Extension San Cristobal

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”
Extensión San Cristóbal
Alumna:
Arellano Neiby
C.I.: 29.580.092
Docente: Gámez Jesús
Cátedra: Matemática I
Agosto 2020
APLICACIÓN DE
LA DERIVADA
(Trabajo Escrito 8%)

2. Introducción
La matemática es una ciencia que está en todos lados, y la derivada, que forma parte de esta, también lo
está; es muy útil para saber si una función es creciente o decreciente, encontrar máximos y mínimos,
concavidad, puntos de inflexión y demás. Muchas veces, con la ayuda del sentido común, las personas derivan
sin darse cuenta; naturalmente, no es necesario derivar en la vida diaria fuera del trabajo (y tampoco en la
mayor parte de las actividades profesionales). Sin embargo, las derivadas son necesarias en muchas
aplicaciones prácticas en biología, mecánica, medicina bacteriológica, entre otras ciencias. En cálculo
diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía
el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente.

3. Índice
- Desarrollo:
1. ¿Qué es la derivada? ……………………………………………………….………………………… Pág. 4
2. Historia de la derivada ………………………………………………………………...…………. Pág. 5 – 6
3. Reglas de la derivada …………..…………………………………………….………………………. Pág. 7
4. Aplicaciones de la derivada ………………………………………………....………………...…. Pág. 7 – 9
- Conclusión ………………………………………………………………………..………………... Pág. 10
- Referencias Bibliográficas ……………………….……………………………………………..… Pág. 11

4. Desarrollo
1. ¿Qué es “la derivada”?
Del latín derivātus, derivada es un término que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En el
primer caso, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el
aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente. Por tanto, la derivada
representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los
casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto,
el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.
Entonces, es la pendiente de la recta tangente a la curva de la misma, evaluada en un punto. Esto es:
Sea F(x) la función a estudiar entonces F’(x0)=m, donde m es la pendiente antes mencionada, y x0 el valor
donde se evalúa la F’(x).

5. 2. Historia de la derivada
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo (rama de las matemáticas que estudia el cambio y la
continuidad) comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se
encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos después (en el siglo XVII por obra
de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que refiere a las derivadas existen dos conceptos de tipo
geométrico que le dieron origen:
• El problema de la tangente a una curva.
• El Teorema de los extremos: máximos y mínimos.
En su conjunto dieron origen a lo que actualmente se conoce como cálculo diferencial.
En el siglo XVII Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos les habían tenido a los infinitesimales
(cálculo); así que, empezaron a abrir un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo
infinitesimal. A mediados de dicho siglo las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para
resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo
diferencial, los otros al integral.
Finalizando ese siglo, se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus predecesores, en lo que
hoy se conoce como “derivada” e “integral”. La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton y
Gottfried Leibniz son los creadores del cálculo diferencial e integral.

6. Ellos desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la
derivación y la integración son operaciones inversas.
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un
algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se
dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el
concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable “fluye” (varía) con el tiempo.
Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los
mismos resultados que Newton descubrió 10 años antes, de manera independiente. En su investigación
conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad,
viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Leibniz
es el inventor de diversos símbolos matemáticos; a él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo
integral, así como los símbolos de derivada y el símbolo de la integral.

7. 3. Reglas de la derivada
• Regla de la constante: Sea f una función constante, f(x)= c, entonces f’(x)= 0.
• Regla de la potencia: Sea f(x)= x n → f1(x)= nx n-1
• Derivada de la identidad: f(x)= X → f’(x)= 1
• Derivada de la función exponencial: f(x)= e x → f’(x)= e x
• Regla de la suma y de la diferencia: Sea f y g funciones diferenciables;
• Regla del producto:
• Regla del cociente:
4. Aplicaciones de la derivada:
Tiene un amplio uso en muchas áreas de la ciencia, como por ejemplo; la astronomía, la medicina, la
química, la metalúrgica, la mecánica, entre otras. Algunos casos en los que se usa este concepto básico del
análisis matemático, son:
• Cuando se desean calcular de manera más rápida (aunque no necesariamente más fácil) las velocidades de
objetos en movimiento respecto al tiempo. Si se conoce la posición del objeto en el tiempo, es decir X(t), con
tan solo derivar X(t) con respecto al tiempo, se encuentra la velocidad, esto es V(t)= d[X(t)]/dt

8. • En la química, la derivada se usa para calcular la velocidad de una reacción química. Para una reacción
escrita genéricamente de la siguiente forma: aA + bB → pP + qQ; La velocidad de reacción, V, se expresa
como: donde [A], [B], [P], [Q], son las concentraciones de los reactivos y de los productos, a,b, p y q son
coeficiente estequiométrico.
• En la cinemática de fluido, se usa para buscar la deformación de un fluido durante un intervalo de tiempo. Sea
la deformación , por lo que la derivada local a resolver es: Y la derivada material con respecto al tiempo es: A
partir de allí se puede buscar; velocidad y aceleración del fluido.
• En el ámbito financiero, por ejemplo, si se conoce la función ganancia y costo de una empresa por mes, la
derivada ayuda a encontrar cuáles son esos puntos máximos de ganancia y mínimos de los costos, para que
dicha empresa pueda ser rentable. También permite saber a partir de qué punto (tiempo) la función, tanto la de
ganancia como la de costo, pudiera crecer o decrecer y tomar las medidas correctivas.
Así que, la aplicación de la derivada sirve para resolver problemas de optimización de los resultados; es
decir, donde la función alcance sus máximos o mínimos, monotonía; esto es, el comportamiento de crecimiento
o no. De igual forma, es útil para calcular puntos de inflexión y concavidad; que se pueden interpretar como los
parámetros y variables, necesarios para resolver los problemas en cualquier campo de estudio de los antes
mencionados.

9. Son innumerables las aéreas donde la derivada puede aplicarse, como por ejemplo; en el campo de la
química, la física, la economía, la mecánica, la biología, entre otras. La derivada permite hacer un estudio
exhaustivo de una función determinada; con el uso del criterio de la primera derivada, para el crecimiento de la
función, el estudio de la concavidad y criterio de la segunda derivada, así como para encontrar máximos y
mínimos.

10. para optimizar sistemas que se expresan mediante funciones más o menos complejas.
Otra de sus aplicaciones es hallar los valores máximos o mínimos de ciertas expresiones
(como una inversión compleja en economía financiera), también hallar los intervalos de
crecimiento o decrecimiento de valores de interés; siempre que se puedan representar
mediante funciones, naturalmente. interés; siempre que se puedan representar mediante
funciones, naturalmente.
Conclusión
Para finalizar, se puede decir que las matemáticas están presentes en cualquier cosa que se haga y, por ende,
están involucradas en todo tipo de áreas; sin embargo, se hace enfoque en la química, física y biología, donde
se observa el uso de la derivada ya sea para encontrar la velocidad, el tiempo, la distancia y las temperaturas.
En química, las derivadas se ven aún más pues han sido fundamentales para poder expresar y calcular razones
de cambio, que después se pueden demostrar mediante la práctica. Entonces, se puede deducir que las
matemáticas son fundamentales para todas estas áreas, y que sin ellas no se podrían explicar tantas cosas.
Por consiguiente, la derivada es fundamental para comprender y derivar fórmulas que luego tienen una
aplicación importante en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las innovaciones
industriales. Asimismo, se utiliza para optimizar sistemas que se expresan mediante funciones más o menos
complejas. Otra de sus aplicaciones es hallar los valores máximos o mínimos de ciertas expresiones (como una
inversión compleja en economía financiera), también hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de
valores de interés; siempre que se puedan representar mediante funciones, naturalmente.

11. Referencias Bibliográficas
• Pérez, J. (2012). Definición de derivada. Recuperado el 1 de agosto de 2020, de
https://definicion.de/derivada/
• Aplicaciones de la derivada. (s.f.). Recuperado el 1 de agosto de 2020, de
https://www.derivadas.es/aplicaciones-de-la-derivada/
• Aplicación de la derivada. (s.f.). Recuperado el 1 de agosto de 2020, de https://sites.google.com/
• Moreno, P. (2010, septiembre 1). La derivada. Recuperado el 1 de agosto de 2020, de
https://www.slideshare.net/