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RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA
MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
TRUJILLO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
SEGUNDA TITULACION
MATEMATICAS III
MATERIA : APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
TEMA : RESONANCIA Y APLICACIONES A LA MECANICA Y FISICA
DOCENTE : Ing. JAVIER RAMIREZ RODRIGUEZ MUÑOZ
INTEGRANTE:
- TORRES RODRIGUEZ, Marciano Edwin
TRUJILLO MARZO DEL 2016
RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA
MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
TRUJILLO
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
INTRODUCCION
La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y
especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la
investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución
de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de
dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la
estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, todo ello depende
de la solución de ecuaciones diferenciales y en la carrera profesional de Ingeniería Civil su
aplicación es amplia.
Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en
forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión
cuantitativa de dichas leyes.
OBJETIVOS
Tiene por objetivo explicar los fenómenos naturales traduciéndolos en ecuaciones
diferenciales y estas sirven a su vez para solucionarlos en forma matemática y aplicarlos a
la vida real como por ejemplo:
El estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo
Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En
1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el
cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.
Las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc.,
se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.
DEFINICION DE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Tanto en las ciencias como en las ingenierías se desarrollan modelos matemáticos para
comprender mejor los fenómenos físicos.
Generalmente, estos modelos producen una ecuación que contiene algunas derivadas de
una función incógnita. Esta ecuación recibe el nombre de ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales no solo se utilizan en las ciencias e ingenierías, sino en otros
campos del conocimiento humano como la medicina, la economía, la investigación de
operaciones y la psicología.
La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII,
casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral.
En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta
poderosa para la investigación de los fenómenos naturales. En la Mecánica, la Astronomía,
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la Física y la Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ecuaciones
diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del
movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler.
En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el
cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.
Definición: Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes,
con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial (E.D).
Si la función desconocida depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son
derivadas ordinarias) la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria.
Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable (de tal modo que
las derivadas son derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial
parcial.
Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface la ecuación,
esto es, la reduce a una identidad.
MODELADOS MATEMÁTICOS
Es común y deseable describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida
real, ya sea físico, sociológico o incluso económico, en términos matemáticos. La
descripción matemática de un sistema o un fenómeno se llama modelado matemático y
se construye con ciertos objetivos.
Por ejemplo que se desee entender los mecanismos de cierto ecosistema al estudiar el
crecimiento de poblaciones animales, se podría fechar fósiles al analizar su desintegración
de sustancias radiactivas.
Construcción de un modelo matemático
1.- Identificación de las variables a las que se atribuyen el cambio del sistema. Al principio
se podría elegir no incorporar todas estas variables en el modelo. En este paso se está
especificando el nivel de resolución del modelo
2.- Se elabora un conjunto de suposiciones razonables, o hipótesis acerca del sistema que
se está intentando describir estas suposiciones también incluirán algunas leyes
empíricas que podrían ser aplicables al sistema.
Nota: El hacer un modelado matemático es como estar realizando una investigación
científica o un método científico aplicando como un algoritmo o una receta más
práctica y sencilla. Porque primero se observa el fenómeno se crea la hipótesis se
hacen algunas predicciones y al final experimentos.
A continuación un diagrama de un modelado matemático:
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Importante: Un modelado matemático de una sistema físico suele intervenir la variables
tiempo t. entonces una solución del modelado da el estado del sistema; en
otras palabras, los valores de la variable dependiente (o variables) para
valores apropiados de t describen al sistema en el pasado, presente y futuro.
Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones
cotidianas y no tan cotidianas o más bien un poco más científicas.
1. Dinámica de población: la suposición de que la rapidez a la que crece la población
de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese
momento la ecuación para este modelado es:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
∝ 𝑃 𝑜
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝐾𝑃
2. Desintegración radiactiva: para modelar el fenómeno de desintegración radiactiva
se supone que la rapidez de dA/dt a la que se desintegra los núcleo de una
sustancia es proporcional a la cantidad ( con más precisión, el número de núcleos
esta sería su ecuación diferencial:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝐾𝐴
3. Ley de enfriamiento de newton: de acuerdo con la ley de la rapidez que cambian
la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura
del medio y la temperatura del medio circundante esta es la ecuación:
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝐾(𝑇 − 𝑇 𝑚)
4. Propagación de una enfermedad: una gripe se disemina en una comunidad por
medio de la gente que entra en contacto con otras personas. Sea x(t) el número de
personas que se han contagiado con la enfermedad y y(t) el número de personas
que aún no se contagian esta sería la ecuación:
dx
dt
= Kxy
Suposiciones Formulación
matemática
Comprobar las
predicciones con
hechos conocidos
Obtenga soluciones
Exprese las suposiciones
en temimos de
ecuaciones diferenciales
Resuelva las E.D
Mostrar las
predicciones del
modelado
gráficamente
Si es necesario
modifique las
supociones
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5. Reacciones químicas: estas se usan para ver la rapidez de los compuesto cuándo
estos mismos se combinan ;
dx
dt
= K(a − x)(β − y)
6. Circuitos en serie: este circuito contiene resistores, capacitores y un inductor. La
corriente en un circuito después de que se cierra un conmutador se detona
mediante i(t) la carga de un capacitor en el tiempo t se detona por q(t().. ahora de
acuerdo con la segunda ley de kirchhoff el voltaje impreso(t) en un circuito cerrado
de ser igual a la suma de sus caídas de voltaje
L
𝑑2
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡)
7. Cables colgantes: sé acuerda examinar solo una parte o elemento de los cables
entre un puto mínimo p1 y algún punto arbitrario p2. Siempre cuando los cables se
ponen en una línea de transmisión que da una curva de una sistema coordenado
rectangular donde se elige que el eje y pase por el punto mínimo p1 sobre la curva
y el eje x elegido a unidades debajo de p1. tres fuerzas están actuando sobre el
cable que son tangentes al cable p1 y p2 respectivamente W de la carga vertical
total entre los punto p1 y p2 se T1=(t1), T2(t2) y w=(w) las magnitudes de esos
vectores. Ahora la tensión de T2 se descompone en los componentes horizontal y
vertical, como resultado del equilibrio estático :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑤
𝑇1
A CONTINUACION LOS PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON ECUACIONES DIFERENCIALES
1; Cierta ciudad tenía una población de 25,000 habitantes en 1960 y una población 30,000
habitantes en 1970 suponiendo que su población continúe creciendo
exponencialmente con un índice constante ¿Qué población esperara los urbanistas que
tenga en el año 2011?
dx
dt
= KX
Separando variables:
∫
𝑑𝑥
𝑥
= ∫ 𝐾𝑑𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 = ln(𝑥) = 𝐾𝑡 + 𝑐
Aplicando propiedades de logaritmos que daría de esta forma:
x = ceKt
Se toma to en 1960 de tal modo que: 25000 = x(0)
Sustituyendo se obtiene
25000=ceKt(0)
𝐶 = 25000
Sustituyendo
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X=25000eKt
De 1970 a 1960 han transcurrido 10 años y la población ha aumentado 30000
X(10)=30000
30000 = 25000𝑒 𝑘(10)
↔
6
5
= 𝑒 𝑘(10)
↔ 10𝐾 =
𝑙𝑛(1.2)
10
≈ .018232
Al sustituir se obtiene la fórmula que nos permite calcular el tamaño de la población en
función del tiempo donde 𝑥(10)𝑒0.018232𝑡
Del año 1960al año 2010 han transcurrido entonces esa población actualmente tiene:
𝑥(51) = 𝑒.018232(51)
≈ 𝑥(51) = 62207.5157 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
2; El einstenio 253 de cae con una rapidez proporcional a la cantidad que se tenga
determine la vida media si este material pierde un tercio de masa en 11.7 días.
Q: 253 dQ/dt: rapidez d: razón de decaimiento:
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑟𝑄 ↔ 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑑𝑄
𝑞
= −𝑟𝑑𝑡 ↔ ∫
𝑑𝑄
𝑞
− ∫ 𝑟𝑑𝑡
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑛𝑎𝑑𝑜𝑛(𝑞) = −𝑟𝑡 + 𝑐 ↔ 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑄 = 𝑐𝑒−𝑅𝑇
Q (0)=QO cantidad inicial del elemento en tiempo 0
Sustituyendo se obtiene:
QO = ce−r0
↔ c = Qo
Sustituyendo otra vez:
𝑄 = 𝑄 𝑜 𝑒−𝑟𝑡
↔ 𝑡 = 11.7 ↔ 𝑄 = 𝑄0 −
1
3
𝑄0 ↔ 𝑸 =
𝟐
𝟑
𝑸 𝟎
Sustituyendo:
2
3
QO = QOe−11.7
↔
2
3
= e−11.7
↔ ln
2
3
= −11.7r ↔ R ↔ t =
−0.405461081
−11.7
= r. 03465
Sustituyendo:
1
2
Q0 = Q0e−0.03456
↔
1
2
e−0.03456
↔ ln(0.5) = −0.03456 ↔ t =
−06931
. 03456
= t ≈ 20 dias
3; Una persona solicita un prestamo de 8000 pesos para comprar un automovil el
prestamista carga el interes a una tasa anual del 10% si se supone que el interes se
compone de manera continua y que el deudor efectua pagos continuamente con una
cuota anual de contante K, ¿determine la cuota de K necesaria para cubrir el adeudo en
tres años? Y ¿determine el interes que se paga durante el perio de tres años?
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S(t): cantidad de dinero en cualquiere momento t
S(0)= SO = 800cantidad de dinero prestado (en t=0)
K: Cantidad de dinero inyectada anualmente
Esta es la formula separando variables, integrando y aplicando propiedades de los
logaritmos:
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑟𝑠 − 𝐾 ↔ ∫
𝑑𝑠
𝑟𝑠 − 𝑘
= ∫ 𝑑𝑡 ↔
1
𝑟
𝑙𝑛(𝑟𝑠 − 𝐾) = 𝑟𝑡 + 𝑐𝑟 ↔ 𝑟𝑠 − 𝑘 = 𝑒 𝑟𝑡+𝑐𝑟
𝑠 = 𝑐𝑒 𝑟𝑡
+
𝐾
𝑟
(𝑐 =
𝑒 𝑐𝑟
𝑟
)
Sustituyendo
8000 = 𝑐𝑒 𝑟(0)
+
𝐾
𝑟
↔ 𝑐 = 8000 −
𝐾
𝑟
Sustituyendo
𝑠 = (8000 −
𝐾
𝑟
) 𝑒 𝑟𝑡
+
𝑘
𝑟
↔ 𝑠 = 8000𝑒 𝑟𝑡
−
𝑘
𝑟
𝑒 𝑟𝑡
+
𝑘
𝑟
→ 𝑠 = 8000𝑒 𝑟𝑡
+
𝑘
𝑟
(1 − 𝑒 𝑟𝑡)
Cuando la deuda se cancela, s= 0 de tal manera que:
8000𝑒 𝑟𝑡
+
𝑘
𝑟
(1 − 𝑒 𝑟𝑡) = 0
Despejamos K de la ecuación de arriba
8000𝑒 𝑟𝑡
+
𝐾
𝑟
(1 − 𝑒 𝑟𝑡) = 0 ↔
𝐾
𝑟
(1 − 𝑒 𝑟𝑡) = −8000𝑒 𝑟𝑡
↔ 𝐾 =
8000𝑟𝑒 𝑟𝑡
𝑒 𝑟𝑡 − 1
R= 10% ↔0.1
T=3
Sustituyendo
𝐾 =
8000(0.1)𝑒(0.1)(3)
𝑒(0.1)(3) − 1
=
8000𝑒0.3
𝑒0.3 − 1
↔ 𝐾 ≈ 3086.64
3(3086.64) − 8000 = 1259.92
La cuota anual seria de 3086.64 y su interes aproximado de 1259.5
4; Encuentra el intervalo entre el momento de la muerte y el instante en que se descubre
el cadáver, si la temperatura del cadáver en el momento que lo encontraron es de 85F
y dos horas más tarde ha bajado 74 F además la temperatura del ambiente permanece
constante a 32F.
T: temperatura del cadáver en el tiempo t
𝑇 𝑚= 32 F: temperatura ambiente
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Momento donde se descubre el cadáver
𝑡 = 0 𝑇 = 85𝐹
La ecuación para este momento es:
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝐾(𝑇 − 𝑇 𝑚)𝑘 > 0: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
Así que:
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝐾(𝑇 − 32)
Separando variables e integrando
∫
𝑑𝑇
(𝑇 − 32)
= ∫ −𝑘𝑑𝑡 ↔ ln(𝑇 − 32) = −𝐾𝑡 + 𝑐
Aplicando propiedades de los logaritmos 𝑒−𝐾𝑡+𝑐
↔ 𝑇 = 𝑒 𝑐
𝑒−𝐾𝑡
+ 32
Así quedaría
𝑇 = 𝑐𝑒−𝐾𝑡+32(𝑐 = 𝑒 𝐶)
Sustituyen do la ecuación de arriba
85 = 𝑐𝑒−𝐾(0)
+ 32 ↔ 85 = 𝑐𝑒0
+ 32 ↔ 85 = 𝑐 + 32 ↔ 𝒄 = 𝟑𝟓
Esto quedaría: T = 53ce−Kt
+ 32
Ahora ya tienen valores: 𝑡 = 2, 𝑇 = 74
Sustituyen do se obtiene:
74 = 53𝑒−𝐾(2)
+ 32 ↔ 42 = 53𝑒−2𝐾
↔ 𝑒2𝐾
=
53
42
↔ 2𝐾 = 𝑙𝑛(1.261) = 0.2326223
K=0.1163111
Así la temperatura del cadáver en el tiempo t, en horas, está dada por:
T = 53e−0.116311t
+ 32
La temperatura de ser humano vivo es de 98.6 F
98.6 = 53e−.1163t
+ 32 ↔
66.6
53
= e−.1163t
↔ e0.1163t
=
53
66.6
→ 0.1163tln(. 7957) ↔ t
−.2884
. 116311
= −1.9638 → .9638(60) = 58𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
La hora de muerte se produjo aproximadamente 1 hora 58 minutos
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RESONANCIA Y APLICACIONES A LA MECÁNICA Y FISICA
MEDIANTE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
I. INTRODUCCIÓN
Desgraciadamente es una experiencia común comprobar que no solo a nivel de la enseñanza
media superior, sino incluso en estudiantes de licenciatura que han llevado cursos de mecánica,
de circuitos y de electromagnetismo, se tiene un conocimiento muy deficiente de lo que es el
fenómeno de la resonancia así como del ancho campo de sus aplicaciones. Una posible
explicación de este hecho es que libros de texto usuales [1] en la sección de mecánica se limitan
a ilustrar el fenómeno con los ejemplos de la resonancia en un resorte, en una cuerda tensa o en
tubos, casos que en sí pudieran presentar poco interés para los alumnos ya que en general
tienen poca pertinencia en su vida cotidiana. Esto es lamentable porque este fenómeno tiene
una gran cantidad de aplicaciones en el mundo de la tecnología, y además está presente en
multitud de situaciones de la vida real, tanto a nivel doméstico, como en la vida pública, o en los
ámbitos laborales. Se presenta en este artículo una deducción matemática del fenómeno para un
caso sencillo como es el sistema resorte-masa, para luego ir más allá ilustrándolo con una serie
de casos en los cuales el fenómeno está presente en la vida real, por ejemplo: en la
comunicación entre insectos como los mosquitos al sintonizarse la frecuencia del aleteo de las
hembras con las frecuencias naturales de las antenas de los machos, durante la ocurrencia de un
sismo cuando la frecuencia de éste coincide con algunas de las frecuencias naturales de los
edificios, en la vibración de ventanas cuando las notas musicales coinciden con alguno de los
modos de vibración de éstas, en el diseño de los automóviles para evitar que las frecuencias del
motor provoquen indeseables vibraciones en sus partes, y en el cuerpo humano sujeto a
vibraciones en ciertas situaciones de la vida laboral.
Finalmente, mostramos algunas prácticas y dispositivos que se pueden desarrollar en el
laboratorio para inducir a los estudiantes a desarrollar un conocimiento detallado del fenómeno.
VIBRACIONES Y RESONANCIA
El efecto de las vibraciones sobre una estructura debe ser tenido en cuenta siempre, ya que
suponen un serio problema. Esta es otra de las cosas que los humanos han aprendido por las
malas. No sólo pueden causar un fallo por fatiga, una vibración en términos muy generales es
una fuerza aplicada cíclicamente, puede ocurrir que se produzca una resonancia y, en ese caso,
los efectos suelen ser fulminantes.
Cuando se aplica una vibración a cualquier objeto, ésta se transmite por toda su estructura,
haciéndola vibrar a la misma frecuencia. Y si la frecuencia de la vibración está en el rango de
audición de nuestro oído, estamos hablando de un sonido.
Cualquier objeto presenta unas frecuencias determinadas, propias de su geometría y
composición, a las que se produce una resonancia. ¿Y qué es una resonancia? Pues una
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oscilación amplificada. Es decir, que a dicha frecuencia de resonancia, la respuesta a la vibración
es mucho mayor en amplitud que a cualquier otra, llegando el caso, si la vibración aplicada tiene
la intensidad suficiente, en que se produce el fallo catastrófico de la estructura, se rompe. Y esto
puede ocurrir con varias frecuencias diferentes para un mismo objeto, es decir, puede tener
distintas frecuencias de resonancia.
DIFERENCIA ENTRE RESONANCIA Y VIBRACIÓN
La vibración se refiere a cualquier movimiento vibratorio u oscilatorio, sea armónico o no.
La resonancia se produce cuando dos movimientos vibratorios armónicos tienen la misma
frecuencia.
Por ejemplo, Una forma de poner de manifiesto este fenómeno consiste, si se acerca un
diapasón a un tubo que contiene una columna de aire, provisto con un émbolo, modificando su
posición, según la longitud que tenga dicha columna, el aire entrará en vibración con la misma
frecuencia con la que está vibrando el diapasón. Entonces se dice que se produce resonancia.
Para que esto ocurra se precisa que la longitud de la columna de aire sea un múltiplo impar de
un cuarto de la longitud de onda de la que se produce en aire contenido dentro del tubo.
1. APLICADAS A LA RESONANCIA
La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a
la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración se acerca al periodo de vibración
característico de dicho cuerpo, en el cual, una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma
repetida hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande.
En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del
movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. En teoría, si se consiguiera
que una pequeña fuerza sobre un sistema oscilara a la misma frecuencia que la frecuencia
natural del sistema se produciría una oscilación resultante con una amplitud indeterminada.
Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe
cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo.
Debido a los grandes daños que pueden ocurrir, la resonancia mecánica es en general algo que
necesita ser evitado, especialmente por el ingeniero al diseñar estructuras o mecanismos
vibrantes.
Ejemplo aclaratorio:
Un peso P estira un resorte x1 unidades de longitud. Si el peso se halla x2 unidades de longitud
por debajo de la posición de equilibrio y se suelta aplicándole una fuerza externa dada por:
F(t) = A cosBt.
Describir el movimiento que resulta si se supone que inicialmente el peso está en la posición de
equilibrio (x = 0) y que su velocidad inicial es cero.
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Formulación matemática:
La ecuación diferencial que describe el movimiento es por tanto
𝑷 𝒅 𝟐
𝒙
𝒈 𝒅𝒕 𝟐
= −𝒌𝒙 + 𝑭(𝒕)
Puesto que inicialmente (t = 0) el peso está x2 por debajo de la posición de equilibrio, tenemos
x = x2 en t = 0.
También, puesto que el peso se suelta (esto es, tiene velocidad cero) en t = 0,
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝟎 en t = 0
Solución:
Como F (t) = A cos Bt contiene una función de los términos cos Bt, con lo que podemos utilizar el
método de los coeficientes indeterminados para determinar la solución particular.
Ensayando como solución particular xp = c1sen Bt + c2cosBt de (
𝑷
𝒈
𝑫 𝟐
+ 𝒌)𝒙 = 𝑭(𝒕)
xp = c1 sen Bt + c2 cosBt x’p = Bc1 cos Bt - Bc2 senBt x´´p = -B2
c1 sen Bt - B2
c2 cosBt
Sustituyendo en la ecuación
𝑷
𝒈
𝒙´´ + 𝒌𝒙 = 𝑭(𝒕) calculamos el valor de las constantes c1, c2 y por
tanto la solución particular.
La solución complementaria de
𝑷 𝒅 𝟐 𝒙
𝒈 𝒅𝒕 𝟐 = −𝒌𝒙 + 𝑭(𝒕) se obtiene de la misma que en el apartado
anterior 1.1 con lo que sería x = A cos Bt + B senBt con lo que la solución general será de la
forma:
x = xc + xp = A cos Bt + B senBt + c1 sen Bt + c2 cosBt
Usando las condiciones iniciales, podemos observar una solución será cuando A = B = 0 de donde
podemos sacar que:
x = c1 sen Bt + c2 cosBt
podríamos determinar el gráfico siguiente:
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El gráfico de la ecuación x= c1 sen Bt + c2 cosBt está entre los gráficos de x = t y x = - t como se
muestra en la figura. Se puede ver en el gráfico que las oscilaciones van creciendo sin límite.
Naturalmente, el resorte está limitado a romperse dentro de un corto tiempo.
En este ejemplo, el amortiguamiento fue ignorado, ocurriendo la resonancia porque la
frecuencia de la fuerza externa aplicada fue igual a la frecuencia natural del sistema no
amortiguado. Esto es un principio general.
En el caso donde ocurre amortiguamiento las oscilaciones no crecen sin límite, pero sin embargo
pueden llegar a ser muy grandes, la resonancia en este caso ocurre cuando la frecuencia de la
fuerza externa aplicada es ligeramente menor que la frecuencia natural del sistema.
2. APLICACIONES A LA FISICA:
Mecánica cuántica:
Una de las más famosas ecuaciones diferenciales, lineales, ordinaria con coeficientes
constantes es:
α ü + β ů + γ u ≡ α d2
u/dt2
+ β du/dt + γ u = Λ (t)
La cual utiliza para describir sistemas mecánicos y toma la forma:
x ⇒ Desplazamiento
dx / dt ⇒ Velocidad
m ⇒ masa
m d2
x/dt2
+ η dx/dt + k x = F (t) donde η ⇒ Constante de Amortiguamiento
k ⇒ Constante Elástica
F (t) ⇒ Fuerza Aplicada
Analicemos la ecuación que describe sistemas mecánicos. El primero de los casos a analizar
será el de las oscilaciones libres, vale decir F (t) = 0, lo cual en el lenguaje de las ecuaciones
diferenciales se traduce a ecuaciones diferenciales homogéneas. En contraste, si F (t) ≠ 0, es
decir, el caso inhomogéneo, estaremos describiendo oscilaciones forzadas.
2.1 Introducción:
La física trata de la investigación de las leyes que gobiernan el comportamiento del universo
físico. Por universo físico entendemos la totalidad de objetos a nuestro alrededor, no sólo
las cosas que observamos sino también las que no observamos, tales como los átomos y
moléculas. El estudio del movimiento de los objetos en nuestro universo es una rama de la
mecánica llamada dinámica formulada mediante las leyes del movimiento de Newton. Para
los objetos que se mueven muy rápido, cerca de la velocidad de la luz, no podemos usar las
leyes de Newton. En su lugar debemos usar una versión revisada de estas leyes,
desarrolladas por Einstein y conocidas como mecánica relativista, o mecánica de la
relatividad. Para objetos de dimensiones atómicas las leyes de Newton tampoco son válidas.
De hecho, para obtener descripciones precisas del movimiento de objetos de dimensiones
atómicas, necesitamos establecer un conjunto de leyes denominadas mecánica cuántica. La
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mecánica cuántica y la relativista son muy complicadas, no siendo objeto de estudio en este
trabajo.
2.2 Las leyes del movimiento de Newton.
Las tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son:
1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en
movimiento tiende a persistir en movimiento en una línea recta con velocidad constante
a menos que fuerzas externas actúen sobre él.
2. La tasa de variación del momentum de un cuerpo en función del tiempo es proporcional a
la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo teniendo la misma dirección de la fuerza,
(entendiéndose por momentum de un objeto al producto de su masa m multiplicado por
su velocidad v).
3. A cada acción existe una reacción igual y opuesta.
La segunda ley nos proporciona una relación importante, conociéndose como la ley de
Newton.
La tasa de cambio o variación en el momentum en el tiempo es así d (mv) /dt.
Si por F entendemos a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, por la segunda ley tenemos:
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑣) 𝛼 𝐹 siendo α el símbolo que indica proporcionalidad. Introduciendo la constante
de proporcionalidad k, obtenemos:
𝒅
𝒅𝒕
(𝒎𝒗) = 𝒌𝑭
Si m es una constante, 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑘𝐹 o ma = kF, dónde 𝑎 =
𝑑
𝑑𝑡
es la aceleración.
Así vemos que 𝐹 =
𝑚𝑎
𝑘
donde el valor de k depende de las unidades que deseemos usar.
Para el sistema CGS (o sistema Centímetro, Gramo, Segundo), k = 1 siendo la ley F = ma.
En la simbología del cálculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes, al
notar que la aceleración a puede expresarse como la primera derivada de la velocidad v
(esto es, dv/dt), o como la segunda derivada de v de un desplazamiento s (esto es, d2
s/dt2
).
Una vez conocido el problema físico podemos aplicar estos conocimientos para obtener las
formulaciones matemáticas de varios problemas de la mecánica clásica que involucran los
conceptos anteriores, y la solución e interpretación de tales problemas.
Ejemplo aclaratorio:
Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad,
partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Vamos a establecer la
ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y a
solventarla.
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Diagrama de fuerzas:
Formulación matemática:
Sea A en la figura la posición de la masa m en el tiempo t = 0, y sea Pi la posición de m en
cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de física que involucre cantidades
vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales
necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un
sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En
este ejemplo observamos que la variación se realiza respecto del eje x.
La velocidad instantánea en P es v = dx/dt. La aceleración instantánea en P es a = dv/dt o
a = d
2
x/dt
2
. La fuerza que actúa es el peso, siendo su magnitud P= mg. Por la ley de Newton
tenemos:
𝒎
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒎𝒈 o
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒈
Puesto que la masa cae desde el reposo, vemos que v = 0 cuando t = 0, o en otras palabras
v(0) =0 .
Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial v(t)
𝒅𝒗 𝒕
𝒅𝒕
= 𝒈 v(0) =0
Aquí tenemos una ecuación de primer orden y su condición requerida.
Otra manera de formular el problema es escribir:
𝒎
𝒅 𝟐 𝒙
𝒅𝒕 𝟐 = 𝒎𝒈 o
𝒅 𝟐 𝒙
𝒅𝒕 𝟐 = 𝒈
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En tal caso tenemos una ecuación de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos
dos condiciones para determinar x. Una de ellas es v = 0 o dx/dt = 0 en t = 0. La segunda
puede obtenerse al notar que x = 0 en t = 0 (puesto que escogimos el origen de nuestro
sistema de coordenadas en A).
La formulación matemática es:
𝒅 𝟐 𝒙
𝒅𝒕 𝟐
= 𝒈 x=0 y
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝟎 en t = 0
Cuando establezcamos ecuaciones diferenciales para describir algún fenómeno o ley,
siempre las acompañaremos de suficientes condiciones necesarias para la determinación de
las constantes arbitrarias en la solución general.
Solución:
Empezando con
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒈 (separación de variables) obtenemos por integración v = gt + c1.
Puesto que v =0 cuando t = 0, c1 = 0, ó v = gt, esto es,
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒈𝒕
Otra integración produce de la anterior ecuación 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒈𝒕 𝟐
+ 𝒄 𝟐 . Puesto que x= 0 en t = 0,
c2 = 0. Por tanto 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒈𝒕 𝟐
. Podríamos haber llegado al mismo resultado al empezar con
𝒎
𝒅 𝟐 𝒙
𝒅𝒕 𝟐 = 𝒎𝒈 o
𝒅 𝟐 𝒙
𝒅𝒕 𝟐 = 𝒈
El signo más indica que el objeto se está moviendo en la dirección positiva, esto es, hacia
abajo. Se debería tener en cuenta que si hubiéramos tomado la dirección positiva hacia
arriba la ecuación diferencial hubiera sido m(dv/dt) = - mg, esto es:
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= −𝒈 o
𝒅 𝟐 𝒙
𝒅𝒕 𝟐 = −𝒈
Esto conduciría a resultados equivalentes a los obtenidos.
Para otros problemas similares la forma de actuar es la misma.
3. APLICACIONES A LA MECÁNICA:
Los sistemas mecánicos son aquellos sistemas constituidos fundamentalmente por
componentes, dispositivos o elementos que tienen como función específica transformar o
transmitir el movimiento desde las fuentes que lo generan, al transformar distintos tipos de
energía.
Se caracterizan por presentar elementos o piezas sólidos, con el objeto de realizar
movimientos por acción o efecto de una fuerza. En ocasiones, pueden asociarse con
sistemas eléctricos y producir movimiento a partir de un motor accionado por la energía
eléctrica. En general la mayor cantidad de sistemas mecánicos usados actualmente son
propulsados por motores de combustión interna.
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En los sistemas mecánicos, se utilizan distintos elementos relacionados para transmitir un
movimiento. Como el movimiento tiene una intensidad y una dirección, en ocasiones es
necesario cambiar esa dirección y/o aumentar la intensidad, y para ello se utilizan
mecanismos. En general el sentido de movimiento puede ser circular (movimiento de
rotación) o lineal (movimiento de translación) los motores tienen un eje que genera un
movimiento circular.
Ejemplo aclaratorio:
Un tanque de una cierta forma geométrica esta inicialmente lleno de agua hasta una altura
H. El tanque tiene un orificio en el fondo cuya área es A pie2
. Se abre el orificio y el líquido
cae libremente. La razón volumétrica de salida dQ/dt es proporcional a la velocidad de
salida y al área del orificio, es decir:
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 𝑣 (Principio de Torricelli)
Aplicando la ecuación de energía: 1/2mv2
= mgh ⇒ 𝑣 = √2𝑔ℎ , por lo tanto,
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 √2𝑔ℎ
Donde g = 32 pie/seg2
= 9,81 m/seg2
La constante k depende de la forma del orificio:
 Si el orificio es de forma rectangular, la constante k = 0,8.
 Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ k ≤ 0,75.
 Si el orificio es de forma circular, la constante k = 0,6.
Cilindro circular de longitud H0 pies y radio r pies, dispuesto en forma horizontal y con un
orificio circular al fondo de diámetro φ ′′ (pulgadas) (Ver figura). Calcular el tiempo de
vaciado (tv).
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 √2𝑔ℎ = −0.6𝜋 (
∅
2𝑥12
)
2
√2𝑥𝑔𝑥ℎ = −4.8𝜋
∅2
576
√ℎ
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𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 √2𝑔ℎ = −
4.8𝜋∅2
576
√ℎ ……………………….. (1)
pero de la figura del tanque, tenemos: dQ = (2x)( H0 ) (dh)
y también
(x − 0)2
+ (h − r) 2
= r 2
⇒ x 2
+ h 2
− 2rh + r 2
= r 2
Luego 𝑥 = √2𝑟ℎ − ℎ2
Sustituyendo:
𝑑𝑄 = 2√2𝑟ℎ − ℎ2 𝐻𝑜 𝑑ℎ
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 2√2𝑟ℎ − ℎ2 𝐻 𝑜
𝑑ℎ
𝑑𝑡
………………………………… (2)
Igualando (1) y (2):
2 √2𝑟ℎ − ℎ2 𝐻𝑜
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −
4.8𝜋∅2
576
√ℎ
2𝐻𝒐√ℎ√2𝑟 − ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −
4.8𝜋∅2
576
√ℎ
√2𝑟 − ℎ 𝑑ℎ = −
4.8𝜋∅2
2 ∗ 𝐻 𝑜 ∗ 576
𝑑𝑡
Condiciones iniciales: en t0 = 0 h = 2r, con ella hallo constante de integración.
El tiempo de vaciado tv se produce cuando h = 0. Hallar tv.
∫ √2𝑟 − ℎ
2𝑟
0
𝑑ℎ = − ∫
4.8𝜋∅2
2 ∗ 𝐻 𝑜 ∗ 576
𝑡 𝑣
0
𝑑𝑡
𝑡 𝑣 =
113.14√ 𝑟 𝐻0
𝜋 ∗ 𝑟
II. LA RESONANCIA EN UN SISTEMA SENCILLO
Para ilustrar algunos de los aspectos más relevantes del fenómeno de la resonancia, es
conveniente desarrollar el análisis de un sistema sencillo como es el de una masa “m” ligada a un
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resorte de constante elástica K, ya que este caso, pese a su sencillez ilustra conceptos básicos del
fenómeno que se presentan en casos más complejos. Para describir la dinámica de una masa
acoplada a un resorte se parte de la 2ª Ley de Newton
………………………………………….. (1)
Se propone como solución para su posición en función del tiempo un movimiento armónico
simple
…………………………….…………….. (2)
al sustituir esta función en la ecuación 1 se tiene que la frecuencia angular con que en el estado
estacionario se moverá la masa es
……………………………………………. (3)
Es de hacer notar que la frecuencia angular no depende de la amplitud sino solo de la constante
K del resorte y de la masa, por tanto, este sistema tiene una sola frecuencia que “adopta” en
forma espontánea en cuanto se le deja oscilar libremente, por ello se le denomina “frecuencia
natural del sistema”. Analicemos ahora el caso de un oscilador forzado, para ello se aplica sobre
la masa otra fuerza más la cual tendrá un carácter periódico con una amplitud F, frecuencia
angular ω y actuando en la dirección del eje del resorte, tal como se observa en la figura 1.
FIGURA 1. Resorte con oscilación forzada.
