Fundamentos matematicos

GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO
MAURICIO HUMBERTO MONTOYA SÁNCHEZ
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,
ECONÓMICAS Y CONTABLES
Colombia, 2008

COMITÉ DIRECTIVO
Fray Marino Martínez Pérez
Rector
Hernán Ospina Atehortúa
Vicerrector Administrativo y Financiero
Director de Planeación
José Jaime Díaz Osorio
Vicerrector Académico
Francisco Javier Acosta Gómez
Secretario General
Fundamentos matemáticos
Mauricio Humberto Montoya Sánchez
Decana Facultad de Ciencias Administrativas,
Económicas y contables:
María victoria Agudelo Vargas
Corrección de estilo:
SOMOS PROFESIONALES LTDA.
Diseño:
Colectivo Docente Facultad de Ciencias
Administrativas, Económicas y Contables
Impresión:
Departamento de Publicaciones FUNLAM
www.funlam.edu.co
TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS
Medellín – Colombia
2008
Fundamentos Matemáticos 2

CONTENIDO
PRIMERA PARTE: PROTOCOLO ACADÉMICO
PRESENTACIÓN 6
1. IDENTIFICACIÓN 8
2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 9
2.1. Objetivo general................................................................................................9
2.2. Objetivos específicos.........................................................................................9
3. UNIDADES TEMÁTICAS 10
UNIDAD 1..............................................................................................................10
UNIDAD 2 .............................................................................................................10
UNIDAD 4..............................................................................................................10
4. METODOLOGÍA GENERAL 11
5. EVALUACIÓN INTEGRAL 12
5.1. Sistema de evaluación.......................................................................................12
5.2. Actividades de reconocimiento y de profundización.......................................13
INTRODUCCIÓN 15
JUSTIFICACIÓN 18
1.TEORÍA DE CONJUNTOS 19
1.1. Definición de conjuntos....................................................................................21
Definiciones y conceptos.........................................................................................21
1.2. Clasificación de los conjuntos..........................................................................24
26
..................................................................................................26
1.3. Propiedades de la inclusión..............................................................................26
1.4. Operaciones entre conjuntos y sus aplicaciones...............................................27
Operaciones entre conjuntos...................................................................................27
29
1.5. Conjuntos numéricos........................................................................................39
1.5.1. Definición y concepto de los conjuntos numéricos..................................39
1.5.2. Propiedades de los números reales............................................................40

1.5.3.Ley de signos para los números reales en el producto y la división...........42
1.6. Operaciones entre conjuntos numéricos...........................................................43
................................................................................................................................43
Operaciones combinadas entre conjuntos numéricos..........................................43
2. FACTORIZACIÓN, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 48
2.1.Expresiones algebraicas y sus operaciones (polinomios).................................49
2.1.1. Operaciones algebraicas básicas...............................................................49
2.1.2. Términos semejantes - operaciones...........................................................52
2.1.3. Polinomios y operaciones con polinomios...............................................53
2.2. Factorización y simplificación de expresiones algebraicas..............................58
2.2.1. Factorización y simplificación de polinomios...........................................58
2.2.2. Factorización de polinomios......................................................................59
2.2.3. Simplificación de expresiones algebraicas................................................67
2.3. Potencias y radicales.........................................................................................68
Propiedades y operaciones de las potencias y los radicales.................................68
3. RELACIONES Y FUNCIONES 74
3.1. Concepto de relación y de función ..................................................................76
3.1.1. Definición de relación y de función...........................................................76
3.1.2. Tipos de funciones.....................................................................................81
3.2. Función lineal y ecuaciones lineales.................................................................81
Función lineal......................................................................................................81
Y = 2x-1 ^ Y = -2x+3 83
Yc=C(x)=mx+b 87
R(x)=P.x 89
3.3. Funciones cuadráticas, exponenciales y logarítmicas.....................................102
Concepto de función cuadrática, exponencial y logarítmica.............................102
4. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO 109
OBJETIVOS..........................................................................................................109
Desigualdades........................................................................................................110
ESTUDIO DE CASO 117
ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO 119
ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN 121
BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL 133
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 134
GLOSARIO 135

RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES 137

PRESENTACIÓN
Apreciado estudiante, bienvenido al programa de Administración de
Empresas con énfasis en Economía Solidaria de la Fundación Universitaria
Luis Amigó.
Este módulo ha sido escrito teniendo presente al estudiante que ingresa en
la metodología a distancia, la cual se constituye en uno de los nuevos retos y
alternativas para la formación de profesionales capaces de intervenir
problemáticas sociales contemporáneas, desde la aplicación de la ciencia y
la tecnología con criterios éticos y de calidad.
La educación a distancia responde a la necesidad de ofrecer un proceso de
formación que supere obstáculos representados en grandes distancias
geográficas y escasez de tiempo de personas deseosas de tener las
oportunidades de desarrollo humano que brinda la educación superior.
Dicha metodología exige a cada estudiante un esfuerzo investigativo,
creativo e innovador soportado por la voluntad del compromiso que demanda
nuestra sociedad.

Por esto, para el alcance de los objetivos en este proceso formativo, más que
construir un texto, se ha tratado de presentar un instrumento de
comunicación académica y dinámica entre la institución y el estudiante, en el
que se diferencian dos partes fundamentales: la guía de estudio y trabajo, el
módulo de aprendizaje. La guía considera las orientaciones sobre el
desarrollo del curso en cuanto define los elementos necesarios para la
interlocución entre estudiantes y asesor, describiendo en la metodología las
actividades a realizar para cada encuentro, bibliografía complementaria,
proceso de evaluación y compromisos adquiridos por el estudiante. El
módulo desarrolla el contenido conceptual básico que permite al estudiante
la comprensión de los problemas potenciales en el campo administrativo.
Seguros de que en dicho material se encuentran los referentes necesarios
para el desarrollo de un proceso académico con calidad, le deseamos éxitos
en este nuevo ciclo de su formación profesional.

1. IDENTIFICACIÓN
CURSO FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
AUTOR MAURICIO HUMBERTO MONTOYA
SÁNCHEZ
INSTITUCIÓN FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ
UNIDAD ACADÉMICA FACULTAD DE CIENCIAS
ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y
CONTABLES
PROGRAMA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
PALABRAS CLAVE
MATEMÁTICAS, FUNCIÓN, ALGEBRA,
ECUACIÓN
ÁREA DE CONOCIMIENTO BÁSICA
CRÉDITOS 3 (TRES)
CIUDAD MEDELLÍN
FECHA 17 DE MAYO DE 2004
ACTUALIZACIÓN ENERO DE 2008

ADICIÓN DE TEMAS
APROBADA POR
2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS
2.1. Objetivo general
Fundamentar al estudiante, en la aprehensión y comprensión de los
conceptos básicos de las matemáticas operativas, propiciando un desarrollo
de su capacidad analítica, con el fin de plantear, interpretar y resolver, en
forma lógica, situaciones propias de su carrera.
2.2. Objetivos específicos
 Manejar con propiedad la definición y la clasificación de los conjuntos,
realizando operaciones entre ellos.
 Considerar un conjunto especial, el conjunto de los números reales
(conjuntos numéricos) y todas sus operaciones.
 Conocer y manejar la definición de Función.
 Resolver con claridad desigualdades lineales, cuadráticas, racionales y
desigualdades con valor absoluto.
 Aplicar las desigualdades y el valor absoluto a situaciones problema.

3. UNIDADES TEMÁTICAS
UNIDAD 1
Teoría de conjuntos
UNIDAD 2
Factorización, potenciación y radicación
UNIDAD 3
Relaciones y funciones
UNIDAD 4
Desigualdades y valor absoluto

4. METODOLOGÍA GENERAL
Para garantizar el buen desarrollo del curso se establecerán los criterios
definidos en el Reglamento Estudiantil con relación a evaluación y
seguimiento del portafolio personal de desempeño, entre otros.
En los encuentros presenciales se hará claridad sobre aquellos conceptos
que han presentado alguna dificultad en los estudiantes; para ello se
utilizarán explicaciones precisas sobre el tema, ejemplos y aplicación de
éstos al área administrativa. Adicionalmente, se responderán inquietudes
sobre los ejercicios propuestos para ser desarrollados por los estudiantes en
el tiempo destinado al trabajo independiente.
El estudiante debe realizar las actividades de forma consecuente con los
encuentros presenciales, para garantizar el logro de los objetivos propuestos
en el curso.

5. EVALUACIÓN INTEGRAL
5.1. Sistema de evaluación
La evaluación será un proceso permanente, pedagógico e integral, con
participación activa de los estudiantes y que deberá cumplir con las políticas
institucionales de evaluación, hasta consolidar una valoración definitiva.
La evaluación será cualitativa y soportada en el artículo 80 del reglamento
estudiantil, y deberá proporcionar la información necesaria y suficiente para
que el estudiante adquiera capacidad crítica, asuma las competencias y sea
idóneo en la toma de decisiones.
La evaluación tendrá como elemento esencial el portafolio personal de
desempeño, para el desarrollo integral del estudiante y el logro de la
excelencia académica.
La evaluación constará de pruebas escritas e individuales, talleres
individuales o intergrupales y pruebas orales participativas, sustentadas
durante los encuentros y, en lo posible, que apunten hacia las competencias.
Se evalúa también el acompañamiento individual.
Al finalizar el período académico, se hace la homologación de evaluación
cualitativa a cuantitativa, tal y como lo contempla el artículo 80 del
Reglamento Estudiantil de la Institución.

5.2. Actividades de reconocimiento y de profundización
Las actividades de reconocimiento y profundización se desarrollarán en cada
unidad temática y en cada capítulo.

INTRODUCCIÓN
El módulo que aquí se presenta tiene, como propósito general, la provisión
de métodos, técnicas, herramientas de trabajo matemático y estudio
independiente que requieren los estudiantes del programa de Administración
de Empresas y que les permita, de forma efectiva el aprendizaje en todos los
contextos de su carrera. Igualmente, afianzar el uso de métodos, técnicas y
herramientas adecuadas para el trabajo académico y la producción de un
aprendizaje con excelencia.
Se omiten todas las demostraciones de fórmulas y definiciones,
asumiéndolas como correctas y aplicándolas a la solución de situaciones
problema, de tipo empresarial o económico.
Cada capítulo presenta varios ejemplos y deja otros para trabajo del
estudiante, con vigilancia del asesor del curso. No se abordan pormenores
matemáticos, pues, para el estudiante de este programa, la principal
motivación es el uso de estas técnicas en la aplicación a situaciones
problema en la carrera.
El módulo de Desarrollo del pensamiento lógico se ha elaborado a partir de
la compilación de conceptos tratados por varios autores, entre ellos Arya y
Lardner, S. T. Tan, Uribe Calad Julio Alberto y Haeussler y Paul.

Para el logro de dicho propósito, el módulo consta de cuatro unidades
didácticas: la primera tiene como objetivo ubicar al estudiante en el plano de
los conjuntos en general y de uno muy específico: “los conjuntos numéricos”,
con sus definiciones simbólicas y sus representaciones en diagramas, a la
vez que se enfatiza en algunas aplicaciones relacionadas con la
Administración y la Economía.
La segunda unidad aborda los temas más importantes del álgebra, tales
como las expresiones algebraicas (polinomios), con todas sus operaciones;
además de temas como la factorización, las potencias y los radicales,
algunas de sus propiedades y una buena gama de ejercicios prácticos de
cada tema.
La tercera unidad conduce a situaciones de mayor interés y aplicabilidad
para la carrera de Administración de Empresas, entre ellas las funciones y,
en especial, la función lineal, su ecuación gráfica y su interpretación
estrictamente necesaria para los cursos posteriores. De la función lineal se
acompañan las ecuaciones lineales, indispensables y necesarias en los
demás cursos del programa y, no menos importantes, las funciones y
ecuaciones cuadráticas, y las funciones exponenciales y logarítmicas, con
sus respectivos gráficos.
En la cuarta y última unidad, se aborda un tema muy importante: el de
desigualdades y valor absoluto, de gran utilidad en el cálculo, la estadística,
el álgebra lineal y la programación lineal.
Se espera que la lectura y el desarrollo de las actividades que acá se
proponen le proporcionen al estudiante una buena información y lo motiven
en la búsqueda de una mejor formación académica.

Las críticas y sugerencias que de él se deriven, permitirán mejorar el módulo
y hacerlo más productivo.

JUSTIFICACIÓN
En el plano de los continuos desafíos que plantean los desarrollos
económicos, administrativos y sociales, no puede escaparse el uso de una
herramienta que permita interpretar dichos desarrollos; es allí donde el
desarrollo del pensamiento lógico cumple su papel. Este módulo ha escogido
aquellas partes de las matemáticas básicas que son de interés para
estudiantes que se especializan en Administración y Economía.
El módulo se justifica porque lo expuesto en él dotará al estudiante de los
elementos necesarios para abordar todos los cursos tanto del área básica
como de la profesional, que deben desarrollarse durante su ciclo
universitario. Las orientaciones en general, sobre aspectos pedagógicos y
didácticos clarifican operativamente los procesos de desarrollo del programa.
Todas las aplicaciones aquí presentadas y expuestas se integran por
completo al módulo, encaminándolas al análisis de tipo empresarial.
Siguiendo los lineamientos de los cursos de Matemáticas, programados por
la Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables de la
FUNLAM, dictados con éxito durante muchos semestres, se ha realizado
este módulo para así disponer de material propio que sea útil para muchos
cursos del Programa, y que permita un mismo lenguaje entre los docentes
que los sirven.
El módulo pretende refrescar muchos conceptos que el estudiante ya cursó
en su vida preuniversitaria y, ahora, adiciona muchos temas nuevos que se
van a manejar a través de la secuencia de cursos que debe completar el
estudiante universitario.

1. TEORÍA DE CONJUNTOS

OBJETIVOS
1. Manejar con propiedad la definición de
conjuntos y su clasificación.
2. Realizar las operaciones básicas de
conjuntos y aplicarlas a la solución de
problemas propios de la administración.
3. Identificar cada uno de los conjuntos
numéricos y su dominio.
4. Realizar las operaciones básicas (suma,
resta, multiplicación y división) que
permita cada conjunto numérico.
OBJETIVOS

1.1. Definición de conjuntos
Definiciones y conceptos
A diario se trabaja con colecciones de distintos tipos de objetos; por ejemplo,
al realizar una encuesta sobre empresas textiles, se puede considerar la
colección de empresas textiles existentes en el departamento de Antioquia
para el año 2004. También podría consultarse acerca de las universidades
que, en Colombia, ofrecen el programa de Administración de Empresas.
Podría tenerse, también, una colección de entidades bancarias que prestan
dinero para vivienda de interés social. Dichas colecciones son ejemplos de
conjuntos. En forma más específica, podría definirse un Conjunto como una
colección bien definida de objetos llamados elementos. Así, al definir el
conjunto, se puede nombrar un objeto, y debe ser posible determinar si éste
pertenece o no a la colección. Los conjuntos se denotan mediante letras
mayúsculas A, B, C..., y se pueden representar gráficamente por medio de
una curva cerrada llamada diagrama, así:
a,
i ,
e,
o, u,

Elemento
Es cada uno de los objetos que constituyen un conjunto. Se representan con
letras minúsculas, números o símbolos que se pueden identificar. Los
elementos se encierran entre llaves, { }, y se separan por comas.
Ejemplo:
El conjunto A, que tiene como elementos las vocales, se representa:
A = {a, e, i, o, u} ó A
Otro tipo de notación para los conjuntos es la notación constructiva. Es una
regla que describe la propiedad (o propiedades) distintiva que debe cumplir
un objeto x para que pueda pertenecer al conjunto. Con esta notación, el
conjunto A se escribe como:
A = {x / x es una letra de las vocales}
Que se lee: “A es el conjunto de todos los elementos x tales que x es una
letra de las vocales”.
a
e
i
o u

Relación de pertenencia
Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto se utilizan los
signos Є y no ∉ respectivamente. Si u es un elemento de un conjunto A, se
escribe u Є A, que se lee “u pertenece a A”, o “u es un elemento de A”.
Ahora, si el elemento u no pertenece al conjunto A, se escribe u Є A, y se
lee “u no pertenece al conjunto A”; por ejemplo, si A = {1, 3, 4, 6, 7}
entonces, 5 ∉ A pero 3 Є A.
Determinación de los conjuntos
Los conjuntos se pueden describir o determinar así:
1. Por comprensión: cuando se enuncia una característica del conjunto.
Ejemplo:
Sea B = {x / x es un divisor positivo de 12}
2. Por extensión: cuando se escriben todos los elementos del conjunto.
Para el ejemplo del numeral 1, sería:
B = {1, 2, 3, 4, 6,12}
Otro ejemplo así:
Sea C = {x / x <6, x Є N} comprensión
N = número natural

Ahora, C = {1, 2, 3, 4, 5} extensión
1.2. Clasificación de los conjuntos
1.2.1. Conjunto vacío
Es un conjunto que no posee elementos y se denota con el símbolo Ø o con
{ }
Ejemplo:
Sea M = {x / x + 3= 0, x Є N} es un conjunto vacío, ya que la ecuación x + 3 =
0 no tiene solución en los números naturales.
1.2.2. Conjunto finito
Es un conjunto en el que se puede determinar con exactitud el número de
elementos; se conocen el primero y el último y, además, pueden contarse.
Ejemplo:
Sea P = {x / -2 < x <2; x є Z}
P = {-2, -1, 0, 1}
1.2.3. Conjunto infinito
Es un conjunto del que no se sabe el número de elementos, o sea, no
pueden contarse sus elementos.
Ejemplo:

Sea D = {x / x Є N} D = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
1.2.4. Conjunto universal o referencia
Es un conjunto que puede ser finito o infinito, y se utiliza para realizar
operaciones con conjuntos que tienen menos elementos que él, y los
elementos de esos conjuntos pertenecen al Universal.
Ejemplo:
F = {x / x es una letra del abecedario} Universal
1.2.5. Subconjunto
Sean A y B dos conjuntos diferentes; decimos que A es subconjunto de B, si
todo elemento de A es también elemento de B, y se denota por A C B.
En otras palabras: A C B equivale a: si x Є A entonces x Є B.
Ejemplo:
Consideremos los conjuntos B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y A ={2, 3, 6}; como se
puede observar, todos los elementos de A están en B. Decimos que “A está
incluido en B” o que “A es subconjunto de B”; es decir, A C B.
Una representación visual de los conjuntos, que se obtiene mediante los
diagramas de Venn, es de gran utilidad para comprender los conceptos ya
expuestos, así como para resolver problemas que competen a los conjuntos.
El conjunto universal U se representa mediante un rectángulo, y los
subconjuntos de U, a través de círculos dentro de dicho rectángulo.

Utilizar diagramas de Venn para representar las siguientes afirmaciones:
a) El conjunto A es subconjunto del conjunto B. Ver figura 1
b) El conjunto A no es subconjunto del conjunto B. Ver figura 2
A C B A ¢ B
Figura 1 Figura 2
1.3. Propiedades de la inclusión
P – 1 El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto; si C es un
conjunto cualquiera, entonces, Ø C C
P – 2 Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, sea B un conjunto
cualquiera, entonces, B C B
P – 3 Si A es un subconjunto de B y a su vez B es subconjunto de C,
entonces, A es subconjunto de C; así: si A C B Λ B C C, entonces, A C C.
A
B
U
A B
U

1.4. Operaciones entre conjuntos y sus aplicaciones
Operaciones entre conjuntos
Una vez presentado el concepto de conjunto, se verán ahora las operaciones
que entre ellos se pueden realizar, observando las formas en que pueden
combinarse los conjuntos para producir otros.
Se supone que todos los conjuntos son subconjuntos de un conjunto U dado.
Unión de conjuntos
(U). Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de un conjunto universal
U. La unión de A y B, que se escribe A U B, es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen a A, a B, o a ambos. Para denominar los
elementos de A U B, se utiliza la disyunción inclusiva (v).
A U B ={x / x Є A v x Є B} ó {x Є A U B o x Є A v x Є B}
La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A U B.
A U B
Propiedades de la unión
U
A B

P – 1 Conmutativa: A U B = B U A
P – 2 Asociativa: A U (B U C) = (A U B) U C
P – 3 Identidad: A U Ø = A, A U U = U
P – 4 Idempotencia: A U A = A
Ejemplo 1:
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7}
El nuevo conjunto es A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Ejemplo 2:
Sea A = {a, e, i} Λ B = {c, d, f},
entonces, A U B = {a, c, d, e, f, i}
Intersección de conjuntos
(∩). Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de un conjunto universal
U. La intersección de A y B es un nuevo conjunto formado por aquellos
elementos que estén simultáneamente en A y en B, lo cual se escribe A ∩ B,
y que toma los elementos que estén en A y que estén en B.
Para denominar los elementos de A ∩ B, se utiliza la conjunción (Λ).
A ∩ B = {x / x Є A Λ x Є B}
La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A ∩ B.

A ∩ B
Propiedades de la intersección
P – 1 Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A
P – 2 Asociativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
P – 3 Distributiva: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
P – 4 Identidad: A ∩ Ø = Ø; A ∩ U = A
P – 5 Idempotencia: A ∩ A = A
Ejemplo 1:
Sea A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 4, 6, 8, 10},
entonces, A ∩ B = Ø
Ejemplo 2:
Sea A = {x/ -1 < x < 5, x Є Z}
B = {x/ -0 < x < 6, x es número par}
A ∩ B = {0, 2, 4}
Ejemplo 3:
U
A B

Sea A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o, u}
A ∩ B = {a, e}
Diferencia de conjuntos
(-). Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de un conjunto universal U.
La diferencia entre A y B, que se escribe A – B, es un nuevo conjunto
formado por los elementos que pertenezcan a A, pero que no pertenezcan a
B. A – B = {x / x Є A Λ x Є B}
La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A – B
A – B
Propiedades de la diferencia
P – 1: A – B ≠ B - A
P – 2: A – B = A ∩ B’
P – 3: U – A = A’
P – 4: A – A = Ø
U
A B

Ejemplo 1:
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7}
Hallar: A – B Λ B – A
A – B = {1, 2, 3} Λ B – A = {6, 7}
Ejemplo 2:
Sea A = {x / x es número primo par, mayor que cero}
B = {x / 0 < x < 5}
A – B = Ø Λ B – A = {0, 1, 3, 4}
Complemento de un conjunto con respecto de un conjunto universal
Si U es un conjunto universal y A es un subconjunto de U, entonces el
conjunto de todos los elementos en U, que no están en A, o los elementos
que le faltan a A, para ser igual al universal, son el complemento de A y se
denota A’.
A’ = {x / x Є U Λ x Є A}
La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A’

A’
Ejemplo 1:
Sea U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y A = {2, 4, 6, 8, 10}
A’ = {1, 3, 5, 7, 9}
Ejemplo 2:
Sea U = {x / x es divisor de 18} Λ A = {x / x es divisor par de 18}
A’ = {1, 3, 9}
Número de elementos en un conjunto finito
Conteo de los elementos de un conjunto
La solución a algunos problemas en Matemáticas requiere determinar el
número de elementos de un conjunto.
El número de elementos de un conjunto se obtiene contando dichos
elementos y se denota por n(A); por ejemplo, si:
A = {1, 2, 3,.., 10}, B = {h, i}, C = {3}
A
A’
U

Entonces: n(A) = 10, n(B) = 2 y n(C) = 1
n (Ø) = 0
n (A U B) = n (A) + n (B)
En general: n (A U B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
Ejemplo 1:
En un estudio de consumidores realizado en un centro comercial, 80
consumidores indicaron que compran la marca A de cierto producto; 68
compran la marca B; y 42 adquieren ambas. Determine la cantidad de
consumidores participantes en el estudio. Quienes compran:
a. Al menos una de estas marcas
b. Exactamente una de estas marcas
c. Sólo la marca A
d. Ninguna de estas marcas
Solución:
Datos:
a. 120 consumidores
b. 80 compran la marca A
c. 68 compran la marca B
Luego, se construye un diagrama de Venn que permite, a través de su
arreglo, organizar los datos y poder concluir acerca de los interrogantes. El
conjunto de los que sólo compran la marca A está dado por: 80 – 42 = 38; los
que sólo compran la marca B está dado por: 68 – 42 = 26.

a. Con base en la figura, aquellos que compran al menos una de las marcas,
corresponde a la unión de A y B, o sea: 38 + 42 + 26 = 106
consumidores.
b. De la figura, los que compran exactamente una de las marcas,
corresponde a la unión de los dos conjuntos, menos la intersección de
los dos conjuntos, es decir, 38 + 26 = 64 consumidores.
c. Para aquellos que sólo compran la marca A, se toma todo el conjunto A
y se resta la intersección de los dos conjuntos, así: 80 – 42 = 38
consumidores.
d. Los que no compran ninguna de las dos marcas son aquellos que
pertenecen al Universal y no pertenecen a A ó a B, es decir, 14
consumidores.
Ejemplo 2:
En un estudio de 100 locales comerciales se halló que 50 de ellos venden a
crédito, 80 venden de contado y 60 lo hacen de contado y a crédito.
¿Cuántos locales venden a crédito o de contado?
38 26
42
A
B
U

Sea U el conjunto de los 100 locales estudiados y sean:
A = { x Є U / x vende a crédito}
B = { x Є U / x vende de contado}
Entonces, n (A)= 50, n (B)= 80 y n (A ∩ B)= 60
El conjunto de locales que vende a crédito o de contado está dado por A U
B. Con la ecuación se halla la solución así:
n (A U B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
= 50 + 80 - 60
= 70
De tal forma que 70 de los 100 locales venden a crédito o de contado.
Ahora, una relación del número de elementos de tres conjuntos A, B y C está
dada por:
n(AUBUC) = n(A)+n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)
En la práctica, es más fácil enfrentar un problema directamente con la ayuda
de diagramas de Venn, como lo muestran los siguientes ejemplos:
Ejemplo 3:
Un fabricante de cosméticos anuncia sus productos en tres revistas, así:
Cosmopolitan, Vanidades y Avon.
Un estudio realizado por el fabricante a 500 clientes revela la siguiente
información:
a. 180 se enteran de los productos por Cosmopolitan
b. 200 se enteran de los productos por Vanidades

c. 192 se enteran de los productos por Avon
d. 84 se enteran de los productos por Cosmopolitan y Vanidades
e. 52 se enteran de los productos por Cosmopolitan y Avon
f. 64 se enteran de los productos por Vanidades y Avon
g. 38 se enteraron de los productos por las tres revistas
¿Cuántos clientes vieron la publicidad del fabricante en:
a. Al menos una revista
b. Exactamente una revista
Para la solución se apoya en un diagrama de Venn
n (A ∩ V) = 64 – 38 = 26 personas que se informan a través de
Vanidades y Avon.
n (A ∩ C) = 52 – 38 = 14 personas que se informaron a través de
Avon y Cosmopolitan.
C V
U
82
14
26
38
90
46
11
4
A

n (C ∩ V) = 84 – 38 = 46 personas que se informaron a través de
Cosmpolitan y Vanidades.
n (A) = 192 – 14 – 38 – 26= 114 personas que se informaron a través
de Avon, solamente.
Así mismo:
n (V) = 200 – 46 – 38 –26 = 90 personas mediante Vanidades
n (C) = 180 –14 – 38 – 46 = 82 sólo por Cosmopolitan
500 – (90 + 26 + 114 + 14 + 82 + 46 + 38) = 90 supieron por otros medios.
Ejemplo 4:
La siguiente encuesta muestra la preferencia que por algunas asignaturas
tiene un grupo de estudiantes del primer semestre del programa de
Administración de Empresas de la FUNLAM:
A 36 les gusta Matemáticas
A 32 les gusta Administración
A 31 les gusta Economía
A 16 les gusta Administración y Economía
A 15 les gustan Matemáticas y Administración
A 14 les gustan Matemáticas y Economía
Y 6 tienen preferencia por las tres asignaturas.
Encontrar:
a. ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?
b. ¿Cuántos estudiantes prefieren solamente Matemáticas?
c. ¿Cuántos no prefieren Economía?

d. ¿Cuántos prefieren Matemáticas y Economía pero no
Administración?
Solución:
Se construye el diagrama de Venn que permite una mejor interpretación del
problema. De su lectura se puede dar respuesta a los interrogantes.
Respuesta
a. 60
b. 13
c. 29
d. 8
M A
U
13
8
10
6
79
7
E

1.5. Conjuntos numéricos
1.5.1. Definición y concepto de los conjuntos numéricos
Números naturales (N)
N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Son los números que están en el intervalo de 1 a infinito.
Cualquier número natural se podrá sumar o multiplicar, pero no todos
admiten la diferencia y la división.
Z = Número enteros
Z = {--∞,..., -2, -1, 0, 1, 2,...}
Corresponden a los números naturales positivos y sus opuestos, unidos al
cero. Pueden ejecutarse bajo cualquier operación, exceptuando la división.
Q = Números racionales
Son aquellos que tienen la forma:
a
b
Q = {-∞,..., -7, -1, 2, 9}
4 3
Admiten cualquiera de las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y
división) entre ellos.

Q`= Números irracionales
Corresponden a raíces inexactas, el número Πy el número e.
Q' = {-∞, …… 1,2− , 1, Π,… + ∞}
Se puede operar en cualquiera de los casos.
R = Números reales
Es el conjunto que reúne a todos los conjuntos anteriores; por ello, se
pueden operar con suma, resta, multiplicación y división.
R = {-∞,..., -3, 0, ½, 20,….+∞}
1.5.2. Propiedades de los números reales
Las propiedades fundamentales, llamadas postulados admitidos sin
demostración, constituyen la teoría básica para los conjuntos numéricos, así:
Para la suma
P - 1 Si a y b son números reales entonces a + b es un número real,
Propiedad Clausurativa.
P - 2 a + b = b + a para toda pareja de números reales. Propiedad
Conmutativa.

P - 3 a + (b + c) = (a + b) + c para cualquier terna de números reales.
Propiedad asociativa.
P - 4 a + 0 = a, para todo número real a. Propiedad modulativa.
P - 5 a + (-a) = 0 para todo número real a. Propiedad inverso
aditivo.
Para el producto
P - 1 Si a y b son números reales, entonces, a.b es un número Real.
Propiedad clausurativa.
P - 2 ab = ba para toda pareja de números reales a, b, Propiedad
conmutativa.
P - 3 a.(b.c) = (a.b).c = a.b.c para toda terna de números reales a, b, c
Propiedad asociativa.
P - 4 a.1 = a, para todo número real a. Propiedad modulativa.
P - 5 a.a-1
= Si es diferente de cero. Propiedad inverso
multiplicativo.
Para producto y suma
a (a + c) = ab + ac para toda terna de números Reales a, b, c. Propiedad
distributiva.

Ejemplos:
1. 5 + 7= 7 + 5 2. 8. (-4) = (-4).8
12 = 12 -32 = -32
3. 10 + (8 + 9) = (10 + 8) + 9
10 + 17 = 18 + 9
27= 27
4. 9 + (-9) = 0 5. 15.1 = 15
6. 7 + 0 = 7 7. 14 x 8 = 8 x 14
112 = 112
1.5.3. Ley de signos para los números reales en el producto y la
división
(+) (+) = + + =+
+
(+) (-) = - +/- = -
(-) (+) = - -/+ = -
(-) (-) = + -/- = +
Un conjunto numérico se asocia a una línea recta así:
-∞ -2 -1 0 1 2 ∞

1.6. Operaciones entre conjuntos numéricos
Operaciones combinadas entre conjuntos numéricos
Operaciones de enteros
a. -25 + 8 - 23 = -40
b. 28 - 40 = -12
c. -15 x (-3) = + 45
d. -32 = 8
-4
e. -25 = -5
5
Operaciones con racionales
Fracciones homogéneas
a. 5 + 9 - 3 = 5 + 9 - 3 = 11
4 7 7 7 7
b. 20 - 32 = 20 - 32 = -12 = -4
15 15 15 15 5

c. 1 + 5 - 15 + 17 + 1 =1+5-15+17+8=1+5-15+17+8=16=2
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Fracciones heterogéneas
Para resolverlas es necesario hallar un común denominador que se obtiene a
través del M. C. M.
a. 5 + 23 = 5 + 46 = 51
8 4 8 8
b. 7 + 9 – 5 + 1 = 5 12 4 3 2
5 12 4 3 5 6 2 3 2
5 3 1 3 3
84 + 45 – 75 + 20 = 74 = 37 5 1 1 1 5
60 60 30 1
M.C M = 2x2x3x5
= 60
c. 9 + 3 – 70 + 3 = 900 + 30 – 70 + 3.000 = 3.860 = 193
10 100 1.000 1.000 1.000 50
d. 5 x 9 = 45
4 7 28
e. (- 3 ) x (- 2 ) x ( - 1 ) = - 6 = - 3
5 7 4 140 70

f. 9 ÷ 8 = 9 x 4 = 36 = 3
3 4 8 x 3 24 2
g. 5 ÷ 1 ÷ 3 = 5 . 7 ÷ 4 = 140 = 36
8 7 4 8 1 3 24 5
Operaciones con irracionales
a. 0.35 + 0.7 – 0.4 = 0.65
b. (0.28) (0.36) (-0.3) = 0.03024
c. 1.368 ÷ 2.45 = 5.58
d. 3√ 5 + 7√5 - 4√5 = 6 √5
e. 5 . 8 x 9 . 3 + √3 – 5 = 53.94 + 1.73 – 5 = 50.67
Solución de un polinomio numérico
a. Halle la solución de un polinomio:
125 – {2 – 4 (8 + 7 – 4) – 3 (5 + 9 – 10) – (15 ÷ 3) + 10}=
125 – {2 – 4 x 11 – 3 x 4 –5 + 10}=
125 – {2 – 44 – 12 – 5 + 10}=
125 – 2 + 44 + 12 + 5 – 10 = 174
b. 3 . { 1 – [3 – 1 (1 x 3) – 2 (1 ÷ 3)] – (3 + 1)]

4 2 2 4 5 2 4 5 4 4
3 {1 – [3 – 3 - 2. (5) ] – 4} =
4 2 2 40 12 4
3 {1 – [3 – 3 - 10] – 1} =
4 2 2 40 12
3 {1 – 3 + 3 + 5 –1} =
4 2 2 40 6
3 - 9 + 9 + 15 - 5 – 3 =
8 8 60 24 8 4
- 6 - 9 + 5 - 3 =
8 160 8 4
9 - 1 - 3 = 9 – 20 – 120 = 131
160 8 4 160 160

2. FACTORIZACIÓN, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
OBJETIVOS
1. Conocer con claridad el concepto de
expresión algebraica (polinomios) y las
operaciones entre ellos.
2. Factorizar totalmente cualquier polinomio.
3. Identificar el concepto de potencia, sus
propiedades y operaciones.
4. Distinguir los radicales, sus propiedades y
la forma de extraer cualquier raíz y su
aporte en el álgebra.
OBJETIVOS

2.1. Expresiones algebraicas y sus operaciones (polinomios)
2.1.1. Operaciones algebraicas básicas
Para el desarrollo de este tema se requiere de algunos conceptos básicos
así:
Expresión algebraica
Está formada por la combinación de números, letras (llamadas variables) y
símbolos de operación.
Ejemplos:
3 x2
– 5 xy + √2 y2
5 mnp + (3 m n )2
p – 3
Éstas son expresiones algebraicas.
Términos
La parte de la expresión algebraica separada con un más (+) o un menos (-)
se llama término. Dependiendo del número de términos se habla de

monomio, binomio, trinomio, según tenga uno, dos o tres términos y, más
general, polinomio.
Ejemplo:
3x2
+ 5 x – 3 Trinomio
5a + (7b)2
Binomio
4 x3
– 5 x2
+ 7x – 10 Polinomio
Factor
Son términos formados por números y variables multiplicados entre sí: 2x,
9xyz
Coeficiente
Cuando uno de los factores de un término es un número, se denomina
coeficiente.
Ejemplo:
Para los términos 5 x2
y3
, 9 √xy; los coeficientes son; 5 y 9
Términos semejantes
Los términos que sólo difieren en sus coeficientes numéricos se denominan
términos semejantes.

Ejemplos:
a) 3 x2
yz; 1 x2
yz
4
b) 4 m2
n2
p; √5 m2
n2
p
c) 3 (x + y); 17 (x + y)
d) –8 (a + b)2
; 7 (a + b)2
5
Son términos semejantes.
Potencias
Recordar que xn
, con n Є N, indica un producto donde “x” aparece como
factor “n” veces. A “x” se le llama base y “n” exponente de la potencia. Por
lo tanto:
x1
= x
x2
= x.x
x3
= x.x.x
xn
= x.x.x.x.x….x “n” veces.
Además, recordar las siguientes propiedades de la potencia:
P – 1 xm
. xn
= xm+n
P – 2 xm
= xm-n
xn
P – 3 (Xm
)n
= Xm.n

P – 4 (x . y)m
= xm
. ym
Ejemplos:
- a3
. a2
= a5
- m6
= m4
m2
- (m3
)2
= m6
- (a.b.c)3
= a3
b 3
c 3
Valor numérico de una expresión
En algún momento es necesario sustituir, en una expresión algebraica, un
número por una letra para obtener un resultado numérico.
Se escribe la expresión y se remplaza la letra por el número.
Ejemplo: Si x = 2 y la expresión es 6x2
– 9x = 6 (2)2
-9 (2)
= 6. (4) – 18
= 24 – 18
= 6
2.1.2. Términos semejantes - operaciones
Los términos semejantes se pueden sumar o restar, porque poseen las
mismas variables elevadas al mismo exponente.

Ejemplos:
a. 2x + x + x = 4x
b. 4x2
+ 5x2
– 3x2
= 6x2
c. 5a2
b + 9a2
b – 4a2
b = 10a2
b
Sólo se pueden sumar o restar términos que sean semejantes.
2/5 ma + 1/5 + 2ma =
3/5 ma + 2ma/1 =
5
13ma
5
10ma3ma
=
+
2.1.3. Polinomios y operaciones con polinomios
Se hallarán polinomios con una sola variable.
Ejemplo:
P(x) = x3
– 7x – 14x +8
Y polinomios con distintas variables.
Ejemplo:
P(x, y) = 4x3
y2
+ 5xy3
– 3x2
y2
+9
5
Suma y resta de polinomios
Los polinomios cumplen las mismas propiedades de los números reales.
Para sumar dos polinomios o más se deben sumar términos semejantes
entre sí hasta reducir a un solo polinomio, ordenado de mayor a menor.

Para restar, se cambian los signos del sustraendo y se procede, luego, igual
que en la suma.
Ejemplo 1:
Efectúe la suma de los siguientes polinomios
( )7x5x4 2
+− ; ( )3x6x3 2
−+ ; ( )4xx2 2
+− , entonces queda:
( ) ( ) ( ) =+−+−+++− 4xx23x6x37x5x4 222
( ) ( ) ( ) =+−+−+−+++ 432765234 222
xxxxxx
89 2
+x
Ejemplo 2:
Efectúe la resta de los polinomios:
354 23
++ xx con 753 2
++ xx queda:
( ) ( ) =++−++ 75354 2323
xxxx
354 23
++ xx - =−− 75 23
xx
43
−3x
Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se aplica repetidamente la propiedad
distributiva, multiplicando cada término del primer polinomio por todos los del

segundo y, luego, se suma o resta. Además, se debe tener en cuenta el
producto de potencias de igual base.
Ejemplo:
Realizar el producto de:
a. ( ) ( ) =+−3++ 5794 2
xxx
=+−++− 456327202812 223
xxxxx
454312 23
+−− xxx
b. ( ) =+−3 984 2
xxx
xxx 363212 23
+−
Efectúe la siguiente operación y simplifique:
( )( ) ( ) =+−−+−+ 262213 232
xxxxx
xxxxxxxxx 526222636 232223
=−+−+−−++−
Cociente de polinomios o división de polinomios
División de monomios
Se dividen los coeficientes aplicando la ley de signos para la división y, a la
parte literal, se le aplica la propiedad para dividir potencias de igual base,
antes expuesta.
Ejemplos:

Dividir
a. 3
2
5
X
x
x
=
b. 222
22
43
8
3
24 4
ZYX
YZX
zyx
−=
−
División de un polinomio por un monomio
Se divide cada término del polinomio por el monomio.
Ejemplos:
Dividir
83
3
24
3
9
3
249 2
33
−=−=
−
a
a
a
a
a
a
aa
2
4
2
3
22
435
3
24
3
9
3
518
3
24918
x
x
x
x
x
x
x
xxx
−
+
−
−
−
=
−
+−
23
836 xxx −+−=
División de un polinomio por otro polinomio
Pasos a seguir:
 Se ordenan los polinomios de manera decreciente.

 Se divide el primer término del dividendo por el primer término del
divisor, para obtener el primer término del cociente.
 Se multiplica este primer término del cociente por cada uno de los
términos del divisor y el resultado se resta del dividendo; así se
obtiene un dividendo parcial.
 Continuamos a partir de este dividendo parcial, conforme se indicó en
los dos pasos anteriores, hasta obtener un residuo de menor
exponente que el divisor.
 Si el residuo es cero la división es EXACTA.
Ejemplo:
Efectúe las siguientes divisiones:
a. ( ) ( )14441 325462
−+−÷+−+−− mmmmmmmm
14204 3456
−−++−+ mmmmmm
1m
1m4mm
3
23
+
−+−
3456
mm4mm ++−−
1m4mm 23
−−+
0
1m4mm 23
++−−
b. ( ) ( )129715113 2245
++÷++−+ xxxxxx

97150113 2345
++−++ xxxxx
6x13x5x3
1x2x
23
2
+−+
++
cociente
3x34x65x3 −−−
234
x15x3x5 −−+
2x53x104x5 −−−
x7x20x13 23
+−−
xxx 132613 23
+++
6126
9206
2
2
−−−
++
xx
xx
residuox 38 +−
2.2. Factorización y simplificación de expresiones algebraicas
2.2.1. Factorización y simplificación de polinomios
Antes de abordar la factorización de polinomios consideremos los siguientes
productos notables así:
(a+b)2
= a2
+2ab+b2
binomio al cuadrado
(a-b)2
= a2
-2ab+b2
Ejemplos:
Efectuar:
a. (x+3)2
= x2
+6x+32
= x2
+6x+9
(2a-3b)2
= (2a)2
– 2(2a)(3b)+(3b)2

= 4a2
-12ab +9b2
b. (a+b) (a-b) = a2
-b2
suma por diferencia
Ejemplo:
(x+7) (x-7) = x2
-72
= x2
– 49
2.2.2. Factorización de polinomios
Al proceso de expresar un polinomio como un producto de otros polinomios
se le da el nombre de factorización.
Cuando un polinomio no puede factorizarse en un determinado conjunto
numérico se dice que es primo en dicho conjunto numérico. Consideremos
varios casos de factorización:
Factor común
El factor común de un polinomio es el máximo común divisor (M.C.D.) de los
términos del polinomio. Para obtener el otro factor se divide el polinomio
dado por el factor común.
Ejemplos:
Factorizar los siguientes polinomios:
a. 8b2
m2
+ 32b2
m + 6bm2
= 2bm (4bm+16b + 3m)

b. 26a4
-39a3
x +13a3
= 13a (2a-3x+1)
c. 5y (3x+7) – 2m(3x+7) = (3x+7) (5y -2m)
Factor común por agrupación de términos
Se aplica cuando no hay un factor común monomio y el número de términos
sea cuatro o mayor que cuatro y se agrupan en parejas o tríos que tengan
una característica común.
Ejemplos:
a. max +mby + mbx +may =
(max +mbx) + (may + mby) =
mx (a+b) + my (a+b) =
(a+b) (mx+my) =
(a+b) (mx+my)
b. 36am -45an + 4m -5n =
(36am +4m) – (45an + 5n) =
4m (9a + 1) – 5n (9a + 1) =
(9a + 1) (4m – 5n)
Trinomio cuadrado perfecto

Se reconoce porque tiene tres términos, donde el primero y el último son
positivos y tienen raíz cuadrada exacta, y el término de la mitad es el doble
producto de las dos raíces.
Ejemplo:
Factorice los siguientes polinomios:
a. x2
+ 18x + 81 = (x+9)2
x 9
2 (x) (9)
b. 9x2
- 48xy + 64y2
= (3x-8y)2
3x 8y
2 (3x) (8y)
c. a2
b2
- 20ab + 100 = (ab – 10)2
ab 10
2 (ab) (10) – 10
Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces cuadradas de
los términos, multiplicada por la diferencia de las mismas.
Ejemplo:
Factorice los siguientes polinomios
a. x2
– 81 = (x +9) (x-9)
b. 16A2
– 25B2
= (4A + 5B) (4A- 5B)
c. 





−





+=−
yb
a
xyb
a
x
b
y
a
X 339
2
2
2
2
d. x4
– 81 = (x2
+9) (x2
– 9)
= (x2
+ 9) (x + 3) ( x-3)
e. (2x – 5)2
– (3x – 5)2
=
[(2x – 5) + (3x -5)] [(2x – 5) + (3x -5)] =
[2x – 5 + 3x -5] [2x – 5 - 3x -5] =
[5x – 10] [- x]
Trinomio de la forma x2
+ bx +c
Un trinomio de esta forma se resuelve con dos paréntesis, donde se coloca
en ambos la raíz del término cuadrático, y hallando dos números, que
multiplicados, den el valor de c y su suma o diferencia dé el valor de b.
a2
– b2
= (a+b) (a-b)

Ejemplo:
Factorice los siguientes polinomios:
a. x2
– 5x - 66 = (x - 11) (x + 6)
b. x2
- 29x + 204 = (x – 17) (x – 12)
c. x2
y2
– 3xyz – 10z2
= (xy – 5z) (xy + 27)
d. a4
+ 30ª + 81b2
= (a + 27b) (a + 3b)
e. (x –1)2
+ 3(x – 1) – 108 =
[(x – 1) + 12] [(x – 1) - 9]
Trinomio de la forma ax2
+ bx + c
Se diferencia del caso anterior en el coeficiente del término cuadrático, o sea,
el valor de “a” que es diferente de 1.
Para su solución, se utiliza el método de tanteo, que consiste en
descomponer el primer término y el último en dos factores, de tal forma que
al hacer el producto en cruz y luego sumar o restar dé el término de la mitad;
luego, se escribe la factorización con dos paréntesis.

Ejemplos:
a. 5x2
– 17x + 6 = (5x – 2) (x – 3)
5x - 2
-15x – 2x = -17x
x - 3
b. 10x2
+ 79x - 8 = (10x – 1) (x + 8)
10x - 1
80x – x = 79x
x + 8
c. 6x2
– 13xm – 15m2
= (6x + 5m) (x – 3m)
6x + 5m
- 18xm + 5xm = -13xm
x - 3m

d. 8q2
– 38q – 33 = (4q + 3) (2q – 11)
4q + 3
- 44q + 6q = -38q
q -11
Suma o diferencia de cubos
La suma o resta de cubos es igual al producto de un binomio por un trinomio.
El binomio está formado por la suma o la resta de las raíces cúbicas de cada
término.
El trinomio consta de: el cuadrado de la primera raíz, el producto de las dos
raíces y el cuadrado de la segunda raíz.
Los signos del trinomio son:
a. para la suma: (+), (-), (+)
b. para la diferencia: (+), (+), (+)
a3
+ b3
= (a +b) (a2
– ab + b2
)
a3
- b3
= (a - b) (a2
+ ab + b2
)

Ejemplo:
Factorice los siguientes polinomios
a. 8x3
+ 27y3
= (2x + 3y) (4x2
– 6xy + 9y2
)
b. 





++





−=−
2520165412564
2233
qpqpqpqp
c. ( ) [ ]baxbax +−=+− )(33
[ ]22
b)ax(b)ax( +−−−
d. )Y100Y6036)(Y106(Y1000216 23
++−=−
Véase ahora algunos ejercicios combinados:
a. )254(254 22222
−=− axxxa
)52(2
+= ax )5a2( −
b. )96(96 2222
+−−=−+− xxaxxa
22
)3( −−= xa
[ ][ ]3()3( −−−+= xaxa
c. x3
+ x2
– 42x = x (x2
+ x – 42)
= x (x + 7) (x – 6)
d. 3c3
+ c2
– 2c = c (3c2
+ c – 2)
= c (3c - 2) (c + 1)

2.2.3. Simplificación de expresiones algebraicas
Al igual que las fracciones aritméticas, se dice que una fracción algebraica
está simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen más
factor común que la unidad.
Por lo anterior, se debe factorizar tanto numerador como denominador y,
luego, se cancelan los factores comunes.
Simplificar:
a. 2
8
)2(8
8
168
+=
+
=
+
x
xx
b.
3
4
)3)(5(
)2(4
)2)(5(
)5)(5(
152
84
107
25
22
2
+
=
+−
+
++
−+
=
−−
+
++
−
xxx
x
x
xx
xx
xx
x
x
xx
x
c.
1
)6)(7(
)1)(5(
)1)(1(
)6)(6(
)5)(6(
)1)(7(
54
42
1
36
3011
78
2
2
2
2
2
2
=
+−
+−
•
−+
−+
•
−−
−−
−−
−−
÷
−
−
•
+−
+−
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
a
a
aa
aa

d.
2
1
3
)1(
)3(2
)3)(3(
)1)(1(
3
1
1
62
9
1
2
2
22
=
−
−
++
+
−+
++−
−
−
÷
++
+
•
−
−3
x
x
x
xx
x
x
xx
xxx
x
x
xx
x
x
x
2.3. Potencias y radicales
Propiedades y operaciones de las potencias y los radicales
Potencias
Se tienen en cuenta las leyes de los exponentes así.
si x, y son números reales y m, n, son números naturales, entonces:
1. xm
.xn
= xm+n
2. nymconxx
x
x nm
n
m
〉≠,= −
0
3. (xm
)n
= xmn
4. (xy)m
= xm
yn
5. 0, ≠=





cony
y
x
y
x
n
mm

6. n
n
x
1
x =−
7. xº = 1
Ejemplo:
Simplificar utilizando ley de exponentes:
a. (6x3
yz) (4x4
y5
) = 24x7
y6
z
b.
4
1216
123
16
34
28
8
25
8
25
2
52
)2(
)5(
x
x
x
x
x
x
===
−
c. 42
+ 32
– 5º = 16 + 9- 1 = 24
d.
232
4
222
121
214
16
ab4
a2
bba4
ba4
ba2






=





=





− −−
−−
16
ba
4
ab 62
2
3
=





=
e.
2.2.22.2
2.22.2
2.8)2.2(
4.42.2
n23n33
nn3
1n23n
nn3
−
−
=
−
−
+
4
1
2
1
2
2
)22(2.2
)22(2.2
23nn23
nn2
===
−
−

Radicales
Se representan de la forma nmn
xxm /
= donde n =índice de la raíz = 2, 3, 4,
…. xm
= número al cual se halla raíz. La raíz cuadrada de un número “x” es
otro número “a” que elevado al cuadrado dé el valor de “x”.
Si ax = entonces x = a2
Si fuera raíz cúbica de un número “x” sería otro número “a” que elevado a la
tres reproduce el número “x”.
Cuando se requiere hallar la raíz de un número, se aconseja descomponerlo
en sus factores primos y luego se convierte en potencia para que la solución
sea xm/n
.
Cuando “n” es par y x es un número negativo no se obtendrán raíces reales,
sino complejas.
Cuando “n” es impar, entonces, sólo existe una raíz real, así x sea positiva o
negativa.
Evalúe las siguientes raíces:
a. 32221024 510
=== porque 32X32 = 1024
b. 55125 3 33
−=−=−
c. 2325
−=−

d. 724014
=
e. =−16 no existe
Conversión de un radical a potencia
a. 2/1
xx =
b. 3/23 2
xx =
c. 5/15 1 −−
= xx
Simplificación de radicales
Suma y resta
a. =+− 5720453
=+− 575x45x93
=+− 575259
714
b. =−− 333
56787531892
=−+ 3 33 33 3
7x57537x32
=−+ 333
71471576
3
77

Producto
a. xyyxyxxy 2824 3 333 223 ==⋅
b. 24.1224243.128 =
22882.3.2.224 222
==
c. 63.2.2.2.2.2104322x1285 3 333333
==
33
424043x8x10 ==
Cociente
a. 6
3
3x3x2
3
108
3
108 22
=== b.
2
1
3
3.2.2
3.3.2
24
108
24
108 3
2
22
3
3
3
===
Racionalización de radicales
Racionalizar radicales significa eliminar las raíces del denominador de la
fracción algebraica. Para hacerlo se multiplican numerador y denominador de
la fracción; el denominador se convierte en una diferencia de cuadrados.
La conjugada de 3+x es 3−x
Racionalizar los denominadores:

a. 5
5
55
)5(
55
5
5
.
5
5
5
5
2
====
b. 2
31
31
31
)3(1
31
31
31
.
31
1
31
1
2 −
+
=
−
+
=
−
+
=
+
+
−
=
−
c.
)52(3
1
)52(3
54
)52(3
)5(4
)52(3
52
52
.
52
3
2
−−=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
+

3. RELACIONES Y FUNCIONES

OBJETIVOS
1. A través del concepto de relación, definir
el concepto de función, sus diferentes
tipos y sus gráficos.
2. Definir en todas sus formas el concepto
de función lineal su ecuación y forma de
graficar y su aplicación.
3. Aprender los diferentes métodos de
solución de ecuaciones lineales y
aplicarlos a la solución de ejercicios.
4. Trabajar los conceptos de función
cuadrática, exponencial y logarítmica y
su aplicación a otras áreas de la
administración y la economía.
OBJETIVOS

3.1. Concepto de relación y de función
3.1.1. Definición de relación y de función
Relación
Se llama relación a todo subconjunto de un producto cartesiano formado por
parejas ordenadas así:
Sea A = {1,2} el producto cartesiano AxA = {(1,1); 1,2), (2,1), (2,2)}
Ejemplo:
Dados los conjuntos A = {3,5} y B = {0, 1, 9} construir una relación R: B 
(se lee relación de B en A) definida por la función proporcional “x es menor o
igual que y”.
BxA = {(0,3), (0,5) (1,5), (0,9), (9,5)}
Luego, se seleccionan las parejas que hacen verdadera la función
proposicional x menor o igual que y.
R = {(0,3),(0,5),(1,3), (1,5)}
Gráficamente se tiene:

De las parejas que se obtienen en la relación, a las primeras componentes
de la relación se les llama Dominio de la relación (valores de “x” que pueden
ser relacionadas) y a los valores de la segunda componente se les llama
rango o imágenes de la relación.
Ejemplo:
Hallar el dominio y el rango de la relación
R ={(x,y) / 2xy – 3y + 5 =0} definida en los números reales.
Solución:
Dominio: se debe despejar “y” de la relación y analizar “x”.
2xy – 3y + 5 = 0
2xy – 3y = - 5
y (2x – 3 = - 5
0
1
9
3
5
B A
R
0
1
9
3
5
B A
R

y =
3X2
5
−
−
2x – 3 ≠ 0 entonces x ≠ 3/2
Rango:
Se despeja x, y se analiza y
2xy = -5 + 3y el rango es para
x =
x2
y35 +−
2x = 0  x = 0 o sea reales.
Función
Muchos modelos matemáticos se describen mediante el concepto de
Función.
Un fabricante desea conocer la relación entre las ganancias de su compañía
y su nivel de producción; un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de
cierto cultivo de bacterias durante un tiempo; un psicólogo quisiera conocer
la relación entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una
lista de palabras; y a un químico le interesa la relación entre la velocidad de
una reacción y la sustancia utilizada. En cada caso la pregunta es la misma:
¿cómo depende una cantidad de otra? Esta dependencia entre dos
cantidades se describe en Matemáticas como una Función.

x1
x2
x3
a
b
c
d
B A
f
x1
x2
x3
a
b
c
d
B A
f
Definición de función
Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A uno
y sólo un elemento de un conjunto B.
Ejemplo:
Al conjunto A se le denomina dominio de la función y se denota, como f. Si
x es un elemento de f, entonces el elemento en B se denota por y = f(x) (se
lee “f de x”) y al conjunto de valores de B se le llama conjunto imagen.
Se puede pensar una función f como una máquina donde el dominio es el
conjunto de entradas (la materia prima) para la máquina; la regla describe la
forma de procesar la entrada y los valores de la función son las salidas de la
máquina (ver figura 3).

Figura 3
Es importante entender que la salida f(x) asociada con una entrada x es
única.
Un ejemplo de función surge a partir de la relación entre el área de un círculo
y su radio. Si x es el radio y y el área de un círculo se tiene que y = Πx2
.
Para calcular el área de un círculo cuyo radio es 5 cm. Se reemplaza x = 5
en la ecuación y se tiene:
y = Π(5cm)2
= 25 Πcm2
En general para evaluar una Función se reemplazan los valores de x.
Sea f la función definida por la regla f(x) = 2x2
– x + 1.
f
Entrada
X
f (x)
Salida
f
Entrada
X
f (x)
Salida

Calcular:
a. f(1) b. f (-2) c. f(h)
f (1) = 2(1)2
– 1 + 1 = 2
f (-2) = 2 (-2)2
– (-2) + 1 = 11
f(h) = 2(h)2
– h + 1
= 2h2
– h + 1
3.1.2. Tipos de funciones
En el recorrido del módulo se tomarán las funciones de más frecuencia
utilizadas en Administración.
Estas funciones son: Función lineal, Función cuadrática, Función exponencial
y Función logarítmica, con sus respectivas gráficas. Las anteriores funciones
se tratarán más detalladamente en capítulos posteriores a esta unidad.
3.2. Función lineal y ecuaciones lineales
Función lineal
La función f definida por: y = f (x)= mx + b donde m y b son constantes, se
denomina función lineal.
Su nombre se debe al hecho de que su representación, en un sistema de
coordenadas de dos dimensiones, es una línea recta.

El dominio y el rango de esta función es el conjunto de todos los números
reales. A m se le denomina pendiente o inclinación de la recta, y a b el
intercepto o corte con el eje y del plano cartesiano.
La inclinación de la recta dependerá del signo de m y su gráfica:
y
x
(0,b)
m > 0
m≤ 0
y
(0,b)

Para graficar una función lineal se elabora una tabla de valores, dando a x
valores arbitrarios, para obtener así los valores de y. Después de ubicar cada
pareja en el plano cartesiano y marcar un punto, se unen éstos para así
obtener su gráfica.
Ejemplo 1:
Graficar las funciones lineales cuyas ecuaciones son:
x 0 1 2 x 0 1 2
y -1 1 3 y 3 1 -1
Y = 2x-1 ^ Y = -2x+3

La función lineal presenta otra ecuación muy importante, denominada
ecuación punto-pendiente. Esta ecuación se obtiene luego de conocer las
coordenadas de dos puntos de una misma línea recta o de los datos de un
problema específico.
La ecuación tendrá la siguiente forma así:
y - y1= m (x-x1) ó y - y2= m (x-x2)
Fundamentos Matemáticos
y
4
3 y = 2 x - 1
2
1
x
-3 -2 -1 1 2 3
-1 y = -2 x + 3
-2
-3 y = 2 x - 1
84

Donde P1 (x1,y1) ^ P2 (x2,y2) son las coordenadas de los dos puntos
pertenecientes a la misma línea recta; y la pendiente m se calcula así:
m=
12
12
xx
yy
−
−
m=
21
21
xx
yy
−
−
Ejemplo 2:
Encuentre la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos P1(-3, -2) y
P2 (2, 3) y realice su gráfico.
m - y2 – y1 - 3 – (-2) - 3 + 2 - 5 - 1
x2 – x1 2 – (-3) 2 + 3 5
y – y1 = m (x – x1) ó y – y2 = m (x – x2)
y – (-2)= 1 (x – (-3)) y - 3 = 1 (x – 2)
y + 2 = x + 3 y – 3 = x - 2
y = x + 3 – 2 y = x – 2 + 3
y = x + 1 y = x + 1
y
x
(0,1)
(-1,0)
y
x
(0,1)
(-1,0)

Ejemplo 3:
Se pide al estudiante calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos
P1(3, -1) y P2(4,5) y realizar su gráfico.
Las funciones lineales desempeñan un papel muy importante en el análisis
cuantitativo de los problemas comerciales y económicos. Muchos problemas
son lineales por naturaleza y pueden formularse en términos de funciones
lineales. Además, como es tan sencillo trabajar con funciones lineales, en
muchos casos es posible obtener modelos matemáticos aceptables que
aproximan las situaciones reales.
Aplicaciones de las funciones lineales
Las funciones lineales son de gran aplicación en todos los campos del saber;
para nuestro interés, sólo abordaremos lo que se refiere a ellas, en
problemas de Administración y Economía.
La dirección de una empresa (ya sea de un dueño único o una gran
corporación) debe mantener un registro constante de los costos de
operación, de los ingresos resultantes de la venta o servicios y, tal vez, lo
más importante, de las ganancias obtenidas. Tres funciones ofrecen a la
dirección una medida de estas cantidades: la función de costos totales, la
función de ingresos y la función de ganancias.
Para la producción de cualquier bien en una empresa intervienen dos tipos
de costos que se conocen como costos fijos y costos variables. Los costos
fijos no dependen del nivel o cantidad de artículos producidos. Ejemplo de
éstos son: las rentas, los intereses sobre préstamos y los salarios de
administración.

