El documento describe varias aplicaciones de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas en diferentes áreas como modelado de poblaciones, datación por carbono-14, enfriamiento de cuerpos, desintegración radiactiva y más. También explica brevemente el origen histórico y desarrollo de la trigonometría y su uso actual en diversos campos como ingeniería, procesamiento de señales y navegación.

1. Función exponencial
Las funciones exponenciales son muy útiles en situaciones del mundo real.
Las funciones exponenciales se utilizan en modelado de poblaciones, en la
arqueología a establecer la fecha de los hallazgos, mediante la prueba del carbono
14 a los médicos forenses les ayuda a determinar el tiempo de la muerte, calcular
las inversiones, así como muchas otras aplicaciones.
• El enfriamiento de un cuerpo
La ley del enfriamiento de los cuerpos de Newton establece que el
enfriamiento de un cuerpo es proporcional, en cada instante, a la diferencia con la
temperatura ambiente.
La ley dice que si T0 es la temperatura inicial con que introducimos un
cuerpo en un ambiente con una temperatura de Ta grados, al cabo de un tiempo t
la temperatura del cuerpo es
T(t) = Ta + (T0 − Ta) e−α t
donde α es una constante, llamada la constante de enfriamiento, y que es
particular de cada cuerpo.
Una aplicación interesante de esta ley consiste en determinar el instante de
fallecimiento de una persona, después de algunas horas de muerta. Esta
información es de crucial importancia en criminología y en estudios forenses.
El escenario de un crimen puede variar de manera muy importante según
que un crimen haya ocurrido a una hora u otra. La idea se basa en que los
mamíferos, cuando estamos vivos, tenemos una temperatura muy estable e igual a
T0 = 37 ºC. Al morir, la temperatura corporal comienza a descender hasta alcanzar
la temperatura ambiente Ta.
Crecimiento de poblaciones
Muchas veces los científicos se iniciarán con un cierto número de bacterias o
de los animales y ver cómo la población crece. Por ejemplo, si la población se

2. duplica cada 5 días, esto puede ser representado como una función exponencial.
La mayoría de la población implican el uso de modelos el número e.
Forma general para los modelos poblacionales. La mayor parte del tiempo,
empezamos con una ecuación que parece
P = Po ekt
P representa la población después de una cierta cantidad de tiempo
Po representa la inicial de la población o la población al principio
k representa el crecimiento (o decadencia) tasa
t representa la cantidad de tiempo
Recordemos que e no es una variable, tiene un valor numérico. No se
reemplace por otro valor.
• Desintegración radioactiva
Algunos átomos son inestables y se desintegran espontáneamente emitiendo
radiaciones. Se ha observado que el tiempo en que determinada substancia se
reduce a la mitad, llamado vida media, es una constante característica de ella e
independiente de la cantidad que haya.
La ley de Rutherford sobre la desintegración radiactiva dice que el número de
átomos de un elemento radiactivo transformados en un tiempo determinado es
proporcional al número de átomos de ese elemento que estén presentes en la
substancia, en particular, la fórmula que describe la desintegración es de la forma:
N(t) = N0 e−k t
donde N0 es la población inicial, y k es la constante de desintegración radiactiva.
La vida media de los elementos radiactivos puede utilizarse a veces para
determinar la fecha de sucesos del pasado de la Tierra. Las edades de las rocas de
más de 2000 millones de años pueden establecerse mediante la desintegración
radiactiva del uranio (de 4500 millones de años de vida media).
En un organismo vivo, cada gramo de carbono contiene 10−6
gramos de C14
. Tras
su muerte, el organismo deja de absorber carbono y la proporción de C14
decrece
a medida que se va desintegrando. Su vida media es de unos 5730 años, de modo
que es posible estimar la edad de restos orgánicos: los arqueólogos han fechado

