolver el examen.
Portar consigo la cédula de ciudadanía y el carné estudiantil.

Y BIEN HA CONCLUIDO EL ESTUDIO DE MATEMATICA 1, LE DESEO ÉXITOS

EN SU EXAMEN FINAL.

86

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