Los costos variables dependen del nivel de producción, es decir, de la
cantidad de artículos producidos. Ejemplo de estos son los materiales y la
mano de obra empleada en la producción.
El modelo lineal para el costo es:
Se denota x como el número de unidades producidas o vendidas, m el costo
variable por unidad y b como los costos fijos, entonces, la función de costos
totales es:
Ejemplo 4:
El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50 ¢ y los
costos fijos por día son de $300.
a. Halle la ecuación de corte lineal y dibuje su gráfica.
b. Determine el costo de procesar 1000 kg de café en un día.
C(x) el costo de procesar x kilos de granos de café por día, donde b= $300 y
m= $0.5, de acuerdo con el modelo lineal queda:
COSTO TOTAL = COSTOS VARIABLES + COSTOS FIJOS
Yc=C(x)=mx+b
C(x)=0.5x+300

Ahora, si x = 0, entonces, C(0)=0.5(0)+300
C(0)=300
Si x = 200, entonces, C(200)=0.5(200)+300
C(200)=100+300
C(200)=$400
Con las dos parejas (0, 300) y (200, 400) se realiza la gráfica.
Si x = 1.000 kg, entonces, C(1.000)=0.5 (1.000)+300
C(1.000)=500+300
C(1.000)=800
Por lo tanto, el costo de procesar 1.000 kg de café al día es de $800.
Ejemplo 5:
0
100
200
300
400
500
600
0 100 200 300 400 500
Kilos
Dólares

Si cuesta $4.500 producir 75 unidades semanales de un producto y $5.200
producir 100 a la semana. ¿Cuáles son los costos fijos semanales y cuál el
costo variable por unidad?
Resolverlo considerando:
x = número de unidades
y = el precio
y la ecuación y - y1= m(x-x1)
La función de ingresos es:
R(x)= Precio por unidad x cantidad de unidades vendidas del producto
Si x = número de vendidas y P el precio de venta de cada unidad, entonces,
la función de ingreso es:
La función de ganancia es:
G(x)= Ganancia Total obtenida por la fabricación y venta de x unidades del
producto.
La función de ganancia se define como:
Ganancia = Ingresos – costos
R(x)=P.x

G(x)= R(x) - C(x)
Ejemplo 6:
Una empresa, fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por $20.000;
costos de producción de $20 por unidad, y un precio de venta unitario de
$30. Determine las funciones de costos, ingresos y ganancia para dicha
empresa. También la ganancia por la venta de 2.500 unidades.
Sea x el número de unidades producidas y vendidas. Entonces:
C(x)= 20x+20.000
R(x)= 30x
G(x)= R(x) – C (x)
= 30x – (20x+20.000)
= 30x – 20x – 20.000
= 10x – 20.000
Si x = 25.000, entonces, G(2.500) = 10(2.500) – 20.000
=25.000-20.000
=$5.000
Otra aplicación importante de las funciones lineales es la que se denomina
depreciación lineal.
Cuando una empresa compra parte de un equipo o maquinaria, reporta el
valor de ese equipo como uno de los activos en su hoja de balance. En años
subsecuentes este valor debe disminuirse debido al lento desgaste del
equipo, o bien, a que se vuelve obsoleto. Esta reducción gradual del valor de
un activo se denomina depreciación.

Un método común de calcular el monto de la depreciación es reducir el valor,
cada año, en una cantidad constante, de forma tal que dicho valor se
reduzca a un valor de desecho al final del tiempo de vida útil estimado del
equipo. Esto se denomina depreciación lineal.
Se tiene:
Ejemplo 7:
Una empresa compra maquinaria por $150.000. Se espera que el tiempo de
vida útil de la maquinaria sea de 12 años, con un valor de desecho de cero.
Determine el monto de depreciación anual y una fórmula para el valor
depreciado después de x años.
Solución:
Depreciación por año
=(Precio de adquisición inicial – Valor de desecho)
(vida útil en años)
= 150.000 – 0
12
= 12.500 dólares
Valor después de x años = (Valor inicial) – (Depreciación por año) (número
de años)
Tasa de depreciación (anual) = (Valor inicial – valor de desecho)
(tiempo de vida en años)

= (150.000) – (12.500) (x años)
= 150.000 – 12.500 x dólares
Resuelve el estudiante.
Ejemplo 8:
Una compañía está utilizando una depreciación lineal para calcular el valor
de su planta, recientemente construida. Después de dos años está valorada
en $8.8 millones, y después de 6 años, en $7.2 millones. ¿Cuál es el costo
inicial y después de cuántos años el valor se deprecia a cero?
Oferta y demanda
Las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales
en cualquier análisis económico. La cantidad x de cualquier artículo, que será
adquirida por los consumidores, depende del precio en que el artículo esté
disponible. A esta relación se le denomina ley de la demanda.
La ley más simple es una relación del tipo: P = mx + b. Donde P es el precio
por unidad del artículo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de
demanda se llama curva de demanda.
Es un hecho que si el precio por unidad de un artículo aumenta, la demanda
por el artículo disminuye, porque menos consumidores podrán adquirirlo;
mientras que si el precio por unidad disminuye, la demanda se incrementará.

La pendiente de esta función es negativa y su gráfica se inclina hacia abajo y
hacia la derecha.
La cantidad de un artículo determinado, que sus proveedores están
dispuestos a ofrecer, depende del precio al cual pueden venderlo. Una
relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes
(o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios, se denomina
ley de la oferta y su gráfica se le llama curva de oferta.
En general, los proveedores inundarán el mercado con una gran cantidad de
artículos, si pueden colocarle un precio alto.
Ejemplo 9:
Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor,
las ventas ascienden a 2.000 televisores al mes. Sin embargo, a $450 por
televisor, las ventas son de 2.400 unidades. Determine la ecuación de
demanda, suponiendo que es lineal, y realice su gráfica.
Solución:
Formando las parejas cantidad (x) y precio (p), se tiene:
(2.000, 500) y (2.400, 450)
m = 450 – 500__ = -50__ = -0.125
2.400 – 2.000 400
Utilizando la ecuación punto – pendiente:
P – P1 = m (X-X1) queda

P – 500 = 0.125 (X – 2.000)
P = -0.125X + 250 + 500
P = -0.125X + 750
Si x = 0, entonces, P = 750
Si x = 6,000, entonces, P = 0
Ejemplo 10:
A un precio de $10 por unidad, una compañía proveería 1.200 unidades de
su producto, y a $15 por unidad, 4.200 unidades.
Determine la relación de la oferta, suponiendo que sea lineal.
Solución:
(1.200, 10) y (4.200, 15)
m - 15 – 10 - 5 - 1
4.200 – 1.200 3.000 600
P – P1 = m (x –x1)
P – 10 - 1 (x – 1.200)
600
P - 1 x – 2 + 10
600

P - 1 x + 8
600
Si x = 0, entonces, P = 8
Si x = 6.000, entonces, P = 18
Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos
expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el
símbolo de igualdad, =.
Una ecuación polinomial de grado 1, se denomina ecuación lineal.
La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es:
ax + b = 0 (a ‡ 0)
Donde a y b son constantes.
Ejemplo 1:
a. x – 4 = 0 es una ecuación lineal. Se pasa 4 al lado derecho,
cambiando de signo, se obtiene x = 4 esto equivale a sumar 4 a
ambos lados. Única solución de la ecuación.
b. 2x + 3 = 0 ecuación lineal. Se pasa 3 al lado derecho, se obtiene:
2x = – 3 dividiendo entre 2 a ambos lados, resulta que:

x - -3_, así es la única solución de la ecuación.
2
c. En el caso general,
ax + b = 0
Se pasa b al lado derecho, lo que da:
ax = -b
Dividiendo entre a, a los dos lados de la igualdad se tiene:
x = -b
a
Al resolver ecuaciones, se dejan los términos que incluyen a la variable al
lado izquierdo de la ecuación, y se pasan las constantes al segundo
miembro.
Resolver las ecuaciones siguientes:
1. 5t – 3 = 18 + 3 (1 – t)
5t – 3 = 18 + 3 – 3t
5t + 3t= 18 + 3 + 3
8t = 24
t = 24
8
t = 3
2. 2x – 5 (1 – 3x) = 1 – 3 ( 1 – 2x)

2x – 5 +15x = 1 – 3 + 6x
2x + 15x – 6x = 1 – 3 + 5
11x = 3
x = 3_
11
3. La solución a la ecuación lineal
3z – 2 + 4 (1 – z) = 5 (1 –2z) – 12 es:
a. 1
b. 2
c. –1
d. No tiene solución
Resolver las ecuaciones:
a. 179 – 18 (x-10) = 158 – 3 (x-17)
179 – 18x + 180 = 158 – 3x + 51
- 18x + 3x = 158 – 179 – 180 + 51
- 15x = - 150
x =
15
150
−
−
x = 10
b.
90202189
18
90
18
)10(2)2(9
5
9
10
2
2
=++−
=
++−
=
+
+
−
xx
xx
xx
182090X11 +−=

8
11
88
=
=
x
x
Sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2
Resolver un sistema de ecuaciones es hallar el valor de las variables
desconocidas. Aunque se resuelve por varios métodos, en este tema sólo se
verán tres de ellos, así:
Método de igualación
De ambas ecuaciones se despeja la misma variable y, luego, se igualan las
ecuaciones resultantes. Hallada una de las variables, se sustituye ese valor
en alguna de las ecuaciones para hallar la otra variable.
Método de reducción o eliminación
Se elige la variable que va a eliminarse, y se debe buscar que ésta quede
con el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero con signo contrario.
Luego, se suman o restan verticalmente las dos ecuaciones, se despeja la
variable que queda y se halla su valor. Posteriormente, se reemplaza este
valor en una de las ecuaciones anteriores para hallar la otra variable.

Método por determinantes
Se resuelve con el siguiente arreglo:
Sean las ecuaciones:
222
111
cybxa
cybxa
=+
=+
b1
b1
∣b2
¿
}
∣b2
¿
}

X=
∣c1
∣c2
∣a1
∣a2

¿
¿
2
1
2
1
2
1
2
1
b
b
c
c
a
a
a
a
y=
Ejemplos:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
3x + 4y = 10 (1)
4x + y = 9 (2)

Método de igualación
De (1) 3x = 10 – 4y De (2) 4x = 9 – y
3
410 y
x
−
= (3)
4
9 y
x
−
= (4)
(3) = (4)
4
9
3
410 yy −
=
−
4(10 – 4y) = 3(9 –y)
40 – 16 y = 27 – 3y
- 16y + 3y = 27 – 40
- 13y = -13
y =
13
13
−
−
y = 1
x =
4
19 −
x =
4
8
x = 2

Método de reducción
3x + 4y = 10 (1) por 1
4x + y = 9 (2) por – 4
Queda:
3x + 4y = 10
13
26
2613
36-4y-16x-
−
−
=
−=−
=
x
x
x = 2
Método por determinantes
2
13
26
163
3610
1
4
1
4
4
3
9
10
=
−
−
=
−
−
==x

1
13
13
163
4027
1
4
9
10
4
3
4
3
=
−
−
=
−
−
==y
3.3. Funciones cuadráticas, exponenciales y logarítmicas
Concepto de función cuadrática, exponencial y logarítmica
Función cuadrática
La ecuación es y = f (x) = ax2
+ bx +c su dominio es el conjunto de los
números reales y su gráfica es una parábola, con dos formas, así:
a (+)
y
x
a (+)
y
x
a (-)
y
x
a (-)
y
x

Para tener una gráfica aproximada, basta con hallar el vértice, punto mínimo
o máximo. Así:





 −
);(,
2
xf
a
b
v
a
b
x
2
−
=
Ejemplo 1:
Graficar la función
y = 2x2
– 4x + 1
x = 1
4
4
)2(2
)4(
a2
b
==
−−
=
−
y = 2(1)2
- 4(1) + 1
y = 2 – 4 + 1
y = - 1
V(1, -1)
Ejemplo 2:
y = - 2x2
+ 8x
y
x
(1,-1)
y
x
(1,-1)
y
x
8
1 2
y
x
8
1 2

2
4
8
)2(2
8
2
=
−
−
=
−
−
=
−
=
a
b
x
)2(8)2(2 2
+−=y
8
168
16)4(2
=
+−=
+−=
V (2,8)
Solución de una ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática tiene la forma ax2
+ bx + c = 0 se resuelve por
factorización, o con la fórmula
a2
ac4bb
x
2
−±
=
Ejemplo:
Resolver la ecuación cuadrática: 2x2
+ 5x – 12 = 0, por ambos métodos.
a. Factorización:
2x2
+ 5x – 12 = 0
2x - 3
8x – 3x = 5x
x + 4
(2x – 3) (x + 4) = 0
2x – 3 = 0 x + 4 = 0

2x = 3 x = - 4
x = 3/2
b. Por la fórmula:
2x2
+ 5x – 12 = 0
a = 2 , b = 5, c = 12
4
96255
22
4(2)(-12)-55-
x
2
+±−
=
±
=
x
4
115
4
1215-
x
±−
=
±
=
2
3
4
6
4
115
1
1
1
=
=
±−
=
x
x
x
4
4
16
4
115
2
2
2
−=
−
=
−−
=
x
x
x
Función exponencial
Tiene dos formas así:
y = a
x
 base “a” = un número
y = e
x
 base “e”
E = 2.7182, su gráfica es una curva por encima del eje x, debe pasar por el
punto (0,1); su dominio son los números reales, y su imagen va de (0, ∞).

Ejemplo:
X -1 0 1 2
Y ½ 1 2 4
x -1 0 1
y 037 1 2.7
Las gráficas son:
Es una función creciente cuando la base es “e” o un entero; y decreciente
cuando la base es una fracción.
Esta función es muy utilizada para predecir el crecimiento de población, el
cálculo de interés compuesto y del valor futuro (en Matemáticas Financieras).
Función logarítmica
y
x
(0,1)
ex
2x
y
x
(0,1)
ex
2x
y = 2X
y y = eX

Considérese la forma más usada y = Lnx logaritmo natural de x, base e.
Aunque también se tiene el logaritmo decimal logx.
Ejemplo:
Calcular los siguientes logaritmos:
 Log2 16 = 4 porque 24
= 16
 Log1000 = 3
 Ln1 = 0
El dominio de esta función es (0,) su imagen (-∞,∞) queda al lado derecho
del eje y, pasa por el punto (1,0). Su gráfica es:
Se utiliza siempre con la función exponencial y es muy útil en Finanzas e
Ingeniería.
y
x
(1,0)
y = lnx
y
x
(1,0)
y = lnx

4. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
OBJETIVOS
1. Interpretar el concepto de desigualdad,
solucionar desigualdades lineales y de
orden superior y dar su respuesta en
intervalos.
2. Trabajar el concepto de valor absoluto y
resolver desigualdades que contengan
valor absoluto.
OBJETIVOS

3. Aplicar desigualdades a la solución de
problemas de tipo empresarial.
Desigualdades
Las desigualdades se originan en las relaciones de orden y cuando se
comparan números reales diferentes que, además, cumplan una y sólo una
de las siguientes proposiciones:
a < b
a = b
a > b
Para resolverlas, se hace lo mismo que con las ecuaciones, pero utilizando
los símbolos <, =, >.
Antes de abordarlas, se requiere de la ayuda de los intervalos, útiles al dar la
respuesta.

Intervalos finitos
Abierto (a, b) (xxxxxxxx)
a b
Cerrado [a, b] [xxxxxxxx]
a b
Semiabierto (a, b] (xxxxxxxx]
Semiabierto [a, b) [xxxxxxxxx)
Intervalos infinitos
(a, ∞) (xxxxxxxxxxx
a
[a, ∞) [xxxxxxxxxxx
a
(-∞, a) xxxxxxxxxxx)
a
(- ∞, a] xxxxxxxxxxx]
a
Ejercicios sobre desigualdades (se omite la escritura de las propiedades
pero se aplican).
Resolver 3x – 2 < 7
3x – 2 + 2 < 7+ 2
3x < 9

3
3
9
3
3
<
<
x
x
Solución (-∞, 3)
Resolver 5x – 7 ≥ 2x – 3
5x – 7 + 7 – 2 x ≥ 2x – 3 + 7 – 2 x
3 x ≥ 4
3
4
3
4
3
3
≥
≥
x
X
Solución 





∝,
3
4
Resolver 4 ≤ 2 x + 2 < 12
4 – 2 ≤ 2 x + 2 – 2 < 12 – 2
2 ≤ 2 x < 10
51
2
10
2
2
2
2
〈≤
〈〈
x
x
Solución: [1,5)
Desigualdad por factorización

Ejercicios:
Resolver x2
– 5x + 6 > 0
(x – 3) (x – 2) > 20 Se resuelven por el método de las
cruces o cementerio así:
++++++++++ -------------- ++++++++++ x
2 3
La solución es para los intervalos positivos porque la desigualdad dice > 0
Solución: (-∞, 2) ∪ (3, ∞)
Resolver x2
+ x – 2 ≤ 0
(x + 2) (x – 1) ≤ 0
----------------- ++++++++ --------------- x
-2 1
Se toma el intervalo positivo
Solución [-2,1]
 Desigualdad que posee un cociente se resuelve igual que las del paso
anterior.
Resolver 0
3
2
≥
+
−
x
x
----------------- +++++++++ --------------- x
-3 2
Solución ( - ∞, -3) ∪ [2, + ∞)

Aplicación
El producto interno bruto (PIB) de un país está proyectado en t2
+ 2t + 50
miles de millones de dólares, t se mide en años a partir del año en curso.
Determine en qué instante el PIB del país será igual o mayor de $58 mil
millones.
Solución:
t2
+ 2t + 50 ≥ 58
t2
+ 2t + 50 – 58 ≥ 0
t2
+ 2t – 8 ≥ 0
(t + 4) (t – 2) ≥ 0
++++++++++ --------------- ++++++++++ x
-4 2
La solución es (2, ∞) porque t tiene que ser positivo, o sea, dentro de dos
años.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número x se denota con /X/ y se define como:
| x | = x si x ≥ 0
-x si x < 0
El valor absoluto de un número siempre es positivo. Así:

|7| = 7
|-5| = 5
Las desigualdades con valor absoluto son de tres formas así:
a. |x –a | = b equivale a:
x – a = b ó x – a = - b
b. |x - a| ≥ b equivale a:
x – a ≤ - b ó x – a ≥ b
c. |x - a| ≤ b equivale a:
- b ≤ x – a ≤ b
Ejercicios:
 Resolver las desigualdades:
a. |x - 3| = 5
x – 3 = 5 ó x – 3 = - 5
x = 5 + 3 x = - 5 + 3
x = 8 x = - 2
Solución: {2,8}
b. |2x - 5| = 1
2x – 5 = 1 ó 2x – 5 = -1
2x = 1 + 5 2x = -1 + 5

x = 6/2 2x = 4
x = 3 x = 4/2
x = 2
Solución: {2,3}
 Resolver la desigualdad:
|2x + 8| ≥ 4
2x + 8 ≤ - 4 ó 2 x + 8 ≥ 4
2x ≤ - 4- 8 2x ≥ 4 – 8
2
12
x
−
≤
2
4
x
−
≥
6x −≤ 2x −≥
Solución: (- ∞, - 6] ∪ [- 2, + ∞)
 Resolver las desigualdades:
|3x - 5| ≤ 2 ↔ - 2 ≤ 3x – 5 ≤ 2
- 2 + 5 ≤ 3 x ≤ 2 + 5
3 ≤ 3 x ≤ 7
3
7
x1
3
7
3
x3
3
3
≤≤
≤≤
g
Solución: [1, 7/3]
Aplicación

El diámetro (en pulgadas) de una pieza esférica, producido por una empresa
de partes, satisface la desigualdad |x – 0.1| ≤ 0.01. ¿Cuáles son los
diámetros mínimo y máximo que debe tener una de estas piezas?
|x – 0.1| ≤ 0.01 ↔ -0.001 ≤ x – 0.1 ≤ 0.001
-0.01 + 0.1 ≤ x ≤ 0.01 + 0.1
0.09 ≤ x ≤ 0.11
Solución: [0.09,0.11] pulgadas
ESTUDIO DE CASO
La función lineal cumple un papel muy importante, tanto en el análisis
empresarial como económico. A continuación, se expone un caso en el que
dicha función interviene y que, con mucha frecuencia, se presenta en las
empresas.
Una compañía tiene gastos fijos de US 40.000 y un costo de producción de
US 16, por unidad fabricada. Cada unidad se vende a US 20.
a. ¿Cuál es la función de costo?
b. ¿Cuál es la función de ingresos?
c. ¿Cuál es la función de ganancia?
d. Calcule la ganancia (o pérdida) correspondiente a los niveles de
producción de 5.000, 100.000 y 12.000 unidades.

Solución:
Sea x el número de unidades producidas y vendidas, P = precio de venta por
unidad; C(x), R(x) y G(x) las funciones lineales de costos, ingresos y
ganancias. Entonces queda:
a. C(x) = 16x + 40.000
b. R(x) = Px = 20x
c. G(x) = R(x) – C(x)
G(x) = 20x – (16x + 40.000)
G(x) = 20x – 16x – 40.000
G (x) = 4x – 40.000
d. Si x = 5.000, entonces:
G(5.000) = 4(5.000) – 40.000
= 20.000 – 40.000
= US -20.000 pérdida
Si x = 10.000, entonces:
G(10.000) = 4(10.000) – 40.000
= 40.000 – 40.000
= 0 ni pérdida ni ganancia
Si x = 12.000, entonces:
G(12.000) = 4(12.000) – 40.000
= 48.000 – 40.000
= US 8.000 ganancia

ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO
UNIDAD 1. Teoría de conjuntos
 Este capítulo requiere de la intuición que posea el estudiante sobre lo
que es un conjunto y cómo clasificarlo, y la idea que tenga sobre la
forma de presentarlo en un diagrama.

 Conocer los conceptos de conjunto, además de otros conceptos sobre
reunión de elementos de un conjunto y la relación de pertenencia
entre ellos.
 Desarrollar un buen manejo sobre conjuntos, manejar las operaciones
básicas de la matemática (+, -, x, ÷) y el conocimiento general de un
número.
 Este capítulo requiere mucha claridad sobre conjuntos y sobre la
diferencia entre los conjuntos numéricos y el alcance de los símbolos
matemáticos.
UNIDAD 2. Factorización, potenciación y radicación
 Al iniciar este capítulo el estudiante deberá recordar y afirmar sus
conocimientos de las operaciones básicas, para convertirlas en
expresiones algebraicas. Todos los símbolos que se utilicen para
representar elementos denotarán números reales. Por tanto, el estudio
de las operaciones se hará con base en las propiedades e igualdades
de números reales tratadas en la unidad 1.
 Para este capítulo es de vital importancia el manejo de multiplicación y
división de potencias de igual base y la utilización con frecuencia de
las propiedades distributivas y asociativas; además, se requiere del
manejo de coeficientes enteros y racionales.
 Para este capítulo se requiere un estudio más amplio de exponentes;
se debe saber factorizar y simplificar fracciones algebraicas, producto
y cociente de polinomios y operaciones con números reales.

UNIDAD 3. Relaciones y funciones
 Para esta unidad el estudiante debe manejar muy bien la teoría de
conjuntos, el concepto de número reales y el valor numérico, vistos en
la unidad número dos. Además, los conceptos de variable y
constante.
 Para este capítulo se deben tener claros los conceptos de función,
valor numérico y números reales, y saber tabular y ubicar puntos en el
plano cartesiano. Además, asociar la función lineal con la gráfica de
una línea recta.
 Un buen manejo de funciones requiere el dominio de tabulación y de
ubicación de puntos en el plano cartesiano; también, aplicar los
números reales y la factorización.
UNIDAD 4. Desigualdades y valor absoluto
 Para este capítulo es necesario saber todo lo relacionado con
ecuaciones lineales y cuadráticas; también, el tema de factorización y
tener mucha claridad sobre números reales y conjuntos.
ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN
UNIDAD 1. Teoría de conjuntos
1. Responda en forma exacta:
a. ¿Qué es un conjunto vacío?
b. ¿Qué utilidad prestan los conjuntos?

c. ¿Cuántos conjuntos fundamentales existen?
2. Dados los conjuntos por comprensión, expréselos por extensión:
A = {x / x es un número primo par}
B = {x / -5 < x < 3}
C = {x / x > 0, es un divisor de 14}
D = {x / -2 < x < 2}
E = {x / x2
- 1, x∈N dé como resultado un número par menor
que 30}
3. Dados los conjuntos por extensión, expréselos como conjuntos por
comprensión:
A = {1, 2, 3, ...,}
B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}
C = {1, 2, 3, 6}
D = {4, 8, 12, 16, 20}
4. Responda con precisión:
a. ¿Qué es la intersección entre dos o más conjuntos?
b. En conjuntos (A - B) = (B - A)
c. ¿La intersección entre un conjunto A y su Universal es?
5. Dados los siguientes conjuntos, realice las operaciones indicadas:
U = {x / x es un número par menor o igual que 20}

A = {1, 4, 5, 8, 10}
B = {x / x es un múltiplo de 3}
6. Calcular:
a. A – B
b. B - A
c. A'
d. B'
e. A ∩B
7. Resuelva los siguientes ejercicios de aplicación:
a. Una farmacia rebajó el precio de una loción y el de una crema. La
contabilidad, al final de un día, indicó que 66 personas habían
comprado crema; 21, loción, y 12, ambos productos. Se pide:
• ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?
• ¿Cuántas personas compraron solamente loción?
• ¿Cuántas personas compraron solamente la crema?
b. Una mesera tomó una orden de 38 hamburguesas: 18, con cebolla;
23, con mostaza, y 29, con salsa de tomate. De éstas, 3 tenían
sólo mostaza y 8 sólo salsa; 9 de las hamburguesas tenían sólo

mostaza y salsa; y 5, los tres ingredientes. Realice un diagrama de
Venn y encuentre:
• ¿Cuántas hamburguesas llevaban cebolla y salsa
solamente?
• ¿Cuántas sólo llevaban cebolla?
• ¿Cuántas hamburguesas sólo llevaban cebolla y mostaza?
c. En una encuesta a 75 personas se encontró que de los tres
periódicos: El Colombiano, El Mundo y El Tiempo, 23 leían El
Tiempo, 18 leían El Colombiano, 14 leían El Mundo; 10 leían El
Tiempo y El Colombiano; 9 leían El Tiempo y El Mundo; 8 leían El
Colombiano y El Mundo, y 5 leían los tres periódicos.
 ¿Cuántas no leen ninguno de los tres periódicos?
 ¿Cuántas leen sólo El Tiempo?
 ¿Cuántas leen sólo EL Colombiano?
 ¿Cuántas leen sólo El Mundo?
 ¿Cuántas no leen ni El Tiempo ni El Colombiano?
 ¿Cuántas leen El Tiempo o El Colombiano o ambos?
d. En una encuesta sobre hábitos bibliotecarios en la universidad, se
obtienen los siguientes resultados, sobre 120 estudiantes
consultados:
 A 57 les sirve el horario de 8 a.m. - 12 m.
 A 63 les sirve el horario de 12 m. - 4 p.m.
 A 45 les sirve el horario de 4 p.m. - 8 p.m.

 A 11 les sirve el horario de 8 a.m. – 12 m. y 12 m. – 4
p.m.
 A 21 les sirve el horario de 8 a.m. – 12 m. y 4 p.m. – 8
p.m.
 A 32 les sirve el horario de 12 m. – 4 p.m. y 4 p.m. – 8
p.m.
 A 9 les sirven los tres horarios
8. Encontrar:
a. ¿A cuántos les sirve solamente el horario de 12 m. - 4 p.m.?
b. ¿A cuántas personas no les sirve ni el horario de 8 a.m. -12
m. ni el horario de 4 p.m. - 8 p.m.?
c. ¿A cuántas personas les sirve el horario de 12 m. – 4 p.m. y
el horario de 4 p.m. – 8 p.m., pero no el horario de 8 a. m. –
12 m.?
d. ¿A cuántas personas les sirve al menos un horario?
e. ¿A cuántas personas no les sirven por lo menos dos
horarios?
f. En un examen de Estadística sobre 3 preguntas, al aplicarlo
a 75 alumnos, se dieron los siguientes resultados:
 30 alumnos acertaron las tres preguntas
 45 alumnos acertaron la primera y segunda preguntas

 35 alumnos acertaron la segunda y tercera preguntas
 43 alumnos acertaron la primera y tercera preguntas
 60 alumnos acertaron la primera pregunta
 53 alumnos acertaron la segunda pregunta
 49 alumnos acertaron la tercera pregunta
9. Hallar:
a. ¿Cuántos estudiantes acertaron la segunda y la tercera,
pero no la primera?
b. ¿Cuántos no acertaron ni la primera ni la tercera?
c. ¿Cuántos no acertaron al menos una pregunta?
d. ¿Cuántos acertaron por lo menos dos preguntas?
10.En forma corta defina:
a. Número entero
b. Número real
c. Propiedad conmutativa de la suma y del producto.
d. ¿Para toda pareja de números reales se cumplirá la división?
e. ¿Cuando se suma un número real a su inverso, el resultado
será?
f. Enumere tres propiedades importantes en el producto de
números reales
g. Conteste Falso ó Verdadero, según su criterio y argumente
su respuesta
• 10 - 4 = 4 - 10
• 7 + (-7) = 0
• 5. (8 + 4) = 5 x 8 + 5 x 4
• 14 + 0 = 0
• 7 x 8 = 8 x 7

11.Resuelva las preguntas teóricas y solucione los ejercicios teniendo en
cuenta toda la teoría de conjuntos numéricos.
a. Diga con sus propias palabras cómo se suman y cómo se
restan los números enteros.
b. Diga con sus palabras cómo se realizan suma, resta,
producto y cociente de números racionales.
c. Propóngase algunos ejemplos de las operaciones con
fracciones y resuélvalas.
d. Resuelva los siguientes ejercicios:
1. 146 – 285 + 36 =
2. 200 – 5{13 - 2 [(8 – 7) – 5 (4 – 13 + 2)] + 8 (13 – 20 ) }
3. (-13) . (8). (-4) . (12) =
4. 3
3
4
10
8
5
7
3
15
+





−÷





+
5. 





+





÷−





+−− 8
3
1
4
5
8
1
8
3
x
5
7
4
1
17
6. [ ][ ]5)70(3)715(2)213(81243x5 −−−−+−−−−
7. 





−−+





÷•−−
3
1
2
7
4
x
3
10
5
3
4
1
3
1
2
1
4
5
7
8
UNIDAD 2. Factorización, potenciación y radicación
1. Si de 5x2
+4 se resta 5x2
se obtiene:

a. 10x2
+1
b. 7
c. -4
d. 10x2
+7
2. Efectuar la siguiente operación y simplificar:
(9x-5x2
+2x2
-1) (3x3
+4x2
-5x4
) – 6x6
-7x5
-3x4
+ 52x3
-29x2
-31x)
3. Efectuar la siguiente operación y simplificar:
(p-1) (p-2) (p-3) +6p2
-11p
4. Efectuar la siguiente división y hallar el cociente y el residuo:
(64x6
-16a3
x3
+a6
) ÷ (4x2
-4ax +a2
)
5. Efectuar la división y hallar el cociente y el residuo de:
(12a3
+ 33ab2
– 35a2
b – 10b3
) ÷ (4a-5b)
6. Defina la palabra factorizar
7. Diga cómo se factoriza un trinomio de la forma x2
+bx+c
8. Factorizar completamente en R
a. 3p2
– 3p – 18
b. 9a3
– 132a2
b + 4ab2

c. 2x3
+ 7x 2
– 15x
d. 16x4
– 81y4
9. Simplificar la fracción algebraica:
axaxax
xx
x
Xx
x
xx
44
6316
4
1811
)2(
145
23
2
2
2
2
2
+−
+−
÷
−
+−
•
−+
−−
10. Conteste F ó V y justifique:
a. Cuando se multiplican potencias de diferente base, se
suman los exponentes.
b. La raíz de índice par de un número es un número real
c. 734 22
=+
d. Defina con sus palabras ¿Qué es hallar la raíz de un
número?
11. Resolver
a.
c4ba15
cba75
3
235
b.
3
12
b3
cba5





 −

c. 62
4
ba9
c16
c2
ab3
d. 3 432
Rqp27−
e. Racionalice
83
4
+
UNIDAD 3. Relaciones y funciones
1. Defina con claridad ¿Qué es:
a. Una relación
b. Una función
2. Diga qué son el dominio y el rango de una relación2.
3. Resuelva el siguiente ejercicio: dados los conjuntos
C = { 0,1,2} y D = {1,2} construya una relación de C en D que
cumpla: x + 1 = y
a. Diga si la siguiente relación es una función y = ± x
b. ¿Qué gráfica representa una función lineal?

c. ¿Cuáles son las principales aplicaciones de una función lineal
en la Administración y en la Economía?
d. En una función lineal constante su gráfica es una línea
__________________
e. Dados dos puntos P1 (-3,5) y P2 (1,-1), halle la ecuación de
la línea recta y grafíquela.
f. Dadas las funciones de oferta y de demanda de un producto,
hallar el punto de equilibrio y su gráfica
P = 26 + 5x
P = 110 – x
4. Resolver la ecuación:
5x – (3x – 7) - [4 – 2x – (6x – )] = 10
5. Resolver el sistema de ecuaciones:
39x – 8y = 99
52x – 15y = 80
6. ¿Qué figura geométrica representa una función cuadrática?
7. ¿Qué utilidad presentan las funciones exponencial y logarítmica?

8. Hallar el vértice y la gráfica de las siguientes funciones:
a. y = 4x2
– 2x +5
b. y = -3x2
+ 6x – 5
9. Resuelva las ecuaciones cuadráticas por factorización:
a. x2
– 4 = 0
b. 3 x2
– x – 4 = 0
c. 6x2
+ 5x – 6 = 0
d. 8m2
+ 64 m = 0
e. 13m = -5 – 6m2
10. Resuelva por la fórmula
a. 6x2
– 7x – 3 = 0
b. 2x2
= 8x – 3
c. m2
= 4m – 1
11. Grafique la función y = 3X
y la función y = (1/2)X
12. Grafique la función y = Ln (x + 2)
UNIDAD 4. Desigualdades y valor absoluto
1. Defina qué es una desigualdad
2. ¿Cómo se define el valor absoluto?
3. Resolver las siguientes desigualdades:

a. 7x + 9 – x ≥ 10 + 3x
b. 3(x – 5) + 10 ≤ 4x - 2
c. x2
– 2x – 15 ≤ 0
d. 2x2
– 5x + 3 ≥ 0
e. 0
1x
3x
≥
+
−
g
4. Resolver las siguientes desigualdades con valor absoluto:
a. |5x – 8| = 5
b. |9 – 3x| ≥ 3
c. |7x + 2| ≤ 1
d. |0.3x – 0.5| ≤ 2
BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL
ARUA Kagdosj C. y LARDNER, Robin W. Matemáticas aplicadas a la
Administración y a la Economía. 3ra
ed. México: Pearson Educación, 2002,
842p.
HAEUSSLER, Ernest, F. PAUL, Jr. Richard S. Matemáticas para la
Administración, la Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. 8ª ed. México:
Pearson Prentice Hall.

TAN S.T. Matemáticas para Administración y Economía. 2ª. ed. México:
Thomson Leaming, 2002. 992p.
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
URIBE CALAD, Julio Alberto. Matemáticas básicas y operativas. 2ª ed.
Medellín: Susaeta ediciones, 1986, 639p.
DIEZ, Luis H. Matemáticas operativas. 2ª ed. Medellín: Universidad de
Antioquia.

GLOSARIO
Álgebra: Lenguaje matemático que usa letras y números. Las letras
representan números desconocidos. 10x – 3 = 17.
Análisis: Es la fundamentación de todos los procesos lógicos que
intervienen en el cálculo.
Base: Número que se usa como factor en una potencia. En 103
, la base es
10, es decir, 103
= 10x10x10.

Conjunción: En Matemáticas representa la i.
Conjunto: Colección bien definida de objetos llamados elementos.
Disyunción: En Matemáticas representa la o.
Ecuación: Enunciado matemático que contiene el signo de igualdad (=).
Expresión que contiene variables que representan cantidades numéricas
desconocidas y relacionadas por operaciones algebraicas, funcionales o las
del cálculo.
Eje horizontal o vertical: Son las rectas horizontal o vertical del plano
cartesiano de coordenadas.
Evaluar: Calcular el valor de una expresión sustituyendo las variables por
números.
Exponente: Número de veces que la base de una potencia se usa como
factor: 53
, exponente 3.
Expresión algebraica: Combinación de variables, números y, al menos, una
operación.
Función: Correspondencia unívoca entre los elementos de dos conjuntos
determinados y especificada por una regla operacional.
Mínimo común múltiplo: El menor múltiplo común de dos o más números.
El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6.

Par ordenado: Par de números que se utiliza para ubicar un punto en el
plano de coordenadas (x,y).
Solución: Cualquier número que satisfaga una ecuación. La solución de 12
= x + 7 es igual a 5.
Variable: Un símbolo, por lo general una letra, que se usa para representar
números.
RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES
1. ¿Para qué sirven los conjuntos?
Para escribir o mostrar en forma visual muchos eventos que de otra forma
presentarían dificultades; también, como ayuda en estudios estadísticos,
como es el caso de las probabilidades.
2. ¿Cuál es el resultado de dividir un número por cero y dividir cero entre un
número?
Dividir un número por cero, da como resultado una indeterminación o un
error y, en Matemáticas, se dice que la división por cero no está definida. En

cálculo de límites, el resultado sería infinito y la división de cero, entre un
número, es igual cero, porque si se reparten manzanas entre x personas no
les toca manzana alguna.
3. ¿Para qué se simplifica una expresión algebraica?
Para expresar algo muy complejo en forma simple, que permite reemplazar
valores numéricos y realizar sus operaciones más fácilmente.
4. ¿A qué conjunto pertenecen las raíces de índice par de números
negativos?
Pertenecen al conjunto de los números complejos, que es de más amplitud
que el conjunto de los reales, pero que se aplica más frecuentemente en
Ingeniería.
5. ¿Qué aplicaciones importantes tiene la función lineal?
La función lineal tiene múltiples aplicaciones, por ejemplo, la depreciación en
línea recta para hallar las funciones de costos, ingresos y ganancias, y oferta
y demanda de un producto, etc.
6. En Administración ¿dónde se utiliza la función exponencial?
En Matemática Financiera, curso de la carrera, para calcular el valor futuro;
igualmente, para el cálculo del interés compuesto (sistema de ahorro, o
préstamo a interés).
7. ¿Dónde se utilizan las desigualdades?

En situaciones de la vida real donde se necesite expresar modelos que
incluyen restricciones, un mínimo en la producción, el nivel mínimo de
ganancia, o el máximo ingreso, en la representación de medidas de
distancias y medidas de tiempo.
8. ¿Para qué sirve el valor absoluto?
Para representar una magnitud que no se puede expresar con valores
negativos, por ejemplo: no se puede considerar tiempos negativos ni
distinciones negativas ni hablar de número de artículos negativos; sólo
interesa su magnitud.

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