Si la fuerza externa periódica tiene la forma F = F cosωt, entonces la fuerza total que actúa sobre
la masa m es
F = −Ky + F cosωt ………………………………………….. (4)
ahora la segunda ley de Newton toma la forma
……………………………….. (5)
Si al igual que el caso anterior se propone como solución de la anterior ecuación y = Acosωt, con
ω la frecuencia angular de la fuerza externa, al sustituir este valor de y, así como de su segunda
derivada respecto al tiempo se tiene que
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………………….…….… (6)
y al despejar el valor A de la amplitud de la oscilación ésta tiene el valor
…………………………………………….. (7)
Pero de acuerdo a (3), 𝐾 = 𝑚𝜔0
2
, así es que sustituyendo este valor en la anterior relación se
obtiene finalmente que
…………………………………………….. (8)
Se observa que cuando ω tiende a ωo, el valor absoluto de la amplitud A tiende a infinito. En esta
situación en que el sistema elástico tiende a oscilar con una máxima amplitud se dice que el
sistema entra en un estado de Resonancia. Si nos aproximamos a la frecuencia natural con
valores mayores que ωo El valor de la amplitud tendrá valores negativos; para evitar este
comportamiento anómalo se introduce en la solución propuesta un ángulo de fase α
…………………………………………. (9)
Tal que α será igual a 0 para valores de ω menores que ωo, y π para valores mayores. Para que
este comportamiento sea un modelo más realista se tiene que tomar en cuenta la fricción. Si se
supone que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de la masa, la segunda ley de
Newton ahora es
……………………………… (10)
Con b una constante de proporcionalidad, la amplitud resultante resulta
……………………………….. (11)
Donde γ=b/m
Aunque ahora la amplitud máxima ya no ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa es
exactamente la frecuencia natural ωo, para muchos problemas de interés la diferencia no es
considerable. El fenómeno de la resonancia requiere por tanto:
a) De un sistema elástico que presente frecuencias naturales de vibración,
b) De una fuerza externa de tipo periódico que actúe sobre el sistema elástico,
c) De una coincidencia entre ambos tipos de frecuencia.
¿Qué tan factible es que este tipo de condiciones se presenten en la vida real?
La respuesta a esta pregunta permitirá ver el campo de aplicación de este concepto así como su
gran capacidad explicativa para el entendimiento de una gran cantidad de fenómenos.
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III. LA PRESENCIA DE LA RESONANCIA EN LA VIDA REAL
Si estamos en un mundo sometido continuamente a fuerzas oscilantes, y si además estamos
rodeados de estructuras elásticas tales como ventanas, puentes, edificios, etc., es factible que
en muchos casos la frecuencia de las fuerzas oscilantes coincida con alguna de las frecuencias
naturales de las estructuras elásticas provocando fenómenos de resonancia.
Se mostrarán algunos ejemplos:
1) Cuando decenas o cientos de soldados marchan dando golpes rítmicos de frecuencia muy
constante en el piso, al cruzar sobre un puente, que como se ha señalado es una estructura
elástica con sus propias frecuencias naturales de vibración, en caso de que conserven su
marcha acompasada se corre el peligro de que su frecuencia de golpeteo – aproximadamente
de 1 Hz - coincida con alguna de las frecuencias naturales del puente; hay que tomar en
cuenta además que la fuerza del golpe colectivo puede alcanzar magnitudes de decenas de
miles de N, para evitar ese peligro es que a las formaciones de soldados se les ordena romper
la marcha cuando cruzan un puente.
2) Es una experiencia común que cuando se escucha música dentro de un cuarto, algunas veces
al aparecer sonidos de frecuencia muy baja los vidrios de las ventanas empiezan a vibrar
violentamente. Esto ocurre, naturalmente, porque hay un fenómeno de resonancia, ya que
en tales casos la frecuencia de los sonidos graves coincide con alguna de las frecuencias
naturales de oscilación de los vidrios de las ventanas.
3) Los autos están hechos de muchas partes elásticas, como por ejemplo el volante, la palanca de
velocidades, los vidrios de las ventanas, etc.; de hecho, cuando al volante se le da un golpe, se
siente inmediatamente su vibración; pues bien, cuando el motor genera vibraciones que
coinciden con la frecuencia natural de vibración de algunas de estas partes sucede el
fenómeno de resonancia; es por ello que los diseñadores de las carrocerías deben tener en
cuenta que la potente fuente de vibraciones del motor no provoque la coincidencia con las
frecuencias naturales de los diversos componentes de los automotores.
4) El cuerpo humano está conformado con estructuras elásticas como son los huesos, y es así
que en el mundo de la medicina laboral se debe cuidar que la frecuencia de golpeteo de
máquinas como los taladros que rompen las capas de pavimento, no coincida con la
frecuencia natural de algunas de las partes de la estructura ósea. Cuando el cuerpo humano
está sometido a vibraciones de baja frecuencia, éste se mueve como un todo, pero a
frecuencias altas la respuesta del cuerpo es específica; así de 4 a 12 Hz las caderas y los
hombros comienzan a resonar, entre 20 y 30 Hz es el cráneo el que resuena, a frecuencias
más altas de 60 a 90 Hz son los globos oculares los que pueden entrar en resonancia [2].
5) Un caso muy conocido de resonancia es cuando un ó una cantante dirigen su voz hacia una
copa de cristal; es aparente que la copa es una estructura elástica que vibra a frecuencias
claramente reconocibles por el oído humano, por tanto, el afinado oído de los cantantes se
entona con esos sonidos y lanza contra la copa un sonido potente de la misma frecuencia, con
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ello se forman en la copa ondas estacionarias, y si la intensidad y la frecuencia se mantienen
el tiempo suficiente, se produce el fenómeno de resonancia hasta que la copa a causa de sus
intensas vibraciones se rompe.
6) En el mundo animal se tienen también ejemplos muy hermosos de resonancia; por ejemplo
¿cómo pueden los mosquitos machos detectar a los mosquitos hembras? De acuerdo a H.
Schmidt [3], las frecuencias de aleteo de los machos y las hembras son diferentes; los machos
aletean a una frecuencia aproximada de 500 Hz, mientras que las hembras lo hacen a una
frecuencia aproximada de 300 Hz; pues bien, se encuentra que las antenas de los machos
tienen una frecuencia natural de vibración muy cercana a los 300 Hz, por tanto, el aleteo de
las hembras provoca en ellos resonancia de sus antenas y es así como se efectúa el
reconocimiento (Figura 3).
a)
b)
FIGURA 2. En esta figura se muestran: a) en la parte superior la señal acústica producida por una
copa, y b) la frecuencia principal de la señal (señales obtenidas por los autores)
7) Finalmente, un ejemplo muy drástico de los efectos destructivos que pueden producirse en
caso de resonancia, se presenta cuando una ciudad es afectada por un sismo; la ciudad está
llena de estructuras elásticas de gran escala, tales como edificios y puentes; la frecuencia de
los sismos, es decir, la frecuencia con que se mueve el suelo, está ante todo en el rango de los
0.5 -2 Hz, son frecuencias relativamente bajas, pero las grandes masas de los edificios de más
de 5 pisos de altura por su propia inercia tienden a tener frecuencias bajas y propician por
tanto la ocurrencia del fenómeno de resonancia. En este caso la amplitud de las oscilaciones
mecánicas de los edificios tiende a crecer tanto en cada ciclo que pueden llegar al punto de
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ruptura, tal como sucedió con muchos edificios en el gran terremoto de la ciudad de México
en 1985.
IV. LA RESONANCIA EN EL LABORATORIO
En los párrafos anteriores se ha tratado de mostrar la importancia de analizar detalladamente
el fenómeno de la resonancia ya que como se ha indicado, tal fenómeno se presenta en
muchos casos de la vida cotidiana, por estas razones es que es muy importante que en un
laboratorio de enseñanza se le dedique la mayor atención posible a éste fenómeno.
A. Resonancia en vigas voladizas
De acuerdo a Feynman [4], el desplazamiento vertical del extremo libre de una viga voladiza
a la cual se le aplica una fuerza en este extremo está dado por
………………………………………………. (12)
Donde W es el peso aplicado, Y el módulo de Young, I el momento de inercia de la sección
transversal, L su longitud y Z el desplazamiento del extremos libre; si hacemos que 𝐾 =
3𝑌𝐼
𝐿3 ,
entonces
W = KZ ……………………………………………….. (13)
Es claro que esta relación para la fuerza de restauración de una viga nos permite afirmar
que una masa acoplada a su extremo desarrollará un movimiento armónico simple, y que
por tanto si se le aplica a la placa una fuerza periódica de frecuencia adecuada entrará en
resonancia.
Para visualizar el fenómeno recurrimos a un montaje experimental como el de la figura 3;
como viga voladiza se utilizará una placa alargada de metal (en este experimento se ha
utilizado una segueta de arco). Los pulsos de fuerza periódicos se aplican con un
electroimán conectado a un generador de pulsos de fuerza magnética como el descrito más
adelante, o también utilizando el equipo comercial mencionado anteriormente.
Para medir la frecuencia natural de oscilación de la placa para diferentes longitudes, hay 3
opciones:
a) Se le agrega un pequeño imán colocado a la mitad de su longitud, y enfrente del imán se
coloca una bobina; se amplifica la señal de la bobina y se visualizan las señales de voltaje en
un osciloscopio cuando se hace oscilar la placa; esto nos permite medir el período de las
oscilaciones y por tanto su frecuencia natural para una longitud dada;
b) Otra opción es adherirle a la placa una pequeña pantalla opaca que interrumpa la luz que
incide sobre una celda solar; la señal de la celda solar se amplifica y se visualiza igualmente
con un osciloscopio, y
c) Usar luz estroboscópica hasta alcanzar una frecuencia en que la varilla casi parezca
detenida.
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FIGURA 3. Arreglo experimental para visualizar la resonancia en una placa elástica
Para analizar este caso se ha diseñado y construido un generador de pulsos de fuerza magnética a
partir de un generador de pulsos de frecuencia variable como el mostrado en la figura 4. Los
pulsos de voltaje abren y cierran un interruptor digital como el mostrado en la figura 5 que
conecta un electroimán a la línea. El circuito original reportado en [5] se ha modificado agregando
un diodo a la salida de la bobina.
FIGURA 4. Generador de pulsos; los valores seleccionados para inducir resonancia en la placa son los siguientes: Ra=
Pot. de 50kΩ, Rb= 1kΩ, RC =500Ω, C1=10μF, C2=0.01 μF, +V= 9 V, -V=-9V, la variación de la resistencia Ra
permite variar la frecuencia de los pulsos de salida.
FIGURA 5. La salida S del circuito generador de pulsos se conecta a un interruptor digital de la corriente que
alimenta a la bobina la cual produce los pulsos de fuerza magnética. El valor de R es de 500 Ω y el
Triac utilizado fue el 2N6073B.
Se muestra en la figura 6 las oscilaciones naturales de la placa, así como su frecuencia. Para hacer
estas mediciones se ha utilizado una tarjeta de captura de National Instruments, así como un
programa hecho en LabVIEW, y asimismo en la figura 7 se observa cómo se amplifican
progresivamente las oscilaciones cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la
frecuencia natural.
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FIGURA 6. Oscilaciones y frecuencia natural de la placa
FIGURA 7. En estas figuras se muestra el crecimiento paulatino de la amplitud de la oscilación en la placa, así
como la frecuencia a la cual ocurre este comportamiento
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REFERENCIAS
[1] Resnick, R. y Halliday, D., Física, (Compañía Editorial Continental, México, 1984)
[2] http://www.fio.unicen.edu.ar/usuario/segumar/Laura/mate rial/Vibraciones.pdf, Consultado el
21 de Marzo de 2009.
[3] Schmid, H., Cómo se comunican los animales, (Salvat, España, 1986).
[4] Feynman, R., Física: Electromagnetismo y materia, Vol. II, (Addison-Wesley Iberoamericana, E.
U. A. 1972).
[5] Peralta, J. A. y Miller, C. G., Resonancia en placas delgadas, Cuaderno Catarinense de Ensino de
Física 14, 209- 217 (1997).
[6] Saal R. Cesar; Ecuaciones diferenciales.
[7] ANALISIS DE CIRCUITOS DE INGENIERIA, Willian Hayt - Jack E.Kemerly - Jairo Osuma
[8] MURRAY R. SPIEGEL, ecuaciones diferenciales aplicadas
[9] M. BRAUN, ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones

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  • 1. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL SEGUNDA TITULACION MATEMATICAS III MATERIA : APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA : RESONANCIA Y APLICACIONES A LA MECANICA Y FISICA DOCENTE : Ing. JAVIER RAMIREZ RODRIGUEZ MUÑOZ INTEGRANTE: - TORRES RODRIGUEZ, Marciano Edwin TRUJILLO MARZO DEL 2016
  • 2. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES INTRODUCCION La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales y en la carrera profesional de Ingeniería Civil su aplicación es amplia. Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes. OBJETIVOS Tiene por objetivo explicar los fenómenos naturales traduciéndolos en ecuaciones diferenciales y estas sirven a su vez para solucionarlos en forma matemática y aplicarlos a la vida real como por ejemplo: El estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones. Las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. DEFINICION DE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Tanto en las ciencias como en las ingenierías se desarrollan modelos matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos. Generalmente, estos modelos producen una ecuación que contiene algunas derivadas de una función incógnita. Esta ecuación recibe el nombre de ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales no solo se utilizan en las ciencias e ingenierías, sino en otros campos del conocimiento humano como la medicina, la economía, la investigación de operaciones y la psicología. La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral. En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los fenómenos naturales. En la Mecánica, la Astronomía,
  • 3. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO la Física y la Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones. Definición: Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial (E.D). Si la función desconocida depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial. Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface la ecuación, esto es, la reduce a una identidad. MODELADOS MATEMÁTICOS Es común y deseable describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real, ya sea físico, sociológico o incluso económico, en términos matemáticos. La descripción matemática de un sistema o un fenómeno se llama modelado matemático y se construye con ciertos objetivos. Por ejemplo que se desee entender los mecanismos de cierto ecosistema al estudiar el crecimiento de poblaciones animales, se podría fechar fósiles al analizar su desintegración de sustancias radiactivas. Construcción de un modelo matemático 1.- Identificación de las variables a las que se atribuyen el cambio del sistema. Al principio se podría elegir no incorporar todas estas variables en el modelo. En este paso se está especificando el nivel de resolución del modelo 2.- Se elabora un conjunto de suposiciones razonables, o hipótesis acerca del sistema que se está intentando describir estas suposiciones también incluirán algunas leyes empíricas que podrían ser aplicables al sistema. Nota: El hacer un modelado matemático es como estar realizando una investigación científica o un método científico aplicando como un algoritmo o una receta más práctica y sencilla. Porque primero se observa el fenómeno se crea la hipótesis se hacen algunas predicciones y al final experimentos. A continuación un diagrama de un modelado matemático:
  • 4. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO Importante: Un modelado matemático de una sistema físico suele intervenir la variables tiempo t. entonces una solución del modelado da el estado del sistema; en otras palabras, los valores de la variable dependiente (o variables) para valores apropiados de t describen al sistema en el pasado, presente y futuro. Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones cotidianas y no tan cotidianas o más bien un poco más científicas. 1. Dinámica de población: la suposición de que la rapidez a la que crece la población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento la ecuación para este modelado es: 𝑑𝑃 𝑑𝑡 ∝ 𝑃 𝑜 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝐾𝑃 2. Desintegración radiactiva: para modelar el fenómeno de desintegración radiactiva se supone que la rapidez de dA/dt a la que se desintegra los núcleo de una sustancia es proporcional a la cantidad ( con más precisión, el número de núcleos esta sería su ecuación diferencial: 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝐾𝐴 3. Ley de enfriamiento de newton: de acuerdo con la ley de la rapidez que cambian la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio y la temperatura del medio circundante esta es la ecuación: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝐾(𝑇 − 𝑇 𝑚) 4. Propagación de una enfermedad: una gripe se disemina en una comunidad por medio de la gente que entra en contacto con otras personas. Sea x(t) el número de personas que se han contagiado con la enfermedad y y(t) el número de personas que aún no se contagian esta sería la ecuación: dx dt = Kxy Suposiciones Formulación matemática Comprobar las predicciones con hechos conocidos Obtenga soluciones Exprese las suposiciones en temimos de ecuaciones diferenciales Resuelva las E.D Mostrar las predicciones del modelado gráficamente Si es necesario modifique las supociones
  • 5. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO 5. Reacciones químicas: estas se usan para ver la rapidez de los compuesto cuándo estos mismos se combinan ; dx dt = K(a − x)(β − y) 6. Circuitos en serie: este circuito contiene resistores, capacitores y un inductor. La corriente en un circuito después de que se cierra un conmutador se detona mediante i(t) la carga de un capacitor en el tiempo t se detona por q(t().. ahora de acuerdo con la segunda ley de kirchhoff el voltaje impreso(t) en un circuito cerrado de ser igual a la suma de sus caídas de voltaje L 𝑑2 𝑑𝑡2 + 𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑞 = 𝐸(𝑡) 7. Cables colgantes: sé acuerda examinar solo una parte o elemento de los cables entre un puto mínimo p1 y algún punto arbitrario p2. Siempre cuando los cables se ponen en una línea de transmisión que da una curva de una sistema coordenado rectangular donde se elige que el eje y pase por el punto mínimo p1 sobre la curva y el eje x elegido a unidades debajo de p1. tres fuerzas están actuando sobre el cable que son tangentes al cable p1 y p2 respectivamente W de la carga vertical total entre los punto p1 y p2 se T1=(t1), T2(t2) y w=(w) las magnitudes de esos vectores. Ahora la tensión de T2 se descompone en los componentes horizontal y vertical, como resultado del equilibrio estático : 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑤 𝑇1 A CONTINUACION LOS PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON ECUACIONES DIFERENCIALES 1; Cierta ciudad tenía una población de 25,000 habitantes en 1960 y una población 30,000 habitantes en 1970 suponiendo que su población continúe creciendo exponencialmente con un índice constante ¿Qué población esperara los urbanistas que tenga en el año 2011? dx dt = KX Separando variables: ∫ 𝑑𝑥 𝑥 = ∫ 𝐾𝑑𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 = ln(𝑥) = 𝐾𝑡 + 𝑐 Aplicando propiedades de logaritmos que daría de esta forma: x = ceKt Se toma to en 1960 de tal modo que: 25000 = x(0) Sustituyendo se obtiene 25000=ceKt(0) 𝐶 = 25000 Sustituyendo
  • 6. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO X=25000eKt De 1970 a 1960 han transcurrido 10 años y la población ha aumentado 30000 X(10)=30000 30000 = 25000𝑒 𝑘(10) ↔ 6 5 = 𝑒 𝑘(10) ↔ 10𝐾 = 𝑙𝑛(1.2) 10 ≈ .018232 Al sustituir se obtiene la fórmula que nos permite calcular el tamaño de la población en función del tiempo donde 𝑥(10)𝑒0.018232𝑡 Del año 1960al año 2010 han transcurrido entonces esa población actualmente tiene: 𝑥(51) = 𝑒.018232(51) ≈ 𝑥(51) = 62207.5157 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 2; El einstenio 253 de cae con una rapidez proporcional a la cantidad que se tenga determine la vida media si este material pierde un tercio de masa en 11.7 días. Q: 253 dQ/dt: rapidez d: razón de decaimiento: 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = −𝑟𝑄 ↔ 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑄 𝑞 = −𝑟𝑑𝑡 ↔ ∫ 𝑑𝑄 𝑞 − ∫ 𝑟𝑑𝑡 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑛𝑎𝑑𝑜𝑛(𝑞) = −𝑟𝑡 + 𝑐 ↔ 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑄 = 𝑐𝑒−𝑅𝑇 Q (0)=QO cantidad inicial del elemento en tiempo 0 Sustituyendo se obtiene: QO = ce−r0 ↔ c = Qo Sustituyendo otra vez: 𝑄 = 𝑄 𝑜 𝑒−𝑟𝑡 ↔ 𝑡 = 11.7 ↔ 𝑄 = 𝑄0 − 1 3 𝑄0 ↔ 𝑸 = 𝟐 𝟑 𝑸 𝟎 Sustituyendo: 2 3 QO = QOe−11.7 ↔ 2 3 = e−11.7 ↔ ln 2 3 = −11.7r ↔ R ↔ t = −0.405461081 −11.7 = r. 03465 Sustituyendo: 1 2 Q0 = Q0e−0.03456 ↔ 1 2 e−0.03456 ↔ ln(0.5) = −0.03456 ↔ t = −06931 . 03456 = t ≈ 20 dias 3; Una persona solicita un prestamo de 8000 pesos para comprar un automovil el prestamista carga el interes a una tasa anual del 10% si se supone que el interes se compone de manera continua y que el deudor efectua pagos continuamente con una cuota anual de contante K, ¿determine la cuota de K necesaria para cubrir el adeudo en tres años? Y ¿determine el interes que se paga durante el perio de tres años?
  • 7. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO S(t): cantidad de dinero en cualquiere momento t S(0)= SO = 800cantidad de dinero prestado (en t=0) K: Cantidad de dinero inyectada anualmente Esta es la formula separando variables, integrando y aplicando propiedades de los logaritmos: 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑟𝑠 − 𝐾 ↔ ∫ 𝑑𝑠 𝑟𝑠 − 𝑘 = ∫ 𝑑𝑡 ↔ 1 𝑟 𝑙𝑛(𝑟𝑠 − 𝐾) = 𝑟𝑡 + 𝑐𝑟 ↔ 𝑟𝑠 − 𝑘 = 𝑒 𝑟𝑡+𝑐𝑟 𝑠 = 𝑐𝑒 𝑟𝑡 + 𝐾 𝑟 (𝑐 = 𝑒 𝑐𝑟 𝑟 ) Sustituyendo 8000 = 𝑐𝑒 𝑟(0) + 𝐾 𝑟 ↔ 𝑐 = 8000 − 𝐾 𝑟 Sustituyendo 𝑠 = (8000 − 𝐾 𝑟 ) 𝑒 𝑟𝑡 + 𝑘 𝑟 ↔ 𝑠 = 8000𝑒 𝑟𝑡 − 𝑘 𝑟 𝑒 𝑟𝑡 + 𝑘 𝑟 → 𝑠 = 8000𝑒 𝑟𝑡 + 𝑘 𝑟 (1 − 𝑒 𝑟𝑡) Cuando la deuda se cancela, s= 0 de tal manera que: 8000𝑒 𝑟𝑡 + 𝑘 𝑟 (1 − 𝑒 𝑟𝑡) = 0 Despejamos K de la ecuación de arriba 8000𝑒 𝑟𝑡 + 𝐾 𝑟 (1 − 𝑒 𝑟𝑡) = 0 ↔ 𝐾 𝑟 (1 − 𝑒 𝑟𝑡) = −8000𝑒 𝑟𝑡 ↔ 𝐾 = 8000𝑟𝑒 𝑟𝑡 𝑒 𝑟𝑡 − 1 R= 10% ↔0.1 T=3 Sustituyendo 𝐾 = 8000(0.1)𝑒(0.1)(3) 𝑒(0.1)(3) − 1 = 8000𝑒0.3 𝑒0.3 − 1 ↔ 𝐾 ≈ 3086.64 3(3086.64) − 8000 = 1259.92 La cuota anual seria de 3086.64 y su interes aproximado de 1259.5 4; Encuentra el intervalo entre el momento de la muerte y el instante en que se descubre el cadáver, si la temperatura del cadáver en el momento que lo encontraron es de 85F y dos horas más tarde ha bajado 74 F además la temperatura del ambiente permanece constante a 32F. T: temperatura del cadáver en el tiempo t 𝑇 𝑚= 32 F: temperatura ambiente
  • 8. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO Momento donde se descubre el cadáver 𝑡 = 0 𝑇 = 85𝐹 La ecuación para este momento es: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = −𝐾(𝑇 − 𝑇 𝑚)𝑘 > 0: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 Así que: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = −𝐾(𝑇 − 32) Separando variables e integrando ∫ 𝑑𝑇 (𝑇 − 32) = ∫ −𝑘𝑑𝑡 ↔ ln(𝑇 − 32) = −𝐾𝑡 + 𝑐 Aplicando propiedades de los logaritmos 𝑒−𝐾𝑡+𝑐 ↔ 𝑇 = 𝑒 𝑐 𝑒−𝐾𝑡 + 32 Así quedaría 𝑇 = 𝑐𝑒−𝐾𝑡+32(𝑐 = 𝑒 𝐶) Sustituyen do la ecuación de arriba 85 = 𝑐𝑒−𝐾(0) + 32 ↔ 85 = 𝑐𝑒0 + 32 ↔ 85 = 𝑐 + 32 ↔ 𝒄 = 𝟑𝟓 Esto quedaría: T = 53ce−Kt + 32 Ahora ya tienen valores: 𝑡 = 2, 𝑇 = 74 Sustituyen do se obtiene: 74 = 53𝑒−𝐾(2) + 32 ↔ 42 = 53𝑒−2𝐾 ↔ 𝑒2𝐾 = 53 42 ↔ 2𝐾 = 𝑙𝑛(1.261) = 0.2326223 K=0.1163111 Así la temperatura del cadáver en el tiempo t, en horas, está dada por: T = 53e−0.116311t + 32 La temperatura de ser humano vivo es de 98.6 F 98.6 = 53e−.1163t + 32 ↔ 66.6 53 = e−.1163t ↔ e0.1163t = 53 66.6 → 0.1163tln(. 7957) ↔ t −.2884 . 116311 = −1.9638 → .9638(60) = 58𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 La hora de muerte se produjo aproximadamente 1 hora 58 minutos
  • 9. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO RESONANCIA Y APLICACIONES A LA MECÁNICA Y FISICA MEDIANTE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES I. INTRODUCCIÓN Desgraciadamente es una experiencia común comprobar que no solo a nivel de la enseñanza media superior, sino incluso en estudiantes de licenciatura que han llevado cursos de mecánica, de circuitos y de electromagnetismo, se tiene un conocimiento muy deficiente de lo que es el fenómeno de la resonancia así como del ancho campo de sus aplicaciones. Una posible explicación de este hecho es que libros de texto usuales [1] en la sección de mecánica se limitan a ilustrar el fenómeno con los ejemplos de la resonancia en un resorte, en una cuerda tensa o en tubos, casos que en sí pudieran presentar poco interés para los alumnos ya que en general tienen poca pertinencia en su vida cotidiana. Esto es lamentable porque este fenómeno tiene una gran cantidad de aplicaciones en el mundo de la tecnología, y además está presente en multitud de situaciones de la vida real, tanto a nivel doméstico, como en la vida pública, o en los ámbitos laborales. Se presenta en este artículo una deducción matemática del fenómeno para un caso sencillo como es el sistema resorte-masa, para luego ir más allá ilustrándolo con una serie de casos en los cuales el fenómeno está presente en la vida real, por ejemplo: en la comunicación entre insectos como los mosquitos al sintonizarse la frecuencia del aleteo de las hembras con las frecuencias naturales de las antenas de los machos, durante la ocurrencia de un sismo cuando la frecuencia de éste coincide con algunas de las frecuencias naturales de los edificios, en la vibración de ventanas cuando las notas musicales coinciden con alguno de los modos de vibración de éstas, en el diseño de los automóviles para evitar que las frecuencias del motor provoquen indeseables vibraciones en sus partes, y en el cuerpo humano sujeto a vibraciones en ciertas situaciones de la vida laboral. Finalmente, mostramos algunas prácticas y dispositivos que se pueden desarrollar en el laboratorio para inducir a los estudiantes a desarrollar un conocimiento detallado del fenómeno. VIBRACIONES Y RESONANCIA El efecto de las vibraciones sobre una estructura debe ser tenido en cuenta siempre, ya que suponen un serio problema. Esta es otra de las cosas que los humanos han aprendido por las malas. No sólo pueden causar un fallo por fatiga, una vibración en términos muy generales es una fuerza aplicada cíclicamente, puede ocurrir que se produzca una resonancia y, en ese caso, los efectos suelen ser fulminantes. Cuando se aplica una vibración a cualquier objeto, ésta se transmite por toda su estructura, haciéndola vibrar a la misma frecuencia. Y si la frecuencia de la vibración está en el rango de audición de nuestro oído, estamos hablando de un sonido. Cualquier objeto presenta unas frecuencias determinadas, propias de su geometría y composición, a las que se produce una resonancia. ¿Y qué es una resonancia? Pues una
  • 10. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO oscilación amplificada. Es decir, que a dicha frecuencia de resonancia, la respuesta a la vibración es mucho mayor en amplitud que a cualquier otra, llegando el caso, si la vibración aplicada tiene la intensidad suficiente, en que se produce el fallo catastrófico de la estructura, se rompe. Y esto puede ocurrir con varias frecuencias diferentes para un mismo objeto, es decir, puede tener distintas frecuencias de resonancia. DIFERENCIA ENTRE RESONANCIA Y VIBRACIÓN La vibración se refiere a cualquier movimiento vibratorio u oscilatorio, sea armónico o no. La resonancia se produce cuando dos movimientos vibratorios armónicos tienen la misma frecuencia. Por ejemplo, Una forma de poner de manifiesto este fenómeno consiste, si se acerca un diapasón a un tubo que contiene una columna de aire, provisto con un émbolo, modificando su posición, según la longitud que tenga dicha columna, el aire entrará en vibración con la misma frecuencia con la que está vibrando el diapasón. Entonces se dice que se produce resonancia. Para que esto ocurra se precisa que la longitud de la columna de aire sea un múltiplo impar de un cuarto de la longitud de onda de la que se produce en aire contenido dentro del tubo. 1. APLICADAS A LA RESONANCIA La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración se acerca al periodo de vibración característico de dicho cuerpo, en el cual, una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma repetida hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande. En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. En teoría, si se consiguiera que una pequeña fuerza sobre un sistema oscilara a la misma frecuencia que la frecuencia natural del sistema se produciría una oscilación resultante con una amplitud indeterminada. Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Debido a los grandes daños que pueden ocurrir, la resonancia mecánica es en general algo que necesita ser evitado, especialmente por el ingeniero al diseñar estructuras o mecanismos vibrantes. Ejemplo aclaratorio: Un peso P estira un resorte x1 unidades de longitud. Si el peso se halla x2 unidades de longitud por debajo de la posición de equilibrio y se suelta aplicándole una fuerza externa dada por: F(t) = A cosBt. Describir el movimiento que resulta si se supone que inicialmente el peso está en la posición de equilibrio (x = 0) y que su velocidad inicial es cero.
  • 11. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO Formulación matemática: La ecuación diferencial que describe el movimiento es por tanto 𝑷 𝒅 𝟐 𝒙 𝒈 𝒅𝒕 𝟐 = −𝒌𝒙 + 𝑭(𝒕) Puesto que inicialmente (t = 0) el peso está x2 por debajo de la posición de equilibrio, tenemos x = x2 en t = 0. También, puesto que el peso se suelta (esto es, tiene velocidad cero) en t = 0, 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟎 en t = 0 Solución: Como F (t) = A cos Bt contiene una función de los términos cos Bt, con lo que podemos utilizar el método de los coeficientes indeterminados para determinar la solución particular. Ensayando como solución particular xp = c1sen Bt + c2cosBt de ( 𝑷 𝒈 𝑫 𝟐 + 𝒌)𝒙 = 𝑭(𝒕) xp = c1 sen Bt + c2 cosBt x’p = Bc1 cos Bt - Bc2 senBt x´´p = -B2 c1 sen Bt - B2 c2 cosBt Sustituyendo en la ecuación 𝑷 𝒈 𝒙´´ + 𝒌𝒙 = 𝑭(𝒕) calculamos el valor de las constantes c1, c2 y por tanto la solución particular. La solución complementaria de 𝑷 𝒅 𝟐 𝒙 𝒈 𝒅𝒕 𝟐 = −𝒌𝒙 + 𝑭(𝒕) se obtiene de la misma que en el apartado anterior 1.1 con lo que sería x = A cos Bt + B senBt con lo que la solución general será de la forma: x = xc + xp = A cos Bt + B senBt + c1 sen Bt + c2 cosBt Usando las condiciones iniciales, podemos observar una solución será cuando A = B = 0 de donde podemos sacar que: x = c1 sen Bt + c2 cosBt podríamos determinar el gráfico siguiente:
  • 12. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO El gráfico de la ecuación x= c1 sen Bt + c2 cosBt está entre los gráficos de x = t y x = - t como se muestra en la figura. Se puede ver en el gráfico que las oscilaciones van creciendo sin límite. Naturalmente, el resorte está limitado a romperse dentro de un corto tiempo. En este ejemplo, el amortiguamiento fue ignorado, ocurriendo la resonancia porque la frecuencia de la fuerza externa aplicada fue igual a la frecuencia natural del sistema no amortiguado. Esto es un principio general. En el caso donde ocurre amortiguamiento las oscilaciones no crecen sin límite, pero sin embargo pueden llegar a ser muy grandes, la resonancia en este caso ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa aplicada es ligeramente menor que la frecuencia natural del sistema. 2. APLICACIONES A LA FISICA: Mecánica cuántica: Una de las más famosas ecuaciones diferenciales, lineales, ordinaria con coeficientes constantes es: α ü + β ů + γ u ≡ α d2 u/dt2 + β du/dt + γ u = Λ (t) La cual utiliza para describir sistemas mecánicos y toma la forma: x ⇒ Desplazamiento dx / dt ⇒ Velocidad m ⇒ masa m d2 x/dt2 + η dx/dt + k x = F (t) donde η ⇒ Constante de Amortiguamiento k ⇒ Constante Elástica F (t) ⇒ Fuerza Aplicada Analicemos la ecuación que describe sistemas mecánicos. El primero de los casos a analizar será el de las oscilaciones libres, vale decir F (t) = 0, lo cual en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales se traduce a ecuaciones diferenciales homogéneas. En contraste, si F (t) ≠ 0, es decir, el caso inhomogéneo, estaremos describiendo oscilaciones forzadas. 2.1 Introducción: La física trata de la investigación de las leyes que gobiernan el comportamiento del universo físico. Por universo físico entendemos la totalidad de objetos a nuestro alrededor, no sólo las cosas que observamos sino también las que no observamos, tales como los átomos y moléculas. El estudio del movimiento de los objetos en nuestro universo es una rama de la mecánica llamada dinámica formulada mediante las leyes del movimiento de Newton. Para los objetos que se mueven muy rápido, cerca de la velocidad de la luz, no podemos usar las leyes de Newton. En su lugar debemos usar una versión revisada de estas leyes, desarrolladas por Einstein y conocidas como mecánica relativista, o mecánica de la relatividad. Para objetos de dimensiones atómicas las leyes de Newton tampoco son válidas. De hecho, para obtener descripciones precisas del movimiento de objetos de dimensiones atómicas, necesitamos establecer un conjunto de leyes denominadas mecánica cuántica. La
  • 13. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO mecánica cuántica y la relativista son muy complicadas, no siendo objeto de estudio en este trabajo. 2.2 Las leyes del movimiento de Newton. Las tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son: 1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en una línea recta con velocidad constante a menos que fuerzas externas actúen sobre él. 2. La tasa de variación del momentum de un cuerpo en función del tiempo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo teniendo la misma dirección de la fuerza, (entendiéndose por momentum de un objeto al producto de su masa m multiplicado por su velocidad v). 3. A cada acción existe una reacción igual y opuesta. La segunda ley nos proporciona una relación importante, conociéndose como la ley de Newton. La tasa de cambio o variación en el momentum en el tiempo es así d (mv) /dt. Si por F entendemos a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, por la segunda ley tenemos: 𝑑 𝑑𝑡 (𝑚𝑣) 𝛼 𝐹 siendo α el símbolo que indica proporcionalidad. Introduciendo la constante de proporcionalidad k, obtenemos: 𝒅 𝒅𝒕 (𝒎𝒗) = 𝒌𝑭 Si m es una constante, 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑘𝐹 o ma = kF, dónde 𝑎 = 𝑑 𝑑𝑡 es la aceleración. Así vemos que 𝐹 = 𝑚𝑎 𝑘 donde el valor de k depende de las unidades que deseemos usar. Para el sistema CGS (o sistema Centímetro, Gramo, Segundo), k = 1 siendo la ley F = ma. En la simbología del cálculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes, al notar que la aceleración a puede expresarse como la primera derivada de la velocidad v (esto es, dv/dt), o como la segunda derivada de v de un desplazamiento s (esto es, d2 s/dt2 ). Una vez conocido el problema físico podemos aplicar estos conocimientos para obtener las formulaciones matemáticas de varios problemas de la mecánica clásica que involucran los conceptos anteriores, y la solución e interpretación de tales problemas. Ejemplo aclaratorio: Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad, partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Vamos a establecer la ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y a solventarla.