3. así conchas, semillas, objetos de madera, o la fecha en que se realizaron pinturas
rupestres.
Logaritmo
Los logaritmos que fueron inventados por John Napier con el fin de eliminar
los cálculos tediosos involucrados en la multiplicación, división, potenciación y
extracción de raíces de números grandes que se presentan en astronomía y en
otras ciencias. Con el advenimiento de las computadoras y las calculadoras, los
logaritmos ya no tienen importancia para este tipo de cálculos. Sin embargo, las
aplicaciones de los logaritmos se presentan en problemas que derivan de las
aplicaciones de la función exponencial, puesto que es el inverso de las funciones
exponenciales. Debido a las leyes de los logaritmos, también resultan ser útiles en
la medición de la intensidad de un sonido, la intensidad de los terremotos y
muchos otros fenómenos. En esta sección estudiaremos algunas de estas
aplicaciones.
Cuando una cantidad física varía en un rango muy grande, a menudo
resulta conveniente tomar su logaritmo a fin de tener un conjunto de números más
manejables; 3 de estas situaciones son las siguientes:
1. La escala del pH, que mide la acidez;
2. La escala de Richter, que mide la intensidad de los terremotos;
3. La escala de decibeles, que mide la intensidad de los sonidos.
Otras cantidades que se miden en escalas logarítmicas son la intensidad
luminosa, la capacidad de información y la radiación.
Trigonometría
La trigonometría fue desarrollada por astrónomos griegos que consideraban
al cielo como el interior de una esfera, de modo que resultó natural estudiar
primero los triángulos sobre una esfera (por Menelao de Alejandría, año 100 a de
C ) y que los triángulos en el plano fueran estudiados mucho después. El primer
libro que contiene un tratamiento sistemático de trigonometría plana y esférica fue
escrito por el astrónomo persa Nasír ed-dín (alrededor del 1250 a. C).

4. Regiomontano (1436-1476) es el autor principal a quien se debe el traslado de la
trigonometría astronómica a tas matemáticas. Su trabajo fue mejorado por
Copérnico (1473-1543) y por el alumno de Copérnico. Rhaeticus (1514-1576). La
obra de Rhaeticus fue la primera en definir las seis funciones trigonométricas como
razones entre lados de triángulos, aunque no le dio a las funciones sus nombres
actuales. El crédito de esto se lo lleva Thomas Fincke (1583), pero en su época esa
notación no fue aceptada universalmente. La notación quedó establecida a partir
de los libros de texto de Leonardo Euler (1707-1783).
Desde entonces la trigonometría ha venido evolucionando desde su uso por
agrimensores, navegantes e ingenieros, hasta las aplicaciones actuales corro el
movimiento de las mareas en los océanos, el alza y caída de los recursos
alimenticios en determinadas condiciones ecológicas, patrones de ondas cerebrales
y muchos otros fenómenos.
Hay dos enfoques aceptados ampliamente para el desarrollo de las
funciones trigonométricas: uno utiliza círculos, en especial el círculo unitario; el
otro se vale de los triángulos rectángulos. La trigonometría del triángulo rectángulo
es un caso especial del enfoque del círculo unitario.
En la ingeniería Civil se emplean para los cálculos en las estructuras, que
generalmente están compuestas por triángulos, estas son las funciones que menos
requieren presentación en cuanto a sus aplicaciones puesto que su reputación las
precede desde la invención de las mismas.
La trigonometría es una de las ramas más versátiles de las matemáticas.
Desde su invención en la antigüedad, ha sido importante tanto en aplicaciones
teóricas como prácticas. En los tiempos modernos se ha aplicado en campos tan
diversos como el procesamiento de señales en la industria telefónica, la
codificación de música en reproductores de discos compactos, la determinación de
las distancias a las estrellas, el diseño de sistemas de navegación en el
transbordador espacial, la producción de rastreos CAT para uso médico y muchos
otros. Es una herramienta indispensable para los ingenieros electricistas, los
físicos, los científicos de la computación y prácticamente para todas las ciencias. El

5. poder y la versatilidad de la trigonometría provienen del hecho de que puede
considerarse de dos maneras diferentes. Una de ellas define la trigonometría como
el estudio de funciones de números reales; la otra, como el estudio de funciones
de ángulos. Las funciones trigonométricas definidas en estas dos formas son
idénticas: asignan el mismo valor a un número real dado (en el segundo caso, el
número real es la medida de un ángulo).
Hiperbólicas
Si se considera un cable que soporta una carga uniformemente distribuida a
lo largo del mismo cable. Los cables que cuelgan bajo la acción de su propio peso
están cargados de esta forma. Como lo son los cables en las redes de transmisión
eléctrica y los cables en los puentes colgantes, donde las fuerzas están ejercidas
solo en sus extremos y a lo largo del cable mediante su propio peso, la ecuación
que describe la forma que toma este tipo de cable se le llama catenaria y es
formada por una función hiperbólica, veamos: