Este documento presenta varios modelos matemáticos que representan situaciones de la vida real. El primer modelo representa el crecimiento de una colección de videos como una función lineal del tiempo. El segundo modelo representa la disminución de correos electrónicos pendientes como una función lineal del tiempo. El tercer modelo representa el costo total de un concierto como una función lineal del número de bebidas compradas. El cuarto modelo representa el valor de una inversión con interés compuesto como una función exponencial del tiempo.

1. MÓDELOS
MATEMÁTICOS

2. 1. Hay presentemente 50 videos en
tu disco duro y este número está
creciendo por 2 videos por semana.
Modelar el tamaño de tu colección
como una función de tiempo.
N(t) = 50 + 2 t
t = tiempo en semanas,
N = número de películas

3. 2. Hay corrientemente 80 correos
electrónicos sin leer en mi cuenta, y
este número está disminuyendo por
10 correos por día. Modelar el
número de correos electrónicos
como una función de tiempo.

4. E (t) = 80 -10 t
t = tiempo en días
E = número de correos

5. 3. La entrada a un concierto
de rock S/.50, y las bebidas
fueron S/.10 cada una.
Modelar el costo para un
alumno como una función del
número x de bebidas
compradas al Fiestón.

6. C(X) = 50 +10 X
x = número de bebidas
C = costo total

7. 4. Invierto $1000 a una tasa de
interés del 5% compuesto
trimestralmente. Hallar el
valor de la inversión después
de t años.

8. A(t) = 1000(1 + 0.0125)4
t
Por la formula para
interés compuesto

9. Modelos de Costo, Ingresos
y utilidades
Función de Costo: Una función costo especifica el
costo C como una función de la cantidad de artículos x.
En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos y tiene
la forma
Costo = Costo variable + Costo fijo
en la que el costo variable es una función de x y el costo
fijo es constante. Una función costo de la forma
C(x) = mx + b
se llama una función costo lineal; el costo variable es
mx y el costo fijo es b. La pendiente m, el costo
marginal, mide el costo incremental por artículo.

10. Los costos fijos (o gastos
generales) son la suma de todos los
costos que son independientes del
nivel de producción, como el
alquiler, los seguros, etc. Este costo
debe pagarse independientemente
de que se produzca o no algún nivel
de producción.

11. Los costos variables son la suma
de todos los costos que dependen
del nivel de producción, como la
mano de obra, materiales,
cantidades producidas, etc.
Costos totales = costos variables + costos fijos

12. FUNCION INGRESO
Los ingresos totales son el efectivo que el fabricante o el
productor recibe por la venta de su producción. Relaciona a
las cantidades vendidas por el precio de cada una de ellas, es
decir:
Ingreso total = (precio por unidad).(número de unidades
vendidas)
El precio algunas veces lo rige el mercado, por lo cual se
pude determinar que la variable “p” estará determinada por la
función de demanda en el mercado, es decir:
Ingreso total = (función de demanda).(número de
unidades vendidas)

13. Función de ingreso El ingreso que
resulta de una o más transacciones
comerciales es el pago total recibido, y a
veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es
el ingreso por vender x artículos al
precio de m cada uno, entonces I es la
función lineal I(x) = mx y el precio de
venta m se puede también llamar
ingreso marginal.

14. El costo diario para una compañía de imprimir x
novelas de ciencia ficción es:
C(x) = 3.50x + 1200 dólares.
Note que C es medido en dólares, y x es medido en
libros (novelos ciencia ficción)
El costo marginal es m = 3.5
costo fijo es b = 1200.

15. El costo diario si no imprime ninguno libro
es $
...........................
El costo diario para imprimir 100 libros es
…………………….
El costo diario para imprimir 101 libros es :
……………………..
El costo diario para imprimir cada libro
adicional es :
……………………..
El costo variable es $...................................

16. Ejemplo
Suponga que la casa editorial vende
libros ciencia ficción a una empresa
a $6.50 por libro.
Entonces
I(x) = 6.50x dolares.
El ingreso marginal es:
m = $6.50 por libro.

17. La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de
restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de
artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La
utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula:
Utilidad = Ingreso – Costo
U = I - C
Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida
(de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas
quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma,
equilibrio ocurre cuando
I = C
El punto equilibrio es el número de artículos que no permiten
ganancia ni perdida

18. La función utilidad es U(x)=………………….dolares
Para equilibrio, x =…………………..libros
La utilidad marginal es=…………………………dólares por libro
Si regresamos al ejemplo de las novelas ciencia ficción, ya tenemos
las funciones costo y ingreso:
C(X) = 3.50x + 1200 dólares Costo diario de imprimir x
libros
I(x) = 6.50x dólares Ingresos por la venta de x
libros

19. FORMA DE FUNCION
Y DE ECUACION DE
LOS MODELOS
MATEMATICOS
C(X) = 3.50x +1200 Función costo
I(x) = 6.50 Función ingreso

20. C = 3.50x +1200 Ecuación costo
I = 6.50 Ecuación ingreso
Aquí, la variable independiente es x, y las variables
dependientes son C y I. Las formas de función y de ecuación,
por usar la misma letra para la variable dependiente, son
usados intercambiablemente, así que podemos decir, por
ejemplo, que la ecuación costo más arriba especifica C como
una función de x.
En vez de usar notación de función, podemos expresar las
funciones de costo y ingreso en la forma de ecuaciones:

21. Ud. es el gerente de Euros Sport,
una empresa fabricante de ropa. La
función costo por su muy exclusive
camisetas Tai Kwan Do Dragon es
C(x) = 0.02x2 + 7.5x + 600 dólares,
y se venden las camisetas a $20
cada una.

22. Costo variable:…………………………
Costo Fijo:……………………………….
Función ingreso I(x)…………………
Función Utilidad (U)………………….
Utilidad de fabricar vender 100…..
camisetas es:………………………………..