  • 14. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO Diagrama de fuerzas: Formulación matemática: Sea A en la figura la posición de la masa m en el tiempo t = 0, y sea Pi la posición de m en cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de física que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En este ejemplo observamos que la variación se realiza respecto del eje x. La velocidad instantánea en P es v = dx/dt. La aceleración instantánea en P es a = dv/dt o a = d 2 x/dt 2 . La fuerza que actúa es el peso, siendo su magnitud P= mg. Por la ley de Newton tenemos: 𝒎 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = 𝒎𝒈 o 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = 𝒈 Puesto que la masa cae desde el reposo, vemos que v = 0 cuando t = 0, o en otras palabras v(0) =0 . Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial v(t) 𝒅𝒗 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒈 v(0) =0 Aquí tenemos una ecuación de primer orden y su condición requerida. Otra manera de formular el problema es escribir: 𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅𝒕 𝟐 = 𝒎𝒈 o 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅𝒕 𝟐 = 𝒈
  • 15. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO En tal caso tenemos una ecuación de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos dos condiciones para determinar x. Una de ellas es v = 0 o dx/dt = 0 en t = 0. La segunda puede obtenerse al notar que x = 0 en t = 0 (puesto que escogimos el origen de nuestro sistema de coordenadas en A). La formulación matemática es: 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅𝒕 𝟐 = 𝒈 x=0 y 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟎 en t = 0 Cuando establezcamos ecuaciones diferenciales para describir algún fenómeno o ley, siempre las acompañaremos de suficientes condiciones necesarias para la determinación de las constantes arbitrarias en la solución general. Solución: Empezando con 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = 𝒈 (separación de variables) obtenemos por integración v = gt + c1. Puesto que v =0 cuando t = 0, c1 = 0, ó v = gt, esto es, 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒈𝒕 Otra integración produce de la anterior ecuación 𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒈𝒕 𝟐 + 𝒄 𝟐 . Puesto que x= 0 en t = 0, c2 = 0. Por tanto 𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒈𝒕 𝟐 . Podríamos haber llegado al mismo resultado al empezar con 𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅𝒕 𝟐 = 𝒎𝒈 o 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅𝒕 𝟐 = 𝒈 El signo más indica que el objeto se está moviendo en la dirección positiva, esto es, hacia abajo. Se debería tener en cuenta que si hubiéramos tomado la dirección positiva hacia arriba la ecuación diferencial hubiera sido m(dv/dt) = - mg, esto es: 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = −𝒈 o 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅𝒕 𝟐 = −𝒈 Esto conduciría a resultados equivalentes a los obtenidos. Para otros problemas similares la forma de actuar es la misma. 3. APLICACIONES A LA MECÁNICA: Los sistemas mecánicos son aquellos sistemas constituidos fundamentalmente por componentes, dispositivos o elementos que tienen como función específica transformar o transmitir el movimiento desde las fuentes que lo generan, al transformar distintos tipos de energía. Se caracterizan por presentar elementos o piezas sólidos, con el objeto de realizar movimientos por acción o efecto de una fuerza. En ocasiones, pueden asociarse con sistemas eléctricos y producir movimiento a partir de un motor accionado por la energía eléctrica. En general la mayor cantidad de sistemas mecánicos usados actualmente son propulsados por motores de combustión interna.
  • 16. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO En los sistemas mecánicos, se utilizan distintos elementos relacionados para transmitir un movimiento. Como el movimiento tiene una intensidad y una dirección, en ocasiones es necesario cambiar esa dirección y/o aumentar la intensidad, y para ello se utilizan mecanismos. En general el sentido de movimiento puede ser circular (movimiento de rotación) o lineal (movimiento de translación) los motores tienen un eje que genera un movimiento circular. Ejemplo aclaratorio: Un tanque de una cierta forma geométrica esta inicialmente lleno de agua hasta una altura H. El tanque tiene un orificio en el fondo cuya área es A pie2 . Se abre el orificio y el líquido cae libremente. La razón volumétrica de salida dQ/dt es proporcional a la velocidad de salida y al área del orificio, es decir: 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = −𝑘𝐴 𝑣 (Principio de Torricelli) Aplicando la ecuación de energía: 1/2mv2 = mgh ⇒ 𝑣 = √2𝑔ℎ , por lo tanto, 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = −𝑘𝐴 √2𝑔ℎ Donde g = 32 pie/seg2 = 9,81 m/seg2 La constante k depende de la forma del orificio:  Si el orificio es de forma rectangular, la constante k = 0,8.  Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ k ≤ 0,75.  Si el orificio es de forma circular, la constante k = 0,6. Cilindro circular de longitud H0 pies y radio r pies, dispuesto en forma horizontal y con un orificio circular al fondo de diámetro φ ′′ (pulgadas) (Ver figura). Calcular el tiempo de vaciado (tv). 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = −𝑘𝐴 √2𝑔ℎ = −0.6𝜋 ( ∅ 2𝑥12 ) 2 √2𝑥𝑔𝑥ℎ = −4.8𝜋 ∅2 576 √ℎ
  • 17. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = −𝑘𝐴 √2𝑔ℎ = − 4.8𝜋∅2 576 √ℎ ……………………….. (1) pero de la figura del tanque, tenemos: dQ = (2x)( H0 ) (dh) y también (x − 0)2 + (h − r) 2 = r 2 ⇒ x 2 + h 2 − 2rh + r 2 = r 2 Luego 𝑥 = √2𝑟ℎ − ℎ2 Sustituyendo: 𝑑𝑄 = 2√2𝑟ℎ − ℎ2 𝐻𝑜 𝑑ℎ 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 2√2𝑟ℎ − ℎ2 𝐻 𝑜 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ………………………………… (2) Igualando (1) y (2): 2 √2𝑟ℎ − ℎ2 𝐻𝑜 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = − 4.8𝜋∅2 576 √ℎ 2𝐻𝒐√ℎ√2𝑟 − ℎ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = − 4.8𝜋∅2 576 √ℎ √2𝑟 − ℎ 𝑑ℎ = − 4.8𝜋∅2 2 ∗ 𝐻 𝑜 ∗ 576 𝑑𝑡 Condiciones iniciales: en t0 = 0 h = 2r, con ella hallo constante de integración. El tiempo de vaciado tv se produce cuando h = 0. Hallar tv. ∫ √2𝑟 − ℎ 2𝑟 0 𝑑ℎ = − ∫ 4.8𝜋∅2 2 ∗ 𝐻 𝑜 ∗ 576 𝑡 𝑣 0 𝑑𝑡 𝑡 𝑣 = 113.14√ 𝑟 𝐻0 𝜋 ∗ 𝑟 II. LA RESONANCIA EN UN SISTEMA SENCILLO Para ilustrar algunos de los aspectos más relevantes del fenómeno de la resonancia, es conveniente desarrollar el análisis de un sistema sencillo como es el de una masa “m” ligada a un
  • 18. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO resorte de constante elástica K, ya que este caso, pese a su sencillez ilustra conceptos básicos del fenómeno que se presentan en casos más complejos. Para describir la dinámica de una masa acoplada a un resorte se parte de la 2ª Ley de Newton ………………………………………….. (1) Se propone como solución para su posición en función del tiempo un movimiento armónico simple …………………………….…………….. (2) al sustituir esta función en la ecuación 1 se tiene que la frecuencia angular con que en el estado estacionario se moverá la masa es ……………………………………………. (3) Es de hacer notar que la frecuencia angular no depende de la amplitud sino solo de la constante K del resorte y de la masa, por tanto, este sistema tiene una sola frecuencia que “adopta” en forma espontánea en cuanto se le deja oscilar libremente, por ello se le denomina “frecuencia natural del sistema”. Analicemos ahora el caso de un oscilador forzado, para ello se aplica sobre la masa otra fuerza más la cual tendrá un carácter periódico con una amplitud F, frecuencia angular ω y actuando en la dirección del eje del resorte, tal como se observa en la figura 1. FIGURA 1. Resorte con oscilación forzada. Si la fuerza externa periódica tiene la forma F = F cosωt, entonces la fuerza total que actúa sobre la masa m es F = −Ky + F cosωt ………………………………………….. (4) ahora la segunda ley de Newton toma la forma ……………………………….. (5) Si al igual que el caso anterior se propone como solución de la anterior ecuación y = Acosωt, con ω la frecuencia angular de la fuerza externa, al sustituir este valor de y, así como de su segunda derivada respecto al tiempo se tiene que
  • 19. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO ………………….…….… (6) y al despejar el valor A de la amplitud de la oscilación ésta tiene el valor …………………………………………….. (7) Pero de acuerdo a (3), 𝐾 = 𝑚𝜔0 2 , así es que sustituyendo este valor en la anterior relación se obtiene finalmente que …………………………………………….. (8) Se observa que cuando ω tiende a ωo, el valor absoluto de la amplitud A tiende a infinito. En esta situación en que el sistema elástico tiende a oscilar con una máxima amplitud se dice que el sistema entra en un estado de Resonancia. Si nos aproximamos a la frecuencia natural con valores mayores que ωo El valor de la amplitud tendrá valores negativos; para evitar este comportamiento anómalo se introduce en la solución propuesta un ángulo de fase α …………………………………………. (9) Tal que α será igual a 0 para valores de ω menores que ωo, y π para valores mayores. Para que este comportamiento sea un modelo más realista se tiene que tomar en cuenta la fricción. Si se supone que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de la masa, la segunda ley de Newton ahora es ……………………………… (10) Con b una constante de proporcionalidad, la amplitud resultante resulta ……………………………….. (11) Donde γ=b/m Aunque ahora la amplitud máxima ya no ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa es exactamente la frecuencia natural ωo, para muchos problemas de interés la diferencia no es considerable. El fenómeno de la resonancia requiere por tanto: a) De un sistema elástico que presente frecuencias naturales de vibración, b) De una fuerza externa de tipo periódico que actúe sobre el sistema elástico, c) De una coincidencia entre ambos tipos de frecuencia. ¿Qué tan factible es que este tipo de condiciones se presenten en la vida real? La respuesta a esta pregunta permitirá ver el campo de aplicación de este concepto así como su gran capacidad explicativa para el entendimiento de una gran cantidad de fenómenos.
  • 20. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO III. LA PRESENCIA DE LA RESONANCIA EN LA VIDA REAL Si estamos en un mundo sometido continuamente a fuerzas oscilantes, y si además estamos rodeados de estructuras elásticas tales como ventanas, puentes, edificios, etc., es factible que en muchos casos la frecuencia de las fuerzas oscilantes coincida con alguna de las frecuencias naturales de las estructuras elásticas provocando fenómenos de resonancia. Se mostrarán algunos ejemplos: 1) Cuando decenas o cientos de soldados marchan dando golpes rítmicos de frecuencia muy constante en el piso, al cruzar sobre un puente, que como se ha señalado es una estructura elástica con sus propias frecuencias naturales de vibración, en caso de que conserven su marcha acompasada se corre el peligro de que su frecuencia de golpeteo – aproximadamente de 1 Hz - coincida con alguna de las frecuencias naturales del puente; hay que tomar en cuenta además que la fuerza del golpe colectivo puede alcanzar magnitudes de decenas de miles de N, para evitar ese peligro es que a las formaciones de soldados se les ordena romper la marcha cuando cruzan un puente. 2) Es una experiencia común que cuando se escucha música dentro de un cuarto, algunas veces al aparecer sonidos de frecuencia muy baja los vidrios de las ventanas empiezan a vibrar violentamente. Esto ocurre, naturalmente, porque hay un fenómeno de resonancia, ya que en tales casos la frecuencia de los sonidos graves coincide con alguna de las frecuencias naturales de oscilación de los vidrios de las ventanas. 3) Los autos están hechos de muchas partes elásticas, como por ejemplo el volante, la palanca de velocidades, los vidrios de las ventanas, etc.; de hecho, cuando al volante se le da un golpe, se siente inmediatamente su vibración; pues bien, cuando el motor genera vibraciones que coinciden con la frecuencia natural de vibración de algunas de estas partes sucede el fenómeno de resonancia; es por ello que los diseñadores de las carrocerías deben tener en cuenta que la potente fuente de vibraciones del motor no provoque la coincidencia con las frecuencias naturales de los diversos componentes de los automotores. 4) El cuerpo humano está conformado con estructuras elásticas como son los huesos, y es así que en el mundo de la medicina laboral se debe cuidar que la frecuencia de golpeteo de máquinas como los taladros que rompen las capas de pavimento, no coincida con la frecuencia natural de algunas de las partes de la estructura ósea. Cuando el cuerpo humano está sometido a vibraciones de baja frecuencia, éste se mueve como un todo, pero a frecuencias altas la respuesta del cuerpo es específica; así de 4 a 12 Hz las caderas y los hombros comienzan a resonar, entre 20 y 30 Hz es el cráneo el que resuena, a frecuencias más altas de 60 a 90 Hz son los globos oculares los que pueden entrar en resonancia [2]. 5) Un caso muy conocido de resonancia es cuando un ó una cantante dirigen su voz hacia una copa de cristal; es aparente que la copa es una estructura elástica que vibra a frecuencias claramente reconocibles por el oído humano, por tanto, el afinado oído de los cantantes se entona con esos sonidos y lanza contra la copa un sonido potente de la misma frecuencia, con
  • 21. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO ello se forman en la copa ondas estacionarias, y si la intensidad y la frecuencia se mantienen el tiempo suficiente, se produce el fenómeno de resonancia hasta que la copa a causa de sus intensas vibraciones se rompe. 6) En el mundo animal se tienen también ejemplos muy hermosos de resonancia; por ejemplo ¿cómo pueden los mosquitos machos detectar a los mosquitos hembras? De acuerdo a H. Schmidt [3], las frecuencias de aleteo de los machos y las hembras son diferentes; los machos aletean a una frecuencia aproximada de 500 Hz, mientras que las hembras lo hacen a una frecuencia aproximada de 300 Hz; pues bien, se encuentra que las antenas de los machos tienen una frecuencia natural de vibración muy cercana a los 300 Hz, por tanto, el aleteo de las hembras provoca en ellos resonancia de sus antenas y es así como se efectúa el reconocimiento (Figura 3). a) b) FIGURA 2. En esta figura se muestran: a) en la parte superior la señal acústica producida por una copa, y b) la frecuencia principal de la señal (señales obtenidas por los autores) 7) Finalmente, un ejemplo muy drástico de los efectos destructivos que pueden producirse en caso de resonancia, se presenta cuando una ciudad es afectada por un sismo; la ciudad está llena de estructuras elásticas de gran escala, tales como edificios y puentes; la frecuencia de los sismos, es decir, la frecuencia con que se mueve el suelo, está ante todo en el rango de los 0.5 -2 Hz, son frecuencias relativamente bajas, pero las grandes masas de los edificios de más de 5 pisos de altura por su propia inercia tienden a tener frecuencias bajas y propician por tanto la ocurrencia del fenómeno de resonancia. En este caso la amplitud de las oscilaciones mecánicas de los edificios tiende a crecer tanto en cada ciclo que pueden llegar al punto de
  • 22. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO ruptura, tal como sucedió con muchos edificios en el gran terremoto de la ciudad de México en 1985. IV. LA RESONANCIA EN EL LABORATORIO En los párrafos anteriores se ha tratado de mostrar la importancia de analizar detalladamente el fenómeno de la resonancia ya que como se ha indicado, tal fenómeno se presenta en muchos casos de la vida cotidiana, por estas razones es que es muy importante que en un laboratorio de enseñanza se le dedique la mayor atención posible a éste fenómeno. A. Resonancia en vigas voladizas De acuerdo a Feynman [4], el desplazamiento vertical del extremo libre de una viga voladiza a la cual se le aplica una fuerza en este extremo está dado por ………………………………………………. (12) Donde W es el peso aplicado, Y el módulo de Young, I el momento de inercia de la sección transversal, L su longitud y Z el desplazamiento del extremos libre; si hacemos que 𝐾 = 3𝑌𝐼 𝐿3 , entonces W = KZ ……………………………………………….. (13) Es claro que esta relación para la fuerza de restauración de una viga nos permite afirmar que una masa acoplada a su extremo desarrollará un movimiento armónico simple, y que por tanto si se le aplica a la placa una fuerza periódica de frecuencia adecuada entrará en resonancia. Para visualizar el fenómeno recurrimos a un montaje experimental como el de la figura 3; como viga voladiza se utilizará una placa alargada de metal (en este experimento se ha utilizado una segueta de arco). Los pulsos de fuerza periódicos se aplican con un electroimán conectado a un generador de pulsos de fuerza magnética como el descrito más adelante, o también utilizando el equipo comercial mencionado anteriormente. Para medir la frecuencia natural de oscilación de la placa para diferentes longitudes, hay 3 opciones: a) Se le agrega un pequeño imán colocado a la mitad de su longitud, y enfrente del imán se coloca una bobina; se amplifica la señal de la bobina y se visualizan las señales de voltaje en un osciloscopio cuando se hace oscilar la placa; esto nos permite medir el período de las oscilaciones y por tanto su frecuencia natural para una longitud dada; b) Otra opción es adherirle a la placa una pequeña pantalla opaca que interrumpa la luz que incide sobre una celda solar; la señal de la celda solar se amplifica y se visualiza igualmente con un osciloscopio, y c) Usar luz estroboscópica hasta alcanzar una frecuencia en que la varilla casi parezca detenida.
  • 23. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO FIGURA 3. Arreglo experimental para visualizar la resonancia en una placa elástica Para analizar este caso se ha diseñado y construido un generador de pulsos de fuerza magnética a partir de un generador de pulsos de frecuencia variable como el mostrado en la figura 4. Los pulsos de voltaje abren y cierran un interruptor digital como el mostrado en la figura 5 que conecta un electroimán a la línea. El circuito original reportado en [5] se ha modificado agregando un diodo a la salida de la bobina. FIGURA 4. Generador de pulsos; los valores seleccionados para inducir resonancia en la placa son los siguientes: Ra= Pot. de 50kΩ, Rb= 1kΩ, RC =500Ω, C1=10μF, C2=0.01 μF, +V= 9 V, -V=-9V, la variación de la resistencia Ra permite variar la frecuencia de los pulsos de salida. FIGURA 5. La salida S del circuito generador de pulsos se conecta a un interruptor digital de la corriente que alimenta a la bobina la cual produce los pulsos de fuerza magnética. El valor de R es de 500 Ω y el Triac utilizado fue el 2N6073B. Se muestra en la figura 6 las oscilaciones naturales de la placa, así como su frecuencia. Para hacer estas mediciones se ha utilizado una tarjeta de captura de National Instruments, así como un programa hecho en LabVIEW, y asimismo en la figura 7 se observa cómo se amplifican progresivamente las oscilaciones cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural.
  • 24. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO FIGURA 6. Oscilaciones y frecuencia natural de la placa FIGURA 7. En estas figuras se muestra el crecimiento paulatino de la amplitud de la oscilación en la placa, así como la frecuencia a la cual ocurre este comportamiento
  • 25. RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO REFERENCIAS [1] Resnick, R. y Halliday, D., Física, (Compañía Editorial Continental, México, 1984) [2] http://www.fio.unicen.edu.ar/usuario/segumar/Laura/mate rial/Vibraciones.pdf, Consultado el 21 de Marzo de 2009. [3] Schmid, H., Cómo se comunican los animales, (Salvat, España, 1986). [4] Feynman, R., Física: Electromagnetismo y materia, Vol. II, (Addison-Wesley Iberoamericana, E. U. A. 1972). [5] Peralta, J. A. y Miller, C. G., Resonancia en placas delgadas, Cuaderno Catarinense de Ensino de Física 14, 209- 217 (1997). [6] Saal R. Cesar; Ecuaciones diferenciales. [7] ANALISIS DE CIRCUITOS DE INGENIERIA, Willian Hayt - Jack E.Kemerly - Jairo Osuma [8] MURRAY R. SPIEGEL, ecuaciones diferenciales aplicadas [9] M. BRAUN, ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones