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![Tipos de sistemas
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que
pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes
casos:
Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse
entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de
soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o
rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se
caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único
punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que
se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión
menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se
caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:
Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales
Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación,
sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida
por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos
despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita
menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.
Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:](https://image.slidesharecdn.com/portafoliodealgebra-140205103520-phpapp01/85/Portafolio-de-algebra-48-320.jpg)
![Ecuaciones Cuadráticas
Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales.
Las ecuaciones lineales son
ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas
de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c
son números reales.
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10
a = 9, b = 6, c = 10
3x2 - 9x
a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10
a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones
cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de
binomios.
Luego,
se
busca
el
valor
de
x
de
cada
binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0
(x
) (x
)=0
( x + ) (x - ) = 0
a=1
b=2
c=-8
[x ·x = x2]](https://image.slidesharecdn.com/portafoliodealgebra-140205103520-phpapp01/85/Portafolio-de-algebra-52-320.jpg)
![(x + 4 ) (x – 2) = 0
4 y –2
4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x+4=0
x–2=0
x+4=0
x=0–4
x = -4
x–2=0
x=0+2
x=2
Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la
constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la
siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0
4
4
4
4
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0
x2 + 2x = 8
[Ya está en su forma donde a = 1.]
[ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2 + 2x + 1
=8+1
x2 + 2x + 1 = 9
(
) (
) =9
( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.](https://image.slidesharecdn.com/portafoliodealgebra-140205103520-phpapp01/85/Portafolio-de-algebra-53-320.jpg)
![(x + 1) = ±
x+1= ±3
x = -1 ± 3
[Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3
x=2
x = -1 – 3
x = -4
Fórmula General:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática a la siguiente fórmula:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos
(−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a
identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos
resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2,
b=3 y
c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –
Así es que las soluciones son](https://image.slidesharecdn.com/portafoliodealgebra-140205103520-phpapp01/85/Portafolio-de-algebra-54-320.jpg)
![Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor
Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20
Ejemplo 1:
Casos Especiales
Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un
arreglo para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con
valor negativo.
Veamos el siguiente ejemplo:
2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x)
Primero quitamos los paréntesis:
2x –[x –x +50] < x –800 +3x
Reducimos términos semejantes.
2x –[50] < 4x –800
Ahora quitamos los corchetes
2x –50 < 4x –800
Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
2x –4x < –800 +50
Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a
–2x < –750](https://image.slidesharecdn.com/portafoliodealgebra-140205103520-phpapp01/85/Portafolio-de-algebra-58-320.jpg)
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- 1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DELCARCHI ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO PORTAFOLIO DE ALGEBRA NOMBRE: Karina Hernández Docente: Oscar Lomas Nivel: 1° “B” Date: 30-01-14 DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
- 2. UPEC - MISIÓN Formar profesionales MISIÓN- ESCUELA humanistas, La Escuela emprendedores y competentes, poseedores Agropecuario de Desarrollo contribuye al Integral desarrollo de conocimientos científicos y tecnológicos; Provincial, Regional y Nacional, entregando comprometida con la investigación y la profesionales que participan en la solución de problemas del entorno para producción, transformación, investigación y contribuir con el desarrollo y la integración dinamización del sector agropecuario y fronteriza agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y calidad UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA Ser una Universidad Politécnica acreditada Liderar a nivel regional el proceso de formación y por su calidad y posicionamiento regional ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-UNESCO Agricultura. lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria. SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-UNESCO Agricultura, Silvicultura y Pesca. II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”: CÓDIGO DOCENTE: NIVEL PRIMERO Oscar René Lomas Reyes Ing. TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: oscar.lomas@upec.edu.ec oscarlomasreyes@yahoo.es CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo) 3 48 CÓDIGOS
- 3. 1. Nivelación Aprobada CO-REQUISITOS:(Módulosobligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo) CÓDIGOS 1. Física Aplicada 1 EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color Agrícola y un nombre) LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio ) Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio) Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España. Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia. Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador. SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
- 4. DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describeel aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje académico pedagógico de los educandos. III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA). Escaso razonamiento lógico matemático Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO) Desarrollar el pensamiento lógico Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA) Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL) Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver problemas del entorno. LOGROS DE APRENDIZAJE NIVELES DE LOGRO PROCESO COGNITIVO DIMENSIÓN (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS) (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro) Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías El estudiante es capaz de: 1. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP 2. TEÓRICO AVANZADO Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el Diferenciar los conceptos básicos utilizados CONCEPTUAL.-Si VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. el estudiante va a
- 5. ENTENDER para el desarrollode pensamiento lógico matemático. INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, 3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR 4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, Argumentar el planteamiento que solución a los problemas planteados. 5. Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados CONCEPTUAL.-Si dará TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. 1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. 6. TEÓRICO PRÁCTICO AVANZADO CREAR CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. 3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento. Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA). Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.
- 6. IV. METODOLOGÍA DEFORMACIÓN DEL PERFIL: LOGROS DE APRENDIZAJE HORAS CLASE CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ¿Qué TIENEque saber? ¿Saber cómo TIENE queaplicar el conocimiento? Estrategias, métodos y técnicas AFECTIVO MOTIVACIONALES P ¿Saber qué y cómo TIENEactuar axiológicamente? El estudiante será capaz de Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. T Sistema de Números Reales Utilizar organizadores gráficos para identificar las clases de números reales que existe Demostrar comprensión sobre los tipos de números reales 1. Disposición para trabajar en equipo Recta de números Reales Operaciones Binarias Potenciación y Radicación Propiedades fundamentales Aplicaciones Utilizar organizadores gráficos para ubicar los elementos Relacionar en la uve heurística Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemática básica Identificar los diferentes propiedades en potenciación y radicación Aceptar opiniones diferentes Hacer síntesis gráfica Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autónoma y eficiente Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turístico DEMOSTRAR. Potenciar el clima positivo Caracterizar los números reales para la demostración 2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales. CONVERSACIÓN HEURISTICA 1. 2. 3. Determinación del problema. Dialogo mediante preguntas. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución. 2 4
- 7. Diferenciar los conceptos básicosutilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Expresiones algebraicas: nomenclatura y clasificación. Polinomios clasificación. Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división. Aplicar operaciones mentales Aceptar opiniones divergentes INDUCTIVO-DEDUCTIVO Identificar los diferentes tipos polinomios Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo INDUCTIVO Aplicar operaciones mentales en la resolución de un sistema de ecuaciones. Potenciar la resolución de problemas 2 4 3 6 1.Observación Productos notables. Identificar los diferentes tipos de productos notables Descomposición Factorial 2. Experimentación. Valorar las participaciones de los demás Resolver ejercicios 3. Información (oral, escrita, gráfica, etc.) Demostrar grado por lo que hacemos 4. Dramatización. 5. Resolución de problemas. 6. comprobación. 7. Asociación (especial temporal y casual) 8. Abstracción. 9. Generalización. 10. Resúmenes. 11. Ejercicios de fijación. CONVERSACIÓN HEURISTICA 1. Máximo común divisor de polinomios. Demostrar la utilidad de las Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos Utilizar una actitud crítica y reflexiva sobre el tema. Determinación del problema. 2. Dialogo mediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución. RAZONAR 1. Determinar las
- 8. matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógicomatemático. Mínimo común múltiplos de polinomios. Operaciones con fracciones. Aplicar procesos de resolución adecuados para resolver problemas. Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los máximos y los mínimos Aplicaciones Cooperar en el desarrollo del conocimiento. Demostrar confianza en el desarrollo del proceso. Cooperar con el grupo en la resolución de funciones. Distinguir los componentes de las expresiones racionales Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Plantear ecuaciones lineales. Ecuaciones lineales, resolución Sistemas lineales y clasificación. Resolución de ecuaciones lineales. Identificar los sistemas líneas y su clasificación Elaborar modelos matemáticos en la solución de problemas de la carrera Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. Definición y clasificación. 1. Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolución de problemas. Demostrar interés en el trabajo individual y de equipo Respetar las opiniones del grupo y fuera de él. Implementar procesos de resolución adecuados en problemas reales. Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante. Nombrar la definición de ecuaciones cuadráticas Utilizar creatividad y capacidad de análisis y síntesis respetando los criterios del grupo. Aplicaciones Ecuaciones reducibles a cuadráticas Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadráticas Resolución de ecuaciones cuadráticas por factoreo. Resolver ejercicios sobre expresiones cuadráticas Resolución por completación de un trinomio cuadrado. Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos. premisas. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio. 3. Elaborar las conclusiones. RELACIONAR. 2. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar. 2. Determinar los criterios de relación entre los objetos EXPOSICION PROBLEMICA. Determinar el problema. 2. Realizar el encuadre del problema. 3. Comunicar el conocimiento. 4. Formulación de la hipótesis. 5. Determinar los procedimientos para resolver problemas. 6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones) EXPOSICIÓN PROBLEMICA 6 3 6 1. 1. Demostrar razonamiento crítico y reflexivo cooperando en la obtención de resultados 3 2. 3. 4. Determinar el problema Realizar el encuadre del problema Comunicar el conocimiento (conferencia ,video ) Formulación de la hipótesis ( interacción
- 9. de las partes) Construir expresiones algebraicasque contribuyan a la solución de problemas del entorno. Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Aplicar la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas Aplicaciones de la ecuación cuadrática. Distinguir los componentes de las expresiones racionales Valorar la creatividad de los demás 1. Respetar el criterio del grupo. 2. Determinar los procedimientos para resolver problemas. Encontrar la solución ( fuentes ,argumentos, búsqueda ,contradicciones) 3 6
- 10. V. PLANEACIÓN DELA EVALUACIÓN DEL MÓDULO FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE LOGROS DE APRENDIZAJE indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE DIMENSIÓN COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro) INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA descripción 2° PARCIA L Chat-Foro 10% Reactivos 50% Documento 10% Deberes Documento 10% Documento 10% Documento 10% Participación virtual Chat-Foro 10% Pruebas Reactivos 50% Portafolio Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. 10% Consultas Modelar, simular sistemas complejos. Documento Trabajos CONCEPTUAL. 10% Portafolio Interpretar la información. Documento Pruebas CONCEPTUAL. 10% Participación virtual Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Documento Trabajos FACTUAL. Deberes Consultas Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. Interpretar información. TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de EVALUACIÓN 1° PARCIA L Documento 10% Deberes Documento 10% Trabajos Documento 10% Consultas Documento 10% Participación virtual Chat-Foro 10% Pruebas Reactivos 50% 3° PARCIA L SUPLETORI O
- 11. Portafolio 10% Documento 10% Chat-Foro 10% Reactivos 50% Documento 10% Deberes Documento 5% Trabajos Documento 5% Consultas Documento 5% Participación virtual Chat-Foro 5% Pruebas Reactivos 25% Portafolio Desarrollar unaestrategia para el diseño. Documento Portafolio CONCEPTUAL 10% Pruebas Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. Documento Consultas Analizar problemas y sistemas complejos. Deberes Trabajos PROCESAL 10% Participación virtual Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Documento 100% Documento 5% 100% FACTUAL. Interpretar información. Deberes Documento 5% CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos. Trabajos Documento 5% Consultas Documento 5% Participación virtual Chat-Foro 5% Pruebas Reactivos 25% Portafolio Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. Documento 5% PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos. METACOGNITIVO ESCALA DE VALORACIÓN Nivel ponderado de aspiración y alcance 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable 8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable 100%
- 12. VI. GUÍA DE TRABAJOAUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS LOGROS DE APRENDIZAJE HORAS AUTÓNO MAS APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS) Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. T INSTRUCCIONES Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos. RECURSOS Libros. Copias P PRODUCTO Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números reales. 2 4 Identifica los tipos de polinomios 2 4 Distinguir plenamente entre expresiones racionales 3 e irracionales 6 3 6 3 6 Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Prueba Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Consulta sobre la definición de un monomio y polinomio. Grado de un polinomio y su ordenamiento Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Distinguir plenamente Libros. entre expresiones Copias las racionales e irracionales Demostrar la utilidad de matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Dar solución a ecuaciones de primer grado Libros. Descarga de documentos de Copias la web. Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Dar solución a ecuaciones de primer grado Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas Identificar los tipos de soluciones que pueden Libros. Identificar Documentos en pdf. los tipos de soluciones que pueden
- 13. planteados. presentarse en lasolución de expresiones cuadráticas. Copias presentarse en la solución de expresiones cuadráticas Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. 3 6 PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel ) 16 32 1 2 TOTAL CRÉDITOS 3
- 14. VII. Bibliografía. BÁSICA: (Disponibleen la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA) Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA) Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España. Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia. Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador. SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
- 15. MÓDULO DE ALGEBRA INDICE 1.Sistema de Números Reales 2. Recta de números Reales 3. Operaciones Binarias 4. Potenciación y Radicación 5. Propiedades fundamentales 6. Expresiones algebraicas: nomenclatura y clasificación. 7. Polinomios clasificación. 8. Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división. 9. Productos notables. 10. Descomposición Factorial 11. Máximo común divisor de polinomios. 12. Mínimo común múltiplos de polinomios. 13. Operaciones con fracciones. 14. Ecuaciones lineales, resolución 15. Sistemas lineales y clasificación. 16. Resolución de ecuaciones lineales. 17. Definición y clasificación. 18. Ecuaciones reducibles a cuadráticas 19. Resolución de ecuaciones cuadráticas por factoreo. 20. Resolución por completación de un trinomio cuadrado. 21. Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.
- 16. Conjunto de NúmerosReales Introducción Un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de números pares entre 5 y 11, a saber 6, 8 y 10. Cada objetivo de un conjunto se denomina elemento de ese conjunto. No se preocupe si esto sueno un poco circular. Las palabras conjunto y elemento son semejantes a línea y punto en geometría plana. No puede pedirse definirlos en términos más primitivos, es sólo con la práctica que es posible entender su significado. La situación es también parecida en la forma en la que el niño aprende su primer idioma. Sin conocer ninguna palabra, un niño infiere el significado de unas cuantas palabras muy simples y termina usándolas para construir un vocabulario funcional. Nadie necesita entender el mecanismo de este proceso para aprender hablar. De la misma forma, es posible aprender matemáticas prácticas sin involucrarse con términos básico no definidos. Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales; aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son: √ 2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . . e = 2.718281828459045 . . . Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí. Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a a. Conjunto de los números reales El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de los números naturales El conjunto de los números naturales, que se denota por corrientemente se presenta así: N o también por Z N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
- 17. Conjunto de losnúmeros enteros El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta así: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}. En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2.Puede notarse que N ⊂ Z. Conjunto de los números racionales El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuaciónax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0. Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b. Propiedades de los Números Reales Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.
- 18. Sean , entonces severifican las siguientes propiedades: Propiedad de la cerradura La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo: Importante:La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero. Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo: Importante:La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera. Propiedad asociativa La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo: Importante:La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.
- 19. Propiedad distributiva La propiedaddistributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones aritméticas. Propiedad de identidad (elemento neutro) La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma: 25 + 0 = 25 el elemento neutro de la adición es el número CERO. La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación: 25 * 1 = 25 el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO. Propiedad del inverso La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO. 28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el número La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO. , el inverso multiplicativo para esta multiplicación es Operaciones con Números Reales Suma Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
- 20. La suma dedos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo. Ejemplo. -5 + (-9) Solución: Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa. Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo antes del valor. Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número con el valor absoluto más grande. La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el número con mayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8) Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 Restar Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente. a – b = a + (-b) Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 – 8 = 5 + (-8) = -3 Multiplicación Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
- 21. Para multiplicar dosnúmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplo Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos. Propiedad del cero en la multiplicación Para cualquier número a, División Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos. Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente. Exponentes y Radicales La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales. En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma: Una de las definiciones de la potenciación, por recurcion, es la siguiente: x1 = x Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1. Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto de números. Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo. Propiedades de la potenciación
- 22. Las propiedades dela potenciacion son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes. Multiplicación de potencias de igual base La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Propiedad distributiva La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. En general:ab = ba Si y sólo si a=b. En particular: (a + b)m = am + bm (a − b)m = am − bm Se cumple en los siguientes casos: Si m=1. Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0. Si a y b son iguales a 0 y m≠0. Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes. En particular: ab = ba Si y sólo si a=b. Potencia de exponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. a0 = 1 si se cumple que
- 23. Potencia de exponente1 Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a. a1 = a Potencia de base 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente. 101 = 10 como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un exponente 106 = 1000000 104 = 10000 Gráfico gráfico de Y = X2El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones. Radicación Es el proceso y el resultado de radicar. Este verbo, por su parte, se refiere a lo que dispone de arraigo en un determinado lugar. Por ejemplo: “La radicación de la empresa en el polo industrial debe hacerse en la Secretaría de Producción”, “Los hechos muestran que la radicación en suelo australiano no fue una buena idea para la familia González”, “Tenemos que luchar contra la radicación de esos hábitos nocivos en nuestra comunidad”. En el campo de la matemática, se conoce como radicación a la operación que consiste en obtener la raíz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la radicación es el proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la raíz. Ésta será la cifra que, una vez elevada al índice, dará como resultado el radicando.
- 24. Para comprender estosconceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que forman un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que indica el índice, da como resultado el radicando. Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la raíz cúbica de 8. Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz cúbica). A través de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado alcubo (2 x 2 x 2) es igual a 8. Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a la potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 x 2 x 2 (2elevado al cubo) llegamos a la raíz cúbica de 8. Operaciones con Expresiones Algebraicas Expresión Algebraica:Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. Término:Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Grado Absoluto de un Término: Es la suma de los exponentes de sus factores literales. Grado de un Término con relación a una Letra: Es el exponente de dicha letra. Clases de Términos El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e irracional el que tiene radical. Términos Homogéneos:Son los que tienen el mismo grado absoluto. Términos Heterogéneos:Son los de distinto grado absoluto. Términos Semejantes:Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
- 25. 10 Ejemplos deTérminos Semejantes: 1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x). 2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2x) 3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb 4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x. 5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3 7. 5ty es semejante a 3ty 8. 5kl4 es semejante a -2kl4 9. 68lky5 es semejante a -96lky5 10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término. BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos. TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos. POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.
- 26. GRADO DE UNMONOMIO Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado. El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1. GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio: 9.5 ¿Cuál es el grado de: 9.6 ¿Cuál es el grado de: ? ? CLASES DE POLINOMIOS. Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal; fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador; racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene radical; homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto; heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado. POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo. ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra escogida come letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente.
- 27. Suma: Para sumar dospolinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado. También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras. Ejemplo 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) + -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio. Ejemplo 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4 B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 0x3 - 3x2 + 5x - 4 (grado 2) (grado 3) (el polinomio A ordenado y completo) + 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 4x3 - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3 La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los términos con coeficiente cero. Ejemplo 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
- 28. A = 9+ 5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x 5x3 - 4x2 + x + 9 + 0x3 + 4x2 - 2x - 3 ____________________ 5x3 + 0x2 - x + 6 A + B = 5x3 - x + 6 Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante. Ejemplo 4: (No hay términos semejantes) A = 4x3 + 5 B = -2x + x2 4x3 + 0x2 + 0x + 5 + 0x3 + x2 - 2x + 0 ____________________ 4x3 + x2 - 2x + 5 A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5 Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma "parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal. Ejemplo 5: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
- 29. -3xy2 - 6x2y+ 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 Resta: Ejemplo 1: (Resta de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) 5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio: 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 + -5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados) ______________________________ 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2 A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2 Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado. Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. Ejemplo 2: (Resta de polinomios de distinto grado) A = 5x - 4 - 3x2 B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2 0x3 - 3x2 + 5x - 4 - (grado 2) (grado 3) (el polinomio A ordenado y completo)
- 30. 4x3 - 5x2+ 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 0x3 - 3x2 + 5x - 4 + -4x3 + 5x2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados) ____________________ -4x3 + 2x2 + 3x - 5 A - B = -4x3 + 2x2 + 3x – 5 Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede en columnado término a término con el otro polinomio. Multiplicación: Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo: (x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1 2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1 Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada término de una expresión con cada término de la otra: (x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 = Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios) = x2 + 2x - 15
- 31. Y multiplicar ados polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener muchos términos. Por ejemplo: A = -9x3 + x + 4x5 B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x (-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) = Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro. Ejemplo 1: (Multiplicación por un monomio) A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x B = -5x4 -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x X -5x4 ______________________________ 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5 A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5 Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base. También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. Ejemplo 2: (Multiplicación de polinomios completos) A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 B = 3x - 6 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)
- 32. X 3x - 6 ____________________ -24x3+ 30x2 - 12x - 6 (el polinomio B ordenado y completo) + 12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x _________________________ 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6 A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6 A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma columna. Ejemplo 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y ordenándolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
- 33. Aunque no esobligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios. En el resultado final ya no se ponen los términos con 0. Ejemplo 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí ordenándolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 - 9x2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado) X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado) _____________________ 15x4 - 27x2 + 3x -10x6 + 18x4 - 2x3 ____________________________ -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término. EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras) A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3 B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10 A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =
- 34. -15x6y4 - 24x3y3+ 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 = -15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 = -3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los términos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los términos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan como están. Ejemplo 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado) X ______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del 27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás salió ordenado por grado.
- 35. Ejemplo 7: (Sinordenar ni completar) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 9x2 + x + 5x4 (polinomio A incompleto y desordenado) X 3 - 2x2 (polinomio B incompleto y desordenado) __________________________ - 10x6 + 18x4 - 2x3 + 15x4 - 27x2 + 3x _________________________________________ - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre 10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. División: División entre fracciones En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética. Se aplica ley de signos Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada) Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético. Ejemplos:
- 36. División de polinomiosentre monomios. Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones. Pasos: Colocamos el monomio como denominador de él polinomio. Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizó en el capítulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias. Ejemplos: División entre polinomios. En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo. El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
- 37. Se continua deesta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor. Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división. La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial. Factorización Factores Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene: a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que: (X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15 Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15 Métodos para la factorización de polinomios Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales. Binomios Diferencia de Cuadrados Suma o diferencia de Cubos Suma o diferencia de potencias impares iguales Trinomios Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x²+bx+c Trinomio de la forma ax²+bx+c Polinomios Factor común FACTORIZAR UN MONOMIO Se descompone el término en el producto de factores primos. Ejemplo: 15ab= 3 x 5 x a x b
- 38. FACTORIZAR UN POLINOMIO Notodo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad ypor ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b nopuede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por la unidad. A continuación diferentes casos de descomposición factorial. Caso I FACTOR COMÚN Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Ejemplos: a) Descomponer en factores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2) b)Factorizar 10b - 40ab2 Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor común será 10b Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab) c) Descomponer en factores: 10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2) Factor común de un polinomio a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b) Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b). Factorizando se obtiene:
- 39. Obteniendo: Factor común poragrupación de términos Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y luego se extrae el factor común de cada uno. Ejemplos a)Factorizar Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo se obtiene: extrayendo los factores comunes ) factorizando Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el mismo resultado. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales. Así, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a. En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es la raíz cuadrada de 16a2. Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-). Raíz cuadrada de un monomio Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2. Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2 Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el producto de dos binomios iguales. Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
- 40. Por tanto: (a +b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2 REGLA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. Ejemplo: a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que: Raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b2 = 4b Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab 2 TRINOMIOS DE LA FORMA X + BX + C En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio de la forma x2 + bx + c, haciendo para ello a + b = b y ab = c Por tanto: Un trinomio de la forma x2 + bx + q se puede descomponer en el producto de dos factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma algebraica sea b y cuyo producto sea c Regla práctica para factorizar el trinomio 1. El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio. 2. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do término del trinomio y el signo del tercer término del trinomio. 3. Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4. Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el primer término del primer binomio, y el menor, es el segundo término del segundo binomio.
- 41. Ejemplos: Descomponer en factores: a)x2 + 9x + 20 = b) a2 - 8a + 12 = ( c) b2 + 3b - 28 = Cubo de una suma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3. Cubo de una diferencia a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3. A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa: Producto notable Expresión algebraica Nombre (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia cuadrados a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos a3 + b 3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + Trinomio al cuadrado de
- 42. 2bc MAXIMO COMUN DIVISORDE POLINOMIOS El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como subproblemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica, además de otros cálculos en álgebra. En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco más sofisticadas. EJERCICIOS Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2 1°) Se factorizan las expresiones dadas: –> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplicó Caso I de Factorización) –> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b) (a-b) Factorización) (Se aplicó Caso I y IV de 2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de 4a y 2a^2 son 2a Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b) Por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la Solución. NOTA: Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.
- 43. Ejemplo b) Hallarel m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4 1°) Se factorizan las expresiones dadas: –> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización –> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización. –> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización. Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de las 3 expresiones es = (x +2) Por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución. Ejercicio 112. 1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab Factorizando las expresiones dadas: –> 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Se aplicó el Caso I de Factorización. –> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b) Se aplicó el Caso I de Factorización. Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de 2a(a +b) por lo tanto el m.c.d. de y 4a(a -b) 2a^2 +2ab y es = 2a 4a^2 -4ab es = 2a <– Solución. 2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2 Factorizando las expresiones dadas: 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2) 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I) Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de 3x^2y(2x -2) por lo tanto el m.c.d. de y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y 6x^3y -6x^2y 3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3 Factorizando las expresiones dadas: –> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y 4a^3b^2 -8a^2b^3
- 44. –> 4a^3b^2 -8a^2b^3= 4a^2b^2(3b) Factor común de 4a^2b^2(3b) Por lo tanto el m.c.d. de 4) Hallar el m.c.d. de y (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I) 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 ab +b y a^2 +a Factorizando las expresiones dadas: –> ab +b = b(a +1) –> a^2 +a = a(a +1) Factor común de (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I) b(a +1) Por lo tanto el m.c.d. de 5) Hallar el m.c.d. de y a(a +1) es ab +b x^2 -x y = (a +1) a^2 +a es = a +1 y x^3 -x^2 Factorizando las expresiones dadas: –> x^2 -x = x(x -1) –> x^3 -x^2 = x^2(x -1) Factor común de x(x -1) Por lo tanto el m.c.d. de 6) Hallar el m.c.d. de (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I) y x^2(x -1) es = x(x -1) x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1) 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 Factorizando las expresiones dadas: Por lo tanto el m.c.d. de Ecuaciones 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 es = 5x
- 45. Ecuaciones Lineales En matemáticasy álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente: El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. a) ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo). Para proceder a la resolución se debe: Eliminar paréntesis. Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro Ejemplo: 4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10 –35x = 182 . Ecuaciones Fraccionarias
- 46. En este tipode ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). Para proceder a la resolución se debe: Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12 Ecuaciones Literales Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo:
- 47. Sistemas de ecuacioneslineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma: Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta. Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas. Gráficamente, la situación es la siguiente Representación Gráfica Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente. En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución. En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie. Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.
- 48. Tipos de sistemas Lossistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre: Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución. Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. Sistema incompatible si no tiene solución. Quedando así la clasificación: Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero: Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales Sustitución El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
- 49. En la primeraecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación. El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la X Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x = 5,y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7 con lo que el sistema queda ya resuelto. , Igualación El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera: Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí. . Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la . La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y. Reducción Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
- 50. Por ejemplo, enel sistema: Método de Gauss Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO! El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver. Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican. Es: Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos: Método gráfico
- 51. Consiste en construirla gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos: 1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones. 2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes. 3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 4. En este último paso hay tres posibilidades: 1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado". 2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado». 3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero si en los complejos. Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas Se puede ver: Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.
- 52. Ecuaciones Cuadráticas Anteriormente trabajamoscon ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales. Ejemplo: 9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0 -6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10 Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0 (x ) (x )=0 ( x + ) (x - ) = 0 a=1 b=2 c=-8 [x ·x = x2]
- 53. (x + 4) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2 4 · -2 = -8 x+4=0 x–2=0 x+4=0 x=0–4 x = -4 x–2=0 x=0+2 x=2 Estas son las dos soluciones. Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4 x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0 x2 + 2x = 8 [Ya está en su forma donde a = 1.] [ Pasar a c al lado opuesto.] x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos] x2 + 2x + 1 =8+1 x2 + 2x + 1 = 9 ( ) ( ) =9 ( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
- 54. (x + 1)= ± x+1= ±3 x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.] x = -1 + 3 x=2 x = -1 – 3 x = -4 Fórmula General: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula. La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización. Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0 Vemos claramente que a = 2, b=3 y c = −5, así es que: Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el – Así es que las soluciones son
- 55. Aplicaciones de EcuacionesY Desigualdades Aplicaciones de Ecuaciones Pasos para la solución de problemas: 1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras. 2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta. 3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x. 4. Expresar las demás cantidades en términos de x. 5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x. 6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados. 7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible. 8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común. Ejemplo El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos estudiantes practican deporte? Solución: Como , entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48. Ejemplo Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte. En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron el examen? Solución: Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60 Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33
- 56. Cantidad de varones:0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140) Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91 Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124 Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces Ejemplo La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada uno? Solución Laurita=x Pedro=2x (dos veces más que Laura) Juanita=5x (cinco veces más que Laurita) X+2x+5x=160 8x=160 x=160/8 x=20 con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y a juanita 100 millones. Ejemplos Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la inversión total? Solución: Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir al 6%. Establecemos: (Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total Sustituimos los valores
- 57. (9%) P +(6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000) Resolvemos para P: .09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000) .09P + 1,080 − .06P = 1,440 .09P − .06P = 1,440 − 1,080 .15P = 360 P = (360) / (.15) P = 2,400 Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 = $15,600 al 6%. Desigualdades Lineales Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos símbolos:<,>,≤,≥. En una definición decimos que: Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes: X es mayor que Y X es menor que Y Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión , Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según particulares de "a" y de "b", puede tenerse , que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia es positiva y , que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero Ejemplo: porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero Ejemplo:
- 58. Porque -9 -0= -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20 Ejemplo 1: Casos Especiales Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un arreglo para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con valor negativo. Veamos el siguiente ejemplo: 2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x) Primero quitamos los paréntesis: 2x –[x –x +50] < x –800 +3x Reducimos términos semejantes. 2x –[50] < 4x –800 Ahora quitamos los corchetes 2x –50 < 4x –800 Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas. 2x –4x < –800 +50 Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a –2x < –750
- 59. Pero sabemos queno puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita, entonces cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y además cambiamos el sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >). 2x > 750 Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos. Aplicación de Desigualdades Una compañía produce un determinado número de microscopios; Si duplica su producción y vende 60 le quedan más de 26 pero si bajara su producción a la tercera parte y vendiera 5, entonces tendría menos de 10 microscopios. ¿Cuántos microscopios se fabricaron? Solución Número de microscopios fabricados: x La compañía duplica su producción: 2x Vende 60 : 2x-60 Le quedan más de 26 : 2x-60 > 26……… (I) Baja su producción a la tercera parte: x/3 Vende 5 microscopios : x/3 – 5 Tendría menos de 10 : x/3 – 5 < 10…..... (II) Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos: mcm:3 Es decir, el numero de microscopios fabricados debe ser “mayor que 43” pero “menor que 45”, resultando x=44. Rpta. Se fabricaron 44 microscopios. No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si nos encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemático y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer). Veamos un problema sencillo como ejemplo:
- 60. Dentro de cincoaños, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene actualmente Ximena? Tenemos entonces: x edad de Ximena x+5 edad de Ximena en 5 años Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años). x + 5 > 18 Resolvemos la inecuación: x + 5 > 18 x > 18 -5 x > 13 Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero no podemos determinar exactamente su edad. Dos ejemplos de inecuaciones representando la solución en la recta numérica e indicando el intervalo en el cual se ubica ésta: a) X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido. b) X pertenece al intervalo que va entre la fracción incluida y el infinito hacia la derecha. Valor Absoluto
- 61. Si el gradode la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación es lineal. Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades. Observa que en la recta de arriba: 4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica. –2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica –3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica 0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9. Como resolver una inecuación Resolver una inecuación es encontrar el valor de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números reales. Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades de las desigualdades. Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una utilizando la recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco. Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7) Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe:
- 62. Ejemplo: x ≥7 (equis es mayor o igual a 7) Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se escribe: Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada dentro del intervalo. Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita Veamos algunos ejemplos: Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53) Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en este caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3 4x > 53 +3 4x > 56 Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es la división). Tendremos ahora: x > 56 ÷ 4 x> 14 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14, no incluyendo al 14. Gráficamente, esta solución la representamos así: Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la derecha todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación. Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36
- 63. Llevamos los términossemejantes a un lado de la desigualdad y los términos independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario). –11x –5x +65x < 36 –1 Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente 49x < 35 Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos. Funciones y Gráficas En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (Llamado dominio). Y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de Forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del Codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 x --------> x2. Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número". Usualmente se emplean dos notaciones: x --------> x2 o f(x) = x2 . Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
- 64. Entonces f(3) =9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc. Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas. Ejemplo 1 Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso. Ejemplo 2 Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son: Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. Ahora podemos enunciar una definición más formal:
- 65. Una función (f)es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio). Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de números. Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada. f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5. El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función. Ejemplo 3 Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo". Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido. Veamos: A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B). Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12} Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes: Si tenemos los conjuntos A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5} Podemos establecer las relaciones f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) } g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) } h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }: Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
- 66. Ejemplo 4 Sea X= {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada". Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y. Veamos: A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es funciónde X en Y. Dominio y rango de una función Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida. Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido. En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada. Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente: Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero. Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales. Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero. El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función. Ejemplo Identificar dominio y rango de la función
- 67. Veamos: Como la funcióntiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2. El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f. Funciones Especiales Dominio y recorrido El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y). Ejemplo para discusión: Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es: Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:
- 68. Funciones crecientes, decrecientesy constantes Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces: 1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I. 2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I. 3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I. Ejemplos: La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales. La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales. La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.
- 69. Gráfica de unaFunción Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función. Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función. Las gráficas de x ≥ -2 y y < 3, mostradas arriba no tienen nada de especial. Pudimos haber representado las dos relaciones en una recta numérica, y dependiendo del problema que tratamos de resolver, habría sido más fácil hacerlo. Las cosas se vuelven más interesantes cuando graficamos desigualdades lineales con dos variables. Empecemos con una desigualdad básica de dos variables: x > y.
- 70. Graficar otras desigualdadesen la forma estándar y = mx + b es bastante simple también. Una vez que graficamos la línea límite, podemos encontrar cuál es la región a sombrear si probamos algunos pares ordenados dentro de la región o, en muchos casos, sólo observando la desigualdad. La gráfica de la desigualdad y > 4x − 5.5 se muestra abajo. La línea límite es la recta y = 4x − 5.5, y está punteada porque nuestro término y es “mayor que,” no “mayor o igual que.” Gráficas en Coordenadas Rectangulares Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas. Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.
- 71. Función identidad La funciónidentidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. Función lineal Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales. Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0,b).
- 72. Rectas, Parábolas ySistemas de Ecuaciones Rectas Pendiente de una recta Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera adecuada por rectas. Una característica de una recta es su "inclinaci6n". Por ejemplo, en la figura 4.1 la recta Ll crece más rápido que la recta L2 cuando va de izquierda a derecha. En este sentido Ll está más inclinada respecto a la horizontal. Para medir la inclinaci6n de una recta usamos la noci6n de pendiente. En la figura 4.2, conforme nos movemos a 10 largo de la recta L de (1, 3) a (3, 7), la coordenada x aumenta desde 1 hasta 3. Definición Sean (Xl' Y l) Y (X2' Y2) das puntas diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la recta es el numero m dado por Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella deben tener Xl = X2 que da un denominador de cero en la ecuación (1). Para una recta horizontal, cualesquiera dos puntos deben tener Yl = Y2 Esto da un numerador de cero en la ecuaci6n (1) y, por tanto, la pendiente de 1a recta es cero.
- 73. Ejemplo 1 Relaciónprecio/cantidad La recta de La figura 4.4 muestra La relación entre el precio p de un artículo (en dólares) Y La cantidad q de artículos (en miles) que Los consumidores comprarán a ese precio. Determinar e interpretar la pendiente. Solución: En la fórmula de la pendiente (1) reemplazamos x por q y y por p. En la figura 4.4, cualquier punto puede ser seleccionado como (q" P'). Haciendo (2, 4) (qIpI) Y (8, 1) = (q2' p2)' tenemos: La pendiente es negativa, -t. Esto significa que por cada unidad que aumente la cantidad (un millar de artículos), habrá una disminución de t (d6lar por artículo) en el precio. Debido a esta disminuci6n, la recta desciende de izquierda a derecha. • En resumen, podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente: Pendiente cero: recta horizontal Pendiente indefinida: recta vertical Pendiente positiva: recta que sube de izquierda a derecha Pendiente negativa:recta que desciende de izquierda a derecha Observe que entre más cercana a cero es la pendiente, está más cerca de ser horizontal. Entre mayor valor absoluto tenga la pendiente, la recta estará más cercana a ser vertical.
- 74. Notamos que dosrectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente o son verticales. Ecuaciones de rectas Si conocemos un punto y la pendiente de una recta, podemos encontrar una ecuación cuya gráfica es esa recta. Suponga que la recta L tiene pendiente m y pasa a travésdel punto (xl' YI)' Si (x, y) es cualquier otro punto sobre L (podemos encontrar una relación algebraica entre x y y. Utilizando la fórmula de la pendiente con los puntos (XI' y I) y (x, y), se obtiene Ejemplo 2 Forma punto-pendiente Determinar una ecuaci6n de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (I, -3). Seleccionando (4, - 2) como (x" Y,) darla un resultado equivalente. Solución: Utilizando una forma punto-pendiente con m = 2 Y (x" Y,) = (I, -3), se obtiene Ejemplo 4 Forma pendiente-ordenada al origen Encontrar una ecuación de La recta con pendiente 3 e intercepci6n y - 4. Solución: Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b con 111 ::: 3 y b= - 4, se obtiene: Rectas paralelas y perpendiculares Como se estableció previamente, existe una regia para rectas paralelas: Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y s610 si tienen la misma pendiente 0 son verticales. También existe una regia para rectas perpendiculares. y observe que la recta con pendiente -+ es perpendicular a la recta con pendiente 2. EI hecho de que la pendiente de cada una de estas rectas sea el recíproco negativo de la pendiente de la otra recta, no es coincidencia, como lo establece la siguiente regla.
- 75. Ejemplo 5 Rectasparalelas y perpendiculares Lafigura muestra dos rectas que pasan por (3, - 2). Una es paralela a la recta y = 3x + 1, y la otra es perpendicular a ella. Determinar las ecuaciones de estas rectas Aplicaciones y Funciones Lineales Suponga que un fabricante utiliza 100 libras de material para hacer los productos A y B, que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x y y denotan el número de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces todos los niveles de producción están dados por las combinaciones de x y y que satisfacen la ecuación. Resolviendo para y se obtiene: de modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja la tasa de cambio del nivel de producci6n B con respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una unidad adicional de A, se requerirán 4libras mas de material, resultando t = 2 unidades menos de B. Por tanto cuando x aumenta en una unidad, el valor correspondiente de y disminuye en 2 unidades. Para bosquejar la gráfica de y = -2x + 50, podemos utilizar la intercepción y (0,50) y el hecho de que cuando x = 10, Y = 30 Curvas de demanda y de oferta Para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de eseproducto que los consumidores demandaran (esto es, compraran) durante algún periodo. Por 10 común, a mayor precio, la cantidad demandada es menor; cuando el precio baja, la cantidad demandada aumenta. Si el precio por unidad del producto está dado por p y una cantidad (en unidades) está dada por q. Entonces una ecuación que relaciona p y q es llamada ecuación de demanda. Su gráfica es la curva de demanda. La Figura 4.14(a) muestra una curva de demanda. De acuerdo con la práctica de la mayoría de los economistas, el eje horizontal es el eje
- 76. q y eleje vertical es el p. Supondremos que el precio por unidad esta dado en dólares y el periodo es una semana. Así el punto (a, b) en la Figura 4.14(a) indica que, a un precio de b dólares por unidad, los consumidores demandaran a unidades por semana. Como precios 0 cantidades negativos no tienen sentido, a y b deben ser no negativos. Para la mayoría de los productos, un incremento en la cantidad demandada que corresponde una disminución en el precio. Por tanto, una curva de demanda en general desciende de izquierda a derecha, como en la Figura 4. 14(a). Como respuesta a diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los productores están dispuestos a proveer al mercado durante algún periodo. Usualmente, a mayor precio por unidad es mayor la cantidad que los productores están dispuestos a proveer; cuando el precio disminuye también 10 hace la cantidad suministrada. Si p denota el precio por unidad y q la cantidad correspondiente, entonces una ecuaci6n que relacionap y q es llamadaecuación de oferta y su gráfica es una curva de oferta. La figura 4.14(b) muestra una curva de oferta. Si p está en dólares y el periodo esuna semana, entonces el punto (c, d) indica que a un precio de d d61ares cada una, los productores proveerán c unidades por semana. Como antes, c y d son no negativos. Unacurva de oferta por 10 regular asciende de izquierda a derecha, como en la figura 4. 14(b). Esto indica que un fabricante suministrara más de un producto a precios mayores. Centraremos la atención ahora en las curvas de oferta y de demanda que son líneas rectas (figura 4. IS). Son llamadas curvas de oferta linealy de demanda lineal. Tales curvas tienen ecuaciones en las quep y q están linealmente relacionadas. Puesto que una curva de demanda por 10 regular desciende de izquierda a derecha, unacurva de demanda lineal tiene pendiente negativa. Sin embargo, la pendiente de una curva de oferta lineal es positiva ya que la curva asciende de izquierda a derecha. Ejemplo 2 Determinación de una ecuación de demanda Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $S8 por unidad, y de 200 unidades si son a $SI cada una. Determinar
- 77. laecuación de demanda,suponiendo que es lineal. Solución: Estrategia:Ya que la ecuación de demanda es lineal, la curva de demanda debe ser una línea recta. Tenemos que la cantidad q y el precio p están relacionadoslinealmente de tal modo que p = 58 cuando q = 100, Y P = 51 cuando q =200. Estos datos pueden .ser representados en un plano de coordenadas q. ppor los puntos (100,58) y (200, 51). Con estos puntos podemos encontrar una ecuación de la recta, esto es, la ecuación de demanda. La pendiente de la recta que pasa por (100, 58) y (200, 51) es Una ecuación de la recta (forma punto-pendiente) es Simplificando, da la ecuaci6n de demanda Por costumbre, una ecuación de demanda (así como una ecuación de oferta) expresaP en términos de q y define una función de q. Por ejemplo, la ecuación (I) define P como una función de q y es llamada la función de demanda para el producto Funciones Lineales En la sección 3.2 se describió una funciónlineal. A continuación se presenta una definición formal. Definición Una función f es unafunción linealsi y solo si f(x) puede ser escrita en laforma f(x)= ax+ b, en donde a y b son constantes y a≠O.
- 78. a. Graficar f(x)= 2x - 1. Solución: Aquí f es una función lineal (con pendiente 2), de modo que su gráfica es una recta. Como dos puntos determinan una recta, solonecesitamos graficardos puntos y después dibujar una recta que pase por ellos. Observe que uno de los puntos graficados es la intercepción en el eje vertical, -I, que ocurre cuando x = O. Funciones Cuadráticas Definición Una función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x) = ax2 + bx+ c, donde a, by c son constantes y a"# O. Por ejemplo: f(x) = x2- 3x + 2 Y F(t) = -3t2 son funciones cuadráticas. Sinembargo, g(x) = - 2 no es cuadrática ya que no puede ser escrita en la forma g(x) =ax2 + bx+ c. La gráfica de la función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx+ c es llamada parábola y tiene una forma parecida a las curvas de la figura 4.19. Si a > 0, la gráfica se extiende hacia arriba de manera indefinida y decimos que la parábola se abre haciaarriba. Si a < 0, entonces la parábola se abre hacia abajo. Cada parábola en la figura 4.19 es simétrica con respecto a una recta vertical, llamada el eje de simetría de la parábola. Esto es, si la página fuera doblada en unade estas rectas, las dos mitades de la parábola correspondiente coincidirían. El eje(de simetría) no es parte de la parábola, pero es una ayuda útil al bosquejarla. La figura 4.19 también muestra puntos etiquetados como vértice, donde el eje corta a la parábola. Si a > 0, el vértice es el punto "más bajo" de la parábola. Esto significa que f(x) tiene un valor mínimo en ese punto. Realizando manipulaciones algebraicas sobre ax2 + bx+ c (completar el cuadrado), podemos determinar no solo este valor mínimo, sino también en donde ocurre. Tenemos:
- 80. Rápidamente podemos bosquejarla gráfica de una funci6n cuadrática localizando primero el vértice, la intercepción y y unos cuantos puntos más, aquellos en donde la parábola interseca al eje x. Las intercepciones x se encuentran al hacer y = 0y resolviendo parax. Una vez que las intercepciones y el vértice han sido 1encontrados,es relativamente fácil trazar la parábola apropiada a través de estos puntos. Cuando las intercepciones x estén muy cercanas al vértice, 0 no existan, fijaremos un punto a cada lado del vértice de modo que podamos dar un bosquejo razonable dela parábola. Tenga en cuenta que una recta vertical (con Iínea punteada) a través del vértice da el eje de simetría. Graficando puntos a un lado del eje, podemos obtener por simetría los correspondientes del otro lado. Ejemplo 1 Graficación de una función cuadrática Graficar La funci6n cuadrática y = f(x) = _x2 - 4x + 12. Solución: Aquí a = -I, b = -4 Y c = 12. Como a < 0, la parábola abre hacia abajo y por tanto tiene un punto más alto. La coordenada x del vértice es b -4- 2a = - 2( - I) = 2. La coordenada y es f{ -2) = _(_2)2 - 4(-2) + 12 = 16. Así, el vértice es (-2, 16), de modo que el valor máximo de f{x) es 16. Ya que c = 12, la intercepci6n y es 12. Para encontrar las intercepciones x, hacemos yigual a cero en y =I-X2 - 4x + 12 y resolvemos para x. o = - x2 - 4x + 12, o = - (x2 + 4x - 12), o = - (x + 6)(x - 2). Así x = -6 0 x = 2, de modo que las intercepciones x son -6 y 2. Ahora trazamos el vértice, el eje de simetría y las intercepciones Como (0, 12) está dos unidades a la derecha del eje, existe un punto correspondiente dos unidades a la izquierda del eje con la misma coordenada y. Por tanto, obtenemos el punto (-4.12). Pasando por todos los puntos, dibujamos una parábola que abra hacia abajo.
- 81. Ejemplo 2 Graficaciónde una función cuadrática Graficar p = 2q2. Solución: Aquí p es una función cuadrática de q, donde a = 2, b = 0 y c = O. Como a>0, la parábola abre hacia arriba y, por tanto, tiene un punto más bajo. La coordenada q del vértice es (0,0) en este caso el eje p y la coordenada pes 2(0)2 = O. Así el valor mínimade p es 0 y el vértice es En este caso el eje pes el eje de simetría. Una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0, 0) no puede tener ninguna otra intercepción. De aquí que para bosquejar unagráfica razonable graficamos un punto a cada lado del vértice. Si q = 2, entonces p =8. Esto da el punto (2,8) y, por simetría, el punto (- 2,8) Ejemplo 3 Graficación de una función cuadrática Graficar g(x) = x2- 6x + 7. Solución: Aquí g es una función cuadrática, donde a = 1, b = - 6 y c = 7. La parábola abre hacia arriba ya que a >O. La coordenada x del vértice (el punto más bajo) es Y g(3) = 32 - 6(3) + 7 = - 2, que es el valor mínimo de g(x) .Por tanto el vértice es (3,2). Ya que c =7, la intercepción con el eje vertical es 7. Para encontrar lasintercepciones x, hacemos g(x) = o.
- 82. El lado derechono se puede factorizar fácilmente, de modo que usaremos la fórmulacuadrática al resolver para x, Ejemplo 4 Graficación de una función cuadrática Graficar y = f(x) = 2x2 + 2x + 3 y encuentre el rango de f Solución: Esta función es cuadrática con a = 2, b = 2 Y c = 3. Como a>0 la gráfica es una parábola que se abre hacia arriba. La coordenada x del vértice es Ylacoordenaday es 2(-t)2 +2(-t)+3=t. Así el vérticees (-t,t)·Como la intercepción y es 3. Una parábola que abre hacia arriba con su vértice arribaeje x, no tiene intercepciones x. En la figura 4.23 graficamos la intercepción y, el Vértice y un punto adicional (-2, 7) ala izquierda del vértice. Por simetría, tambiénobtenemos el punto (I, 7). Trazando una para bola a través de estos puntos se obtienela gráfica deseada. Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas con Dos Variables Cuando una situación debe ser descrita matemáticamente, no es raro que surja unconjuntode ecuaciones. Por ejemplo, suponga que el administrador de una fábrica establece un plan de producción para dos modelos de Un producto nuevo. El modelo A requiere de 4 piezas del tipo I y 9 piezas del tipo II. El modelo B requiere de 5 piezas del tipo I y 14 piezas del tipo II. De sus proveedores, la fábrica obtiene 335 piezas del
- 83. tipo I y850 piezas del tipo II cada día. De cada modelo, cuantos debe producir cada día de modo que todas las piezas del tipo I y piezas del tipo II sean utilizadas? Es buena idea construir una tabla que resuma la informaci6n importante. La tabla 4.2 muestra el número de piezas del tipo I y piezas del tipo II requeridas para cada modelo, así como el número total disponible. Suponga que hacemos x igual al número de artículos del modele A fabricados cada día y yigual al número de artículos del modele B. Entonces estos requieren de4x + 5y piezas del tipo I y 9x + 14y piezas del tipo II. Como están disponibles 335 y850 piezas del tipo I y II, respectivamente, tenemos A este conjunto de ecuaciones Ie llamamos sistema de dos ecuaciones linealesen las variables (0 incógnitas), x y y. El problema es encontrar valores de x y yparalos cuales ambas ecuaciones sean verdaderas de manera simultánea. Estos valores son llamados soluciones del sistema. Sistemas no lineales Un sistema de ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal se llamasistema no lineal. Con frecuencia podemos resolver un sistema no lineal por sustitución, como se hizo con los sistemas lineales. Los ejemplos siguientes 10 ilustran Ejemplo 1 Solución de un sistema no lineal Solución: Estrategia: Si un sistema no lineal contiene una ecuaci6n lineal, en general resolvemos la ecuación lineal para una de las variables y sustituimos esta variable en la otra ecuación. Ejemplo 1Solución de un sistema no lineal Solución:
- 84. Estrategia:Si un sistemano lineal contiene una ecuación lineal, en general· resolvemos la ecuación lineal para una de las variables y sustituimos esa variable en otra ecuación. Resolviendo la ecuación (2) para y se obtiene: y= 3x + 1 Sustituyendo en la ecuación (1) y simplificando, tenemos: Si x = -3, entonces la ecuaci6n (3) implica y = -8; si x = 2, entonces y = 7. Debeverificar que cada pareja de val ores satisfaga la ecuación dada. De aquí que lassoluciones sean x = -3, y = -8 Y x = 2, y = 7. Estas soluciones pueden ser vistasgeométricamente en la gráfica del sistema de la figura 4.37. Observe que la gráficade la ecuación (1) es una parábola y la de la ecuaci6n (2) una recta. Las solucione corresponden a los puntos de intersecci6n (-3, -8) Y (2, 7). Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Equilibrio Recuerde de la secci6n 4.2 que una ecuaci6n que relaciona el precio por unidad y, cantidad demandada (suministrada), es llamada ecuación de demanda (ecuación deoferta). Suponga que para un producto Z la ecuación de demanda es Donde q, p ≥ O. Las correspondientes curvas de demanda y oferta son las líneas de las figuras 4.40 y 4.41 .AI analizar la figura 4.40, vemos que los clientes comprarán.
- 85. Cuando el preciosea $6; y así sucesivamente. La figura 4.41 muestra que cuando elprecio es de $9 por unidad, los productores colocarán300 unidades por semana en el mercado; a $10 colocarán in 600 unidades y así sucesivamente. Cuando las curvas de demanda y oferta de un producto son representadas en el mismo plano de coordenadas, el punto (m, n) en donde las curvas se intersecan esllamado punto de equilibrio. El precio n, llamado precio deequilibrio, es el precio al que los consumidores comprarán la misma cantidad de un producto que los productores ofrezcan a ese precio. En resumen, n es el precio en que ocurre una estabilidad entre productor y consumidor. La cantidad m es Hamada cantidad de equilibrio. Para determinar con precisi6n el punto de equilibrio, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de of en a y demanda. Hacemos esto para los datos anteriores, es decir el sistema.
- 86. Y el puntode equilibrio es (450, 9.50). Por tanto, al precio de $9.50 por unidad, los fabricantes producirán exactamente la cantidad (450) de unidades por semana que los consumidores comprarán a ese precio. Programación Lineal Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones. Es un modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden encontrarse gran cantidad de aplicaciones. La función objetivo define la cantidad que se va a maximizar o minimizar en un modelo de programación lineal. Las restricciones limitan o reducen el grado en que puede perseguirse el objetivo. Las variables son las entradas controlables en el problema. Para resolver un problema de programación lineal es recomendable seguir ciertos pasos que son:
- 87. 1. Entender elproblema a fondo. 2. Describir el objetivo. 3. Describir cada restricción. 4. Definir las variables de decisión. 5. Escribir el objetivo en función de las variables de decisión. 6. Escribir las restricciones en función de las variables de decisión. 7. Agregar las restricciones de no negatividad. Términos Claves Modelo Matemático Representación de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restricción se describen con expresiones matemáticas. Restricciones de no negatividad Conjunto de restricciones que requiere que todas las variables sean no negativas. Solución Factible Solución que satisface simultáneamente todas las restricciones. Región Factible Conjunto de todas las soluciones factibles. Variable de holgura Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menos o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado. Forma Estándar Programación lineal en el que todas las restricciones están escritas como igualdades. La solución óptima de la forma estándar de un programa lineal es la misma que la solución óptima de la formulación original del programa lineal. Punto Extremo Desde el punto de vista gráfico, los puntos extremos son los puntos de solución factible que ocurren en los vértices o "esquinas" de la región factible. Con problemas de dos variables, los puntos extremos están determinados por la intersección de las líneas de restricción. Variable de Excedente Variable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para convertir dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable.
- 88.
- 125. EJERCICIO EN CLASE A B C CR 3 5 1 CF 2 2 2 COSTO 8 6 VARIABLES 40 20 VP 160 200 80 ≥ ≥ ≥ RESTRICCIONES 160 240 80 ZMINIMO FUNCION OBJETIVO 440 PARAEL EJERCICIO PROPUESTO SE REQUIEREN 40BOLSAS DE CRECE RAPIDO Y 20 BOLSAS DE CRECE FACIL OBTENIE 440 DOLARES CUMPLIENDO EJERCICO NUMERO 13 PERINOLAS 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ MA MB ACABADO CAMINES 2 3 5 UTILIDADES 7 2 VARIABLES 10 20 80 50 70 ZMAXIMO FUNCIÓN OBJETIVO RESTRICCIONES 40 50 70 110 SE NECESITA PRODUCIR 10 CAMIONES Y 20 PERINOLAS SEMANALMENTE PARA OBTENER UNA UTILIDAD DE 110 D LAS HORAS NECESARIAS PARA SU UTILIZANDO LAS ELABORACION
- 126. EJERCICIO NUMERO 14 XTREME 3 ≤ 24 2 ≤ 24 MAQUINAA MAQUINAB VISTA 1 2 utilidades 50 80 variables 6 6 RESTRICCIONES 24 24 Z MINIMO FUNCION OBJETIVOS 780 SE NECESITA PRODUCIR 6 EQUIPOS DE VISTAS Y 6 EQUIPOS DE XTREME PARA OBTENER UNA UTILIDAD MAXIMA D CARBOHIDRATOS PROREINAS EJERCICIO NUMERO 15 ALIMRENTO A ALIMENTO B 2 2 ≥ 4 1 ≥ COSTO 1,20 0,80 VARIABLES 4 4 16 20 RESTRICCIONES 16 20 Z MINIMO FUNCION OBJETIVO 8 SE DEBEN COMPRAR 4 UNIDADES DEL ALIMENTO A Y 4 UNIDADES DEL ALIMENTO B PAR MINIMIZAR EL COSTO A 8
- 127. EJERCICIO NUMERO 17 MENAII 200 ≥ 3000 50 ≥ 2500 MINERAL A MINERAL B MENA I 100 200 COSTO 50 60 VARIABLES 10 10 Z MINIMO FUNCION OBJETIVOS RESTRICCIONES 3000 2500 1100 SE DEBEN OBTENER 10 TONELADAS DE LA MENA A Y 10 TONELADAS DE A MENA B PARA OBTENER UN COSTO MINMO DE 11000 DOLARES EJERCICIO NUMERO 18 REFINERIA REFINERIA I II RESTRICCIONES BAJO 2000 1000 ≥ 8000 9000 MEDIO 3000 2000 ≥ 14 14000 ALTO 1000 1000 ≥ 5000 5000 COSTO VARIABLES 25000 20000 4 1 Z MINIMO 120000 FUNCION SE DEBE OPERAR 4 DIAS EN LA REFINERIA I Y 1 DIA EN LA REFINERIA II PARA SATISFACER LOS COSTOS DE PRODUCC UN MINIMO DE 120000 DOLARES EJERCICIO NUMERO 19
- 128. P1 P2 A 10 20 B 4 30 COSTO 600000 300000 VARIABLES 6 10 ≥ ≥ 100 420 RESTRICCIONES 100 420 ZMINIMO 6600000 FUNCION OBJETIVO SE DEBEN INCLUIREN LA CAMARA DE TIPO A 6 UNIDADES Y EN LA CAMARA DE TIPO B 10 UNIDADES PARA MINIM PARA ASI SATISFACR EL PROGRAMA DE PRODUCCIIN REQUERIDO A B C EJERCICIO NUMERO 16 MEZCLA II UNIDADES 2 2 ≥ 6 2 ≥ 4 12 ≥ COSTO 8 10 30 10 MEZCLA I VARIABLES XZ MINIMO FUNCION OBJETIVOS 80 120 240 RESTRICCIONES 80 200 240 340 SE DEBE COMPRAR 30 BOLSAS DE LA MEZCLA A Y 10 BOLSAS DE LA MEZCLA B PARA QUE EL AGRICULTOR PUEDA Y SATISFACER SUS REQUERIMIENOS DE NUTRIENTES
- 129. UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATALDEL CARCHI NOMBRE: Karina Hernández CURSO: Primero ¨B¨ FECHA: 25/11/2013 ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO INFORME DE ALGEBRA TEMA: COORDENADAS OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL: Diferenciar el trabajo realizado en el aula y el trabajo realizado en el campo. OBJETIVOS ESPECIFICOS: Aprender diferentes técnicas para realizar un determinado trabajo. Realizar un informe detallado sobre el tema. INTRODUCCION: Coordenada es un concepto que se utiliza en la geometría y que permite nombrar a las líneas que se emplean para establecer la posición de un punto y de los planos o ejes vinculados a ellas. Se conoce como sistema de coordenadas al conjunto de los valores que permiten identificar de manera inequívoca la posición de un punto en un espacio elucídelo (un tipo de espacio
- 130. geométrico). Los sistemasde coordenadas más simples se definen sobre espacios planos. La noción de origen de coordenadas hace mención al punto que actúa como referencia en el marco de un sistema de coordenadas. Esto quiere decir que, en dicho punto, el valor de la totalidad de las coordenadas del sistema tiene nulidad (en el caso de un sistema de dos dimensiones, 0,0). MATERIALES: Un GPS Una cámara digital PROCEDIMIENTO: Nos trasladamos a los diferentes puntos asignados a tomar los puntos de referencia las coordenadas de lugares como Tufiño, los Tres Chorros, el Aeropuerto, la Catedral, el Obelisco, la Paz teniendo como referencia el punto 0 el Parque Ayora con la utilización del GPS se pudo tomar la ubicación de estos puntos pero con relación a la Línea Equinoccial o Ecuador ya que se necesita un estudio previo para la utilización de este y únicamente se puede tomar las coordenadas cuando el cielo está despejado en los diferentes lugares nos tomamos fotografías para evidenciar el trabajo realizado. CONCLUSIONES: La aplicación de nuevas técnicas de estudio para poder identificar y ser partícipes de la clase con ideas innovadoras esto lleva a un mejor rendimiento la utilización de coordenadas nos ayuda para ubicar ciertos puntos y que mejor referencia que lugares que ya conocemos. RECOMENDACIONES: Antes de realizar un determinado trabajo se debe tener un estudio previo y revisar el tema a tratar. ANEXOS: UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
- 131. EL PARQUE AYORA LACATEDRAL
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