INTRODUCCION A LA GESTION FINANCIERA.pdf

Universidad centroamericana
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Licenciatura en Administración de Empresas
Educación a Distancia
MÓDULO AUTOFORMATIVO NO. 19
Introducción a la Gestión Financiera

Educación a Distancia. UCA
2
Universidad Centroamericana (UCA)
Directora de Educación a Distancia
Msc. Rosa Amelia Ruiz Narváez
Coordinadora
Msc. Sandra Palacios Rodríguez
Autor(a) de Contenido
Msc. Noel Reyes Alvarado
Metodóloga
Msc. Lidia María Cortés
Revisaron en calidad de especialistas en contenido
Catedráticos del Colectivo de asignatura
Diagramación
Msc. Sandra Palacios Rodríguez
Impresión
XEROX – UCA
Junio 2004

Módulo autoformativo: “Introducción a la Gestión Financiera”
3
Índice
Presentación General del Módulo Autoformativo No. 19 ........................................................ 7
Objetivos generales del módulo autoformativo ..................................................................................11
Esquema de contenidos del módulo autoformativo ...........................................................................12
Orientaciones para el autoaprendizaje del modulo............................................................................13
Sistema de evaluación.........................................................................................................................14
Evaluación diagnóstica........................................................................................................................14
Unidad Autoformativa I: “Interés Simple y Compuesto”....................................................... 17
Presentación de la Unidad Autoformativa I ........................................................................................19
Objetivos de la unidad autoformativa I................................................................................................19
Esquema de contenidos......................................................................................................................20
Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa I........................................................21
Prueba diagnostica de la unidad autoformativa I ...............................................................................21
A. CONCEPTOS BÁSICOS................................................................................................... 23
1. Las matemáticas financieras y su aplicación ................................................................ 23
2. Inversión........................................................................................................................ 24
3. El valor cronológico del dinero ...................................................................................... 24
4. Flujos de caja ................................................................................................................ 24
a. Flujos de caja positivos............................................................................................. 25
b. Flujos de caja negativos ........................................................................................... 25
5. Diagrama de flujo de caja.............................................................................................. 26
6. Tasa de interés.............................................................................................................. 28
7. Interés ........................................................................................................................... 29
8. Capital ........................................................................................................................... 29
9. Tiempo .......................................................................................................................... 30
Actividad de autoaprendizaje No. 1 ....................................................................................................31
B. INTERÉS SIMPLE ............................................................................................................. 33
1. Interés simple comercial y exacto ................................................................................. 34
2. Clasificación de las tasas de interés ............................................................................. 35
a. Tasa de interés activa............................................................................................... 36
b. Tasa de interés pasiva.............................................................................................. 36
c. Tasa de rentabilidad a interés simple ....................................................................... 36
d. Tasa de interés por mora.......................................................................................... 37
e. Tasa de variación monetaria .................................................................................... 40
3. Valor futuro de una suma de dinero .............................................................................. 41
4. Valor presente de una suma de dinero ......................................................................... 42
5. Descuentos ................................................................................................................... 43
a. Descuento bancario.................................................................................................. 43
b. Descuento racional................................................................................................... 45
6. Pagos parciales............................................................................................................. 46
a. Regla americana....................................................................................................... 46
b. Regla comercial........................................................................................................ 49
7. Ecuaciones de valor ...................................................................................................... 51
Actividad de autoaprendizaje no. 2.....................................................................................................55
C. INTERÉS COMPUESTO ................................................................................................... 59
1. Deducción de la formula del monto compuesto ............................................................ 59
2. Valor futuro de una suma de dinero .............................................................................. 60
3. Tasas de interés............................................................................................................ 61

4
a. Tasa nominal ............................................................................................................ 61
b. Tasa efectiva ............................................................................................................ 62
c. Tasas equivalentes................................................................................................... 65
4. Valor presente de una suma de dinero ......................................................................... 66
5. Diferencias entre el interés simple y compuesto........................................................... 66
a. Uso de factores a través de tablas ........................................................................... 67
b. Cálculo de valor futuro con la forma alternativa ....................................................... 68
c. Cálculo de valor presente con la forma alternativa................................................... 68
6. Numero de periodos capitalizados y plazo.................................................................... 72
7. Tasas de interés efectivas y nominales......................................................................... 74
8. Interés compuesto convertible continuamente.............................................................. 76
a. La convertibilidad continua ....................................................................................... 76
b. Monto a interés convertible continuamente.............................................................. 77
c. Valor presente a interés convertible continuamente................................................. 79
d. Plazo a interés convertible continuamente ............................................................... 79
e. Tasa de interés convertible continuamente.............................................................. 80
9. Tasas equivalentes nominales y efectivas .................................................................... 81
10. Ecuaciones de valor ................................................................................................. 89
Actividad de autoaprendizaje no. 3.....................................................................................................92
Resumen Final de la unidad autoformativa I ......................................................................................97
Autoevaluación final de la unidad autoformativa I..............................................................................99
Hojas de respuestas de la unidad autoformativa I ...........................................................................101
Glosario..............................................................................................................................................105
Bibliografía .........................................................................................................................................107
Unidad Autoformativa II: “Anualidades”............................................................................... 109
Presentación de la unidad autoformativa II.......................................................................................111
Objetivos de la unidad autoformativa II.............................................................................................111
Esquema de contenidos....................................................................................................................112
Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa II.....................................................112
Prueba diagnóstica de la unidad autoformativa II ............................................................................113
A. ANUALIDADES SIMPLES A PLAZO ............................................................................. 115
1. Anualidad .................................................................................................................... 115
2. Clasificación de las anualidades ................................................................................. 117
3. Anualidades vencidas ................................................................................................. 119
a. Valor presente de anualidad vencida ..................................................................... 119
b. Valor del pago vencido dado P............................................................................... 122
c. Valor futuro de anualidad vencida .......................................................................... 124
d. Valor del pago vencido dado F............................................................................... 125
e. Tiempo de una anualidad ordinaria vencida........................................................... 127
f. Tasa de interés de una anualidad vencida............................................................. 129
g. Método de interpolación ......................................................................................... 129
4. Anualidades anticipadas ............................................................................................. 132
a. Valor presente de una anualidad anticipada .......................................................... 132
b. Valor del pago anticipado dado P........................................................................... 134
c. Valor futuro de una anualidad anticipada ............................................................... 135
d. Valor del pago anticipado dado F........................................................................... 138
5. Anualidades diferidas vencidas................................................................................... 140
a. Valor presente de una anualidad diferida vencida.................................................. 141
b. Valor del pago diferido dado P ............................................................................... 143
c. Valor futuro de una anualidad diferida vencida ...................................................... 145

5
d. Valor del pago diferido dado F................................................................................ 146
Actividad de autoaprendizaje no. 1...................................................................................................149
B. ANUALIDADES PERPETUAS Y EVALUACIÓN DE COSTOS...................................... 153
1. Valor presente anualidad perpetua vencida................................................................ 153
2. Valor presente anualidad perpetua anticipada............................................................ 155
3. Valor presente de una anualidad perpetua diferida..................................................... 156
4. Valor del pago diferido perpetuo ................................................................................. 157
5. Análisis de valor presente de costos........................................................................... 158
6. Alternativas con vidas útiles diferentes ....................................................................... 161
7. Costo anual equivalente.............................................................................................. 165
8. Costo capitalizado....................................................................................................... 168
C. ANUALIDADES GENERALES A PLAZO Y PERPETUAS ............................................ 177
1. Ajuste de la tasa equivalente ...................................................................................... 177
a. Método de agrupación de la tasa de interés........................................................... 177
b. Método de distribución de la tasa de interés .......................................................... 178
2. Ajuste del pago equivalente ........................................................................................ 182
a. Factor de distribución ............................................................................................. 183
b. Factor de agrupación.............................................................................................. 184
Actividad de autoaprendizaje no.3....................................................................................................188
Resumen final de la unidad autoformativa II ....................................................................................191
Autoevaluación final de la unidad autoformativa II...........................................................................193
Hojas de respuestas..........................................................................................................................195
Glosario..............................................................................................................................................199
Bibliografía .........................................................................................................................................201
Unidad autoformativa III: “Amortización, Fondos e Inversiones”...................................... 203
Presentación de la unidad autoformativa III......................................................................................205
Objetivos de la unidad autoformativa III............................................................................................205
Esquema de contenidos....................................................................................................................206
Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa III....................................................206
Prueba diagnóstica de la unidad autoformativa III ...........................................................................207
A. SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN.................................................................................... 209
1. Elementos de la amortización ..................................................................................... 209
2. Cuota nivelada ............................................................................................................ 210
a. Cuota nivelada vencida .......................................................................................... 210
b. Cuota nivelada anticipada ...................................................................................... 211
c. Cuota nivelada diferida........................................................................................... 212
3. Cuota proporcional decreciente .................................................................................. 218
a. Valor de la cuota..................................................................................................... 218
b. Saldo después de la k-ésima cuota........................................................................ 219
4. Cuota con interés flat .................................................................................................. 221
5. Cuotas con corrección monetaria................................................................................ 222
6. Cuota con corrección monetaria proyectada............................................................... 225
B. CONSTITUCIÓN DE FONDOS ....................................................................................... 231
1. Cuota vencida para el fondo ....................................................................................... 231
a. Importe del fondo en la k-ésima cuota.................................................................... 231
b. Tabla de capitalización ........................................................................................... 232
2. Cuota vencida para el fondo y cuota inicial................................................................. 233

6
C. EVALUACIÓN DE INVERSIONES.................................................................................. 237
1. Enfoques de la evaluación de inversiones .................................................................. 237
2. Estimaciones básicas de una inversión ...................................................................... 238
a. Inversión inicial ....................................................................................................... 238
b. Beneficios y costos................................................................................................. 239
c. Vida económica ...................................................................................................... 239
d. Valor de salvamento o residual .............................................................................. 239
e. Depreciación........................................................................................................... 239
3. Flujo de fondos financieros ......................................................................................... 242
a. Flujo de fondos para el proyecto "puro".................................................................. 243
b. Flujo de fondos para el proyecto con financiamiento externo ................................ 243
c. Métodos para evaluar inversiones.......................................................................... 244
4. Valor actual neto: VAN ................................................................................................ 245
5. Tasa interna de retorno: (TIR)..................................................................................... 247
a. Cálculo de la TIR .................................................................................................... 249
b. Criterio de la TIR para la toma de decisiones......................................................... 250
c. Ventajas y limitaciones de la TIR............................................................................ 250
6. Tasa interna de retorno ajustada: TIRA ...................................................................... 252
a. Calculo de la TIRA.................................................................................................. 252
b. Criterio de la TIRA o TIR Ajustada para la toma de decisiones ............................. 253
7. Relación beneficio costo: RBC.................................................................................... 254
a. Metodología para el cálculo de RBC ...................................................................... 254
b. Criterio de la RBC para la toma de decisiones....................................................... 254
Resumen final de la unidad autoformativa III ...................................................................................263
Autoevaluación final de la unidad autoformativa III..........................................................................265
Hojas de respuestas..........................................................................................................................267
Glosario..............................................................................................................................................281
Bibliografía .........................................................................................................................................283

7
Presentación General del
Módulo Autoformativo No. 19

9
Bienvenido futuro profesional:
Bienvenido al estudio del Módulo de Introducción a la Gestión Financiera, a través de la
modalidad de Educación a Distancia que la Universidad Centroamericana UCA ha organizado
para su superación personal y profesional. El contenido de este módulo se refiere al estudio de
las Matemáticas Financieras, las cuales son fundamentales para realizar análisis de inversiones
financieras y constituye un componente básico específico en la formación de los profesionales
en Economía, Administración de Empresas, Contaduría Pública, Banca y Finanzas.
El propósito primordial del estudio de esta asignatura es que pueda evaluar de la manera más
sencilla posible, la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes
circunstancias, teniendo en cuenta las variables básicas como: el principal o capital, el monto, el
pago, el plazo, la tasa de interés entre otras. El estudio de los contenidos de este módulo es
importante para usted, dado que le conducirán a obtener las respuestas de las siguientes
interrogantes:
1. ¿Cuánto gano al invertir $500 a 6.5% anual interés simple durante 7 meses?
2. ¿Cuánto debo invertir ahora al 7% anual de interés compuesto para tener dentro de 15
meses $800?
3. ¿Qué tasa de interés nominal convertible semestralmente puede devengar un depósito de
$200, si le pagan un interés de $15.19 en 9 meses?
4. ¿En qué plazo puedo acumular $1,000, si invierte hoy $500 al 8% anual convertible
mensualmente?
5. ¿En cuánto pagos trimestrales iguales y vencidos puedo pagar una deuda contraída hoy de
$12,000 al 16% convertible trimestralmente de interés sobre saldos?
6. ¿Qué cantidad puedo recibir hoy como préstamo si puedo pagar una cantidad fija de $230
mensual, en un tiempo de 5 años con interés de 22% convertible mensualmente sobre
saldo?
7. ¿Qué cantidad constante debo depositar anualmente en un fondo de inversiones durante 8
años, con el 9% anual para reponer un activo que tendrá un valor de $25,000?
8. ¿Será para mi rentable invertir hoy $200 y obtener durante 5 años una utilidad neta anual de
$50, si deseo una tasa mínima de rendimiento de 20%?
A estas y otras preguntas usted hallará respuestas y comprobará que el estudio del módulo de
Introducción a la Gestión Financieras, se basa en dos métodos fundamentales para determinar
el valor del dinero, los cuales facilitan el análisis del rendimiento financiero, estos métodos son:
el Interés Simple y el Interés Compuesto. En el primero se parte del hecho de que solo el capital
o principal produce intereses, en tanto que el segundo también los intereses, ganan intereses.

10
Verificará en el desarrollo de los contenidos, que los métodos mencionados no son equivalentes
ni su uso es optativo por parte del inversionista o analista financiero. Existe un uso adecuado de
acuerdo a una circunstancia particular. Por ejemplo, usará el Interés Simple, si desea saber los
ingresos de un determinado capital invertido para un periodo de 3 años a través de un bono que
le paga intereses mensualmente (cupón) a una cierta tasa de interés y no se capitalizan los
intereses. Por el contrario, usará el Interés Compuesto si desea saber el monto que tendrá al
final de 2 años, de una cantidad de dinero invertida periódicamente y consecutivamente, cuyos
intereses se capitalizan por periodo.
Para usted el estudio de la asignatura será de gran importancia, ya que le permitirá interpretar y
analizar otras asignaturas, por ejemplo: finanzas a corto plazo, finanzas a largo plazo, así
mismo le será de mucha utilidad para la preparación y evaluación financiera de proyectos de
inversión, debido a esta precedencia se hace necesario que realice un estudio a conciencia y
con responsabilidad de los contenidos del programa.
En la exposición de contenidos del módulo se vincula la teoría con la práctica, teniendo en
cuenta el ambiente del sistema financiero nicaragüense y abordamos casos particulares de las
instituciones financieras del país.
En el desarrollo de este curso no se hará uso de las tablas financieras de ningún tipo, esto con
el objetivo que usted obtenga destreza y habilidades en el manejo de las fórmulas, de las
calculadoras y de las hojas electrónicas de cálculo.
Para desarrollar el autoestudio, resolver los problemas propuestos y alcanzar los objetivos,
usted deberá disponer de:
El material didáctico denominado Módulo Autoformativo
Un formulario que le permita ubicar rápidamente el modelo que debe emplear en la solución
de un problema
Una calculadora científica.
Una computadora personal (si es posible) dado que la mayoría de los modelos que utilizará
se pueden programar en hojas de cálculos de Microsoft Excel.
Los conocimientos y habilidades que usted debe tener para acometer con éxito el
autoaprendizaje de este módulo son los siguientes:
1. Lectura interpretativa
2. Facilidad para dibujar diagramas con escalas de tiempo - valor
3. Dominio de fundamentos de Matemáticas Básicas, relacionados con:
a. Exponentes
b. Leyes de exponentes
c. Exponente cero, negativo y fraccionario

11
d. Logaritmo
e. Progresiones aritméticas
f. Progresiones geométricas
g. Progresiones geométricas infinitas
4. Conocimientos básicos de contabilidad y microeconomía
5. Uso correcto de una calculadora científica
6. Facilidad para realizar resúmenes y mapas conceptuales
7. Manejo de hojas de cálculo de Microsoft Excel (no es necesario)
Objetivos generales del módulo autoformativo
1. Obtener conocimientos del cálculo financiero para plantear y resolver problemas
relacionados con las operaciones financieras más usuales, que me permitan entender la
dinámica de negociación del uso del dinero.
2. Aplicar los principios generales de los distintos modelos que determinan el valor del dinero
en el tiempo, relacionándolo con casos específicos de las empresas e instituciones que
conforman el mercado financiero.
3. Analizar problemas financieros donde esté en juego el dinero invertido, la tasa de interés, el
plazo y las condiciones de certeza o incertidumbre, como elementos esenciales para el
crecimiento real de las inversiones.
4. Relacionar los conocimientos adquiridos con otros, donde el valor cronológico del dinero esté
en juego, específicamente para evaluar inversiones a corto, mediano y largo plazo.
5. Valorar la importancia de ser objetivo y ordenado para la presentación de los trabajos que
involucran la resolución de casos y problemas de análisis financiero.
6. Desarrollar la creatividad para la investigación de temas relacionados con sistemas de
cálculos financieros, utilizados por instituciones del mercado financiero nacional.
7. Valorar la necesidad de formar profesionales en el campo de la administración empresarial
con capacidades financieras para la resolución de problemas y para la gestión financiera de
una organización.

12
Esquema de contenidos del módulo autoformativo
A: Conceptos básicos
B: Interés simple
C: Interés compuesto
A: Anualidades simples a plazo
B: Anualidades perpetuas, evaluación de costos
C: Anualidades generales a plazo y perpetuas
A: Sistemas de amortización
B: Constitución de fondos
C: Evaluación de inversiones
Unidad Autoform ativa I: Interés Sim ple y Com puesto
Unidad Autoform ativa I: Interés Sim ple y Com puesto
Unidad Autoform ativa II: Anualidades Ciertas
Unidad Autoform ativa II: Anualidades Ciertas
Unidad Autoform ativa III: Am ortización, Fondo e Inversiones
Unidad Autoform ativa III: Am ortización, Fondo e Inversiones
La primera unidad autoformativa está compuesta por los tema de Interés Simple e Interés
Compuesto y constituye la base para el estudio de las demás unidades. En esta unidad usted
iniciará con la familiarización de los contenidos, describiendo los conceptos básicos y la
terminología que usará a lo largo del estudio del módulo. Podrá realizar cálculos de: interés
simple, valor futuro y presente, descuentos, pagos parciales, ecuaciones de valor, tasas de
interés simple y compuesta, plazos y tasas equivalentes.
La segunda unidad autoformativa es el núcleo del módulo, está constituida por el estudio de
las anualidades, por lo que usted deberá tener pleno dominio del Interés Compuesto y las tasas
equivalentes. Las anualidades simples y generales a plazo y perpetuas forman parte del
contenido que le permitirá efectuar cálculos de: valor presente y futuro, pagos anticipados,
vencidos y diferidos, tasas periódicas, plazos y aplicaciones de las anualidades a casos de las
operaciones bancarias y análisis de costos.
En la tercera unidad autoformativa usted pondrá en práctica sus conocimientos, habilidades y
destrezas aplicando las anualidades a plazo y de interés compuesto pago único, es decir todo
lo referido al estudio de las amortizaciones, la constitución de fondos y evaluación de
inversiones y, para ello deberá realizar cálculos de cuotas fijas o variables para el pago de una
deuda a plazo, elaborar la tabla de pago de la amortización de la deuda y saber los saldos en
cualquier periodo de pago. También podrá calcular la cuota destinada a la creación de un fondo
para acumulación de una cantidad fija en el futuro. Así mismo calcular la rentabilidad de una
inversión a través de la aplicación del cálculo financiero, en la determinación de los indicadores

13
financieros, lo cual le conducirá a la toma de decisiones. Este último trabajo lo realizará
tomando en cuenta el flujo neto del inversionista.
Orientaciones para el autoaprendizaje del modulo
1. Para tener éxito en el autoestudio de este módulo debe tener conciencia de la
responsabilidad de su autoaprendizaje, de la capacidad investigativa y resolutiva, espíritu
reflexivo, emprendedor y crítico; Es decir; tener confianza en sí mismo para triunfar y ser
perseverante para cumplir con la misión encomendada, que una vez cumplida el mayor
agradecido será usted.
2. El autoestudio de este módulo le será fácil si cumple con las orientaciones metodológicas,
dado que se trata de contenidos donde la actividad práctica juega un papel preponderante y
fundamental. La realización de las actividades de autoaprendizaje le conducirán al logro de
los objetivos propuestos tanto específicos como generales.
3. Durante el desarrollo de cada unidad autoformativa, después de cada tema abordado, se le
presentan a usted ejemplos resueltos, así como ejercicios para que usted aplique y ponga en
práctica las destrezas adquiridas y para una mejor comprensión de los contenidos, que le
servirán de modelos para el planteamiento y resolución de los problemas propuestos para
las actividades de autoaprendizaje.
4. Si en los problemas de las actividades de autoaprendizaje se le presentan dificultades con el
planteamiento y resolución, anote las dificultades encontradas para las consultas con el
profesor tutor.
5. Cada tema se ha escrito de manera sencilla, para que usted identifique y defina claramente
los componentes de los modelos en discusión. En algunos casos se le presenta la
demostración de las fórmulas pero esto no es el objetivo, sino su correcta aplicación. Al
finalizar cada tema se presentan las actividades de autoaprendizaje, las cuales usted dará
cumplimiento siguiendo las orientaciones pertinentes.
6. En cada unidad autoformativa se ilustran conceptos, presentados en cuadros grises para
facilitar su rápida ubicación. Así mismo encontrará ejemplos a lo largo de todo el módulo,
que estarán encerrados en cuadros de líneas discontinuas o bien solo con líneas
discontinuas al iniciar y finalizar los mismos.
7. Es importante que usted anote y exponga en un cuaderno sus dudas, experiencias propias,
su propia teoría, definición de problemas, criticas, deducciones, síntesis, comparaciones,
análisis y evaluaciones de toda la información que en este cuaderno dejará plasmada. Todo
lo anterior es “la forma más productiva de alcanzar el aprendizaje, siempre y cuando esté
motivado para investigar y para resolver sus dudas, es así que promueve el trabajo
independiente y autosuficiente” (Gutiérrez y Ríos 1984).
Sus anotaciones le ayudarán a crear mecanismos inductivos para que logre sus propósitos,
le permitan conocer su propio trabajo y pueda recrearse en él, sintiéndose realizado de un
hecho concreto.

14
Sistema de evaluación
En la medida que vaya desarrollando su autoaprendizaje, realizará las actividades evaluativas
que serán individuales y permanentes. Las formas evaluativas serán las siguientes:
1. La evaluación diagnóstica le servirá para indagar los conocimientos previos que usted tiene
acerca del tema.
2. La evaluación formativa consistirá en preguntas, ejercicios, casos y trabajos que le permitirán
conocer sus avances dificultades, de tal manera que le ayude a autorregular su aprendizaje.
3. La evaluación sumativa será calificada y consistirá en la realización de pruebas después de
cada tema. Esta evaluación está fuera del módulo debido a que será presencial y las
practicará en las sesiones tutoriales planificadas con ese objetivo en el calendario
académico.
Evaluación diagnóstica
El objetivo de esta prueba es que usted conozca el nivel de conocimientos previos que posee
para el autoaprendizaje de los nuevos conocimientos que el módulo Introducción a la Gestión
Financiera le plantea. Se dará por enterado cuánto esfuerzo debe desarrollar para aprender el
contenido de la asignatura, al mismo tiempo le servirá de motivación para iniciar el proceso de
planificación de su aprendizaje.
A continuación se le presentan las siguientes actividades que deberá realizar de forma
individual.
1. Simplifique usando exponentes y plantee la respuesta sin radicales
3 6
c
5
c
3 2
c
.
c
3
b
5
b
2
b
.
b
2
2
3
ab
9
b
2
a
4
a
.
a
−














−






−
2. Resuelva las siguientes operaciones usando una calculadora electrónica
4 0.82
3 0.64
0.25
.
c
4 38
3 97
27
.
b
3 .36
0
4 .485
0
.
a
3. Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando una calculadora electrónica, la variable i
representa la tasa de interés del periodo: a. anual, b. mensual y c. semestral. Escriba la
respuesta en porcentaje.
( ) ( ) ( ) 1
76.8
4
1
i
1
75
.
c
1,022.82
60
i
1
500
.
b
132.25
2
i
1
100
.
a =
+
=
+
=
+
4. Determine usando logaritmos el valor de N que representa el número de pagos periódicos:
a. trimestres y b. mensuales

15
( )
( )
0.0180185
N
0.015
1
1
0.015
.
b
26.870374
0.03
1
N
0.03
1
.
a =
−
+
−
=
−
+
5. Resuelva utilizando logaritmos las siguientes ecuaciones exponenciales:
( ) ( ) ( ) 35.24
N
0.15
1
85
.
c
13.30
N
0.01
1
6
.
b
139.68
N
0.02
1
94
.
a =
−
+
=
+
=
+
6. Un padre de familia decide formar un fondo de ahorro que paga 10% de interés anual, con
el fin de costear los estudios profesionales de su hijo de 8 años. Inicia el fondo con $500.00
y determina depositar en el mismo $2,000 en cada cumpleaños de su hijo, y hasta que éste
cumpla dieciocho años. a. ¿Qué cantidad tiene en el fondo en el 15o. aniversario?; b. ¿Qué
cantidad tendrá en el 18o. año? y c. ¿Cuánto dinero habrá depositado el padre al cabo del
18o. año?
7. La moneda de un país se ha devaluado, con respecto al dólar, a razón de 0.94% mensual
durante el último año. Suponiendo que este factor de devaluación se mantuviera constante
durante el próximo año, ¿cuál será la paridad de dicha moneda al cabo de 12 meses si
actualmente es de 55 unidades por un dólar?
8. La compañía de Aire-Caliente, invirtió $2,500 en un nuevo compresor de aire hace 4 años.
Los ingresos anuales que produce el compresor son de $850. Durante el primer año se
gastaron $100 en mantenimiento, costo que ha venido aumentando anualmente en $25. La
compañía piensa vender el compresor por un valor de salvamento de $150 a finales del
próximo año. Prepare el flujo de caja neto anual para este equipo y elabore el diagrama.
9. Demuestre que le conviene más a un empleado que recibe un aumento salarial; primero de
un 18% y poco después un 8% adicional o recibir un 27% en total al inicio.
10. Una empresa tiene tres máquinas A, B y C que producen en total 350,000 tornillos. La
producción por máquina es: A el 35%, B el 24% y C el 41%
a. ¿Cuántas piezas produce cada máquina?
b. ¿Cuántos tornillos defectuosos produce la máquina B, si son el 4% de su producción?
c. Si la máquina C produce 148 piezas defectuosas ¿a qué porcentaje corresponde con
respecto a su propia producción? ¿y con respecto a la producción total?
Una vez que haya resuelto la prueba verifique los resultados en la hoja de respuestas, al final
de la unidad autoformativa I, en la página 101. Si ha tenido dificultad en resolver algunos
problemas, no se preocupe, siga adelante; pues ha descubierto sus fortalezas y debilidades
respecto a los conocimientos previos que debe poseer para comenzar el estudio del módulo.
Estos conocimientos básicos, los puede fortalecer consultando a su tutor.

16

17
Unidad Autoformativa I:
“Interés Simple y
Compuesto”

18

19
Presentación de la Unidad Autoformativa I
Con esta unidad usted comenzará a estudiar el módulo de Introducción a la Gestión Financiera,
la que constituye una aplicación de las habilidades y destrezas adquirida en la matemática
aplicada, puesto que ésta proporciona los elementos y la metodología para determinar en el
tiempo, el valor del dinero o capital que interviene en las operaciones de carácter financiero o
comercial, ya sea sumando intereses o restando intereses.
Inicia con los conceptos básicos que le servirán para entender algunos procedimientos que
utilizará a lo largo del estudio del módulo, por ejemplo; aprenderá a dibujar el diagrama del flujo
de fondos de una inversión, lo cual es fundamental para la interpretación y resolución de un
problema donde los valores o flujos de dinero se proyectan en el tiempo.
Las tasa de interés que usted utilizará y aplicará en los ejemplos y ejercicios no necesariamente
son tasas actuales, sino aquellas que representan las tasas promedio del ambiente financiero
nicaragüense.
Durante el desarrollo de los contenidos de dicha unidad usted logrará establecer la diferencia
entre los métodos de Interés Simple e Interés Compuesto, estos métodos no son equivalentes,
ni su uso es optativo sino que depende de la circunstancia que se presente. Por ejemplo, el
Interés Simple, se utiliza si los intereses que genera un determinado capital no se capitalizan
sino que se liquidan periódicamente. En caso contrario, usará el Interés Compuesto para
calcular el monto de una inversión cuyos intereses generados por período se capitalizan.
Las relaciones de equivalencias financieras tanto de cantidades de dinero como de tasas de
interés, son necesarias que usted le preste atención, ya que le servirán para enfrentar con éxito
las unidades autoformativas II y III. Recuerde que el estudio de este módulo, es el estudio de
las relaciones de equivalencias de dinero en diferentes momentos, los cuales están
determinados en dependencia de la tasa de interés que esté usando.
Objetivos de la unidad autoformativa I
1. Explico los conceptos básicos del estudio de las Matemáticas Financieras.
2. Deduzco el flujo de caja neto de una actividad económica a partir de los egresos e
ingresos.
3. Pongo en práctica algunas habilidades en la construcción del diagrama tiempo y el valor del
flujo de caja neto de una inversión.
4. Desarrollo habilidades relacionadas con la resolución ordenada de problemas entorno al
interés simple y al interés compuesto, así como a las variables vinculadas a estos tipos de
intereses.
5. Determino descuentos bancarios, racionales y la tasa de rentabilidad a interés simple,
asimismo establezco la diferencia de ambos descuentos.
6. Valoro la importancia de liquidar deudas a través de pagos parciales con honestidad y
eficiencia.

20
7. Determino las diferencias existentes entre las tasas de interés efectivas, nominales y
equivalentes.
8. Establezco orden, disciplina y veracidad en el planteamiento y resolución de los casos
referidos a la matemática financiera y su aplicación.
Esquema de contenidos
1. La matemática financiera y su aplicación
2. Inversión o capital
3. El valor cronológico del dinero
4. Flujos de caja
5. Diagrama de flujo de caja
6. Tasas de interés
7. Interés
8. Capital
9. Tiempo
A. Conceptos básicos
1. Interés simple exacto y comercial
2. Clasificación de las tasas de interés
3. Valor futuro a interés simple
4. Valor presente a interés simple
5. Descuentos bancario y racional
6. Pagos parciales. Regla americana
7. Ecuaciones de valor
B. Interés simple
1. Introducción
2. Deducción de la fórmula de interés Compuesto
3. Valor futuro de una suma de dinero
4. Valor presente de una suma de dinero
5. Diferencia entre interés simple y compuesto
6. Número de períodos capitalizados y plazo
7. Tasas de interés efectivas y nominales
8. Interés convertible continuamente
9. Tasas equivalentes nominales y efectivas
C. Interés compuesto
Unidad autoformativa I: Interés Simple y Compuesto
1. La matemática financiera y su aplicación
2. Inversión o capital
4. Flujos de caja
7. Interés
8. Capital
9. Tiempo
1. Interés simple exacto y comercial
3. Valor futuro a interés simple
4. Valor presente a interés simple
5. Descuentos bancario y racional
6. Pagos parciales. Regla americana
B. Interés simple
1. Introducción
2. Deducción de la fórmula de interés Compuesto
5. Diferencia entre interés simple y compuesto
6. Número de períodos capitalizados y plazo
8. Interés convertible continuamente
Unidad autoformativa I: Interés Simple y Compuesto

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Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa I
En la presentación de esta primera unidad hacemos referencia a la importancia que tiene el
estudio de algunos conceptos básicos fundamentales que forman la base del estudio y
aplicación da las matemáticas financieras, tales como: La inversión de capital, el flujo de caja, la
tasa de interés, el capital, etc. Así mismo, consideraremos aspectos relacionados al interés
simple e interés compuesto.
Para que usted obtenga los resultados deseados en el autoestudio de la unidad autoformativa I,
dependerá en gran medida de la responsabilidad de su autoaprendizaje. Es por ello que hemos
tratado de presentarle de una manera sencilla y clara los contenidos, los que se presentan
enriquecidos con ejemplos concretos y adaptados a nuestra propia realidad económica y
financiera; por otro lado, se le proponen actividades de autoaprendizaje y de autoevaluación
que le permitirán evaluar su autoaprendizaje y para ello será necesario que cumpla lo siguiente:
1. El cumplimiento de las orientaciones metodológicas que se le indican, es un aspecto
importante para el logro de los objetivos del autoestudio.
2. Realice resúmenes, dibuje esquemas de mapas de conocimientos, destacando los
conceptos más importantes, lleve un orden en los problemas que va estudiando y anote
aquellas dudas que resulten.
3. Relacione los contenidos dados, los cuales se presentan en cadena, donde el dominio del
conocimiento anterior, es fundamental para la interpretación y asimilación del conocimiento
siguiente.
4. Elabore un formulario indicando el número de la fórmula y su utilidad.
5. En el Tema A, preste atención a la construcción y uso del flujo de caja o diagrama tiempo
valor.
6. En el Tema B, los contenidos donde debe prestar más atención son: el cálculo de interés
simple, los pagos parciales, los descuentos y las ecuaciones de valor.
7. En el Tema C, debe asegurarse de tener dominio sobre: cálculo de valor futuro y presente
de una suma de dinero, las tasas efectivas y nominales, las tasas equivalentes y las
ecuaciones de valor.
Prueba diagnostica de la unidad autoformativa I
Esta prueba tiene como objetivo que usted conozca el nivel de conocimientos previos que
posee para el autoaprendizaje de los nuevos conocimientos que exige la presente unidad
autoformativa.
Se dará cuenta cuánto esfuerzo debe emprender para asimilar y aprender el contenido de la
unidad autoformativa, lo cual le ayudará a planificar su autoaprendizaje.

22
Antes de comenzar a resolver y contestar los problemas y las preguntas, asegúrese de estar en
plena disposición para el estudio.
1. ¿Cuál es objeto de estudio de la Matemáticas Financieras?
2. ¿Qué entiende usted por valor cronológico del dinero?
3. ¿Qué significa para usted inversión?
4. ¿Cuál el interés simple que devengan $500 durante 186 días al 4.5% de interés trimestral?
5. Calcule el descuento bancario de un certificado que tiene un valor final de $36,000 y que
vence dentro de 310 días con el 10.2% de descuento anual.
6. Determine el monto de $200 aplazo de 2 años con el 12% capitalizable por mes.
7. Si usted hoy debe pagar $400 y dentro de 8 meses pagará $600, determine el valor del pago
único debe hacer dentro de 5 meses para saldar ambas deudas, si la tasa de interés de
rendimiento es del 15% CT.
8. Suponga que su negocio obtiene una rendimiento del 1.2% mensual acumulativo ¿cuál es
su rentabilidad anual equivalente?
9. ¿Cuánto debe pagar el día de hoy por una deuda de $4,300 que vence dentro de 15 meses,
si le reconocen un descuento del 14% CS por el pronto pago?
10. ¿Cuál es la tasa anual a interés compuesto que obtiene de ganancia en una inversión de
$500, si 1.5 años después le pagan un interés de $92.65?
Al finalizar esta prueba inicial compararé mis respuestas con las dadas al final, en la página
101, para valorar la calidad de mis conocimientos y sobre esa base construir mis nuevos
aprendizajes.
Nota: Cuando usted realice la comparación de sus conocimientos debe valorarlos
reflexivamente y en forma objetiva ubicarse en las alternativas siguientes:
Excelente: 10 a 9 respuestas acertadas
Muy bueno: 8 a 7 respuestas acertadas
Bueno: 7 a 6 respuestas acertadas

23
El propósito de este tema es estudiar algunos conceptos básicos fundamentales que forman la
base del estudio de las Matemáticas Financieras y proporcionar la terminología que usaremos
en el estudio y análisis financiero. Estudiaremos el significado de los símbolos que se utilizan en
las Matemáticas Financieras y construiremos el flujo de caja que nos servirá para simplificar
algunos problemas descriptivos complejos. Lo que aprendamos en este tema lo usaremos a lo
largo del módulo y nos será de mucha utilidad.
1. Las matemáticas financieras y su aplicación
¿Qué son las Matemáticas financieras?
Las Matemáticas Financieras son:
Un conjunto de técnicas y procedimientos de carácter cuantitativo que nos sirven para calcular
la equivalencia del valor del dinero en cualquier momento. La medición del valor del dinero nos
ayuda a tomar decisiones financieras, es decir; para valorar el premio de prescindir por cierto
tiempo, a cierta tasa de interés, de un determinado recurso financiero o capital.
Las Matemáticas Financieras se ven involucradas en todas las actividades económicas donde
pretendamos obtener una ganancia; particularmente la usamos en la medición del rendimiento
del dinero invertido, porque a fin de cuentas es lo que está en juego, es decir; si perdemos o
ganamos. Los campos de mayor aplicación son el Mercado Financiero y el Mercado de Valores
que es donde se oferta y demanda dinero a un precio que está determinado por la libre
competencia.
Para medir el valor del dinero en una inversión a parte de los elementos cuantitativos, es
importante que tengamos en cuenta las condiciones políticas, sociales, micro y
macroeconómicas del escenario donde se invierte para analizar el riesgo. Por eso, es
necesario que examinemos algunos aspectos relacionados con el entorno de las empresas o
entes ejecutores de las inversiones para disponer de mayores elementos de juicio para tomar
una decisión acertada. Por tanto:
Recordemos que:
Las Matemáticas Financieras son un
conjunto de técnicas y procedimientos
de carácter cuantitativo que nos sirve
para calcular la equivalencia del valor
del dinero en cualquier momento.

24
2. Inversión
¿Qué entiende usted por inversión?
Una inversión:
Es la colocación de ciertos recursos financieros en una actividad económica a un plazo
determinado y con una tasa de interés, en sustitución del consumo actual de esos mismos
recursos, es decir; es el aplazamiento del gasto, con el objetivo de obtener un mayor consumo
real en el futuro. La diferencia entre el consumo futuro y actual divido por el consumo actual, es
lo que conocemos como el porcentaje de rentabilidad del inversionista.
Por ejemplo:
Si hoy tenemos $100 disponibles se nos presentan dos opciones: la primera, es el consumo de
los $100 comprando 5 unidades con un costo de $20 cada una, en este caso no hay
rentabilidad. La segunda opción es invertir los $100 a plazo de un año con una tasa de interés
del 25%, esto indica que al final del plazo tendremos $125. Si las unidades de consumo
después de un año no han aumentado de precio por que no hay inflación en el ambiente, se
mantendrán en $20; entonces podremos comprar 6.25 unidades, generando una rentabilidad
del 25% de lo invertido. Esto lo podemos comprobar en el siguiente cálculo de la rentabilidad i:
25%
(100)
0.25
5
5
-
6.25
Actual
Consumo
Actual
Consumo
-
Futuro
Consumo
i =
=
=
=
A menudo decimos que “el dinero produce dinero”. Esta aseveración es realmente verdadera, si
nosotros elegimos invertir dinero hoy, ya sea en un banco o en una corporación de ahorro y
préstamo, mañana habremos acumulado más dinero que el que hemos invertido originalmente.
Este cambio en la cantidad de dinero durante un período de tiempo es lo que se conoce como
“el valor cronológico del dinero”.
Este concepto es el más importante en el estudio de la Introducción a la Gestión Financiera.
También debemos notar, que si una persona o empresa pide hoy dinero prestado, mañana tendrá
que pagar una cantidad mayor, debido al valor del dinero en el tiempo.
El valor cronológico del dinero podemos verlo desde el punto de vista del valor real, o sea;
poder adquisitivo. A como lo veremos más adelante, el valor del dinero puede cambiar a través
del tiempo, no solamente debido al efecto de una tasa de interés, sino también por efecto de la
tasa de variación monetaria (devaluación) y la tasa de inflación.
4. Flujos de caja
Es otro concepto básico, fundamental en el marco de las Matemáticas Financiera y que consiste
en lo siguiente:
Las personas y empresas tienen ingresos de dinero, (rentas) y pagos de dinero (costos) que
ocurren particularmente en cada período de tiempo dado. Estos valores que constituyen
ingresos y egresos que se producen periódicamente en el tiempo, se denominan “flujos de
caja”.

25
Para simplificar, suponemos que todos los flujos de caja ocurren al final de cada período. Esto
es lo que se conoce como “convención fin de período” de lo contrario debemos especificar el
período en que ocurren.
Por ejemplo:
Todos los ingresos y egresos que se producen de forma anual en la actividad económica de
una empresa para efectos del análisis financiero, se registran al final de cada año en el flujo de
caja o diagrama tiempo valor, independientemente que dichos flujos se produzcan en otro
momento.
Los flujos de caja se caracterizan por su signo, positivo si es un ingreso y negativo si es un
egreso o desembolso. En cualquier periodo el flujo de caja podremos representarlo como:
Flujo de Caja Neto = Ingresos – Egresos
El Flujo de caja puede ser:
• Positivo: Ingresos
• Negativo: Egresos
a. Flujos de caja positivos
Estos representan todas las entradas de dinero de la empresa independientemente del
origen de donde provengan. En el diagrama tiempo valor, los flujos positivos los señalamos
con una flecha hacia arriba. Observe el gráfico 1 (escala dada en años)
Flujo positivo
$700 $900
$600 $600
0 1 2 3 4 Años
Gráfico 1
b. Flujos de caja negativos
Estos representan todas las salidas o egresos de dinero de la empresa independientemente
del concepto que los origine. En el diagrama tiempo valor, los flujos positivos los señalamos
con una flecha hacia abajo. Observe el gráfico 2 (escala dada en años)
Flujo negativo
0 1 2 3 4 Años
400 300
500 550
700
Gráfico 2

26
En adelante, la simbología que utilizaremos para representar los flujos de dinero será (C$)
para córdobas y ($) para dólares o cualquier otra unidad monetaria. Para efectos de
simplicidad no pondremos en los gráficos o diagramas de tiempo valor, el símbolo de la
unidad monetaria. Solamente usaremos el símbolo cuando abordemos casos específicos.
Veamos un ejemplo para ilustrar mejor los flujos de caja:
Supongamos que un ganadero recurre a un banco y le presta $50,000 para la inversión en
su finca de ganado. El préstamo es a plazo de 6 meses y al final del mismo el ganadero
devolverá al banco un monto de $56,250 en concepto de pago de capital más intereses. En
este caso el banco registra un flujo negativo en el momento del desembolso del préstamo en
el mes cero y la administración de la finca registra un flujo de dinero positivo. Al final del
plazo en el mes 6, el banco registra un flujo positivo producto del ingreso por el pago que
recibe del préstamo. En cambio, la administración de la finca registra un flujo negativo dado
que desembolsa dinero para la cancelación del crédito. Esto lo podemos apreciar en el
gráfico 3. desde el punto de vista del banco.
56,250
0 1 2 3 4 5 6
Meses
Gráfico 3
50,000
El diagrama del flujo de caja es la representación gráfica de un flujo de dinero en una escala
de tiempo (Ver gráficos 1, 2 y 3). El diagrama representa el planteamiento del problema y
muestra los valores dados y los que debemos encontrar, es decir; es un instrumento visual para
el análisis financiero y nos facilita resolver el problema mirando únicamente el dibujo del
diagrama del flujo.
Podemos asegurar que el éxito para la resolución de un problema de Matemáticas Financieras,
depende de gran manera de la construcción del diagrama de flujo de caja. Los diagramas de
flujos de caja 4 y 5 representan los ingresos y egresos netos de un proyecto de inversión.
9,000
8,000
7,000
6,000
5,000
0 1 2 3 4 5 Años
Gráfico 4
20,000
En el diagrama del flujo de caja, la fecha 0 (cero) es el momento actual (hoy. La fecha 1, es el
final del período 1. La fecha 2, es el final del período 2. La fecha 3, es el final del período 3 y así
sucesivamente hasta el final del periodo de interés n. El final del periodo n es el vencimiento. En
vista de que asumimos que el flujo de dinero ocurre al final de cada período (salvo cuando se

27
estipule lo contrario), solamente debemos considerar las fechas marcadas con 0, 1, 2, 3,..., n
para registrar los flujos en el diagrama.
9,000
8,000
7,000
6,000
5,000
0 1 2 3 4 5 Años
Gráfico 5
20,000
Analicemos en particular los períodos 2 y 5 de la escala del gráfico 6.
1 2
Periodo 2
Inicio período 2
Inicio período 2
Final período 2
Final período 2
Inicio período 5
Inicio período 5
Final período 5
Final período 5
4 5
Periodo 5
Gráfico 6
Reafirmamos que la dirección de las flechas en el diagrama de los flujos de caja es importante
para la solución del problema. Utilizaremos flechas hacia arriba para indicar un flujo positivo
(ingreso) y flecha hacia abajo para indicar un flujo negativo (egreso). Estos flujos se muestran
en el gráfico 7.
20,000
20,000
Flujo negativo
Flujo positivo
Gráfico 7
Los flujos de cajas los podemos presentar de dos formas: diagrama o gráfico (ver gráficos 4 y 5)
y tabular (ver tablas 1 y 2)
Tabla 1
Año 0 1 2 3 4 5
Flujo Neto (20,000) 5,000 6,000 7,000 8,000 9,000
La tabla 1 muestra el flujo del gráfico 4.
Tabla 2
Año 0 1 2 3 4 5
Flujo Neto (20,000) 9,000 8,000 7,000 6,000 5,000
La tabla 2 muestra el flujo del gráfico 5.

28
Ejemplo:
Una empresa invierte en una máquina $12,000 que se estima tendrá una vida útil de 6 años.
Los ingresos anuales serán de $5,000 y los costos de operación y mantenimiento serán de
$1,200 para el primer año y se espera que estos costos aumenten en $300 por año a partir del
año 2. La máquina al final de la vida útil tendrá un valor de rescate de $3,000. Elaboremos el
flujo de caja en forma tabular y en diagrama.
Solución
Primero hagamos una tabla reflejando los ingresos y egresos de la actividad económica por año
para deducir el flujo neto. (Ver tabla 3). Observe que en el año 6 el ingreso es de $8,000 esto es
debido a la venta de la máquina por $3,000.
Tabla 3
Año 0 1 2 3 4 5 6
Ingreso 000 5,000 5,000 5,000 5,000 5,000 8,000
Egreso 12,000 1,200 1,500 1,800 2,100 2,400 2,700
Flujo Neto (12,000) 3,800 3,500 3,200 2,900 2,600 5,300
El gráfico 8 muestra el flujo de caja neto.
5,300
3,800
3,200
2,600
0 1 2 3 4 5 6 Años
Gráfico 8
12,000
3,500
2,900
6. Tasa de interés
Para comprender el concepto de tasa de interés analizaremos el siguiente ejemplo:
a. Suponga que usted acude a un banco y solicita un préstamo por el cual le cobra como rédito
$20 anual, por cada $100 unidades monetarias prestadas, entonces la tasa de interés i anual
es la razón:
20%
0.20(100)
sea
o
anual,
0.20
100
20
i =
=
=
b. SI una cuenta de ahorros devenga un interés de $3 en cada trimestre por cada $100
ahorrados, entonces la tasa de interés i por trimestre es:
3%
0.03(100)
sea
o
,
trimestral
0.
100
i =
=
= 03
3
c. Por un préstamo bancario pagamos $1.5 mensual por cada $100 unidades que tenemos en
saldo, entonces la tasa de interés i mensual es:
%
.
(100)
0.0
sea
o
mensual,
0.
100
.
i 5
1
15
015
5
1
=
=
=
De los ejemplos anteriores, inferimos que “la tasa de interés” tanto por ciento la definimos
como:

29
La razón que se establece entre el número de unidades monetarias pagadas como rédito, en
un período de tiempo dado, por cada cien unidades monetarias de la suma prestada o
ahorrada” (Justin H. Moore “Manual de Matemáticas Financieras” p. 3).
En este módulo autoformativo utilizaremos la notación en porcentaje para referirnos a la tasa de
interés, sin multiplicar por cien el número que resulta de la operación, por ejemplo podemos
decir el porcentaje de la siguiente manera.
anual
25%
sea
o
0.25
100
25
i =
=
7. Interés
El interés es la cantidad convenida que pagamos por el uso del dinero en calidad de préstamo
o ahorro. La evidencia del valor del dinero en el tiempo se llama interés, y es una medida del
incremento entre la suma de dinero prestada o invertida y la cantidad final debida o acumulada.
El uso del capital no es gratuito y el concepto de interés surge precisamente de esto, en la
actualidad los bancos, las entidades financieras y las personas no están dispuestas a facilitar
ninguna cantidad de dinero, sin tener en cuenta cierto margen de ganancia o utilidad; todo esto
originado por el concepto de rentabilidad que se mide por el aumento del valor cronológico del
dinero.
El Interés acumulado o devengado:
Es la cantidad de dinero generada al final de cierto período de tiempo por efecto del préstamo o
ahorro, lo podemos calcular con el método de Interés Simple o Compuesto.
Este interés depende de los factores siguientes:
La cantidad de dinero prestada o ahorrada
Del plazo del préstamo o depósito
De la tasa de interés pactada o establecida
De la forma de capitalizar intereses
De la forma de pagar intereses: anticipados o vencidos
Otros conceptos importantes utilizados en matemáticas financieras, son los que vamos a definir
a continuación:
8. Capital
El capital: es la suma de dinero que prestamos o que ahorramos en el momento de realizar
una inversión. También, el capital es el recurso financiero que tenemos hoy, que no
consumimos o gastamos, sino que lo invertimos para consumir más en términos reales en el
futuro. Al capital le podemos llamar principal, valor presente, o valor actual.
En este módulo autoformativo usaremos indistintamente cualesquiera de los sinónimos
anteriores para referirnos al capital: Principal, Valor Presente, Valor Actual.

30
9. Tiempo
El tiempo: es la duración del lapso para el que se calcula el interés y lo podemos establecer
por períodos tales como: anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, bimensual, mensual y
diario. El tiempo medido en año comercial tiene 360 días y cada mes 30 días. Cuando el tiempo
es medido en año exacto éste consta de 365 días y 366 si es bisiesto.
En síntesis:
Conceptos
Básicos
1. Matemática Financiera: Conjunto de técnicas y
procedimientos cuantitativos que permiten calcular la
equivalencia del valor del dinero en cualquier momento. Con
esta podemos valorar el premio de prescindir por cierto
tiempo de un Recursos financiero o Capital, a cierta tasa de
interés.
2. Inversión: Ubicación de los Recursos Financieros en una
actividad económica a un plazo de tiempo determinado y con
una tasa de interés.
3. Valor cronológico del dinero: Cambio en la cantidad de
dinero durante un período de tiempo.
4. Flujo de caja: Valores que constituyen ingresos y egresos
que se producen periódicamente en el tiempo.
5. Diagrama de flujo de caja: Representación gráfica de un flujo
de dinero en una escala de tiempo. Plantea el problema y
muestra los valores dados, los que debemos encontrar.
6. Tasa de interés: Razón que se establece entre el número de
unidades monetarias pagadas como rédito, en un período de
tiempo dado, por cada cien unidades monetarias de la suma
prestada o ahorrada.
7. Interés: Cantidad convenida que pagamos por el uso del
dinero en calidad de préstamo o ahorro.
8. Capital (Principal, Valor Presente, Valor Actual): Suma de
dinero que prestamos o ahorramos en el momento de
realizar una inversión. Recursos financiero que tenemos hoy,
que no consumimos o gastamos, sino que invertimos para
consumir más en términos reales en el futuro.
9. Tiempo: Duración del lapso para el que se calcula el interés,
establecido por periodos (anual, semestral, cuatrimestral,
trimestral, bimensual, mensual y diario)
a. Positivo: Ingresos
b. Negativo: Egresos
Interés acumulado o devengado:
Cantidad de dinero generada al
final de cierto período de tiempo
por efecto del préstamo o ahorro.
Conceptos
Básicos
1. Matemática Financiera: Conjunto de técnicas y
procedimientos cuantitativos que permiten calcular la
equivalencia del valor del dinero en cualquier momento. Con
esta podemos valorar el premio de prescindir por cierto
tiempo de un Recursos financiero o Capital, a cierta tasa de
interés.
2. Inversión: Ubicación de los Recursos Financieros en una
actividad económica a un plazo de tiempo determinado y con
una tasa de interés.
3. Valor cronológico del dinero: Cambio en la cantidad de
dinero durante un período de tiempo.
4. Flujo de caja: Valores que constituyen ingresos y egresos
que se producen periódicamente en el tiempo.
5. Diagrama de flujo de caja: Representación gráfica de un flujo
de dinero en una escala de tiempo. Plantea el problema y
muestra los valores dados, los que debemos encontrar.
6. Tasa de interés: Razón que se establece entre el número de
unidades monetarias pagadas como rédito, en un período de
tiempo dado, por cada cien unidades monetarias de la suma
prestada o ahorrada.
7. Interés: Cantidad convenida que pagamos por el uso del
dinero en calidad de préstamo o ahorro.
8. Capital (Principal, Valor Presente, Valor Actual): Suma de
dinero que prestamos o ahorramos en el momento de
realizar una inversión. Recursos financiero que tenemos hoy,
que no consumimos o gastamos, sino que invertimos para
consumir más en términos reales en el futuro.
9. Tiempo: Duración del lapso para el que se calcula el interés,
establecido por periodos (anual, semestral, cuatrimestral,
trimestral, bimensual, mensual y diario)
a. Positivo: Ingresos
b. Negativo: Egresos
Interés acumulado o devengado:
Cantidad de dinero generada al
final de cierto período de tiempo
por efecto del préstamo o ahorro.

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Actividad de autoaprendizaje No. 1
1. Explico con mis propias palabras para que me servirá el estudio de la Matemáticas Financieras a la
cual se hace referencia en el módulo de Introducción a la Gestión Financiera.
2. Explico ¿Cuáles son los métodos fundamentales en que se basa el estudio de la Matemáticas
Financieras, y en que se diferencian?
3. Explico ¿en qué consiste el valor cronológico del dinero? Respondo planteando un ejemplo numérico.
4. Defino con mis propias palabras el concepto de flujo de caja.
5. ¿Qué significa tiene para mi invertir? Argumento mi respuesta con un ejemplo.
6. Para cada uno de los casos siguientes construyo el flujo de caja neto.
a. La familia Campuzano – Valdivia compró una casa vieja por $25,000 con la idea de hacerle mejoras,
alquilarla y luego venderla. En el primer año, gastaron $5,000 en mejoras, en el segundo gastaron $1,500
en una cerca y $1,200 en el tercero en decoración. Los impuestos anuales fueron de $500 durante los 7
años que les perteneció. Del año 4 hasta el año 7 la alquilaron por $7,200 anuales, finalmente la
vendieron en $40,000.
. b. Un inversionista compra 3 clases de acciones (identificadas como grupo A, B y C). El inversionista
compró 200 acciones de A con un precio de $13.00 cada una, 400 de B a $4.00 cada una y 100 de C a
$18.00 cada una. Los dividendos fueron de $0.50 por acción de A durante los 3 años, vendiéndose luego
la acción en $15.00. La acción B no produjo dividendos pero se vendió en $5.50, dos años después de su
compra. La acción C produjo dividendos de $2.10 por cada una durante 10 años, pero debido a una
depresión del mercado de valores su precio de venta fue de $12.00 la unidad. (sugerencia: prepare el
flujo para un plazo de 10 años).
c. Un proyecto requiere de una inversión inicial de $100,000 para su instalación. Sus gastos de
operación y mantenimiento son del orden de $20,000 para el primer año y se espera que estos costos
crezcan en el futuro a una razón del 10% anual. La vida económica estimada del proyecto es de 8
años al final de los cuales su valor de rescate se estima en $40,000 después de impuestos. Los
ingresos que genera son de $50,000 el primer año y se espera que éstos aumenten a una razón
constante de $10,000 por año. (nota: el valor de rescate es un ingreso).
d. Una empresa obtuvo un financiamiento de $20,000 hace 4 años para pagarse en un plazo de 6
años a través de cuotas anuales de $5,718. Con este préstamo la empresa ha producido ingresos
anuales de $8,300 que no incluyen el pago de la cuota y espera generar $12,000 en el año 5 y
$15,000 para el año 6.
7. Elaboro el gráfico o diagrama de tiempo del valor del flujo de caja neto para cada uno de los casos
anteriores.
En la página 102, de las hojas de respuestas, al final de la unidad autoformativa I, encontraré únicamente
las respuestas correctas del ejercicio 6 y 7 de esta actividad, las comparo y me retroalimento. Las
primeras 05 actividades son de carácter personal y se espera el discernimiento y reflexión individual de
los estudiantes para socializarlas en la sesión tutorial correspondiente.

32

33
B. Interés simple
A través del estudio del tema B, usted tendrá la oportunidad de estudiar lo referido al interés
simple, exacto y comercial, no sin antes dejar claro que se entiende por:
El interés simple:
Es un método de cálculo financiero donde el capital invertido no sufre ninguna variación en el
tiempo que dura la transacción, es decir la tasa de interés se aplica solamente al principal inicial
en base al tiempo estipulado. En consecuencia “el interés es simple cuando sólo el capital gana
intereses y es compuesto si a intervalos de tiempo preestablecidos, el interés vencido se
agrega al capital, por lo que éste también genera intereses” (J. L. Villalobos “Matemáticas
Financieras” p. 64).
El interés simple está dado por la fórmula 1,
1)
(Formula
Pin
I =
Donde
I: Interés acumulado o devengado
P: Principal (cantidad prestada o ahorrada)
i: Tasa de interés del periodo (día, mes, trimestre, semestre, año).
N: Plazo o número de periodos (día, mes, trimestre, semestre, año).
Para el uso correcto de la fórmula 1 es necesario que las variables relacionadas con el plazo (n)
y la tasa de interés (i) estén definidas en el mismo período de tiempo. En los ejemplos de la
tabla 4 se muestra esta situación.
Tabla 4
Caso Plazo Tasa de interés Conversión
1 n=1 trimestre i=4% trimestral 4/100=0.04
2 n=5 Años i=18% anual 18/100=0.18
3 n=10 meses i=2% mensual 2/100=0.02
4 n=6 meses i=20% anual 20/100=0.20
En el caso 4, para usar la fórmula 1 debemos convertir 6 meses a 0.5 años o bien 20% anual a
1.6667% mensual. Es decir 6/12 es 0.5 años o bien 0.20/12 es 0.016667 interés por mes. Ver
ejemplos 1, 2 y 3 presentados en el siguiente subtema.
Si la tasa de interés (i) está definida en año y el plazo (n) en días, usaremos el factor n/360; si
(n) está dado en meses usaremos n/12.
Cuando el plazo está determinado de una fecha a otra, utilizaremos todos los días efectivos
entre las fechas respectivas y se dividen por 360 para convertirlo a año comercial, de esta
forma anualizamos el plazo. Por ejemplo, si el plazo de una operación financiera va del día 12
de mayo al 26 de octubre del mismo año, el plazo en año comercial lo podemos determinar por.
comercial
año
0.463888
360
167
n =






=
Observemos que el número de días efectivos entre el 12 de mayo y el 26 de octubre es de 167.
Constate el número de días consultando la tabla

34
Transformemos el plazo en año comercial de una operación financiera que inicia el 16 de marzo
de 2001 y finaliza el 26 de mayo de 2002. En este caso, el número de días efectivos
comprendidos entre las fechas indicadas es de 436, por tanto tenemos:
ciales
comer
años
1.21111
360
436
n =








=
1. Interés simple comercial y exacto
El interés simple comercial es calculado sobre la base del año comercial que tiene 360 días, y
cada mes 30 días, cualquier plazo dado en días efectivos (de fecha a fecha) lo traducimos a
año comercial utilizando el factor
efectivos
días
de
número
el
representa
n
donde
;
360
n






El interés simple comercial lo calculamos a través de la fórmula 2,
2)
(Fórmula
360
n
i
P
I 





=
Este cálculo incide en la variación de la fecha de vencimiento de un préstamo, ya que no
coincide exactamente con la fecha formalización. Así por ejemplo, un préstamo que se otorgó el
15 de enero de 2001 a plazo de un año, no necesariamente vence el 15 de enero de 2002, sino
que vence el día 10 de enero debido a que se utiliza el año comercial compuesto de 360 días.
Este es el sistema utilizado comúnmente por las instituciones que trabajan con crédito.
El interés calculado sobre la base anual de 360 días se conoce en la práctica comercial como
interés bancario.
El interés simple exacto lo calculamos sobre la base de 365 días. Por otra parte, el tiempo lo
podemos calcular de manera exacta y de manera aproximada, por consiguiente para determinar
el interés, las dos partes involucradas deudor y acreedor deben ponerse de acuerdo respecto al
procedimiento que se utilizará. La conversión de los días efectivos a año exacto lo realizamos a
través de;
efectivos
días
de
número
el
representa
n
donde
;
365
n






El interés en este caso está determinado por la fórmula 3,
3)
Fórmula
(
365
n
i
P
I 





=
Ejemplo 1:
Calculemos el interés que devenga un depósito de $25,000 en un banco a una tasa de interés
simple del 20% a plazo fijo de 10 meses.
Solución: Datos: P=$25,000, n=10/12=0.83333 año, i=20%=20/100 anual
Por la fórmula 1 Resulta: ( ) 7
4,166.6
12
10
0.20
25,000
12
n
i
P
I =






=






=

35
Ejemplo 2:
El Sr. Adán Pulido planea solicitar un préstamo de $180,000 a 18 meses de plazo a una tasa de
interés simple del 30% . Calcular la cantidad que pagará en concepto de interés al final del
plazo.
Solución: Datos: P=$180,000, n=18/12 años, i=0.30 años
( ) 0
81,00
12
18
0.30
180,000
12
n
i
P
I =








=








=
El resultado es el mismo si hacemos i=0.30/12=0.025 por mes, n=18 meses, o sea:
( ) 81,000
18
12
0.30
80,000
1
I =








=
Ejemplo 3:
Calculemos el valor de los intereses que devenga un pagaré de valor nominal $50,000 a plazo
de 270 días, con una tasa de interés del 0.95% mensual.
Solución: Datos: P=$50,000, n=270/360=0.75 años, i=0.0095(12)=0.114 anual
Por la fórmula 1 tenemos: ( ) 4,275
360
270
0.114
50,000
I =






=
También resulta lo mismo si hacemos la variante:
n=270/30=9 meses, i=0.0095 mensual; nuevamente: ( )( ) 4,275
9
0.0095
50,000
I =
=
En el cálculo financiero a menudo hacemos referencia a las equivalencias financieras, esto
es; “diferentes sumas de dinero se dice que son equivalentes si tienen el mismo valor
económico, esto quiere decir, el valor del dinero en el tiempo utilizando conjuntamente una tasa
de interés” (L. Blant, A. Tarquin, “Ingeniería Económica” P. 5). El análisis del ejemplo 4 nos
ayudará a comprender mejor este concepto.
Ejemplo 4:
a. Si la tasa de interés es el 25% anual, C$100.00 córdobas de hoy son equivalentes a
C$100.00 + C$25.00=C$125.00 dentro de un año y viceversa.
b. Si nosotros debemos pagar $1,300 dólares dentro de un año, equivale a que paguemos
$1,000 dólares el día de hoy, si utilizamos una tasa de interés del 30%. Esto quiere decir, que
con interés de30%, $1,000 de hoy son equivalentes a $1,300 dentro de un año y viceversa.
Como lo definimos anteriormente, la tasa de interés:
Es la razón del rédito devengado respecto al capital inicial invertido. En otras palabras, es la
cantidad porcentual que si la multiplicamos por el capital inicial, obtenemos como resultado el
interés generado.
La determinación de la tasa de interés efectiva o verdadera de un préstamo, depende de lo que
hayamos convenido y el método con que el acreedor cargue el interés, si este se paga al
vencimiento del préstamo, la tasa convenida es la efectiva. “Las tasas de interés bancarias
presentan tres resultados: Interés Compuesto Ordinario, Interés Descontado e Interés a plazo”

36
(Lincoyán Portuz “Matemáticas Financieras” P. 70). Las tasas de interés se dividen en cinco
categorías:
a. Tasa de interés activa
La tasa de interés activa es la cobrada por los bancos y las instituciones financieras en la
colocación de dinero, o sea; en el otorgamiento de préstamos a las personas naturales y
jurídicas para el financiamiento de las actividades económicas. Las tasas de interés corriente
y moratorias son tasas activas.
b. Tasa de interés pasiva
La tasa de interés pasiva es la pagada por los bancos y las instituciones financieras a los
ahorrantes, en la captación de dinero (ahorros en sus diversas formas). La tasa pasiva
constituye una tasa de interés de rendimiento baja para los ahorrantes, ya que el ahorro es
una inversión de bajo riesgo.
Por naturaleza, las tasas de interés activas son mayores que las pasivas, ya que parte de la
diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. En el mercado financiero
Nicaragüense, las tasas activas y pasivas están determinadas según la oferta y demanda de
dinero, así como el índice de riesgo país para las inversiones y otros factores como la
estabilidad política y social. Estas tasas de interés están definidas para moneda nacional
(córdobas) y para moneda extranjera (dólar) de los Estados Unidos.
En Nicaragua, al cierre del mes de diciembre de 2001, según informe del Banco Central, el
índice promedio de las tasas de interés pasivas y activas en el Sistema Financiero Nacional,
a un año de plazo estaba:
Tabla 5
Moneda Tasa pasiva Tasa activa
Nacional (Córdoba) 12.40% 17.10%
Extranjera (Dólar) 8.55% 17.38%
c. Tasa de rentabilidad a interés simple
La tasa de rentabilidad o rendimiento es el porcentaje de utilidad obtenido o que se espera
obtener de una determinada inversión. La tasa anual de rentabilidad (r) responde a la
pregunta de cuánto ganaremos o perderemos en relación con la inversión efectuada. Es por
lo tanto, una relación (no anualizada) que a interés simple es:
4)
(Fórmula
INV
G
r
,
%
en
ad
rentabilid
:
r 







=
Donde:
G: Ganancia o pérdida de la inversión
INV: Capital invertido

37
Ejemplo 5:
Hoy el señor Martínez, invierte la cantidad de C$80,000 córdobas y dentro de un año espera
obtener C$95,000 y como no conoce de finanzas, quiere averiguar cual será su tasa de
rendimiento esperada.
Solución: La ganancia se define como: G= Ingreso - Egreso.
En este caso la ganancia del señor Martínez es: C$95,000 - C$80,000 = C$15,000. Así, la
inversión generará un 18.75% de rendimiento anual, como se puede apreciar
18.75%
r
sea
o
0.1875
80,000
15,000
80,000
80,000
-
95,000
INV
G
r =
=
=
=
=
La operación anterior la podemos visualizar en un diagrama de flujos de caja o de fondos.
(gráfico 9).
80,000
15,000
0 1 Año
Gráfico 9
80,000
Si la tasa de rentabilidad (r) la queremos anualizar, dado que no todas las inversiones son
anuales, utilizamos el factor de anualización, y el cual está dado por:








=








Vencidos
Días
360
DV
360
Por tanto, el rendimiento anualizado de la fórmula 1.4 a interés simple de una inversión es:
5)
(Fórmula
DV
360
INV
G
r 















=
La tasa de rendimiento descrita anteriormente tiene mucha aplicación en el mercado bursátil
de Nicaragua y facilita seleccionar la mejor alternativa de inversión en la transacción
financiera con títulos valores, sobre todo aquellos títulos que se venden con descuento
bancario.
d. Tasa de interés por mora
En los contratos de pago de obligaciones financieras se establece una tasa de interés
adicional a la corriente. Esta tasa adicional se denomina tasa de interés por mora o
simplemente tasa de interés moratoria y se entiende como el porcentaje de recargo por el
incumplimiento de pago en la fecha programada o establecida. Generalmente, el interés por
mora se calcula de acuerdo al tiempo transcurrido posterior a la fecha de vencimiento del
pago de la cuota. Analizaremos uno de los procedimientos de cálculo del interés por mora y
el ajuste del interés corriente.
Si la cancelación del pago o cuota se retrasa, el interés por mora lo calculamos tomando en
cuenta únicamente el principal de la cuota vencida, durante el tiempo de mora del pago.

38
Para calcular el interés por mora a través del método de Interés Simple, usamos la fórmula 6
que se deriva de la fórmula 1.
( )( ) )
6
(Fórmula
m
t
m
i
cv
P
mo
I =
El retraso de la cancelación de la cuota, conlleva el ajuste del interés corriente aplicado al
último saldo de la deuda en el período retrasado. Este ajuste puede ser cobrado junto a la
cuota retrasada o bien en la fecha de la próxima cuota, cuyo interés corriente debe ser
también ajustado conforme al tiempo que transcurre entre el pago de la cuota retrasada y la
fecha programada de la próxima. Este cálculo lo realizamos de acuerdo a la fórmula 7
( )( ) 7)
(Fórmula
m
t
c
i
a
S
ca
I =
Donde:
Imo: Interés por mora
Ica: Interés corriente ajustado
Pcv: Principal de la cuota retrasada
Sa: Saldo anterior a la cuota vencida
ic: Tasa de interés corriente pactada
im: Tasa de interés moratoria
tm: Tiempo de mora de la cuota.
Debido a que no existe una ley reguladora de la materia, en la práctica bancaria, el cálculo
de los intereses por mora difieren de una institución a otra, se efectúan en base a una
situación contractual (acreedor – deudor), por eso es importante que el prestatario esté
enterado al momento de contraer una obligación financiera, del procedimiento que utilizará el
prestamista para calcular dichos intereses.
Ejemplo 6:
Una empresa está amortizando o pagando una deuda a un banco y paga al final de cada
mes una cuota de valor C$17,666.67 la cual está vencida y tiene 20 días de mora. El
principal de la cuota es de C$15,000 y los intereses corrientes del mes son de C$2,666.67.
El último saldo es de C$45,000. La tasa de interés corriente sobre el préstamo es del 32%
anual sobre saldos y la tasa de interés moratoria es del 15% anual. ¿Qué cantidad deberá
pagar la empresa para ponerse al corriente?
Datos:
Pc=C$15,000 principal de la cuota
ic=32 tasa de interés corriente
im=15% tasa de interés por mora
tm=20 días de mora de la cuota
Sa=C$45,000 último saldo de la deuda
Solución: Aplicando la fórmula 6 calculamos el interés por mora durante 20 días.
( ) 0
125.0
360
20
0.15
15,000
mo
I =






=
El ajuste del interés corriente lo calculamos mediante la fórmula 7, esto es:
( ) 800.00
360
20
0.32
45,000
ca
I =






=
De esta manera, el total a pagar con mora se detalla a continuación:

39
C$15,000.00 principal de la cuota
C$ 2,666.67 intereses corrientes de la cuota en mora
C$ 125.00 intereses por mora durante 20 días
C$ 800.00 ajuste de intereses corrientes por 20 días
C$18,591.67 Pago total
Ejemplo 7:
Un préstamo de $5,000 con interés corriente del 20% y por mora de 18% fue otorgado el día
10 de enero, con vencimiento hasta el día 12 de septiembre del mismo año. El compromiso
del crédito era cancelar principal e intereses en la fecha de vencimiento. Si el deudor pagó la
obligación hasta el día 9 de octubre del mes siguiente al vencimiento, determinemos el valor
total que pagó.
Datos:
Pcv = $5,000: principal del préstamo y de la cuota
ic = 20%: tasa de interés corriente
n = 245 días: plazo del préstamo
Solución: Con los datos anteriores, calculemos el valor del pago único en la fecha de
vencimiento, o sea, el valor futuro. Aplicando la fórmula 1 determinamos los intereses
corrientes, los cuales son;
( ) 680.56
360
245
0.2
5,000
I =






=
Así, el monto de la deuda en la fecha de vencimiento del día 12 de septiembre es;
$ 5,000.00 principal del préstamo y de la cuota
$ 680.56 intereses corrientes
$ 5,680.56 Monto de la deuda o cuota a pagar
Dado que la deuda se liquida hasta el día 9 de octubre hay un tiempo moratorio de 27 días
(12 septiembre al 9 de octubre). En este caso el valor total a pagar lo calculamos:
Datos:
Pcv=$5,000 principal de la cuota
ic=20% tasa de interés corriente
im=18% tasa de interés por mora
tm=27 días de mora de la cuota
Sa=$5,000 último saldo de la deuda
Solución: Aplicando la fórmula 6 calculamos el interés por mora durante 27 días.
( ) 0
67.5
360
27
0.18
5,000
mo
I =






=
El ajuste del interés corriente por 27 días sobre último saldo lo hacemos conforme la fórmula
7, esto es:
( ) 75.00
360
27
0.2
5,000
ca
I =






= 0
De esta manera, el total a pagar con mora el día 9 de octubre lo detallamos a continuación:

40
$ 5,000.00 principal de la cuota
$ 680.56 intereses corrientes de la cuota en mora
$ 67.50 intereses por mora durante 27 días
$ 75.00 ajuste de intereses corrientes por 27 días
$ 5,823.06 Total a pagar
e. Tasa de variación monetaria
La tasa de variación monetaria (devaluación) es aquella que hace cambiar el valor de una
moneda respecto a otra que se utiliza como patrón. Generalmente se hace con el objetivo de
garantizar el valor de las inversiones en moneda de valor constante, (en el caso de
Nicaragua la mayoría de las inversiones están dolarizadas respecto al dólar de USA y otras
respecto al euro)
Por ley, en Nicaragua todos los préstamos o financiamientos que se otorgan en moneda
nacional (córdobas), están dolarizados ya que se les aplica el concepto de mantenimiento de
valor respecto al dólar. En estos casos, los usuarios de financiamientos necesitan conocer
las tasas infladas o nominales anuales teniendo en cuenta dos factores o componentes que
inciden directamente en las tasas de interés reales a pagar. Estos factores son:
iv: tasa de variación monetaria
ic: tasa de interés corriente
En lo que respecta al índice de variación monetaria iv es un porcentaje o tasa de “interés”
que constantemente hace cambiar la unidad monetaria nacional. Por ejemplo, “en Nicaragua
esta tasa de variación oficial (Banco Central de Nicaragua) pasó en el mes de julio de 1999
del 12% al 9% anual y en el mes de abril del año 2000 se redujo al 6% de devaluación del
córdoba respecto al dólar” (Indicadores Económicos del Banco Central de Nicaragua, julio de
2000)
Si queremos calcular la tasa de variación iv entre dos fechas cualesquiera, podemos tomar
dos valores representativos del tipo de cambio oficial (TCO), financiero y no oficial en
dependencia del sector en que nos ubiquemos.
Ejemplo 8:
Determinemos la tasa de variación del córdoba respecto al dólar de los Estados Unidos en el
periodo de junio 1997 a diciembre de 2000, tomando como fuente los indicadores del Banco
Central de Nicaragua donde se señala que el TCO en las fechas indicadas son las
siguientes:
TCO=C$9.44 por dólar, finales del mes de junio de 1997
TCO=C$13.05 por dólar, finales del mes de diciembre de 2000
Solución Asignamos B=C$9.44 Valor anterior
Asignamos A=C$13.05 Valor actual
Entonces, la tasa de variación monetaria iv comprendida en estas fechas, la determinamos
mediante la fórmula 8.

41
8)
Fórmula
(
B
B
-
A
anterior
Valor
anterior
Valor
-
actual
Valor
v
i =
=
38.241%
v
i
sea
o
0.382415,
9.44
3.61
9.44
9.44
-
13.05
v
i =
=
=
=
De esta manera el porcentaje de devaluación oficial o de variación del córdoba respecto al
dólar el período de junio 1997 a diciembre del 2000 fue de 38.2415%.
En el mercado financiero (venta de dólares de los bancos) la devaluación promedio en el
mismo período fue la siguiente: B=C$9.46, A=C$13.25
0.0634%
4
v
i
sea
o
0.400634,
9.46
3.79
9.46
9.46
-
13.25
v
i =
=
=
=
Con la fórmula 8 podemos calcular la devaluación de forma diaria, mensual, trimestral,
semestral o entre dos fechas de interés para nuestros análisis; solamente debemos conocer
el valor representativo anterior y actual del tipo de cambio.
El valor futuro F de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad acumulada al final de
cierto período de tiempo que incluye principal más los intereses. Este valor F se calcula en
cualquier fecha antes o en la fecha de vencimiento. Observe el gráfico 10.
F
0 n
Gráfico 10
P
Si el tiempo n es medido en años, meses o días el valor presente (principal) de una cantidad de
dinero es denominado P, su valor después de cierto período de tiempo y a una tasa de interés i
está dado por:
( )
[ ] 9)
(Fórmula
n
i
1
P
n
i
P
P
F +
=
+
=
Lo anterior indica que el valor presente P más los intereses I que devenga en un periodo
determinado se llama valor futuro F.
Ejemplo 9:
El Sr. Santos, deposita en un banco $130,000 en certificados de depósito a término (CDT) a un
interés del 15% y 6 meses de plazo.
Determinar:
a. Los intereses acumulados
b. El valor futuro de los certificados. Observemos el gráfico 11.
Datos: P=$130,000, n=6 meses, i=15%, I=?, F=?

42
Solución: ( ) 9,750.00
12
6
0.15
130,000
n
i
P
I =








=
=
139,750.00
12
6
0.15
1
130,000
F =














+
=
F = ?
0 6 Meses
Gráfico 11
P=130,000
Ejemplo 10:
Determinemos el valor final que una persona debe pagar para saldar una deuda de $12,500 a
plazo de 80 días a un interés del 21%
Datos: P=12,500, n=80/360 año, i=21%
Solución: Aplicando la fórmula 9 tenemos; 13,083.33
360
80
0.21
1
12,500
F =














+
=
El valor presente o principal P de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad al inicio
de cierto período de tiempo, no contiene intereses. Este valor P lo podemos calcular en
cualquier fecha después o en la fecha de inicio de la operación financiera. Veamos el gráfico
12.
De acuerdo a la fórmula 9, donde F=P[1+i(n)], despejando P obtenemos el valor presente el
cual está dado por:
( )
[ ]
10)
(Fórmula
n
i
1
F
P
+
=
F
0 n
Gráfico 12
P

43
Ejemplo 11:
Determinemos el valor inicial que recibió el Sr. Pedro Rivas en concepto de un préstamo, si al
final del plazo de 90 días pagó principal e intereses por una cantidad de $53,125 a una tasa de
interés del 25%? Observemos el gráfico 13.
Datos: F=$53,125, n=90 días, i=25%, P=?
P=?
90 días
Gráfico 13
F=53,125
Aplicando la fórmula 10 obtenemos la solución de la siguiente forma:
Solución 50,000
(0.941176)
53,125
360
90
0.25
1
53,125
P =
=














+
=
Entonces, el Sr. Rivas recibió la cantidad de $50,000 por el préstamo. A este valor le llamamos
principal prestado y a la cantidad pagada al final del plazo de $53,125 se le denomina monto del
préstamo.
Ejemplo 12:
Un inversionista tendrá que pagar dentro de 8 meses la cantidad de $300,000. Si el banco
acreedor aplicó una tasa de descuento simple racional del 15%, calculemos el valor líquido que
recibió del banco?
Datos: F=$300,000, n=8 meses, i=15%, P=?
Solución: El valor líquido es P, donde: P=F-I=F-D (D=I); D: descuento I: interés
Por la fórmula 10 tenemos: 272,727.27
12
8
0.15
1
300,000
P =














+
=
Del cálculo anterior deducimos que el descuento simple racional es la diferencia entre el valor
futuro $300,000 y el valor presente $272,727.27, o sea; $27,272.73
5. Descuentos
En esta sección analizaremos dos tipos de descuentos que son los más importantes con interés
simple. Posteriormente abordaremos otros descuentos con interés compuesto.
a. Descuento bancario
“Al descuento bancario comúnmente se le denomina descuento (a secas) y consiste en
cobrar intereses por anticipado calculado sobre el valor final del documento” (Guillermo B.
Currea, “Las Matemáticas Financieras y los Sistemas” p. 7).

44
La diferencia entre el valor futuro o final F a pagar y el valor presente P, es el descuento D.
Esencialmente consiste en cobrar intereses por adelantado y se calcula con base al valor
final del documento en la fecha de vencimiento. En algunos casos el valor final es el valor
facial de los documentos que se descuentan, así:
D=F–P, pero I=F–P, entonces D=I
D=Fdn (Fórmula 11)
donde:
d: tasa de descuento
n: plazo del descuento
El descuento bancario es una práctica de los bancos y también se emplea en las
transacciones bursátiles con documento o títulos - valores que se negocian en el mercado de
valores, los cuales se colocan por un valor más bajo que el señalado en el título - valor. Una
característica de este cálculo es el tiempo de descuento, que a lo sumo es un año de plazo.
En otras palabras, lo que se hace es un descuento sobre el valor nominal del documento
(pagaré, letra de cambio, certificado etc.). La tasa de descuento es menor que la tasa de
rentabilidad de la inversión. Esto ocurre debido al hecho de anticipar el pago de intereses
Ejemplo 13:
El señor Aquilino Ponderado invierte en un Certificado Negociable de Inversión que emite el
Banco Central de Nicaragua; el valor facial es de $10,000.00, tasa de descuento 12.50% a
plazo de 270 días. Calculemos:
1) El valor del descuento
2) El valor de la inversión
3) La tasa de rentabilidad del señor Ponderado
Datos: F=$10,000, d=12.50%, n=270 días, 1) D=?, 2) P=?, 3) r=?
Solución
1) Por la fórmula 11 podemos calcular el descuento:
( ) 937.50
360
270
0.125
10,000
n
d
F
D =








=
=
2) El valor de la inversión P es el valor facial F menos el descuento D, esto es:
9,062.50
937.50
10,000
D
F
P =
−
=
−
=
3) La tasa de rentabilidad a interés simple es:
anual
ad
rentabilid
13.7931%
270
360
9,062.50
937.50
DV
360
INV
G
r =
















=
















=
De esta manera, el señor Ponderado obtiene una tasa de rendimiento del 13.7931%
anualizada, ligeramente superior a la tasa de descuento aplicada en la colocación del
certificado. El esquema de la inversión la presentamos en el gráfico 14.

45
F =10,000
270 días
Gráfico 14
P=9,062.50
Ejemplo 14:
El Banco Sur le descuenta una letra de cambio a una firma de Contadores Pública; el valor
nominal es de $50,000 a plazo de 140 días, con tasa de descuento de 17%. Determinemos:
1) El valor del descuento
2) El valor que recibe la firma de contadores
3) La rentabilidad del banco.
Datos: F=$50,000, d=17%, n=150 días, 1) D=?, 2) P=?, 3) r=?
Solución:
1) Nuevamente, por la fórmula 11 calculamos el descuento,
( ) 3,541.67
360
150
0.17
50,000
n
d
F
D =








=
=
2) El valor de la inversión en este caso es; 46,458.33
3,541.67
50,000
D
F
P =
−
=
−
=
3) La tasa de rentabilidad del banco;
anual
ad
rentabilid
18.2960%
150
360
46,458.33
3,541.67
DV
360
INV
G
r =
















=
















=
b. Descuento racional
El descuento simple racional es de mucho menor uso que el bancario, posiblemente porque
la cantidad que se descuenta es menor. Se considera que el interés que se gana con el
descuento racional se paga al vencimiento. Debido a esto, el descuento simple se define
como la diferencia entre el valor futuro F de una cantidad Presente P, es decir; D = F – P.
Donde el valor P a diferencia del descuento bancario se calcula mediante la fórmula 10
reemplazando la tasa de interés i por la tasa de descuento d. El cálculo de descuento simple
racional lo realizamos en el ejemplo 12, el cual lo sintetizamos en la fórmula 12
( )
[ ]
)
2
1
(Fórmula
n
d
1
F
F
P
F
D
+
−
=
−
=
Ejemplo 15:
Resolvamos nuevamente el problema del ejemplo 13 utilizando el descuento simple racional.
Datos: F=$10,000, d=12.50%, n=270 días, 1) D=?, 2) P=?, 3) r=?
Solución: En este caso primero calculamos, el valor presente P mediante la fórmula 10, o
sea:

46
9,142.86
360
270
0.125
1
10,000
P =














+
=
El valor del descuento D es; 857.14
9,142.86
10,000
P
F
D =
−
=
−
=
La rentabilidad en este caso coincide con la tasa de descuento
anual
ad
rentabilid
12.50%
270
360
9,142.86
857.14
r =
















=
También el descuento D lo podemos calcular directamente haciendo uso de la fórmula 12 de
la siguiente manera:
857.14
9,142.86
10,000
360
270
0.125
1
10,000
10,000
D =
−
=














+
−
=
Si comparamos ambos sistemas de descuentos, notaremos que no es el mismo resultado.
Por tanto, el descuento bancario no es lo mismo que el descuento simple; lo que equivale a
decir, que en tiempos iguales y a una misma tasa, el valor actual P con descuento racional
es siempre mayor, que el valor actual P con descuento bancario. La diferencia se
fundamenta en que en el descuento bancario, el interés se paga por anticipado y en el
descuento simple racional, el interés se paga de forma vencida.
6. Pagos parciales
En las actividades comerciales, es frecuente la costumbre de utilizar obligaciones financieras en
las que se aceptan pagos parciales o abonos a buena cuenta, dentro del plazo de la obligación,
en lugar de un solo pago en la fecha de vencimiento.
En la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intereses, se supone
que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, continúa en el proceso
financiero dentro de un mismo juego de intereses, hasta la extinción de la obligación.
En este tipo de obligaciones se presentan varias alternativas, el análisis y cálculo de los valores
en juego deberán hacerse de acuerdo con las condiciones del comercio y la banca local según
el país. Para cancelación de obligaciones con pagos parciales utilizaremos dos métodos muy
usuales, tales como la Regla Americana y Regla Comercial.
a. Regla americana
“En esta regla conocida como United State Rule o regla americana, el interés se calcula
sobre el saldo no pagado o insoluto de la deuda cada vez que se efectúa un pago parcial. Si
el pago es menor que el interés vencido, el pago se lleva sin interés hasta que se hagan
otros pagos parciales cuyo monto exceda el interés vencido a la fecha del último de dichos
pagos parciales” (Ayres, Frank Jr. "Matemáticas Financieras", p. 62)
La regla funciona mediante un proceso iterativo, en el cual se indica que cada vez que se
hace un pago debe calcularse el monto de la deuda hasta la fecha del pago y restar a ese
monto el valor del pago; así, se obtiene el valor del saldo insoluto en esa fecha. Este proceso
se repite hasta calcular el saldo en la fecha de vencimiento, que será igual al último pago
parcial y que saldará totalmente la deuda.

47
Algoritmo de la Regla Americana
= Saldo inicial de la deuda
+ Interés devengado a la fecha de pago
= Monto de la deuda a la fecha de pago
- Valor del pago parcial
= Saldo insoluto
Este procedimiento se repite hasta concluir con el saldo igual a cero.
La incógnita del procedimiento es hallar el valor del último pago parcial en la fecha de
vencimiento y que liquida totalmente la deuda o la obligación.
Ejemplo 16:
La empresa ACB debe pagar una deuda que tiene pendiente con el Banco Neptuno, a
continuación detallamos las condiciones de la deuda en la tabla 6.
Tabla 6
Concepto Valor Fecha Días
Deuda $25,000 Inicio 02 de agosto de 2001 0
Deuda $25,000 Finaliza 27 de junio de 2002 329
Interés corriente 24%
Primer pago parcial $7,000 15 de octubre de 2001 74
Segundo pago parcial $7,100 12 de diciembre de 2001 58
Tercer pago parcial $7,300 20 de marzo de 2002 98
Cuarto pago parcial $ ? 27 de junio de 2002 99
Interés por mora 20%
Solución
Para que podamos hallar el valor del cuarto pago parcial es necesario seguir el algoritmo que
establece la regla americana, teniendo en cuenta que los intereses a calcular en la fecha de
cada pago, los realizaremos con la fórmula 1 de cálculo de interés simple con el factor de
año comercial. En el gráfico 15 ilustramos la forma en se cancela la deuda especificando los
pagos parciales y la fecha de los mismos. En la tabla 7 presentamos el algoritmo de la regla
americana.
Tabla 7
Signo Concepto Fecha Valor
= Valor inicial de la deuda 02 – 08 – 01 $25,000.00
+ Intereses del primer pago 15 – 10 – 01 $ 1,233.33
= Monto de la deuda primer pago 15 – 10 – 01 $26,233.33
- Primer pago parcial 15 – 10 – 01 $ 7,000.00
= Saldo después del pago 15 – 10 – 01 $19,233.33
+ Intereses del segundo pago 12 – 12 – 01 $ 743.69
= Monto de la deuda segundo pago 12 – 12 – 01 $ 19,977.02
- Segundo pago parcial 12 – 12 – 01 $ 7,100.00
= Saldo después del pago 12 – 12 – 01 $ 12,877.02
+ Intereses del tercer pago 20 – 03 – 02 $ 841.30
= Monto de la deuda tercer pago 20 – 03 – 02 $ 13,718.32
- Tercer pago parcial 20 – 03 – 02 $ 7,300.00
= Saldo después del pago 20 – 03 – 02 $ 6,418.32
+ Intereses del cuarto pago 27 – 06 – 02 $ 423.61
= Monto de la deuda cuarto pago 27 – 06 – 02 $ 6,841.93
- Cuarto pago parcial 27 – 06 – 02 $ 6,841.93
= Saldo en la fecha de vencimiento 27 – 06 – 02 $ 0000.00

48
El uso de la regla de los saldos insolutos le permite al prestamista, ganar intereses sobre los
intereses capitalizados, en cada fecha de los pagos parciales. Por ejemplo, si un deudor de
una obligación con intereses del 24% a un año de plazo, hace pagos mensuales con esta
regla, se le cobra sobre saldos el 2% mensual con capitalización mensual, es decir intereses
compuestos y no simples.
P = 25,000
$7,000 $7,100 $7,300 x=?
02-08-01 15-10-01 12-12-01 20-03-02 27-06-02
Gráfico 15
Tabla de pago
Una forma diferente de expresar los resultados del pago de una obligación financiera es, a
través de la construcción de la tabla de amortización (no periódica) de la deuda,
considerando que todo pago o cuota Ck contiene dos elementos importantes tales como: los
intereses devengados o vencidos Ik y la amortización al principal Ak el cual disminuye el
saldo insoluto, donde k es un contador y representa el k-ésimo pago parcial con 1 ≤ k ≤ N;
así, la cuota y la amortización se expresan en las fórmulas 13 y 14.
)
3
1
(Fórmula
k
I
k
A
k
C +
=
4)
1
(Fórmula
k
I
k
C
k
A −
=
La amortización de una obligación financiera generalmente se presenta en una tabla de
pago, siendo ésta la forma más práctica ya que facilita tanto al deudor como al acreedor
observar la disminución de la deuda periodo a periodo. La tabla contiene seis columnas
básicas y suministra la información necesaria para los análisis pertinentes.
La tabla 8 tiene seis columnas básicas y muestra los resultados de la amortización de la
deuda en cada periodo de pago del ejemplo 16.
Tabla 8
No. pago Fecha Amortización Intereses Valor del pago Saldo
No. AK IK CK SK
0 02–08–01 $ 0000000 $ 0000000 $ 0000000 $25,000.00
1 15–10–01 $ 5,766.67 $ 1,233.33 $ 7,000.00 $19,233.33
2 12–12–01 $ 6,356.31 $ 743.69 $ 7,100.00 $12,877.02
3 20–03–02 $ 6,458.70 $ 841.30 $ 7,300.00 $ 6,418.32
4 27–06–02 $ 6,418.32 $ 423.61 $ 6,841.93 $ 0000000
Total $25,000.00 $ 3,241.93 $28,241.93 Pagado
En la tabla 8 podemos observar que el cuarto pago es la suma del tercer saldo más los
intereses que genera dicho saldo durante el último periodo.

49
Ejemplo 17:
Supongamos en el ejemplo 16 que el deudor se retrasó 23 días en cancelar el tercer pago
parcial de $7,300; los intereses por mora se cobran al 20% anual. ¿Qué valor deberá pagar
la empresa para ponerse al corriente?
Solución: Todo pago o cuota por lo general está compuesto según la fórmula 13 por
intereses y amortización al principal. En este caso se trata del pago 3, por tanto tenemos:
Ck=Ak + Ik =7,300, o sea: C3 =A3 +I3 =6,458.70+841.30
En los ejemplos anteriores sobre cálculo de interés por mora, pudimos entender que los
intereses por mora se cobran con base al principal vencido (Ak=6,458.70) del pago retrasado,
por la fórmula 6 los intereses moratorios son:
( ) 3
82.5
360
23
0.20
6,458.70
mo
I =






=
Debido que el pago tres se retrasa consecuentemente el saldo dos de $12,877.02 también
se retrasa; por eso, este último saldo lo tomamos en cuenta para el ajuste de interés
corriente. Así, por la fórmula 7 tenemos:
( ) 5
197.4
360
23
0.24
12,877.02
ca
I =






=
El total a pagar con mora lo detallamos a continuación:
$6,458.70 principal de la cuota tres
$ 841.30 intereses corrientes de la cuota tres
$ 82.53 intereses por mora durante 23 días
$ 197.45 ajuste de intereses corrientes por 23 días
$7,579.98 Pago total
b. Regla comercial
Cuando las obligaciones financieras son cumplidas a través de la regla comercial, “el interés
se calcula sobre la deuda original y sobre cada pago parcial a la fecha de vencimiento”
(Frank Ayres Jr, “Matemáticas Financieras” p 55). El valor del último pago parcial en la fecha
de vencimiento lo determinamos a través de la diferencia entre el monto de la deuda y suma
de todos los demás pagos parciales con sus intereses. La estrategia de solución de este
método es la construcción de una ecuación de valor, haciendo que la fecha focal sea la
fecha de vencimiento.
Ejemplo 18:
Una de deuda de $30,000 a 12 meses comerciales de plazo y con interés del 22%, se
liquidará a través de los pagos parciales $10,000 en 4 meses, $12,000 en 7 meses.
Hallemos el saldo en la fecha de vencimiento el cual constituye el tercer pago parcial.
Solución: La representación gráfica de la solución es el gráfico 16. Por la fórmula 9
calcularemos el monto a interés simple de $30,000 a 12 meses de plazo esto es:
36,600
12
12
0.22
1
30,000
F =












+
=

50
Calculemos el interés simple que genera cada pago parcial a la fecha de vencimiento. Para
el pago de $10,000 el tiempo es 12-4=8 meses y para el pago de $12,000 es 12-7=5. Así, el
interés de cada pago es:
( ) 1,466.67
12
8
0.22
10,000
I =






=
( ) 1,100.00
12
5
0.22
12,000
I =






=
Para hallar la diferencia establecemos lo siguiente:
Deuda original $30,000.00 Primer pago parcial $10,000.00
Intereses $ 6,600.00 Intereses $ 1,466.67
Segundo pago parcial $12,000.00
Monto $36,600.00 Intereses $ 1,100.00
Suma de los pagos $24,566.67
El saldo en la fecha de vencimiento y tercer pago parcial será entonces:
X=$36,000.00–$24,566.67=$12,033.33
30,000
Fecha de vencimiento
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses
10,000 12,000 X=?
Gráfico 16
Ejemplo 19:
Un deudor debe pagar una deuda $15,000 a 6 meses comerciales de plazo y con interés del
25%. La deuda se liquidará a través de dos pagos parciales uno $9,000 en 4 meses y el
saldo en el vencimiento. Por la regla comercial hallemos el saldo en la fecha de vencimiento.
Solución Para obtener el monto, calculemos el interés simple de $15,000 a 6 meses de
plazo, ( ) 0
1,875.0
12
6
0.25
15,000
I =






=
El interés simple que gana el pago parcial de $9,000 a la fecha de vencimiento, con el tiempo
de 6–4=2 meses es, ( ) 375.00
12
2
0.25
9,000
I =






=
La diferencia entre el monto y la suma de los pagos es la siguiente:
Deuda original $15,000.00 Primer pago parcial $ 9,000.00
Intereses $ 1,875.00 Intereses $ 375.00
Monto $16,875.00 Suma de los pagos $ 9,375.00
El saldo en la fecha de vencimiento que constituye el segundo pago parcial es;
X=$16,875.00–$9,375.00=$7,500.00

51
En las operaciones financieras a menudo se nos presentan problemas relacionados con las
inversiones equivalentes, es decir; que en tiempo y valor tienen el mismo significado
económico; esta situación la podemos expresar a través de las ecuaciones de valor o
financieras.
“Una ecuación de valor es una igualdad de valores, que se ubican en una fecha que se escoge
para la equivalencia” (Guillermo Baca Currea “Las Matemáticas Financieras y los Sistemas” p.
67). A esta fecha se le llama fecha focal que en el diagrama del perfil de flujos de caja lo
denotaremos mediante una línea punteada vertical. Todas las cantidades, ya sean deudas o
pagos deben ser trasladadas a la fecha focal con una tasa de interés que se denomina tasa de
rendimiento.
Cuando utilizamos el método de interés simple para formar la ecuación, la fecha focal debe ser
un dato del problema, debido a que el valor de las cantidades varían si las fechas son
diferentes. Con el método de interés compuesto (esto lo veremos más adelante), la fecha focal
puede ser cualquier fecha y los resultados no cambian.
Las ecuaciones de valor tienen su importancia para el cálculo de pagos equivalentes, en las
reestructuraciones de deudas vencidas o por vencer; donde el proceso o modalidad de pago
inicialmente establecido entre el prestamista y prestatario, se ha visto o se verá interrumpido por
la incidencia de variables externas al proceso de repago de la deuda.
A menudo se nos presentan dificultades en la formulación de la ecuación de valor; la siguiente
metodología nos podría ser útil para el planteamiento de dicha ecuación.
a. Dibujemos el diagrama del perfil de flujos y calculemos los montos de las deudas si no están dados.
b. Traslademos los montos a la fecha focal con la tasa de rendimiento y efectuemos la suma. Ubiquemos
este procedimiento sobre la línea del diagrama del perfil de flujos.
c. Traslademos los pagos a la fecha focal con la tasa de rendimiento, y calculemos la suma. Ubiquemos
este procedimiento debajo de la línea del diagrama del perfil de flujos.
d. Igualemos los resultados de la suma en (2) con la en (3) y despejemos la incógnita X que soluciona el
problema de equivalencia financiera.
Para desarrollar los pasos 2 y 3 de la metodología señalada, podemos emplear las fórmulas 9
de valor futuro y 10 de valor presente. Si observamos el gráfico 17 vemos que la cantidad G
está a la izquierda de la fecha focal, el traslado de dicha cantidad a la fecha focal es con la
fórmula 9.
La cantidad Q está a la derecha de la fecha focal, entonces el traslado a la fecha focal es con la
fórmula 10.
Cantidad G Fórmula 9
Fecha focal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses
Gráfico 17
Fórmula 10 Cantidad Q

52
Ejemplo 20:
La empresa de Soldadores de Estructuras Metálicas S.A. “SEMSA” tiene tres deudas con el
banco de Inversiones del Pacífico las cuales se detallan:
a. $25,000 a plazo de 4 meses, al 18% de interés y que venció hace 3 meses.
b. $28,500 a plazo de 6 meses, al 19% de interés y que vence dentro de 4 meses.
c. $22,450.80 es un monto que vence dentro de 8 meses.
Debido a problemas de iliquidez de la empresa, ésta ha acordado con la gerencia del banco, el
siguiente plan de pagos equivalentes los cuales reestructuran las deudas anteriores.
Acuerdo: la empresa se compromete a lo siguiente:
a. Efectuar un pago el día de hoy por $10,000.
b. El saldo lo pagará en 3 cuotas iguales a efectuarse dentro de 6, 12 y 15 meses
respectivamente.
Por su parte, el banco no cobrará intereses por mora y utilizará una tasa de rendimiento del
20% para el cálculo de los pagos y se acuerda como fecha focal dentro de 9 meses.
Solución: Siguiendo la metodología descrita procedemos:
1. Calculemos los montos de cada una de las deudas a su fecha de vencimiento, gráfico 18
meses
tres
hace
venció
26,500.00
12
4
0.18
1
25,000
F
.
a =














+
=
meses
4
de
dentro
e
c
ven
31,207.50
12
6
0.19
1
28,500
F
.
b =














+
=
meses
8
de
dentro
e
c
ven
22,450.80
F
.
c =
26,500.00 31,207.50 22,450.80
Hoy
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 meses
Gráfico 18
2. Traslademos los montos a la fecha focal dentro de 9 meses, con la tasa de rendimiento. La
suma de los montos (88,433.11) la señalamos sobre gráfico 19.
88,433.11
22,824.98
33,808.13
1,800
3
12
1
0.20
1
22,450.80
12
5
0.20
1
31,207.50
12
12
0.20
1
26,500
=
+
+
=












+
+












+
+












+
10,000 X X X
26,500 31,207.50 22,450.80 Fecha focal
H oy
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G ráfico 19
88,433.11
11,500 + X(2.911471)

53
3. Traslademos los pagos a la fecha focal dentro de 9 meses, con la tasa de rendimiento y
determinemos la suma, cantidad debajo del gráfico 19.
( ) ( ) ( ) ( )
2.911471
X
11,500
0.909090
X
0.952381
X
1.05
X
11,500
12
6
0.20
1
1
X
12
3
0.20
1
1
X
12
3
0.20
1
X
12
9
0.20
1
10,000
+
=
+
+
+
=


















+
+


















+
+












+
+












+
4. Igualando los resultados de 2 y 3 (valores en círculos) y despejando la incógnita X,
obtenemos:
88,433.11 =11,500 + X(2.911471) 26,424.14
2.911471
76,933.11
2.911471
11,500
88,433.11
X =
=
−
=
Así, cada pago será de $26,424.14 dentro de 6, 12 y 15 meses con los cuales se cancelan
todas las deudas con el banco.
Tabla para hallar el número exacto de días entre dos fechas
En la tabla 9 podemos hallar fácilmente el número exacto de días que abarca cualquier periodo
de tiempo dentro de un año.
Tabla 9
DESDE CUALQUIER
FECHA
AL MISMO DIA DE LA PROXIMA FECHA
MESES ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC
ENERO 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334
FEBRERO 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303
MARZO 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275
ABRIL 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244
MAYO 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214
JUNIO 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183
JULIO 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153
AGOSTO 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122
SEPTIEMBRE 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91
0CTUBRE 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61
NOVIEMBRE 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30
DICIEMBRE 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365
Reglas para usar la tabla 9:
1. Si queremos obtener el número exacto de días comprendidos entre cualquier fecha de un
mes y la misma de cualquier otro mes, hallamos el número de la tabla situado en la columna
encabezada por el mes terminal y en la línea correspondiente al nombre del mes inicial.
Ejemplo:
Hallemos el número de días desde: El 15 de marzo al 15 de octubre = 214 días
2. Cuando el número del día del mes terminal es mayor que el número del día del mes inicial,
hallemos en la tabla el número que corresponde al número de días comprendidos entre las
mismas fechas de los dos meses como en el caso (1), y sumémosle la diferencia entre el
número del día del mes terminal y el del mes inicial.
Ejemplo:
Determinemos el número de días desde: El 8 de enero al 20 de agosto =212+12=224 días

54
3. Cuando el número del día del mes inicial es mayor que el del día del mes terminal, hallamos
el número de la tabla que corresponde al número de días comprendidos entre las mismas
fechas de los dos meses, como en el caso (1), y retémosle la diferencia entre el número del
día del mes inicial y el mes terminal.
Ejemplo:
Hallemos el número de días desde: El 20 de noviembre al 10 de abril =151–10=141 días.
Sintetizando tenemos lo siguiente:
Regla Americana: El interés se acumula sobre el saldo pagado o insoluto de la deuda cadavez quese efectúa un pago parcial.
Saldo inicial de la deuda + Interés devengado a lafecha de pago = Monto de la deuda a la fecha de pago - Valor del pago parcial =
Saldo insoluto
Pagos parciales
Regla comercial: El interés se calculasobre la deuda original y sobrecada pago parcial a la fecha de vencimiento.
Cantidad al inicio de cierto periodo de tiempo, no contiene intereses.
Valor presente de
una suma de dinero
D=F–P; I=F–P; D=I D=Fdn
Descuento bancario: Cobra intereses por anticipado, sobre el valor final del documento (pagaré, letra decambio, certificado, etc.)
Descuentos
Descuento racional: Diferencia entre el valor futuro F de una cantidad presente P
Ajuste de interés corriente: Aplicado al último saldo de la deuda en el
período retrasado.
Tasa de Variación monetaria (devaluación): Hace cambiar el valor de
una moneda respecto a otra que sirve de patrón.
Tasa de interés por mora: Porcentaje de recargo por incumplir el pago
en la fecha establecida.
Tasa de rentabilidad a interés simple: Porcentaje de utilidad obtenido o
que se espera obtener de una determinada inversión.
Tasa de interés pasiva: Pagada por bancos e instituciones financieras
a los ahorrantes al captar dinero.
Igualdad de valores, que se ubican en una fecha escogida para la equivalencia. La ecuación de valor permite calcular pagos
equivalentes, en las reestructuraciones de deudas vencidas o por vencer; donde el proceso de pago se ha visto o se verá
interrumpido por incidencia de variables externas al proceso de repago de la deuda.
Ecuaciones de
Valor
Cantidad acumulada al final de cierto período de tiempo. Incluye principal más intereses.
Valor futuro de una
suma de dinero
Diferentes sumas de dinero, equivalentes si tienen el mismo valor económico en el tiempo, utilizando conjuntamente una tasa de
interés.
Equivalencias
Financieras
Tasa de interés activa: Cobrada por banco e instituciones financieras al
otorgar prestamos a personas naturales y jurídicas para financiar
actividades económicas.
Razón del rédito devengado respecto al capital inicial
invertido.
Tasa de Interés
P: Principal
n: Número de días exactos
Calculado sobre la base de 365 días.
Interés Simple
Exacto
n: Número de días efectivos
Calculado sobre la base del año comercial de 360 días
y cada mes de 30 días. También conocido como Interés
Bancario
Interés Simple
Comercial
I: Interés acumulado o devengado P: Principal
i: Tasa de interés del periodo N: Plazo o número de periodos
Cálculo financierocon el que el capital invertido no sufre
variaciones en el tiempo que dura la transacción. La
tasa de interés se aplica únicamente al principal inicial
en base al tiempo estipulado.
Interés Simple
Formula
Conceptosrelacionados
Concepto
Pin
I =






360
n






=
5
36
n
Pi
I






=
INV
G
r
( )( )
m
t
m
i
cv
P
mo
I =
( )( )
m
t
c
i
a
S
ca
I =
anterior
Valor
anterior
Valor
-
actual
Valor
v
i =
( )
[ ]
n
i
1
P
n
i
P
P
F +
=
+
=
( )
[ ]
n
i
1
F
P
+
=
( )
[ ]
n
d
1
F
F
P
F
D
+
−
=
−
=
k
I
k
A
k
C +
=
k
I
k
C
k
A −
=
Regla Americana: El interés se acumula sobre el saldo pagado o insoluto de la deuda cadavez quese efectúa un pago parcial.
Saldo inicial de la deuda + Interés devengado a lafecha de pago = Monto de la deuda a la fecha de pago - Valor del pago parcial =
Saldo insoluto
Pagos parciales
Regla comercial: El interés se calculasobre la deuda original y sobrecada pago parcial a la fecha de vencimiento.
Cantidad al inicio de cierto periodo de tiempo, no contiene intereses.
Valor presente de
una suma de dinero
D=F–P; I=F–P; D=I D=Fdn
Descuento bancario: Cobra intereses por anticipado, sobre el valor final del documento (pagaré, letra decambio, certificado, etc.)
Descuentos
Descuento racional: Diferencia entre el valor futuro F de una cantidad presente P
Ajuste de interés corriente: Aplicado al último saldo de la deuda en el
período retrasado.
Tasa de Variación monetaria (devaluación): Hace cambiar el valor de
una moneda respecto a otra que sirve de patrón.
Tasa de interés por mora: Porcentaje de recargo por incumplir el pago
en la fecha establecida.
Tasa de rentabilidad a interés simple: Porcentaje de utilidad obtenido o
que se espera obtener de una determinada inversión.
Tasa de interés pasiva: Pagada por bancos e instituciones financieras
a los ahorrantes al captar dinero.
Igualdad de valores, que se ubican en una fecha escogida para la equivalencia. La ecuación de valor permite calcular pagos
equivalentes, en las reestructuraciones de deudas vencidas o por vencer; donde el proceso de pago se ha visto o se verá
interrumpido por incidencia de variables externas al proceso de repago de la deuda.
Ecuaciones de
Valor
Cantidad acumulada al final de cierto período de tiempo. Incluye principal más intereses.
Valor futuro de una
suma de dinero
Diferentes sumas de dinero, equivalentes si tienen el mismo valor económico en el tiempo, utilizando conjuntamente una tasa de
interés.
Equivalencias
Financieras
Tasa de interés activa: Cobrada por banco e instituciones financieras al
otorgar prestamos a personas naturales y jurídicas para financiar
actividades económicas.
Razón del rédito devengado respecto al capital inicial
invertido.
Tasa de Interés
P: Principal
n: Número de días exactos
Calculado sobre la base de 365 días.
Interés Simple
Exacto
n: Número de días efectivos
Calculado sobre la base del año comercial de 360 días
y cada mes de 30 días. También conocido como Interés
Bancario
Interés Simple
Comercial
I: Interés acumulado o devengado P: Principal
i: Tasa de interés del periodo N: Plazo o número de periodos
Cálculo financierocon el que el capital invertido no sufre
variaciones en el tiempo que dura la transacción. La
tasa de interés se aplica únicamente al principal inicial
en base al tiempo estipulado.
Interés Simple
Formula
Conceptosrelacionados
Concepto
Pin
I =






360
n






=
5
36
n
Pi
I






=
INV
G
r
( )( )
m
t
m
i
cv
P
mo
I =
( )( )
m
t
c
i
a
S
ca
I =
anterior
Valor
anterior
Valor
-
actual
Valor
v
i =
( )
[ ]
n
i
1
P
n
i
P
P
F +
=
+
=
( )
[ ]
n
i
1
F
P
+
=
( )
[ ]
n
d
1
F
F
P
F
D
+
−
=
−
=
k
I
k
A
k
C +
=
k
I
k
C
k
A −
=

55
Actividad de autoaprendizaje no. 2
1. Calculo el interés simple comercial de:$3,100 durante 125 días al 9% semestral.
a. $2,500 desde el 8 de septiembre al 12 de febrero del siguiente año al 4% trimestral.
b. $6,640 durante 9 meses comerciales y 25 día al 3.1% bimensual.
c. $1,600 desde el 13 de enero al 20 de octubre del mismo año bisiesto, al 0.94% mensual.
d. $4,000 durante 8 meses al 0.88% mensual.
e. $1,350 durante 16 semanas al 25%.
2. En el problema 1 únicamente cambiaré la tasa de interés y calcularé el monto.
a. 15%
. b. 1.2% mensual
c. 7.1% semestral
d. 2.5% bimensual
e. 0.005% semanal
f. 3.5 trimestral.
3. Una inversión de $8,000 genera intereses pagaderos al final de cada mes comerciales por la cantidad de
$140 durante 18 meses. Calculo la tasa de rendimiento anual sobre la inversión.
4. Una persona realiza un depósito el día 20 de marzo por $500 y el día 18 de noviembre del mismo año le
pagaron intereses por $42.19. Determino la tasa de rentabilidad anual.
5. El 21 de junio se depositan $4,250 en un banco que reditúa el 8.3% ¿cuánto se acumula el 3 de
noviembre del mismo año?
6. ¿En qué tiempo un capital de $5,000 produce $1,995 al 9% semestral de interés simple?
7. ¿En qué tiempo un capital de $2,500 alcanza un monto de $2,811.11 al 4% trimestral de interés simple?
8. ¿En qué tiempo un capital de $3,000 produce $72 al 2% bimensual de interés simple?
9. ¿En qué tiempo un capital de $2,800 alcanza un monto de $4,643.33 al 20% de interés simple?
10.El monto de un préstamo es $15,000 que vence dentro de 12 meses a una tasa de 16%. Calculo su valor
considerando cada caso de manera independiente:
a. El día de hoy.
b. Dentro de un año y 26 días.
c. Dentro de 8 meses.
d. Dentro 5 meses y 18 días.
e. Dentro de 15 meses.
11.Calculo la tasa de interés anual a la cual el monto de $10,000 es $11,483.33 en 10 meses.
12.Un empresa adquiere un pagaré de valor nominal $18,000 en el mercado de valores pactado a 9 meses
comerciales y un interés del 18.5%. Determino:
a. La ganancia del señor Ales
b. Asumo que el señor Ales decide vender el documento a los 140 días,
c. ¿cuánto recibirá si la tasa en el mercado varía al 20% para esta clase de títulos?
d. ¿Qué tasa de rendimiento obtendría sobre la inversión durante los 140 días?
13.Una persona realiza una transacción con un Banco y le queda debiendo $12,000 con vencimiento en
6 meses y $9,400 con vencimiento en 8 meses. Calculo el valor de los pagos para saldar las deudas,
si la nueva transacción gana intereses del 20%:
a. Se cancelan mediante un pago único inmediato.
b. Se cancelan mediante dos pagos iguales, el primero dentro de 6 meses y el segundo dentro de un
año. Fecha focal dentro un año.
c. Se cancelan mediante 3 pagos iguales, el primero dentro de 6 meses, el segundo dentro de 9 meses
y el tercero dentro de un año. Fecha focal dentro de un año.
d. Se cancelan mediante pago único dentro de 10 meses.
14.La señora Martínez desea comprar una casa el día de hoy y se le presentan dos ofertas: (1) $10,000
iniciales y $8,000 después de 9 meses, (2) $8,000 iniciales y $10,000 después de un año. Si la tasa de
interés es del 20% qué oferta deberá seleccionar?
15.La señora Tercero adquiere un terreno valorado en $8,000 mediante un pago de contado de $2,000.
Conviene en pagar el 25% de interés sobre el saldo. Si paga $2,500 tres meses después de la compra,
$2,200 seis meses más tarde. ¿Cuál será el importe del pago que tendrá que hacer 1 año después de
iniciada la transacción para liquidar totalmente el saldo? Uso el método de Regla Americana.

56
16.Calculo el saldo en la fecha de vencimiento de un documento de $10,000 a un año de plazo al 30% si es
reducido mediante dos pagos iguales de $3,500 cada uno, efectuados 5 meses y 8 meses antes de la
fecha de vencimiento. Uso el método de la Regla Americana.
17.El Sr. Marcelo Alvarado da de cuota inicial $2,500 el día de hoy, por la compra de una casa cuyo precio
de contado es de $12,500. posteriormente pagará $2,500 al final de cada trimestre durante 3 trimestres.
Encuentro el saldo insoluto al final del año aplicando el método de la Regla Americana con intereses del
20% sobre saldos.
18.En el ejercicio anterior supondré que la casa no se canceló al finalizar el año, sino que se canceló 46 días
después. Si la tasa de interés moratoria es del 10%, encuentro el valor del pago que liquida totalmente la
casa.
19.Un pagaré con valor nominal de $19,350 se comercializa en $18,500 el 3 de diciembre. ¿Qué día vence
si le descuentan el 40.3% de interés simple anual?.
20.¿Cuánto debe invertir un padre de familia el 12 de septiembre en una cuenta bancaria que paga el 19.8%,
para disponer de $16,000 el 15 de diciembre siguiente?
21.El 5 de enero se compra un equipo de cómputo que se paga con una prima de $6,000, un pago de
$8,000 el 20 de febrero y el otro el 19 de marzo para liquidar el resto ¿por cuánto será este pago si el
precio del equipo fue de $20,600 y se cargan intereses del 26% simple anual?
22.¿Cuánto paga por intereses un distribuidor de abarrotes si el 10 de junio compra mercancías por $16,500,
hace un anticipo del 30% y paga el resto el 25 de septiembre con recargos del 32.3% de interés simple?
23.El Sr. González compra un bono al 97% de su valor nominal de periodicidad 2, que produce en cada
período semestral $6,550. Si el valor nominal del bono es de $65,000. ¿Cuál es la tasa de rentabilidad
anual del señor González?
24.Hace 5 meses obtuve un préstamo por $5,000 al 18%. Pagué $1,500 hace 3 meses, hoy pagaré $950,
quiero saber cuanto pagaré dentro de 2.5 meses para saldar la deuda.
25.La empresa AVAL emite un certificado de inversión por $10,000 dólares el cual se oferta al público,
mediante una tasa de descuento del 12% a un plazo de 270 días.
a. Si el Sr. Torres lo compra, determino el precio que paga por el certificado y la tasa de rendimiento que
obtiene.
b. Suponiendo que transcurrido 144 días el Sr. Torres decide venderlo a una Sociedad
Financiera la cual desea ganar el 13% anual sobre el valor facial, determino el valor que recibe por la
venta y la tasa de rentabilidad por los 144 días de la inversión.
26.La empresa Agropecuaria San Bernardino ubicada en el Municipio de San Bartolomé, tiene tres
deudas pendientes con una institución financiera local de la siguiente manera:
a. $10,000 a plazo de 1 año con el 20% de interés y vence dentro de 5 meses
b. $8,500 a plazo de 1.5 años con interés de 22% y vence dentro de 9 meses
c. $12,000 a plazo de 8 meses con interés de 19.5% y vence el día de hoy
La empresa no puede asumir el pago de las deudas de la forma programada, debido a esto el banco
le concede una extensión de 1.5 años de plazo a partir de hoy para que cancele las 3 deudas con tasa
de rendimiento del 26% debiendo escoger uno de los siguientes sistemas de pagos:
a. Un pago de $5,000 el día de hoy y 3 pagos iguales en los meses 6, 12 y 18, con fecha focal en 5
meses.
b. Tres pagos en los meses 6, 12 y 18 en la siguiente forma, el segundo es mayor que primero en
$3,000 y el tercero es mayor que el segundo en $2,000, fecha focal en el mes 6.
c. Un pago dentro de 6 meses por $4,600 y 4 pagos iguales en los meses 9, 12, 15 y 18, fecha focal
en 9 meses.
d. Cuatro pagos iguales, en los meses 0, 6, 12 y 18 fecha focal en el día de hoy.
e. Cinco pagos crecientes en $2,500 cada uno, en los meses 6, 9, 12, 15 y 18 fecha focal en el mes
12.
f. Un pago de $6,000 en el mes 6 y dos pagos iguales en mes 9 y 18, fecha focal en el mes 9.
g. Un pago de $15,000 en el mes 12 y el saldo en el mes 18, fecha focal mes 18.
h. Un pago de $5,000 en el mes 4, otro de $10,000 en el mes 10 y dos pagos iguales en los meses
15 y 18, fecha focal en el mes 10.
i. Un pago de $8,000 en el mes 0 y tres pagos iguales en los meses 5, 10 y 15, fecha focal en el mes
5.

57
27.La empresa TV-UNO emite un certificado de valor facial (final) de $100,000 a plazo de un año
comercial. Hace 145 días fue adquirido por la Cía. de Inversiones Perazza a través de un
descuento de 13%. En este momento la Cía. tiene en venta el certificado y tiene dos opciones de
compra. (1) El comprador ofrece un descuento del 13.90%; (2) Se paga un valor neto que garantice
una rentabilidad del 14.30%. Analizo la opción que le conviene a la Cía., calculando:
a. El valor que recibe por la venta en cada caso.
b. La rentabilidad que obtiene en cada caso.
28.Un certificado negociable de inversión de valor facial de $25,000 a plazo de 270 días, es comprado
por el inversionista A con una tasa de descuento del 12%. Calculo, el valor de la inversión y la
rentabilidad de A.
29.En el ejercicio anterior supondré que el documento se vende 120 días antes de su vencimiento y es
adquirido por el inversionista B con el descuento del 13.7%. determino:
a. El valor de la inversión y la rentabilidad de B.
b. La rentabilidad de A.
30.La Sociedad Financiera XS compra un CENI’s emitido por el BCN a una tasa de descuento del
13.70% a plazo de 300 días. Si el valor facial del certificado es de $30,000 determino:
a. El valor de la inversión y la tasa de rendimiento de la Sociedad.
. b. Supondré que la Sociedad vende el certificado a los 160 días al Grupo Delta con un
rendimiento del 13.20% . Determino la cantidad que recibe por la venta y la rentabilidad de la
Sociedad XS.
Luego de haber realizado esta actividad de autoaprendizaje podré comprobar mis aciertos y desaciertos,
buscando las respuestas correctas en la página 102 de las hojas de respuesta.

58

59
¿Qué es el Interés Compuesto?
Anteriormente abordamos problemas de interés simple, donde el capital permanece invariable o
constante durante todo el tiempo que dura la transacción y los intereses se retiran
periódicamente. Cuando utilizamos el método de Interés Compuesto, el capital aumenta en
cada período; por cuanto el interés se integra al capital, para luego calcular intereses sobre un
nuevo monto en cada período. Por ello, es muy corriente decir que en el Interés Compuesto “los
intereses ganan intereses”, debido que éstos se capitalizan en cada período de liquidación de
interés.
Al proceso de integración de los intereses al capital al final de cada período de interés, le
conocemos como capitalización de intereses y constituye la esencia del método de interés
compuesto. Producto de esta dinámica, el capital invertido con este método crece más
rápidamente, convirtiéndose en el sistema de cálculo de intereses más utilizado en las
operaciones financieras de las instituciones bancarias y de préstamos.
1. Deducción de la formula del monto compuesto
Estamos interesados en deducir la fórmula general que nos permitirá el cálculo del monto de
una suma de dinero a interés compuesto. En particular iniciaremos con el ejemplo 21.
Ejemplo 21:
Una persona acude a un banco y deposita $2,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un
año. El banco paga interés del 9% convertible trimestralmente (interés compuesto). ¿Cuál será
el valor del depósito al final del año?
Solución
Se trata de hallar el valor futuro del depósito con una tasa de interés del 0.09/4 = 2.25%
acumulativo por trimestre. Esta situación se ilustra en la tabla 10.
Datos: P=2,000, i=0.0225 trimestre, N=4 trimestres
Tabla 10
Periodo
trimestral
Valor inicio de
periodo
Interés devengado en el
periodo
Valor a final de
periodo
No. P I=Pin F=P+Pin
1 $2,000.00 2,000.00(0.0225)= 45.00 $2,045.00
2 $2,045.00 2,045.00(0.0225)= 46.01 $2,091.01
3 $2,091.01 2,091.01(0.0225)= 47.05 $2,138.06
4 $2,138.06 2,138.06(0.0225)= 48.11 $2,186.17
2,138.06 2,186.17
2,045 2,091.01
0 1 2 3 4 Trim estres
G ráfico 20
1,000

60
Los nuevos montos o valores futuros en cada periodo, se muestran en el gráfico 20,
observemos que en cada trimestre, el interés se suma al capital a este proceso se le llama
capitalización.
El flujo mostrado en el gráfico 20 se puede representar a través del gráfico 21 donde la
operación se realiza desde el valor presente hasta el valor futuro, o sea, desde el inicio hasta el
final del plazo.
2,186.17
0 1 2 3 4 Trimestres
Gráfico 21
1,000
Para deducir la fórmula general del cálculo de la equivalencia financiera entre una suma de
dinero presente P y una suma futura F llamada monto, utilizaremos los resultados del ejemplo
21, los cuales se muestran en la tabla 11.
Tabla 11
Periodo de
interés
Valor inicio de
período
Interés devengado
en el periodo
Valor final de
período
No. P I F
1 P Pi F=P(1+i)
2 P(1+i) P(1+i)(i) F=P(1+i)2
3 P(1+i)2
P(1+i)
2
(i) F=P(1+i)
3
4 P(1+i)3
P(1+i)
3
(i) F=P(1+i)
4
.
.
.
N
.
.
.
P(1+i)N-1
.
.
.
P(1+i)
N-1
(i)
.
.
.
F=P(1+i)
N
De lo anterior se generaliza la fórmula de valor futuro a interés compuesto para N períodos de
capitalización de intereses de la siguiente manera:
( ) )
5
1
(Fórmula
N
i
1
P
F +
=
Donde:
F :Valor Futuro o monto a interés compuesto de una deuda
P :Valor Presente o principal de una deuda
J : Tasa de interés nominal periódica
m: Frecuencia de capitalización o liquidación de intereses según el período de la tasa nominal j
i : Tasa de interés efectiva para período de capitalización diferente de año
n : Plazo en años y total de capitalizaciones anuales de intereses
N :Número total de capitalizaciones en el plazo de la operación financiera
ie: Tasa de interés efectiva anual
La fórmula 15 también se puede escribir en sus formas equivalentes de la siguiente manera:
16)
(Fórmula
n
.
m
m
j
1
P
F 







+
=

61
( ) 17)
(Fórmula
n
e
i
1
P
F +
=
Donde:
)
8
1
(Fórmula
1
m
m
j
1
e
i
ción
capitaliza
de
periodos
de
Número
n
.
m
N
efectiva
o
periódica
Tasa
m
j
i
−








+
=
=
=
En la fórmula 18 el valor de la tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal anual si m=1.
Si resolvemos nuevamente el ejemplo 21 por la fórmula 16, obtenemos el mismo
resultado;
Datos:
P=$2,000
j=9% tasa nominal anual
m=4 frecuencia de capitalización anual
i=j/m=2.25% tasa efectiva trimestral
n=1 año de plazo de la operación
N=4 periodos capitalización
Solución ( ) ( ) 2,186.17
1.093083
2,000
4
0.0225
1
2,000
F =
=
+
=
Observemos que el resultado es el mismo, tanto por deducción como por inducción. En la
solución anterior debemos señalar que el valor de 0.0225 es lo que gana un dólar en un
trimestre y N=4x1 es el número de capitalizaciones durante el tiempo de la operación financiera;
lo que significa que $2,000 colocados al 2.25% trimestral producen al cabo de 4 trimestres un
monto o valor futuro de $1,186.17 dólares.
Por efecto de capitalizar intereses en cada período, definimos dos tasas de interés.
a. Tasa nominal
La tasa de interés nominal es la tasa pactada o establecida en toda operación financiera,
generalmente es para períodos anuales pero también puede definirse para períodos
menores que un año. Esta tasa no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo y
especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses. Por ejemplo, consideremos las
siguientes tasas de interés con su frecuencia de convertir o capitalizar intereses. La tasa
nominal la denotaremos por j.
1) 20% convertible trimestralmente, significa que es una tasa nominal anual con 4
conversiones en un año.
2) 18% convertible mensualmente, tasa nominal anual con 12 conversiones anuales.

62
3) 24% convertible semestralmente, tasa de interés nominal anual con 2 conversiones en un
año.
b. Tasa efectiva
La tasa efectiva es periódica y expresa la rentabilidad a interés compuesto, mide el
porcentaje de ganancia de la inversión, por tanto tiene en cuenta el valor del dinero en el
tiempo. En este texto, la tasa efectiva para periodo diferente de un año la denotaremos como
i; para periodo anual, la tasa efectiva la denotaremos por ie.
La tasa efectiva periódica i esta dada por: efectiva
o
periódica
Tasa
m
j
i =
La tasa efectiva anual está por la fórmula 18. anual
efectiva
asa
T
1
m
m
j
1
e
i −








+
=
Ejemplo 22:
Para cada uno de los casos determinemos las tasas efectivas.
1) Para 24% convertible mensualmente (CM). Es una tasa nominal j con frecuencia anual
m=12 de capitalizar intereses con:
anual
efectiva
Tasa
26.8242%
1
12
12
0.24
1
1
m
m
j
1
e
i
mensual
efectiva
periódica
Tasa
2%
12
0.24
m
j
i
=
−






+
=
−






+
=
=
=
=
anual
efectiva
Tasa
16.9859%
1
4
4
0.16
1
1
m
m
j
1
e
i
trimestral
efectiva
periódica
Tasa
4%
4
0.16
m
j
i
=
−






+
=
−






+
=
=
=
=
2) 7% semestral. Es una tasa efectiva i=7% por semestre.
3) 16% convertible trimestralmente (CT). Es una tasa nominal j con frecuencia anual m=4
con tasas efectivas;
4) 12% semestral, convertible bimensualmente (CB). Es una tasa nominal j de con
frecuencia anual m = 6.
anual
tiva
efec
Tasa
12.6163%
1
6
6
0.12
1
1
m
m
j
1
e
i
bimensual
efectiva
periódica
Tasa
2%
6
0.12
m
j
i
=
−






+
=
−






+
=
=
=
=
Concluimos del ejemplo anterior lo siguiente: si una empresa invierte al 24% convertible
mensualmente, entonces tiene una ganancia o rentabilidad anual 26.8241% equivalente una
rentabilidad mensual del 2% acumulativo, es decir que la ganancia mensual se invierte a la
misma tasa. De igual manera, si invierte al 16% convertible trimestralmente, obtiene una
ganancia anual de 16.9859% y una rentabilidad equivalente trimestral de 4% acumulativo.

63
En la tabla 12 presentamos las notaciones y las frecuencias más usuales de la tasa nominal
anual en las operaciones financieras.
Tabla 12
Concepto Notación Frecuencia
Convertible anualmente CA m = 1
Convertible semestralmente CS m = 2
Convertible trimestral CT m = 4
Convertible bimensualmente CB m = 6
Convertible mensualmente CM m = 12
Convertible semanalmente CSe m = 52
Convertible diariamente CD m = 365
Convertible continuamente CC m → ∝ (infinito)
Ejemplo 23:
Calculemos el monto F de un capital de $6,000 invertido, al 20% CS a 5 años de plazo:
Datos:
P=$6,000 capital invertido
j=20% tasa de interés nominal anual
m=2 frecuencia de conversión de intereses anuales
i=j/m=0.20/2=10% tasa efectiva del periodo
n=5 años de plazo o tiempo
N=m.n=2(5)=10 periodos capitalizados semestrales
F=?
Solución: La solución la hallamos utilizando la fórmula 15.
( ) ( ) $15,562.45
2.593742
6,000
10
0.10
1
6,000
F =
=
+
=
Ejemplo 24:
Determinemos el valor final F de un depósito de $10,000 invertido, al 8% CM a 16 meses de
plazo:
Datos:
P=$10,000 principal depositado
i=j/m=0.08/12=0.6666% tasa efectiva del periodo
n=16/12=1.33333 años de plazo
N=m.n=12(1.333333)=16 número de periodos capitalizados
F=?
( )
( ) $11,121.69
1.112169
10,000
12
12
16
12
0.08
1
10,000
F =
=








+
=

64
Ejemplo 25:
Calculemos el monto F de un préstamo de $15,000 que se concede el día 10 de enero y
vence el día 18 de julio del mismo año con el interés del 18% CT.
Datos:
P=$15,000 principal prestado
m=4 frecuencia de conversión de interés anual
N=m.n=4(0.525)=2.1 número de periodos capitalizados
F=?
( )
( ) $16,452.63
1.096842
15,000
4
360
189
4
0.18
1
15,000
F =
=








+
=
Ejemplo 26:
Determinemos el valor final F de un certificado de $30,000 que se adquiere con un interés
del 12% CD a plazo de 3 años.
Datos:
P=$30,000 valor inicial de la inversión
n=3 años de plazo
N=m.n=365(3)=1,095 número de periodos capitalizados
F=?
( )( ) ( ) $42,997.33
1.433244
30,000
365
3
365
0.12
1
30,000
F =
=








+
=
Ejemplo 27:
Hallemos el monto F de un capital de $5,000 invertido, al 0.76% mensual a un año de plazo:
Datos:
P=$5,000 principal invertido
i=0.76% tasa efectiva del periodo
n=1 año de plazo
N=m.n=12(1)=12 periodos capitalizados
F=?
Solución: La solución la hallamos utilizando la fórmula 15
( ) ( ) $5,475.55
1.09511
5,000
12
0.0076
1
5,000
F =
=
+
=

65
Podemos proponernos hacer una comprobación de los resultados de los ejemplos anteriores
utilizando las fórmulas 15, 16 y 17 y notaremos que son los mismos para cada operación
financiera.
Ejemplo 28:
Comprobemos el resultado del ejemplo 26 por la fórmula 17.
Datos:
P=$30,000 valor inicial de la inversión
n=3 años de plazo
N=m.n=365(3)=1,095 número de periodos capitalizados
F=?
Para usar fórmula indicada primero debemos calcular la tasa efectiva anual ie, esto es;
anual
efectiva
12.7475%
1
365
365
0.12
1
e
i =
−






+
=
Así, la solución por la fórmula 17 que obtenemos es:
( ) ( ) $42,997.33
1.433244
30,000
3
0.127475
1
30,000
F =
=
+
=
La solución que hallamos anteriormente por la fórmula 16 estaba dada por;
( )( ) ( ) $42,997.33
1.433244
30,000
365
3
365
0.12
1
30,000
F =
=








+
=
Concluimos que el resultado es el mismo, lo cual significa que las tasa de interés nominal del
12% CD es equivalente al 12.7475% efectivo anual.
c. Tasas equivalentes
Dos o más tasas de interés, tanto nominales como efectivas son equivalentes, si al final del
período rinden los mismos intereses y tienen la misma tasa periódica efectiva, es decir; para
el inversionista le es indiferente invertir con cualquiera de las tasas dado que al final del
plazo el monto es el mismo, como lo vimos en el ejemplo 28. Más adelante abordaremos el
cálculo de las tasas equivalentes.

66
El valor actual o presente P a interés compuesto, es el valor del dinero el día de hoy o el valor
en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento. El cálculo del valor presente responde a la
pregunta: si se desea una determinada cantidad de dinero en el futuro, ¿cuánto se tendrá que
invertir hoy, conociendo la tasa de interés y el plazo de la inversión? Otra forma de uso del valor
presente, es para saber el valor actual de una deuda pendiente si deseamos pagarla por
adelantado antes de la fecha de su vencimiento.
De las fórmulas 15 y 16 al despejar la variable P, obtenemos el valor presente a interés
compuesto, de la siguiente manera:
( )
( )
)
9
1
a
Fórmul
(
N
i
1
F
N
i
1
F
P
+
=
−
+
=
)
20
(Fórmula
mn
m
j
1
F
mn
m
j
1
F
P








+
=
−








+
=
Todas las variables básicas definidas en las fórmulas 15 y 16 son válidas para las fórmulas 19 y
20.
Ejemplo 29:
Una empresa debe pagar dentro de 2 años, 5 meses y 18 días la cantidad de $100,000 a un
interés del 16% CS ¿Cuál es su valor presente?
Datos:
F=$100,000 valor futuro
j=16% CS tasa de interés nominal anual
m=2 frecuencia de conversión de intereses en el año
i=j/m=0.16/2=0.08 tasa efectiva por semestre
n=2+5/12+18/360=2.4666666 plazo en años
N=m.n=2(2.4666666)=4.93333 total de capitalizaciones semestrales
Solución: Por la fórmula 19 obtenemos el valor presente o actual
( ) ( ) $68,408.41
0.684084
100,000
4.933333
0.08
1
100,000
P =
=
−
+
=
El resultado anterior significa que el valor actual de la deuda futura $100,000 es de $68,408.41,
cantidad que no contiene intereses y representa el valor del pronto pago el día de hoy.
5. Diferencias entre el interés simple y compuesto
Fundamentalmente existen dos diferencias entre ambos métodos:
a. La aplicación de los métodos difieren en respuesta al tipo de operación financiera efectuada;
si los intereses son pagaderos por período, actúa el interés simple. Si los intereses son
integrados al principal en cada período de liquidación de intereses, actúa el método de
interés compuesto.

67
b. El crecimiento de una inversión específica se da en forma más acelerada si es colocada a
interés compuesto que a interés simple para un mismo plazo y una misma tasa de interés.
Si observamos el ejemplo, 21 resuelto en la tabla 10 podemos apreciar que el monto a interés
compuesto de 2,000 dólares, colocados a una tasa del 2.25% trimestral, durante un año de
plazo, resulta $2,186.17. En cambio si realizamos el cálculo a interés simple detectamos que se
produce una ligera disminución de $6.17 dólares en el monto de la misma operación.
Efectivamente, este resultado lo observamos en la tabla 13 y lo comprobamos a través de:
( )
[ ] ( )
[ ] ( ) $2,180.00
1.09
2,000
4
0.0225
1
2,000
n
i
1
P
F =
=
+
=
+
=
La diferencia entre el cálculo de interés compuesto y simple es debido a que los intereses
devengados con interés simple en cada periodo no ganan intereses, ya que los intereses no se
capitalizan.
Tabla 13
Período
trimestral
Valor inicio
de período
Interés devengado
Valor final
de período
No. P I=Pin F=P+Pin
1 $2,000.00 2,000.00(0.0225)=45.00 $2,045.00
2 $2,000.00 2,000.00(0.0225)=45.00 $2,090.00
3 $2,000.00 2,000.00(0.0225)=45.00 $2,135.00
4 $2,000.00 2,000.00(0.0225)=45.00 $2,180.00
F
Monto a interés simple.
P
0 1 2 3 4 5 . . . n años
Gráfico 22
Monto a interés compuesto
Como ejercicio independiente dejamos al lector que establezca la relación entre las tasas de
interés de un cierto capital invertido a interés simple y compuesto.
El método de cálculo del interés compuesto, hace crecer a la inversión o principal de forma
exponencial, en vista del proceso de capitalización de los intereses. El monto o valor futuro a
interés compuesto crece en forma de razón geométrica y su gráfico corresponde a una función
exponencial; en cambio, el valor futuro a interés simple crece en forma de progresión aritmética
y su crecimiento corresponde a una función lineal, como se aprecia en el gráfico 22.
a. Uso de factores a través de tablas
Desde hace buen tiempo ha sido una tradición en la enseñanza de las Matemáticas
Financieras, el empleo de las tablas de factores financieros dado que los especialistas en
finanzas elaboraron tablas con factores para facilitar los cálculos del valor del dinero.

68
Con el desarrollo de la ciencia y la técnica y el surgimiento de las calculadoras electrónicas,
el uso de las tablas financieras han quedado relegadas debido a su limitación para abordar
una diversidad de casos relacionados con las operaciones financieras. Por eso, en este texto
trataremos en lo adelante no hacer uso de las tablas de factores financieros, ya que éstos
serán calculados a partir de las fórmulas estándares, por ello se hace necesario e
indispensable que dispongamos de una calculadora que nos facilite realizar dichos cálculos.
No obstante, podemos hacer algunos cálculos empleando las tablas de factores, la cual le
hemos llamado “forma alternativa de cálculo”.
b. Cálculo de valor futuro con la forma alternativa
Como definimos antes el valor futuro F, es la cantidad resultante al final de cierto período de
tiempo (cierto número de períodos de capitalización) después de sucesivas adiciones de los
intereses al capital o principal. Plantearemos ahora, la fórmula 21 de forma alternativa para
el cálculo del monto de la siguiente manera:
F=P(F/P, i, n) (Fórmula 21)
La expresión (F/P, i, n) se lee “se busca F dado P a la tasa de interés i durante el tiempo n o
número de capitalizaciones N y se encontrará en la primera columna (F/P) de las tablas de
factores de matemáticas financieras.
El valor numérico de la expresión (F/P, i, n) es exactamente igual al factor
( ) nm
m
j
1
N
i
1 







+
=
+ de la fórmula 15 para el cálculo del monto compuesto.
c. Cálculo de valor presente con la forma alternativa
De la fórmula 19 también podemos determinar el valor presente P, utilizando la fórmula
alternativa 22 a través de tablas financieras o sea;
P=F(P/F, i, n) (Formula 22)
La expresión (P/F, i, n) se lee “se busca P dado F a la tasa de interés i, durante el tiempo n
(o períodos de capitalizaciones N)” y se encontrará en la segunda columna (P/F) de la tabla
de factores de matemáticas financieras.
Esta expresión (P/F, i, n) en valor numérico es exactamente igual al factor;
( )
( ) mn
m
j
1
1
N
i
1
1
N
i
1








+
=
+
=
−
+ correspondiente a la fórmula 19.
Analicemos los ejemplos que se dan a continuación para comprender mejor los conceptos de
valor presente a interés compuesto.

69
Ejemplo 30:
Una empresa al final del plazo fijo de 2 años, 3 meses y 20 días obtiene la cantidad de
$24,007.26 en concepto de un depósito. Si el interés es del 8% CT. Determines el valor
inicial del depósito. Gráfico 23.
F = 24,007.26
0 1 2 3 4 . . . 27.67 Meses
Gráfico 23
P=?
Datos:
F=$24,007.26 valor futuro
j=8% CT tasa de interés nominal anual
m=4 frecuencia de conversión de intereses
i=j/m=0.08/2=0.02 tasa efectiva por trimestre
n=2+3/12+20/360=2.305555 años
N=m.n=4(2.305555)=9.22222 total de capitalizaciones trimestrales
P=?
Solución: El valor que tenemos que hallar es el presente. La solución del problema la
obtenemos a través de la fórmula 20.
( )( ) ( ) $20,000.00
0.833081
24,007.26
2.30555
4
4
0.08
1
24,007.26
P =
=
−








+
=
El valor del depósito de la empresa es de $20,000.00
Ejemplo 31:
Una persona pagó al final del plazo de 2 años $7,549.00, en concepto de principal más
intereses del 18% efectivo anual. Determinemos el valor del préstamo que recibió la
persona. Gráfico 24.
P = ?
0 1 2 Años
Gráfico 24
F = 7,549
Datos:
F=5,549 valor futuro
ie=18% tasa de interés efectivo anual
n=2 años de plazo
m=1 frecuencia de conversión de intereses
F=?

70
Solución: Se busca en la tabla de factores financieros, la tasa del 18% en correspondencia
al período N=mn=2, encontramos el factor (0.7182) que corresponde al valor de la expresión
de factores financieros (P/F, i, n) y que reemplaza al factor
( )( )
( )( )
2
1
1
0.18
1
n
m
m
j
1
−








+
=
−








+
de la fórmula 20, esto es; P=F(P/F, i, n)=5,549(P/F, i, n)=5,549(0.7182)=$3,985.29. Si
empleamos la fórmula 20 para el cálculo exacto de valor presente, tenemos:
( )( ) ( ) $3,985.21
0.718184
5,549.00
2
1
1
0.18
1
5,549.00
P =
=
−








+
=
Observamos que hay una diferencia mínima entre las dos respuestas. Esto es debido a que
estamos usando todos los decimales sin redondear el factor financiero. Cuando utilizamos
los factores financieros dados en las tablas, los resultados muchas veces no son exactos por
efecto de redondeo de dicho factor.
Ejemplo 32:
Determinemos el valor presente de un documento por el cual al final de 18 meses, se pagó
un monto de $125,310.50 a un interés del 15% CM. Veamos el gráfico 25.
P = ?
0 1 2 3 . . . 18 Meses
Gráfico 25
F = 125,310.50
Datos:
F=$125,310.50 valor futuro
i=j/m=0.30/12=0.025 tasa efectiva del periodo
n=1.5 plazo en años
N=m.n=12(1.5)=18 números de periodos capitalizados
P=?
Solución: Si buscamos en una tabla de factores financieros, la tasa i=0.15/12=0.0125
mensual en correspondencia al período N=m.n=12(18/12)=18 que significan el total de
períodos capitalizados, encontramos el factor (0.7996) que es el valor de la expresión (P/F, i,
n) y que reemplaza al factor.
( )( )
( ) 







−








+
=
−








+ 12
18
12
12
0.15
1
n
m
m
j
1
Por tanto la solución es:
P=F(P/F, i, n)=125,310.50(P/F, i, n)=125,310.50(0.7996)=$100,198.27
Si empleamos la fórmula 20 para el cálculo exacto de valor presente, obtenemos;

71
( )
( ) 1
$100,202.1
0.799631
125,310.50
12
18
12
12
0.15
1
125,310.50
P =
=








−








+
=
En este caso la diferencia entre ambas respuestas es de $3.85.
Ejemplo 33:
En la compra de una casa, el Sr. Martínez paga $55,000 de cuota inicial o enganche y
acuerda desembolsar $122,500 dos años después para cancelar totalmente la casa.
Determinemos el valor de contado de la casa, si la tasa de interés es del 24% CT.
Observemos el gráfico 26.
Datos:
C0=$55,000 cuota inicial
F=$125,500 valor futuro a pagar
i=j/m=0.16/4=0.04 tasa efectiva del periodo
n=2 años de plazo para pagar el saldo
N=m.n=8 periodos de capitalizaciones trimestrales
P = ?
0 1 2 3 . . . 8 Trimestres
F = 125,500
55,000
Gráfico 26
Solución: El valor de contado de la casa es el valor presente de todos los pagos que deben
realizarse, de esta manera; si buscamos en la tabla de factores financieros, la tasa trimestral
del 4% en correspondencia al período N=8, encontraremos el factor (0.7307) que es el valor
de la expresión (P/F, i, n) que aparece en las tablas y que reemplaza al factor;
( )( ) ( )( )
2
4
4
6
0.1
1
n
m
m
j
1 −








+
=
−








+
El valor presente de la cuota inicial es su mismo valor, dado que coincide con la fecha focal
que es el valor cero en la escala tiempo valor, así la solución es;
P=C0+F(P/F, i, n)=55,000+122,500(P/F, i, n)=55,000+89,510.75=
P=$ 144,510.75
El cálculo exacto a través de la fórmula 20 es:
( )( ) ( )
5
$144,509.5
89,509.55
55,000
0.730690
122,500
55,000
2
12
12
0.16
1
122,500
55,000
P
=
+
=
=
+
=
−






+
+
=

72
6. Numero de periodos capitalizados y plazo
El cálculo del número de períodos capitalizados a interés compuesto es útil que lo conozcamos
para estimar el tiempo o plazo que puede alcanzar un monto prefijado de una determinada
inversión realizada a partir del día de hoy, sabiendo la tasa de interés que actúa en la
operación. Como sabemos N representa el número de períodos capitalizados el cual está dado
por;
m
N
n
es
plazo
o
tiempo
el
donde
n
.
m
N =
=
Así; de la fórmula 15 sabemos que: ( ) )
1
(
N
i
1
P
F +
=
Se trata de despejar el exponente N en (1) de la siguiente manera: ( ) (2)
P
F
N
i
1 =
+
Aplicando logaritmo natural (ln) a ambos miembros de la ecuación (2), tenemos;
( )
( ) 







=
+








=
+
P
F
ln
i
1
Nln
entonces
(3)
P
F
ln
N
i
1
ln
En (3) despejamos N y obtenemos la fórmula deseada para el cálculo de número de periodos
capitalizados de interés en la operación desde el inicio hasta el final.
( )
)
23
(Fórmula
i
1
ln
P
F
ln
N
+








=
La fórmula 23 tiene sus acepciones, por ejemplo si en la operación financiera interviene una
tasa nominal j entonces la fórmula para calcular el plazo es;
)
24
(Fórmula
m
j
1
ln
P
F
ln
m
1
n








+
















=
Si la tasa de interés que utilizamos es la efectiva anual ie entonces la fórmula para determinar el
número de periodos que coinciden con el plazo en años es la siguiente:
( )
)
25
(Fórmula
e
i
1
ln
P
F
ln
n
+








=
Ejemplo 34:
Una persona invirtió en un CDT (certificado de depósito a término) la cantidad de $15,000 y le
redimieron $19,438.60. Determinemos el número de periodos y el plazo del certificado, si la tasa
de interés fue del 18% CT. Veamos el gráfico 27.

73
F = 19,438.60
0 1 2 3 4 . . . n=?
Gráfico 27
P = 15,000
Datos:
P=$15,000 principal invertido
F=$19,438.60 valor futuro o valor redimido
i=0.18/12=0.045 tasa efectiva del periodo
N=?, n=?
Solución
Por la fórmula 23 calculemos el número de periodos de interés esto es:
( )
trimestres
5.888876
0.044016
0.259210
0.045
1
ln
15,000
19,438.60
ln
N =
=
+








=
Para hallar el plazo utilicemos la fórmula 24 o sea;
( ) años
1.472219
5.888876
4
1
0.044016
0.259210
4
0.18
1
ln
15,000
19,438.60
ln
4
1
n =








=
=








+
















=
El valor 1.472219 representa años comerciales. Más exactamente el plazo del CDT se obtiene
multiplicando los decimales de año (0.472219) por 12 para obtener meses y multiplicando los
decimales de meses (0.666628) por 30 para obtener días; así el plazo es: 1 año, 5 meses, 20
días comerciales aproximadamente.
Ejemplo 35:
Una empresa paga un monto de $8,300.20 para saldar un préstamo de $5,000 con interés del
16% efectivo anual. Determinemos el plazo y los periodos capitalizados del préstamo.
Datos:
P=$5,000 principal prestado
F=$8,300.20 valor futuro o monto del préstamo
ie=16% tasa de interés efectivo anual
n=?, N=?
Solución
En este caso el número de periodos capitalizados coincide con el plazo en años, por la fórmula
25 obtenemos las respuestas;

74
( )
años
3.4149139
0.148420
0.506842
0.16
1
ln
5,000
8,300.20
ln
n =
=
+








=
La respuesta anterior significa que el número de periodos capitalizados y el plazo es 3.4149139
años. En años comerciales es: 3 años, 4 meses y 29 días.
Ejemplo 36:
Si los periodos capitalizados de cierta operación financiera son de 32.892345 meses,
determinemos exactamente el plazo en: años, meses y días comerciales.
Datos:
N=32.892345 periodos capitalizados mensuales
n=?
Solución: El número de periodos y el plazo se expresan de la siguiente manera;
m
N
n
es
plazo
o
tiempo
el
donde
n
.
m
N =
=
Así, el plazo en años comerciales es;
( )( )
( )( ) días
27
:
días
26.77
30
0.892345
meses
8
:
meses
8.892345
12
0.741028
ños
2
:
años
2.741028
12
32.892345
m
N
n
=
=
=
=
= a
Concluimos que el plazo en año comercial aproximadamente es: 2 años, 8 meses y 27 días.
En esta sección abordaremos el cálculo de las tasas de interés efectivas y nominales a partir
del conocimiento del valor futuro F de un valor presente P y el plazo n de una operación
financiera. Podemos hallar la tasa efectiva de interés i para cualquier período, excepto anual;
ésta tasa la definimos anteriormente como la rentabilidad de la inversión a interés compuesto.
De la fórmula general 15 despejamos i de la siguiente forma:
( ) ( )
P
F
N
i
1
entonces
N
i
1
P
F
Como =
+
+
=
de donde la tasa efectiva periódica i es:
)
6
2
(Fórmula
1
N
1
P
F
i −








=
La tasa efectiva ie anual la obtenemos de la ecuación:
( ) ( )
P
F
n
e
i
1
entonces
n
e
i
1
P
F =
+
+
=

75
Despejamos
)
27
(Fórmula
1
n
1
P
F
e
i −








=
Dado que la tasa periódica i=j/m y N=m.n, entonces resulta;
P
F
n
.
m
m
j
1
entonces
n
.
m
m
j
1
P
F =








+








+
=
De la relación anterior obtenemos la tasa nominal j;
)
28
(Fórmula
1
n
.
m
1
P
F
m
j










−








=
Ejemplo 36:
Si invertimos $2,500 dólares y dentro de 5 años nos pagan intereses y principal por $3,700.61.
Hallemos la tasa de interés nominal CS y la tasa efectiva anual que ganamos.
Datos:
P=$2,500 valor presente F=$3,700.61 valor futuro
n=5 años de plazo m=2 frecuencia de conversión de intereses anuales
j=?, ie=?
Solución: Si utilizamos la fórmula 28 obtenemos la tasa nominal j;
( )( ) .
S
.
C
%
8
j
sea
o
0.08
1
1
2,500
3,700.61
2
j =
=












−






=
5
2
Por la fórmula 27 calculamos la tasa efectiva ie ;
anual
efectivo
8.16%
e
i
sea
o
0.0816
1
5
1
2,500
3,700.61
e
i =
=
−








=
Ejemplo 37:
Una persona invirtió $10,000 dólares en un certificado y al final del plazo de 2 años le
redimieron $14,845.76. Determinemos las tasas de interés que gana la inversión:
a. efectiva mensual
b. efectiva anual
c. nominal convertible semestralmente (CT)
Datos:
P=$10,000 valor presente invertido
F=$14,845.76 valor redimido o futuro
n=2 años de plazo
m=12 frecuencia de conversión de intereses anuales ( para solución inciso a)
m=1 frecuencia de conversión de intereses anuales ( para solución inciso b)

76
m=4 frecuencia de conversión de intereses anuales ( para solución inciso c)
Solución:
a. A través de la fórmula 26 obtenemos la tasa efectiva mensual i;
( )( ) mensual
%
1.66
i
sea
o
0.0166
1
2
12
1
10,000
14,845.76
i =
=
−






=
b. La tasa efectiva anual en este caso es:
anual
efectivo
21.8432%
e
i
sea
o
0.218432
1
2
1
10,000
14,845.76
e
i =
=
−








=
c. La solución de la tasa nominal CT es a través de la fórmula 28.
( )( ) C
%
20.2525
j
entonces
0.202525
1
2
4
1
10,000
14,845.76
4
j T
=
=












−






=
Concluimos en este ejemplo que las tasas de interés: 1.66% efectiva mensual, 21.8432%
efectivo anual y 20.2525% nominal CT son tasas equivalentes, ya que para la misma inversión
de $10,000 y para el mismo plazo de 2 años producen los mismos intereses de $4,845.76. En la
sección 10 de este capitulo abordaremos el cálculo de la tasas equivalentes.
8. Interés compuesto convertible continuamente
a. La convertibilidad continua
Estudiaremos en esta sección un tipo de cálculo de intereses de forma continua, es decir;
que las capitalizaciones que se producen en un año son infinitas. En este caso la palabra
infinito se deriva del concepto de continuidad infinitesimal. Los modelos de interés
compuesto estudiados anteriormente se denominan discretos, debido a que las
capitalizaciones en el periodo de la tasa de interés nominal son finitas, es decir; podemos
saber exactamente el número de ellas, por ejemplo si decimos 20% CM significa que la
frecuencia de capitalizar intereses es de 12 veces en el año y el capital invertido en estas
condiciones crece en forma discreta, entonces para el cálculo del monto utilizamos los
modelos discretos.
En cambio si decimos 22% CC (convertible continuamente) significa que las capitalizaciones
de interés por periodo de la tasa nominal son infinitas y el capital crece de forma continua.
En este caso para el cálculo del monto compuesto es necesario que utilicemos el modelo de
capitalización continua.
La importancia de las capitalizaciones continuas estriba en el uso que le dan las instituciones
financieras para llamar la atención de los ahorrantes. Por ejemplo, es normal escuchar la
publicidad de las instituciones ofertando a los ahorrantes, tasas de interés convertibles
continuamente, cuando afirman “el dinero depositado en sus cuentas de ahorro crece de día,
de noche y en todo momento”, es decir; no se detiene de crecer. Se trata entonces, de tasas

77
de interés convertibles de forma continua. Más adelante aprenderemos a transformar una
tasa nominal con frecuencia discreta de capitalizar intereses a una tasa nominal con
frecuencia infinita, esto lo lograremos con el cálculo de las tasas equivalentes.
b. Monto a interés convertible continuamente
Anteriormente calculamos el valor futuro F con una tasa nominal j con una frecuencia finita m
- veces de capitalizaciones de intereses, mediante la fórmula 16. Esta fórmula no la podemos
usar cuando la frecuencia de capitalizaciones de la tasa nominal j es continua, ya que la
variable m en este caso tenderá a infinito, es decir; crece sin límite. Pero la podemos
transformar de tal manera que sea posible aplicarla en estas condiciones. Esta
transformación se efectúa a partir de la fórmula 16 que la retomamos:
(1)
n
.
m
m
j
1
P
F 







+
=
En la ecuación (1) hacemos un cambio de variable, denotamos: j
w
m
ntonces
e
j
m
w =
=
Si reemplazamos este valor en la ecuación (1) tenemos;
(2)
jn
w
w
1
1
P
wjn
wj
j
1
P
F


















+
=








+
=
En la ecuación (2) m tiende a infinito (m → ∝) entonces, también w tiende a infinito (w→ ∝).
En estas condiciones, podemos aplicar límite al infinito a la expresión que aparece entre
corchetes,
sea;
o
),
(w
infinito
a
tiende
w
cuando
w
w
1
1 ∞
→
















+
(3)
jn
w
w
1
1
w
lim
P


















+
∞
→
=
F
El resultado e=2.7182818 de (4) lo reemplazamos en la ecuación (3) obtenemos la fórmula,
(4)
..
2.7182818.
e
w
w
1
1
w
lim
límite
del
ón
aproximaci
por =
=


















+
∞
→
del cálculo del monto compuesto continuamente, también llamado modelo continuo;
29)
(Fórmula
n
r
e
P
F =

78
Donde:
F: valor futuro o monto P: valor presente o principal
n: plazo de la operación financiera e: constante de valor e=2.7182818
r: tasa periódica nominal convertible continuamente (C.C)
En el gráfico 28 presentamos la forma en que aumenta el capital invertido a interés
convertible continuamente.
F
P
0 1 2 3 4 , , , n
G r á fic o 2 8
F
P
0 1 2 3 4 , , , n
G r á fic o 2 8
Ejemplo 38:
El señor Gutiérrez debe cancelar el monto de un préstamo que vence dentro de 5 meses. Si
el principal es de $2,450.80 y el interés es del 17.5% CC. Determinemos el monto en la
fecha de vencimiento.
Datos
P=$2,450.80 principal prestado
r=17.5% CC tasa de interés convertible continuamente
n=5/12=0.416666 año de plazo
F=?
Solución: Por la fórmula 29 obtenemos la respuesta.
2,636.18
$
)
(1.0756408
2,450.80
6666)
0.175(0.41
2,450.80
rn
P
F e
e =
=
=
=
El monto esperado será entonces de $2,636.18
Ejemplo 39:
Si depositamos $12,000 en una cuenta aplazo fijo de 10 meses con el interés del 10% CC
¿Cuánto tendremos en la cuenta al finalizar el plazo?
Datos
r=10% CC tasa de interés convertible continuamente
n=10/12=0.833333 año de plazo
F=?
Solución: Nuevamente por la fórmula 29 obtenemos la respuesta.
13,042.85
$
(1.086904)
12,000
333)
0.10(0.833
12,000
rn
P
F e
e =
=
=
=
Al finalizar el plazo tendremos en nuestra cuenta la cantidad de $ 12,042.85

79
c. Valor presente a interés convertible continuamente
Para determinar el valor presente con interés convertible continuamente partimos de la
fórmula 29 donde las variables definidas siguen siendo válidas esto es:
)
30
(Fórmula
n
r
F
n
r
1
F
P e
e
−
=










=
Ejemplo 40:
Hallemos el valor que pagaríamos hoy por una deuda de $18,000 que vence dentro de 15
meses, si el interés es del 15.6% CC.
Datos
F=$18,000 monto o valor futuro de la deuda
r=15.6% CC tasa de interés convertible continuamente
F=?
Solución: Utilizando la fórmula 30 obtenemos el valor actual de la deuda.
14,811.02
$
(0.822835)
18,000
)
0.156(1.25
18,000
rn
F
P e
e =
=
−
=
−
=
El valor del pronto pago de la deuda hoy sería de $ 14,811.02
d. Plazo a interés convertible continuamente
Si queremos hallar el plazo cuando la operación financiera es con interés convertible
continuamente, despejamos la variable n en la fórmula 29 de la siguiente forma;
P
F
n
r
entonces
n
r
P
F
Si e
e =
=
Aplicando logaritmo natural a la ecuación derecha obtenemos;
donde;
de
P
F
ln
n
r
entoces
P
F
ln
n
r
lne 







=








=
)
31
(Fórmula
P
F
ln
r
1
n 















=
La fórmula 31 expresa el plazo de la operación en años si la tasa nominal r es anual, de lo
contrario expresará el período en que esté definida dicha tasa de interés.

80
Ejemplo 41:
Una empresa invierte $20,000 en un certificado de inversión obtendrá una ganancia por
intereses de $3,944.35 si inversión se coloca al12% CC. Hallemos el plazo del certificado.
Datos
F=P+I=$20,000+$3,944.35=$23,944.35 valor futuro del certificado
P=$20,000 valor presente o principal invertido
r=12% CC tasa de interés convertible continuamente
n=?
Solución: Por la fórmula 31 obtenemos el plazo de la inversión.
( )( ) 1.5
0.180000
8.3333
20,000
23,944.35
ln
0.12
1
P
F
ln
r
1
n =
=
















=
















=
Debido a que la tasa nominal es anual, entonces el valor 1.5 es el plazo en años.
e. Tasa de interés convertible continuamente
También en algunos casos, se hace necesario que conozcamos la tasa de interés
convertible continuamente a partir del valor futuro F, el valor presente P y el plazo n de la
operación. De la fórmula 31despejamos la variable r;
)
32
(Fórmula
P
F
ln
n
1
r 















=
De la fórmula anterior concluimos que el periodo de la tasa nominal convertible
continuamente, depende de la unidad en que esté expresado el plazo, por ejemplo; si el
plazo está definido en meses el período de la tasa r tendrá una expresión en meses; si el
plazo es en año el período de la tasa será expresada en años.
Ejemplo 42:
La sociedad Atlas obtiene un descuento y paga $48,356.90 por una deuda que dentro de 7
meses tendría un valor de $54,978.50. Calculemos la tasa nominal CC que le aplican en el
descuento.
Datos
F=$54,978.50 valor futuro de la deuda
P=$48,356.90 valor presente o valor líquido que paga
n=7/12=0.583333 año de plazo
r=?
Solución: A través de la fórmula 32 obtenemos la tasa del descuento continuo.
( )( ) anual
22%
sea
o
0.22
0.128333
8.3333
48,356.90
54,978.50
ln
0.583333
1
P
F
ln
n
1
r =
=
















=
















=
Concluimos que la tasa resultante de 22% tiene período anual dado que el plazo lo definimos
en año.

81
Ejemplo 43:
Si resolvemos el ejemplo 41 considerando el plazo en meses y no en año comprobaremos la
afirmación anterior.
Datos
F=$54,978.50 valor futuro de la deuda
P=$48,356.90 valor presente o valor líquido que paga
n=7 meses de plazo
r=?
Solución: Nuevamente por la fórmula 32 obtenemos la tasa del descuento continuo.
( )( ) mensual
1.8333%
sea
o
0.018333
0.128333
0.142857
48,356.90
54,978.50
ln
7
1
P
F
ln
n
1
r =
=
















=
















=
Ahora concluimos que la tasa nominal resultante de 1.8333% CC tiene período mensual,
dado que el plazo lo definimos en meses.
Al iniciar el tema C abordamos las tasas de interés nominales y efectivas. En este subtema
trataremos de establecer la relación de equivalencias existente entre estas tasas. Como
definimos antes la tasa nominal es aquella que se pacta o que se establece en todas las
operaciones financieras; reafirmamos que esta tasa de interés establece la forma en que se
liquidan o que se capitalizan los intereses y no mide rentabilidad. Por ejemplo, j=10% CT
significa una tasa nominal anual con capitalización de intereses trimestrales, o sea, tiene una
frecuencia anual m=4 y tasa efectiva de período trimestral de i=2.5%. Esto resulta que la tasa
nominal, es igual a la tasa del período multiplicada por la frecuencia, es decir;
j = i(m) = 0.025(4) = 0.10 = 10%
Por otro lado, la tasa efectiva i es la tasa periódica de rentabilidad a interés compuesto, mide el
porcentaje de utilidad periódica que realmente se adiciona al capital en el instante en que se
liquida.
La tasa efectiva puede ser diaria, mensual, trimestral, semestral, anual o cualquier otro período
que se defina. Para períodos de interés menores que un año o mayores que un año la tasa
efectiva la denotamos en este texto por (i) y cuando el período sea anual la denotaremos por ie
Cuando la tasa nominal establece períodos de capitalización una sola vez al año, entonces
decimos que la tasa nominal j es igual a la tasa efectiva anual ie. Si los intereses se capitalizan
m-veces en un período dado, entonces decimos que la tasa de interés es necesariamente
nominal para ese período, pues las tasas efectivas no se capitalizan.
Metodología para equivalencias de tasas nominales y efectivas
A continuación abordaremos una metodología que hemos preparado para el cálculo de tasas
equivalentes; la cual es producto de la experiencia docente. La comprensión del método y el
desarrollo de habilidades en el cálculo de las tasas equivalentes nos será de mucha utilidad
para el estudio y tratamiento de las anualidades generales, tema que estudiaremos en la

82
próxima unidad autoformativa. Básicamente esta metodología se compone de cuatro elementos
o grupos de tasas:
Grupo 1
Si conocemos la tasa nominal periódica j y su frecuencia m, entonces podemos determinar las
siguientes relaciones de equivalencias entre las tasas siguientes:
período
del
efectiva
tasa
j
m
i =
( ) anual
efectiva
tasa
1
m
i
1
1
m
m
j
1
e
i −
+
=
−






+
=
Grupo 2
Cuando conocemos o hemos calculado la tasa efectiva anual ie, podemos hallar la relación de
equivalencia entre ésta y la tasa efectiva i para cualquier período, utilizando la fórmula 33.
( ) )
33
(Fórmula
1
m
1
e
i
1
i −
+
=
El resultado de fórmula anterior es a tasa i que tendrá período específico de acuerdo al valor de
la frecuencia m, como lo podemos apreciar en la tabla 14.
Tabla 14
Valor de la frecuencia m Período de la tasa efectiva i
m=1 i anual (ie=i)
m=2 i semestral
M=4 i trimestral
m=6 i bimestral
m=12 i mensual
m=52 i semanal
m=365 i diaria
Grupo 3
Si conocemos por que es un dato dado o por que hemos calculado la tasa efectiva anual ie,
podemos establecer la relación de equivalencia entre ésta y la tasa nominal j convertible para
cualquier período, a través de la fórmula 34.

83
( ) )
34
(Fórmula
1
m
1
e
i
1
m
j












−
+
=
De igual manera, el resultado de la fórmula anterior (34) es la tasa nominal j que tendrá
frecuencia de conversión específica conforme al valor m, como lo podemos apreciar en la tabla
15.
Tabla 15
Valor de la frecuencia m Período de conversión de j
m=1 j CA (ie=j)
m=2 j CS
m=4 j CT
m=6 j CB
m=12 j CM
m=52 j Cse
m=365 j CD
Grupo 4
Si como dato conocemos porque hemos calculado la tasa nominal r convertible continuamente
CC, podemos hallar la tasa efectiva anual ie. Para determinar ésta tasa estableceremos una
relación de equivalencia, considerando que si dos tasas son equivalentes, los montos
calculados para un mismo principal y plazo son iguales, por tanto, la comparación la hacemos a
través las fórmulas 17 y 29 esto es;
( ) (1)
n
r
P
n
e
i
1
P
F e
=
+
=
En la ecuación (1) podemos eliminar P y n, así obtenemos:
( ) )
2
(
n
r
e
i
1 e
=
+
En la ecuación (2) despejamos la tasa efectiva anual a partir de la tasa nominal r convertible
continuamente y obtenemos la fórmula 35.
)
35
(Fórmula
1
r
e
i e −
=
Si como dato conocemos porque hemos calculado la tasa efectiva anual ie, podemos calcular la
tasa nominal r, CC a través de la fórmula 36 que la obtenemos aplicando logaritmo a ambos
miembros de la fórmula 35.
( ) ( ) r
ln
e
i
1
ln
entonces
r
e
i
1
Como e
e =
+
=
+
Por estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas sabemos (lne=1) por tanto r está
dado por;
( ) )
36
(Fórmula
e
i
1
ln
r +
=

84
Ejemplo 43:
Dada una tasa nominal del 24% CM. Halle la relación de equivalencia entre la tasa nominal, la
tasa periódica efectiva mensual y la tasa efectiva anual.
Datos
j=24% CM tasa nominal anual
i=?, ie=?
Solución: En el grupo 1 tenemos la relación de equivalencia, para tasa nominal dada j=24%
con frecuencia m=12.
mensual
efectivo
2%
sea
o
0.02
12
0.24
m
j
i =
=
=
anual
efectiva
26.8241%
decir
es
0.268241
1
12
12
0.24
1
e
i =
−






+
=
Ejemplo 44:
Un inversionista desea saber que tasa nominal CT es equivalente a 18% CM
Datos
j=18% CM tasa nominal anual
j=? CT tasa nominal anual desconocida
m=4 frecuencia de conversión de intereses anuales de la tasa desconocida
( ) ( ) .
T
.
C
18.2714%
o
0.182714
0.045678
4
1
4
1
0.195618
1
4
j =
=












−
+
=
Solución: En el grupo 3 podemos hallar la respuesta calculando primero la tasa efectiva anual.
anual
efectiva
19.5618%
decir
es
0.195618
1
12
12
0.18
1
e
i =
−








+
=
Después por la fórmula 34 con frecuencia m=4 obtenemos la respuesta
Concluimos que las tasas nominales de 18% CM es equivalente a 18.2714% CT, por ser
equivalentes le es indiferente al inversionista invertir con cualquiera de ellas, ya que los
resultados en términos de rendimientos serán iguales.
Ejemplo 45:
Un inversionista tiene un capital colocado en negocios financieros a una tasa de interés del
19.5% CD. Calculemos la tasa efectiva o rentabilidad anual y la tasa efectiva mensual.
Datos
j=19.5% CD tasa nominal anual

85
ie=?, i=?
Solución: En el grupo 1 tenemos la relación de equivalencia de la tasa nominal y la tasa
efectiva anual.
anual
efectiva
21.5248%
decir
es
0.215248
1
365
365
0.195
1
e
i =
−








+
=
Ahora que tenemos el resultado anterior, deseamos obtener el valor de la tasa equivalente
efectiva mensual; esto lo logramos a través de la fórmula 33 en el grupo 2 con la frecuencia
m=12 así, obtenemos;
( ) mensual
efectivo
1.5678%
sea,
o
0.015678
1
12
1
0.215248
1
i =
−
+
=
Concluimos que las tasas siguientes son equivalentes: Tasa nominal anual de 19.5% CD, tasa
efectiva anual de 21.5248% y tasa periódica mensual de 1.5678%.
Ejemplo 46:
Una libreta de ahorros devenga un interés del 10% semestral CM. Determinar la tasa
equivalente efectivo ie. anual
Datos
j=10% CM tasa nominal de período semestral
m=6 frecuencia de conversión de intereses semestrales
ie=?
Solución: Como la tasa nominal j=10% tiene período semestral, con m=6, primero calculamos
la tasa efectiva i mensual y después usamos el resultado para hallar la tasa efectiva anual con
m=12, lo cual logramos con las fórmulas del grupo 1 esto es:
mensual
efectivo
1.6667%
sea
o
0.016667
6
0.10
m
j
i =
=
=
( ) anual
efectiva
21.9396%
sea,
o
0.219396
1
12
0.016667
1
e
i =
−
+
=
En este caso concluimos que la libreta de ahorros tiene las siguientes tasas equivalentes: tasa
nominal semestral de 10% CM, tasa efectiva anual de 21.9396%y tasa periódica mensual de
1.6667%. Con cualquiera de ellas podemos invertir y la ganancia será la misma, como lo
comprobaremos en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 47:
Deseamos saber el valor final de un depósito de $15,000 a plazo fijo de 1.5 años con las
siguientes tasas de interés:
a. 10% semestral CM
b. 1,6667% efectivo mensual
c. 21.9396% efectivo anual
Datos
n=1.5 años de plazo
F=?

86
Solución: Para el caso a) como la tasa nominal j=10% semestral CM o sea, m=6, tiene dos
períodos semestrales en un año y tres períodos en año y medio, por tanto en la fórmula 16, n=3
así, obtenemos el valor futuro;
( )
( ) $20,198.00
1.346533
15,000
3
6
6
0.10
1
15,000
F =
=








+
=
Para el caso b) usamos la fórmula 15 con N=m(n)=12(1.5)=18
( ) ( ) $20,198.00
1.346533
15,000
18
0.016667
1
15,000
F =
=
+
=
Para la solución del caso c) utilizamos la fórmula 17 con n=1.5 entonces,
( ) ( ) $20,198.00
1.346533
15,000
1.5
0.219396
1
15,000
F =
=
+
=
Concluimos que las tasas son equivalentes ya que el resultado para el valor final o futuro es el
mismo para los tres casos, esto quiere decir; que podemos invertir con cualquier tasa y los
intereses serán de $5,198.00 o sea, la diferencia entre lo invertido y el valor final.
Ejemplo 48:
a. En una inversión que genera el 17.56% efectivo ¿Cuál es la tasa efectiva mensual?
b. Un deudor paga mensualmente el 2% acumulativo ¿Cuánto paga realmente de forma anual?
Datos
ie = 17.56% tasa efectiva anual
Caso a. m = 12
i = ?
i = 2% tasa efectiva mensual
Caso b. m = 12
ie = ?
Solución
a. Como ie=17.56% deseamos calcular i mensual esto lo logramos con la fórmula 33 del grupo
2 con m=12, así tenemos;
b. Sabemos que i=0.02 efectivo mensual por la fórmula del grupo 1 donde la frecuencia m=12
tenemos:
( ) efectivo
%
26.8242
e
i
sea
o
0.268242
1
12
0.02
1
e
i =
=
−
+
=
Concluimos que las tasas 2% efectivo mensual es equivalente a 26.8242% efectivo y 17.56%
efectivo es equivalente a 1.3573% efectivo mensual.
( ) mensual
efectivo
1.3573%
i
sea
o
0.013573
1
12
1
0.1756
1
i =
=












−
+
=

87
Ejemplo 49:
Si el Señor Gómez pagó un pagaré a plazo de 4 años con interés del 18% CC. Determinemos
las tasas equivalentes:
a. efectiva anual
b. la tasa nominal CS.
Datos
r = 18% CC tasa nominal anual convertible continuamente
a.
ie=?
m = 2 frecuencia de capitalizar intereses de la tasa nominal CS
j=?CS
b.
Solución
a. Se trata de hallar una tasa anual efectiva que sea equivalente a la tasa del 18% CC. Por
la fórmula 35 del grupo 4 de equivalencias obtenemos la solución
( ) ( ) .
T
.
C
18.2714%
o
0.182714
0.045678
4
1
4
1
0.195618
1
4
j =
=












−
+
=
( ) efectivo
19.7217%
1
0.18
2.7182818
1
0.18
e
i e =
−
=
−
=
b. Una vez que hemos obtenido el valor de la tasa efectiva anual, utilizamos la fórmula 34
con frecuencia m=2 del grupo 3 para calcular la tasa nominal CS.
( ) .
S
.
C
18.8348%
j
sea
o
0.188348
1
2
1
0.197217
1
2
j =
=












−
+
=
Concluimos que las siguientes tasas de interés son equivalentes:
18% CC tasa nominal anual convertible continuamente
19.7217% efectivo anual
18.8348% CS Tasa nominal anual convertible semestralmente
Ejemplo 50:
Una empresa desea que le calculemos a partir del 20% CT las tasas equivalentes:
a. nominal CC
b. efectiva semestral
Datos
j = 20% CT tasa nominal anual
m = 4 frecuencia de conversión de intereses anuales
Inciso a.
r = ? CC
m = 2 frecuencia de conversión de intereses anuales
Inciso b.
i = ?

88
Solución
a. Primero calculemos la tasa efectiva anual, grupo 1,
anual
efectiva
21.5506%
sea
o
0.215506
1
4
4
0.20
1
e
i =
−








+
=
Seguidamente por la fórmula 36 del grupo 4 obtenemos la tasa nominal
( ) CC
19.5160%
decir
es
0.195160
0.215506
1
ln
r =
+
=
b. Debido que conocemos la tasa efectiva anual, calcularemos la tasa efectiva semestral a
través de la fórmula 33 del grupo 2, frecuencia m=2 esto es;
( ) semestral
efectivo
10.25%
i
sea
o
0.1025
1
2
1
0.215506
1
i =
=












−
+
=
Concluimos que las tasas de interés son equivalentes
20% CT tasa nominal convertible trimestralmente
21.5506 % tasa efectiva anual
19.5160% CC tasa convertible continuamente
10.25% tasa efectiva semestral
Ejemplo 51:
Una compañía financiera tiene una tasa efectiva (retorno) del 18% efectivo anual para todas sus
inversiones financieras, desea saber las tasas de interés equivalentes con capitalizaciones de
interés en la forma:
a. Anual
b. Mensual
c. Bimensual
d. Trimestral
e. cada 4 meses
f. semestral
g. diaria
h. continuamente
i. bienal.
Solución
La relación de equivalencias de las tasas de interés de la compañía se muestran en la tabla 15,
donde el lector puede comprobar los resultados haciendo uso de las fórmulas de equivalencias
ya estudiadas localizadas en los grupos del 1 al 4.
Tabla 16
Período de
conversión
Tasa
efectiva
Frecuencia de
conversión
Tasa
nominal
Tasa efectiva
del período
ie M j i
anual
mensual
bimensual
trimestral
cuatrimestral
semestral
diaria
continua
bienal
18.0000%
18.0000%
18.0000%
18.0000%
18.0000%
18.0000%
18.0000%
18.0000%
18.0000%
1
12
6
4
3
2
365
m → ∝
1/5
18.0000%
16.6661%
16.7818%
16.8986%
17.0165%
17.2556%
16.5552%
16.5514%
19.6200%
18.0000%
1.3888%
2.7970%
4.2247%
5.6722%
8.6278%
0.0453%
i → 0
39.2400%

89
10.Ecuaciones de valor
Las ecuaciones de valor a interés simple las estudiamos en el tema B, recordemos que una
ecuación de valor es una igualdad de valores, que se ubican en una fecha que se escoge para
la equivalencia. A esta fecha le llamamos fecha focal. El procedimiento para el planteamiento y
resolución de una ecuación de valor a interés compuesto, es similar al estudiado anteriormente
con interés simple, la única diferencia en este caso es que la fecha focal la podemos elegir para
cualquier fecha y el resultado no cambia.
Como sabemos, todas las cantidades, ya sean deudas o pagos deben ser trasladadas a la
fecha focal con una tasa de interés denominada tasa de rendimiento.
La metodología que estudiamos anteriormente sigue siendo útil para el planteamiento de la
ecuación de valor a interés compuesto
1. Dibujemos el diagrama del perfil de flujos y calculemos los montos compuestos de las
deudas si no están dados.
2. Traslademos con interés compuesto los montos a la fecha focal con la tasa de rendimiento y
efectuemos la suma. Ubiquemos este procedimiento sobre la línea del diagrama del perfil de
flujos.
3. Traslademos con interés compuesto los pagos a la fecha focal con la tasa de rendimiento, y
calculemos la suma. Ubiquemos este procedimiento debajo de la línea del diagrama del perfil
de flujos.
4. Igualemos los resultados de la suma en (2) con la en (3) y despejemos la incógnita X que
soluciona el problema de equivalencia financiera.
Para desarrollar los pasos 2 y 3 de la metodología señalada, podemos emplear las fórmulas 15,
16 y 17 de valor futuro o bien 19 y 20 de valor presente.
En el gráfico 29 observamos que la cantidad A está a la izquierda de la fecha focal, el traslado
de dicha cantidad a la fecha focal la podemos hacer con las fórmulas 15, 16 o 17.
La cantidad B está a la derecha de la fecha focal, entonces el traslado a la fecha focal la
realizamos con las fórmulas 19 o 20.
Cantidad A Fórmula 15,16 y 17
Fecha focal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses
Gráfico 29 Fórmula 19 y 20 Cantidad B
Ejemplo 52:
Una empresa tiene tres deudas con el Banco Atlántida:
a. $15,800, a plazo de 10 meses, al 18% CM y vence hoy.
b. $20,600 a plazo de 12 meses, al 19% CT y vence dentro de 8 meses.
c. $26,300.25 monto que vence dentro de 6 meses.
Para saldar las tres deudas se establece el siguiente plan de pagos equivalentes, los cuales
reestructuran las deudas anteriores con un plazo a partir de hoy de 1.5 años.
Acuerdo: la empresa debe efectuar los siguientes pagos:
a. Un pago hoy por $12,500.

90
b. El saldo se recoge en 3 cuotas iguales a efectuarse dentro de 6, 12 y 18 meses
respectivamente.
Por su parte, el banco no cobrará intereses por mora y utilizará una tasa de rendimiento del
24% CM para el cálculo de los pagos.
Solución: La fecha focal la elegimos dentro de 6 meses, pero puede ser cualquier fecha.
Siguiendo la metodología descrita procedemos:
1. Calculemos los montos de cada una de las deudas a su fecha de vencimiento, gráfico 30
hoy
vence
18,336.55
12
10
2
1
12
0.18
1
15,800
F
.
a =
















+
=
meses
8
de
dentro
vence
24,801.81
12
12
4
4
0.19
1
20,600
F
.
b =
















+
=
meses
6
de
dentro
vence
26,300.25
F
.
c =
18,336.55 24,801.81 26,300.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Meses
Gráfico 30
2. Traslademos los montos a la fecha focal dentro de 6 meses, con la tasa de rendimiento. La
suma de los montos (70,730.72) la señalamos sobre gráfico 31.
70,730.72
25,278.98
24,801.81
20,649.93
12
2
12
12
24
1
26,300.25
24,801.81
12
6
12
12
24
1
18,336.55
=
+
+
=
−






+
+
+






+




















0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
fecha focal
Gráfico 31
70,730.72
14,077.03 + X(2.676464)
18,336.55 24,801.81 26,300.25
12,500 X X X
3. Traslademos los pagos a la fecha focal dentro de 6 meses, con la tasa de rendimiento y
determinemos la suma, cantidad debajo del gráfico 31.
( ) ( ) ( ) ( )
2.676464
X
14,077.03
0.788493
X
0.887971
X
1
X
14,077.03
12
12
12
12
24
1
X
12
6
12
12
24
1
X
X
12
6
12
12
24
1
12,500
+
=
+
+
+
=
−






+
+
−






+
+
+






+































91
4. Igualando los resultados de 2 y 3 (valores en círculos) y despejando la incógnita X,
obtenemos:
70,730.72=14,077.03 + X(2.676464)
21,167.36
2.676464
56,653.69
2.676464
14,077.03
70,730.72
X =
=
−
=
Concluimos que cada pago será de $21,167.36 a efectuarse dentro de 6, 12 y 18 meses
respectivamente, de esta forma se saldan todas las deudas. Podemos comprobar que si
variamos la fecha focal desde hoy hasta dentro de 18 meses, el valor de los pagos no cambia.
Sintetizando:
Si conocemos porque hemos calculado la tasa efectiva anual, podemos calcular la tasa
nominal r.
Si conocemos porque hemos calculado la tasa efectiva anual, podemos establecer la
relación de equivalencia entre ésta y la tasa nominal j convertible para cualquier período.
Si conocemos porque hemos calculado la tasa nominal r convertible continuamente,
podemos hallar la tasa efectiva anual.
Ecuación valores a interés simple: Igualdad de valores, que se ubican en una fecha escogida para la equivalencia, llamada fecha focal.
Ecuación valores a interés compuesto:Igualdad de valores, en donde podemos elegir la fecha focal para cualquier fecha y el resultado no cambia.
Ecuaciones
de Valor
Cuando conocemos o hemos calculado la tasa efectiva anual, podemos hallar la
relación de equivalencia entre ésta y la tasa efectiva para cualquier período.
Si conocemos la tasa nominal periódica j y su frecuencia m, podemos determinar las
relaciones de equivalencia entre la tasa efectiva del período y entre la tasa efectiva anual.
Tasa
equivalentes
nominales y
efectivas
Tasa de interés convertible continuamente: Con esta conocemos la tasa de interés convertible
continuamente a partir del valor futuro F, el Valor presente P y el plazo n de la operación. El periodo de
la tasa nominal convertible continuamente depende de la unidad en que esté expresado el plazo.
Plazo a interés convertible continuamente: Permite encontrar el plazo cuando la operación financiera es
con interés convertible continuamente. Expresa el plazo de la operación en años si la tasa nominal r es
anual, de lo contrario expresará el período en que esté definida dicha tasa de interés.
Valor presente a interés convertible continuamente: Permite determinar el valor presente
con interés convertible continuamente
Monto compuesto continuamente: Se aplica cuando la frecuencia de capitalizaciones de la
tasa nominal J es continua, ya que la variable m tiende a infinito, es decir, crece sin límite.
Convertibilidad continua: Las capitalizaciones de interés por período de la tasa nominal que se producen en un año son infinitas y el capital crece de forma continua.
Interés
compuesto
convertible
Se calculan a partir del conocimiento del valor futuro F de
un valor presente P y el plazo n de una operación
financiera.
Tasas de
interés
efectivasy
nominales
Es útil para estimar el tiempo o plazo que puede alcanzar un
monto prefijado de una determinada inversión realizada a
partir del día de hoy, sabiendo la tasa de interés que actúa en
la operación
Número de
períodos
capitalizados
y plazo
Valor del dinero el día de hoy o el valor en cualquier fecha anterior a
su vencimiento.
Valor
presente de
una suma de
dinero
Tasa equivalente: Dos o más tasas de interés (nominal como efectiva) son equivalentes, si al final del período rinden los mismos
intereses y tienen la misma tasa periódica efectiva.
Tasa efectiva: Es periódica y expresa la rentabilidad a interés compuesto,
mide el porcentaje de ganacia de la inversión. Tiene en cuenta el valor del
dinero en el tiempo.
Trimestral = 4 conversiones
Mensual = 12 conversiones
Semestral =2 conversiones
Tasa nominal: Establecida en toda operación financiera. No toma en cuenta el valor
del dinero en el tiempo y especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses.
F=P(1+i)N
Valor futuro a interés compuesto
Tasa de interés: Capitaliza intereses en
cada período
Calcula la equivalencia
financiera entre una suma de
dinero presente P y una suma
futura F.
Valor futuro
de una suma
de dinero
Capitalización de intereses: Proceso de integración de intereses al capital final de cada período. I=Pin F=P+PIN
El capital aumenta en cada período;
el interés se integra al capital y
luego se calculan intereses sobre un
nuevo monto en cada período.
Interés
compuesto
Conceptos, variables relacionadas y formulas
periódica
Tasa
m
j
i = anual
Tasa
1
-
m
m
j
ie 







+
= 1
N
i
F
-N
i)
F(1
P
)
1
( +
=
+
=
( )
1 1
+ = +












i
j
m
N
nm
Valor futuro
alternativo
( ) 











+








=
final.
al
inicio
el
desde
interés
de
dos
capitaliza
Perído
i
1
ln
P
F
ln
N
)
(
1
N
1
P
F
i periódica
efectiva
Tasa
−








=
( )
nte
Continuame
compuesto
Monto
n
r
e
P
F =
n
r
F
e
n
r
e
1
F
P
−
=












=
















=
P
F
ln
r
1
n
















=
P
F
ln
n
1
r
período
del
efectiva
tasa
j
m
i =
( ) 1
1
e
i
1
i −
+
=
m
( )








−
+
= 1
1
e
i
1
j
m
m
1
r
e
i e −
=
( )
e
i
1
ln
r +
=
mn
m
j
F
mn
m
j
P






+
=
−








+
=
1
1














+
=
+
=
+
o
alternativ
presente
Valor
mn
m
j
N
i
N
-
i)
(1
1
1
)
1
(
1
















+
















=
j
nominal
tasa
con
Plazo
m
j
P
F
m
n
1
ln
ln
1










+








=
anual
efectiva
interés
de
tasa
con
períodos
de
Núm
ero
e
i
P
F
n
)
1
ln(
ln
)
(
1
1
P
F
i anual
efectiva
Tasa
n
e −








=
)
(
1
.
1
nom
inal
Tasa
n
m
P
F
m
j












−








=
( ) anual
efectiva
tasa
1
m
i
1
1
m
m
j
1
e
i −
+
=
−








+
=
Si conocemos porque hemos calculado la tasa efectiva anual, podemos calcular la tasa
nominal r.
Si conocemos porque hemos calculado la tasa efectiva anual, podemos establecer la
relación de equivalencia entre ésta y la tasa nominal j convertible para cualquier período.
Si conocemos porque hemos calculado la tasa nominal r convertible continuamente,
podemos hallar la tasa efectiva anual.
Ecuación valores a interés simple: Igualdad de valores, que se ubican en una fecha escogida para la equivalencia, llamada fecha focal.
Ecuación valores a interés compuesto:Igualdad de valores, en donde podemos elegir la fecha focal para cualquier fecha y el resultado no cambia.
Ecuaciones
de Valor
Cuando conocemos o hemos calculado la tasa efectiva anual, podemos hallar la
relación de equivalencia entre ésta y la tasa efectiva para cualquier período.
Si conocemos la tasa nominal periódica j y su frecuencia m, podemos determinar las
relaciones de equivalencia entre la tasa efectiva del período y entre la tasa efectiva anual.
Tasa
equivalentes
nominales y
efectivas
Tasa de interés convertible continuamente: Con esta conocemos la tasa de interés convertible
continuamente a partir del valor futuro F, el Valor presente P y el plazo n de la operación. El periodo de
la tasa nominal convertible continuamente depende de la unidad en que esté expresado el plazo.
Plazo a interés convertible continuamente: Permite encontrar el plazo cuando la operación financiera es
con interés convertible continuamente. Expresa el plazo de la operación en años si la tasa nominal r es
anual, de lo contrario expresará el período en que esté definida dicha tasa de interés.
Valor presente a interés convertible continuamente: Permite determinar el valor presente
con interés convertible continuamente
Monto compuesto continuamente: Se aplica cuando la frecuencia de capitalizaciones de la
tasa nominal J es continua, ya que la variable m tiende a infinito, es decir, crece sin límite.
Convertibilidad continua: Las capitalizaciones de interés por período de la tasa nominal que se producen en un año son infinitas y el capital crece de forma continua.
Interés
compuesto
convertible
Se calculan a partir del conocimiento del valor futuro F de
un valor presente P y el plazo n de una operación
financiera.
Tasas de
interés
efectivasy
nominales
Es útil para estimar el tiempo o plazo que puede alcanzar un
monto prefijado de una determinada inversión realizada a
partir del día de hoy, sabiendo la tasa de interés que actúa en
la operación
Número de
períodos
capitalizados
y plazo
Valor del dinero el día de hoy o el valor en cualquier fecha anterior a
su vencimiento.
Valor
presente de
una suma de
dinero
Tasa equivalente: Dos o más tasas de interés (nominal como efectiva) son equivalentes, si al final del período rinden los mismos
intereses y tienen la misma tasa periódica efectiva.
Tasa efectiva: Es periódica y expresa la rentabilidad a interés compuesto,
mide el porcentaje de ganacia de la inversión. Tiene en cuenta el valor del
dinero en el tiempo.
Trimestral = 4 conversiones
Mensual = 12 conversiones
Semestral =2 conversiones
Tasa nominal: Establecida en toda operación financiera. No toma en cuenta el valor
del dinero en el tiempo y especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses.
F=P(1+i)N
Valor futuro a interés compuesto
Tasa de interés: Capitaliza intereses en
cada período
Calcula la equivalencia
financiera entre una suma de
dinero presente P y una suma
futura F.
Valor futuro
de una suma
de dinero
Capitalización de intereses: Proceso de integración de intereses al capital final de cada período. I=Pin F=P+PIN
El capital aumenta en cada período;
el interés se integra al capital y
luego se calculan intereses sobre un
nuevo monto en cada período.
Interés
compuesto
Conceptos, variables relacionadas y formulas
periódica
Tasa
m
j
i = anual
Tasa
1
-
m
m
j
ie 







+
= 1
N
i
F
-N
i)
F(1
P
)
1
( +
=
+
=
( )
1 1
+ = +












i
j
m
N
nm
Valor futuro
alternativo
( ) 











+








=
final.
al
inicio
el
desde
interés
de
dos
capitaliza
Perído
i
1
ln
P
F
ln
N
)
(
1
N
1
P
F
i periódica
efectiva
Tasa
−








=
( )
nte
Continuame
compuesto
Monto
n
r
e
P
F =
n
r
F
e
n
r
e
1
F
P
−
=












=
















=
P
F
ln
r
1
n
















=
P
F
ln
n
1
r
período
del
efectiva
tasa
j
m
i =
( ) 1
1
e
i
1
i −
+
=
m
( )








−
+
= 1
1
e
i
1
j
m
m
1
r
e
i e −
=
( )
e
i
1
ln
r +
=
mn
m
j
F
mn
m
j
P






+
=
−








+
=
1
1














+
=
+
=
+
o
alternativ
presente
Valor
mn
m
j
N
i
N
-
i)
(1
1
1
)
1
(
1
















+
















=
j
nominal
tasa
con
Plazo
m
j
P
F
m
n
1
ln
ln
1










+








=
anual
efectiva
interés
de
tasa
con
períodos
de
Núm
ero
e
i
P
F
n
)
1
ln(
ln
)
(
1
1
P
F
i anual
efectiva
Tasa
n
e −








=
)
(
1
.
1
nom
inal
Tasa
n
m
P
F
m
j












−








=
( ) anual
efectiva
tasa
1
m
i
1
1
m
m
j
1
e
i −
+
=
−








+
=

92
1. ¿Cuál el valor final de un documento de valor nominal $3,000 a un plazo de 2 años y 7 meses
comerciales si el interés es del 18% CT?
2. Calculo el monto de $2,000 desde el 10 de mayo al 18 de diciembre del mismo año al 14.965% CD.
3. ¿Qué cantidad de dinero recibe hoy una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por
$56,500 que incluye capital e intereses a 28% CD y tiene un vencimiento en 20 meses?
4. Determino el valor actual de $855 que vencen dentro de 300 días con las siguientes tasas de interés: a.
12% CT; b. 14% CB; c. 14% CS y d. 15% CD
5. ¿Qué depósito debe efectuarse hoy en un fondo que paga el 12% CB para tener disponibles $7,000 al
cabo de 3 años?
6. ¿Cuál es el valor final de un certificado de valor nominal de $15,500 a un plazo de 8 meses y 12 días si la
tasa de interés es de 6.8% CT?
7. ¿Qué valor tiene un depósito el día de hoy en una cuenta para garantizar dos retiros de $2,000 y $3,500
dentro de 7 meses y 1.5 años respectivamente con el interés de 9.5% CD?
8. Una empresa debe pagar hoy una deuda cuyo monto es de $3,870 y dentro de 9 meses tiene que pagar
otra por $2,650. Necesita saber cuánto debe pagar dentro de 5 meses si le cargan intereses de 14.5%
CD.
9. Determino el valor total de dos depósitos el día 30 de noviembre, si el primero es de $1,400 se efectuó el
día 15 de febrero y el segundo por $1,800 se realizó el 26 de junio, el primero con el 12% CD y el
segundo con el 13% CS.
10.Una corporación financiera, recibe una letra de cambio por valor nominal de $35,000 con vencimiento en
15 meses y un interés del 24% CT. A los 10 meses solicita que le sea descontada por el Banco de
América del Sur que cobra el 2.4% mensual, ¿cuánto recibirá la corporación por la letra?
11.En una operación de exportación una empresa recibe un pagaré por $75,000 a 180 días de plazo y que
devenga un interés mensual de 1%. A fin de contar con recursos líquidos, la empresa descuenta el
documento en su banco y éste lo acepta cargando un interés de 2.50% trimestral ¿Cuál es el importe neto
que recibe la empresa, si el descuentose efectúa 143 días antes del vencimiento?
12.Un inversionista local tiene 3 opciones para invertir su dinero: a. al 28.5% CM; b. al 32% simple y c. al
30% CS ¿Qué opción le sugeriría?
13.¿En qué tiempo un capital de $48,500 alcanza un valor de $60,000: a. ¿si es invertido al 8.3% CM? Y b.
¿En qué tiempo se duplica?
14.¿A qué tasa nominal CT el monto de $3,000 será de $9,000 en 3 años?
15. a. ¿A qué tasa efectiva anual se duplica un capital en 2 años?; b. ¿A qué tasa nominal CS se duplica un
capital en 2 años? y c. ¿A qué tasa nominal CM se duplica un capital en 2 años?
16.Si un certificado de depósito a término en el mercado primario de la Bolsa de Valores es emitido a
$93,677 para ser redimido a $100,000 en 90 días, calculo la tasa de rentabilidad trimestral y la tasa de
rentabilidad mensual: a. Sin tomar en cuenta la retención en la fuente y b. Tomando en cuenta la
retención del 3.7%.
17.Determino que le conviene más a un empleado si la patronal le ofrece tres opciones para liquidar sus
prestaciones por servicio, al 15% CS. (sugerencia: Encuentro el valor actual de cada opción y selecciono
la mayor).
a. Recibir hoy $3,000 y $3,800 a los 5 meses
b. Recibir hoy un solo pago de $6,500
c. Recibir hoy $1,000, $2,000 a los 2 meses y $4,000 a los 6 meses
18.Determino que plan le conviene a una persona para ahorrar cierta cantidad de dinero a los 5 meses,
sabiendo que el dinero gana un interés del 22% CT.
a. Un solo depósito hoy de $8,000
b. Un depósito hoy de $3,500 y otro depósito de $4,500 a los 4 meses
c. Tres depósitos en los meses 1, 2 y 3 de $2,800 cada uno
19.Una persona invierte $4,500 y 15 meses después le devuelven $7,010.85 ¿Qué tasa de interés efectiva
mensual y anual gana sobre la inversión?
20.Calculo la tasa nominal CT equivalente al: a. 18% CM y b. 20% CS.
21.a. ¿Cuál es la tasa equivalente convertible continuamente a 24% efectivo?; b. ¿Cuál es la tasa efectiva
equivalente 20% CS?

93
22. a. Determino una tasa de interés CM que rinda lo mismo que 20% convertible continuamente. b. Calculo
la tasa nominal convertible continuamente, que genere los mismos intereses que 18% CT.
23. Considero una tasa nominal de 21.50% CM y encuentro el conjunto de tasas equivalentes siguientes: a.
Nominal CT; b. Nominal CD; c. Nominal CC; d. Nominal semestral CC y e. Nominal semestral CM.
24. A partir de 3.2% EM calculo el conjunto de tasas equivalentes siguientes: a. Nominal CT; b. Efectiva ES;
c. Nominal trimestral CC; d. Efectiva ED y e. Nominal CB.
25. Si en un negocio su propietario gana 1.2% EM acumulativo ¿qué porcentaje gana en 2 años? ¿cuánto
en 5 años?
26. Si el desarrollo o crecimiento económico de un país fue de 28.7377% en 6 años ¿de cuánto fue el
crecimiento promedio anual?
27. ¿Es lo mismo términos de la tasa de interés pagar una deuda hoy con el 4.55% nominal trimestral CC,
que pagarla dentro de 2 años con el 9.1694% nominal semestral CM? (sugerencias: calculo el monto a
los 2 años o la tasa efectiva anual para cada caso).
28. Determino el monto de $12,500 invertidos al 21% de forma continua, durante 18 meses.
29. Un documento por $50,000 se vence dentro de 15 meses, si se descuenta a una tasa:
a. del 18% de forma continua
b. del 18.10 % CT
c. del 18.20% CS.
Determino el menor valor al día de hoy. (indicar el inciso)
30. Una entidad financiera local paga en depósitos a término fijo de un año una tasa de interés en dólares
de 6.5% CD ¿Cuál es la tasa que paga efectivamente de forma anual?
31. Un préstamo personal por $1,200 se obtuvo hace un mes, se cancela mediante dos pagos uno de $600
el día de hoy y otro por la cantidad que determino dentro de 3 meses si el interés es del 10% semestral.
32. Hoy se contrae una deuda que junto con sus intereses al 8.5% efectivo trimestral al final de 4 años
representará $500,000. Determino la cantidad que se deberá pagar si la deuda se cancela al cabo de 18
meses.
33. Una distribuidora automotriz ofrece a sus clientes un 10% de descuento en la compra de contado de un
automóvil nuevo, o bien, 50% del precio de contado y 50% a 6 meses sin descuento y sin intereses
¿qué alternativa debe escogerse si el dinero puede ser invertido a una tasa de interés mensual de: a.
2% b. 3% c. 4%
34. Una cuenta de ahorros se abre con $500.00, al tercer mes se depositan $150, a los dos y seis meses
siguientes se retiran $85 y $100 respectivamente. Si el interés que gana es del 6.30% CM determino la
cantidad en la libreta de ahorros un año después de iniciada la cuenta.
35. Si una persona debió pagar hace 1.5 años $580 y tiene que pagar $720 dentro de 8 meses. Si le cobran
intereses corrientes del 18% CT y moratorios del 9% anual IC por la cuenta no pagada y el 15% anual
por la próxima a vencer ¿Qué pago único debe hacer el día de hoy?
36. Una deuda de $3,600 se contrae el día 26 de febrero para pagarse junto a sus intereses el día 25 de
noviembre del mismo año; si los intereses corriente son de 24% CM y los intereses por mora son de
20% efectivo anual, determino:
a. el valor del pago en la fecha de vencimiento
b. el valor de la deuda el día 28 de marzo del siguiente año. (sugerencia: calculo el interés por mora sobre
el principal vencido).
37. ¿En cuánto tiempo se liquidará un crédito de $175,000 con intereses del 24.96% compuesto por
quincenas y un pago final de $230,000?
38. Una empresa compra un equipo de computación con $3,500 de cuota inicial y un pago por $10,000 a los
dos meses de la compra. ¿Cuál es el precio de contado si se tienen cargos del 33% CM?
39. Un televisor cuyo precio de contado es de $4,500, al crédito se liquida con $5,200 a los tres meses.
¿Cuál es la tasa de interés anual capitalizable por quincenas?
40. Determino el día que se cancela con $21,000 un crédito de $18,750, concedido el 5 de junio con cargos
del 36.72% CD.
41. ¿Cuál es el precio de contado de 40 impresoras que se pagan con un anticipo del 30% y dos abonos o
cuotas de $7,000 y $9,000 respectivamente a 2 y 3 meses de la compra? Suponiendo intereses del 29%
anual con capitalización quincenal.
42. Se compra un refrigerador, que de contado cuesta $7,850 el cual se paga con un anticipo del 35% y un
pago adicional de $5,650.¿Cuánto tiempo después de la compra se hace este pago, si se pagan
intereses del 28.6% capitalizable por semanas?

94
43. El 2 de junio el señor González compra mercancía por $32,500 y firma un pagaré con valor nominal de
$37,250 y vencimiento al 21 de agosto siguiente. ¿Cuál es la tasa de interés anual CD?
44. Encuentro la fecha en que vence un documento con valor nominal de $4,550. Este se firmó por un
préstamo de $4,125 el 1 de junio con intereses del 21.6% CD?
45. ¿Cuánto gana por concepto de intereses un inversionista que deposita $320,000 en una cuenta que
reditúa el 18.4% CM, en un año y medio de plazo?
46. ¿Qué capital debe invertir para tener $12,000 en una cuenta que produce el 24.8% de interés CM, un
año después?
47. ¿Cuál es la tasa nominal anual CB, si un capital de $10,500 genera intereses del 30% global total en 8
meses?
48. ¿Cuál de las siguientes alternativas es más redituable para un inversionista?
a. Invertir en una cuenta de ahorros que paga el 32.5% CM;
b. Invertir en una cuenta bancaria que paga el 33.5% capitalizable por cuatrimestres o
c. Invertir en una cuenta de valores al 30.8% capitalizable por semanas.
49. El contador Pérez compra un televisor con vídeo casetera integrada, con un enganche de 150 dólares
que representa el 20% del precio del aparato, y dos abonos iguales para cubrir el 80% restante.¿ De
cuánto es cada uno, si se tienen cargos del 32% CM y los pagos se hacen a 2 y 3 meses después de la
compra?
50. La señora Ferrer invierte hoy $25,000, ¿cuánto acumula en un semestre, si su inversión reditúa el 2.8%
mensual capitalizable por mes? ¿Cuánto dinero gana por intereses? Recuerdo que esta tasa significa
que j/m=j/12=0.028 de donde j= 0.336 es la tasa nominal anual CM.
51. ¿Con qué tasa anual compuesta por semanas se triplica un capital en 3 años?
52. Hoy se cumplen dos meses que la empresa Otelo SA consiguió un préstamo de $7,500 a 7 meses de
plazo con el Banco Omega. Tres meses antes del primero le concedieron otro por $12,000 a un plazo de
6 meses. El día de hoy la empresa hace un pago de $10,000 y acuerda con el Banco liquidar el resto en
2 cuota iguales dentro de 2 y 5 meses respectivamente. Si le cargan una tasa de interés de 21.84%
efectivo anual, determino el valor de cada cuota.
53. Una empresa local tiene 3 deudas así: $5,000 con vencimiento en 5 meses e intereses del 20% CT.
$10,000 con vencimiento en 9 meses e intereses del 24% CS $20,000 con vencimiento en 21 meses e
intereses del 30% efectivo. Estas deudas se van a cancelar mediante 2 pagos iguales uno el día de hoy
y otro al final de 2 años. Suponiendo un rendimiento de 24% CM. Calculo el valor de los pagos.
54. El Señor Restrepo, 3 meses antes de iniciar la construcción de su casa apertura una cuenta de débito
para este fin y deposita $25,000 y otros $45,000 al iniciar las obras. Determino el valor del depósito 2
meses después si el presupuesto total es de $120,000 distribuidos de la forma siguiente: 30% al
comenzar la construcción, 35% a los 2 meses, 20% 3 meses después y el resto al terminar, es decir 8
meses después del inicio y la cuenta devenga el 15% CM.
55. La administración de un proyecto tiene 4 adeudos de $7,000, $15,000, $12,000, y $13,000 que vencen
respectivamente el 15 de abril, el 7 de mayo, el 18 de julio y el 30 de octubre del mismo año y todos
devengan intereses de 32.85% CD. Entre deudor y acreedor se acuerda que estos adeudos se liquiden
en 3 pagos iguales el quinceavo día de los meses de abril , junio y agosto en sustitución de los primeros
¿de cuánto es cada uno?
56. La Librería Bolívar suscribió 3 operaciones de crédito con la Editorial Nuevo Mundo que vencen el
mismo año. La primera se suscribió el 15 de marzo por $75,000 a pagarse el día 30 de noviembre; la
segunda el 8 de mayo mediante un pagaré con valor nominal de $50,500 y vencimiento el 10 de
diciembre y la última el 1 de junio con un documento con valor nominal de $60,000 y vencimiento el 25
de agosto. Acuerdan reemplazar el compromiso con 2 pagos, uno el 15 de agosto y el otro el 15 de
octubre por un valor que es doble del primero.
a. De cuánto es cada pago si devengan intereses de 27.375% CD?
b. ¿Con cuánto se liquidan las deudas con un pago único el 20 de diciembre?
57. El día 20 de marzo el Señor Dionisio Bello compra un automóvil usado y paga un anticipo del 40% y el
saldo se liquida en dos pagos uno de $3,000 el día 19 de mayo y el otro de $2,500 el día 18 de junio del
mismo año; a una tasa de interés del 30% CM ¿cuánto se pagaría de contado por el auto, si además se
hace un descuento del 6.8% adicional?
58. En el problema 57 ¿En qué fecha después de la compra, el Señor Bello haría un pago de $6,000 en
sustitución de los dos de $3,000 y $2,500?

95
59. Determino cuánto debe invertir en una cuenta el 10 de marzo y el 7 de mayo la Empresa de Dulces el
Gallito, para disponer de $12,000 el 18 de agosto y de $20,000 el 15 de noviembre del mismo año,
sabiendo que la cuenta devenga un interés de 13.87% CD, suponiendo que:
a. Los dos depósitos son iguales.
b. El segundo depósito es 40% mayor que el primero.
60. En el problema 59, determino el valor de un depósito único efectuado el día 8 de enero del mismo año,
si es bisiesto.
Me retroalimento y corroboro mis respuestas con las que se me presentan en la página 103, de las hojas de
respuesta al final de la unidad autoformativa I.

96

97
Resumen Final de la unidad autoformativa I
Conclusiones generales
Una vez concluido el estudio de la Unidad autoformativa I, usted está capacitado para:
Explicar los conceptos de inversión, interés, valor del dinero en el tiempo, monto, capital, tasa
de interés, flujo de caja.
Elaborar el diagrama tiempo valor del flujo de caja de un proceso de inversión.
Calcular el monto, el valor actual, los intereses, el plazo y la tasa de interés con la fórmula de
interés simple: ( )
[ ] n
i
P
P
n
i
1
P
F +
=
+
=
Determinar el descuento simple racional y bancario, el plazo, y la tasa de rentabilidad a través
de las fórmulas:
P
F
D −
=
Fdn
F
D
F
P −
=
−
=
( ) dv
360
Inv
G
r
es
ad
rentabilid
La
n
i
1
F
P =
+
=
Plantear y resolver problemas de liquidación de deudas usando el método de la Regla
Americana, los pagos parciales e intereses por mora.
Reestructurar una obligación financiera haciendo uso de las ecuaciones de valores equivalentes
con interés simple.
Explicar los conceptos de interés compuesto, periodo de capitalización, frecuencia de
conversión de intereses, tasas efectivas, nominales y equivalente.
Evaluar con interés compuesto el monto, capital, plazo, y tasas de interés nominal y efectiva
con las fórmulas
( ) ( ) JN
n
e
mn
N
Pe
i
1
P
m
j
1
P
i
1
P
F =
+
=






+
=
+
=
Realizar cálculos financieros para reestructurar una deuda a través de la construcción de
ecuaciones de valores equivalentes con interés compuesto.
Calcular las tasas equivalentes tanto nominales como efectivas, teniendo en cuenta la
frecuencia de conversión de intereses discreta y continua.
Tomar decisiones financieras seleccionando la mejor opción a través de cálculos con interés
compuesto.
Utilizar el concepto y las fórmulas de interés compuesto para resolver problemas de aplicación

98

99
Autoevaluación final de la unidad autoformativa I
Para verificar el logro de los objetivos, resuelvo cada uno de los problemas que se me
presentan a continuación, para ellos es necesario disponer de un ambiente adecuado, utilizo
una calculadora electrónica, el formulario, papel y lápiz.
1. Determino el interés simple que devengan las siguientes inversiones
a. $800 a 4% trimestral durante 178 días
b. $500 a 1.5% bimensual desde el 16 de marzo al 26 de octubre del mismo año
c. $1,200 a 12% durante 9 meses comerciales
2. Calculo la tasa de rentabilidad con interés simple de $2,000 invertidos el 12 de enero hasta
el 22 de noviembre del mismo año, si ganan $348.89
3. Una persona debe pagar hoy $3,000 y dentro de 10 meses pagará $4,600, si decide pagar
ambas deudas en dos pagos: uno dentro de 6 meses y el otro el doble del primero dentro
de 15 meses, determino la cantidad a pagar en cada uno, si le aplican una tasa de
rendimiento de 3% simple mensual y fecha focal dentro de 8 meses.
4. En que tiempo un capital de $3,213 gana un interés de $1,000 si la tasa es de 12.4%
interés simple.
5. El valor nominal de un certificado de inversión es de $16,000 a plazo de 270 días, se oferta
al público a una tasa de descuento del 8.40%. Determino: a. el valor que usted pagaría por
el certificado; b. La tasa de rentabilidad anual.
6. Hago uso de la regla americana para cancelar una deuda de $20,000 a plazo de 15 meses
con 22% de interés corriente y 20% de interés por mora, si se acuerdan los pagos parciales
siguientes: $8,000 a los 5 meses, $9,000 a los 9 meses y un tercer pago al vencimiento: a.
Elaboro la tabla de pago; b. Asumo que el pago 1 se retrasa 28 días ¿cuánto paga en la
fecha? ¿Cuál es el valor del pago 2?
7. ¿Cuál es el valor acumulado a interés compuesto de un depósito de $8,000 que realiza
una empresa a plazo fijo de 90 días con 9% CD?
8. Determino la tasa nominal CT que gana una inversión de $5,000 si los intereses son de
$556.96 durante 16 meses.
9. Determino el valor actual del monto $23,500 que vence dentro de 15 meses al 6.5%
efectivo semestral.
10. Determino las siguientes tasas equivalentes a 25% efectivo anual:
a. Efectivo trimestral ET.
b. Nominal semestral CC.
c. Nominal CB.
d. Efectivo mensual EM

100
11. Una empresa tiene dos deudas pendientes con un banco : 1) Monto de $10,000 vence dentro
de 4 meses 2) Monto de $8,500 vence dentro de 10 meses. Se pagarán a través de $5,000
dentro de 3 meses y dos pagos iguales X dentro de 9 y 15 meses respectivamente. Con el
20% CT, encuentro el valor del pago X.
12. Un inversionista tiene $50,000 para invertir a plazo de 16 meses, determino que tasa de
interés le conviene más; si 3.3% ET o 5.82689% semestral CC.
En la página 104 encontraré las respuesta a esta autoevaluación, me corrijo y retroalimento.

101
Hojas de respuestas de la unidad autoformativa I
Respuestas a la evaluación diagnóstica inicial
6
1
c
1
.
c
3
b
.
b
21
b
6
a
1
8
b
8
a
1
.
a
.
1 −
2. a. 0.593658 b. 49.97 c. 0.41003
3. a. 15% anual b. 1.2% mensual c. 10% semestral
4. a. 20 trimestres b. 120 meses
5. a. 20 b. 80 c. 6.30
6. a. $19,948.70 b. $33,171.72 c. $20,500
7. $61.54
750 725 700 675
8.
0 1 2 3 4 año
2,50
9. Recibir primero 18% y después 8%
10. a. A produce 122,500; B produce 84,000 y C produce 143,500
b. 3,360 tornillos defectuosos de la producción de B
c. 0.1031% y 0.04228%
Respuestas a la prueba diagnóstica de la unidad autoformativa I
1.
2.
3.
Las primeras tres preguntas son de carácter personal y se pretende reconocer el
nivel de conocimiento y nivel de percepción que los estudiantes poseen sobre la
temática.
4. $46.5
5. $3,162
6. $253.95
7. $1,003.62
8. 15.3895%
9. $3,630.86
10. 12% anual

102
Respuestas a la actividad de autoaprendizaje No. 1
A c tiv id a d 6 . y 7 .
6 ,7 0 0 6 ,7 0 0 6 ,7 0 0 4 6 ,7 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 a ñ o s
2 5 ,0 0 0
b . 3 1 0 2 ,5 1 0 3 ,3 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1 ,4 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0a ñ o s
6 ,0 0 0
c . 3 0 ,0 0 0 3 8 ,0 0 0 4 5 ,8 0 0 5 3 ,3 8 0 6 0 ,7 1 8 6 7 ,7 9 0 7 4 ,5 6 9 8 1 ,0 2 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8
a ñ o s
1 0 0 ,0 0 0
d . 2 ,5 8 2 2 ,5 8 2 2 ,5 8 2 2 ,5 8 2 6 ,2 8 2 9 ,2 8 2
0 1 2 3 4 5 6 a ñ o s
2 0 ,0 0 0
5 ,5 0 0 2 ,0 0 0 1 ,7 0 0
a .
1. a. $193.75 b. $174.44 c. $1,012.05 d. $140.87 e. $281.60 f. $103.85
2. a. $3,261.45 b. $2,657 c. $7,412.64 d. $1787.33 e. $4,693.33 f. $1,408.15
3. 21%
4. 12.5%
5. $4,382.28
6. 2 años, 2 meses, 18 días
7. 9 meses, 10 días
8. 72 días
10. a. $12,931.03 b. $15,173.33 c. $14,240.51 d. $13,820.64 e. $15,600.00
11. 17.80%
12. a. $2,497.50 b. $19,116.84 c. $15.9548%
13. a.$19,203.21 b. $11,060.32 c. $7,373.55 d. $22,513.34
14. Menor costo presente, oferta 2
15. $2,294.34
16. $5,132.81

103
17. $3,879.75
18. $4,021.39
19. 11 de enero
20. $15,213.46
21. $7,223.20
22. $1,108.83
23. 20.777%
24. $2,971.66
25. a. $9,100 13.1868% b. $9,564.80 12.7692%
26. a. $12,138.05 b. $11,787.73, $14,787.73, $16,787.73 c. $9,738.52 d. $9,960.86
e. $3,863.60, $6,363.60, $8,863.60, $11,363.60, $13,863.60 f. $18,596.92 g. $30,787.88
h. $14,646.64 i. $10,486.00
27. Opción 1: $91,698.61 13.4086% Opción 2: $92,131.70 14.6446%
28. $22,750 13.1868%
29. a. $23,858.33 14.3556% b. 11.6923%
30. a. $26,575.00 15.4657% b. 16.5962%
1. $4,727.77
2. $2,193.31
3. $35,436.87
4. a. $774.77 b. $761.87 c. $763.82 d. $754.55
5. $4,901.12
6. $16,249.14
7. $4,927.41
8. 6,635.96
9. $3,442.68
10. $41,217.35
11. $76,451.56
12. 28.5% CM?
13. a. 2 años, 6 meses y 27 días b. 8 años, 4 meses, 17 días.
14. 38.349% CT.
15. a. i = 41.42% b. j = 37.84% CS c. j = 35.163% CM
16. a. 6.7497% trimestral, 2.2011% mensual b) 6.4838% trimestral 2.1162% mensual.
17. Opción c.
18. Plan c. $8,862.94
19. 3% mensual y 42,5760% anual.
20. a. 18.27135% b. 19.5235%
21. a. 21.511137% b. 21%
22. a. 20.167596% b. 17.606754%
23. a. 21.8875% b. 21.3158% c. 21.3096% d. 10.6548% e. 10.75%
24. a. 39.6419% b. 20.8031% c. 9.4496% d. 0.103610% e. 39.0144%
25. a. 33.1473% b. 104.5647%
26. 4.3%
27. sí. (sugerencias: calcule el monto a los 2 años o la tasa efectiva anual para cada caso)
28. $17,128.24.
29. Inciso (a) $39,925.81.
30. 6.7153%
31. $649.43
32. $221,142.71

104
33. a. de contado b. de contado c. a plazo
34. $499.91
35. $1,491.29
36. a. $4,308.02 b. $ 4,843.89
37. 28.60 quincenas
38. $12,971.88
39. 58.48%
40. 24 de septiembre
41. $21,493.50
42. 19 semanas
43. 61.4377%
44. 11 de noviembre
45. $100,828.92
46. $9,388.02
47. 40.674%
48. Alternativa a.
49. $ 320.37
50. a. $29,505.21 b. $4,505.21
51. 0.3675%
52. $5,708.20
53. Cada pago $22,022.88.
54. $46,000.74
55. $15,340.62
56. a. $60,112.36 y $120,224.72 b. $192,614.84
57. $8,041.51
58. 15 de septiembre
59. a. $14,885.54 cada depósito b. el primero $12,427.76, el segundo $17,398.86
60. $28,758.45
Respuestas a la autoevaluación de la unidad autoformativa I
1. a. $63.29 b. $25.50 c. $108
2. 20%
3. Pago 1: $2,970.86 Pago 2: $5,941.72
5. $14,992, 8.9648%
6. Pago 3 al vencimiento: $6,491.03 Pago 1 con mora: $8,438.15 Modificación Pago 2:
$8,763.30
7. $8,182.02
8. 8% CT
9. $20,076.77
10. a. 5.7371% ET b. 11.1572% CC c. 22.7345% CB d. 1.8769% EM
11. $13,282.10
12. Invertir al 3.3% ET

105
Glosario
Amortización. Proceso mediante el cual disminuye una deuda a través de cuotas programadas.
Capital. Recurso financiero disponible para la inversión, valor actual o presente.
Capitalización. Proceso en el cual los intereses se agregan al capital en cada periodo.
Descuento bancario. Sistema utilizado por los bancos, el cual consiste en cobrar intereses por
anticipado calculados sobre el valor final del documento.
Diagrama de tiempo. Escala utilizada para representar los flujos de efectivos en el momento que
se produce ya sea al inicio o al final de periodo.
Descuento racional. Diferencia entre el valor final y el valor presente del documento, es decir, es
el interés simple que se deja de percibir por el pronto pago.
Ecuación de valor. Igualdad entre valores que representan deudas y pagos calculados en una
fecha común, denominada fecha focal.
Frecuencia de conversión. Número de veces por año en que los intereses se capitalizan.
Inversión. Colocación de los recursos financieros en una actividad económica en reemplazo del
consumo actual, con el objetivo de obtener mayor consumo real en el futuro.
Interés. Cantidad de dinero que se paga por hacer uso del dinero en calidad de préstamo o
ahorro.
Interés compuesto. Método de calculo financiero en el cual el interés devengado por periodos se
capitaliza; aumenta el principal en el plazo.
Interés simple. Método de calculo financiero en el cual el interés devengado se liquida por
periodos y no se capitaliza; el capital no aumenta en el plazo.
Monto. Suma del capital y los intereses al vencimiento del plazo, valor futuro.
Periodo de capitalización de intereses. Tiempo entre dos fechas sucesivas en las que los
intereses se agregan al capital.
Plazo. Tiempo entre la fecha de inicio y final planificado para la operación financiera.
Saldo insoluto. Capital no cubierto por las amortizaciones en un sistema de pago de deuda.
Tasa de interés. Cantidad de unidades monetarias que se pagan en concepto de interés al final
de periodo por cada cien unidades de capital adeudadas a inicio de periodo.
Tasas efectivas. Tasas de rendimiento o rentabilidad con interés compuesto, toman en cuenta el
valor del dinero en el tiempo.

106
Tasas equivalentes. Son aquellas tasas nominales o efectivas que producen la misma tasa de
rendimiento o rentabilidad, es decir, producen iguales intereses en el mismo plazo.
Tasas nominales. Tasas de interés que se utilizan en las operaciones financieras, no toman en
cuenta el valor del dinero en el tiempo y especifican la frecuencia de conversión de intereses.
Valor del dinero en el tiempo. Cambio de la cantidad real del dinero durante un periodo de
tiempo ocasionada por la ganancia de interés.
Valor futuro de un capital. Monto de un pago único o valor presente.
Valor presente de un monto. Valor actual o capital de un pago único en tiempo futuro.

107
Bibliografía
1. Ayres, Frank Jr. "Matemáticas Financieras", Mcgraw-Hill, México, 1993.
2. Baca, Currea Guillermo, "Las Matemáticas Financieras y los Sistemas", Limusa Noriega
Editores, Bogotá Colombia, 1997.
3. Blank, Leland T/Tarquin, Anthony J. "Ingeniería Económica", Mcgraw-Hill, Tercera edición,
México, 1992.
4. Chiang, Alpha. "Métodos Fundamentales de Economía Matemática", Mcgraw-Hill, México,
1987.
5. Díaz Mata, Alfredo “Matemáticas Financieras”, Mcgraw-Hill, Tercera Edición, México, 1999
6. Documentos: Seminario "Bolsa de Valores en Nicaragua", Managua, 1995.
7. Jagdish C., Arya/Lardner, Robin. "Matemáticas Aplicadas a la Economía y la Administración",
Prentice-Hall, México, 1992.
8. Moore, Justin H. "Manual de Matemáticas Financieras", Hispano-América, España, 1970.
9. Portus G., Lincoyán "Matemáticas Financieras", Mcgraw-Hill, Tercera edición, México, 1990.
10. Villalobos, José Luis “Matemáticas Financieras” , Pearson Educación, Segunda Edición,
México, 2001

108

109
Unidad Autoformativa II:
“Anualidades”

110

111
Presentación de la unidad autoformativa II
En esta segunda unidad didáctica, del módulo autoformativo en estudio, denominado
“Anualidades” y al igual que en la primera unidad, está escrita conservando la misma estructura
metodológica.
Si recordamos un poco en la unidad autoformativa I estudiamos, como parte del contenido, el
interés compuesto con dos sumas de dinero, el valor futuro o monto F y su correspondiente valor
presente o actual P, tomando en cuenta los demás elementos como la tasa de interés nominal y
efectiva y el plazo de la operación.
Ahora por ejemplo:
Podemos verificar que el valor futuro de $1,000 a plazo de 3 años a 18% CM es $1,709.14. En
cambio, no podemos responder hasta ahora las siguientes preguntas ¿cuál será el valor futuro de
$200 mensuales durante 3 años al 9% CM? ¿cuál será el valor presente de $5,000 anuales
durante 5 años al 20% CT?
Para responder las interrogantes anteriores, continuaremos en esta segunda unidad autoformativa
el estudio del interés compuesto, aplicado a series de pagos o sumas de dinero para calcular el
valor futuro, valor presente, valor de los pagos, tasas de interés y plazos.
También estudiaremos algunos métodos que se utilizan para evaluar costos en algunas
inversiones con vida útil definidas e indefinidas, como parte de la aplicación de anualidades.
Objetivos de la unidad autoformativa II
1. Explico el concepto de anualidad cierta simple y sus componentes
2. Desarrollo habilidades en el planteamiento y resolución de problemas de anualidades
simples vencidas u ordinarias, Simples anticipadas, simples diferidas y simples perpetuas, en
cuanto a: Montos, Valor de la renta, tasa de interés del período, valor actual.
3. Aplico el concepto de anualidad para el planteamiento y resolución de problemas
relacionados con: costos anuales equivalentes, costos uniformes equivalentes y costos
capitalizados

112
1. Conceptos básicos
2. Clasificación de las anualidades
3. Anualidades ordinarias o vencidas
4. Anualidades anticipadas
5. Anualidades diferidas vencidas
A. Anualidades simples a
plazo
A. Anualidades simples a
plazo
1. Anualidad vencida
2. Anualidad anticipada
3. Anualidad diferida
4. Análisis del valor presente de costos
5. Costo anual equivalente
6. Costo capitalizado
B. Anualidades perpetuas y
evaluación de costos
B. Anualidades perpetuas y
evaluación de costos
C. Anualidades generales a
plazo y perpetuas
C. Anualidades generales a
plazo y perpetuas
1. Anualidad general: ajuste del pago
2. Anualidad general: ajuste de la tasa
de interés
Unidad autoformativa II: “Anualidades”
Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa II
Si usted siguió las orientaciones de la unidad autoformativa I, entonces logró cumplir con los
objetivos trazados; nuevamente le invito a seguir de la misma forma y verá que el éxito que
usted obtenga en el autoestudio de la unidad autoformativa II depende de la responsabilidad de
su autoaprendizaje. Para ello se requiere:
1. El cumplimiento de las orientaciones metodológicas que se le indican son importantes para
el logro de los objetivos del autoestudio.
2. Recuerde anotar en una libreta o cuaderno aquellos aspectos relevantes como: conceptos
más importantes, resúmenes, esquemas de mapas de conocimientos. Lleve un orden en los
problemas que va estudiando y anote aquellas dudas que resulten.
3. Relacione los contenidos, dado que los mismos se presentan en cadena, donde el dominio
del conocimiento anterior, es fundamental para la interpretación y asimilación del
conocimiento siguiente.
4. Analice detenidamente los ejemplos modelos que se le presentan para resolver los
problemas propuestos.
5. Elabore un formulario indicando el número de la fórmula y su utilidad.

113
6. En el Tema A, preste atención a la construcción y uso del flujo de caja o diagrama tiempo
valor, para identificar el tipo de anualidad y consecuentemente aplicar la fórmula indicada.
7. En el Tema B, los contenidos donde debe prestar más atención son: el valor presente de la
anualidades perpetuas, el costo presente, el costo anual equivalente y el costo capitalizado.
8. En el Tema C, debe asegurarse de tener dominio sobre: cálculo del valor del pago
equivalente y la tasa equivalente para resolver problemas de anualidades generales.
Prueba diagnóstica de la unidad autoformativa II
Esta prueba tiene por objetivo que usted identifique el nivel de conocimiento previo que posee
para lograr el autoaprendizaje de los nuevos conocimientos que le exige la unidad
autoformativa II.
Se dará cuenta cuánto esfuerzo debe emprender para asimilar y aprender el contenido de la
unidad, lo cual le ayudará a planificar su autoaprendizaje de una manera eficaz.
Antes de comenzar a resolver los problemas y contestar las preguntas, asegúrese de estar en
plena disposición emocional para el estudio.
1. Si la cuota que paga un comerciante cada mes es de $800, determine el valor del
financiamiento si la tasa es del 18% CM y plazo de 3.5 años.
2. Calcule el valor de pago trimestral para liquidar una deuda, si el valor actual es de $24,000 la
cual devenga un interés del 16% CT y a plazo de 12 años.
3. Una persona abre una cuenta de ahorros con $100 y cada semana ahorra $100, si la tasa de
interés que devenga la cuenta es de 8.84% capitalizable por semana, halle el valor de la
cuenta a los 5 años.
4. Una empresa desea tener $18,000 al final del año 5, para ello abre un fondo y realiza un
depósito inicial en el periodo cero de $2,000 para completar el fondo destinará una cuota
constante anual con interés del 10.8% efectivo anual. Halle la cuota anual constante.
5. Un proyecto obtiene un préstamo por $40,000 para pagarse a plazo total de 7 años que
incluye 2 años de gracia. Con interés del 16% CT, calcule el valor de la cuota constante
anual.
6. Calcule el CAE y el Costo Capitalizado de una inversión que presenta un desembolso inicial
en año cero de $500, costos anuales de $50 desde el año 4 al 8 y del año 9 de forma
indefinida los costos serán de $75. La tasa de interés del proyecto es de 12% anual.
7. Determine el CAE de los costos de una maquinaría que tiene una inversión inicial de
$50,000, los costos de operación y mantenimiento serán de $6,000 anuales durante la vida
útil que será de 12 años. Al final de la vida útil la maquinaría se podrá vender a un precio de
mercado de $4,500, la tasa de interés es de 16% anual.
8. En la actualidad una deuda se está pagando a través de cuotas de $10,000 anuales ¿de qué
tamaño serán las cuotas equivalentes mensuales anticipadas si el interés es de 24% CS?
Usted podrá comprobar sus aciertos y desaciertos, buscando las respuestas correctas en la
página 195, al final de la unidad autoformativa II.

114

115
A. Anualidades simples a plazo
En este tema estudiaremos las anualidades simples a plazo, donde el período de pago coincida
con el período de capitalización de interés. Analizaremos las anualidades más comunes que se
utilizan en las diversas operaciones financieras bancarias y comerciales.
Antes de iniciar el tema referido a las anualidades simples a plazo, es importante que usted
tenga claro el concepto de anualidad, por tanto es conveniente preguntarnos:
¿Qué es una anualidad?
1. Anualidad
Se define como un valor fijo de dinero que pagamos o recibimos en intervalos iguales de tiempo a
una tasa de interés compuesto o continuo, en otras palabras, las personas vinculadas a la
actividad financiera en muchos de los casos, reciben o pagan cantidades iguales de dinero a
intervalos iguales de tiempo, a una tasa de interés compuesto y ocasionalmente continuo, tales
pagos o recibos los denominamos anualidades o rentas.
El hecho de llamarse anualidades no significa que los pagos o recibos fijos se realicen anualmente.
Las anualidades las podemos programar de forma: diaria, semanal, quincenal, mensual, trimestral,
semestral, anual o cualquier otro período que se escoja en la actividad financiera.
Por ejemplo:
Supongamos que una empresa paga un préstamo a plazo de 5 años a través de cuotas
mensuales de $305.20. Entonces, el proceso de pago de la cuota mensual constituye una
anualidad como se muestra en el gráfico 1.
0 1 2 3 4 . . 60 meses
305.20 305.20 305.20 305.20 305.20
Gráfico 1
Por otro lado, si supongamos que recibimos un pago mensual de $250 en concepto de intereses
que genera un depósito a plazo de 3 años, como se muestra en el gráfico 2, decimos que el
proceso de recibir $250 mensuales constituye una anualidad.
250 250 250 250 250
0 1 2 3 4 . . . 36 meses
Gráfico 2
Las anualidades son de frecuente utilización en las diversas transacciones, comerciales o
financieras tanto del sector público como privado, esto se da en función de: depositar, retirar,

116
amortizar ó abonar igual cantidad de dinero; cancelar primas de seguros de vida, recibir ó pagar
salarios nominales fijos, pagos fijos de renta de viviendas, amortizaciones de préstamos
nacionales e internacionales.
De lo anteriormente descrito podemos definir:
“una anualidad de término constante es un valor fijo de dinero que pagamos o recibimos a
intervalos iguales de tiempo a una tasa de interés compuesto o continuo” (Hortensia Fontanals
Albiol. “Matemáticas Financieras” (Supuestos), P. 53)
Del concepto de anualidad inferimos que por tratarse de equivalencias financieras, el período de
pago debe tener el mismo período de capitalización de interés, es decir; si un pago es mensual la
tasa periódica debe ser mensual, si un pago es semestral la tasa periódica debe ser semestral. No
podemos operar con anualidades donde el período de pago difiera del período de interés, en los
casos que esto suceda; debemos transformar el pago de forma equivalente al período de interés o
el período de interés convertirlo al período de pago.
Lasanualidades
En el sector público como
privado.
Diaria Semanal
Quincenal Mensual
Trimestral Semestral
Anual
Una tasa de interés
compuestoocontinuo.
• Cancelar primadeseguro
devida.
• Recibir o pagar salarios
nominalesfijos.
• Pagos fijos de rentas de
viviendas.
• Amortizaciones de
préstamos nacionales e
internacionales.
Sedefinen
Seutilizan Sepueden Tiene
Como un valor fijo de
dinero
que
En diferentes
transacciones
comercialesofinancieras.
Tanto
Programar
Deforma
Lafunción
De
a
Tambiénpara
• Depositar
• Retirar
• Amortizar o abonar igual
cantidaddedinero.
Pagamos o recibimos en
intervalos iguales de
tiempo.
Lasanualidades
En el sector público como
privado.
Diaria Semanal
Quincenal Mensual
Trimestral Semestral
Anual
Una tasa de interés
compuestoocontinuo.
• Cancelar primadeseguro
devida.
• Recibir o pagar salarios
nominalesfijos.
• Pagos fijos de rentas de
viviendas.
• Amortizaciones de
préstamos nacionales e
internacionales.
Sedefinen
Seutilizan Sepueden Tiene
Como un valor fijo de
dinero
que
En diferentes
transacciones
comercialesofinancieras.
Tanto
Programar
Deforma
Lafunción
De
a
Tambiénpara
• Depositar
• Retirar
• Amortizar o abonar igual
cantidaddedinero.
Pagamos o recibimos en
intervalos iguales de
tiempo.
Los elementos de las anualidades son los siguientes:
Pago o recibo periódico: es el valor constante programado en cada período de interés y de
pago.
Período del pago: es el intervalo de tiempo entre dos flujos sucesivos o período de
capitalización de la tasa de interés. El número total de períodos lo designamos por N.
Plazo o término de la anualidad: es el intervalo de tiempo transcurrido desde el comienzo del
primer período en que se efectúa el primer flujo, hasta el final del último.

117
Tasa de interés de una anualidad: por tratarse las anualidades de equivalencias financieras,
las tasas de interés se trabajarán en sus tasas equivalentes efectivas i por períodos de
capitalización que deberá coincidir con el período del pago A.
Período de capitalización de una anualidad: es el intervalo de tiempo en el cual los intereses
acumulados se convierten en capital.
2. Clasificación de las anualidades
“Una clasificación bastante detallada de las anualidades toma en cuenta cuatro aspectos básicos
que presentamos a continuación” (Alfredo Díaz Mata, “Matemáticas Financieras”, p 126).
Contingentes
a. Tiempo o plazo
Generales
b. Intereses
Anticipadas
c. Pagos
Diferidas
d. Iniciación
Ciertas
Simples
Vencidas
Inmediatas
Veamos a continuación cada uno de esos aspectos:
♦ Anualidad cierta: las fechas son fijas y las conocemos de antemano, es decir sabemos cuando
comienza el primer pago y cuando termina el último; es una anualidad a plazo definido (ver
gráfico 3 y 4) contrario a las anualidades perpetuas donde el plazo es indefinido.
♦ Anualidad contingente: en esta anualidad no sabemos la fecha de inicio del primer pago o la
fecha del último, está sujeta a acontecimiento de algún evento que ocurrirá pero no sabemos
cuando. Un caso típico de estas anualidades son las rentas vitalicias o pagos de pensiones que
comienza a recibir uno de los cónyuges al morir el otro, que no se sabe cuando va a morir
también.
♦ Anualidad simple: el período de pago coincide con el período de interés.

118
Por ejemplo:
Si una persona paga $500 trimestrales para amortizar una deuda con el interés del 20% CT,
a plazo de 8 años, decimos que período de pago igual a período de interés, (pp = pi), esto lo
mostramos en el gráfico 3.
A=$500 valor del pago fijo mensual i=j/m=0.20/4=0.05 tasa efectiva de período trimestral
0 1 2 3 4 ..... 32 trimestres
500 500 500 500 500
Gráfico 3
♦ Anualidad general: es aquella en la cual el período de pago no coincide con el período de
interés.
Por ejemplo:
Una empresa deposita $10,000 anuales durante 10 años, en un fondo de amortización que
devenga un interés del 10% CS, En este caso concluimos que el período de pago no es igual
a período de interés, (pp ≠ pi), observemos el gráfico 4.
A=$10,000 valor del pago fijo (depósito) anual
i=j/m=0.10/2=0.05 tasa efectiva de período semestral
0 1 2 3 4 . . . 10 años
10,000 10,000 10,000 10,000 10,000
Gráfico 4
♦ Anualidad vencida: también llamada ordinaria se caracteriza por que los pagos se efectúan al
final de período de interés. Ver gráfico 3 y 4.
♦ Anualidad anticipada: los pagos se realizan al inicio de cada período de interés.
♦ Anualidad inmediata: es la más común, la realización de los pagos o recibos se efectúan de
forma inmediata, esto quiere decir que el primer pago debe realizarse de forma anticipada o
vencida.
Por ejemplo:
Si queremos saldar una deuda a plazo de 4 años a través de pagos trimestrales de $3,500
podemos establecer una anualidad inmediata según la formalización del contrato de dos
formas: anticipada o vencida, como mostramos en los gráficos 5 y 6 respectivamente.
0 1 2 3 4 . . . 16 trimestres
3,500
3,500 3,500 3,500 3,500 3,500
Gráfico 5
0 1 2 3 4 . . . 16 trimestres
3,500 3,500 3,500 3,500 3,500
Gráfico 6

119
♦ Anualidad diferida: es el caso en que se posponen los pagos o recibos.
Por ejemplo:
Hoy obtenemos un crédito y comenzamos a pagarlo cuatro meses después mediante cuotas
iguales mensuales; es una anualidad con período de gracia.
De acuerdo a las definiciones anteriores, en el siguiente esquema presentamos los diversos tipos
de anualidades que estudiaremos en este módulo. Las anualidades contingentes no serán
analizadas.
Vencida
Anticipada
Diferida
A plazo
Simples
Vencida
Anticipada
Diferida
Perpetua
Ciertas
Vencida
Anticipada
Diferida
A plazo
Generales
Vencida
Anticipada
Diferida
Perpetua
Simples
Generales
Contingentes
Anualidades
3. Anualidades vencidas
Anteriormente definimos las anualidades ordinarias o vencidas, como aquellas en que el pago de
la renta se efectúa al final de cada período de interés, por ejemplo, el pago mensual para saldar
una deuda, pago del salario nominal, pago de cuotas de una amortización de préstamo del
gobierno etc. Son las anualidades más comunes, ya que generalmente los pagos las actividades
económicas los hacemos a final de período.
a. Valor presente de anualidad vencida
Calculemos el valor presente de cuatro pagos anuales de $5,000 con interés del 15% efectivo
anual que presentamos en el gráfico 7.
P=?
0 1 2 3 4 años
5,000 5,000 5,000 5,000
Gráfico 7

120
Para obtener el valor presente de la serie de pagos haremos uso de la fórmula de interés
compuesto estudiada anteriormente a través de una ecuación de valor a la fecha focal el día de
hoy, así;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
$14,274.89
2,858.77
3,287.58
3,780.72
4,347.83
4
0.15
1
5,000
3
0.15
1
5,000
2
0.15
1
5,000
1
0.15
1
5,000
N
i
1
F
P
=
+
+
+
=
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
=
−
+
=
Podemos observar que el valor presente de una serie de pagos iguales, es la suma de los
valores presentes de cada uno de ellos. Para obtener una fórmula general de cálculo de valor
presente, utilizamos en el diagrama de flujos (gráfico 8) el punto cero (hoy) como referencia o
fecha focal para formular la ecuación de valor, de esta manera hallamos el valor presente P
dada la serie de pagos A, con N períodos de tiempo que coinciden con el número de pagos y
una tasa de interés i.
P=?
0 1 2 3 4 . . . N -1 N Periodos
A A A A A A
Gráfico 8
El valor presente de una serie de flujos uniformes es la suma de todos los valores presentes de
cada uno de los flujos a interés compuesto;
Aunque no es objetivo de este módulo demostrar la fórmula general para el cálculo del valor
presente, vamos a deducir dicha fórmula.
Consideremos A=$1 en cada período desde 1 hasta N y establezcamos fecha focal en 0 (cero).
Traslademos cada $1 con la fórmula P=F(1 + i)-N
con F=1, a la fecha focal. La suma de todos
los traslados será Pni= P y lo expresamos en la ecuación de valor.
Pni=(1+i)-1
+(1+i)-2
+(1+i)-3
+...+(1+i)-N
(1)
multiplicando la ecuación 1 por (1+i), se tiene la ecuación:
Pni(1+i)=1+(1 + i)-1
+(1+i)-2
+(1+i)-3
+...+...+(1+i)-N+1
(2)
si de la ecuación ) le restamos la ecuación 1, obtenemos:
Pni(1+i)-Pni=1-(1+i)-N
Pni[(1+i)-1]=1-(1+i)-N
Eliminando el paréntesis del lado izquierdo, tenemos; Pni(i)=1-(1+i)-N
entonces
Pni=[1-(1+i)-N
]/i (3)
Si el valor del pago periódico es $A en lugar de $1, entonces la suma de la ecuación 3 recibe el
nombre de valor presente P, o sea:
P=APni=A[1-(1+i)-N
]/i que es lo mismo que

121
( ) 1)
(Fórmula
i
N
i
1
1
A
P







 −
+
−
=
donde, el factor
( )







 −
+
−
i
N
i
1
1
es el factor de descuento de la anualidad.
Si resolvemos el ejemplo del gráfico 7 por la fórmula 1 obtenemos el mismo resultado:
( ) ( ) $14,274.89
2.854978
5,000
0.15
4
0.15
1
1
5,000
P =
=







 −
+
−
=
Ejemplo 1:
Cuánto deberá invertir hoy una empresa, para obtener un retiro de $20,000.00 cada año
durante los próximos 6 años, si la tasa de interés en el mercado financiero es del 8%. Ver
gráfico 9.
20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000
0 1 2 3 4 5 6 años
Gráfico 9
P=?
Datos:
A=$20,000 retiro anual i=8% tasa efectiva anual
n=6 años de plazo N=m.n=6 retiros anuales
m=1 frecuencia de conversión de intereses anuales P=?
Solución: Aplicamos la fórmula 1 obtenemos:
( ) ( ) $92,457.59
4.622880
20,000
0.08
6
0.08
1
1
20,000
P =
=







 −
+
−
=
Observemos que el período pago de $20,000 (retiro) es anual y coincide con el período de
interés del 8% anual
Ejemplo 2:
Una persona está pagando el valor de financiamiento de un vehículo a un banco y cada mes
paga $315.45 durante 5 años a un interés del 16.5% CM. Calculemos el valor del
financiamiento. Gráfico 2.10
Datos:
A=$315.45 pago mensual
j=16.5% C.M. tasa nominal anual
i=j/m=0.165/12=0.01375 tasa efectiva mensual
N=m.n=60 pagos mensuales
n=5 años de plazo del financiamiento

122
P=?
P=?
0 1 2 3 4 . . . 59 ... 60 meses
315.45 315.45 315.45 315.45 315.45 315.45
Gráfico 10
Solución: Nuevamente aplicamos la fórmula 1 para obtener el valor presente que será el valor
financiado
( ) ( ) $12,831.24
40.67600
315.45
0.01375
60
0.01375
1
1
315.45
P =
=







 −
+
−
=
En el ejemplo anterior nuevamente el período de pago mensual de $315.45 coincide con el
período de interés mensual del 1.375%
b. Valor del pago vencido dado P
Cuando conocemos el valor presente P de una serie de pagos vencidos, podemos calcular el
valor del pago A o renta vencida; para éste cálculo es necesario saber las otras variables como
el plazo n, y el interés i. Ver gráfico 11
0 1 2 3 4 . . . N-1 N períodos
A = ? A = ? A = ? A = ? A = ? A = ?
Gráfico 11
La fórmula general para determinar el valor A en este caso la obtenemos despejándola en la
fórmula 1. Así:
( )
2)
(Fórmula
N
i
1
1
i
P
A








−
+
−
=
Donde el factor:
( ) 







−
+
− N
i
1
1
i
lo definimos como factor de recuperación de capital y es el
valor de la magnitud A de una anualidad que amortiza una deuda de $1 (una unidad monetaria),
en N pagos a la tasa de interés i.
Ejemplo 3:
La empresa de Artesanías de Nicaragua desea saber cuanto pagará cada trimestre durante 6
años para amortizar una deuda de $50,000 que contraerá próximamente con un banco nacional
a un interés del 17% CT. Observemos el gráfico 12.
Datos
P=$50,000 principal del prestado

123
j=17% CT tasa nominal anual
i=j/m=0.17/4=0.0425 tasa efectiva trimestral
n=6 años de plazo del préstamo
N=m.n=24 pagos trimestrales
A=? trimestral
P=50,000
0 1 2 3 4 . . . 23 24 T.
A=? A=? A=? A=? A=? A=?
Gráfico 12
Solución: El valor del pago trimestral lo obtenemos por la fórmula 2 de la siguiente forma:
( )
( ) $3,363.82
0.067276
50,000
24
0.0425
1
1
0.0425
50,000
A =
=








−
+
−
=
Concluimos que la empresa pagará durante 24 trimestre $3,363.82 para saldar el préstamo de
$50,000. Además, notemos que el período de pago es trimestral igual al período de interés.
Ejemplo 4:
Una persona deposita la cantidad de $80,000 en una institución bancaria que le garantiza el
7.6% efectivo anual sobre capital disponible. El depósito lo agotará a través de retiros iguales
anuales en un plazo de 10 años. Determinemos el valor de los retiros. Observe el gráfico 13.
A=? A=? A=? A=? A=?
0 1 2 3 4 . . . 10 años
Gráfico 13
P=80,000
Datos:
P=$80,000 depósito n=10 plazo en años N=10 número de flujos
ie=7.6% tasa de interés efectiva anual A=?
Solución: Por la fórmula 2 tenemos lo siguiente:
( )
( ) $11,708.15
0.146352
80,000
10
0.076
1
1
0.076
80,000
A =
=








−
+
−
=
De esta manera el depósito se agotará en 10 retiros anuales de valor $11,708.15.

124
c. Valor futuro de anualidad vencida
Para el cálculo del valor futuro F de una anualidad vencida utilizamos en el diagrama de flujos,
la fecha de vencimiento como fecha focal o punto de referencia, es decir; encontrar el valor
futuro de la serie de flujos A en N período de tiempo a una tasa de interés i. Gráfico 14.
F=?
0 1 2 3 4 . . . N-1 N Periodos
A A A A A A
Gráfico 14
El monto o valor futuro de una serie de flujos A es la suma de todos los valores futuros de cada
uno de los flujos a interés compuesto, por ejemplo el valor futuro de la serie de $10,000 anuales
durante cuatro años al 10% es
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
$46,410
10,000
11,000
12,100
13,310
0
0.15
1
10,000
1
0.10
1
10,000
2
0.10
1
10,000
3
0.10
1
10,000
N
i
1
P
F
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
Para obtener la fórmula general del cálculo del valor futuro, consideremos el valor del pago
A=$1 en cada período desde 1 hasta N y establezcamos fecha focal en N para trasladar cada
valor A=$1 con la fórmula F=P(1+i)N
con P=1, a la fecha focal. La suma de todos los traslados
será Sni=F y lo expresamos en la ecuación de valor:
Sni=1+(1+i)+(1+i)2
+(1+i)3
+. . .+(1+i)N-1
(1)
Si la ecuación 1 la multiplicamos por (1+i), obtenemos
Sni(1+i)=(1+i)+(1+i)2
+(1+i)3
+(1+i)4
+. . .+(1+i)N-1
+(1+i)N
(2)
Si restamos la ecuación 1 de la ecuación 2, tenemos;
Sni(1+i)-Sni=-1+(1+i)N
=(1+i)N
-1
Sni[(1+i)-1]=(1+i)N
-1
Sni(i)=(1+i)N
-1 entonces Sni=[(1+i)N
-1]/i (3)
Si el valor del pago periódico es $A en lugar de $1, entonces la sumatoria recibe el nombre de
valor futuro F. Retomando la ecuación 3 tenemos:
F=A Sni=A[(1+i)N
-1]/i, que es lo mismo que
( ) 3)
(Fórmula
i
1
N
i
1
A
F







 −
+
=
donde, el factor
( )







 −
+
i
1
N
i
1
, lo definimos como el factor de acumulación de capital.

125
Ejemplo 5:
Verifiquemos el resultado con la fórmula 3 del ejemplo donde el pago trimestral es de $10,000
durante cuatro años al 10% efectivo anual.
Datos
A=$10,000 valor del pago trimestral I=10% tasa de interés efectivo anual
n=1 año de plazo m=1 frecuencia de conversión de intereses
anuales
Solución: La solución la verificamos con la fórmula 3
( ) ( ) $46,410
4.641
10,000
0.10
1
4
0.10
1
10,000
F =
=







 −
+
=
Ejemplo 6:
Una empresa deposita en un fondo de amortización al final de cada mes la cantidad de
$15,000. Determinemos el valor acumulado en el fondo al término del año 8, si el fondo
devenga un interés del 9% CM. Gráfico 15.
F=?
0 1 2 3 4 . . . 95 96 meses
15,000 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000
Gráfico 15
Datos:
A=$15,000.00 depósito periódico mensual
n=8 años de plazo
N=(12)(8)=96 períodos totales mensuales
Solución: Por la fórmula 3 tenemos:
( ) ( ) .46
$2,097,842
139.856164
15,000
0.0075
1
96
0.0075
1
15,000
F =
=







 −
+
=
Concluimos que el fondo tendrá acumulado a los 8 años una cantidad de $2,097,842.46 a
través de 96 depósitos mensuales de $15,000.
d. Valor del pago vencido dado F
Si conocemos el valor futuro F podemos encontrar el valor de la magnitud del pago A o renta, si
además, sabemos el número de período N o tiempo y la tasa de interés i efectiva por período
de capitalización. Gráfico 16

126
F
0 1 2 3 4 . . . N-1 N Periodos
A=? A=? A=? A=? A=? A=?
Gráfico 16
Para obtener el valor del pago A despejamos en la fórmula 3 y resulta;
( )
4)
(Fórmula
1
N
i
1
i
F
A








−
+
=
donde, el factor:
( ) 







−
+ 1
N
i
1
i
se llama factor del fondo de amortización.
Ejemplo 7:
La empresa avícola “San Martín” tiene planeado invertir al final de cada trimestre una cantidad
constante durante 6 años, en un fondo que devenga el 10% CT con el objetivo de acumular el
valor de reposición de una máquina que tiene un costo de $28,500. Determinemos el valor a
invertir cada trimestre por la empresa. Gráfico 17.
F= $28,500
0 1 2 3 4 . . . 23 24 T
A=? A=? A=? A=? A=? A=?
G ráfico 17
Datos:
F=$28,500 valor futuro que se desea acumular
j=10% tasa nominal de interés anual
i=j/m=0.10/4=0.025 tasa efectiva trimestral
n=6 años de plazo
N=(4)(6)=28 depósitos trimestres
A=? depósito trimestral
Solución: Como se desea acumular el valor futuro, entonces por la fórmula 4 se tiene la
solución del valor A.
( )
( ) $881.02
0.0309128
28,500
1
24
0.025
1
0.025
28,500
A =
=








−
+
=

127
Ejemplo 8:
El Sr. Pérez tiene pensado comprar un terreno dentro de 5 años que cuesta $20,000 para ello
ha decidido abrir una cuenta de ahorros donde depositará una cantidad constante al final de
cada mes a un interés del 7.2% CM. Calculemos el valor del depósito mensual.
Datos:
F=$20,000 valor futuro que se desea acumular
j=7.2% tasa nominal de interés anual
n=5 años de plazo
N=(12)(5)=60 depósitos mensuales
A=? depósito mensual
Solución: Deseamos acumular el valor futuro, nuevamente por la fórmula 4 se tiene la solución
del valor A.
( )
( ) $277.91
0.0138956
20,000
1
60
0.006
1
0.006
20,000
A =
=








−
+
=
Para tener disponibles $20,000 al término del año 5 el Sr. Pérez deberá depositar $277.91 cada
mes.
e. Tiempo de una anualidad ordinaria vencida
Hay operaciones donde se hace necesario que conozcamos el tiempo en que se acumulará
una cantidad F deseada a partir de una serie de pagos o depósitos A y la tasa de interés i. El
tiempo lo podemos calcular si despejamos la variable n en la fórmula 3, sabiendo que n=N/m; n
estará definida en años si m=1, con la tasa efectiva anual ie, es decir;
( )
( )
5)
(Fórmula
e
i
1
ln
1
A
e
i
F
ln
n
+






+
=
Dejamos al lector que compruebe la fórmula 5; notemos que si usamos la tasa de interés i=j/m
en sustitución de ie, el resultado de n=N/m significa plazo de períodos anuales, es decir;
( )
( )
6)
(Fórmula
i
1
ln
1
A
i
F
ln
m
1
n
+






+
=
Ejemplo 9:
Calculemos el tiempo o plazo que una empresa necesita para acumular $690,116.07 si puede
depositar cada mes $3,000 al 12% CM.
Datos:
F=$690,116.07 valor futuro que se desea acumular
A=$3,000 depósito mensual
j=12%CM. tasa de interés nominal anual

128
i=0.12/12=0.01 tasa efectiva mensual
n=?
Solución: Por la fórmula 6 calculamos el tiempo que será en años.
( )
( )
10
120
12
1
0.00995033
1.19403970
12
1
0.01
1
ln
1
3,000
0.01
690,116.07
ln
12
1
n =








=








=
+






+
=
El tiempo es de 120 meses o 10 años
Ejemplo 10:
Determinemos el plazo para acumular $82,664.89 si depositan al final de cada trimestre $2,500
al 20% CT.
Datos:
F=$82,664.89 valor futuro que se desea alcanzar
A=$2,500 depósito trimestral
i=0.20/4=0.05 tasa efectiva trimestral
n=?
Solución: Nuevamente usamos la fórmula 6 y obtenemos el plazo.
( )
( )
5
20
4
1
0.0487901
0.9758033
4
1
0.05
1
ln
1
2,500
0.05
82,664.89
ln
4
1
n =








=








=
+






+
=
En este caso el tiempo es 5 años o 20 trimestres.
Con el uso de los logaritmos, también podemos calcular el plazo n si conocemos el valor actual
P de la serie de pagos A y la tasa nominal j o efectiva i a través de la fórmula 7 que la
obtenemos al despejar n en la fórmula 1.
( )
( )
7)
(Fórmula
i
1
ln
i
P
A
A
ln
m
1
n
+






−
=
Ejemplo 11:
Deseamos conocer el plazo para pagar un préstamo de $25,000 al 18% CS, si el banco
programa un pago constante al final de cada semestre de $3,895.50.
Datos:
P=$25,000 valor presente o valor actual del préstamo
A=$3,895.50 valor del pago semestral

129
i=0.18/2=0.09 tasa efectiva semestral
n=?
Solución: En esta situación aplicamos la fórmula 6 para obtener el plazo
( )
( )
5
10
2
1
0.0861777
0.8617777
2
1
0.09
1
ln
0.09
25,000
3,895.50
3,895.50
ln
2
1
n =








=








=
+






−
=
Así, el tiempo es 5 años o 10 semestres de plazo para pagar el préstamo.
f. Tasa de interés de una anualidad vencida
Cuando estamos interesados en determinar la tasa de interés i, que nos permita acumular cierta
cantidad de dinero F, en un tiempo deseado n a través de una serie de depósitos periódicos
iguales A, despejamos la tasa de interés en la ecuación de la fórmula 3; sin embargo, en dicha
ecuación la variable i se encuentra de forma implícita, y no se puede despejar en función de las
demás, debido a que se trata de una ecuación de grado n que puede no tener solución
conocida.
g. Método de interpolación
En consecuencia en estos casos hallaremos la tasa de interés i mediante el método de
interpolación. “En general, interpolar quiere decir obtener de una serie de valores dados otros
valores intermedios” (Justin H. Moore “Manual de Matemáticas Financieras” p, 154). El método
de interpolación más común consiste en averiguar por medio una simple proporción, la relación
que existe entre una cantidad y las dos entre los que se halla comprendida en una tabla
numérica o valores calculados a través de la fórmula. El método de interpolación se conoce
también con el nombre de "prorrateo".
Es común la aplicación del "prorrateo" en el cálculo de la tasa interna de retorno TIR en la
evaluación financiera de una inversión.
Ejemplo 12:
Una empresa desea que le calculemos la tasa de interés i trimestral a la cual debe invertir para
acumular $500,000 dentro de 4 años, si puede depositar $22,000 de forma trimestral en un
negocio financiero.
Datos:
F=$500,000 valor futuro de las inversiones
A=$22,000 valor de las inversiones trimestrales
n=4 años de plazo
m=4 frecuencia de capitalizaciones anuales de intereses
N=4(4)=16 períodos trimestrales
i=? trimestral
Solución: A través de la fórmula 3 con tasa del 4% trimestral, obtenemos el valor futuro a dicha
tasa, o sea:

130
( ) ( ) 480,139.69
21.824531
22,000
0.04
1
16
0.04
1
22,000
F =
=







 −
+
=
Entonces con: i=4%: F=$480,139.69
Como el valor F está por debajo del valor que deseamos que es $500,000, aumentamos la tasa
al 5% trimestral y nuevamente realizamos los cálculos,
( ) ( ) 520,464.82
23.657491
22,000
0.05
1
16
0.05
1
22,000
F =
=







 −
+
=
Ahora con: i=5%: F=$520,464.82
En el nuevo cálculo observamos que el valor F sobrepasó el valor deseado. Lo que indica que
el valor de $500,000 se halla comprendido entre las tasas de interés del 4% y 5% trimestral,
esto es:
i = 4% : 480,139.68
i = X : 500,000.00
i = 5% : 520,464.82
La relación entre los números de la derecha debe ser la misma que entre los números de la
izquierda, así establecemos las siguientes relaciones:
Izquierda Derecha
mayor
Diferencia
menor
Diferencia
mayor
Diferencia
menor
Diferencia
=
520,464.82
-
480,139.68
500,000
-
480,139.68
5
-
4
X
-
4
=
0.492505
40,325.14
-
19,860.32
-
1
-
X
-
4
=
=
4-X =-0.4925, entonces X=4.4926%.
De esta forma la empresa puede invertir aproximadamente al 4.5% efectivo trimestral o de
forma equivalente al 19.2520% efectivo anual.
Concluimos que con el método de interpolación, el valor hallado es aproximado y depende del
tamaño del intervalo seleccionado por la izquierda y derecha de donde se halla dicho valor. Con
este método, también podemos hallar la tasa de interés de cualquier tipo de anualidad, además
de otras variables que se desean calcular como los períodos de capitalización N y el tiempo n.

131
Para el cálculo de la tasa de interés por interpolación, también podemos utilizar el valor
presente P, la serie de pagos A y el plazo n, como lo veremos en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 13:
Una institución pública desea saber la tasa de interés mensual sobre saldos que le aplican en la
amortización de un préstamo de $40,000 a un plazo de 3 años, si paga cuotas iguales
mensuales de $1,569.31
Datos:
P=$40,000 valor presente o actual del préstamo
A=$1,569.31 valor de los pagos mensuales
n=3 años de plazo
m=12 frecuencia de capitalizaciones anuales de intereses
N=3(12)=36 períodos mensuales
i=? mensual
Solución: Con la fórmula 1 y la tasa del 1.5% mensual, obtenemos el valor presente, o sea:
( ) ( ) 43,408.19
27.660684
1,569.31
0.015
36
0.015
1
1
1,569.31
P =
=







 −
+
−
=
Entonces obtenemos: i=1.5%: P=$43,408.19
En este caso como el valor P está por encima del valor que deseamos que es $40,000,
aumentamos la tasa al 2.5% mensual y nuevamente realizamos los cálculos,
( ) ( ) 36,967.06
23.556251
1,569.31
0.025
36
0.025
1
1
1,569.31
P =
=







 −
+
−
=
En el nuevo cálculo tenemos: i=2.5%: P=$36,967.06
Observamos que el valor P está por debajo del valor deseado. Lo que indica que el valor de
$40,000 se halla comprendido entre las tasas de interés del 1.5% y 2.5% mensual, esto es:
i=1.5% : 43,408.19
i = X : 40,000.00
i=2.5% : 36,967.06
Como dijimos anteriormente, la relación entre los números de la derecha debe ser la misma que
entre los números de la izquierda, por tanto escribimos las siguientes relaciones:
Izquierda Derecha
mayor
Diferencia
menor
Diferencia
mayor
Diferencia
menor
Diferencia
=

132
36,967.06
-
43,408.19
40,000.00
-
43,408.19
2.5
-
1.5
X
-
.5
1
=
( )( ) ( )( )
( ) %
2
X
de
aproximado
valor
un
sea,
o
6,441.13
X
9,661.70
3,408.19
6,441.13
X
-
1.5
3,408.19
1
entonces
6,441.13
3,408.19
1
-
X
-
1.5
=
−
=
−
=
=
−
=
De esta manera concluimos que la tasa de interés del préstamo sobre saldo es 2% efectivo
mensual o 24% CM. nominal anual o el 26.8242% efectivo anual.
4. Anualidades anticipadas
Las anualidades ordinarias anticipadas son aquellas en que los flujos de dinero se efectúan a
principios o inicios de cada período de interés y el último pago se produce en el penúltimo período
del plazo de la anualidad. Supondremos que son flujos que se realizan los primeros días de cada
período de tiempo.
Ejemplo 14:
Determinemos el valor presente de cuatro pagos semestrales anticipados de $6,000 al 8%
semestral. Gráfico 18
P=?
0 1 2 3 4
Semestres
6,000 6,000 6,000 6,000
Gráfico 18
P=?
0 1 2 3 4
Semestres
6,000 6,000 6,000 6,000
Gráfico 18
Si observamos el gráfico notaremos que el primer pago se efectúa en el período cero (0) por lo que
el último se realiza en el período 3. El valor presente de la serie la calculamos a través de la suma
de todos los valores presente de cada pago, con interés compuesto con la salvedad que el valor
actual del primer pago es el mismo, dado que coincide su desembolso con la fecha focal, esto es:
( ) ( ) ( ) ( )
$21,462.58
4,762.99
5,144.03
5,555.55
6,000
3
0.08
1
6,000
2
0.08
1
6,000
1
.08
0
1
6,000
6,000
N
i
1
F
P
=
+
+
+
=
−
+
+
−
+
+
−
+
+
=
−
+
=
a. Valor presente de una anualidad anticipada
Queremos encontrar el valor presente P de una serie de flujos o pagos uniformes A, el primero
a partir del día de hoy y el último un período antes del vencimiento, con la tasa de interés
periódica i. Gráfico 19.
Para deducir la fórmula consideraremos los siguientes aspectos:
El valor presente del flujo A que se produce hoy (valor cero en la escala) es el mismo, o sea;
el valor actual de A es A dado que su desembolso coincide con la fecha de cálculo.

133
Los flujos restantes A partir del primer período hasta el penúltimo, (N-1) los podemos
analizar como una anualidad ordinaria vencida, por tanto, su valor presente se calcula
mediante la fórmula 1 restando un período de capitalización.
P=?
0 1 2 3 4 . . . N-1 N Períodos
A A A A A A
Gráfico 19
Después de simplificar una serie geométrica, se llega a la expresión que nos permite calcular el
valor presente de la anualidad ordinaria anticipada:
( ) 8)
(Fórmula
i
1
N
i
1
1
A
A
P







 +
−
+
−
+
=
Ejemplo 15:
Una empresa de atención a la salud desea comprar de contado un equipo médico que se vende
en los siguientes términos: el valor de cada cuota es de $660.40 pagadas por adelantado de
forma mensual, por 4 años de plazo y a una tasa de interés del 16% convertible mensualmente.
Determinemos el valor efectivo equivalente o valor presente del equipo medico. Gráfico 20.
P=?
0 1 2 3 4 . . . 47 48 meses
660.40 660.40 660.40 660.40 660.40 660.40
Gráfico 20
P=?
0 1 2 3 4 . . . 47 48 meses
660.40 660.40 660.40 660.40 660.40 660.40
Gráfico 20
Datos:
A=$660.40 valor de la cuota mensual anticipada
j=16% CM tasa de interés nominal anual
n=4 años de plazo
N=(4)(12)=48 pagos mensuales
P=?
Solución: Por la fórmula 8 obtenemos el valor de contado que equivale a calcular el valor
presente o valor descontado, es decir:
( ) ( ) $23,613.38
34.756185
660.40
660.40
0.013333
1
48
0.013333
1
1
60.40
6
660.40
P =
+
=







 +
−
+
−
+
=
Concluimos que si el equipo se compra de contado tiene un valor de $23,613.38, el cual le
llamamos valor de financiamiento.

134
Ejemplo 16:
Para cancelar un vehículo nuevo una persona paga cuotas mensuales anticipadas de $335.26
durante 5 años de plazo con interés del 15% CM. Determinemos cuanto vale el vehículo de
contado, es decir, sin financiamiento.
Datos:
n=5 años de plazo
P=?
Solución: Nuevamente usamos la fórmula 8 para calcular el valor presente o valor sin
financiamiento, es decir:
( ) ( ) $14,268.67
41.560024
335.26
335.26
0.0125
1
60
0.0125
1
1
335.26
335.26
P =
+
=







 +
−
+
−
+
=
El vehículo tiene un valor de contado de $14,268.67, que es igual a su valor presente.
b. Valor del pago anticipado dado P
Cuando conocemos el valor presente P, la tasa de interés efectiva i por período de
capitalización y el plazo o números de flujos N, podemos calcular el valor del pago anticipado A.
De la fórmula 8 obtenemos el valor A haciendo un despeje sencillo de la siguiente forma:
( ) ( )
)
9
(Fórmula
1
N
i
1
i
1
i
P
A








+
−
+
−
+
=
Ejemplo 17:
La empresa Ton S.A., debe pagar una deuda de $100,000.00 pendiente con un banco, a través
de 16 cuotas iguales semestrales, primer cuota se pagará de forma anticipada. Si la tasa de
interés del banco es del 17% CS. Calculemos el valor de cada semestral. En el gráfico 21
observemos que el pago 16 se efectúa en el período 15, debido que son anticipados.
P=100,000
0 1 2 3 4 . . . 15 16 Semestres
A= A=? A=? A =? A=? A=?
Gráfico 21
P=100,000
0 1 2 3 4 . . . 15 16 Semestres
A= A=? A=? A =? A=? A=?
Gráfico 21
Datos:
P=$100,000 valor actual de la deuda
i=0.17/2=0.085 tasa efectiva semestral

135
n=4 años de plazo
N=(4)(2)=16 pagos semestrales anticipados
A=?
Solución: Con la fórmula 9 obtenemos el valor de la cuota nivelada semestral y anticipada, esto
es:
( ) ( )
( ) 10,747.79
0.1074779
100,000
1
16
0.085
1
0.085
1
0.085
100,000
A =
=








+
−
+
−
+
=
Así, el valor de cada cuota semestral anticipada es de $10,747.79
Ejemplo 18:
En la firma de un contrato de alquiler de 2 años de plazo de una vivienda se paga $6,615.99; si
asumimos un interés del 9% CM, calculemos de forma equivalente, el valor del pago mensual
anticipado
Datos:
P=$6,615.99 valor de contado o presente del contrato
n=2 años de plazo
N=(2)(12)=24 pagos mensuales anticipados
A=?
Solución: Con la fórmula 9 obtenemos el valor de la cuota nivelada semestral y anticipada, esto
es:
( ) ( )
( ) 300
0.0453446
6,615.99
1
24
0.0075
1
0.0075
1
0.0075
6,615.99
A =
=








+
−
+
−
+
=
Concluimos que el valor de la cuota mensual anticipada equivalente es de $300.
c. Valor futuro de una anualidad anticipada
Para calcular el valor futuro F utilizaremos la fecha de vencimiento N como fecha focal o punto
de referencia en el diagrama de tiempo valor (gráfico 22), entonces decimos hallar el valor
futuro F de la serie de pagos anticipados A durante N pagos o períodos de tiempo a una tasa de
interés efectiva i por período.
F = ?
0 1 2 3 4 . . . N-1 N Semestres
A A A A A A
Gráfico 22

136
Observemos detenidamente el gráfico que corresponden a una anualidad ordinaria anticipada.
Dado que queremos realizar un análisis como una anualidad ordinaria vencida, ubicaremos
(artificialmente) un pago A en el período N, y un pago en el período (-1) antes de cero.
Para efectos únicamente del cálculo del valor futuro F de la anualidad anticipada, definimos el
período N-1 en el diagrama del gráfico 23, como período N, ya que hasta ese plazo están
estipulados los N pagos o flujos de dinero A que efectivamente se programan.
Es por eso que al ubicar un nuevo pago A en el período N en el diagrama de tiempo, afirmamos
que lo estamos ubicando de acuerdo al análisis antes expuesto en N+1.
F = ?
-1 0 1 2 3 . . . N-1 N Períodos
N N+1
A A A A A
(Valor artificial)
A
Gráfico 23
F = ?
-1 0 1 2 3 . . . N-1 N Períodos
N N+1
A A A A A
(Valor artificial)
A
Gráfico 23
Si observamos el gráfico 23, obtendremos el monto o valor futuro F de una anualidad ordinaria
vencida, de los pagos A pagaderos durante N+1 períodos. Notemos también que se encuentra
un pago A de más que corresponde al período agregado N+1, que tenemos que restarlo.
Recordemos además, que el valor futuro de un flujo de dinero en su fecha de vencimiento es el
mismo valor.
Por lo tanto, haciendo una extensión de la fórmula 3, deducimos la fórmula para determinar el
valor futuro F de una anualidad anticipada, esto es:
( ) )
0
1
(Fórmula
A
-
i
1
1
N
i
1
A
F







 −
+
+
=
Ejemplo 19:
Una persona deposita mensualmente y de forma anticipada $500 durante 5 años en una cuenta
de ahorros que devenga un interés del 6.96% CM. Determinemos el valor final o futuro. Gráfico
24.
F = ?
0 1 2 3 4 . . . 59 60 Meses
500 500 500 500 500 500
Gráfico 24
Datos:
A=$850 depósitos mensuales anticipados

137
j=6.96% tasa de interés nominal anual
n=5 años de plazo
N=(5)(12)=60 depósitos mensuales
F=?
Solución: Hacemos un reemplazo de la información en la fórmula 10 para obtener el valor
acumulado de los depósitos:
( ) ( ) 35,966.82
$
500
-
72.933637
500
500
-
0.0058
1
1
60
0.0058
1
500
F =
=







 −
+
+
=
De esta manera concluimos que, el valor futuro o valor acumulado en la cuenta de ahorros
será de $35,966.82, sin tomar en cuenta el depósito del período 60.
Ejemplo 20:
Supongamos en el ejemplo 15 que el deudor deposita en un fondo la cuota de $335.26
mensuales y anticipadas durante de 5 años, a una tasa de interés del 7.2% CM. Determinemos
el valor futuro del fondo y comparemos el costo de oportunidad de comprar el vehículo. Gráfico
25.
0 1 2 3 4 . . . 59 60 Meses
335.26 335.26 335.26 335.26 335.36 335.26
Gráfico 25 F = ?
Datos:
j=7.2% CM tasa de interés nominal anual
n=5 años de plazo
F=?
Solución: La información anterior la reemplazamos en la fórmula 10 para obtener el valor
acumulado o futuro;
( ) ( ) $24,271.66
335.26
-
73.396523
335.26
335.26
-
0.006
1
1
60
0.006
1
335.26
F =
=







 −
+
+
=
Podemos concluir que, el valor futuro o cantidad acumulada en el fondo será de $24,271.66,
sin tomar en cuenta el depósito del período 60; así en lugar de pagar el vehículo la persona
puede ahorrar y tener disponible esa cantidad que equivale al costo de oportunidad.

138
d. Valor del pago anticipado dado F
Pretendemos calcular en esta sección, el valor del pago anticipado A, si conocemos el valor
futuro F, los períodos o el número de pagos N y la tasa de interés i del período de pago. Gráfico
26
F
0 1 2 3 4 . . . N-1 N Períodos
A=? A=? A=? A=? A=? A=?
Gráfico 26
La fórmula resultante 11 para el cálculo de A la obtenemos de la formula 10 haciendo un
despeje, esto es:
( ) ( )
11)
(Fórmula
i
1
1
N
i
1
i
F
A








+
−
+
+
=
Ejemplo 21:
La empresa M y T desea tener disponible la cantidad de $90,600.00 dentro de 10 años para
remodelar un edificio y ha dispuesto efectuar depósitos bimestrales iguales anticipados en un
fondo que tiene en un banco y que devenga el 9.60% CB. Determinemos el valor del depósito.
Gráfico 27.
Datos:
F=$90,600 valor futuro que se desea obtener
j=9.60% CB tasa de interés nominal anual
i=0.096/6=0.016 tasa efectiva bimensual
n=10 años de plazo
N=(10)(6)=60 depósitos bimensuales
A=?
F = 90,600
0 1 2 3 4 . . . 59 60 Bimestres
A=? A=? A=? A=? A=? A=?
Gráfico 27
Solución: Con la fórmula 11 y la información anterior tenemos;

139
( ) ( )
( ) $896.26
0.0098924
90,600
0.016
1
1
60
.016
0
1
0.016
90,600
A =
=








+
−
+
+
=
Concluimos que el depósito destinado para el fondo de forma bimensual y anticipado es de
$896.26.
Ejemplo 22:
Una organización empresarial efectúa pagos de $15,700 al final de cada año para amortizar
una deuda que tiene con un banco a plazo de 8 años. Hoy cancela la cuota 3 y le quedan por
pagar 5 las cuales liquidará a través de pagos equivalentes mensuales anticipados con el
interés del 18% CM. Calculemos el valor de la cuota mensual anticipada. Gráfico 28.
F = 15,700
0 1 2 3 4 . . . 11 12 Meses
A=? A=? A=? A=? A=? A=?
Gráfico 28
Datos:
F=$15,700 valor futuro de la cuota 4
n=1 año de plazo de la cuota 4
N=(1)(12)=12 pagos mensuales anticipadas de la cuota anual 4
A=?
Solución: Con la fórmula 11 y la información anterior tenemos;
( ) ( )
( ) $1,186.08
0.0755467
15,700
0.015
1
1
12
0.015
1
0.015
15,700
A =
=








+
−
+
+
=
Concluimos que el pago equivalente mensual anticipado es de $1,186.08. correspondiente a la
distribución del valor de la cuota 4, ya que las demás quedan distribuidas de la misma forma. El
primer de pago de la cuota mensual se efectúa el día de hoy.
Otra forma de calcular el valor de la cuota equivalente mensual anticipada es: primero
calculamos el valor presente (saldo) de las 5 cuotas anuales restantes con la tasa efectiva anual
(período de pago = período de interés) y después proyectamos el valor de la cuota mensual. La
tasa efectiva anual es:
anual
19.5618%
decir
es
0.195618
1
12
12
01.8
1
1
m
m
j
1
e
i =
−






+
=
−






+
=

140
P=?
3 4 5 6 7 8 Años
15,700 15,700 15,700 15,700 15,700
Gráfico 29
Debido a que se paga hoy la cuota 3, por la fórmula 1 podemos calcula el valor presente de una
anualidad vencida de las 5 cuotas anuales pendientes. Gráfico 29.
( ) ( ) $47,408.98
3.0196798
15,700
0.195618
5
0.195618
1
1
15,700
P =
=







 −
+
−
=
Una vez calculado el valor presente, es decir el saldo a la fecha de pago de la cuota anual 3,
hallamos el valor de la cuota mensual anticipada con la fórmula 11
( ) ( )
( ) $1,186.08
0.0250181
47,408.98
59
0.015
1
0.015
1
0.015
47,408.98
A =
=








−
+
−
+
=
De esta forma verificamos que el resultado es el mismo aunque la segunda estrategia de
solución es más larga y un poco complicada.
5. Anualidades diferidas vencidas
Las anualidades diferidas, son las que contienen períodos de diferimiento o de gracia los cuales
constituyen elementos usuales en muchas transacciones financieras. El período de gracia se
fundamenta en que se da la cancelación o se capitalizan los intereses de un préstamo, sin afectar
el principal, (para el caso de la actualización de los pagos).
En otras palabras el período de gracia, es:
El tiempo variable entre el desembolso de un prèstamo y el comienzo de las amortizaciones del
mismo.
En conclusión, diremos que en las anualidades diferidas los pagos o flujos de dinero comienzan
después de transcurrido varios intervalos o períodos de capitalización que forman parte del período
de gracia. Gráfico 30.
P=?
Pr
0--------1--------2--------3 4 5 6 7 . . . N-1 N Períodos
r
A A A A A A
Gráfico 30
Período
de gracia Plazo de pago
P=?
Pr
0--------1--------2--------3 4 5 6 7 . . . N-1 N Períodos
r
A A A A A A
Gráfico 30
Período
de gracia Plazo de pago

141
a. Valor presente de una anualidad diferida vencida
Una de las características de estas anualidades es especificar el período de gracia y el valor del
último pago A se efectúa en la fecha de vencimiento de la anualidad. (Ver gráfico 30). En todos
los gráficos relacionados con anualidades diferidas, el período de gracia lo denotaremos por
doble raya marcado con la letra r.
Para el cálculo de valor presente P utilizaremos como en casos anteriores, el concepto de
anualidad ordinaria vencida. En el gráfico 30 podemos observar lo siguiente:
1) El valor r=3 (en este caso) representa el número de períodos capitalizados correspondientes
al período de gracia donde no se produce ningún tipo de pago o flujo A.
2) En los períodos comprendidos entre el valor r y N, la anualidad en referencia es vencida. Por
tanto, su valor presente P hasta el valor r de acuerdo a la fórmula 1 es:
( ) 2)
1
(Fórmula
i
r
N
i
1
1
A
r
P







 +
−
+
−
=
3) El valor Pr encontrado en la fórmula anterior no resuelve el problema, ya que realmente
estamos interesados en calcular el valor presente P en el periodo (0) cero. Para encontrar
dicho valor actualizamos Pr a través de la fórmula de interés compuesto pago único, de la
siguiente manera:
13)
(Fórmula
r
)
i
1
(
r
P
P −
+
=
SI combinamos las fórmulas (2.12) y (2.13) obtenemos la fórmula de dos factores;
( ) ( ) 14)
(Fórmula
r
i
1
i
r
N
i
1
1
A
P −
+







 +
−
+
−
=
Ejemplo 23:
Un agricultor a través de un banco, compró un camión el 15 de enero del 2002 para utilizarlo en
su finca, acordando que haría pagos mensuales de $500.00 por 60 meses, el primero con
vencimiento el 15 de mayo 2002. Determinemos el valor de contado, si el interés de
financiamiento del banco es del 18% anual, CM. Ver gráfico 31.
P=?
Pr
0--------1--------2--------3 4 5 6 7 . . . 62 63 Meses
r
500 500 500 500 500 500
Gráfico 31
Del 15 de enero al 15 mayo hay 4 meses lo que significa que se da un período de gracia de 3
meses, dado que al final del mes 4 se pagará la primera cuota.

142
Datos:
A=$500 valor del pago mensual
r=3 meses correspondiente al período de gracia
n=60 meses de plazo de pago
N=60+3=63 tiempo total incluyendo el período de gracia
P=?
Solución: El valor de contado corresponde al valor presente o actual, es decir no contiene
intereses. Reemplazando los datos en la fórmula 14 tenemos:
( ) $18,830.01
3
-
)
0.015
1
(
0.015
3
63
0.015
1
1
500
P =
+







 +
−
+
−
=
Por tanto el precio de contado es $18,830.01.
Ejemplo 24:
En la evaluación de un proyecto relacionado con el cultivo del café, se ha estimado (según flujo
neto) que generará ingresos anuales por la cantidad de $60,000 a partir del año 4. La vida útil o
explotación del proyecto será de 17 años. Si la tasa de interés de oportunidad es del 26%
efectivo, determinemos el valor actualizado de los rendimientos. Ver gráfico 32.
60 60 60 60 60 60 miles
r
Gráfico 32
P=?
0-------1-------2--------3 4 5 6 7 . . . 19 20 Años
Datos:
A=$60,000 valor de los ingresos anuales
i=26% tasa de interés efectiva anual
n=20 plazo total del proyecto en años
r=3 años de período diferido no hay ingresos
N=20 años de capitalizaciones
N-r=17 flujos anuales de ingresos
P=?
Solución: Reemplazando los datos en la fórmula 14, obtenemos:
( ) 8
$113,094.2
3
-
)
0.26
1
(
0.26
3
20
0.26
1
1
60,000
P =
+







 +
−
+
−
=
El resultado anterior indica que el valor actual de los beneficios del proyecto es de
$113,094.28, y representa su precio si se deseara vender.

143
b. Valor del pago diferido dado P
Estamos interesados en calcula r el valor de la magnitud A de la anualidad, conociendo el valor
presente P, el período diferido r, la tasa de interés i y el plazo total n. De la fórmula 14
despejamos la variable A. Ver gráfico 33.
P
0-------1--------2------3 4 5 6 7 . . N-1 N Períodos
r
A=? A=? A=? A=? A=? A=?
Gráfico 33
Así, al despejar A de la fórmula mencionada, obtenemos:
( )
( )
15)
(Fórmula
r
N
i
1
1
i
r
i
1
P
A








+
−
+
−
+
=
La fórmula anterior también se utiliza para calcular el valor de la cuota nivelada A=C, cuando un
préstamo tiene período de gracia y no se liquidan los intereses de forma periódica, si no que se
capitalizan y posteriormente se cargan en las cuotas que se proyectan en el plazo de pago.
Ejemplo 25:
Un organismo internacional otorga al gobierno un préstamo por la cantidad de $30 millones de
dólares para la construcción de una carretera. El gobierno liquidará el préstamo con intereses
del 3.8% efectivo anual a través de 20 pagos anuales iguales. El primer pago se deberá
efectuar a los 11 años de realizada la transacción. Determinemos el valor de cada pago anual.
Ver gráfico 34.
P=30,000,000
0...........1...........2...........3...... . . . .....10 11 12 . . . 29 30 Años
r
A=? A=? A=? A=?
Gráfico 34
Datos:
P=$30,000,000 valor del préstamo
i=3.8%=0.038 tasa de interés anual
r=10 años de período gracia
N=30 total de períodos anuales capitalizados
N-r=20 número de cuotas anuales iguales
A=? valor de la cuota anual

144
Solución: Observemos que durante el periodo de gracia el gobierno no liquida los intereses por
lo que se capitalizan y el préstamo aumenta de valor. El valor de la cuota anual A lo hallamos a
través de la fórmula 15, así; reemplazando la información obtenemos:
( )
( )
.89
$3,148,764
10
30
0.038
1
1
0.038
10
0.038
1
30,000,000
A =








+
−
+
−
+
=
El gobierno de turno a partir del año 11 comenzará a pagar anualmente una suma de
$3,148,764.89 en un plazo de 20 años.
Ejemplo 26:
La empresa Bella Vista adquiere un vehículo en una casa distribuidora de autos nuevos; el valor
de contado es de $20,500 al crédito lo obtiene realizando un pago inicial correspondiente al
15% y el saldo lo financia un banco al 17% CM para pagarse en un plazo de 5 años, con la
condición que el primer pago se efectúa en el mes 3 posterior a la compra. Se pide que
determinemos el valor de la cuota mensual. Ver gráfico 35.
P=17,425
0...........1...........2 3 4 5 6 . . . 61 62 Meses
r
A = ? A = ? A = ? A = ? A = ? A = ?
Gráfico 35
Datos:
P=$20,500-0.15(20,500)=20,500-3,075=$17,425 valor a financiar
i=0.17/12=0.014166 tasa de interés efectiva mensual
r=2 meses de período gracia
N=62 total de períodos mensuales capitalizados
N-r=60 número de cuotas mensuales iguales
A=? valor de la cuota mensual
Solución: Nuevamente durante el periodo de gracia el deudor no liquida los intereses por lo
que se capitalizan y el préstamo alcanza un valor de $17,922.18. El valor de la cuota anual A, lo
hallamos a través de la fórmula 15.
( )
( )
$445.40
2
62
0.014166
1
1
0.014166
2
0.014166
1
17,425
A =








+
−
+
−
+
=
De esta forma la empresa a partir del mes 3 comenzará a pagar una cuota mensual de $445.40
en un plazo de 5 años.

145
c. Valor futuro de una anualidad diferida vencida
Para el cálculo de valor futuro utilizaremos la fecha de vencimiento como fecha focal o punto de
referencia, (gráfico 36) para encontrar el valor futuro F de la serie de flujos A diferidos en r
períodos de tiempo, con (N - r) períodos capitalizados a una tasa de interés i.
En el gráfico 36, notamos que a partir del valor r hasta el valor N, la anualidad en referencia es
ordinaria vencida, por lo que la fórmula para hallar el valor futuro en este caso, la deducimos de
la fórmula 3, haciéndole el ajuste correspondiente al valor r, donde el exponente (N-r) es el
número de flujos efectivos de la anualidad, entonces:
( ) 16)
(Fórmula
i
1
r
N
i
1
A
F







 −
−
+
=
Si en una serie de flujos diferidos existen flujos diferentes de dinero antes de dicha serie y se
desea calcular F de todos los valores presentados, recurrimos a la suma de los valores
calculados mediante la fórmula 16 y la fórmula de interés compuesto pago único.
Ejemplo 27:
Una empresa industrial estima que la utilidad anual que generará un proyecto es de $500,000
dólares a partir del año 3. La tasa de reinversión de los fondos liberados es del 20% anual. El
proyecto se agotará al término de 18 años continuos de explotación. Determinemos el monto de
la reinversión en el año 18. Ver gráfico 36.
F = ?
0.....1......2 3 4 5 6 7 . . . 19 20 Años
r
500 500 500 500 500 500 500 miles
Gráfico 36
Datos:
A=$500,000 beneficios anuales a partir del año 3
i=20% tasa de interés anual
r=2 años diferidos
N=20 tiempo total en años del proyecto
N-r=18 flujos diferidos
F=?
Solución: Podemos observar que en el año 1 y 2 no hay ningún flujo de dinero ya que
comienzan en el año 3. Sustituyendo los datos en la fórmula anterior, obtenemos:
( ) 3.20
$64,058,33
8.116666)
500,000(12
0.20
1
2
20
0.20
1
500,000
F =
=







 −
−
+
=
Si el proyecto reinvierte los flujos liberados a la tasa de interés de oportunidad del 20% al
finalizar la vida útil se tendrá $64.058 millones de dólares.

146
Ejemplo 28:
Una cuenta se abre con $1,000 dólares en el período cero y después se depositarán $300 por
trimestre, el primer depósito a partir del año 1. Si el plazo total de la cuenta es 10 años y la tasa
de interés que devenga es 8% CT. Calculemos el capital acumulado al final de los 10 años. Ver
gráfico 37.
F = ?
0......1........2 3 4 5 6 7 . . . 39 40 T
r
1,000 300 300 300 300 300 300
Gráfico 37
Datos:
B=$1,000 valor del depósito inicial
A=$300 depósito trimestral a partir del año 1
i=0.08/4=0.02 tasa de interés efectiva trimestral
r=3 trimestres diferidos
N=40 tiempo total en trimestres
N-r=37 depósitos diferidos
F=?
Solución: Podemos notar en el gráfico que hay un depósito inicial el cual le calculamos su valor
futuro F1 en la fecha focal en el trimestre 40 con la fórmula de interés compuesto pago único,
esto es; ( ) $2,208.04
8040)
1,000(2.20
40
0.02
1
1,000
1
F =
=
+
=
La serie de depósitos trimestrales diferidos comienzan en el año 1. Sustituyendo los datos en la
fórmula calculamos el valor futuro F2,:
( ) $16,210.28
254)
300(54.034
0.02
1
3
40
0.02
1
300
2
F =
=







 −
−
+
=
Por tanto, el valor futuro en la cuenta en la fecha focal trimestre 40 es la suma:
F=F1+F2=$2,208.04+$16,210.28=$18,418.32. Notemos que hicimos dos cálculos por separados
dado que los $1,000 iniciales no forman parte de la anualidad diferida
d. Valor del pago diferido dado F
También podemos calcular el valor del pago diferido A si conocemos el valor futuro F, el periodo
diferido r, el número de pagos (N-r) y la tasa de interés i. De la fórmula 16 podemos hallar el valor
de la magnitud A realizando un despeje. Ver gráfico 38.

147
F
0.......1......2.......3 4 5 6 7 . . . N-1 N Períodos
r
A=? A=? A=? A=? A=? A=?
Gráfico 38
En este caso la fórmula es:
( )
17)
(Fórmula
1
r
N
i
1
i
F
A








−
−
+
=
Ejemplo 29:
El Sr. Adán Moreno deberá cancelar un préstamo cuyo monto tendrá un valor de $78,367.20 al
término del año 8. Si el Sr. Moreno acuerda realizar pagos iguales mensuales al 16% CM.
Determinemos el valor del pago, si el primero lo efectúa a los 12 meses después de iniciada la
operación. Ver gráfico39.
F = 78,367.20
0.......1........2........3 . . ..11 12 13 14 . . . 95 96 Meses
r
A=? A=? A=? A=? A=?
Gráfico 39
Datos:
F=$78,367.20 monto de la deuda al vencimiento
r=11 períodos mensuales de gracia
N=96 total períodos mensuales
N-r=85 pagos mensuales
A=?
Solución: Sustituyendo los datos anteriores en la fórmula 17 obtenemos el valor del pago:
( )
( ) $501.69
0.006402
78,367.20
1
11
96
0.013333
1
0.013333
78,367.20
A =
=








−
−
+
=
El valor del pago mensual será entonces de $501.69 comenzando en el primer año.

148
En síntesis:
1.Conceptos
básicos
2.Clasificación de
las anualidades
3.Anualidades
ordinarias o
vencidas
4.Anualidades
anticipadas
5.Anualidades
diferidas
vencidas
• Anualidad: Valor fijo de dinero que pagamos o recibimos a intervalos iguales de tiempo a una tasa de interés
compuesto o continuo.
• Pago o recibo periódico: Valor constante programada en cada período de interés y de pago.
• Período del pago: intervalo de tiempo entre dos flujos sucesivos o período de capitalización de la tasa de interés.
• Plazo o término de la anualidad: Intervalo de tiempo transcurrido desde el comienzo del primer período en que se
efectúa el primer flujo hasta el final del último.
• Tasa de interés de una anualidad: Se trabajan en sus tasas equivalentes efectivas i por períodos de capitalización que
coincidan con el período de pago A.
• Período de capitalización de una anualidad: Intervalo de tiempo en el cual los intereses acumulados se convierten en
capital.
a.Tiempo
o plazo
Ciertas
Contingentes
Simples
Generales
Vencidas
Anticipadas
Inmediatas
Diferidas
a.Valor
presente
( )









 −
+
−
=
i
N
i
1
1
A
P
b.Valor del pago
vencido dado P ( ) 







−
+
−
=
N
i
1
1
i
P
A c.Valor futuro de
anualidades vencidas
( )









 −
+
=
i
1
N
i
1
A
F
d.Valor del
pago vencido
dado F ( ) 







−
+
=
1
N
i
1
i
F
A
e.Tiempo de una
anualidad ordinaria
vencida
b.Intereses c.Pagos d.Iniciación
( )
( )
e
i
1
ln
1
A
e
i
F
ln
n
+






+
=
( )
( )
i
1
ln
1
A
i
F
ln
m
1
n
+






+
=
( )
( )
i
1
ln
i
P
A
A
ln
m
1
n
+








−
=
f.Tasa de interés de una
anualidad vencida
g.Método de interpolación (prorrateo)
( )









 +
−
+
−
+
=
i
1
N
i
1
1
A
P A
a.Valor presente de
una anualidad
anticipada
c.Valor futuro de una
anualidad anticipada
( ) ( ) 







+
−
+
−
+
=
1
N
i
1
i
1
i
P
A
b.Valor del pago
anticipado dado
P
( ) A
-
i
1
1
N
i
1
A
F










−
+
+
= d.Valor del pago
anticipado dado F ( ) ( )







+
−
+
+
=
i
1
1
N
i
1
i
F
A
a.Valor presente de
una anualidad
diferidavencida
( ) ( ) r
i
1
i
r
N
i
1
1
A
P −
+









 +
−
+
−
=
r
)
i
1
(
r
P
P −
+
=
( )









 +
−
+
−
=
i
r
N
i
1
1
A
r
P
b.Valor del pago
diferido dado P
( )
( ) 







+
−
+
−
+
=
r
N
1
1
i
r
i
1
P
A
i
c.Valor futuro de
una anualidad
diferidavencida
( )










−
−
+
=
i
1
r
N
i
1
A
F
d.Valor del pago
diferido dado F ( ) 







−
−
+
=
1
r
N
i
1
i
F
A
1.Conceptos
básicos
2.Clasificación de
las anualidades
3.Anualidades
ordinarias o
vencidas
4.Anualidades
anticipadas
5.Anualidades
diferidas
vencidas
• Anualidad: Valor fijo de dinero que pagamos o recibimos a intervalos iguales de tiempo a una tasa de interés
compuesto o continuo.
• Pago o recibo periódico: Valor constante programada en cada período de interés y de pago.
• Período del pago: intervalo de tiempo entre dos flujos sucesivos o período de capitalización de la tasa de interés.
• Plazo o término de la anualidad: Intervalo de tiempo transcurrido desde el comienzo del primer período en que se
efectúa el primer flujo hasta el final del último.
• Tasa de interés de una anualidad: Se trabajan en sus tasas equivalentes efectivas i por períodos de capitalización que
coincidan con el período de pago A.
• Período de capitalización de una anualidad: Intervalo de tiempo en el cual los intereses acumulados se convierten en
capital.
a.Tiempo
o plazo
Ciertas
Contingentes
Simples
Generales
Vencidas
Anticipadas
Inmediatas
Diferidas
a.Valor
presente
( )









 −
+
−
=
i
N
i
1
1
A
P
b.Valor del pago
vencido dado P ( ) 







−
+
−
=
N
i
1
1
i
P
A c.Valor futuro de
anualidades vencidas
( )









 −
+
=
i
1
N
i
1
A
F
d.Valor del
pago vencido
dado F ( ) 







−
+
=
1
N
i
1
i
F
A
e.Tiempo de una
anualidad ordinaria
vencida
b.Intereses c.Pagos d.Iniciación
( )
( )
e
i
1
ln
1
A
e
i
F
ln
n
+






+
=
( )
( )
i
1
ln
1
A
i
F
ln
m
1
n
+






+
=
( )
( )
i
1
ln
i
P
A
A
ln
m
1
n
+








−
=
f.Tasa de interés de una
anualidad vencida
g.Método de interpolación (prorrateo)
( )









 +
−
+
−
+
=
i
1
N
i
1
1
A
P A
a.Valor presente de
una anualidad
anticipada
c.Valor futuro de una
anualidad anticipada
( ) ( ) 







+
−
+
−
+
=
1
N
i
1
i
1
i
P
A
b.Valor del pago
anticipado dado
P
( ) A
-
i
1
1
N
i
1
A
F










−
+
+
= d.Valor del pago
anticipado dado F ( ) ( )







+
−
+
+
=
i
1
1
N
i
1
i
F
A
a.Valor presente de
una anualidad
diferidavencida
( ) ( ) r
i
1
i
r
N
i
1
1
A
P −
+









 +
−
+
−
=
r
)
i
1
(
r
P
P −
+
=
( )









 +
−
+
−
=
i
r
N
i
1
1
A
r
P
b.Valor del pago
diferido dado P
( )
( ) 







+
−
+
−
+
=
r
N
1
1
i
r
i
1
P
A
i
c.Valor futuro de
una anualidad
diferidavencida
( )










−
−
+
=
i
1
r
N
i
1
A
F
d.Valor del pago
diferido dado F ( ) 







−
−
+
=
1
r
N
i
1
i
F
A

149
1. Determino el valor actual y final de una serie de depósitos de $100,000 al final de cada año por 10
años, si la tasa de interés es del 15% efectivo anual.
2. Una compañía obtiene ingresos semestrales por $50,000 durante 8 años, si los reinvierte a una la
tasa de interés del 12.5% CS, determino el valor final.
3. Determino el valor a pagar al final de cada trimestre para cancelar una deuda por $54,443.70 durante
3.75 años, si la tasa de interés que se paga es del 17.2% CT.
4. Una persona ahorra al final de cada mes la cantidad $100.00 en una cuenta que gana el 9% CM.
Determino el valor acumulado de la cuenta de ahorros al final de 15 años.
5. Una empresa desea tener disponible dentro de 51 meses $47,395.02 para reponer una maquinaria.
¿Qué cantidad deberá depositar en un fondo al final de cada trimestre, si el fondo gana una tasa de
interés de 16% CT.?
6. Determino el valor de la cuota destinada a un fondo de amortización al final de cada mes durante 5
años, a una tasa de interés del 20% CM para saldar el principal de una deuda de $200,000. Nota.
Los intereses se pagan por separado al 1.7% mensual.
7. Una empresa obtiene un préstamo de $18,000 la cual va a cancelar mediante el sistema de cuotas
niveladas mensuales ordinarias en un plazo de 15 años. Si la tasa de interés es del 14.5% CM,
determino el valor de la cuota.
8. Determino el valor actual y final de una serie de depósitos de $320 al final de cada mes durante 4
años, si la tasa de interés es del 12% CM.
9. Desde hace 5 años una compañía dejó de pagar la cantidad de $4,000 al final de cada semestre, se
quiere saber qué valor tendrán esos pagos en la actualidad si la tasa de interés es del 18% CS.
10. ¿Qué tiempo deberá esperar un banco para acumular $9,364,564.02, sabiendo que puede invertir
$130,000 al final de cada año y a un interés del 20% anual efectivo?.
11. Determino el principal de una deuda, sabiendo que se efectúan pagos iguales mensuales vencidos
por valor de $652.46 durante 5 años a un interés del 23.3352% CM.
12. El alquiler de un lote de terreno es de $150 dólares mensuales anticipados. Un contratista desea
alquilar el terreno durante 3 años, si el interés pactado es de 0.5% mensual. Determino el pago por
anticipado y al final durante el período establecido.
13. Una persona está amortizando un préstamo personal de $1,811.72 mediante cuotas niveladas
semestrales vencidas a una tasa de interés del 16% CS, en un plazo de 5 años. Encuentro un
sistema de pago equivalentes mediante cuotas niveladas semestrales anticipadas.
14. La empresa ALSA hace una donación de $30,000 a la Cruz Roja para que sea retirada dentro de 16
meses. Determino la cantidad que deberá invertir la empresa en un negocio financiero
mensualmente, comenzando hoy para entregar la cantidad prometida, si la tasa de interés es del 5%
mensual acumulativo.
15. Puedo comprar una casa hoy a través de tres opciones (utilizo el menor costo):
a. Cuota inicial $6,500 y pagos anticipados anuales durante 3 años de $5,929.82 a un interés del
30% anual.
b. A través de pagos mensuales de $667.18, el primero el día de hoy, a plazo de 4 años y a una
tasa de interés del 2.2232% efectivo mensual.
c. Cuota inicial $10,000 y pagos trimestrales vencidos de $2,343.49 durante año y medio a
un interés del 30% CT.
16. Los pagos mensuales anticipados para estudiar una maestría por 2 años en la UPA, es de $300
dólares. La matrícula al inicio de año es de $500.00, derecho de graduación $1,000.00 a los 2 años.
Si se le carga un interés del 6.6% CM. Determino el costo de los aranceles de la maestría al final del
período y pagando por anticipado.
17. La deuda de un pequeño agricultor con un banco ha crecido hasta el día de hoy en una cantidad de
$14,525.90. La propuesta del banco para cancelar la deuda es mediante pagos anticipados
semestrales, en un plazo de 5 años comenzando hoy a una tasa de interés del 31.93868% CS.
Calculo el valor de la cuota semestral.
18. La reposición de un activo fijo de la empresa Gallo y Asociados dentro de 2.5 años es de $500,000.
¿Qué cantidad deberá depositar mensualmente la empresa (comenzando hoy) en fondo de
amortización que devenga el 18% CM para acumular la cantidad deseada?

150
19. ¿Cuál es el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor $11,302.31 durante 8
años a una tasa 6.5% trimestral?
20. Determino el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor $13,302.31 durante
8 años a una tasa de interés del 26% CT.
21. Una planta generadora de electricidad es vendida en $6,000 de cuota inicial y 18 pagos de $4,000 al
final de cada mes. Si después de haber pagado las 6 primeras cuotas y justamente antes de efectuar
el pago de la séptimo cuota decido cancelar en un pago único el saldo de la deuda, cuánto deberé
cancelar con intereses al 0.9950% efectivo mensual?
22. Un comerciante compró una mercadería mediante 8 pagos mensuales al principio de cada mes de
$3,000 y un pago final de $10,000 al término de un año. Si los intereses fueron del 33% CM ¿Qué
cantidad hubiese pagado de contado?
23. En el caso del ejercicio 21 asumo que el comerciante pagó en tiempo las primeras 5 cuotas y dejó de
pagar las siguientes 3. Determino el valor de la deuda en la fecha del mes 8 para liquidarla
totalmente. No se cobran intereses por mora.
24. El arreglo de pago entre un cliente y un banco sobre una deuda vencida estipula, 18 pagos
mensuales de $2,000 al principio de cada mes. Se efectuaron cumplidamente los primeros 4 pagos y
luego se dejó de pagar los siguiente 5, cuánto tendrá que pagar el cliente al vencimiento del
siguiente para cancelar la totalidad de la deuda si el interés es del 3% efectivo mensual?
25. En el caso del ejercicio anterior supongo que el cliente ha pagado todas las cuotas programadas y
desea saldar la deuda:
a. Inmediatamente después de efectuar el pago de la cuota 8 ¿cuánto pagaría?
b. Justamente en la fecha de pago de la cuota 9 ¿cuánto pagaría?
26. El estado desea capitalizar $1,000,000.00 dentro de 5 años para indemnizar una propiedad
intervenida para la construcción de un hospital. Se tiene planeado capitalizar dicha cantidad
mediante la creación de un fondo en cual se depositarán cuotas mensuales ordinarias de valor $A y
cuotas extraordinarias semestrales, de valor $3A. La primera a los 6 meses, la segunda a los 12
meses y así sucesivamente. Cuando se deposita cuota extraordinaria no habrá cuota ordinaria. La
tasa de interés es del 30% CM. Encuentro el valor de las cuotas ordinarias y extraordinarias.
27. Un auto se vende mediante un pago inicial de $3,000 y 60 pagos de $350.00 mensuales, el primero
dentro de 3 meses. Si la tasa de interés sobre saldos es del 18% CM. Determino:
28. El valor del auto al contado
29. Al término del último pago mensual.
30. El costo de adquisición de una máquina es de $30,000. Los costos de operación y mantenimiento se
estiman en $500.00 mensuales, comenzando en el mes 5 después de iniciar operaciones. Si la tasa que
se le carga es del 1.5% mensual, determino hasta el año 5:
a. El valor presente de los costos
b. El costo mensual equivalente.
31. Determino el valor actual y final de una serie de depósitos de $350.00 trimestrales, realizados para el
fondo de inversiones de una empresa consultora, el primer depósito se efectúa al final del primer año
y durante 4 años a una tasa de interés del 16% CT.
32. Una empresa obtiene un préstamo de $400,000 para pagarlo en un plazo total de 12 años, determino la
cuota según se indique:
a. Cuotas anuales a una tasa de interés del 18%, la primera en el año 3 después de iniciada la deuda.
b. Cuotas mensuales a una tasa del 16.6661% CM, la primera en el mes 5 después de iniciada la
deuda.
c. Cuotas trimestrales, la primera al término del año uno a una tasa de interés del 16.8987% CT.
d. Cuotas mensuales anticipadas con el interés del 1.3888% efectivo mensual.
33. A un empresario capitalino que va a montar una fábrica, le ofrecen un crédito con un tiempo total de 5
años incluido un período de gracia de 2 años, amortización mediante cuotas iguales mensuales a un
interés del 24% CM. Encuentro la cuota para un préstamo de $1,000,000.00.
34. El Sr. Pérez necesita hacer unas reparaciones en su casa de habitación con la llegada del invierno.
Necesita el dinero para el primero de mayo, pero sólo puede pagar como máximo $3,000 mensuales y a
partir del primero de octubre hasta el primero de junio del siguiente año. A una tasa de interés del 2%
efectivo mensual, determino la cantidad máxima que puede recibir en préstamo Don José.

151
35. Una compañía deberá pagar pensiones a sus trabajadores jubilados trimestralmente hasta por una
cantidad de $20,000 durante 5 años, el primer pago lo hará dentro de un año. Para este fin la compañía
ha decidido hacer un depósito en una institución bancaria para que le permita asumir las obligaciones
futuras. Si el depósito devenga un interés del 8.00% CT, determino el valor del depósito.
36. Una empresa desea reunir $3,000,000 en 5 años, haciendo depósitos trimestrales en una cuenta de
ahorros que paga el 12% CT por períodos vencidos y completos. Después de 2 años el banco elevó la
tasa de interés en sus cuentas de ahorro al 18% CT. De continuar haciendo depósitos de igual cantidad
cuál será el capital reunido al final de 5 años?
37. Una persona compra un automóvil valorado de contado en $18,000. Si le exigen una cuota inicial del
10% y el saldo lo cancela en 60 cuotas iguales mensuales, la primera a los 3 meses de iniciada la
operación. ¿Cuál es la cuota, si los intereses son del 18% CM? ¿Cuánto pagaría si deseara cancelar el
saldo insoluto justamente antes y después de la cuota 28?
38. Una institución desea reunir $300,000 mediante 6 depósitos semestrales iguales vencidos con un interés
del 5% efectivo semestral:¿Cuál debe ser el valor de la cuota ? Calculo que tanto del incremento al
fondo es debido a intereses en el período.
39. Determino el valor actual y final de una cuenta de ahorros que se abrió con un capital inicial de $1,200
un depósito de $860 a los 3 meses y depósitos mensuales de $324.50 desde el mes 5 hasta el mes 18
inclusive, interés del 6% CM.
40. ¿Cuál es el valor actual y final de una obligación financiera que inicia a los 4 meses a través de pagos de
$455.38 que tiene un plazo total de 42 meses con intereses del 21.7051% CM?
41. Determino el valor actual de 36 pagos mensuales de $500 y en pago extra de $5,000 en el año 2 a una
tasa de interés del 12% CM.
42. El gobierno obtuvo un préstamo internacional por 40 millones de dólares para el financiamiento de un
proyecto de carácter social. El préstamo deberá cancelarse mediante cuotas iguales anuales, en un
tiempo total de 20 años que incluyen 5 años de gracia y a un interés del 4% anual. Con el objetivo de
que la amortización anual se reduzca, el gobierno se ha comprometido efectuar cuotas extraordinarias
de 5 millones en los años 10, 15 y 20 respectivamente; además del pago de la cuota programada
correspondiente a dichos años. Calculo: a. El valor de la cuota ordinaria anual. b. El valor de la cuota
anual si no se efectúan las cuotas extraordinarias.
Comparo las respuestas a esta actividad con las que aparecen en la página 195, al final de la unidad
autoformativa II, me retroalimento.

152

153
B. Anualidades perpetuas y evaluación de costos
En este segundo tema abordaremos un tipo de anualidades simples que frecuentemente se
presentan en los negocios, se trata de las anualidades o rentas a perpetuidad.
Por ejemplo:
La renta de un terreno; los legados hechos a instituciones de beneficencia; los dividendos que
producen las acciones preferentes; las sumas de dinero que es necesario reservar cada año o
cada período de tiempo por parte de las empresas para la reposición de activos, gastos de
operación y mantenimiento de proyecto que se suponen tienen vida útil indefinida, entre otros.
En síntesis, una renta perpetua es una anualidad, cuyo plazo teóricamente no tiene fin; es decir, es
indefinido, para siempre. Ver gráfico 40.
A A A A
0 1 2 3 4 . . . Períodos
Gráfico 40
P
En este tema estudiaremos las rentas perpetuas simples ordinarias, anticipadas, vencidas y
diferidas. Posteriormente abordaremos las anualidades perpetuas generales, las cuales
convertiremos a simples a través del ajuste de la tasa de interés efectiva equivalente o el ajuste del
pago al período de la tasa de interés.
Debido a que los pagos de una anualidad perpetua no terminan, resulta imposible calcular su
monto, pues su plazo no se sabe, es desconocido y en esto radica el concepto de perpetuidad.
1. Valor presente anualidad perpetua vencida
Supongamos una anualidad perpetua o renta A pagadera al final de cada período a la tasa i por
período, como se muestra en el gráfico 41. Deducimos que el valor presente P de la renta
perpetua, es aquella cantidad que produce como intereses la suma de dinero A en cada período, o
sea:
( ) 18)
(Fórmula
i
P
A =
De donde: 19)
(Fórmula
i
A
P =
La fórmula 19 puede obtenerse también aplicando límite a la fórmula 1 cuando N tiende a infinito,
(N→∝) o sea crece indefinidamente, esto es;

154
( ) ( )
i
A
P
:
es
resultante
fórmula
la
entonces
0
i
A
i
N
i
1
A
N
lim
i
A
N
lim
i
N
i
1
1
A
N
lim
P
N
lim
=
−
=
−
+
∞
→
−
∞
→
=







 −
+
−
∞
→
=
∞
→
Ejemplo 30:
La construcción de una carretera entre dos ciudades A y B tiene un valor inicial $28 millones de
dólares. Los proyectistas estiman que es necesario crear un fondo para cubrir el costo de
mantenimiento anual a partir del primer año el cual se calcula en aproximadamente 1.26% del
valor inicial de la construcción. Determinar el valor que se deberá poner en el fondo para asegurar
el mantenimiento, si la tasa de interés es del 10% anual. Gráfico 41.
P=?
0 1 2 3 4 . . . Años
352,800 costo anual perpetuo
Gráfico 41
Datos:
C0=$28,000,000 costo o inversión inicial del proyecto
A=28,000,000(0.0126)=$352,800 costo anual perpetuo
P=?
Solución: El valor que se deberá depositar en el fondo es considerado como valor actual P; por
tanto, de la fórmula 19 se tiene:
$3,528,000
0.10
352,800
P =
=
El valor de $3,528,000 constituye el valor actual del fondo que invertido al 10% anual
garantizará de forma perpetua una renta de $352,800 cada año.
Ejemplo 31:
Una persona mayor de 50 años recibe cada mes $2,000 en concepto de pago de intereses que
genera un capital depositado a plazo indefinido sin límite de tiempo hasta que muera. Si el interés
que devenga el capital es de 8% CM, determinemos el valor del depósito.
Datos:
A=$2,000 valor de la renta perpetua mensual
m=12 frecuencia de pago de intereses anuales
i=0.08/12=0.00666666 tasa de interés mensual
P=?
Solución: El capital que genera la renta perpetua es el valor actual P; por la fórmula 19 tenemos:

155
$300,000
0.00666666
2,000
P =
=
Concluimos que el valor de $300,000 invertido al 8% CM, garantizará de forma perpetua una
renta de $2,000 cada mes hasta que la persona muera.
2. Valor presente anualidad perpetua anticipada
Cuando el pago de la renta
perpetua es de inmediato, a como
se muestra en el gráfico 42,
deducimos que el valor presente P
de dicha renta, es aquella cantidad,
que disminuida en el primer pago A
produce como intereses la suma de
dinero A en cada período; es decir:
A= (P-A)(i)
A A A A A
0 1 2 3 4 . . . Períodos
Gráfico 42
P=?
Que al despejar P se tiene;
20)
(Fórmula
i
A
A
P +
=
o bien, 1)
2
(Fórmula
i
A
0
C
P +
=
Donde C0 es un valor que se desembolsa de inmediato y que no es necesariamente igual a la
renta perpetua A.
Ejemplo 32:
Una fundación hace una donación en equipos médicos, a un Hospital de Nicaragua. La donación
consiste en un desembolso de $500,000 para la adquisición de los equipos y $8,000 anuales para
su mantenimiento. ¿Cuál el valor actual de la donación, si la tasa de interés es de 12% anual?
Gráfico 43.
P=?
0 1 2 3 4 . . . Años
8,000 8,000 8,000 8,000
C 0 = $500,000
Gráfico 43
Datos:
C0=$500,000 valor de la inversión inicial
A=$8,000 valor del costo perpetua anual

156
P=?
Solución: Como se trata de hallar el valor presente P, realizamos dicho cálculo sustituyendo los
valores anteriores en la fórmula 21.
7
$566,666.6
66,666.67
500,000
0.12
8,000
500,000
i
A
0
C
P =
+
=
+
=
+
=
Concluimos diciendo que el valor $566,666.67 representa el costo capitalizado de la inversión
hospitalaria.
Ejemplo 33:
Determinemos el valor presente de una anualidad perpetua mensual anticipada de $1,500 a una
tasa del 15% CM.
Datos:
A=1,500 valor del primer pago en el período cero
A=$1,500 valor de la perpetua mensual
i=j/m=0.15/12=0.0125 tasa de interés mensual
P=?
Solución: El valor presente P, lo hallamos si sustituimos los valores anteriores en la fórmula 20.
$121,500
120,000
1,500
0.0125
1,500
1,500
i
A
A
P =
+
=
+
=
+
=
El valor presente de $121,500 representa la inversión que garantiza una anualidad perpetua
anticipada al 1.25% mensual.
3. Valor presente de una anualidad perpetua diferida
Una anualidad perpetua y diferida es aquella que contiene un período al inicio donde no hay pagos
y teóricamente no termina como se muestra en el gráfico 44.
P=?
0..........1............2...........3 4 5 6 7 8 . . . Períodos
r
A A A A A
Gráfico 44
Presentaremos una metodología de cálculo para valor presente P en el período cero de la
siguiente manera:
Leamos las veces que sea necesario el problema y dibujemos un gráfico de la situación
presentada.
Calculemos el valor Pr mediante la fórmula 19 hasta el período r.
Traslademos el valor anterior a la fecha focal cero con la fórmula de valor presente pago único,
que resumimos en la siguiente fórmula de dos factores:
( ) 22)
(Fórmula
r
i
1
i
A
P −
+
=

157
Ejemplo 34:
El gerente financiero de una empresa desea saber que valor deberá depositar en este momento
en un fondo que devenga el 12% CM, para que dentro de un año se comience a retirar de forma
mensual una pensión de $10,000 de forma indefinida. Gráfico 45.
10 10 10 10 10 Miles
0..........1............2 . . . 11 12 13 14 15 16 . . . Períodos
r
Gráfico 45
P=?
Datos:
A=10,000 valor del pago mensual diferido
r=11 Número de meses diferidos
i=j/m=0.12/12=0.01 tasa de interés mensual
P=?
Solución: El valor del depósito corresponde al valor actual P, el cual lo hallamos sustituyendo los
datos anteriores en la fórmula 22.
( ) ( ) ( ) 2
$896,323.7
0.896323
1,000,00
11
0.01
1
0.01
10,000
r
i
1
i
A
P =
=
−
+
=
−
+
=
Concluimos que el valor $896,323.72 representa la inversión de la empresa puesta en el fondo y
que garantiza una anualidad perpetua mensual diferida de $10,000 al 1% mensual. Notemos en el
gráfico 45 que en los primeros 11 meses el dinero depositado se capitaliza.
4. Valor del pago diferido perpetuo
Si deseamos calcular el valor del pago A diferido y perpetuo, de la fórmula 22 despejamos la
variable A, cuando conocemos el valor P, i y el período diferido r, esto es;
( )( ) 23)
(Fórmula
r
i
1
i
P
A +
=
Ejemplo 35:
Si el valor actual en una cuenta es de $133,446.37 y devenga un interés de 14% CM.
Determinemos el valor semestral de pagos en concepto de intereses de forma indefinida, el primer
desembolso será al término del año 4. Gráfico 46.
P=?
0--------1--------2 . . . 7 8 9 10 11 12 . . . Semestres
r
15 15 15 15 15 Miles
Gráfico 46

158
Datos:
P=$133,446.47 valor actual de la cuenta
i=0.14/2=0.07 tasa de interés semestral
r=7 número de periodos semestrales diferidos
A=?
Solución: Sustituyendo los datos en la fórmula 23 obtenemos el valor actual
( ) ( ) ( ) $15,000
0.07
214,285.87
0.07
7
0.07
1
133,446.47
A =
=
+
=
El valor de la anualidad diferida perpetua será de $15,000 a partir del semestre 8. Notemos que
durante los primeros 7 semestres la cuenta capitaliza los intereses.
5. Análisis de valor presente de costos
En este subtema analizaremos el Método de Valor Presente Neto (VPN) para evaluar
alternativas de inversión, considerando que son de igual servicio. Como es sabido, las
alternativas se pueden evaluar tomando en cuenta una serie de aspectos según convenga el
objetivo de la evaluación; abordaremos de una forma sencilla la evaluación financiera,
analizando las alternativas a través de sus costos.
Este método toma en cuenta la tasa de interés de oportunidad o tasa mínima de rendimiento
aceptable Trema y el tiempo para medir el valor del dinero en el horizonte de planeación de la
inversión. Nuestro objetivo final desde el punto de vista práctico será utilizar correctamente las
fórmulas financieras para realizar los cálculos que contiene la evaluación según el método que
se esté utilizando y poder tomar una decisión.
Los cálculos del VPN a menudo se denominan como métodos de flujo de caja descontado, así,
la tasa de interés utilizada para hacer los cálculos se llama tasa de descuento.
Con frecuencia utilizamos la terminología de valor presente neto VPN o valor actual neto VAN,
pero indiferentemente de la manera en que sea llamado, los cálculos del valor presente son
rutinariamente utilizados para tomar decisiones económicas y financieras.
Discutiremos las técnicas de comparación de alternativas de inversión por el método de VPN y
aunque se aborda solamente para dos alternativas, el procedimiento podría utilizarse para
comparar más de dos alternativas sin pérdida de generalidad.
El método del VPN para evaluar financieramente alternativas de inversión, facilita transformar
futuros costos e ingresos a valor de dinero equivalente al día de hoy. Cuando se convierte a
valores presente, todos los flujos que están asociados con una alternativa de inversión,
proporciona resultados que son fáciles de interpretar, dando lugar a establecer la diferencia en
términos de análisis económicos, que alternativa es más ventajosa entre todas las que se están
evaluando.
Es importante hacer dos observaciones:

159
a. La comparación de alternativas que tienen vidas útiles iguales es directa. Si ambas
alternativas se utilizan en idénticas condiciones para el mismo período de tiempo, se
denominan alternativas de igual servicio. Si, el flujo de caja comprende solamente egresos,
caso en el cual es conveniente omitir el signo menos de los costos. Entonces la alternativa
que presente el más bajo VPN debe ser seleccionada.
b. Cuando en el flujo de caja se consideran egresos e ingresos es conveniente hacer que los
ingresos sean positivos y los egresos negativos, en este caso, la alternativa seleccionada
debe ser aquella que tenga el VAN más alto. Este tipo de flujos no será analizado en esta
sección, ya que será estudiado en el análisis de proyectos de inversión.
La metodología para calcular el VPN de una inversión desde el punto de vista de los costos,
consiste en:
a. Actualizar los flujos de egresos: VPE
b. Actualizar los flujos de ingresos: VPI
c. Establecer la diferencia: VPN=VPE-VPI
La actualización de los flujos la podemos realizar utilizando la fórmula que más se ajuste a la
situación planteada, ya que en general no existe una fórmula específica para dichos cálculos.
Ejemplo 36:
Una empresa desea adquirir una máquina y se le presentan dos ofertas A y B cuyas
especificaciones se muestran en el cuadro. Realice una comparación a través del VPN
utilizando una tasa de interés de 20% anual para decidir cual es la mejor opción. Gráficos 47 y
48.
Tipo A Tipo B
Costo inicial $40,000 $35,000
Costo anual de operación $ 4,000 $ 6,000
Valor de salvamento (VS) $ 8,000 $ 5,000
Vida útil en años 5 5
$ 8,000
0 1 2 3 4 5 Años
$ 40,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000
Gráfico 47
Datos:
P=$40,000 inversión inicial alternativa A
A=$4,000 costo anual de operación
N=5 vida útil en años
VS=$8,000 valor de salvamento
Solución A: Primero calculamos el valor presente neto de los egresos VPE utilizando la fórmula
24 de anualidad vencida a la cual le sumamos el valor de la inversión inicial, estos es;

160
24)
a
(Fórmul
i
N
-
)
i
(1
-
1
A
P
VPE







 +
+
=
VPE=40,000+12,508.68=$52,508.68 valor presente egresos.
Ahora calculamos el VPI el cual está dado por la venta del activo depreciado al final de la vida
útil; esto lo logramos a través de:
( ) ( ) ( ) $3,496.87
0.437109
8,000
5
0.18
1
8,000
N
i
1
VS
VPI =
=
−
+
=
−
+
=
( )
3.127171
4,000
40,000
0.18
5
-
0.18)
(1
-
1
4,000
40,000
VPE =
+
=







 +
+
=
Así el valor presente neto VPN es la diferencia:
VPN=VPE-VPI=52,508.68-3,496.87=$49,011.81 tipo A
$ 5,000
0 1 2 3 4 5 Años
$ 35,000 $ 6,000 $ 6,000 $ 6,000 $ 6,000 $ 6,000
Gráfico 48
Datos:
P=$35,000 inversión inicial de la alternativa B
Solución B: Nuevamente calculamos el valor presente neto de los egresos VPE utilizando la
fórmula 24 sumando el valor de la inversión inicial:
( )
3.127171
6,000
,000
5
3
0.18
5
-
0.18)
(1
-
1
6,000
,000
5
3
VPE +
=







 +
+
=
VPE=35,000+18,763.03=$53,763.03
Calculemos el VPI por la venta del activo depreciado a través de:
( ) ( ) ( ) $2,185.55
0.437109
,000
5
5
0.18
1
,000
5
N
i
1
VS
VPI =
=
−
+
=
−
+
=
Así el valor presente neto VPN es la diferencia:
VPN = VPE – VPI = 53,763.03 - 2,185.55 = $ 51,577.48 tipo B
Concluimos de acuerdo a los resultados que:
El VPN de A es $49,011.81
El VPN de B es $53,763.03

161
Por tanto debemos seleccionarse la alternativa A, dado que, su VPN es menor que la de B.
Notemos el signo menos del valor de salvamento VS, ya que se trata de un costo negativo.
Una suposición inherente a todos los análisis de VPN, es que todos los fondos recibidos de un
proyecto, son reinvertidos inmediatamente a la TIR tasa interna de retorno.
6. Alternativas con vidas útiles diferentes
Cuando las alternativas tienen vidas útiles diferentes, el cálculo de VPN es igual al anterior, con
la excepción que las alternativas deben compararse sobre el mismo número de años, lo cual se
debe a que por definición una comparación por VPN conlleva cálculos de VPN equivalentes de
todos los flujos de caja futuros de cada alternativa.
Se considera un error comparar alternativas de igual servicio pero con vidas útiles diferentes, ya
que siempre estaríamos a favor de la vida útil más corta, en vista de que menos períodos de
costos serían considerados. Igual servicio requiere satisfacer cualquiera de los siguientes
métodos.
a. Comparación de alternativas que usan el horizonte de planeación n sin tener en
consideración las vidas útiles de las mismas.
b. Comparación de alternativas sobre períodos de tiempo iguales al mínimo común múltiplo
MCM de años para sus vidas útiles.
En el primer método se selecciona un horizonte de tiempo y sobre él se conducirá el análisis
económico-financiero, y sólo aquellos flujos de caja ocurridos durante este período se
consideran relevantes. Para el segundo método, un servicio semejante se archiva para hacer la
comparación sobre MCM de las vidas útiles entre las alternativas que automáticamente hacen
extender sus flujos de caja a lo largo del mismo período de tiempo. Es decir, el flujo de caja
para un "ciclo” de una alternativa debe multiplicarse por el MCM de años, con lo cual el servicio
se compara sobre la misma vida útil de cada alternativa. Por ejemplo, si se desea comparar
alternativas con vidas útiles de 2 y 3 años, respectivamente, las alternativas deben compararse
sobre la base de un horizonte de tiempo de 6 años”
Suposiciones del procedimiento. MCM
Las alternativas en consideración (procesos, máquinas, servicios, equipos etc.) deben
necesitar a la larga del MCM de años.
Los respectivos costos de las alternativas son los mismos en todos los subsecuentes ciclos
de vida que en el primero.
Esta segunda suposición es válida mientras el flujo de caja cambie exactamente por las tasas
de inflación o deflación aplicados durante el período del MCM.
Los valores de salvamento o rescate, cuando existen en una alternativa deben incluirse y
mostrarse como ingresos en el diagrama del flujo de caja.
De los dos métodos anteriores, usaremos el método del MCM debido a que el análisis del
tiempo de horizonte de planeación es relativamente rígido y realmente entendible.

162
Ejemplo 37:
El gerente de operaciones de un proyecto desea adquirir una máquina y está tratando de
decidir entre dos alternativas, que según estudios realizados presentan las siguientes
características:
Tipo A Tipo B
Costo inicial P $120,000 $200,000
Costo anual de operación $ 15,000 $ 25,000
Valor de salvamento (VS) $ 10,000 $ 18,000
Vida útil en años 6 9
¿Qué máquina debe seleccionar sobre la base de una comparación por valor presente neto
VPN, utilizando una tasa de interés del 15% anual?
Observación: como las máquinas tienen distintas vidas útiles, deben compararse sobre la base
del mínimo común múltiplo MCM de años, es decir, 18 años en este caso. Los respectivos
diagramas de flujos de A y B, se ilustran en los gráficos 49 y 52 respectivamente.
Análisis de la alternativa A:
Datos:
P=$120,000 inversión inicial de la alternativa A
$10,000
0 1 2 4 ...... 6 7 8 9 .... 12 13 14 15 ... 18
15,000 15,000 15,000
120,000 120,000 120,000
Gráfica 49
$10,000 $10,000
Solución: Para hallar el VPN de cada una de las alternativas calcularemos el VPE y el VPI para
cada ciclo y después los trasladamos a su valor presente.
Primero determinamos VPE para cada ciclo por la fórmula 24.
176,767.24
56,767.24
120,000
0.15
6
-
0.15)
(1
-
1
15,000
120,000
VPE =
+
=







 +
+
=
De esta manera el valor $176,767.24 representa el VPE para cada ciclo, es decir; en el año 0,
año 6, y año 12 respectivamente.

163
Los VPE anteriores constituyen una anualidad anticipada de 3 pagos con periodo de 6 años
cada uno, esto lo mostramos en el gráfico 50.
0 1 2 4 .... 6 7 8 9 .... 12 13 14 15 ... 18 Años
176,767.24 176,767.24 176,767.24
Gráfica 50
El VPE de la alternativa para tres ciclos, lo hallamos a través de la fórmula de anualidad
anticipada a su valor presente con una tasa de interés para un periodo de 6 años, la cual
calculamos de la siguiente manera:
( ) años
6
cada
tasa
1.313060
1
6
0.15
1
i =
−
+
=
6
$286,227.6
109,460.42
176,767.24
1.31306
2
-
1.31306)
(1
-
1
176,767.24
176,767.24
VPE =
+
=







 +
+
=
Para calcular el VPI, nuevamente utilizamos el valor presente pero de una anualidad vencida
con períodos cada 6 años, estos flujos los mostramos en el gráfico 51.
$10,000 $10,000 $10,000
0 1 2 4 ... 6 7 8 9 .... 12 13 14 15 ... 18
Gráfica 51
( ) $7,000.40
0.70003986
10,000
1.31306
3
-
1.31306)
(1
-
1
10,000
VPI =
=







 +
=
Como ya calculamos el VPE y VPI para la alternativa A analizando tres ciclos de 6 años cada
uno, podemos determinar el VPN, o sea:
VPN = VPE – VPI = 286,227.66 - 7,000.40 = $279,227.26

164
Análisis de la alternativa B
$ 1 8 ,0 0 0 $ 1 8 ,0 0 0
0 1 2 4 ... 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 . . . 1 7 1 8
2 5 ,0 0 0 2 5 ,0 0 0
2 0 0 ,0 0 0 2 0 0 ,0 0 0
G rá fic a 5 2
Datos:
P=$200,000 inversión inicial de la alternativa B
Solución: Para hallar el VPN calcularemos el VPE y el VPI para cada uno de los dos ciclos que
estamos considerando en este caso y después los trasladamos a su valor presente.
Primero determinamos VPE para cada ciclo por la fórmula 24:
319,289.60
119,289.60
200,000
0.15
9
-
0.15)
(1
-
1
25,000
200,000
VPE =
+
=







 +
+
=
De forma análoga al caso anterior el valor $319,289.60 representa el VPE para cada ciclo; es
decir; en el año 0 y año 9 respectivamente y se muestra en el gráfico 53.
0 1 2 4 ... 6 7 8 9 10 11 12 . . . 17 18
319,289.60 319,289.60
Gráfica 53
3
$410,051.6
90,762.03
319,289.60
-9
0.15)
(1
319,289.60
319,289.60
VPE =
+
=
+
+
=
$18,000 $18,000
0 1 2 4 .... 6 7 8 9 .... 12 13 14 15 ... 18
Gráfica 54

165
El VPI en este caso lo calculamos utilizando el valor presente anualidad vencida, de dos flujos
cada 9 años, estos flujos los mostramos en el gráfico 54 y la tasa de periodo de 9 años es:
( ) años
9
cada
tasa
517876
.
2
1
9
0.15
1
i =
−
+
=
( ) 22
.
571
,
6
$
3650675
0.
18,000
517876
.
2
2
-
)
517876
.
2
(1
-
1
18,000
VPI =
=







 +
=
Entonces, el VPN para la alternativa B analizando dos ciclos de 9 años cada uno, es:
VPN = VPE – VPI = 410,051.63 - 6,571.22 = $403,480.41
En conclusión, los resultados son:
El VPN de A es $279,227.26
El VPN de B es $403,480.41
Concluimos que a través del MCM la alternativa óptima es la A, dado que, su VPN es menor
que el de B.
Es importante destacar que el término, “costo del ciclo de vida se usa frecuentemente en los
estudios de evaluación del VPN de proyectos a largo plazo. Sencillamente los costos de vida
significan que todos los costos asociados con una alternativa deben incluirse en la evaluación.
Estos costos podrían incluir, por ejemplo, desembolsos para investigación y desarrollo, costos
de mantenimiento y costos de producción entre otros” (Blank-Tarquin, “Ingeniería Económica” p,
208).
Un criterio adicional para la evaluación financiera de alternativas de inversión, es el costo anual
equivalente CAE, también conocido como CUE cuando los períodos del flujo de fondos no son
anuales. Este método es particularmente útil en la comparación de diferentes alternativas que
no generan ingresos. En dichos caso solo interesa realizar una comparación de los costos.
Así mismo, podría ser útil en la comparación de diferentes proyectos que generan el mismo
beneficio o satisfacen la misma necesidad, sin producir ingresos diferentes. En este caso,
nuevamente sería relevante únicamente un análisis de costos.
El costo uniforme equivalente es particularmente útil para un análisis comparativo de costos
cuando las vidas útiles de las alternativas a ser comparados son desiguales. La principal
ventaja de este método sobre otros es que no requiere que la comparación se lleve a cabo
sobre el MCM de años cuando las alternativas tienen diferentes vidas útiles. Es decir, el CAE de
una alternativa debe calcularse para un ciclo de vida solamente, debido que el CAE es un costo
anual equivalente para toda la vida del proyecto. Si éste continuara durante más de un ciclo, el
CAE para el próximo ciclo y subsiguiente será exactamente igual que para el primero,
suponiendo que todos los flujos de caja fueran los mismos para cada ciclo.
Este nuevo indicador se asocia con el VPN y de hecho, consiste en una equivalencia financiera
del flujo de fondos (típicamente del flujo de costos), calculada con la TIO, tasa de interés de
oportunidad o tasa de rendimiento mínima TREMA.

166
Una metodología para el cálculo del CAE es través del VPN de los costos el cual consiste en lo
siguiente:
Calculemos el VPN de cada una de las alternativas utilizando las fórmulas financieras que
más se ajusten al flujo de fondos
Utilizamos la fórmula 25 para proyectar el CAE o CUE:
25)
a
(Fórmul
N
-
)
i
(1
-
1
i
VPN
CAE








+
=
Ejemplo 38:
Una fábrica desea cambiar el sistema de generación de electricidad para ello ha realizado
investigación en el mercado y tiene dos opciones.
a. Costo inicial $50,000 vida útil de 10 años, costos anuales de operación de $5,000 y valor de
salvamento de $6,000 al final de su vida útil. Gráfico 55.
b. Costo inicial $40,000, vida útil de 8 años, costos anuales de operación $7,000 y valor de
salvamento de $4,000. Gráfico 56.
Las dos alternativas permitirán satisfacer la misma necesidad de la fábrica, con costos y vidas
útiles diferentes. ¿Qué alternativa debemos seleccionar, si la tasa de interés de oportunidad de
la fábrica es de 16% anual?
6 ,0 0 0
0 1 2 3 4 . . . 1 0 A ñ o s
5 ,0 0 0 5 ,0 0 0 5 ,0 0 0 5 ,0 0 0 5 ,0 0 0
5 0 ,0 0 0
G r á fic o 5 5
4 ,0 0 0
0 1 2 3 4 . . . 8 A ñ o s
7 ,0 0 0 7 ,0 0 0 7 ,0 0 0 7 ,0 0 0 7 ,0 0 0
4 0 ,0 0 0
G r á fic o 5 6
Notemos en el ejemplo que, no podemos aplicar directamente el criterio del VPN a los flujos,
pues los beneficios de las dos alternativas serán idénticos en cuanto a su contribución a la
producción de la fábrica. Sin embargo, sus vidas útiles son diferentes.
Para realizar la conversión a un flujo uniformen CAE, hay que tener en cuenta que cada flujo
tiene en este caso, tres componentes básicos.
a. Una suma presente negativa que representa la inversión inicial: P.

167
b. Una serie uniforme de costos de operación y mantenimiento: A.
c. Una suma futura positiva que representa el valor de salvamento al equipo: VS.
Es necesario comparar costos y escoger la propuesta de mínimo costo. Por lo tanto, los costos
entran al cálculo con signo positivo, los beneficios lo hacen con signo negativo (un beneficio es
un costo negativo) se escoge el proyecto de mínimo costo.
Análisis de la alternativa A:
Datos:
P=$50,000 inversión inicial
A=$5,000 costos de operación anual
N=10 años de vida útil
Solución: Calculemos el VPN siguiendo la metodología descrita anteriormente, hallando
primero VPE y después VPI. Utilizaremos las fórmulas de valor presente anualidad vencida y
pago único, esto es:
( ) 74,166.14
24,166.14
50,000
0.16
10
0.16
1
1
5,000
50,000
VPE =
+
=







 −
+
−
+
=
( ) 1,360.10
0.22668
6,000
-10
0.16)
(1
6,000
VPI =
=
+
=
VPN = VPE – VPI = 74,166.14 - 1,360.10 = $72,806.04
Cuando hemos hallado el VPN aplicamos la fórmula 25 y obtenemos el CAE:
( ) $15,063.65
0.206901
72,806.04
10
-
)
0.16
(1
-
1
0.16
72,806.04
CAE =
=








+
=
De esta manera, el CAE=$15,063.65, representa el costo uniforme anual incluyendo el costo
inicial, para toda la vida útil de la alternativa A.
Análisis de la alternativa B:
Datos:
P=$40,000 inversión inicial
A=$7,000 costos de operación anual
N=8 años de vida útil
Solución: Calculemos el VPN de forma similar al caso anterior
( ) 70,405.14
30,405.14
40,000
0.16
8
0.16
1
1
7,000
40,000
VPE =
+
=







 −
+
−
+
=
( ) 1,220.10
0.305025
5,000
-8
0.16)
(1
4,000
VPI =
=
+
=

168
VPN = VPE – VPI = 70,405.14 - 1,220.10 = $69,185.04
Aplicando nuevamente la fórmula 25 obtenemos el CAE para este caso:
( ) $15,928.07
0.230224
69,185.04
8
-
)
0.16
(1
-
1
0.16
69,185.04
CAE =
=








+
=
Concluimos que el CAE(A)=$15,063.65 y el CAE(B)=$15,928.07 lo cual indica que el costo
equivalente anual incluyendo el costo inicial de la opción A es menor que el de B; dado que su
valor es menor y constituye la alternativa más atractiva para la fábrica.
8. Costo capitalizado
En esta unidad abordamos las anualidades perpetuas simples, no obstante retomaremos
algunos elementos. Por ejemplo, recordemos que cuando una inversión genera costos o
ingresos periódicos que son desembolsados o pagaderos de forma indefinida, decimos que el
flujo A de costos o de ingresos caracteriza una anualidad perpetua, como se muestra en el
gráfico 57.
0 1 2 3 4 . . . Años
A A A A Costos indefinidos
Gráfico 57
Así; el valor de la anualidad A está dado por la fórmula de anualidad perpetua ordinaria;
A=P(i)
Donde:
P: Valor de la inversión inicial o costo presente
A: Valor del costo periódico equivalente (anualidad perpetua)
I: Tasa periódica de interés.
De la fórmula anterior obtenemos el valor presente:
i
A
P =
Este valor P recibe el nombre de costo capitalizados denotado por PT de una inversión donde
no hay inversión inicial, es decir;
26)
(Fórmula
i
A
T
P =
Si tomamos en cuenta la inversión inicial Io, el costo capitalizado será:

169
27)
(Fórmula
i
A
o
I
T
P +
=
En general, no existe un modelo estándar para calcular el costo capitalizado de una inversión,
el analista se auxiliará en aquellas fórmulas que más se ajusten a la estructura del flujo de
fondos.
El costo capitalizado PT representa el valor actual de todos los costos de una alternativa de
inversión, que suponemos tiene una vida útil indefinida, por tanto sus desembolsos o costos son
perpetuos, por eso nos apoyaremos en el concepto de anualidad perpetua para realizar los
cálculos del costo capitalizado.
• Puentes
• Carreteras
• Represas hidroeléctricas
• Aeropuertos
• Puertos
• Instituciones públicas y de beneficencias
• Edificios
• Ferrocarriles, otras
Alternativas de
inversión con
vida útil indefinida
Estas inversiones duraderas las podemos evaluar a través del costo capitalizado PT y el costo
anual equivalente CAE. Si tuviéramos que tomar una decisión entre dos o más alternativas
escogeríamos aquella que presente el menor PT o menor CAE.
El cálculo del CAE, el cual representa una anualidad perpetua ordinaria lo podemos hallar a
través de la fórmula 28. Gráfico 58.
( ) 28)
Fórmula
i
T
P
CAE (
=
El resultado anterior nos indica que primero debemos calcular el costo capitalizado y después el
CAE.
0 1 2 3 4 . . . Años
CAE CAE CAE CAE Costos perpetuos
Gráfico 58

170
Ejemplo 39:
La construcción de una carretera tiene un valor inicial de $1,000,000, los costos de
mantenimiento anuales se estiman en $25,000, si la tasa de interés es del 16% anual.
Determinemos el costo capitalizado y el costo anual equivalente. Gráfico 59.
0 1 2 3 4 . . . Años
25,000 25,000 25,000 25,000 Costos anuales indefinidos
1,000,000
Gráfico 59
Datos:
I0=$1,000,000 inversión inicial
A=$25,000 costos anuales de mantenimiento
Solución: Como los costos son indefinidos, decimos que es una anualidad perpetua, por tanto
el costo capitalizado lo hallamos por la fórmula 27.
$1,156,250
1,000,000
156,250
1,000,000
0.16
25,000
i
A
T
P =
+
=
+
=
=
Seguidamente por la fórmula 28 obtenemos el CAE:
( ) ( ) $185,000
0.16
1,156,250
i
T
P
CAE =
=
=
Del resultado anterior concluimos que el costo anual equivalente CAE perpetuo será de
$185,000 el cual incluye el costo de la inversión inicial.
En la práctica se presentan dificultades para calcular el costo capitalizado, una metodología
general que recomienda Leland Blank y Antony Tarquin en su libro de “Ingeniería Económica”
para hallar el costo capitalizado de un proyecto de vida útil indefinida la presentamos a
continuación:
a. Dibujar el diagrama del flujo de caja que muestre todos los gastos o ingresos no recurrentes
y al menos dos ciclos.
b. Se encuentra el VP de todos los gastos (ingresos) no recurrentes.
c. Se halla el costo anual uniforme equivalente CAE durante un ciclo de todos los gastos
recurrentes y de las series de costos anuales uniformes periódicos, ocurridos en el año 1
hasta el infinito para obtener un CAE.
d. Se divide el CAE obtenido en (c) por la tasa de interés para obtener el costo capitalizado del
CAE.
e. Se suma el valor obtenido de (b) al valor obtenido en (d).
El cálculo del costo capitalizado debe iniciarse mediante el dibujo del diagrama del flujo de caja.
Dicho diagrama en este caso es probablemente más importante que en cualquier otro caso, ya
que facilita la distribución entre gastos no recurrentes y gastos periódicos.

171
Ejemplo 40:
Determine el costo capitalizado PT del proyecto de una Biblioteca pública en la Ciudad de
Chinandega, que tiene un costo inicial $150,000 y un costo adicional de inversión de $40,000 a
los 8 años. Los costos anuales de operación son de $3,500 para los próximos 6 años y de
$5,000 de allí en adelante. Además se espera que haya un costo recurrente de reoperación de
$10,000 cada 10 años. La tasa de interés del proyecto es de 10% anual. Gráfico 60.
Datos:
Io=$150,000 inversión inicial, costo no recurrente
I1=$40,000 reinversión año 8, costo no recurrente
A1=$3,500 costo del año 1 al 6, recurrente
A2=$5,000 costo del año 7 en adelante, recurrente
A3=$10,000 costo cada 10 años, recurrente
0 1 2 4 . . . 6 7 8 9 10 11 12 . . . 20
Años
3,500 5,000
150,000 40,000 10,000 10,000
Gráfica 60
Solución: Utilizaremos el procedimiento descrito anteriormente.
a. Primero dibujamos el diagrama de flujo de fondos del proyecto para dos ciclos.
b. Hallemos el valor presente P1 de los costos no recurrentes de $150,000 de la inversión inicial
y $40,000 en el año 8; lo cual resulta:
( ) 168,660.30
18,660.30
150,000
8
0.10
1
40,000
150,000
1
P =
+
=
−
+
=
=
c. Convertiremos el costo recurrente de $10,000 cada 10 años, en un CAE=A4 para los
primeros 10 años a través de la fórmula 4, es decir:
( )
( ) 627.45
0.0627454
10,000
1
10
0.10
1
0.10
10,000
CAE
4
A =
=








−
+
=
=
Este valor A4 también se aplica a todos los otros 10 períodos, por tratarse de un costo
uniforme equivalente.
d. Seleccionamos una anualidad A5 de costos desde el año 1 de forma indefinida por el valor:
A5=$ 3,500. Así, nos queda una anualidad por la diferencia de $1,500 desde el año 7 de
forma indefinida lo cual representa una anualidad perpetua diferida con r=6 y cuyo valor
presente P2 es:
( ) ( ) 8,467.11
6
0.10
1
0.10
1,500
r
i
1
i
A
2
P =
−
+
=
−
+
=

172
Los costos anuales perpetuos se convierten en un costo capitalizado P3, sumando A4
con A5 o sea.
41,274.50
0.10
3,500
627.45
i
5
A
4
A
3
P =
+
=
+
=
e. El costo total capitalizado PT lo obtendremos sumando P1, P2 y P3 de la forma siguiente;
PT=P1+P2+P3=168,660.30+8,467.11+41,274.50=$218,401.91
El costo capitalizado es: PT=$218,401.91.El costo anual equivalente CAE es:
( ) ( ) $21,840.19
0.10
218,401.91
i
T
P
CAE =
=
=
Concluimos que cuando dos o más alternativas se comparan sobre la base de sus costos
capitalizados o el costo anual equivalente, seleccionamos el menor PT o el menor CAE. Como el
costo capitalizado, representa el costo total presente de financiar o mantener cualquier
alternativa dada, automáticamente se comparan las alternativas para el mismo número de años;
es decir, infinito.
Como síntesis podemos decir que:
Una anualidad perpetua es una renta cuyo plazo teóricamente no tiene fin; por tanto, por su
naturaleza indefinida, este tipo de anualidad perpetua, puede ser de diferentes tipos:
( )
i
A
P
i
P
A =
⇒
=
i
A
o
C
P
i
A
A
P +
=
⇒
+
=
( ) r
i
i
A
P −
+
= 1
( )( ) r
i
i
P
A +
= 1










+
+
=
i
-N
)
i
- (
A
P
VPE
1
1
a.Comparación de alternativas que usan el horizonte de planeación n sin
tener en consideración la vida útiles de las misma: Seleccionamos un
horizonte de tiempo y sobre él se conducirá el análisis económico –
financiero, y solo aquellos flujos de caja ocurridos durante este
período se consideran relevantes.
b.Comparación de alternativas sobre períodos de tiempo iguales al
mínimo común múltiplo MCM de años para su vida útil: Entre las
alternativas que automáticamente hacen extender sus flujos de caja a
lo largo del mismo período de tiempo. El flujo de caja para un ciclo de
una alternativa debe multiplicarse por el MCM de años, con lo cual el
servicio se compara sobre la misma vida útil de cada alternativa.








+
=
-N
)
i
- (
i
VPN
CAE
1
1
8. Costo Capitalizado (i)
T
P
CAE
i
A
o
I
T
P
i
A
T
P =
+
=
=
( )
i
A
P
i
P
A =
⇒
=
i
A
o
C
P
i
A
A
P +
=
⇒
+
=
( ) r
i
i
A
P −
+
= 1
( )( ) r
i
i
P
A +
= 1










+
+
=
i
-N
)
i
- (
A
P
VPE
1
1
a.Comparación de alternativas que usan el horizonte de planeación n sin
tener en consideración la vida útiles de las misma: Seleccionamos un
horizonte de tiempo y sobre él se conducirá el análisis económico –
financiero, y solo aquellos flujos de caja ocurridos durante este
período se consideran relevantes.
b.Comparación de alternativas sobre períodos de tiempo iguales al
mínimo común múltiplo MCM de años para su vida útil: Entre las
alternativas que automáticamente hacen extender sus flujos de caja a
lo largo del mismo período de tiempo. El flujo de caja para un ciclo de
una alternativa debe multiplicarse por el MCM de años, con lo cual el
servicio se compara sobre la misma vida útil de cada alternativa.








+
=
-N
)
i
- (
i
VPN
CAE
1
1
8. Costo Capitalizado (i)
T
P
CAE
i
A
o
I
T
P
i
A
T
P =
+
=
=

173
1. Determino el valor actual de una renta mensual vencida a perpetuidad de $500.00 si la tasa de interés
es del 1% mensual.
2. ¿Cuál es el costo capitalizado y el CAE de una máquina que tiene un costo inicial de $140,000 y costos
de mantenimiento de $1,000 por trimestre vencido, si el interés es del 3% trimestral?
3. En un proyecto relacionado con la construcción de un puente se estima que la inversión inicial es de
$200,000. Los costos de mantenimiento de $8,000 y comenzarán a partir del año 4 hasta el año 9 y de
$6,000 de allí en adelante. A los 12 años se planea una reparación importante a un costo de $30,000. Si
el proyecto utiliza una tasa de interés del 15%. Calculo:
a. El costo capitalizado
b. El costo anual equivalente.
4. Determino el costo anual equivalente de un proyecto agrícola cuyos costos de inversión son de
$450,000 y cada 5 años se invertirán de forma permanente $60,000 a una tasa de interés del 18% anual
o su equivalente 128.77577% efectivo por quinquenio.
5. La industria metálica S.A. tiene dos alternativas para comprar una máquina guillotina, la primera la
ofrecen con un costo inicial $25,000 y tiene una vida útil de 10 años, al final de los cuales deberá ser
reemplazada a un costo de $30,000. La segunda tiene un costo inicial de $30,000 y una vida útil de 15
años y su costo de reemplazo es de $36,000. Si la tasa de interés se fija en 12% efectivo, ¿cuál de las
dos máquina debe comprarse utilizando el método del costo capitalizado?
6. La inversión inicial de cierto proyecto es de $25,000 y tiene costos permanentes anticipados trimestrales
de $400, si la tasa de interés es del 5% trimestral, determino el costo capitalizado.
7. Determino el valor del capital que genera ingresos anticipados anuales de $6,000 de forma indefinida a
un interés del 8% efectivo.
8. El valor de adquisición de un activo fijo es de $800,000, suponiendo que se va depreciar de forma
permanente a una tasa del 14% anual, ¿cuál será ese valor de depreciación?
9. ¿Qué cantidad de dinero invertida el día de hoy le permite a una persona ingresos pagaderos
mensuales indefinidos de 1,200 dólares, si los intereses son del 0.58% mensual?
10. Una persona efectúa un depósito de $1,000,000 en una institución bancaria que le paga el 4% CM.
a. Los intereses que devenga el depósito se capitalizan durante un tiempo y la persona realiza
retiros mensuales hasta su muerte comenzando en el año 5. ¿Qué tamaño tiene el retiro mensual?
b. En los primeros 10 años los intereses devengados se capitalizan. En esta fecha la persona
efectúa un retiro correspondiente al 25% del total acumulado y el saldo generará retiros
trimestrales indefinidos. Determino el valor del retiro trimestral.
11. Una máquina cuyos gastos de operación y mantenimiento se incrementan a una razón de $20,000
por año, puede ser reparada. Con la reparación cuyo costo es de $150,000 se eliminarían los
incrementos en los gastos de operación y mantenimiento. Para una tasa de interés del 20% y un
horizonte de planeación de 5 años, determino el VPN de los costos y elijo el menor (Supongo que
los ingresos y el valor de rescate no se modifican si la máquina es reparada).
12. Calculo el costo capitalizado y el CAE de un proyecto que tiene un costo inicial de $150,000 y un
costo adicional de inversión de $50,000 a los 10 años. Los costos anuales de operación son de
$5,000 para los primeros 4 años y $8,000 de allí en adelante. Además se espera que haya un costo
recurrente de reoperación de $15,000 cada 13 años. La tasa de interés es del 5% anual.
13. Una compañía minera está considerando la posibilidad de comprar una máquina que cueste $30,000
y que se espera durará 12 años, con un valor de salvamento de $3,000. Se espera que los costos
anuales de operación sean de $3,000 durante los primeros 5 años; pero debido al descenso de la
producción, se espera que estos también desciendan en $200 anuales durante los siguientes 7
años. Otra alternativa para la compañía es comprar una máquina altamente automatizada a un costo
de $30,000. Esta máquina solamente durará 6 años a causa de alta tecnología y diseño delicado y
su valor de salvamento sería de $15,000. Debido a la automatización sus costos de operación sólo
serían de $4,000 al año. Si la tasa de retorno mínima atractiva para la compañía es de 20% anual
¿qué máquina debe seleccionarse en base al CAE?
14. ¿Cuál es el costo capitalizado de $200,000 hoy, $300,000 dentro de 3 años, $50,000 cada 5 años y
una cantidad recurrente de $6,000 empezando dentro de 6 años, si la tasa de interés es de 20%
anual?

174
15. ¿Cuál es el costo capitalizado de $75,000 hoy, $60,000 dentro de 5 años y una cantidad anual
uniforme de $7,000 desde el año 10 y de allí en delante de forma indefinida, si la tasa de interés es
de 16% anual?
16. Una empresa compró un camión en $14,000 y lo vendió 5 años después en $3,000. Los costos de
operación y mantenimiento mientras el camión fue de su propiedad fueron de $3,500 anuales.
Además, tuvo que efectuar una reparación del motor al final del tercer año con un costo de $600.
Calculo su costo anual uniforme equivalente, si la tasa de interés anual fue del 14.7523%.
17. Una fábrica de Managua desea cambiar el compresor que posee actualmente porque está fallando
continuamente. Tiene dos alternativas:
a. Invertir $ 5,000 en una que tiene vida útil de 5 años, costos anuales de operación de $1,000 y
valor de salvamento de $2,000 al final de su vida útil.
b. Invertir $10,000 en uno de diferente marca que tiene una vida útil de 10 años, costos de
operación de $600 al año y valor de salvamento de $4,000.
Las dos alternativas permitirán satisfacer la misma necesidad de la fábrica con costos y vidas útiles
diferentes. A un interés del 21.5506% anual y usando el CAE, determino la más ventajosa para la
fábrica.
18. Una compañía está analizando la posibilidad de comprar una máquina nueva con el objetivo de
cambiar la existente debido a la obsolescencia. Para ello se han iniciado las investigaciones
respectivas en el mercado y los resultados obtenidos son los siguientes:
Concepto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3
Inversión Inicial
Costos anuales
Valor residual
Vida útil
$100,000
$ 40,000
$ 25,000
5 años
$ 200,000
$ 25,000
$ 25,000
10 años
$ 170,000
$ 30,000
$ 25,000
10 años
Las tres máquinas resuelven el problema de la compañía, pero solo se puede comprar una. Si la
tasa de oportunidad es del 20% anual, ¿cuál de las tres debe comprar usando el CAE?
19. La firma NRA desea que le recomiende que máquina debe seleccionar, sobre la base del CAE.
Utilizo un interés del 18% anual.
Concepto Máquina nueva Máquina usada
Costo inicial
Costo anual de operación
Costo anual de reparación
Reparación cada 2 años
Reparación cada 5 años
Valor de Salvamento
Vida útil (años)
$ 44,000
$ 7,000
$ 210
-----------
$ 2,500
$ 4,000
15
$ 23,000
$ 9,000
$ 350
$ 1,900
---------
$ 3,000
8
20. La compañía de Ratones y Cía. está considerando la compra entre dos sistemas de trampas para
deshacerse de los gatos vagabundos. Comparo los dos sistemas siguientes a una tasa de interés
del 10% de interés, a través del menor costo presente. (Nota: como las vidas útiles de las
alternativas son diferentes, se debe duplicar el ciclo de vida del Sistema S, para realizar la
comparación en un horizonte de 40 años).
Concepto Sistema S Sistema C
Costo inicial
Costo anual de operación
Valor de Salvamento
Vida útil (años)
$25,000
$ 500
$ 1,000
20
$ 50,000
$ 200
$ 500
40

175
21. Determino el costo capitalizado y CAE de cada una de las inversiones siguientes y selecciono la
mejor. La tipo A tiene un costo inicial de $1,000,000, costos adicionales de operación anual de
$15,000 a partir del año 5 de forma indefinida. Una reinversión de $50,000 en el año 10. La tipo B
tiene una inversión inicial $900,000, costos anuales de operación $20,000 a partir del año 4 de forma
indefinida. Costo adicional de reinversión $30,000 en el año 8. Asumo una tasa de interés de 20%
anual.
22. Actualmente existen dos máquinas que se desean comprar: la máquina A tiene un costo inicial de
$120,000 vida útil de 10 años, valor de rescate $8,000 y costos semestrales de operación de $
2,500. La máquina B tiene un costo inicial de $110,000, vida útil de 10 años, costos mensuales de
operación $400 y valor de rescate de $10,000. Si la tasa de interés es del 15% anual. Determino la
mejor opción a través de:
a. Costos uniformes equivalentes
b. El menor costo presente.
Comparo las respuestas a esta actividad con las que aparecen en la página 196, al final de la unidad
autoformativa II, me retroalimento.

176

177
C. Anualidades generales a plazo y perpetuas
En este tema estudiaremos las anualidades generales ciertas vencidas, anticipadas, diferidas y
perpetuas. Para efectuar los cálculos con este tipo de anualidades utilizaremos dos métodos, tasa
equivalente y pago equivalente para transformarla en una anualidad simple donde el período de
capitalización coincida con el período de pago.
Reafirmamos:
Una anualidad es general si el período de capitalización de intereses que establece la tasa
efectiva periódica i no coincide con el período del pago o renta A; en este caso decimos que no
hay equivalencia financiera.
En la práctica cotidiana de las operaciones financieras las anualidades generales son las más
comunes, debido a que no necesariamente los pagos o depósitos deben coincidir con el
período de capitalización de intereses. Por ejemplo, una cuenta de ahorros gana un interés del
8% CD, sin embargo los depósitos para la cuenta son de $300 mensuales; también puede
suceder lo contrario, se trata entonces de anualidades generales.
1. Ajuste de la tasa equivalente
¿En qué consiste un ajuste de la tasa equivalente?
Uno de los métodos para la conversión de la anualidad general en una simple consiste en ajustar
el período de la tasa de interés al período de pago, este ajuste lo efectuaremos a través de la
metodología de las tasas equivalentes estudiadas en la unidad autoformativa I. Teniendo en
cuenta que la tasa resultante de interés sea manipulada con 8 decimales como mínimo para que
los cálculos sean los más aproximados.
a. Método de agrupación de la tasa de interés
Este método lo utilizamos cuando la anualidad general se nos presenta en los siguientes
términos: un número entero de períodos de interés por intervalo de pago. Gráfico 61. Es decir,
cuando el período del pago sea mayor que el período de interés (pp > pi). Supongamos que se
realizan pagos al final de cada año y la tasa de interés se capitaliza trimestralmente, entonces
por cada intervalo de pago se producen 4 períodos de la tasa de interés a como se muestra en
el gráfico 61. Entonces, es necesario agrupar el valor de los 4 períodos de la tasa en uno solo,
de manera que se ajuste al período del pago. Esta agrupación se realiza por la fórmula 8 ya
estudiada o en su forma equivalente la fórmula 29:
( ) 29)
(Fórmula
1
m
2
i
1
1
i −
+
=
con i1 > i2
donde:
i1: tasa de interés periódica efectiva agrupada
i2: tasa de interés periódica efectiva conocida
m: número de períodos de capitalización de i2 por cada pago A

178
P a g o A a n u a l
0 1 2 3 4 T r im e s t r e s
i 2 i 2 i 2 i 2
i1
G r á f i c o 6 1
b. Método de distribución de la tasa de interés
En este caso, al contrario de la fórmula anterior, la utilizamos cuando el (pp < pi). Si suponemos
que se realizan pagos al final de cada mes y la tasa de interés se capitaliza semestralmente,
entonces por cada intervalo de pago se producen 6 períodos de la tasa de interés a como se
muestra en el gráfico 62, donde es necesario distribuir el valor único de la tasa periódica de
interés, en 6 valores periódicos de la tasa, de manera que se ajuste al período del pago. Esta
distribución la realizamos por la fórmula 9 o en su forma equivalente la fórmula 30:
( ) 30)
(Fórmula
1
m
1
1
i
1
2
i −
+
=
con i1 > i2
donde:
i1: tasa de interés periódica efectiva conocida
i2: tasa de interés periódica efectiva distribuida
m: número de pagos A por cada período de i1
A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 M e s e s
i2
s e m e s t r a l
G r á f i c o 6 2
i2
i2
i2
i2
i2
i1
Una anualidad general también se puede analizar utilizando el método del ajuste del pago al
período de la tasa de interés, como lo veremos más adelante.

179
Ejemplo 41:
Una distribuidora local de automóviles oferta una marca y estilo de auto en las siguientes
condiciones: $16,750 si se compra de contado o el 25% de prima y el saldo se cancela
mediante cuotas iguales mensuales en un plazo de 4 años con una tasa de interés del 16%
efectivo anual. Si se compra al crédito determinemos el valor de la cuota mensual.
Datos:
P0=$16,750 valor de contado
C0=16,750(0.25)=$4,187.50 cuota inicial
P=$16,750-$4,187.50=$12,562.50saldo inicial
ie=16% tasa de interés efectiva anual
n=4 plazo en años
m=12 frecuencia de conversión intereses anuales
N=4(12)=48 meses o períodos de capitalización
i=? tasa efectiva mensual
A=? pago mensual
Solución: Podemos observar en los datos que hay una inconsistencia entre el período de la
tasa de interés que es anual y el intervalo del pago o cuota que es mensual (pp<pi), debido a
esto procederemos a realizar el ajuste (distribución) de la tasa efectiva anual a una tasa efectiva
mensual equivalente a través de la fórmula 30, o sea:
( ) mensual
1.24451%
0.0124451
1
12
1
0.16
1
2
i =
=
−
+
=
Utilizando la tasa anterior y la fórmula 2 encontraremos la cuota mensual, esto es:
( )
( ) $351.71
0.0277973
12,562.50
48
0.0124451
1
1
0.0124451
12,562.50
A =
=








−
+
−
=
Para hacer el cálculo deseado logramos transformar la tasa de interés de período anual a
una tasa de período mensual.
Ejemplo 42:
Una persona ahorra al final de cada trimestre $1,000 dólares en una institución financiera que le
paga el 1% mensual para cuentas de ahorro. Determinemos la cantidad acumulada en 3 años,
si al año y medio realizó un retiro de $1,200
Datos:
A=$1,000 valor del depósito trimestral
R=$1,200 valor del retiro al 1.5 año
i=1% tasa de interés efectiva mensual
n=3 años de plazo
N=3(4)=12 número de depósitos o períodos capitalizados
N=1.5(4)=6 períodos capitalizados del retiro
F=?
Solución: El período de la tasa de interés es i2=1% mensual y el período del depósito es
trimestral, es decir; (pp > pi). Ajustaremos por agrupación, el valor de la tasa al intervalo del
depósito mediante la fórmula 29, teniendo en cuenta que por cada período de pago hay 3
período de la tasa, esto es m=3. Gráfico 63.

180
( ) 3.0301%
0.030301
1
3
0.01
1
1
i =
=
−
+
=
0 1 2 3 M eses
i2
A Trim estral
G ráfico 63
i2 i2
La solución final la hallamos a través de F=F1–F2 cuando calculamos el valor futuro F1 de los
depósitos por la fórmula 3 y luego restamos el valor futuro F2 a interés compuesto pago único
del retiro en la fecha focal en el año 3, de la siguiente manera:
( ) ( ) $14,216.32
14.216322
1,000
0.03301
1
12
0.030301
1
1,000
1
F =
=







 −
+
=
( ) ( ) $1,435.38
1.196147
1,200
6
0.030301
1
1,200
2
F =
=
+
=
Saldo a los 3 años: F=14,216.32-1,435.38=$12,780.94
Notemos que el valor futuro del retiro es $1,435.38 lo cual significa que tenemos que
restárselo al valor futuro total de los depósitos, para obtener el saldo neto acumulado.
Dejamos al lector buscar otra forma de obtener la misma respuesta.
Ejemplo 43:
Determinemos el valor de contado de un equipo de computación que adquiere una empresa en
los términos siguientes: prima o pago inicial $2,400 y 30 pagos mensuales de $300 el primero a
los 3 meses después de la compra, con el interés del 20% C.S. Gráfico 64.
P=?
Pr
0----------1----------2 3 4 5 6 7 . . . 31 32 Meses
r
300 300 300 300 300 300 300
2,400
Gráfico 64
Datos:
Co=$2,400 valor del pago inicial en período cero
A=$300 valor del pago mensual
i=j/m=0.20/2=0.10 tasa de interés efectiva semestral
r=2 meses de gracia
n=32/12=2.666666 años de plazo total

181
N-r=30 número de pagos
P=?
Solución: En ejemplo anterior aclaramos que el valor de contado corresponde al valor presente
o actual y no contiene intereses. En los datos observamos que la tasa periódica efectiva
conocida es 10% por semestre, entonces dado que los pagos son mensuales, necesitamos
hallar una tasa efectiva mensual, esto lo logramos a través de la fórmula de distribución de la
tasa de interés donde m=6 pagos por período de interés.
( ) mensual
1.6011%
0.016011
1
6
1
0.10
1
2
i =
=
−
+
=
De esta manera el pago y la tasa de interés están en el mismo período mensual, reemplazando
los datos en la fórmula 14 y sumándole la cuota inicial, tenemos la respuesta:
( ) $9,280.45
2
-
)
0.016011
1
(
0.016011
2
32
0.016011
1
1
300
2,400
P =
+







 +
−
+
−
+
=
Por tanto el precio de contado del equipo es $9,280.45.
Ejemplo 44:
Determinemos el valor futuro de 10 pagos semestrales anticipados de $550 que sirven para
liquidar al vencimiento un contrato de arriendo de una bodega, con el interés del 24% C.M.
Gráfico 65.
F = ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Semestres
550 550 550 550 550 550 550 550 550 550
Gráfico 65
Datos:
A=$550 valor del pago semestral
i=j/m=0.24/12=0.02 tasa de interés efectiva mensual
n=5 años de plazo
N=2(5)=10 número de pagos semestrales anticipados
F=?
Solución: Podemos observar que la tasa periódica efectiva conocida es 2% por mes, entonces
dado que los pagos son semestrales, necesitamos hallar una tasa efectiva semestral, la cual
logramos a través de la fórmula de agrupación de la tasa de interés donde m= 6 períodos de
interés por período de pago
( ) semestral
12.6162%
0.126162
1
6
0.02
1
1
i =
=
−
+
=
El pago y la tasa de interés están en el mismo período semestral, reemplazando los datos en la
fórmula de valor futuro anualidad anticipada obtenemos la respuesta:

182
( ) $11,198.60
550
0.126162
1
1
10
0.126162
1
550
F =
−







 −
+
+
=
El valor futuro del contrato es $11,198.60.
Ejemplo 45:
Calculemos el valor actual de una serie de pagos anuales perpetuos vencidos de $10,000 que
se utilizan para el pago de impuesto de una propiedad urbana, con interés del 16% C.T. Gráfico
66.
0 1 2 3 4 . . . Años
10,000 10,000 10,000 10,000
Gráfico 66
Datos:
A=$10,000 valor del pago anual perpetuos
i=j/m=0.16/4=0.04 tasa de interés efectiva trimestral
n→∝: años de plazo (perpetuo)
P=?
Solución: Se trata de una anualidad perpetua ordinaria general donde la tasa periódica efectiva
conocida es 4% por trimestre, como los pagos son anuales, queremos hallar una tasa efectiva
anual, la cual obtenemos haciendo uso de la fórmula de agrupación de la tasa de interés donde
m=4 períodos de interés por período de pago.
( ) anual
16.9859%
0.169859
1
4
0.04
1
1
i =
=
−
+
=
Hemos logrado convertir el período de la tasa de interés al período de pago anual,
reemplazando los datos en la fórmula de valor presente anualidad perpetua ordinaria,
obtenemos la respuesta:
58,872.36
$
0.169859
10,000
i
A
P =
=
=
El valor presente de la serie anual perpetua es $58,872.36.
2. Ajuste del pago equivalente
Otro método para la conversión de la anualidad general en una simple es el recíproco del método
anterior y consiste en el ajuste del pago equivalente al período de la tasa de interés; este ajuste lo
realizaremos a través del uso de dos factores: distribución y agrupación del pago vencido.
La transformación de los pagos A en pagos equivalentes X hechos al final del período de interés i,
es un procedimiento bien aceptado por las instituciones financieras, debido a que los períodos de
interés son la mejor unidad de tiempo.

183
a. Factor de distribución
Este factor lo utilizaremos para transformar una anualidad general en una simple, cuando se
nos presenta el intervalo o período de pago mayor que el período de la tasa de interés (pp>pi).
Observemos el gráfico 67. Este factor es:
( )
31)
(Fórmula
1
h
i
1
i
A
X








−
+
=
Donde:
X: Valor del pago equivalente
A: Valor del flujo o pago conocido
i: Tasa por período de interés: i=j/m
h: Número de períodos de interés por intervalo del pago conocido
Supongamos que los pagos se efectúan al final de cada 6 meses y el período de la tasa de
interés es mensual, luego por cada período de pago existen 6 períodos de interés. Gráfico 67.
0 1 2 3 4 5 6 Meses
i i i i i i
Pago A semestral
Gráfico 67
Ejemplo 46:
Si el interés es de 24% C.M, reemplacemos un pago de $20,000 al final de cada año por pagos
X al final de cada mes. Gráfico 68.
0 1 2 3 4 . . . 11 12 Meses
X X X X X X
A = 20,000
Gráfico 68
Datos:
A=$20,000 valor del pago al final de cada año
j=24% tasa nominal de interés anual
i=j/m=0.24/12=0.02tasa efectiva mensual
h=12 número de períodos de interés por cada pago A
X=? pagos equivalentes mensuales
Solución: Dado que el período de la tasa de interés i es mensual y el pago A es anual,
distribuimos de forma equivalente el valor $20,000 en 12 pagos iguales al final de cada mes,
para ello reemplazamos los datos en la fórmula 31, esto es:

184
( )
( ) $1,491.19
0.0745596
20,000
1
12
.02
0
1
0.02
20,000
X =
=








−
+
=
La respuesta anterior equivale decir: podemos pagar $20,000 al final de cada año o bien de
forma equivalente $1,491.19 al final de cada mes con el interés del 24% C.M. Notemos que el
pago a distribuir es un valor futuro.
b. Factor de agrupación
Este factor es útil para transformar una anualidad general en una simple, cuando se nos
presenta el intervalo o período de pago menor que el período de la tasa de interés (pp<pi).
Gráfico 69. Este factor es:
( )
32)
(Fórmula
1
p
1
i
1
i
A
X














−
+
=
Donde:
X: Valor del pago equivalente
A: Valor del flujo o pago conocido
i: Tasa por período de interés: i=j/m
p: Número de pagos por períodos de interés
Si suponemos que los pagos se efectúan al final de cada mes y el período de la tasa efectiva de
interés es semestral entonces por cada período de interés existen 6 pagos. Gráfico 69.
i :Tasa de interés semestral
0 1 2 3 4 5 6 Meses
A A A A A A Pago mensual
Gráfico 69
Ejemplo 47:
Con una tasa de interés de 18% efectivo anual, sustituir pagos de $2,500 al final de cada mes
por pagos equivalentes X al final de cada año. Gráfico 70.
0 1 2 3 4 . . 12 Meses
2,500 2500 2500 2500 2500
X
Gráfico 70

185
Datos:
A=$2,500 pago al final de cada mes
i=j/m=0.18/1=0.18 tasa efectiva anual
p=12 número de pagos por periodo de interés
X=?
Solución: Notemos que el período de la tasa i es anual y el período de A es mensual entonces
no coinciden; debido a esto agruparemos de forma equivalente 12 pagos de $2,500 efectuados
al final de cada mes en un sólo pago X al final de un año, de la siguiente manera:
( )
( ) $32,401.07
12.960428
2,500
1
12
1
0.18
1
0.18
2,500
X =
=














−
+
=
Concluimos que el valor del pago equivalente anual es $32,401.07 que resulta lo mismo que
$2,500 mensuales durante un año. Para una buena respuesta la fracción 1/p debemos escribirla
con 6 decimales mínimo para que el cálculo sea lo más exacto posible.
Después de distribuir o agrupar los flujos periódicos dados para tener un flujo al final de cada
período de interés, el valor presente P de una anualidad general vencida se encuentra
utilizando la fórmula 33 intercambiando el valor del flujo A por el valor equivalente X y ajustando
el exponente N de acuerdo al nuevo número de pagos equivalentes X. Entonces la fórmula es:
( ) 33)
(Fórmula
i
N
i
1
1
X
P







 −
+
−
=
Lo mismo podemos hacer para efectuar el cálculo que deseamos con los distintos tipos de
anualidades que hemos estudiados.
Ejemplo 48:
Determinemos el valor de un depósito a efectuarse hoy para realizar retiros de $4,000 al final de
mes durante 10 años, si la tasa de interés es del 8% C.S. Gráfico 71, flujo de retiros.
4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000
0 1 2 3 4 5 6 . . . 120 Meses
Gráfico 71
P = ?
Datos:
A=$4,000 valor del retiro mensual

186
i=j/m=0.08/2=0.04 tasa efectiva semestral
n=10 años de plazo
N=10(12)=120 retiros mensuales o N=20 pagos X semestrales equivalentes
P=?
Solución: Primero debemos calcular el valor equivalente X semestral, que agrupe 6 retiros o
pagos mensuales de $4,000 dado que la el período de tasa y el período de pago no coinciden,
esto es:
( )
( ) semestral
$24,396.95
6.09924
4,000
1
6
1
0.04
1
0.04
4,000
X =
=














−
+
=
El valor presente de todos los valores agrupados X lo hallamos por la fórmula 33 o sea:
( ) ( ) 1
$331,562.5
13.590326
24,396.95
0.04
20
0.04
1
1
24,396.95
P =
=







 −
+
−
=
El valor del depósito es de $331,562.51 lo cual permitirá retiros mensuales por $4,000
durante 10 año ya que en esa fecha se agotará y su valor será cero.
Para el cálculo de valor futuro F de una anualidad general vencida, donde la fórmula 3 se
transforma en:
( ) 34)
(Fórmula
i
1
N
i
1
X
F







 −
+
=
Ejemplo 49:
Una empresa realiza depósitos de $8,000 al final de cada 6 meses para un fondo de
inversiones. Si la tasa de interés que devenga el fondo es de 7.2% C.M. Determinemos el valor
acumulado de los depósitos a los 10 años. Gráfico 72.
F = ?
0 1 2 3 . . . 20 Semestres
8,000 8,000 8,000 8,000
Gráfico 72
Datos:
A=$8,000 valor del depósito semestral
n=10 años de plazo

187
N=10(2)=20 depósitos semestrales o N=120 pagos X mensuales equivalentes
F=?
Solución: De forma análoga al ejemplo anterior, primero distribuiremos el depósito semestral
de $8,000 en 6 pagos X equivalentes mensuales, esto es:
( )
( ) mensual
$1,313.47
0.164184
8,000
1
6
0.006
1
0.006
8,000
X =
=








−
+
=
Una vez que hallamos el valor de X, utilizamos la fórmula 34, para saber el valor futuro, o sea:
( ) ( ) 0
$229,861.2
175.0030
1,313.47
0.006
1
120
0.006
1
1,313.47
F =
=







 −
+
=
Entonces el valor futuro en el fondo de inversiones a los 10 años es de $229,861.20
Ejemplo 50:
Una compañía está pagando al final de cada año un máximo de $50,000 de forma indefinida,
en concepto de prestaciones sociales a sus empleados; a una tasa del 1% mensual
determinemos el valor de los pagos mensuales equivalentes y el valor actual de dichos
desembolsos. Gráfico 73.
0 1 2 3 4 . . . Años
50,000 50,000 50,000 50,000
Gráfico 73
Datos:
A=$50,000 valor del pago anual
i=1% tasa efectiva de interés mensual
h=12 número de períodos de interés por cada pago anual
X=? valor del pago equivalente mensual
Solución: Dado que los desembolsos son perpetuos de forma anual, entonces por la fórmula
de 31, cada pago de $50,000 lo distribuimos en 12 pagos equivalentes X mensuales y
perpetuos. Gráfico 74.
( )
( ) $3,942.44
0.0788487
50,000
1
12
0.01
1
0.01
50,000
X =
=








−
+
=
0 1 2 3 4 . . . Meses
3,942.44 3,942.44 3,942.44 3,942.44
Gráfico 74

188
El valor equivalente X=$3,942.44 es mensual a perpetuidad, así calculamos el valor presente P,
o sea;
$39,424.40
0.01
3,942.44
i
A
P =
=
=
En resumen podemos decir que una anualidad es general si el período de capitalización de
intereses que establece la tasa efectiva periódica i no coincide con el período del pago o
renta A; en este caso no hay equivalencia financiera.
Existen varios métodos para la conversión de una anualidad general en una simple:
1.Ajuste de la tasa
equivalente
a. Método de agrupación de la
tasa de interés
b. Método de distribución de la
tasa de interés
( ) 2
1
1
2
1
1 i
i
m
i
i >
⇒
−
+
=
( ) 2
1
1
1
1
1
2 i
i
m
i
i >
⇒
−
+
=
2.Ajuste del pago
equivalente
( ) 







−
+
=
1
1 h
i
i
A
X
( ) 















−
+
=
1
1
1 p
i
i
A
X ( )









 −
+
−
=
i
N
i
X
P
1
1 ( )










−
+
=
i
N
i
X
F
1
1
1.Ajuste de la tasa
equivalente
a. Método de agrupación de la
tasa de interés
b. Método de distribución de la
tasa de interés
( ) 2
1
1
2
1
1 i
i
m
i
i >
⇒
−
+
=
( ) 2
1
1
1
1
1
2 i
i
m
i
i >
⇒
−
+
=
2.Ajuste del pago
equivalente
( ) 







−
+
=
1
1 h
i
i
A
X
( ) 















−
+
=
1
1
1 p
i
i
A
X ( )









 −
+
−
=
i
N
i
X
P
1
1 ( )










−
+
=
i
N
i
X
F
1
1
Actividad de autoaprendizaje no.3
1. Encuentro el valor actual y final de una serie de depósitos de $20,000 al final de cada semestre
durante 12 años, si la tasa de interés es del 9.2% efectivo anual.
2. Para cancelar una deuda por $ 35,478.21 se efectúan pagos mensuales durante 3.5 años, si la tasa
de interés que se paga es del 18% CT. ¿De qué tamaño son los pagos?
3. Una persona ahorra al final de cada mes la cantidad $170.00 en una institución bancaria que le
garantiza el interés del 7.35% efectivo anual. Determino el valor acumulado de la cuenta de ahorros
al final de 4 años.
4. Una empresa desea tener disponible dentro de 39 meses $20,000 para reponer una maquinaria.
¿Qué cantidad deberá depositar en un fondo al final de cada trimestre, si el fondo gana una tasa de
interés de 8% CS?
5. Un préstamo por $25,000 se va a cancelar mediante el sistema de cuotas niveladas mensuales, la
primera un mes después a una tasa de interés del 16% CT durante 12 años. Determino el valor de la
cuota.
6. Determino el valor actual y final de una serie de depósitos de $500 al final de cada mes durante 6
años, si la tasa de interés es del 12% CC.
7. Una empresa desde 1.5 año no ha pagado la cuota trimestral de $10,000 en concepto de arriendo
de un edificio; si el dueño aplica una tasa de interés del 9% nominal semestral CC a los retrasos
¿Qué valor tendrán esos pagos en la actualidad?
8. Se quiere conocer el principal prestado, si se efectúan pagos iguales mensuales vencidos por valor
de $652.46 durante 5 años a un interés del 24.5% CS.
9. Un terreno se alquila en $1,000 dólares mensuales anticipados. ¿Qué valor actual y final tendrá un
contrato para 2.5 años, si el interés es de 5.5% ES?
10. La compañía TSP hace una donación de $30,000 a la Cruz Roja para que sea retirada dentro de 16
meses. Determino la cantidad que deberá invertir la compañía en un negocio financiero
mensualmente, comenzando hoy para entregar la cantidad prometida, si la tasa de interés es del 5%
mensual acumulativo.

189
11. Una tienda se compra a través de tres opciones: (a) cuota inicial $6,500 y pagos anticipados anuales
durante 3 años de $5,929.82 a un interés del 14.0175% semestral, (b) mediante pagos mensuales
de $ 667.18, el primero el día de hoy, en un plazo de 4 años y a una tasa de interés del 2.2232%
efectivo mensual y (c) cuota inicial $10,000 y pagos trimestrales vencidos por $2,343.49 durante año
y medio a un interés del 30% CT. (La mejor opción es la de menor costo presente).
12. La deuda de un comerciante con un banco ha aumentado y hasta el día de hoy suma la cantidad de
$19,359.20. La propuesta del banco para cancelar la deuda es mediante pagos anticipados
mensuales, en un plazo de 2 años comenzando hoy a una tasa de interés del 30%, sin recargo por
mora. Calculo el valor de la cuota mensual.
13. Un ciudadano desea tener dentro de 10 años $30,000 para comprarse una casa ¿Qué cantidad
deberá depositar mensualmente (comenzando hoy) en fondo que devenga el 2% nominal trimestral
CC para acumular la cantidad deseada?
14. ¿Cuál es el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor $11,302.31 durante
8 años a una tasa 25.1899% CC?
15. Determino el valor del pago anticipado trimestral que sustituya pagos anuales vencidos de $10,000
durante 12 años a una tasa de interés del 15% CM.
16. Una comunidad compra una planta generadora de electricidad con $6,000 de cuota inicial y 24
pagos de $3,500 al final de cada mes. Si después de haber pagado las primeras 8 cuotas y
justamente antes de efectuar el pago de la novena cuota decide cancelar en un pago único el saldo
de la deuda, ¿cuánto deberá cancelar con intereses al 25.2325% CS?
17. Para cancelar una deuda una persona se compromete efectuar 8 pagos mensuales al principio de
cada mes de $3,000 y un pago extra de $10,000 al finalizar el año. Si los intereses se cobran al
8.4790% trimestral. Determino el valor de la deuda al inicio del contrato.
18. El arreglo de pago entre un cliente y un banco sobre una deuda vencida estipula, 18 pagos
mensuales de $2,000 al principio de cada mes. Se efectuaron cumplidamente los primeros 4 pagos y
luego se dejó de pagar los siguiente 5, cuánto tendrá que pagar el cliente al vencimiento del
siguiente para cancelar la totalidad de la deuda si el interés es del 6.09% efectivo bimensual?
19. Un automóvil se oferta a través de un pago inicial de $1,600 y 50 cuotas de $287.40 mensuales, el
primero al término del mes 3. Si la tasa de interés sobre saldos es del 18.2714% CT. Determino: (a) el
valor del auto al contado y (b) al término del último pago mensual.
20. El costo de adquisición de una máquina es de $30,000. Los costos de operación y mantenimiento se
estiman en $500.00 mensuales, comenzando en el mes 6 después de iniciar operaciones. Si la tasa que
se le carga es del 1% mensual, determino: (a) el costo anual equivalente y (b) costo uniforme
equivalente semestral. Ambos cálculos hasta el año 3.
21. Determino el valor final en el fondo de inversiones de una sociedad anónima si abre el fondo con
$10,000, efectúa 17 depósitos de $8,000 trimestrales, el primero al final del primer año al 8.2432%
efectivo anual. Debido a un incremento en los intereses del 9% CT, decide realizar depósitos
semestrales de $12,000 durante los siguientes 3 años.
22. Un préstamo de $350,000 se amortizará mediante cuotas niveladas anuales, la primera al término del
año 3 después de haber obtenido el préstamo. A una tasa del 14.22323% CT y un tiempo total de 12
años, calculo: (a) el valor de la cuota anual y (b) un sistema de pago equivalente mediante cuotas
niveladas vencidas mensuales comenzando un mes después.
23. La Sra. Espino necesita una cantidad de dinero para el 10 de junio, pero sólo puede pagar como
máximo $150 mensuales y a partir del 10 de octubre hasta el 10 de julio del siguiente año. A una tasa
de interés del 9.5445% efectivo semestral, determino la cantidad máxima que puede recibir en préstamo
la Sra. Espino.
24. Una compañía deberá pagar pensiones a sus trabajadores jubilados trimestralmente hasta por una
cantidad de $20,000 durante 5 años, el primer pago lo hará dentro de un año. Para este fin la compañía
ha decidido hacer un depósito en una institución bancaria para que le permita asumir las obligaciones
futuras. Si el depósito devenga un interés del 8.24321% efectivo, determino el valor del depósito.
25. Cuando su hijo cumple 10 años, un padre hace un depósito de $X en una fiducidaria con el objeto de
asegurar sus estudios universitarios, los cuales iniciará cuando cumpla 18 años. Para esa época el valor
de los aranceles y otros gastos pagados por adelantados se estiman en:
Matrícula semestral $100.00
Pago mensual docencia $ 50.00
Gastos en libros por semestre $145.00

190
Transporte por semestre $180.00
Alimentación y vivienda mensual $250.00
Vestuario semestral $120.00
Gastos imprevistos mensuales $ 25.00
Derechos de graduación al final del último semestre de la carrera $ 800.00
Asumiendo que la carrera durará 5 años continuos y la tasa interés es del 8% efectivo anual. ¿Cuál
será el valor del depósito?
26. Una empresa adquiere un automóvil valorado de contado en $52,000. Si le exigen una cuota inicial del
12% y el saldo lo cancela en 60 cuotas iguales mensuales, la primera a los 2 meses de iniciada la
operación. ¿Cuál es la cuota, si los intereses son del 8.9332% semestral CC? ¿Cuánto pagaría si
deseara cancelar el saldo insoluto justamente antes y después de la cuota 30?
27. Una institución desea reunir $300,000 mediante 6 depósitos semestrales iguales vencidos con un
interés del 10.25% efectivo. (a) ¿Cuál debe ser el valor de la cuota ? y (b) Calculo que tanto del
incremento al fondo es debido a intereses en el período 4.
28. Determino el valor actual y final de una cuenta de ahorros que se abrió con un capital inicial de $1,200,
depósito de $860 a los 3 meses y depósitos mensuales de $324.50 desde el mes 5 hasta el mes 18
inclusive, interés del 6.030% CT.
29. ¿Cuál es el valor actual y final de una obligación financiera que inicia a los 4 meses mediante pagos de
$455.38 y tiene una duración total de 42 meses e intereses del 24% efectivo?
30. Determino el valor actual de una renta mensual vencida a perpetuidad de $500.00 si la tasa de interés
es del 12.6825% anual.
31. ¿Cuál es el costo capitalizado y el CAE de una máquina que tiene un costo inicial de $140,000 y costos
de mantenimiento de $1,000 por trimestre vencido, si el interés es del 12.18% CS?
32. En un proyecto relacionado con la construcción de un puente se estima que la inversión inicial es de
$200,000. Los costos de mantenimiento de $8,000 comenzarán a partir del año 4 hasta el año 9 y de
$6,000 allí en adelante. A los 12 años se planea una reparación importante a un costo de $30,000. Si el
proyecto utiliza una del 14.0579% CM; calculo: (a) el costo capitalizado y b) el costo anual equivalente.
33. Determino el costo anual equivalente de un proyecto agrícola cuyos costos de inversión son de
$450,000 y cada 5 años se invertirán de forma permanente $60,000 a una tasa de interés del 18%
anual.
34. La industria metálica S.A. tiene dos alternativas para comprar una máquina guillotina, la primera la
ofrecen con un costo inicial $25,000 y tiene una vida útil de 10 años, al final de los cuales deberá ser
reemplazada a un costo de $30,000. La segunda tiene un costo inicial de $30,000 y una vida útil de 15
años y su costo de reemplazo es de $36,000. Si la tasa de interés se fija en 11.4949% CT ¿Cuál de los
dos máquina debe comprarse utilizando el método del costo capitalizado?
35. La inversión inicial de cierto proyecto es de $300,000 y costos permanentes anticipados trimestrales de
$10,000, si la tasa de interés es del 9.7580% semestral CC, determino el costo capitalizado.
36. Determino el valor del capital que genera ingresos anticipados anuales de $6,000 de forma indefinida a
un interés del 7.7208% CM.
37. Determino la renta mensual indefinida que produce un capital de $1,000,000 a una tasa de interés del
0.192123% semanal CC.
38. ¿Qué cantidad de dinero invertida el día de hoy le permite a una persona ingresos pagaderos
mensuales indefinidos de $2,500 dólares, si el interés es del 1.79462% trimestral CC.
39. ¿Cuál es el valor futuro de 30 depósitos mensuales de $60 a una tasa de interés del 3% efectivo
semestral?
40. ¿Qué pagos equivalentes trimestrales reemplazan pagos anuales de $20,000 si el interés es el 4.4
trimestral CC?
Encuentro las respuestas a esta actividad en la página 196, al final de la unidad autoformativa II. Comparo
mis resultados y me corrijo.

191
Resumen final de la unidad autoformativa II
Una vez concluido el estudio de la Unidad autoformativa II usted está capacitado para:
1. Explicar los conceptos de:
Anualidad
Anualidad simple a plazo
Anualidad simple perpetua
Anualidad general simple y perpetua
2. Describir la clasificación de las anualidades.
3. Elaborar el diagrama del flujo de una anualidad a plazo y perpetua.
4. Calcular el valor futuro, el valor actual, el pago, la tasa y el plazo de anualidades simples a
plazo.
5. Calcular el valor futuro, el valor actual, el pago, la tasa y el plazo de anualidades generales a
plazo.
6. Determinar el valor actual, el pago y la tasa de anualidades simples y generales perpetuas.
7. Determinar el Costo Anual Equivalente CAE, el Costo Capitalizado PT para alternativas de
inversión con vida útil definida e indefinida.
8. Evaluar y comparar dos o más alternativas de inversión a través del CAE y PT para
seleccionar la mejor opción.

192

193
Autoevaluación final de la unidad autoformativa II
Resuelva cada uno de los problemas que se le presentan a continuación, disponga de una
calculadora electrónica, el formulario papel y lápiz.
1. Determine el valor de la cuota nivelada semestral que una empresa debe efectuar para
saldar un préstamo bancario por $60,000 en un plazo de 10 años a un interés del 18% CS.
2. Una persona efectúa durante 2 años pagos anticipados mensuales de $300 para saldar una
con interés del 20% CM, además en el primer año paga un extra de $2,500. Determine: (a) el
valor del principal en mes cero y (b) el valor futuro de todos los pagos.
3. Si un auto se vende mediante un pago inicial de $3,000 en el mes cero y cuotas mensuales de
$450, la primera a los 4 meses. Si la tasa de interés sobre saldos es del 18% CM y el plazo total
es de 5 años, determine el valor de contado (presente) del auto.
4. Una empresa debe comprar una máquina y tiene dos opciones. La máquina A tiene un costo
inicial de $18,000, costos anuales de $2,000, valor de rescate de $5,000, vida útil 5 años. La
máquina B tiene inversión inicial de $20,000, costos anuales $2,500, valor de rescate $5,000,
vida útil 10 años. Al 14% decida a través del CAE que opción conviene.
5. Determine el CAE y Costo Capitalizado PT de una de $200 en el año cero, costo anuales de $80
del año 4 al 8 y de $100 desde el año 9 de forma indefinida, interés del 10% anual.
6. Un ahorrante deposita cada semana $50 durante 3 años sin efectuar ningún retiro, si la tasa
pasiva es del 5% CM, calcule cuánto tiene en su cuenta suponiendo que cada año tiene 52
semanas.
7. Una mercadería se compra mediante 8 pagos mensuales anticipados de $2,000 y un pago
extra $4,000 a los 15 meses. A un interés del 30% CC, determine el valor presente o de
contado de la mercadería.
8. Una deuda con un banco en la actualidad es de $100,000 y se va a cancelar en un plazo
total de 10, años que incluye 2 años de gracia donde los intereses se capitalizan. A un
interés del 14% CS, determine el valor de la cuota trimestral nivelada.
Comparo las respuestas de esta autoevaluación con las que aparecen en la página 197, al final de
la unidad autoformativa II, me retroalimento.

194

195
Hojas de respuestas
Respuestas a la prueba diagnóstica de la unidad autoformativa II
1. $24,795.24
2. $1,132.34
3. $32,716.23
4. $2,363.37
5. $17,105.05
6. a. $880.72 b. $105.69
7. $15,474.87
8. $900.00
Respuestas a la actividad de autoaprendizaje no. 1
1. a. $501,876.86 b. $2,030,371.82
2. $1,310,342.80
3. $5,000.00
4. $37,840.57
5. $2,000.00
6. a. $1,965.44 b. $3,400
7. $245.79
8. a. $12,151.67 b. $19,591.23
9. $60,771.72
10. 15 años
11. $22,987.17
12. a. $4,955.30 b. $5,929.92
13. $250.00
14. $1,207.71
15. El menor costo es la opción b
16. a. $9,820.87 b. $8,609.55
17. $2,588.61
18. $13,122.75
19. $160,500
20. $188,901.24
21. $43,147.39
22. $29,089.56
23. $18,475.79
24. $26,976.20
25. a. $17,060.41 b. 17,572.22
26. a. $5,600.03 b. $16,800.09
27. a. $16,378.72 b. $41,226.32
28. a. $47,762.94 b. $1,212.86
29. a. $3,625.60 b. $ 7,638.58
30. a. $123,931.75 b. $6,865.93 c. $22,651.11 d. $6,350.58
31. $63,103.58
32. $22,621.94
33. $269,351.20
34. $3,410,192

196
35. a. $423.81 b. Saldo antes $11,132.28 c. Saldo después $10,708.47
36. a. $44,105.24 b. $6,952.09
37. a. $6,337.85 b. $6,933.16
38. a. $12,000 b. $25,477.62
39. $19,142.12
40. a. $3,453,948.47 b. $4,377,084.03
1. $50,000
2. PT=$173,333,33 CAE=$5,200
3. a. $236,884.58 b. $35,532.69
4. $89,386.67
5. La segunda tiene un costo capitalizado de $38,047.27
6. $33,400.00
7. $81,000.00
8. $112,000
9. $206,896.55
10. a. $4,056.47 b. 11,218.56
11. Convendría la reparación
12. PT=$346,994.60 CAE=$17,349.73
13. CAE(1)=$9,543.22 CAE(2)=$ 11,510.58
14. $419,262.35
15. $115,070.97
16. CAE=$7,322.57
17. CAE(a)=$2,468.57 CAE(b)=$2,969.14
18. CAE(3)=$69,585.81
19. CAE(MN)=$16,135.85 CAE(MU)=$15,666.45
20. PS=$33,435 PC=$51,945
21. PT(A)=$1,044,244 CAE(A)=$208,849 PT(B)=$964,847 CAE(B)=$192,969
22. a. CAE(A)=$28,697 CAE(B)=$26,547 b. PA=$144,025 PB=$133,233
1. a. $289,944.18 b. $833,654.41
2. $1,139.90
3. $9,407.31
4. $1,364.01
5. $388.04
6. a. $25,534.29 b. $52,458.49
7. $67,342.79
8. $22,987.17
9. a. $26,437.62 b. $34,552.91
10. $1,207.71
11. Opción 2
12. $1,025.43
13. $162.65
14. $160,500
15. $2,641.44
16. $48,472.42
17. $29,089.56

197
18. $26,976.20
19. a. $11,363.80 b. $24,646.64
20. a. $17,956.24 b. $8,710.24
21. $309,206.72
22. a. $92,228.80 b. $5,042.74
23. $1,319.57
24. $269,351.20
25. $11,558.75
26. a. $1,179.43 b. Saldo antes $29,504.43 c. Saldo después $28,325.00
27. a. $44,105.24 b. $6,952.09
28. a. $6,337.85 b. $6,933.16
29. a. $12,000 b. $25,477.62
30. $50,000
31. a. $173,333,33 b. CAE $5,200
32. a. $236,884.58 b. $35,532.69
33. $89,386.67
34. La segunda tiene costo de $38,047.27
35. $510,000
36. $81,000
37. $8,360.08
38. $416,666.67
39. $1,935.04
40. $4,473.76
Respuesta a la autoevaluación final de la unidad autoformativa II
1. $6,572.79
2. a. $8,042.84 b. 11,959.02
3. $19,410.63
4. CAE(A)=$6,486.69 CAE(B)=$6,075.70
5. PT=$894.36 CAE=$89.44
6. $8,410.00
7. $17,432.72
8. $6,820.55

198

199
Glosario
Anualidad. Serie de pagos iguales o diferentes que se efectúan en intervalos de tiempos iguales
con interés compuesto.
Anualidad anticipada. Los pagos programados se efectúan al inicio de cada periodo.
Anualidades ciertas y contingentes. Es cierta cuando se planifica el inicio y el final, o sea; se
conocen las fechas extremas del plazo. Es contingente cuando no se fija el inicio, el final o ambos.
Anualidad diferida. Cuando los pagos comienzan después del primer periodo, es decir, se
posponen.
Anualidad inmediata. Los pagos se efectúan desde el primer periodo ya sean anticipados o
vencidos.
Anualidad perpetua. Son aquellas en las cuales se fija el inicio de los pagos y se efectúan por
tiempo ilimitado o indefinido.
Anualidad vencida u ordinaria. Es aquella en que los pagos se efectúan al final de cada periodo.
Alternativa de inversión. Opción que se elige entre dos o más vías para resolver un problema o
satisfacer una necesidad, en función del mejoramiento de la calidad de vida de los beneficiarios
directos e indirectos.
Anualidad simple y anualidad general. Es simple cuando el periodo de pago coincide con el
periodo de capitalización de los intereses y es general cuando ocurre lo contrario.
Costo Anual Equivalente. Conjunto de valores anuales constantes que tienen el mismo valor
presente o futuro de los costos de una alternativa de inversión.
Costo Capitalizado. El valor presente de los costos de una alternativa de inversión que se supone
tendrá una vida útil indefinida.
Frecuencia de capitalización de intereses. Es el número de capitalizaciones de intereses por
año que coincide con el número de pagos.
Intervalo de pago de la anualidad. Es el tiempo que existe entre dos pagos sucesivos.
Pagos o rentas equivalentes. Conjuntos de pagos con diferentes frecuencias que producen el
mismo monto o el mismo valor presente.
Plazo de la anualidad. Es el tiempo planificado de los pagos que comprende el inicio y el final.
Tasa de interés de la anualidad. Es la tasa efectiva cuyo periodo coincide con el periodo o
intervalo de pago.
Valor futuro de una anualidad. Es la suma de los valores futuros de todos los pagos con interés
compuesto.

200
Valor presente de una anualidad. Es la suma de los valores presentes de todos los pagos con
interés compuesto.
Valor Presente Neto. Valores futuros de ingresos y costos de una alternativa de inversión
transformados a través de una tasa de descuento, en dinero equivalentes el día de hoy.

201
Bibliografía
1. Ayres, Frank Jr. "Matemáticas Financieras", Mcgraw-Hill, México, 1993.
2. Baca, Currea Guillermo, "Las Matemáticas Financieras y los Sistemas", Limusa Noriega Editores,
Bogotá Colombia, 1997.
3. Blank, Leland T/Tarquin, Anthony J. "Ingeniería Económica", Mcgraw-Hill, Tercera edición, México,
1992.
5. Fontanals Albiol, Hortensia “Matemáticas Financieras (Supuestos). Romanya /valls S.A. ,
Barcelona España, 1992.
6. Moore, Justin H. "Manual de Matemáticas Financieras", Hispano-América, España, 1970.
8. Villalobos, José Luis “Matemáticas Financieras” , Pearson Educación, Segunda Edición, México,
2001

202

203
Unidad autoformativa III:
“Amortización, Fondos e
Inversiones”

204

205
Presentación de la unidad autoformativa III
En esta última unidad autoformativa estudiaremos el proceso de amortización de deudas,
analizaremos los sistemas más utilizados en el mercado financiero para saldar deudas con interés
sobre saldos y con interés flat.
Abordaremos el estudio de la creación de fondos como una forma de acumular una cantidad de
dinero en el futuro, que las empresa e instituciones utilizan para diversos fines. Finalmente
estudiaremos el análisis de inversiones desde el punto de vista del rendimiento del capital
invertido, es decir; realizaremos una evaluación financiera de inversiones a través de métodos
clásicos que toman en cuenta el valor del dinero en el tiempo.
Objetivos de la unidad autoformativa III
1. Explico el concepto de amortización y fondo de amortización, establezco la diferencia y
semejanzas entre ambos procesos.
2. Distingo las situaciones donde se aplica tanto la amortización como el fondo de
amortización.
3. Distingo el proceso de cálculo de cuotas niveladas y cuotas proporcionales con interés
sobre saldos.
4. Efectúo cálculos de cuotas para amortizar deudas que contienen períodos de gracia.
5. Desarrollo habilidades en el cálculo del valor de las cuotas para el proceso de amortización
y de los depósitos del fondo de amortización.
6. Desarrollo habilidades en la construcción de tablas de pagos para la amortización y en la
creación fondos de amortización para sistemas de hasta 10 cuotas.
7. Determino el valor de interés por mora para sistemas de amortización con interés sobre
saldos y flat.
8. Encuentro los saldos pendientes del deudor y/o acumulados en cualquier momento de un
proceso de amortización o de fondo de amortización.
9. Proyecto cuotas con corrección monetaria para saldar deudas con mantenimiento de valor
y elaboro la tabla de pago.
10. Aplico el método de depreciación de un activo fijo e identifico los elementos importantes del
flujo de caja de una inversión.
11. Desarrollo destrezas y habilidades en el análisis financiero de inversiones aplicando los
métodos clásicos que toman en cuenta el valor del dinero en el tiempo y una tasa de interés
de oportunidad.

206
12. Evalúo inversiones aplicando los métodos auxiliares aplico los criterios para tomar la
decisión de invertir.
1. Elementos de la amortización
2. Cuota nivelada interés sobre saldos
3. Cuota proporcional
A. Sistemas de amortización
4. Cuota nivelada con interés flat
5. Cuota con corrección monetaria
6. Cuota con inflación monetaria
1. Cuota constante vencida
B. Fondos
B. Fondos
2. Cuota constante anticipada
3. Cuota constante y cuotas extras
1. Enfoque en la evaluación de inversiones
2. Estimaciones básicas de una inversión
3. Estimación del flujo de fondos
C. Inversiones
C. Inversiones 4. Valor Actual Neto
5. Tasa Interna de Retorno
6. Tasa Interna Ajustada
7. Índice de Deseabilidad
Unidad Autoformativa III: Amortización, fondos e inversiones
Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa III
1. El éxito en el alcance de los objetivos de aprendizaje de la unidad autoformativa depende de
la responsabilidad de su autoestudio A lo largo del autoestudio que ha realizado hasta el
momento ha podido comprender la importancia que tiene la disciplina del estudio
responsable.
2. El cumplimiento de las orientaciones metodológicas que se le indican son importantes para
el logro de los objetivos del autoestudio.
3. Anote en un cuaderno los conceptos más importantes, haga resúmenes, dibuje esquemas de
mapas de conocimientos, lleve un orden en los problemas que va estudiando, haga
comparaciones con otros problemas ya resueltos y anote aquellas dudas que resulten.
Relacionando contenidos previos con los nuevos por aprender, para asegurarse del dominio
del conocimiento anterior, aspecto fundamental para la interpretación y asimilación del
conocimiento siguiente. Es importante recordar que debe elaborar un formulario indicando el
número de la fórmula y su utilidad.

207
4. En el Tema A, preste atención a la construcción y uso del diagrama tiempo valor, para
identificar el tipo de sistema de amortización y consecuentemente aplicar la fórmula indicada,
asimismo debe saber elaborar la tabla de pago para los primeros periodos.
5. En el Tema B, debe prestar más atención a la forma de construcción de fondos, identificar
los valores de los depósitos y el uso de las fórmulas correspondientes, la elaboración de la
tabla del fondo es importante para verificar el objetivo de acumular la cantidad prefijada.
6. En el Tema C, debe diferenciar el tipo de flujo de fondos de una inversión, con
financiamiento y sin financiamiento. Debe asegurarse de tener dominio en el cálculo de los
métodos de evaluación financiera del VAN, TIR ID. Así mismo debe conocer el criterio de la
toma decisión para invertir en un proyecto.
Prueba diagnóstica de la unidad autoformativa III
Esta prueba tiene como objetivo que usted descubra el nivel de conocimientos previos que
posee para el autoaprendizaje de los nuevos conocimientos que le exige la unidad
autoformativa III.
Se dará cuenta cuánto esfuerzo requerirá para asimilar y aprender el contenido de la presente
unidad, lo cual le ayudará a planificar su autoestudio.
Antes de comenzar a resolver y contestar los problemas y las preguntas, asegúrese de estar en
plena disposición para el estudio.
1. Determine el valor de la cuota trimestral constante que un agricultor tiene que pagar por un
financiamiento de $12,000 (córdobas) con el 31% flat anual y plazo de 15 meses.
2. Un préstamo de $24,000 con interés del 16% CS y a plazo total de 5 años que incluyen 1.5
años de gracia donde se liquidarán los intereses de forma semestral; la deuda se podrá
amortizar a través de: (a) cuotas semestrales niveladas y (b) cuotas semestrales
proporcionales. Elabore la tabla de pago para cada caso.
3. Dado el siguiente flujo de fondos netos del inversionista de un proyecto de turismo,
determine los indicadores de rentabilidad financiera: VAN, TIR, ID, TRC y PRI con iop=20% y
haga sus comentarios.
Año 0 1 2 3 4 5
FNI (500) 100 200 (150) 350 400
4. Una empresa obtiene un préstamo por $30,000 para pagarse a plazo total de 7 años que
incluye 2 años de gracia, con interés del 18%. En el periodo de gracia los intereses se
capitalizan y el pago de la deuda será a través de cuotas niveladas anuales. Construya la
tabla de pago.
5. Una empresa desea tener $18,000 al final del año 5, para ello abre un fondo y realiza un
depósito inicial en el periodo cero de $2,000 para completar el fondo destinará una cuota
constante anual con interés del 10.8% efectivo anual. Elabores la tabla de capitalización del
fondo.

208
6. El financiamiento de un pequeño comerciante es por $15,000 (córdobas) con intereses del
30% CM y mantenimiento de valor del 6% anual. Se pagará mediante 4 cuotas mensuales
niveladas en dólares o cuotas mensuales iguales prorrateadas en córdobas. El TCO era
C$14.9669 por dólar en la fecha de formalización del préstamo el día 5 de mayo del 2003.
Elabore la tabla de pago y considere 30 días entre cada cuota para proyectar el TCO.
7. En una urbanización sobre Carretera a Masaya, una casa de contado cuesta $60,000, se
puede obtener a través de una cuota inicial de $10,000 y el saldo se financia a través de una
línea de crédito de un Banco Regional para pagarse en un plazo total de 15 años que
incluye 4 meses de gracia con interés del 9% CM. En el periodo de gracia los intereses se
capitalizan y el pago de la deuda será a través de cuotas niveladas mensuales. (a) Calcule la
cuota nivelada mensual; (b) Determine el saldo pendiente de la deuda justamente al
cumplirse 8 años; (c) Determine el valor de la casa al finalizar el plazo, asumiendo que todos
los pagos efectuados se invierten a la misma tasa y (d) Elabore la tabla de pago hasta la
cuota mensual 5.
8. Si la inflación monetaria promedio para los próximos 6 años es de 10% anual ¿De qué valor
será la cuota anual nivelada para amortizar un préstamo de $100,000 (córdobas) si el interés
real es del 22% anual sobre saldos? Elabore la tabla de pago.
Comparo las respuestas obtenidas de esta prueba diagnóstica con las que se me proporcionan en
la página 267, al final de la unidad autoformativa III y me retroalimento.

209
Iniciamos el estudio de los sistemas de amortización más utilizados por las instituciones
financieras que otorgan créditos a las personas naturales y jurídicas con cálculos de intereses
sobre saldos insolutos e intereses flat y con mantenimiento de valor por inflación monetaria.
“La palabra amortización viene el latín mors, mortis, muerte. Esta etimología da ya una idea del
significado del término” (Justin H. Moore, “Manual de Matemáticas Financieras” P.370). En el
mercado financiero la expresión amortización se utiliza para denominar el proceso mediante el cual
se extingue gradualmente una deuda por medio de pagos o abonos periódicos que pueden ser
iguales o diferentes en intervalo de tiempos iguales o diferentes.
Estos pagos son realizados para liquidar tanto el capital o principal, así como los intereses y
demás conceptos que genera determinada deuda. La parte del principal no cubierta por las
amortizaciones en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o principal insoluto en esa
fecha.
El principal insoluto al inicio del plazo es la deuda original. El principal que resultará al final de la
última cuota o pago al término del plazo es cero y de esta manera la deuda queda pagada.
El proceso de amortización de una deuda es un elemento importante para el financiamiento interno
o externo de una inversión; en el proceso amortización el inversionista necesita conocer el proceso
de cálculo que es necesario seguir para estimar el monto del servicio de la deuda, así como
también el período de reembolso y el factor de recuperación de capital.
El sistema financiero nacional y bancos internacionales que proporcionan dinero en préstamo,
generalmente calculan los intereses por período en base al saldo actualizado de la deuda (saldos
insolutos); este procedimiento es conocido como amortización con intereses sobre saldos; no
obstante, también hay instituciones que cobran intereses sobre principal original, es lo que se
conoce como amortización con interés flat. Este último sistema es muy usado por las casas
comerciales que operan en Nicaragua y que otorgan financiamiento a sus clientes a través de
bancos y microfinancieras. A interés flat la disminución del saldo no incide en la disminución del
interés que se paga como lo veremos más adelante.
En todos los procesos de amortización, una vez que se ha seleccionado el modelo o sistema a
utilizar, se procede a elaborar la tabla de amortización también conocida como calendario de pago
de la deuda. La tabla es administrada por las partes involucradas (acreedor - deudor) en la
operación financiera para facilitar el seguimiento al cumplimiento de todos los pagos acordados,
así como la elaboración de los flujos de caja de proyectos que son objeto de financiamiento.
1. Elementos de la amortización
En el estudio de los pagos parciales analizamos que toda cuota o pago en el proceso de
amortización estándar de una obligación financiera, está compuesta por los elementos que se
detallan en la fórmula 1, de la siguiente forma:
1)
(Fórmula
k
I
k
A
k
C +
=

210
donde:
CK: Valor de la cuota periódica nivelada o proporcional.
AK: Principal de la cuota, es una cantidad que es aplicable directamente a la deuda y la disminuye.
IK: Intereses de la cuota, es una cantidad de dinero que devenga el saldo del préstamo o principal
adeudado.
k: Número de período o pago que queremos cancelar (contador de cuotas).
El sistema de “Pagos parciales”, ya estudiado, es un método de amortización flexible, que
establece una serie de pagos parciales iguales o diferentes en períodos iguales o diferentes
comprendidos en el plazo de la deuda; los intereses se calculan sobre saldos actualizados a la
fecha de cada pago parcial. La incógnita es hallar el valor del último pago parcial en la fecha de
vencimiento de la deuda y para ello utilizamos el algoritmo de la Regla Americana.
2. Cuota nivelada
Este es un sistema gradual de amortización con intereses sobre saldos, donde los pagos son
iguales y periódicos constituyendo una anualidad vencida. Esta forma de amortización fue creada
en Europa y es la más usada en el campo de las finanzas para recuperar los préstamos. En este
sistema pueden presentarse variantes como:
a. Cuota nivelada vencida
b. Cuota nivelada anticipada
c. Cuota nivelada diferida o con período de gracia
Para la interpretación y cálculo de la cuota en cualquiera de sus formas recurrimos a las
anualidades ya estudiadas en la Unidad Autoformativa II.
a. Cuota nivelada vencida
Cuando se acuerda cancelar un préstamo mediante cuotas niveladas vencidas, cada cuota a
pagar es constante, es decir; es de igual valor y se efectúa al final de períodos de tiempos
iguales. Ver gráfico 1.
P
Saldos
0 1 2 3 4 . . . N-1 N Períodos
C C C C C C
Gráfico 1
P
Saldos
0 1 2 3 4 . . . N-1 N Períodos
C C C C C C
Gráfico 1
1) Valor de la cuota
Definimos CK como el valor de la cuota, la cual contiene la amortización al principal o abono AK
y los intereses IK devengados en el pago k con 1≤ k ≤N. El proceso que se sigue de la forma de
pago se muestra en el gráfico 1; donde CK=C y representa una serie de flujos C (anualidad
ordinaria vencida).

211
Así, reemplazando C por A en la fórmula 2 (estudiada en la unidad autoformativa II) obtenemos
el valor de la cuota nivelada, entonces:
( )
2)
(Fórmula
N
i
1
1
i
P
C








−
+
−
=
donde:
C: Cuota nivelada a pagar durante el plazo del préstamo
i: Tasa efectiva de interés corriente por período de cuota; i=j/m
N: Número total de períodos o cuotas vencidas acordadas; N=mn
P: Deuda original o principal prestado
2) Saldo Insoluto
Como cada cuota C contiene principal e interés necesitamos calcular algunos valores
importantes para la elaboración del calendario de pago. Debido que todos los pagos son iguales
y periódicos, es decir constituyen una anualidad vencida o anticipada, podemos calcular el
saldo insoluto Sk después de la cuota k, como el valor presente de los N-k pagos restantes por
la fórmula 3.
( ) )
3
(Fórmula
i
k
N
i
1
1
C
k
S







 +
−
+
−
=
3) Interés de la k-ésima cuota
Si queremos hacer la distribución de la cuota pagada Ck entre intereses Ik y abono al principal
Ak, sin construir toda la tabla de amortización, utilizamos el siguiente procedimiento: primero
calculamos el saldo insoluto del período anterior por la fórmula 4 ajustada, es decir:
( ) )
4
(Fórmula
i
1
k
N
i
1
1
C
1
k
S







 −
+
−
+
−
=
−
Como el interés Ik se calcula sobre saldo insoluto, o sea, del período anterior entonces:
() ( ) () )
5
(Fórmula
i
i
1
k
N
i
1
1
C
i
1
k
S
k
I







 −
+
−
+
−
=
−
=
Simplificando la expresión anterior obtenemos la fórmula que determina el interés de una cuota
k que se elija.
( ) )
6
(Fórmula
1
k
N
i
1
1
k
I





 −
+
−
+
−
= C
b. Cuota nivelada anticipada
Este sistema es poco utilizado por los bancos debido que no es usual que el deudor pague la
primera cuota deducida del financiamiento, más bien es aplicable en aquellos casos en que la
deuda se ha atrasado y para establecer un nuevo sistema de pago se tenga adelantar la
primera cuota, como requisito de la extensión del plazo para saldar la obligación. Ver gráfico 2.

212
P
Saldos
0 1 2 3 4 . . . N-1 N Períodos
C C C C C C
Gráfico 2
P
Saldos
0 1 2 3 4 . . . N-1 N Períodos
C C C C C C
Gráfico 2
1) Valor de la cuota
La cuota anticipada se calcula por fórmula 7 siguiente:
( ) ( )
)
7
(Fórmula
1
N
i
1
1
i
P
C








+
−
+
−
+
=
i
2) Saldo Insoluto
El saldo insoluto justamente después de efectuar la k-ésima cuota es calculado con la
fórmula descrita anteriormente, teniendo en cuenta que son cuotas anticipadas.
3) Interés de la k - ésima cuota
Este interés lo calculamos con la fórmula 6, teniendo en cuenta que el interés de la cuota 1 es
cero, o sea IK=I1=0.
c. Cuota nivelada diferida
Este sistema de amortización tiene período de gracia y se pueden presentar dos situaciones
que analizaremos a continuación:
1) Se capitalizan intereses en el periodo de gracia
Este es el caso en que el principal de una deuda aumenta en el periodo de gracia debido que
los intereses devengados se capitalizan, dado que el deudor no los liquida.
Pr
P
Saldos
0-----1------2------3 4 5 6 7 . . . N-1 N Períodos
r
C C C C C C
Gráfico 3
Pr
P
Saldos
0-----1------2------3 4 5 6 7 . . . N-1 N Períodos
r
C C C C C C
Gráfico 3

213
a) Valor de la cuota
La cuota nivelada diferida se calcula por la fórmula 8, la cual fue estudiada en el tema de
anualidades. Gráfico 3.
( )
8)
(Fórmula
r
N
i
1
1
i
r
P
C








+
−
+
−
=
Donde:
( ) gracia
de
período
el
en
principal
del
ajuste
r
i
1
P
r
P +
=
El valor de la variable r indica el número de periodos diferidos o de gracia del préstamo.
En el periodo de gracia el valor del principal inicial aumenta de valor debido a que no se
efectúa ningún pago, es decir Pr > P
b) Saldo insoluto
Cuando el sistema adoptado de amortización estipula período de gracia, el saldo justamente
después de efectuar la k-ésima cuota está dado por la fórmula 9.
( ) 9)
(Fórmula
i
k
r)
N
(
i
1
1
C
k
S







 +
−
−
+
−
=
c) Interés de la k-ésima cuota
Podemos calcular el interés de la k-ésima cuota nivelada que al inicio tiene período de
gracia, a través de la fórmula 10.
( ) 10)
(Fórmula
1
k
r)
(N
i
1
1
k
I 




 −
+
−
−
+
−
=
2) Se liquidan los intereses en el periodo de gracia
Si los intereses que devenga la deuda en el período de gracia, el deudor los liquida por período,
el capital no aumenta y permanece invariable P = Pr entonces la cuota nivelada la calculamos a
través de fórmula 11. Gráfico 4.
Pr
P
Saldos
0-----1------2------3 4 5 6 7 . . . N-1 N Períodos
r
C C C C C C
Gráfico 4
Pr
P
Saldos
0-----1------2------3 4 5 6 7 . . . N-1 N Períodos
r
C C C C C C
Gráfico 4

214
a) Valor de la cuota
Para calcular el valor de la cuota tomamos en cuenta el principal inicial P dado que no ha
aumentado debido que los intereses del periodo de gracia fueron liquidados.
( )
11)
(Fórmula
r
N
i
1
1
i
P
C








+
−
+
−
=
Los intereses que se liquidan en el período de gracia los calculamos haciendo uso de la
expresión:
( )
i
P
I =
b) Saldo insoluto
Cuando el sistema adoptado de amortización estipula período de gracia, el saldo en la k-
ésima cuota está dado por la fórmula 9.
c) Interés de la k- ésima cuota
De manera análoga, cuando la cuota nivelada se acuerda con período de gracia, el interés
justamente después de la k-ésima cuota está dado por la fórmula 10.
Ejemplo 1:
El Banco Pacífico otorga un crédito a la Empresa ROCA de $200,000 para el financiamiento
de un proyecto industrial. El préstamo se cancelará en un plazo de 5 años, mediante 10
cuotas iguales semestrales. Se estipula una tasa anual del 16.64% efectivo y que el primer
pago ocurra un semestre después de recibido el préstamo:
a. Calcular el valor de cada cuota semestral
b. Calcular el saldo justamente después de la cuota 6
c. Calcular el saldo justamente antes de la cuota 6
d. Construir el calendario de amortización para el préstamo
Datos:
P=$200,000 valor actual o principal del préstamo ie=16.64% tasa de interés efectiva anual
n=5 años de plazo m=2 frecuencia del pago por año
N=m(n)=2(5)=10 número de cuotas periódicas semestrales i=? Semestral C=?
Solución: Como la tasa de interés dada es efectiva anual, primeramente hallaremos la tasa i
periódica semestral equivalente, esto es:
( ) semestral
8%
sea
o
0.08
1
0.1664
1
i
2
1
=
−
+
=
a. El valor de la cuota semestral se calcula por la fórmula 2, esto es;
( )
$29,805.90
10
0.08
1
1
0.08
200,000
C =








−
+
−
=
b. El saldo justamente después de la cuota 6 se calcula por la fórmula 4, teniendo en cuenta
que N = 10 y k = 6, el valor presente de las 4 cuotas restantes es el saldo siguiente:
( ) $98,720.92
0.08
6
10
0.08
1
1
29,805.90
6
S =







 +
−
+
−
=

215
c. El saldo justamente antes de la k-ésima cuota (en este caso la número 6), se determina
calculando el saldo del período anterior por la fórmula 4. A este saldo se le suma el valor
de los intereses del período siguiente, así;
El saldo después de la quinta cuota es;
( ) 2
$119,006.3
0.08
5
10
0.08
1
1
29,805.90
5
S =







 +
−
+
−
=
Los intereses sobre saldos correspondientes al período 6 por la fórmula 6 es;
( ) $9,520.51
1
6
10
0.08
1
1
6
I =





 −
+
−
+
−
=
El saldo que queremos hallar es: $119,006.32 + $9,520.51 = $128,526.83
d. La tabla de amortización se presenta en la tabla 1. En esta tabla podemos observar lo
siguiente:
El valor de la cuota permanece constante y cada una contiene principal e intereses
devengados sobre saldos.
La columna de amortización aumenta en cada pago, debido a que la columna de los
intereses disminuye; causa-efecto interés sobre saldos.
Los saldos calculados anteriormente coinciden con los presentados en la tabla.
La tasa interna de retorno del préstamo es el 16.64% efectivo anual, ya que es la tasa de
interés que se paga sobre saldos insolutos.
Tabla 1
Período
Amortización al
principal
Interés
devengado Cuota nivelada Saldo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
$ 0000000
$13,805.90
$14,910.37
$16,103.20
$17,391.46
$18,782.77
$20,285.40
$21,908.23
$23,660.89
$25,553.76
$27,598.02
$ 0000000
$16,000.00
$14,895.53
$13,702.70
$12,414.44
$11,023.13
$ 9,520.51
$ 7,897.67
$ 6,145.01
$ 4,252.14
$ 2,207.84
$ 0000000
$29,805.90
$29,805.90
$29,805.90
$29.805.90
$29,805.90
$29,805.90
$29,805.90
$29,805.90
$29,805.90
$29,805.90
200,000.00
186,194.10
171,283.73
155,180.53
137,789.07
119,006.30
98,720.90
76,812.67
53,151.78
27,598.02
00,000.00
Total $200,000.00 $98,059.00 298,059 Saldo Pagado
Tabla 1
Período
Amortización al
principal
Interés
devengado Cuota nivelada Saldo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
$ 0000000
$13,805.90
$14,910.37
$16,103.20
$17,391.46
$18,782.77
$20,285.40
$21,908.23
$23,660.89
$25,553.76
$27,598.02
$ 0000000
$16,000.00
$14,895.53
$13,702.70
$12,414.44
$11,023.13
$ 9,520.51
$ 7,897.67
$ 6,145.01
$ 4,252.14
$ 2,207.84
$ 0000000
$29,805.90
$29,805.90
$29,805.90
$29.805.90
$29,805.90
$29,805.90
$29,805.90
$29,805.90
$29,805.90
$29,805.90
200,000.00
186,194.10
171,283.73
155,180.53
137,789.07
119,006.30
98,720.90
76,812.67
53,151.78
27,598.02
00,000.00
Total $200,000.00 $98,059.00 298,059 Saldo Pagado
Ejemplo.2:
La empresa Téllez compra un camión para el transporte de sus productos a los
supermercados. El valor de éste es de $25,000. Le exigen una cuota inicial del 20% y el
resto lo cancela en 12 cuotas iguales mensuales. Para reducir el costo de la cuota mensual,
ofrece dar 2 cuotas extraordinarias de $4,000 y $4,500 a los 6 y 12 meses respectivamente.
Construir la tabla de amortización a una tasa de interés del 18% CM.
Datos:
$25,000 valor de contado del camión C0=25,000(0.20)=$5,000 cuota inicial
P0=25,000-5,000=$20,000 saldo a financiar m=12 frecuencia de capitalizar intereses
i=0.18/12=0.015 mensual n=1 año
N=n(m)=12 pagos mensuales C1=$4,000 cuota extra mes 6
C2=$4,500 cuota extra mes 12 C=? valor de la cuota ordinaria
Solución: Como la empresa se compromete a pagar dos cuotas extraordinarias, en un
tiempo futuro, necesitamos calcular el valor actual de ambas. A esta suma actual le
denominaremos P1 y se la deduciremos al saldo inicial P0, de la siguiente forma:

216
( ) ( ) 91
$7,421.
3,763.74
3,658.17
12
0.015
1
4,500
6
0.015
1
4,000
1
P =
+
=
−
+
+
−
+
=
Así; el valor actual P de la deuda considerando las cuotas extraordinarias es:
P = P0 - P1 = 20,000 - 7,421.91 = $12,578.09
Por la fórmula 2 calculamos el valor de la cuota nivelada mensual, esto es;
( )
$1,153.16
12
0.015
1
1
0.015
12,578.09
C =








−
+
−
=
El calendario de pago o de amortización se presenta en la tabla 2.
Tabla 2
Período
Amortización
Al principal
Interés
devengado
Cuota
nivelada
Saldo
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
$ 000000
$5,000.00
$ 853.16
$ 865.96
$ 878,95
$ 892,13
$ 905,51
$4,919,09
$ 992,88
$1,007.78
$1,022.89
$1,038.24
$1,053.82
$5,569.60
$ 00000
$ 00000
$ 300.00
$ 287.20
$ 274.21
$ 261.03
$ 247.65
$ 234.06
$ 160.28
$ 145.38
$ 130.27
$ 114.92
$ 99.35
$ 83.54
$ 0000000
$ 5,000.00
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 5,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 5,653.16
$25,000.00
$20,000.00
$19,146.84
$18,280.88
$17,401.93
$16,509.80
$15,604.29
$10,685.19
$ 9,692.31
$ 8,684.53
$ 7,661.64
$ 6,623.40
$ 5,569.60
$00,000.00
Total $ 25,000.00 $ 2,337.89 $27,337.89 Saldo
Pagado
Tabla 2
Período
Amortización
Al principal
Interés
devengado
Cuota
nivelada
Saldo
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
$ 000000
$5,000.00
$ 853.16
$ 865.96
$ 878,95
$ 892,13
$ 905,51
$4,919,09
$ 992,88
$1,007.78
$1,022.89
$1,038.24
$1,053.82
$5,569.60
$ 00000
$ 00000
$ 300.00
$ 287.20
$ 274.21
$ 261.03
$ 247.65
$ 234.06
$ 160.28
$ 145.38
$ 130.27
$ 114.92
$ 99.35
$ 83.54
$ 0000000
$ 5,000.00
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 5,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 1,153.16
$ 5,653.16
$25,000.00
$20,000.00
$19,146.84
$18,280.88
$17,401.93
$16,509.80
$15,604.29
$10,685.19
$ 9,692.31
$ 8,684.53
$ 7,661.64
$ 6,623.40
$ 5,569.60
$00,000.00
Total $ 25,000.00 $ 2,337.89 $27,337.89 Saldo
Pagado
Ejemplo 3:
Un agricultor obtiene un préstamo de $200,000 para renovar 100 manzanas de café; el
contrato del financiamiento estipula lo siguiente: en el período de gracia que es 3 años el
agricultor pagará intereses de forma anual, el plazo para pagar la deuda será de 7 años a
través de cuotas niveladas anuales que incluyen amortización e intereses, la tasa de interés
es de 15% efectivo anual. Construir la tabla de pago para el plazo total de 10 años.
Datos:
P=$200,000 i=15% tasa de interés efectiva anual
n=10 años de plazo total r=3 años de período de gracia
Tabla 3
Período
Am ortización
al principal
Interés
devengado
Cuota
nivelada
Saldo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
$ 00000000
$ 00000000
$ 00000000
$ 00000000
$ 18,072.07
$ 20,782.88
$ 23,900.31
$ 27,485.36
$ 31,608.16
$ 36,349.31
$ 41,802.46
$ 00000.000
$ 30,000.00
$ 30,000.00
$ 30,000.00
$ 30,000.00
$ 27,289.19
$ 24,171.75
$ 20,586.71
$ 16,463.91
$ 11,722.76
$ 6,270.37
$ 00000000
$ 30,000.00
$ 30,000.00
$ 30,000.00
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$200,000.00
$200,000.00
$200,000.00
$200,000.00
$181,927.93
$161,145.05
$137,244.73
$109,759.93
$ 78,151.77
$ 41,802.46
$00000000
Total $ 200,000 $ 196,504.69 $396,504.60
Saldo
Pagado
Tabla 3
Período
Am ortización
al principal
Interés
devengado
Cuota
nivelada
Saldo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
$ 00000000
$ 00000000
$ 00000000
$ 00000000
$ 18,072.07
$ 20,782.88
$ 23,900.31
$ 27,485.36
$ 31,608.16
$ 36,349.31
$ 41,802.46
$ 00000.000
$ 30,000.00
$ 30,000.00
$ 30,000.00
$ 30,000.00
$ 27,289.19
$ 24,171.75
$ 20,586.71
$ 16,463.91
$ 11,722.76
$ 6,270.37
$ 00000000
$ 30,000.00
$ 30,000.00
$ 30,000.00
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$ 48,072.07
$200,000.00
$200,000.00
$200,000.00
$200,000.00
$181,927.93
$161,145.05
$137,244.73
$109,759.93
$ 78,151.77
$ 41,802.46
$00000000
Total $ 200,000 $ 196,504.69 $396,504.60
Saldo
Pagado

217
Solución: Primero calculemos el valor de los intereses anuales del período de gracia con la
fórmula de interés simple:
( )( ) $30,000
1
0.15
200,000
Pin
I =
=
=
Así, en el período de gracia los intereses anuales pagaderos son de $30,000. La cuota anual
nivelada la calculamos con la fórmula 11.
( )
( ) $48,072.07
0.240360
200,000
7
0.015
1
1
0.015
200,000
C =
=








−
+
−
=
La tabla 3 representa la amortización del préstamo. Observemos en dicha tabla los
siguientes aspectos:
Durante el período de gracia el agricultor solamente paga intereses anuales.
En el período de gracia no hay abono al principal, por tanto el capital no decrece.
A partir del año 4 comienza a amortizar la deuda y el saldo disminuye en cada año.
Ejemplo 4:
El financiamiento para una actividad comercial es de $20,000 con el 18% efectivo anual
sobre saldos a plazo total de 6 años que incluye 1 año de gracia. En el período los intereses
se capitalizan de forma anual y deuda se pagará en 5 cuotas niveladas anuales que incluyen
amortización e intereses. Construir la tabla de pago , veamos el gráfico 5.
Datos
P=$20,000 i=18% tasa de interés efectiva anual
N=6 años de plazo total r=1 años de período de gracia
Pr = 23,600
P =20,000
Saldos
0------------ 1 2 3 4 5 6 Años
r
C C C C C
Gráfico 5
Pr = 23,600
P =20,000
Saldos
0------------ 1 2 3 4 5 6 Años
r
C C C C C
Gráfico 5
La cuota nivelada diferida se calcula por la fórmula 8.
( )
( ) $7,546.76
0.3197777
23,600
1
6
0.18
1
1
0.18
23,600
C =
=








+
−
+
−
=
( ) gracia
de
período
el
en
principal
del
ajuste
23,600
1
0.18
1
20,000
P
r
P
1
=
+
=
=
La tabla de pago 4 la mostramos a continuación:

218
Tabla 4
Período
Amortización
al principal
Interés
devengado
Cuota
nivelada
Saldo
0
1
2
3
4
5
6
$ 0000000
$ 0000000
$ 3,298.76
$ 3,892.54
$ 4,593.19
$ 5,419.99
$ 6,395.54
$ 00000.00
$ 3,600.00
$ 4,248.00
$ 3,654.22
$ 2,953.57
$ 2,126.79
$ 1,151.20
$ 0000000
$ 0000000
$ 7,546.76
$ 7,546.76
$ 7,546.76
$ 7,546.76
$ 7,546.74
$20,000.00
$23,600.00
$20,301.24
$16,408.70
$11,815.51
$ 6,395.54
$ 0000000
Total $ 20,000 $ 17,733.78 $37,733.78
Saldo
Pagado
Tabla 4
Período
Amortización
al principal
Interés
devengado
Cuota
nivelada
Saldo
0
1
2
3
4
5
6
$ 0000000
$ 0000000
$ 3,298.76
$ 3,892.54
$ 4,593.19
$ 5,419.99
$ 6,395.54
$ 00000.00
$ 3,600.00
$ 4,248.00
$ 3,654.22
$ 2,953.57
$ 2,126.79
$ 1,151.20
$ 0000000
$ 0000000
$ 7,546.76
$ 7,546.76
$ 7,546.76
$ 7,546.76
$ 7,546.74
$20,000.00
$23,600.00
$20,301.24
$16,408.70
$11,815.51
$ 6,395.54
$ 0000000
Total $ 20,000 $ 17,733.78 $37,733.78
Saldo
Pagado
3. Cuota proporcional decreciente
Este es un sistema de amortización constante Ak, el valor de la cuota Ck es proporcional
decreciente debido a que los intereses Ik decrecen en cada período por que se calculan en base al
saldo. Gráfico 6.
P
Saldos
0 1 2 3 4 . . . N-1 N Períodos
CN
CN-1
C2
C1
Gráfico 6
C3
C4
P
Saldos
0 1 2 3 4 . . . N-1 N Períodos
CN
CN-1
C2
C1
Gráfico 6
C3
C4
Es un sistema utilizado en los préstamos personales, de la pequeña empresa (Industria, Servicio y
Comercio), empresas individuales, sociedades, cooperativas entre otras. Cuando el prestatario
liquida obligaciones con este sistema paga menos intereses debido que en los primero períodos
abona cantidades mayores que en el sistema de la cuota nivelada.
a. Valor de la cuota
La cuota proporcional CK se calcula en dos partes, de la siguiente manera:
k
I
k
A
k
C +
=
La amortización Ak:
)
2
1
Fórmula
(
pagos
de
Número
deuda
la
de
Principal
N
P
k
A =
=
Intereses Ik: Los intereses se calculan por la fórmula 6.
( ) )
período
del
(tasa
)
anterior
período
del
Saldo
(
i
1
k
S
k
I =
−
=

219
Es importante tener presente que el saldo Sk, es reducido únicamente por la cantidad
correspondiente a la amortización Ak. Por otro lado, podemos establecer otras relaciones
importantes en este sistema tales como:
La diferencia entre dos cuotas sucesivas es una constante:
1
k
C
k
C
h
+
−
=
La diferencia entre las cuotas sucesivas representa la disminución de intereses por el abono
constante al capital.
()
i
k
A
h =
b. Saldo después de la k-ésima cuota
El saldo después de efectuar el valor de la cuota k está dado por la fórmula 13.
13)
(Fórmula
k
A
K
P
k
S −
=
Ejemplo 5:
Un banco concede un préstamo de C$225,000 a la empresa “San Marcos” que comercia
camarones. La tasa de interés es del 30% CM sobre saldo. El plazo de la deuda es de 12
meses y la forma de pago es mediante cuotas mensuales vencidas proporcionales con
amortización constante. Determine el valor de las cuotas y elaborar la tabla de amortización.
Datos:
P=C$225,000 valor actual o principal del préstamo
i=j/m=0.30/12=0.025% tasa efectiva mensual
N=12 Número de pagos acordados
Solución: La amortización constante es:
constante
ación
Amortiz
$18,750
C
12
225,000
N
P
k
A =
=
=
S0 = P = C$ 225,000 principal inicial, período 0
() ( ) 1
periodo
del
Interés
$5,625
C
0.025
225,000
i
0
S
1
I =
=
=
1
número
Cuota
$24,375.00
C
5,625
18,750
1
I
1
A
1
C =
+
=
+
=
1
periodo
del
Saldo
0
$206,250.0
C
18,750
-
225,000
1
A
0
S
1
S =
=
−
=
() ( ) 2
periodo
del
Interés
$5,156.25
C
0.025
206,250
i
1
S
2
I =
=
=
2
número
Cuota
$23,906.25
C
5,156.25
18,750
2
I
2
A
2
C =
+
=
+
=
2
periodo
del
Saldo
0
$187,500.0
C
18,750
-
206,250
2
A
1
S
2
S =
=
−
=
() ( ) 3
periodo
del
Interés
$4,687.50
C
0.025
187,500
i
2
S
3
I =
=
=
3
número
Cuota
$23,437.50
C
4,687.50
18,750
3
I
3
A
3
C =
+
=
+
=
. . .

220
. . .
. . .
11
periodo
del
Saldo
$18,750.00
C
18,750
-
37,500
2
A
10
S
11
S =
=
−
=
() ( ) 12
periodo
del
Interés
$468.75
C
0.025
18,750
i
11
S
12
I =
=
=
12
número
Cuota
$19,218.75
C
468.75
18,750
12
I
12
A
12
C =
+
=
+
=
El calendario de pago se presenta en tabla 5.
Mediante la fórmula 14 de la suma n-ésima de una sucesión decreciente a un valor constante,
podemos determinar la cantidad total que se paga por concepto de intereses en el préstamo.
( ) ( )
[ ] )
4
1
(Fórmula
d
1
N
a
2
2
N
n
S
I −
−
=
=
donde:
N: Número de pagos o términos
a: Intereses ganados en el primer mes (primer término)
d: Diferencia común de intereses en cada pago
Sn: Total de intereses pagados (suma de la sucesión)
De acuerdo al ejemplo anterior tenemos:
N = 12 pagos
a = C$5,625.00,
d = C$468.75, entonces:
( ) ( )
[ ] $36,562.50
C
468.75
1
12
5,625
2
2
12
n
S
I =
−
−
=
=
Tabla 5
No. de
Pago
Amortización
al principal
Interés
devengado
Cuota
proporcional
Saldo insoluto
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C$ 0000000
C$18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
C$ 000000
C$5,625.00
5,156.25
4,687.50
4,218.75
3,750.00
3,281.25
2,812.50
2,343.75
1,875.00
1,406.50
937.50
468.75
C$ 0000000
C$24,375.00
23,906.25
23,437.50
22,968.75
22,500.00
22,031.25
21,562.50
21,093.75
20,625.00
20,156.25
19,687.50
19,218.75
C$225,000.00
C$206,250.00
187,500.00
168,750.00
150,000.00
131,250.00
112,500.00
93,750.00
75,000.00
56,250.00
37,500.00
18,750.00
00000000
Total C$225,000 C$36,562.2 261,562.25 Saldo pagado
Tabla 5
No. de
Pago
Amortización
al principal
Interés
devengado
Cuota
proporcional
Saldo insoluto
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C$ 0000000
C$18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
18,750.00
C$ 000000
C$5,625.00
5,156.25
4,687.50
4,218.75
3,750.00
3,281.25
2,812.50
2,343.75
1,875.00
1,406.50
937.50
468.75
C$ 0000000
C$24,375.00
23,906.25
23,437.50
22,968.75
22,500.00
22,031.25
21,562.50
21,093.75
20,625.00
20,156.25
19,687.50
19,218.75
C$225,000.00
C$206,250.00
187,500.00
168,750.00
150,000.00
131,250.00
112,500.00
93,750.00
75,000.00
56,250.00
37,500.00
18,750.00
00000000
Total C$225,000 C$36,562.2 261,562.25 Saldo pagado
Es un error calcular la tasa de interés que realmente actúa sobre el préstamo, si se realiza de la
siguiente forma: i=36,562.50/225,000 = 0.1625 = 16.25%, debido a que los intereses no se
desembolsan de una sola vez, es decir, no se toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

221
4. Cuota con interés flat
Este sistema se aplica con frecuencia en la política de créditos de las casas comerciales de
Nicaragua y muy poco en préstamos bancarios. También es utilizado por las Microfinancieras que
financian actividades de comercio y de agricultura debido que es fácil el manejo de la deuda para
los acreedores.
Existen diversas formas de aplicar el interés en la amortización de un crédito, el más común es el
valor constante de la cuota Ck a pagar en cada periodo durante el plazo de pago de la deuda. En
este caso, tanto la parte que amortiza al principal Ak como los intereses IK en cada cuota son
iguales. Las amortizaciones no reducen los intereses en cada cuota, por eso se llama interés flat, o
sea, son intereses fijos sobre principal inicial.
En este sistema de amortización, la cuota se calcula de forma similar que la cuota proporcional, la
diferencia es la forma de calcular los intereses flat o fijos. El interés se calcula sobre el saldo
original; debido a esto, la tasa de interés efectiva que se paga por un préstamo es elevada.
Cálculo de la cuota con interés flat
Como sabemos la cuota es:
flat
I
k
A
k
C +
=
Donde, la parte de amortización Ak se calcula utilizando la fórmula 15 o sea;
)
5
1
(Fórmula
pagos
de
Número
deuda
la
de
Principal
N
P
k
A =
=
Los intereses iguales Ik en cada cuota se determinan mediante:
)
6
1
(Fórmula
pagos
de
Número
n
i
P
N
I
flat
I =
=
Ejemplo 6:
Una persona recibe la oferta de una casa comercial para comprar un equipo de sonido de marca
reconocida en el mercado nacional e internacional. La oferta consiste en lo siguiente: valor de
contado con 3% de descuento (10 de diciembre 2001, TCO = C$13.7944 x $1.00) es C$7,782.48
córdobas. Si se adquiere al crédito se paga una prima de C$500 y el saldo mediante cuotas
iguales mensuales hasta un plazo de 20 meses a un interés del 5% flat mensual. La persona se
decidió por el crédito a 12 meses de plazo. Elabore el calendario de pago.
Datos:
C0=C$500 cuota inicial o prima
P=C$7,782.48-C$500=C$7,282.48 saldo a financiar
i=5% tasa de interés flat mensual
N=12 número de pagos programados
La tabla 6 es de amortización de la deuda.

222
Tabla 6
Fin de
período
Mensual
Amortización
al principal
Interés
devengado
flat
Cuota con
interés Flat Saldo
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C$ 000000
C$ 500.00
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 000000
C$ 000000
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 0000000
C$ 500.00
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 7,782.48
C$ 7,282.48
C$ 6,675.61
C$ 6,068.74
C$ 5,461.87
C$ 4,855.00
C$ 4,248.13
C$ 3,641.26
C$ 3,034.39
C$ 2,427.52
C$ 1,820.65
C$ 1,213.78
C$ 606.87
C$ 0,000.00
Total C$ 7,782.48 C$4,369.44 C$12,151.92
Saldo
pagado
Tabla 6
Fin de
período
Mensual
Amortización
al principal
Interés
devengado
flat
Cuota con
interés Flat Saldo
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C$ 000000
C$ 500.00
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 606.87
C$ 000000
C$ 000000
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 364.12
C$ 0000000
C$ 500.00
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 970.99
C$ 7,782.48
C$ 7,282.48
C$ 6,675.61
C$ 6,068.74
C$ 5,461.87
C$ 4,855.00
C$ 4,248.13
C$ 3,641.26
C$ 3,034.39
C$ 2,427.52
C$ 1,820.65
C$ 1,213.78
C$ 606.87
C$ 0,000.00
Total C$ 7,782.48 C$4,369.44 C$12,151.92
Saldo
pagado
Solución: El valor de la amortización constante será:
constante
ación
Amortiz
$606.87
C
12
7,282.48
N
P
k
A =
=
=
El valor del interés flat en cada cuota lo determinamos de la siguiente forma:
$364.12
C
12
(0.05)(12)
7,282.48
pagos
de
Número
n
i
P
N
I
flat
I =
=
=
=
La cuota mensual constante es;
$971.00
C
364.12
606.87
flat
I
k
A
k
C =
+
=
+
=
Observaciones correspondientes a la tabla 6:
La cuota es nivelada a interés flat
La amortización es constante
El interés es fijo en cada cuota aunque diminuya el saldo
5. Cuotas con corrección monetaria
En los países donde son comunes los programas de ajustes estructurales, la devaluación
permanente del valor de las monedas locales se vuelve una necesidad permanente. Debido a esta
situación los gobiernos haciendo uso de los instrumentos de política monetaria, en la búsqueda de
un desarrollo económico sostenido se ven obligados a estimular y proteger las inversiones
mediante la creación de leyes. Por lo general, en estos países, los préstamos bancarios son
inversiones que están protegidos mediante la ley de mantenimiento de valor de las UPAC
(unidades de poder adquisitivo de valor constante). Es importante señalar que las inversiones a
mediano y largo plazo se protegen tanto de la devaluación monetaria como de la inflación nacional
como internacional.
En el caso de Nicaragua, la política de paridad de cambio se ha mantenido por los últimos 10
años, (1992-2002) estableciendo un índice de variación monetaria o devaluación anual del 12%,
9% y 6% de la moneda córdoba respecto al dólar de los Estados Unidos, convirtiendo al córdoba

223
en moneda de valor corriente y al dólar en moneda de valor constante y mediante ley aprobada por
la Asamblea Nacional, todos los préstamos que otorga el Sistema Financiero Nacional, están
protegidos a través del mantenimiento de valor del dólar.
Las cuotas para amortizar préstamos que llevan la cláusula de mantenimiento de valor, se
determinan en la misma forma que los préstamos comunes ya estudiados y los resultados se
convierten a las unidades monetarias que correspondan; según el Factor de Corrección Monetaria
(FCM) que rija o esté vigente en la fecha de cada cuota.
En Nicaragua, el mantenimiento de valor de los préstamos o créditos en córdobas es respecto al
dólar; éstos se dolarizan, de acuerdo al Tipo de Cambio Oficial (TCO) en la fecha de formalización
y luego se realizan todos los ajustes en la moneda córdoba o corriente en la fecha de cada pago.
Factor de corrección monetaria
El FCM en una fecha dada se determina, a través de la fórmula:
)
7
1
(Fórmula
n
v
i
1
FCM 




 +
=
Donde:
iv: tasa de variación monetaria del período (tasa de deslizamiento)
n: número de períodos
El tipo de cambio oficial TCO de un período a otro se calcula a través de la fórmula 18 y para
varios períodos , por ejemplo diario, es a través de la fórmula 19. Así, tenemos:
( )( ) )
8
1
(Fórmula
FCM
0
TCO
1
TCO =
( )( ) )
9
1
(Fórmula
n
FCM
0
TCO
1
TCO =
Donde:
TCO1: Tipo de cambio oficial en la fecha actual
TCO0: Tipo de cambio oficial en la fecha anterior
FCM: Factor de corrección monetaria periodo
n: Número de periodos (días, semanas, meses, años etc)
Por ejemplo, si en Nicaragua el córdoba se devalúa a una tasa de variación del 6% efectivo anual,
entonces la tasa de variación efectiva mensual es:
( ) s
me
por
nto
deslizamie
de
tasa
0.486755%
1
12
1
0.06
1
m
i =
−
+
=
De esta manera el FCM mensual será: FCM = (1.00486755)
Nuevamente la tasa de variación diaria se calcula de forma equivalente sobre la base del
número de días que tiene el año. Sí el año es bisiesto tiene 366 días y si es año normal tiene
365. Por ejemplo, el año 2000 fue bisiesto y la tasa de deslizamiento diaria utilizada por el
Banco Central de Nicaragua se calculó mediante la siguiente expresión:
( ) día
por
nto
deslizamie
de
tasa
0.0159217%
1
366
1
0.06
1
d
i =
−
+
=

224
De forma análoga, el FCM diario en el 2000 es de: FCM = (1.000159217)
El año 2002 es normal de 365 días y la tasa de deslizamiento diario es:
( ) día
por
nto
deslizamie
de
tasa
0.0159654%
1
365
1
0.06
1
d
i =
−
+
=
Por tanto, el FCM diario para el año 2002 es de: FCM = (1.000159654)
Para comprender mejor el proceso de cálculo del TCO del dólar respecto al córdoba de una fecha
a otra, tomaremos como ejemplo el periodo comprendido entre el primero de julio de 2000 y el
primero de enero de 2001. Los datos que siguen son conforme "Indicadores Económicos" del mes
de diciembre 2000 del BCN. Por la fórmula 18 utilizando el factor de corrección diaria, tenemos los
siguientes resultados publicados en los avisos del Tipo del Cambio Oficial. Nótese que se toma en
cuenta el número de días exactos entre fechas.
TCO = C$12.6824 por dólar primero de julio de 2000.
( )( ) 0
200
de
agosto
de
primero
12.7451
31
7
1.00015921
12.6824
TCO =
=
( )( ) 2000
de
septiembre
de
primero
12.8082
31
7
1.00015921
12.7451
TCO =
=
( )( ) 2000
de
octubre
de
primero
2.8695
1
30
7
1.00015921
12.8082
TCO =
=
( )( ) 2000
de
noviembre
de
primero
12.9332
31
7
1.00015921
12.8695
TCO =
=
( )( ) 2000
de
diciembre
de
primero
12.9951
30
7
1.00015921
12.9332
TCO =
=
( )( ) 2001
de
enero
de
primero
13.0594
31
7
1.00015921
12.9951
TCO =
=
Directamente para calcular el TCO desde el primero de julio de 2000 hasta el primero de enero de
2001, utilizamos la fórmula 18 teniendo en cuenta que el número de días es 184 entre las fechas
mencionadas, por tanto obtenemos el mismo valor:
( )( ) 2001
de
enero
de
primero
13.0594
184
7
1.00015921
12.6824
TCO =
=
Ejemplo 7:
La cooperativa "El Águila" de transporte terrestre del municipio Tipitapa, obtuvo un préstamo para
reactivar dos camiones por parte del banco "Buen Fin" el día 3 de diciembre de 2001 por la
cantidad de 40,000 C$, al TCO=C$13.7790, a plazo de 8 meses y pagadero mediante 8 cuotas
niveladas mensuales en dólares o cuotas en córdobas ajustadas por el TCO al momento de
efectuar los pagos. La tasa de interés corriente fue del 20.4% CM., interés moratorios del 10% y
tasa de variación controlada (deslizamiento) es 6%. Las fechas de las cuotas se establecen
alrededor los días 10 de cada mes. Construir el calendario de pago.
Datos:
P=C$40,000 préstamo en córdobas corrientes
TCO=C$13.7790x$1.00
P=40,000/13.7790=$2,902.97valor en dólares del préstamo
iv=6% tasa de deslizamiento anual
im=10% interés anual por mora
m=12 frecuencia de conversión de intereses en el año

225
i=j/m=0.20/4=0.017 tasa de interés efectiva mensual sobre saldos
n=8/12 plazo en años
N=m(n)=12(8/12)=8 número de pagos mensuales
id=0.0159654% deslizamiento diario de la moneda
C=?
Solución: Por la fórmula 2 calculamos el valor de la cuota nivelada en dólares, esto es:
( )
( ) $391.17
0.134750
2,902.97
8
0.017
1
1
0.017
2,902.97
C =
=








−
+
−
=
Para efectuar los ajustes de las cuotas en dólares a córdobas en la fecha de pago, se calculan los
TCO respectivos o simplemente utilizamos los TCO que las autoridades monetarias (BCN)
determinen y fijen para efectos de las transacciones financieras.
Los TCO que se utilizaron en estas operaciones fueron de acuerdo al 6% anual o
equivalentemente al 0.0159654% diario, de esta manera el FCM=(1.000159654).
El calendario de la amortización se presenta en la tabla 7 donde el lector puede verificar toda la
información contenida.
Tabla 7
$10,821.60
$ 762.88
$5,548.82
14.1852
$391.17
31
03 – 06 – 02
6
$ 5,482.30
$ 384.68
$5,575.46
14.2533
$391.17
30
03 – 07 – 02
7
$ 000000
$ 00000
$5,603.12
14.3240
$391.17
31
03 – 08 – 02
8
$16,017.36
$1,134.76
$5,521.44
14.1152
$391.17
30
03 – 05 – 02
5
$21,077.74
$1,500.43
$5,495.08
14.0478
$391.17
30
03 – 04 – 02
4
$26,003.82
$1,859.98
$5,468.83
13.9807
$391.17
28
04 – 03 – 02
3
$30,808.44
$2,213.52
$5,444.42
13.9183
$391.17
32
04 – 02 – 02
2
$35,465.27
$2,561.15
$5,416.69
13.8474
$391.17
31
03 – 01 – 02
1
$40,000.00
$2,902.97
$ 0000000
13.7790
$ 00000
0
03 – 12 – 01
0
Saldo en
Córdobas
Saldo en
dólares
Valor de la cuota
en dólares
Tipo de cambio
en dólares
Valor de la cuota
en dólares
N° de
días
Fecha de
cuota
N° de
Cuota
$10,821.60
$ 762.88
$5,548.82
14.1852
$391.17
31
03 – 06 – 02
6
$ 5,482.30
$ 384.68
$5,575.46
14.2533
$391.17
30
03 – 07 – 02
7
$ 000000
$ 00000
$5,603.12
14.3240
$391.17
31
03 – 08 – 02
8
$16,017.36
$1,134.76
$5,521.44
14.1152
$391.17
30
03 – 05 – 02
5
$21,077.74
$1,500.43
$5,495.08
14.0478
$391.17
30
03 – 04 – 02
4
$26,003.82
$1,859.98
$5,468.83
13.9807
$391.17
28
04 – 03 – 02
3
$30,808.44
$2,213.52
$5,444.42
13.9183
$391.17
32
04 – 02 – 02
2
$35,465.27
$2,561.15
$5,416.69
13.8474
$391.17
31
03 – 01 – 02
1
$40,000.00
$2,902.97
$ 0000000
13.7790
$ 00000
0
03 – 12 – 01
0
Saldo en
Córdobas
Saldo en
dólares
Valor de la cuota
en dólares
Tipo de cambio
en dólares
Valor de la cuota
en dólares
N° de
días
Fecha de
cuota
N° de
Cuota
Metodología para construir la tabla 7
a. Dolarizar el préstamo según el TCO en la fecha de formalización del crédito.
b. Construir la tabla de pago en dólares según el tipo de cuota que se haya acordado.
c. Proyectar el TCO en la fecha prevista del pago de la cuota, teniendo en cuenta la tasa de
devaluación.
d. Ajustar las cuotas y saldos en dólares a córdobas equivalentes.
e. Calcular la cuota prorrateada en córdobas.
6. Cuota con corrección monetaria proyectada
Cuando un proyecto necesita financiamiento para llevar adelante las inversiones, en un escenario
de inflación o devaluación monetaria, es común que los analistas financieros, realicen las
proyecciones en moneda corriente, tanto del pago de las cuotas, como los egresos e ingresos,
utilizando la tasa de interés inflada d estudiada anteriormente:

226
()( ) )
20
(Fórmula
v
i
i
v
i
i
d +
+
=
En este caso la fórmula se traduce en:
d: tasa de interés inflada o nominal periódica
iv: tasa de variación o deslizamiento monetario periódica (devaluación)
i: tasa de interés real del período
La fórmula 21 es la que se utiliza para las proyecciones de las cuotas en moneda corriente para
liquidar los préstamos de financiamiento de los proyectos a mediano y largo plazo. Esta tasa
inflada d se puede calcular teniendo en cuenta las estimaciones promedio anual de la tasa de
variación monetaria, que prevalecerá a lo largo de la vida útil del proyecto y representa una buena
aproximación para la proyección de la cuota en valores monetarios o inflados en el futuro.
La cuota nivelada con la devaluación proyectada incluida se calcula a través de la fórmula 2
reemplazando en dicha fórmula, la tasa de interés i por la tasa de interés inflada d. Primero
calculamos la tasa de interés inflada d por y posteriormente la cuota C con la fórmula 21.
( )
)
21
(Fórmula
N
d
1
1
d
P
C








−
+
−
=
Ejemplo 8:
Un proyecto agropecuario necesita un financiamiento de C$1,500,000 para utilizarlo en inversiones
en equipos y mobiliarios. Supongamos que la devaluación controlada del córdoba para los
próximos 6 años se estima en promedio 12% anual. EL horizonte de planeación es de 6 años y la
tasa de interés real del préstamo es del 18% . Elabore el calendario de pago utilizando el sistema
de cuotas niveladas en córdobas corrientes y que contengan el ajuste por deslizamiento
monetario.
Datos
P=C$1,500,000 valor del préstamo
i=12% tasa de variación monetaria o devaluación
ie=18% tasa efectiva de interés anual
N=6 número de cuotas anuales
C=? valor de la cuota nivelada corriente
d=? tasa de interés inflada
Solución: Para proyectar el valor de la cuota C en córdobas corrientes utilizamos la fórmula 20,
calculando primero la tasa inflada o nominal d esto es:
d=i+iv+(i)(iv)=0.18+0.12+(0.18)(0.12), entonces, d=32.16%
Ahora calculamos la cuota nivelada anual la cual contiene el interés real, el mantenimiento de valor
y la amortización del principal.
( )
0
$593,848.9
C
6
0.1632
1
1
0.3216
1,500,000
C =








−
+
−
=
Observaciones tabla 8
• El valor del préstamo nominalmente no se altera.
• El valor del pago de intereses contiene intereses reales y mantenimiento de valor.

227
• El valor de la cuota nivelada contiene amortización al principal, intereses reales y
mantenimiento de valor.
• Este sistema de amortización se utiliza en la preparación y evaluación de proyectos en un
escenario de inflación y devaluación.
• El porcentaje de variación monetaria (devaluación) se estima para el horizonte de planeación de
la actividad económica o vida útil del proyecto.
El programa de amortización del préstamo se presenta en la tabla 8.
Tabla 8
Saldo pagado
C$3,563,093.40
C$2,063,093.35
C$1,500,000.
Total
C$1,500,000.00
C$1,388,551.10
C$1,241,260.23
C$1,046,600.62
C$ 789,338.48
C$ 449,340.88
C$0000000000
C$0000000000
C$593,848,90
C$593,848.90
C$593,848.90
C$593,848.90
C$593,848.90
C$593,848.90
C$0000000000
C$482,400.00
C$446,558.03
C$399,189.29
C$336,586.76
C$253,851.26
C$144,508.01
$ 0000000000
C$111,448.90
C$147,290.86
C$194,659.60
C$257,262.14
C$339,997.64
C$449,340.88
0
1
2
3
4
5
6
Saldo insoluto
Cuota inflada
Intereses
inflados
Amortización
al principal
Fin de
período
anual
Saldo pagado
C$3,563,093.40
C$2,063,093.35
C$1,500,000.
Total
C$1,500,000.00
C$1,388,551.10
C$1,241,260.23
C$1,046,600.62
C$ 789,338.48
C$ 449,340.88
C$0000000000
C$0000000000
C$593,848,90
C$593,848.90
C$593,848.90
C$593,848.90
C$593,848.90
C$593,848.90
C$0000000000
C$482,400.00
C$446,558.03
C$399,189.29
C$336,586.76
C$253,851.26
C$144,508.01
$ 0000000000
C$111,448.90
C$147,290.86
C$194,659.60
C$257,262.14
C$339,997.64
C$449,340.88
0
1
2
3
4
5
6
Saldo insoluto
Cuota inflada
Intereses
inflados
Amortización
al principal
Fin de
período
anual
A manera de síntesis:
Proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda por medio de pagos o abonos periódicos que pueden ser
iguales o diferentes, en intervalo de tiempos iguales o diferentes.
Amortización
1.Elementos de la
Amortización
k
I
k
A
k
C +
=
2. Cuotanivelada
c.Cuota nivelada
diferida o con
período degracia
3)Interés de la K-
ésimacuota
( ) 







−
+
−
=
N
i
1
1
i
P
C
( )









 +
−
+
−
=
i
k
N
i
1
1
C
k
S
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1





 −
+
−
+
−
=









 −
+
−
+
−
=
−
=









 −
+
−
+
−
=
−
K
N
i)
(
C
K
I
(i)
i
K
N
i)
(
C
(i)
k
S
K
I
i
k
N
i
C
k
S
a.Cuotaniveladavencida
b.Cuotaniveladaanticipada
1)Valor de lacuota
2)Saldoinsoluto
3)Interés de la K-
ésimacuota
1)Valor de la
cuota
2)Saldoinsoluto
( ) ( ) 







+
−
+
=
+
− 1
1
1 N
i
i
i
P
C
1
1
1 




 −
+
−
+
−
= K
N
i)
(
C
K
I
c)Interés de la K-
ésimacuota
a)Valor de la
cuota
b)Saldo insoluto
( ) 







+
−
+
−
=
r
N
i
1
1
i
r
P
C
( )









 +
−
−
+
−
=
i
k
r)
(N
i
1
1
C
k
S
( ) 




 −
+
−
−
+
−
= 1
k
r)
(N
i
1
1
k
I
1)Se capitalizan
intereses en el
período de
gracia
2)Se liquidan
intereses en
período de
gracia. c)Interés delaK-ésimacuota
a)Valor dela cuota
b)Saldoinsoluto
( )
)
(
r
N
i
1
1
i
P
C i
P
I =
⇒








+
−
+
−
=
Proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda por medio de pagos o abonos periódicos que pueden ser
iguales o diferentes, en intervalo de tiempos iguales o diferentes.
Amortización
1.Elementos de la
Amortización
k
I
k
A
k
C +
=
2. Cuotanivelada
c.Cuota nivelada
diferida o con
período degracia
3)Interés de la K-
ésimacuota
( ) 







−
+
−
=
N
i
1
1
i
P
C
( )









 +
−
+
−
=
i
k
N
i
1
1
C
k
S
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1





 −
+
−
+
−
=









 −
+
−
+
−
=
−
=









 −
+
−
+
−
=
−
K
N
i)
(
C
K
I
(i)
i
K
N
i)
(
C
(i)
k
S
K
I
i
k
N
i
C
k
S
a.Cuotaniveladavencida
b.Cuotaniveladaanticipada
1)Valor de lacuota
2)Saldoinsoluto
3)Interés de la K-
ésimacuota
1)Valor de la
cuota
2)Saldoinsoluto
( ) ( ) 







+
−
+
=
+
− 1
1
1 N
i
i
i
P
C
1
1
1 




 −
+
−
+
−
= K
N
i)
(
C
K
I
c)Interés de la K-
ésimacuota
a)Valor de la
cuota
b)Saldo insoluto
( ) 







+
−
+
−
=
r
N
i
1
1
i
r
P
C
( )









 +
−
−
+
−
=
i
k
r)
(N
i
1
1
C
k
S
( ) 




 −
+
−
−
+
−
= 1
k
r)
(N
i
1
1
k
I
1)Se capitalizan
intereses en el
período de
gracia
2)Se liquidan
intereses en
período de
gracia. c)Interés delaK-ésimacuota
a)Valor dela cuota
b)Saldoinsoluto
( )
)
(
r
N
i
1
1
i
P
C i
P
I =
⇒








+
−
+
−
=

228
3.Cuota proporcional decreciente
a.Valor de la cuota
b.Saldo después de la K-
ésima cuota
pagos
de
Número
deuda
la
de
Principal
N
P
k
A =
=
[ ]
)d
(N
(a)
N
n
S
I
k
A
K
P
k
S 1
2
2
−
−
=
=
−
=
4.Cuota con interés flat
pagos
de
Número
deuda
la
de
Principal
N
P
k
A =
=
pagos
de
Número
n
i
P
N
I
flat
I =
=
5.Cuota con corrección
monetaria ( )n
v
i
1
FCM +
= ( )( )
FCM
0
TCO
1
TCO = ( )( )n
FCM
0
TCO
1
TCO =
monetaria proyectada
()( )
v
i
i
v
i
i
d +
+
=
( ) 







−
+
−
=
N
d
1
1
d
P
C
3.Cuota proporcional decreciente
a.Valor de la cuota
b.Saldo después de la K-
ésima cuota
pagos
de
Número
deuda
la
de
Principal
N
P
k
A =
=
[ ]
)d
(N
(a)
N
n
S
I
k
A
K
P
k
S 1
2
2
−
−
=
=
−
=
4.Cuota con interés flat
pagos
de
Número
deuda
la
de
Principal
N
P
k
A =
=
pagos
de
Número
n
i
P
N
I
flat
I =
=
monetaria ( )n
v
i
1
FCM +
= ( )( )
FCM
0
TCO
1
TCO = ( )( )n
FCM
0
TCO
1
TCO =
monetaria proyectada
()( )
v
i
i
v
i
i
d +
+
=
( ) 







−
+
−
=
N
d
1
1
d
P
C
1. Un banco local ofrece financiamiento para la compra de automóviles. El Ing. Gutiérrez adquiere un
vehículo en $12,000 con el 15% de prima y el saldo lo cancelará mediante el sistema de cuotas
niveladas mensuales a un plazo de 48 meses y una tasa de interés del 20% efectivo anual sobre
saldos.
a. Determino el valor de la cuota mensual.
b. ¿Cuánto pagaría el Ing. Gutiérrez si desea cancelar el saldo después de pagar la cuota 28?
c. Elaboro el calendario de pago hasta la cuota 5 inclusive.
2. Un Banco estatal concede un préstamo personal por la cantidad de $50,000 a 24 meses de plazo al
18% CM anual, con intereses moratorios del 9% y pagaderos mediante cuotas iguales mensuales, la
primera con vencimiento dentro de un mes.
a. ¿Cuál es el valor de cada cuota?
b. Si el pago de la cuota 12 se retrasa 18 días, ¿qué pago deberá realizarse para ponerse al
corriente?
c. Elaboro el calendario de pago hasta la cuota 5.
3. Un agricultor obtiene un préstamo de $1,000,000 con intereses del 18% capitalizable semestralmente.
El préstamo comenzará a amortizarse un año después de haber sido concedido, mediante pagos
trimestrales vencidos de igual valor durante un plazo total de 5 años.
a. ¿Cuál es el valor de cada pago?
b. ¿Cuál es el saldo insoluto justamente después del 6to pago?
c. Elaboro el calendario de pago hasta la cuota 5.
4. En el problema anterior supongo que el agricultor desea amortizar la obligación financiera en 7 cuotas
iguales semestrales, la primera dentro de dos años.
a. ¿Cuál es el valor de cada cuota?
b. ¿Cuál es el capital insoluto después del pago de cuota 5?.
c. Elaboro el calendario de pago para esta situación?
5. Una Sociedad Anónima desea $5.4 millones para la inversión inicial de un proyecto, de los cuales el
60% se obtienen a través de un préstamo bancario a un interés del 15% CS con 2.5 años de gracia
sin liquidar intereses. El préstamo se pagará en 10 cuotas semestrales iguales. Determino:
a. El valor de cada pago
b. El saldo insoluto justamente después de pagar la cuota 6.
c. Elaboro el calendario de pago hasta la cuota 5 inclusive.
6. En el ejercicio anterior supongo que los intereses se liquidan durante el período de gracia de forma
semestral. Calculo:
a. El valor de la cuota.
b. El saldo insoluto justamente antes de pagar la cuota 5.
c. El valor del pago de intereses en el periodo de gracia.

229
d. Elaboro la tabla de pago hasta la cuota 4 inclusive.
7. Un Banco otorga un crédito a una Cooperativa por la cantidad de $20,000 a una tasa de interés del
20% CM e intereses moratorios del 10% anual. Plazo total del préstamo 4 años. Determino la cuota
para los siguientes sistemas de pagos:
a. El valor de la cuota mensual nivelada, 2 meses de gracia.
b. El valor de la cuota trimestral nivelada, no hay periodos de gracia.
c. El valor de la cuota proporcional mensual, 3 meses de gracia.
d. El valor de la cuota proporcional trimestral no hay periodos de gracia.
8. Un Banco Comercial otorga un préstamo a un médico para la compra de un moderno equipo médico,
que será instalado en su consultorio particular en la ciudad de Managua. El préstamo es por la
cantidad de $12,500 a una tasa del 18% anual, capitalizable mensualmente y a un plazo de 12 meses.
La cancelación del principal y sus intereses será mediante 12 cuotas niveladas mensuales, interés
sobre saldos, la primera un mes después de haber recibido el préstamo.
a. Calculo el valor de cada cuota.
b. Calculo el saldo insoluto justamente antes de la décima cuota.
9. Una Compañía amortizará la suma de $1,000,000 mediante pagos mensuales vencidos iguales
durante 20 años con intereses al 20% CM. Encuentro la distribución del pago 150 entre intereses y
amortización al principal.
10.El financiamiento de un agricultor es de $10,000 (córdobas) con el 32% flat anual y plazo de 8 meses
para pagarse en cuotas bimensuales iguales. Elaboro la tabla de pago.
11.Una cooperativa obtiene financiamiento de una micro financiera por $16,000 con el 28% de interés flat
anual para pagarse en un plazo de 15 meses a través cuotas iguales trimestrales. Elaboro la tabla de
pago.
12.Un proyecto obtiene un préstamo por $34,000 para pagarse a plazo total de 7 años que incluye 2 años
de gracia, con interés del 18% CT. En el periodo de gracia los intereses se capitalizan y el pago de la
deuda será a través de cuotas anuales niveladas. Construyo la tabla de pago.
13.Un préstamo de $24,000 con interés del 15% CT y a plazo total de 10 años que incluyen 3 años de
gracia donde se liquidarán los intereses de forma trimestral; la deuda se podrá amortizar a través de
cuotas trimestrales. Determino:
a. El valor de la cuota trimestral nivelada.
b. El valor de la cuota 1 proporcional trimestral.
14.Una persona compra una casa cuyo valor de contado es $ 800,000, (córdobas) para pagarse a plazo,
le exigen una cuota inicial correspondiente al 40% del valor de contado y El resto lo cancelará
mediante 120 cuotas mensuales iguales. Para reducir el costo de la cuota mensual, ofrece dar tres
cuotas extraordinarias de $75,000.00 cada uno, a los 40, 80 y 120 meses respectivamente. Si el
interés es de 30% efectivo. Determino:
a. El valor de la cuota mensual.
b. El saldo justamente después de pagar la cuota ordinario y extraordinaria en el mes 40.
15.El valor del préstamo otorgado a una empresa para financiar un proyecto es de $ 50,000.00 el cual
debe pagarse mediante de sistemas de cuotas proporcionales semestrales en un plazo total de 10
años que incluye un periodo de gracia de 1 año un interés del 18% CS. Elaboro el calendario de pago
hasta la cuota 5.
16.En el problema anterior, supongo que la Empresa solicita a su acreedor un período de gracia de dos
años y se compromete pagar los intereses por semestre en ése periodo. Elaboro el calendario de
pagos hasta la cuota 6 de amortización.
17.Construyo la tabla de pago hasta la cuota 4 de una amortización en la cual se paga un préstamo de
$8,000 a plazo de 3 años con cuotas proporcionales mensuales y el 30% CM. Calculo el saldo insoluto
de la deuda inmediatamente después de efectuar la cuota 26.
18.Una deuda de $35,000 se paga en cuota iguales semanales durante 2 años al 24.96% convertible por
semana.
a. Construyo la tabla de pago hasta la cuota 5.
b. Determino el saldo después de la cuota 40.
19.¿Cuál es saldo insoluto luego de efectuar el pago número 20, si un crédito bancario se amortiza con
28 cuotas quincenales de $135? Supongo que la tasa de interés es del 26.4% convertible por
quincena.
a. Realizo la tabla de hasta la cuota 4.

230
b. Calculo el interés de la cuota 16.
c. Determino el saldo después de efectuar la cuota 18.
20.El financiamiento de un proyecto es de $150,000 (córdobas) con interés del 15% más mantenimiento
de valor del 10% anual por inflación monetaria. Si el plazo es de 8 años. Construyo la tabla de pago.
21.Una cooperativa recibe financiamiento de una micro financiera por la cantidad de $20,000 (córdobas)
para pagarse en cuotas mensuales de 30 días cada una con una tasa de interés del 28% CM y
mantenimiento de valor del 6% anual. El TCO en la fecha de formalización del crédito fue de 15.0321.
Construyo la tabla de pago si el plazo del préstamo es de 6 meses o sea 180 días.
Luego comparo mis respuestas con las que aparecen en la página 268, al final de la unidad autoformativa
III y me retroalimento.

231
B. Constitución de fondos
El fondo de amortización es una cantidad que se capitaliza (crece) mediante pagos periódicos que
devengan cierto interés, de modo que en un número finito de depósitos se obtenga un monto
deseado o prefijado.
En la práctica financiera, la creación del fondo de amortización puede obedecer a los siguientes
objetivos:
1. Pagar el principal de una deuda a su vencimiento mediante cuotas periódicas, los intereses
corrientes que devenga la deuda se pagan por separado.
2. Acumular por parte de las empresas cierta cantidad de capital para reemplazar activos fijos, que
se desmeritan con el uso.
3. Tener reservas para proveer el pago de las pensiones de jubilación y vejez a los trabajadores
de compañías.
4. Retirar a su vencimiento los fondos de la emisión de obligaciones, entre otras.
En un fondo de amortización, cada pago que se reserva periódicamente es una anualidad que
gana intereses compuesto en cada período. Todos los problemas relacionados al cálculo de cuota
para el fondo, son similares a los ya estudiados en las anualidades.
Es importante establecer la diferencia entre el fondo de amortización y la amortización propiamente
dicha, si bien ambos son métodos para pagar a plazos un préstamo o liquidar una obligación. En el
primero, el importe de los plazos sirve únicamente para pago de capital; en el segundo, por el
contrario, los plazos son suficientes para pagar el capital y el interés corriente sobre el mismo. Otra
diferencia consiste en que; en el fondo de amortización la deuda permanece constante hasta que
se completa el fondo, mientras que en el caso de la amortización, la deuda disminuye en cada
pago sucesivo.
1. Cuota vencida para el fondo
Para el cálculo de la cuota Dk al final de cada período, partimos del conocimiento del valor o monto
F que deseamos acumular, la tasa periódica de interés i que devenga el fondo y la cantidad de
períodos de capitalización N. De esta manera mediante la siguiente fórmula calculamos el pago, o
sea;
( )
)
2
(Fórmula
1
N
i
1
i
F
D 2








−
+
=
a. Importe del fondo en la k-ésima cuota
Cuando se han venido haciendo pagos a un fondo de amortización por espacio de algunos
años o períodos, resulta útil calcular rápidamente el monto total acumulado Sk, justamente
después del k-ésimo pago Dk, donde 1 ≤ k ≤ N. Para realizar este cálculo, usamos la fórmula 3
(de la unidad autoformativa II) intercambiando la A por D y N por k, de esta forma resulta:

232
( ) )
3
( 2
Fórmula
i
1
k
i
1
D
k
S







 −
+
=
b. Tabla de capitalización
La tabla de capitalización del fondo de amortización, sirve para mostrar el crecimiento período a
período del capital y contiene de forma estándar 5 columnas, a como se muestra en la tabla 3.8
Ejemplo 9:
Una empresa industrial estima que dentro de 10 años tendrá que cambiar cierto tipo de
maquinaria por motivo de desgaste debido a su uso. Este cambio tendrá un costo de $850,000,
y con el objetivo de disponer de este capital en su momento ha decido crear un fondo de
amortización en un banco local, que devenga una tasa de interés del 9.5%.
a. Determinar el valor del pago anual al fondo de amortización.
b. Calcular el monto acumulado después del pago 7 y el respectivo saldo.
c. Elaborar la tabla de capitalización del fondo.
Datos:
F=$850,000 Valor que se desea acumular
i=9.5% tasa de interés efectivo anual
N=10 número de pagos anuales programados
D=? valor del pago anual para el fondo
S7=? monto acumulado después del pago 7
Solución:
a. El valor del pago al fondo de amortización lo calculamos mediante la 22, esto es:
( )
3
$54,626.2
1
10
0.095
1
0.095
850,000
D =








−
+
=
b. El monto acumulado después del pago k=7 lo hallamos por 23, se trata de calcular el valor
futuro F de 7 pagos que constituyen una anualidad vencida.
( ) ( ) 7
$510,353.6
9.342648
54,626.23
0.095
1
7
0.095
1
54,626.23
7
S =
=







 −
+
=
El saldo Fk después de k pagos se determina mediante: Fk=F-Sk, donde F es el valor o
monto que se quiere acumular. Así el saldo es;
S7=F-Sk=850,000-510,353.66=$339,646.34
c. Tabla del fondo
La tabla de acumulación del fondo contiene 5 columnas.
-Las cifras que aparecen en la columna B representan los pagos periódicos para el fondo de
amortización.
-La columna E muestra el total en el fondo después de cada pago. Una línea más abajo en
la columna C, aparece el interés de un período sobre cada cifra de la columna E.

233
-Cada pago periódico de la columna B, más el interés correspondiente de la columna C,
suman el total incrementado al fondo al final de cada período de la columna D.
La tabla 9 muestra la capitalización del fondo de amortización.
Tabla 9
Monto deseado
$ 850,000.00
$303,737.70
$546,262.30
Total
$ 54,626.23
$ 114,441.95
$ 179,940.16
$ 251,660.70
$ 330,194.70
$ 416,189.42
$ 510,353.64
$ 613,463.47
$ 726,368.73
$ 850,000.00
$ 54,626.23
$ 59,815.72
$ 65,498.22
$ 71,720.55
$ 78,534.00
$ 85,994.73
$ 94,164.23
$ 103,109.83
$ 112,905.26
$ 123,631.27
$ 0000000
$ 5,189,49
$ 10,871.98
$ 17,094.32
$ 23,907.77
$ 31,368.50
$ 39,538.00
$ 48,483.59
$ 58,279.03
$ 69,005.04
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,526.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Capital en el fondo
Incremento al
fondo
Interés sobre
el fondo
Pago
del fondo
Fin de
período Anual
E
D
C
B
A
Monto deseado
$ 850,000.00
$303,737.70
$546,262.30
Total
$ 54,626.23
$ 114,441.95
$ 179,940.16
$ 251,660.70
$ 330,194.70
$ 416,189.42
$ 510,353.64
$ 613,463.47
$ 726,368.73
$ 850,000.00
$ 54,626.23
$ 59,815.72
$ 65,498.22
$ 71,720.55
$ 78,534.00
$ 85,994.73
$ 94,164.23
$ 103,109.83
$ 112,905.26
$ 123,631.27
$ 0000000
$ 5,189,49
$ 10,871.98
$ 17,094.32
$ 23,907.77
$ 31,368.50
$ 39,538.00
$ 48,483.59
$ 58,279.03
$ 69,005.04
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,526.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
$ 54,626.23
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Capital en el fondo
Incremento al
fondo
Interés sobre
el fondo
Pago
del fondo
Fin de
período Anual
E
D
C
B
A
2. Cuota vencida para el fondo y cuota inicial
Cuando el fondo se abre con una cuota inicial D0, la cuota Dk al final de cada período la calculamos
a partir del valor o monto F que deseamos acumular menos el valor futuro de la cuota inicial, la
tasa periódica de interés i que devenga el fondo y la cantidad de períodos de capitalización N. Esto
lo realizamos por la fórmula 24.
( )
( )
)
24
(Fórmula
1
N
i
1
i
1
0
F
D










−
+






+
−
= N
i
D
El Importe del fondo en la k-ésima cuota
El importe o cantidad acumulada en el fondo justamente después de k-ésima cuota o pago Dk,
donde 1 ≤ k ≤ N lo encontramos por medio de la fórmula 25, o sea:
( ) ( ) )
5
2
(Fórmula
1
i
1
k
i
1
D
k
S 0
K
i
D +
+







 −
+
=
La construcción de la tabla del fondo es de la misma forma que la tabla 9, debemos tener en
cuenta el primer depósito en el periodo cero, el cual genera intereses en el periodo 1.

234
1. Una empresa desea capitalizar $20,000 al final del año 5, para ello abre un fondo y realiza un
depósito inicial en el periodo cero de $3,500 para completar el fondo destinará una cuota constante
anual con interés del 9.5% efectivo anual. Elaboro la tabla de capitalización del fondo.
2. Una empresa constituye un fondo de $50,000 en un plazo de 50 meses a través de cuotas
mensuales iguales, en un banco que le ofrece una tasa del 10% CM. Construyo la tabla hasta la
cuota 5.
3. Un agricultor debe pagar el principal de una deuda por $40,000 a través de la creación de un fondo el
cual lo abre con $5,000 y cada semestre destinará una cuota constante en un plazo de 3 años con
interés del 12% CS. Elaboro la tabla del fondo.
4. Una empresa desea tener disponible dentro 7 años la cantidad de $200,000 para realizar nuevas
inversiones en la infraestructura de sus plantas. Para ello se ha propuesto crear un fondo en una
institución que le paga el 12% CT a través de cuotas trimestrales iguales. Elaboro la tabla de
capitalización hasta la cuota 5.
5. El Ingeniero Barrera desea disponer en el año 6 de la cantidad de $12,400 para comprarse un
automóvil y reponer el que tiene actualmente, para ello abre un fondo y depositará cada trimestre
anticipado una cantidad constante. Si el interés que devenga el fondo es del 15% efectivo, elaboro la
tabla del fondo hasta la cuota 5.
6. Una Cía. desea reunir $150,000 dentro de 4 años y abre un fondo con $24,000 en el mes cero.
Después, en el mes 5 comienza a depositar una cantidad constante mensual. Si el interés es del
16% CM, calculo el valor de la cuota mensual y elaboro la tabla de capitalización hasta la cuota 4.
7. Con el propósito de contar con $18,000 para comprar muebles para su casa, el matemático López
crea un fondo de ahorros semanales. ¿Cuánto debe depositar si gana intereses a una tasa del 8%
compuesto por semanas y el dinero lo necesita al término de 2 años? (un año igual a 52 semanas).
Construyo la tabla hasta la cuota 5.
8. La señora Aguilar pone a disposición de una casa de empeño un televisor, por el que le prestan
$1,500 incluyendo los intereses de 6 meses del plazo, ¿cuánto deberá depositar cada quincena en
un fondo que le genera intereses a una tasa del 36% compuesto por quincenas durante los 6 meses?
9. Para los gastos de su graduación dentro de 5 semestres, una estudiante de administración de
empresas de la UCA crea un fondo con cuotas mensuales de $450. ¿Cuánto acumulará si empieza
ahora y gana el 27% de interés nominal mensual? Elaboro la tabla del fondo en cuotas semestrales
vencidas equivalentes.
10. Para ampliar su negocio el señor González consigue un préstamo hipotecario de $114,000 que
incluye los intereses, a un plazo de un año y medio. Al mismo tiempo constituye un fondo de ahorro
con depósitos bimestrales que devengan intereses a una tasa del 22% CB, ¿de cuánto es cada uno?
Elaboro la tabla hasta la cuota 5.
11. Una compañía Siderúrgica crea un fondo de jubilación con 5 cuotas anuales anticipadas de $50,000
y una cuota extra de $100,000 en el año 3 ganando intereses a una tasa del 9% CS.
a. ¿De qué monto dispondrá en el año 5? Elaboro la tabla del fondo.
b. Supongo que deposita $50,000 anuales anticipados y una cuota extra de $80,000 en el
año 8 ¿qué monto tendrá en el año 12?
12. Para recuperar un pagaré con valor nominal de $142,500 una farmacia crea un fondo con 10 pagos
quincenales e intereses a una tasa del 0.27% efectivo por quincena. ¿De cuánto es cada uno de los
depósitos?
13. El concesionario de un aeropuerto crea un fondo con reservas bimestrales de 0.3 millones de dólares
cada una, ganando intereses a una tasa del 12% CB.
a. ¿En cuánto tiempo iniciará un nuevo proyecto de ampliación, si se estima que requerirá
de 1.892 millones de dólares?
b. Elaboro la tabla del fondo.
14. Para instalar un laboratorio de computación, un colegio de secundaria de Managua constituye un
fondo de 6 cuotas mensuales.
a. ¿De cuánto es cada cuota si se necesita $120,000 y la tasa de interés es del 5.48% CM?
b. Elaboro la tabla.

235
15. Con una duración de 24 meses, hoy se inician las obras de construcción del hospital para ancianos
de una ciudad. Para comprar los equipos de especialidades se crea, hoy mismo, un fondo de
reservas cuyos depósitos mensuales son de $25,000 cada uno a una tasa de Interés del 9% CM.
a. ¿Cuánto se acumula en los 22 meses?
b. Construyo la tabla hasta la cuota 5.
16. Para construir dentro de 5 años un nuevo estadio de béisbol en Managua, la federación necesita de
un capital de $7.2 millones de dólares. Con este fin se constituye un fondo iniciando hoy con 0.5
millones, el cual es un aporte de la federación internacional, el gobierno se compromete dentro de 2
años a un aporte de $1.5 millones para el fondo, asimismo un país amante de este deporte aportará
en el año 4 $1.8 millones, el resto serán cuotas anuales iguales producidas por las entradas a los
estadios de la liga nacional y complementadas por la alcaldía de Managua. Si el fondo devenga una
tasa interés preferencial como aporte de un banco del 18% efectivo.
a. ¿De cuánto es la cuota anual complementaria?
17. El día de hoy se constituye un fondo con interés del 10% efectivo para disponer de ciertos recursos
financieros para invertir en la instalación de un proyecto habitacional en el cual se necesitan $50,000
en el año 2 y $100,000 en el año 3.
a. ¿Con que cantidad se debe abrir el fondo si se programa un depósito de $60,000 en el
año 1?
18. Un especulador financiero obtiene un préstamo de $500,000 para actividades de agricultura a través
de una línea de crédito especial que maneja el Banco del Campo; el crédito se pagará en 5 cuotas
anuales niveladas con interés del 8% efectivo. Una vez obtenido el préstamo el especulador lo
coloca en un fondo que abre en la Financiera Omega que le paga un interés del 15% efectivo y
autoriza debitar del fondo el pago de la deuda.
a. Determino la utilidad al finalizar el plazo de 5 años.
19. Para construir un centro vacacional, la compañía Desarrollos Turísticos Silvana constituye un fondo
con 5 cuotas semestrales anticipadas de 2.5 millones y una cuota adicional de 3.00 millones al
término de 1.5 años. El primer desembolso de la construcción será a los 2.5 años por 8.1 millones.
a. ¿Cuánto acumula en el año 3 si devenga una tasa de interés del 5.4% CS?
20. Para la remodelación de un edificio se necesitan el año 5 la cantidad de $120,000 para ello se abre
un fondo con 5 cuotas semestrales anticipadas de $10,000 cada una y se completará con 2 cuotas
iguales en año 3 y 4 respectivamente. Si el interés que devenga el fondo es del 7% efectivo.
Determino:
a. La cuota anual vencida equivalentes a las 5 cuotas semestrales anticipadas.
b. La cuota del año 3 y 4.
c. Construyo la tabla del fondo en cuotas anuales según resultados del inciso a y b.
Luego comparo mis respuestas con las que aparecen en la página 272, al final de la unidad autoformativa
III y me retroalimento.

236

237
C. Evaluación de inversiones
Con mucha frecuencia nos estamos refiriendo a realizar proyectos, pero; ¿Qué entendemos
por proyecto de inversión?
Una definición podría ser:
"Es un paquete discreto de inversiones, insumos y actividades diseñados con el fin de eliminar
o reducir varias restricciones al desarrollo, para lograr uno o más productos o beneficios, en
términos del aumento de la productividad y del mejoramiento de la calidad de vida de un grupo
de beneficiarios dentro de un determinado período de tiempo" (Mokate, Karen Marie.
"Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión" P. 46). Un proyecto surge de la
identificación de unas necesidades de la sociedad; su bondad depende de su eficiencia en la
satisfacción de estas necesidades, teniendo en cuenta el contexto social, económico, cultural y
político.
En términos generales, el proyecto forma parte de programas o planes más amplios,
contribuyendo a un objetivo global de desarrollo. Concientiza los propósitos y objetivos generales
de los planes y programas, ya sean gubernamentales o privados.
De lo anterior, deducimos que los inversionistas, tanto estatales como privados, frecuentemente
comparan las diversas alternativas de inversión que se presentan en el ambiente. La necesidad de
llevar a cabo estas comparaciones surge del hecho de que se desea optimizar el uso de los
recursos económicos y financieros disponibles en el sentido, generalmente, de ahorro de divisas, o
de eficiencia de las inversiones.
Antes de abordar los métodos de evaluación financiera de inversiones, analizaremos algunos
elementos importantes para tener una mejor comprensión de los resultados de la evaluación.
Los aspectos que trataremos en este capítulo, serán de forma superficial, ya que se pueden
ampliar consultando la bibliografía indicada, al final de esta unidad autoformativa, a fin de tener
un conocimiento más amplio.
1. Enfoques de la evaluación de inversiones
Los enfoques más importantes en la evaluación de proyectos de inversión son:
a. Financiero o privado, en el cual se hace un análisis micro económico de la rentabilidad.
b. Económico o público, se realiza un análisis macroeconómico en función de la contribución al
desarrollo nacional.
c. Social, se realiza un análisis de las bondades que genera el proyecto desde el punto de vista
social.
d. Impacto ambiental, se realiza un análisis de la afectación del medio ambiente y las medidas de
mitigación.
En la evaluación de un proyecto de inversión, por lo general se comienza con análisis financiero y
luego se complementa con los ajustes necesarios para convertirlo en una evaluación económica -
social y del impacto ambiental. Abordaremos únicamente el aspecto de la evaluación financiera
que facilita poder responder las siguientes preguntas:
a. ¿Es rentable el proyecto de inversión?

238
b. ¿En cuáles de los proyectos de inversión, que se han identificados, se puede invertir los
recursos financieros limitados disponibles de la empresa?
c. ¿Qué alternativas de inversión que se han detectados se debe escoger desde el punto de vista
financiero?
Para evaluar un proyecto desde el punto de vista financiero se utilizan precios de mercado, en
cambio si la evaluación es desde la perspectiva económica y social los precios a tomar en cuenta
son los llamados precios sombra o de cuenta y precios sociales.
Por otro lado, la evaluación financiera de proyectos implica la determinación de la tasa de
interés de oportunidad TIO. Las alternativas de inversión se evalúan sobre el pronóstico de que
puede esperarse una tasa de retorno razonable, convirtiéndose en una tasa de rendimiento
mínima aceptable de retorno TREMA, o sea la tasa base para proyectos. Generalmente esta
tasa es mucho más alta que la tasa promedio del sistema financiero debido a que esta última
responde al riesgo mínimo de la inversión.
Todo inversionista tiene en mente una tasa de rendimiento mínima aceptable sobre la inversión. La
pregunta sería. ¿En qué debe basarse un inversionista para fijar su propia TREMA?
Un inversionista seguramente le pediría a una inversión una TREMA que le garantice dos factores:
primero, debe ser tal su ganancia, que compense los efectos inflacionarios, y en segundo término,
debe ser un premio o sobre tasa por arriesgar su dinero en la inversión y que le haga crecer de
forma real su capital.
2. Estimaciones básicas de una inversión
Las estimaciones básicas en un proyecto de inversión son fundamentales para la elaboración del
flujo de fondos del proyecto y es el resultado de diversos estudios.
a. Inversión inicial
El término de inversión o desembolso inicial se refiere generalmente a los flujos negativos
que ocurren de una sola vez al comienzo de la vida económica de un proyecto y que
representan desembolsos de efectivo para la adquisición de:
1) Activos fijos o tangibles, que están constituidos por la adquisición de terrenos, edificios,
maquinarias, equipos, mobiliario, vehículos de transporte, herramientas y otros como la
construcción de pilas sépticas para mitigar el impacto de deterioro al medio ambiente.
2) Activos diferidos o intangibles, que constituyen el conjunto de bienes de propiedad de la
empresa y que incluyen: patentes de invención, marcas, diseños comerciales o industriales,
nombres comerciales, asistencia técnica o transferencia de tecnología, gastos preoperativos
y de instalación y puesta en marcha, contratos de servicios (como energía, teléfonos, télex,
agua, servicios notariales), capacitación de recursos humanos; así mismo se destacan los
diversos estudios que tiendan a mejor el presente y futuro de la empresa.
3) Capital de trabajo, que es un recurso financiero o activo circulante disponible en caja y
bancos para la adquisición de materias primas e insumos para el primer ciclo de producción

239
del proyecto. Este activo se recupera al final de cada ciclo y se tiene disponible para el
siguiente hasta su recuperación final al concluir la vida útil del proyecto.
b. Beneficios y costos
La proyección de los beneficios y costos a lo largo de la vida útil del proyecto es lo que
verdaderamente presenta dificultades y la calidad de la evaluación está en dependencia de
estas estimaciones que resultan de los estudios técnicos y de mercado, aunque también
contribuyen los otros estudios que se consideren conveniente.
c. Vida económica
La vida económica del proyecto es el horizonte de tiempo que se adopta para su evaluación.
Algunos proyectos tienen fechas terminales bien definidas, después de las cuales los flujos
operativos dejan de existir.
El término vida económica se refiere al período de tiempo a través del cual la inversión
permanece económicamente superior a la inversión alternativa con que pudiera ser
comparada para el mismo fin. Es decir, el período durante el cual la inversión no se vuelve
obsoleta.
Con frecuencia se considera que horizontes de 10 a 12 años son adecuados en los proyectos
de vida indefinida, sin embargo la definición del horizonte dependerá en último término de la
naturaleza e importancia de la inversión, del tiempo disponible para el análisis y del
comportamiento de los flujos del proyecto.
d. Valor de salvamento o residual
Al finalizar la vida económica deberán tomarse en cuenta los flujos positivos producidos por los
valores residuales o salvamentos de los activos fijos depreciables y no depreciables. Los
impuestos relacionados con los valores residuales de los activos fijos deben ser incluidos en el
análisis como flujos negativos o positivo según el caso.
e. Depreciación
La depreciación está basada en el reconocimiento de que los fondos fijos se desgastan con el
uso y el tiempo, sufriendo una pérdida de su valor debido a la transferencia del mismo al nuevo
producto.
La depreciación se debe al desgaste gradual del fondo fijo (maquinaria, equipos, edificios,
otros) o al principio de obsolescencia, el cual expresa que el artículo se vuelve anticuado
cada año debido a la disponibilidad en el mercado de equipos más modernos.
Puesto que la mayoría de estos elementos no se desgastan en un sólo año, el valor de la
depreciación se trata de distribuir en un período de años, el cual corresponde a la vida útil del
activo.

240
Los métodos de depreciación de activos tangibles más comunes son los de línea recta, suma
de los dígitos, doble tasa sobre saldo decreciente y unidades de producción.
Ejemplo 10:
Una maquinaria se adquirió en $1,100 y tiene un valor residual al término de 5 años de vida útil
de $100 (valor comercial), ello significa que en los 5 años perderá $1,000 de valor. En
consecuencia, la depreciación total será de $ 1,000.
a. Método de línea recta: Este método supone que la depreciación se efectúa en partidas
anuales iguales. Es decir:
)
26
(Fórmula
N
d
V
D =
donde:
D: Depreciación del período.
N: Número de años de vida útil del activo.
. Vd: Valor a depreciar
Siguiendo el ejemplo:
200
5
000
,
1
=
=
D
Luego, la depreciación anual será de $200 y la depreciación acumulada al término de los
5 años será de $ 1,000 que se deseaba depreciar.
La suma de las depreciaciones anuales D corresponde a los $1,000 de valor por depreciar
Vd (ver tabla de depreciación lineal 10).
b. Método de la suma de los dígitos: Este método permite depreciar inicialmente una cuota
mayor, que equivale a adelantar parte de la depreciación de los últimos años. El método
consiste en dividir, período a período, el número de años restantes por la suma de los dígitos
de los años de vida útil y multiplicar este resultado por el valor por depreciar. La suma de los
dígitos de los años de vida útil (1+2+3+...+N) se puede obtener de:
( ) )
27
Fórmula
(
2
1
+
=
N
N
S
S representa la suma de los años dígitos. En el ejemplo que se sigue, S = 15, lo obtenemos
de:
( ) 15
2
1
5
5
=
+
=
S
La depreciación anual, para cada período es: (ver tabla 11)
AÑO DEPRECIACION DEPRECIACIÓN VALOR
D ACUMULADA ACTUAL
AÑO DEPRECIACION DEPRECIACIÓN VALOR
D ACUMULADA ACTUAL
0 $1,100
1 $200 $200 900
2 200 400 700
3 200 600 500
4 200 800 300
5 200 1,000 100
0 $1,100
1 $200 $200 900
2 200 400 700
3 200 600 500
4 200 800 300
5 200 1,000 100
Tabla 10

241
Tabla 11
AÑO CALCULO DEPRECIACION
1 5/15(1,000)= 333.33
2 4/15(1,000)= 266.67
3 3/15(1,000)= 200.00
4 2/15(1,000)= 133.33
5 1/15(1,000)= 66.67
1 5/15(1,000)= 333.33
2 4/15(1,000)= 266.67
3 3/15(1,000)= 200.00
4 2/15(1,000)= 133.33
5 1/15(1,000)= 66.67
Notemos en la tabla 11 que al cargar en los períodos iniciales una mayor depreciación,
las utilidades se verán reducidas y en consecuencia, el monto del impuesto pagadero
será menos en estos períodos y mayor a futuro, lográndose así un "préstamo" sin costo
financiero. Los otros métodos de depreciación se les deja al lector para que los
investigue.
c. La depreciación y los impuestos de las ganancias gravables: Para fines de impuestos una
inversión es tratada como un gasto prepagado y la cuota de depreciación, distribuye este
gasto a lo largo del horizonte de planificación. Las depreciaciones de un proyecto y las
amortizaciones de los gastos de organización (activo diferido) no representan flujos de
efectivo, puesto que el flujo verdadero se presentó cuando los activos fueron adquiridos y
las depreciaciones en los períodos contables subsiguiente representan un costo pero no
un desembolso.
Sin embargo, debemos observar que la depreciación y otros costos que no son
desembolsos tienen un efecto en los flujos de un proyecto a través del impacto que
producen en el impuesto sobre la renta, que sí es claramente un flujo de efectivo. Dicho
impuesto se calcula de la siguiente forma:
IM=t(Y-C-D) (Fórmula 28)
donde:
IM: monto de impuestos directos
t: tasa del impuesto sobre la renta (IR)
Y: ingresos gravables
C: costos deducibles de operación
D: depreciación
Así, cada córdoba de depreciación reduce el impuesto sobre la renta correspondiente en t
córdobas, donde t es la tasa marginal del impuesto sobre la renta. Como ilustración
consideramos el siguiente ejemplo: una maquinaria nueva representa una inversión de
$50,000 y se despreciará en línea recta , en 10 años sin valor residual al término de su vida
económica. Suponiendo que la tasa impositiva marginal es del 30%, los cargos por
depreciación reducirán los impuestos que pagaría la empresa en $1,500 por año.
El efecto fiscal que produce la depreciación se conoce con el término de escudo fiscal de la
depreciación.
Observemos que a mayor cuota de depreciación declarada el ingreso imponible es menor y el
impuesto a pagar, por lo consiguiente lográndose así obtener una cantidad mayor de dinero
disponible para una posible reinversión, por supuesto que el valor de la cuota de depreciación
debe calcularse de acuerdo a los métodos permitidos por la Dirección General de Ingresos
(DGI).

242
Hasta aquí hemos estudiado dos de los métodos de depreciación que existen y se han
reflejado sus aplicaciones con ejemplos sencillos pero queremos aclarar que sea cual fuere
el método de depreciación que se utilice, tanto si es desacelerada, en cuyo caso la
cancelación será menor durante los primeros años, como de línea recta, con la que la
cantidad será la misma todos los años, o acelerada, en la que la cantidad es mayor durante
los primeros años, la cantidad total de depreciación y por consiguiente, las erogaciones por
impuestos, serán iguales para todos los métodos. Aunque la cancelación total y los
impuestos totales son los mismos, el valor cronológico del dinero establece una ventaja para
la cancelación rápida, sobre la lenta.
3. Flujo de fondos financieros
La evaluación financiera se realiza a través de la presentación sistemática de los costos y
beneficios financieros de un proyecto, los cuales se resumen por medio de un indicador de
rentabilidad, que se define con base en un criterio determinado. Así el proyecto podrá compararse
con otros, para luego tomar una decisión respecto a la conveniencia de realizarlo. La evaluación
tiene entonces dos grandes pasos:
• La sistematización y presentación de los costos y beneficios en el flujo de fondos efectivos o de
caja.
• El resumen de estos costos y beneficios es un indicador que permite compararlos con los de
otros proyectos. Este paso consiste en el descuento intertemporal por medio de la tasa mínima
de rendimiento como cálculo paramétrico de evaluación, que refleja la rentabilidad del proyecto.
En toda evaluación financiera de inversiones es fundamental la estimación del flujo de caja que
generará cada proyecto. La bondad del resultado final a que se llegue dependerá del cuidado
que se ponga en esa estimación.
Para los primeros años de la vida económica de un proyecto la estimación de los flujos es más fácil
que para los últimos años, y en la medida que las estimaciones se efectúan en un horizonte más
lejano las dificultades aumentan. Afortunadamente, a medida que los errores de cálculo se
producen en los años más lejanos del proyecto, su efecto en las estimaciones del rendimiento de
la inversión es menor.
Los cuatro elementos básicos que componen el flujo de fondos son:
a. Los beneficios (ingresos) de operación.
b. Los costos (egresos) de inversión o montaje, o sea, los costos iniciales.
c. Los costos (egresos) de operación.
d. El valor de desecho o salvamento de los activos del proyecto, en el momento final del mismo.
Cada uno de estos elementos tiene que ser caracterizado según:
a. Su monto o magnitud.
b. Su ubicación en el tiempo.
En otras palabras, el flujo de fondos es sencillamente un esquema que presenta en forma
sistemática los costos e ingresos, registrados año por año (o período por período). Estos costos e
ingresos se obtienen de los estudios que forman parte de formulación y evaluación de un proyecto.
Entre ellos podemos mencionar los siguientes: técnico, de mercado, legal, institucional,
organizacional, financiero, socioeconómico y ambiental. Por lo tanto, el flujo de fondos puede

243
considerarse como una síntesis de todos estos estudios realizados como parte de la etapa de pre-
inversión o como parte de la etapa de post-inversión o ejecución.
a. Flujo de fondos para el proyecto "puro"
La Tabla 12 muestra este flujo sin financiamiento externo, ya que el total de las inversiones
será mediante capital contable de la empresa ejecutora.
Tabla 12
CONCEPTO Año 0 Añ0 1 Año 2
+ Ingresos de Operación 1,200 1,200
+ Ingresos Financieros ---- ----
- Costos de Operación 400 400
- Depreciación y amortización intangibles 100 100
= GANANCIAS GRAVABLES 700 700
- Impuestos sobre ganancias (IR) (20%) 140 140
+ Valores salvamento gravables 50
- Impuestos venta de activos 10
+ Ingresos no gravables 250
- Costos de operación no deducibles -----
+ Valor libros activos vendidos (ing. no gravable) 40
= GANANCIAS NETAS 560 890
+ Depreciación y amortización intangibles 100 100
+ Valor salvamento activos no vendidos ----- 120
- Costos de inversión 1,180 ----- -----
- Inversiones financieras ----- ----- -----
= FLUJO DE FONDOS NETOS (INVERSIONISTA) -1,180 660 1,110
Nuestro objetivo no es construir un flujo de fondos, sino calcular los indicadores financieros a
partir del flujo neto del inversionista; sin embargo presentamos dos esquemas básicos con
valores hipotéticos para un proyecto de dos años:
El resultado del flujo de fondos netos del inversionista presentados en la tabla 12 son los
valores que tomaremos en cuenta para medir la rentabilidad del proyecto. En este caso
usaremos una TREMA del 25%, está resuelto más adelante en el ejemplo 16.
b. Flujo de fondos para el proyecto con financiamiento externo
La Tabla 13 muestra esta situación donde el aporte de capital propio de los inversionistas es
importante para la realización de la inversión, o sea es un esquema desde el punto de vista
de la entidad ejecutora o dueños del proyecto.
Nuevamente, el resultado del flujo de fondos netos del inversionista presentados en la tabla 13
son los valores que tomaremos en cuenta para medir la rentabilidad del proyecto, con la misma
TREMA del 25%, el cual está resuelto en el ejemplo 17 Notemos que el financiamiento es del
50% del total de las inversiones y la tasa de interés es del 20% sobre saldos y cuotas
proporcionales anuales.

244
Tabla 13
CONCEPTO Año 0 Año 1 Año 2
+ Ingresos de Operación (ventas) 1,200 1,200
+ Ingresos Financieros ----- -----
- Costos de Operación 400 400
- Intereses sobre préstamos recibidos (20%) 118 59
- Depreciación y amortización intangibles 100 100
= GANANCIAS GRAVABLES 582 641
- Impuestos sobre ganancias (IR) (20%) 116.4 128.2
+ Valores salvamento gravables ------ 50
- Impuestos venta de activos ------ 10
+ Ingresos no gravables ------ 250
- Costos de operación no deducibles ------ ------
+ Valor libros activos vendidos (ing. no gravable) ------ 40
= GANANCIAS NETAS 465.6 842.8
+ Depreciación y amortización intangibles 100 100
+ Valor salvamento activos no vendidos ------ 120
- Costos de inversión 1,180 ------ -------
- Inversiones financieras ------ ------ -------
+ Ingresos por emisiones de Bonos, Acciones ------ ------ -------
- Dividendos pagados ------ ------ -------
+ Préstamos recibidos, créditos 590 ------ -------
- Amortización de préstamos y créditos recibidos 295 295
= FLUJO DE FONDOS NETOS (INVERSIONISTA) - 590 369.6 767.8
c. Métodos para evaluar inversiones
Uno de los problemas fundamentales, en la programación de inversiones es, la determinación
de la rentabilidad de los proyectos de inversión. Esto es importante ya que si disponemos de un
criterio o medida de rendimiento, estaremos en capacidad de decidir cuales convienen aceptar
y cuales se deben rechazar.
Los criterios o métodos que se utilizan para medir la rentabilidad de los proyectos de inversión
se clasifican en dos grupos importantes y cuya diferencia radica en que:
El primer grupo, reconoce que el momento en el tiempo en que entran y salen recursos (flujos
de fondos) es de importancia para la evaluación. Se incluyen los métodos que utilizan los
procedimientos de actualización o descuento y que por lo tanto toman en cuenta la cronología
de los flujos de fondos, es decir, le conceden al dinero importancia en función del tiempo. En
este grupo se incluyen los siguientes métodos: Valor Actual neto (VAN), Tasa Interna de
Retorno (TIR), Relación Beneficio Costo (RBC) y Costo Anual equivalente (CAE). Estos
métodos dependen de dos variables: la tasa de actualización y el tiempo.
El segundo grupo, no toma en cuenta el impacto del tiempo sobre el flujo de fondos. En este
grupo tenemos los métodos de Periodo de Recuperación de la Inversión (PRI), el cual se refiere
al número de años necesarios para recuperar el capital invertido y el método de la Rentabilidad
Contable (RC), que utiliza una metodología y terminología meramente contable y consiste en
relacionar la utilidad neta anual promedio con la inversión promedio. Estos métodos no los
analizaremos.
Además de la clasificación anterior, los métodos de evaluación financiera de proyectos se
pueden clasificar en Clásicos y Auxiliares de la siguiente manera:

245
1) Métodos clásicos
• Valor Actual Neto VAN
• Tasa Interna de Retorno TIR (TIR única)
• Tasa Única de Rendimiento TUR (TIR ajustada)
2) Métodos auxiliares
• Relación Beneficio Costo R:B/C (Índice de deseabilidad)
• Costo Anual Equivalente CAE (Costo Uniforme Equivalente)
• Período de Recuperación de Inversión PRI
• Rentabilidad Contable RC
En la evaluación financiera de los proyectos de inversión se utilizan con mucha frecuencia los
métodos clasificados en el primer grupo por tomar en cuenta la tasa de descuento (TREMA) y
el tiempo, es decir; facilita valorar el dinero a través del descuento intertemporal del flujo de
fondos de los proyectos.
4. Valor actual neto: VAN
Este método se basa en el descuento del flujo de fondos y considera la importancia de dichos
flujos en función del tiempo. Consiste en encontrar la diferencia entre el valor actualizado de las
inversiones. Su valor depende de la tasa de interés que se use para calcularlo. La tasa que se
utiliza para actualizar o descontar los flujos es la rentabilidad mínima aceptable TREMA del
inversionista.
En general, el Valor Actual Neto (VAN) lo podemos calcular de la siguiente forma:
Se determinan los beneficios netos anuales de cada uno de los años de la vida útil del proyecto,
restando los costos de los beneficios:
BNn= Bn-Cn (Fórmula 29)
donde:
BNn: Beneficio neto en el año n
Bn: Beneficio o ingreso bruto en el año n
Cn: Costo o egreso en el año n
n: 1,2,3,...,N (Años de la vida útil)
N: Ultimo año de la vida útil del proyecto
K: Tasa de descuento: (k=TREMA)
Luego, cada uno de estos beneficios netos se convierte a su equivalencia en el año de referencia:
VAN(k)=BN0+BN1 /(1+K)+BN2 /(1+K)2
+BN3 /(1+k)3
+...+...+BNN /(1+k)N
o lo que es lo mismo: ( )
( )
)
30
(Fórmula
N
0
n
n
k
1
n
BN
k
VAN ∑
= +
=
Un proyecto que presenta un flujo de fondos positivos después del periodo cero, el valor actual
neto se calcula a través de la fórmula 30 considerando la inversión inicial I0 como un beneficio
negativo de la siguiente forma. (ver gráfico 7).

246
BN-1
I0
Gráfico 7
BN
B1 B2 B3 B4
BN-1
I0
Gráfico 7
BN
B1 B2 B3 B4
BN-1
I0
Gráfico 7
BN
B1 B2 B3 B4
( )
( )
)
31
(Fórmula
N
1
n
n
k
1
n
BN
I
k
VAN 0 ∑
= +
+
−
=
Debemos observar que el (VAN) así calculado traduce todo costo y todo beneficio a su valor
equivalente en el año cero “0”. Si el evaluador ha seleccionado otro año como base (o año de
referencia), tendrá que ajustar la fórmula 31 en la forma correspondiente. Señalamos también, que
para el cálculo del VAN, además de aplicar las fórmulas 30 y 31 se pueden aplicar las fórmulas
referentes a anualidades, según sea la definición del flujo de fondos financieros.
Criterio del método VAN para la toma de decisiones
El método del VAN nos conduce a la toma de decisiones sobre invertir o no en el proyecto. El
criterio para la toma de decisiones es el siguiente:
a. Si el VAN es mayor que cero (VAN > 0), el proyecto es atractivo y debe ser aceptado.
b. Si el VAN es igual a cero (VAN = 0) la inversión es indiferente. En este caso el proyecto de
inversión genera un interés exactamente igual a la k (Tasa de Actualización); además, esta tasa
coincide con la TIR (Tasa Interna de Retorno).
c. Si el VAN es menor que cero (VAN < 0) el proyecto no vale la pena ya que hay alternativas de
inversión que arrojan mayor beneficio; (éstas son las que se reflejan en el costo de oportunidad
del dinero).
Por ejemplo, si el VAN (15%) = 0 a una k = TREMA = 15%, el capital invertido en el proyecto gana
un 15% de interés por período, donde TREMA = TIR. Otra forma de expresar estos criterios de
aceptación, es decir que el proyecto de inversión se aceptará si el (VAN) de los ingresos es mayor
que el (VAN) de los egresos, o sea: VANB > VANC
48 48
40
38
0 1 2 3 4 años
Gráfico 8
100
48 48
40
38
0 1 2 3 4 años
Gráfico 8
100

247
Ejemplo 11:
Si la tasa de rendimiento mínima aceptable (TREMA) es 22% y si consideramos un proyecto de
inversión inicial de $100,000 que presenta flujos de fondos netos positivos de $48,000 en el año
1, $40,000 en el año 2, $38,000 en el año 3 y $48,000 en el año 4. (ver gráfico 8, cifras en
miles).
Solución: La estructura del flujo de fondos es de un proyecto convencional. Así aplicando la
fórmula 31, tenemos el VAN.
VAN(22%)=-100+48/(1+0.22)+40/(1+0.22)2
+38/(1+0.22)3
+48/(1+0.22)4
VAN(22%)=-100,000+39,344+26,874+20.926+21,667
VAN(22%)=-100,000+108.811=$8.811
Observamos que el proyecto de inversión tiene un VAN positivo (VAN=$8.811>0), y por
consiguiente el proyecto debe aceptarse. El VAN es considerado como un método excelente para
medir la efectividad financiera y determina el mérito del proyecto, puesto que él representa en
valores actuales el total de los recursos que se quedan en manos del inversionista al final de toda
su vida útil. Además, supone que los beneficios netos generados y liberados por el proyecto, serán
reinvertidos a la tasa de Interés de oportunidad o TREMA. En otras palabras, el VAN representa el
retorno líquido actualizado generado por el proyecto.
El VAN no es tomado de una manera general como criterio básico para la determinación del mérito
del proyecto, debido a la dificultad en determinar el valor exacto de la tasa de descuento a ser
aplicada para la actualización. El VAN supone la reinversión de los retornos, a la tasa de
descuento (TREMA) que es la tasa de rendimiento mínimo aceptable por la empresa.
5. Tasa interna de retorno: (TIR)
Cuando se pide prestado dinero, la tasa de interés se aplica al saldo insoluto de tal manera que el
monto total del crédito y los intereses quedan cancelados exactamente con el último pago. Si
alguien presta dinero para un proyecto o invierte en él, existe un saldo no recuperado en cada
período de tiempo. La tasa de interés es el retorno sobre este saldo no recuperado de tal manera
que el crédito total y los intereses se recuperan exactamente con el último pago. La tasa interna de
retorno define ambas situaciones.
La TIR que la denominaremos j es la tasa de interés pagada sobre saldos insolutos de dinero
tomado en préstamo o la tasa de interés ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión
(préstamo), lo cual ocasiona que el pago o ingreso final, lleva el saldo a cero, considerado el
interés.
Por otro lado, la tasa interna de retorno TIR es la tasa de actualización que permite que el valor
actual neto VAN del proyecto de inversión sea igual a cero o lo que equivale a decir, que iguala el
valor actual de los flujos de egresos al valor actual de los flujos de ingresos. El cálculo de la TIR
puede ser un proceso complicado si la vida útil del proyecto es mayor que dos años, ya que la
solución se encuentra despejando tasa k de la fórmula 30 del VAN, cuando esta ecuación se
iguala a cero, es decir:
( )
( )
32)
(Fórmula
0
N
0
n
n
k
1
n
BN
k
VAN =
∑
= +
=
En la ecuación anterior al resolver para k resulta: k = j = TIR

248
La ecuación llega a ser un polinomio de grado N y la TIR es una de las raíces positivas del
polinomio.
Cuando N>2, el polinomio se vuelve difícil de solucionar y se puede buscar la solución en forma
manual a través de un proceso de aproximación, o de prueba error, mediante interpolaciones o
extrapolaciones lineales. Se busca una tasa de interés para la cual el VAN es positivo; se busca
otra para la cual el VAN es negativo.
La TIR aproximada está situada entre las dos tasas. El valor de k, que soluciona la fórmula 32, nos
lleva a determinar cual es la tasa de descuento que debemos utilizar para actualizar el flujo de
fondo del proyecto, y poder igualar el valor de todos los egresos del proyecto con todos los
ingresos del mismo.
70
50 50
0 1 2 3 años
TIR = 29.94%
100
Gráfico 9
70
50 50
0 1 2 3 años
TIR = 29.94%
100
Gráfico 9
En general la ecuación de la fórmula 32, posee múltiples
soluciones, sin embargo en la práctica dicha ecuación posee
solución única, si se trata de proyectos clasificados como
convencionales, en los cuales los egresos netos anuales se
dan en los primeros años del proyecto y luego se producen
los ingresos, manteniéndose así durante el resto de la vida
útil del proyecto. (ver gráfico 9).
También los proyectos, en los cuales los ingresos netos se presentan inicialmente y luego siguen
los egresos. En estos casos no se presenta dificultad en el cálculo de la TIR. (Ver gráficos 10).
Puede darse el caso para proyectos donde todos los flujos son positivos, o bien negativos. En
estos casos la TIR no existe, ya que resulta imposible que el VAN sea igual a cero.
En los proyectos donde hay más de un cambio de signo de los flujos netos anuales (se cambian de
negativos a positivos, y nuevamente se hacen negativos, positivos o viceversa). En estos casos se
presenta la posibilidad de ninguna o múltiples TIRES y entonces se dice que la ecuación de la
fórmula 32 no presenta ninguna raíz real.
100
0 1 2 3
TIR = 23.37%
50 50 50
Gráfico 10
100
0 1 2 3
TIR = 23.37%
50 50 50
Gráfico 10
Existen nociones de rentabilidad que debemos tener muy claras para evitar caer en
equivocaciones al evaluar la TIR. La tasa interna de rentabilidad o de retorno TIR es una
característica propia del proyecto, totalmente independiente de la situación del inversionista, es
decir de la tasa de interés de oportunidad. Para los casos en los cuales no hay claridad sobre el

249
valor de la tasa de oportunidad, el cálculo de la TIR facilita el análisis, ya que únicamente es
necesario determinar si la tasa relevante es mayor o menor que el valor de la TIR. No hay
necesidad de identificar un valor preciso de la tasa de interés; sencillamente se identifica el rango
de esta tasa.
a. Cálculo de la TIR
Para el cálculo de la TIR aproximada, seguiremos un proceso iterativo (prueba y error) y
aplicaremos la fórmula de interpolación. Para ello, consideremos los pasos siguientes:
1) Seleccionamos una tasa de interés i1, que proporcione un valor actual neto mayor que cero,
que denominamos: VAN1 >0.
2) Seleccionamos una tasa de interés i2, que proporcione un valor actual neto menor que cero,
que denominamos: VAN2< 0.
3) Encontrados el VAN1 y el VAN2 aplicamos cualquiera de las fórmulas de interpolación
siguientes:
( )( ) 33)
(Fórmula
2
VAN
1
VAN
1
VAN
1
i
2
i
1
i
TIR
+
−
+
=
o bien la fórmula alternativa
)
4
3
(Fórmula
1
VAN
2
VAN
1
i
2
i
2
VAN
2
i
TIR










−
−
−
=
Ejemplo 12:
Supondremos el siguiente diagrama de flujos netos anuales de un proyecto. Para la determinar
la TIR seguiremos los pasos siguientes:
a. Primeramente asumimos una tasa de actualización en forma arbitraria, por ejemplo i1 = 22%
y procedemos a actualizar los flujos de fondo, (ver gráfico 11) así:
7 0
6 0
4 0
0 1 2 3 4 a ñ o s
G rá fic o 1 1
1 3 5
5 0
7 0
6 0
4 0
0 1 2 3 4 a ñ o s
G rá fic o 1 1
1 3 5
5 0
Calculemos el VAN1 (22%), por la fórmula 31 tenemos:
VAN1 (22%)=-135+60/(1+0.22)+50/(1+0.22)2
+40/(1+0.22)3
+70/(1+0.22)4
VAN1 (22%)=-135,000+49,180+40,983+22,028+31,598
VAN1 (22%)=-100,000+143,789=$8,789

250
b. Si la tasa del 22% proporciona un VAN1 mayor igual a cero, entonces la TIR sería 22% pero
como podemos observar el VAN1 obtenido es mayor que cero, por tanto, la TIR será,
necesariamente mayor que el 22%.
Para buscar un VAN2 negativo, consideramos la tasa i2 = 30% y procedamos a actualizar
dichos flujos. Calculemos el VAN2 (30%), esto es:
VAN2 (30%)=-135+60/(1+0.30)+50/(1+0.30)2
+40/(1+0.30)3
+70/(1+0.30)4
VAN2 (30%)=-135,000+46,154+38,461+18,206+24,509
VAN2 (30%)=-100,000+127,330=- $7,670
c. Dado que el VAN2 encontrado es negativo la TIR se localiza entre el intervalo (22% - 30%).
Una vez que hemos obtenido los datos anteriores procedemos a aplicar la fórmula (34). Por
tanto:
( ) mente
aproximada
26.27%
8,789
7,670
0.22
0.30
7,670
0.30
TIR =










−
−
−
−
−
=
Este resultado lo podemos representar gráficamente. Observemos gráfico 12:
VAN1=8,789
TIR
VAN=0 0 22% 26.27% 30%
VAN2=-7,670
Gráfico 12
i
+
-
VAN1=8,789
TIR
VAN=0 0 22% 26.27% 30%
VAN2=-7,670
Gráfico 12
i
+
-
b. Criterio de la TIR para la toma de decisiones
Un criterio para la toma de decisiones a través de la TIR, es decir para aceptar o rechazar la
inversión, siempre que el proyecto sea convencional; o sea, mientras consista de unos flujos
negativos iniciales seguidos únicamente por flujos positivos.
1) Si la TIR > TREMA, el proyecto es atractivo, se acepta y el VAN del proyecto es mayor que
cero.
2) Si la TIR < TREMA, el proyecto no es atractivo, se rechaza y el VAN del proyecto es menor
que cero.
3) Si la TIR = TREMA, el proyecto es indiferente realizarlo y el VAN del proyecto es igual a cero
c. Ventajas y limitaciones de la TIR
La tasa interna de retorno es una medida fundamental en la determinación del mérito del
proyecto y esto es debido a las siguientes ventajas:

251
1) La TIR no refleja la dificultad de los otros criterios de actualización los cuales exigen
opiniones acerca de las variables externas del proyecto, tal es el caso de las tasas de
actualización.
2) La TIR brinda una información más fácil de comprender en términos relativos; al evaluador le
resulta más fácil hablar de una TIR del 25% que de un VAN de $8,000. Cabe mencionar que
la TIR presenta algunos inconvenientes que, como el VAN, no le permiten ser el criterio
absoluto en la selección y clasificación de los proyectos de inversión.
3) En el caso de proyectos de inversión que reflejen diferencias considerables entre los valores
de las inversiones se pueden dar contradicciones entre los métodos del VAN y TIR (ver
gráfico 13). Esto ocurre porque un pequeño proyecto (baja inversión) puede originar una alta
tasa interna de retorno y a la vez mostrar un bajo valor actual neto.
A lte rn a tiv a 1 A lte rn a tiva 2
8 ,0 0 0
0 1 2 3 a ñ o s 0 1 2 3 a ñ o s
T R E M A = 8 %
V A N (8 % )= $ 6 6 3
V A N (8 % )= $ 5 0 9
T IR = 1 1 .2 2 %
G rá fico 1 3
3 ,0 0 0 3 ,0 0 0
6 ,0 0 0
5 ,0 0 0 5 ,0 0 0
T R E M A = 8 %
T IR = 1 0 :6 5 %
1 5 ,0 0 0 1 0 ,0 0 0
A lte rn a tiv a 1 A lte rn a tiva 2
8 ,0 0 0
0 1 2 3 a ñ o s 0 1 2 3 a ñ o s
T R E M A = 8 %
V A N (8 % )= $ 6 6 3
V A N (8 % )= $ 5 0 9
T IR = 1 1 .2 2 %
G rá fico 1 3
3 ,0 0 0 3 ,0 0 0
6 ,0 0 0
5 ,0 0 0 5 ,0 0 0
T R E M A = 8 %
T IR = 1 0 :6 5 %
1 5 ,0 0 0 1 0 ,0 0 0
La decisión de aceptar un proyecto de inversión analizado por el método del VAN será la misma
si la analizamos por el método de la TIR, pero como podemos observar en la gráfico 13, existen
casos en que ambos métodos entran en contradicción dado las diferencias significativas en los
flujos del proyecto. Así, la alternativa 1 es más conveniente que la alternativa 2 por el método
del VAN, pero la alternativa 2 es más favorable que la alternativa 1 por el método de la TIR. En
este caso la mejor alternativa se selecciona por el resultado del VAN, ya que nadie garantiza
que las reinversiones de los recursos liberados y los no utilizados, sean a la TIR sino mas bien
a la TREMA o tasa de oportunidad.
Ejemplo 13:
Si suponemos que dos proyectos A y B, dan origen a las siguientes curvas al graficar las
correspondientes relaciones entre el VAN y la TIR:
VAN de B
TIR de B
VAN de A
VAN=0
0 j1 j2 i
Curva del proyecto A
Curva del proyecto B
Gráfico 14
+
-
TIR de A
VAN de B
TIR de B
VAN de A
VAN=0
0 j1 j2 i
Curva del proyecto A
Curva del proyecto B
Gráfico 14
+
-
TIR de A
Comparación del VAN y la TIR como criterios de decisión.

252
De acuerdo al gráfico 14, la TIR de A (j1) es mayor que la TIR de B, (j2), pero el VAN de B, es
mayor que el VAN de A.
Anteriormente, la fórmula 32 que facilita encontrar la TIR puede contener en ciertos casos
soluciones múltiples (TIRES MULTIPES) que no nos permiten seleccionar los proyectos de
inversión. Esto sucede cuando el proyecto no es convencional y el perfil de flujos netos de la
inversión se comporta como en el gráfico 15 y no como en el gráfico 12, analizado
anteriormente.
TIR1
años
G ráfico 15
TIR2
TIR3
TIR4
TIR5
TIR1
años
G ráfico 15
TIR2
TIR3
TIR4
TIR5
6. Tasa interna de retorno ajustada: TIRA
Con el fin de resolver los problemas inherentes en el uso de la TIR en la selección de proyectos de
inversión, se ha definido la TIR Ajustada, TIRA que también se le conoce como Tasa Única de
Retorno, TUR. Concretamente el ajuste de la TIR busca resolver los problemas de inexistencia o
existencia múltiple de TIR y reinversión de los flujos de excedentes a la tasa de interés interna del
proyecto y no a la tasa de interés de oportunidad.
Con la TIR Ajustada, se garantizará la existencia de una sola tasa, independientemente de la
estructura de los flujos. Además, se elimina el supuesto de que todos los recursos excedentes se
reinvierten a la misma TIR y se introduce la reinversión a la tasa de interés de oportunidad o
TREMA
a. Calculo de la TIRA
La TIRA la calculamos a través de la conversión del perfil de flujos netos del proyecto en un flujo
simplificado de la siguiente forma: (ver gráfico 16).
a. Calculemos el valor futuro equivalente F de los ingresos (beneficios) del proyectos a su
último año N con la TREMA o tasa iop.
b. Calculemos el valor presente equivalente P de los egresos (costos) del proyecto con la iop.
c. La TIRA es aquella tasa que expresa una relación entre los valores F, P y el plazo o años N
del proyecto; para denominar el criterio establecemos:
( ) )
35
(Fórmula
N
TIRA
1
P
F +
=
Así, la TIRA resulta ser el valor positivo de la N-ésima raíz de la razón entre F y P, es decir:
)
36
a
(Fórmul
1
-
N
1
P
F
TIRA 





=

253
F: V alor F uturo
in gresos
0 1 2 3 4 ... N -1 N
P : V alor P resente
costos
G ráfico 16
F: V alor F uturo
in gresos
0 1 2 3 4 ... N -1 N
P : V alor P resente
costos
G ráfico 16
b. Criterio de la TIRA o TIR Ajustada para la toma de decisiones
La TIRA nos puede ayudar a determinar la rentabilidad de un proyecto y el criterio es el
siguiente:
1) Si la TIRA > TREMA, el proyecto es atractivo, ya que sus ingresos reponen los costos y
generan recursos adicionales a los que se obtendrían en el uso alternativo.
2) Si la TIRA < TREMA, el proyecto no es atractivo, ya que hay alternativas de inversión que
generan mayor beneficio.
3) Si la TIRA = TREMA, el proyecto es indiferente realizarlo.
Ejemplo 14:
Consideremos el siguiente caso para lo cual no fue posible encontrar una TIR, dadas las
características del flujo del proyecto, donde la tasa mínima de rendimiento del inversionista que
estudia el proyecto es del 10% anual. Ver gráfico 17.
150
Para este flujo de fondos la TIR no existe
0 1 2 años
Gráficos 17
200
100
150
Para este flujo de fondos la TIR no existe
0 1 2 años
Gráficos 17
200
100
Simplificando el flujo del proyecto de acuerdo al procedimiento, obtenemos: (ver gráfico 18)

254
F=271
0 1 2 años
P=181.81
Gráfico 18
F=271
0 1 2 años
P=181.81
Gráfico 18
22%
1
-
2
1
181.81
271
1
-
N
1
P
F
TIRA =






=






=
En este caso, la TIR Ajustada o TIRA es mayor que la TREMA. Esto quiere decir que la
rentabilidad del proyecto, asumiendo reinversiones de los recursos excedentes a la TREMA, es
mayor que el rendimiento de las alternativas de inversión que rinden un 10%. Si la TIRA fuera
igual a la tasa de rendimiento mínima aceptable, TREMA realizar el proyecto sería equivalente a
seleccionar las alternativas financieras y, por tanto, se asumiría una actitud de indiferencia
frente al proyecto.
7. Relación beneficio costo: RBC
Otro indicador de la rentabilidad de un proyecto de inversión es la Relación Beneficio-Costo RBC,
también llamado Índice de Deseabilidad ID. Este indicador se apoya en el Método del Valor Actual
Neto VAN y su utilización es muy frecuente en estudios de proyectos de carácter público.
a. Metodología para el cálculo de RBC
1) Determinemos el Valor Actual Neto de los Beneficios (Ingresos) VAN(B), con la TREMA o
tasa de rendimiento mínima aceptable.
2) Determinemos el Valor Actual Neto de los Costos VAN(C), a la tasa de rendimiento mínima
aceptable de los egresos del proyecto de inversión.
3) Establezcamos una relación entre el VAN(B) de los beneficios y el VAN(C) de los costos, al
dividir la primera cantidad por la segunda. El resultado de esta división es la Relación
Beneficio-Costo. Es decir:
)
37
(Fórmula
VAN(C)
VAN(B)
RBC =
Debemos observar que la RBC o ID (Índice de Deseabilidad) prácticamente es una función de
la tasa de interés TREMA que se emplea para el cálculo del VAN de los ingresos y egresos, de
tal forma que al calcular este indicador con propósitos decisorios, es necesario utilizar la
rentabilidad mínima aceptable.
b. Criterio de la RBC para la toma de decisiones
El criterio para toma de decisiones con base en la RBC es el siguiente:
1) Si la RBC >1, se acepta el proyecto, ya que el VAN(B) de los ingresos es mayor que el
VAN(C) de los costos.

255
2) Si la RBC < 1, se rechaza el proyecto, ya que el VAN(B) de los ingresos es menor que el
VAN(C) de los costos.
3) Si la RBC = 1, es indiferencia realizar o rechazar el proyecto. Los beneficios netos a penas
compensan el costo de oportunidad del dinero, o sea, la ganancia neta del proyecto es igual
a la ganancia de inversiones alternativas.
De los anterior deducimos:
1) Cuando el valor de la RBC es mayor a la unidad; significa que el VAN de todo el proyecto de
inversión es positivo y por lo tanto el proyecto es atractivo. Además significa que por cada
unidad invertida se recupera ése valor.
2) Cuando el valor de la RBC es menor que la unidad, tenemos un proyecto en el cual el
VAN(B) de los ingresos es menor que el VAN(C) de los egresos, lo cual refleja que el VAN
de todo el proyecto es negativo, es decir que el proyecto no es atractivo.
3) Cuando la RBC es igual a la unidad, el VAN(B) de los ingresos es igual al VAN(C) de los
egresos y cuando esto ocurre, el VAN de todo el proyecto es igual a cero. En tales
circunstancias el proyecto es indiferente y la tasa de interés TREMA utilizada en los cálculos
es la tasa interna de retorno del proyecto.
La RBC se utiliza especialmente en proyectos relacionados con obras públicas o con
inversiones financiadas por organismos internacionales tales como el BID o el Banco Mundial
(BIRF). Estas entidades por lo general establecen el uso de este indicador como resultado de la
práctica prevaleciente en las agencias gubernamentales de los Estados Unidos que exigen, por
ley, una comparación explícita de los beneficios y de los costos.
Por otra parte, la RBC también es útil para adelantar la evaluación económico-social del
proyecto, ya que este enfoque requiere que se hagan explícito los beneficios y los costos para
poder afectarlos con los factores de ajuste.
Ejemplo 15:
El gobierno está interesado en un proyecto de adecuación de tierras para cultivos, los cuales
requieren de la siguiente inversión:
En el primer año $ 50,000 año cero
En el segundo año $100,000 año 1
En el tercer año $100,000 año 2
Se proyecta que durante 15 años más, se deben invertir $20,000 anuales para mantenimiento.
Se estima que con este proyecto se recuperarán 100 hectáreas, cada una de las cuales pueden
producir ingresos netos de $1,000 en productos agrícolas por 15 años a partir del término del
año 3. Los ingresos son después deducir los costos de fertilizantes, equipos, fungicidas etc.
$100,000: Ingresos Anuales
0 1 2 3 4 5 6 . . . 16 17 años
$20,000: Costos Anuales de Mantenimiento
$50,000
$100,000
Gráfico 19
$100,000: Ingresos Anuales
0 1 2 3 4 5 6 . . . 16 17 años
$20,000: Costos Anuales de Mantenimiento
$50,000
$100,000
Gráfico 19

256
El costo de mano de obra no se tiene en cuenta, ya que el gobierno le ha asignado un valor de
oportunidad de cero. ¿Cuál es la relación Beneficio-Costo de este proyecto, si el gobierno utiliza
una TREMA del 10% anual? (ver gráfico 19).
Solución:
1) El cálculo del VAN(10%) B=VAN(10%) Beneficios: En este caso, hacemos uso de las
fórmulas de valor presente de una Anualidad Diferida Vencida, es decir:
( ) ( ) 4
$629,39
2
0.10
1
0.10
2
17
0.10
1
1
100,000
B
VAN(10%) =
−
+







 +
−
+
−
=
2) El cálculo del VAN(10%) C=VAN(10%) Costos: Aquí utilizamos una combinación de valor
presente a Interés Compuesto pago único y valor presente Anualidad Diferida Vencida. Así:
( ) ( ) ( ) 4
$349,26
2
1.10
0.10
15
1.10
1
20,000
0.10
2
.10
1
1
100,000
50,000
C
VAN(10%) =
−







 −
−
+







 −
−
+
=
Por lo tanto, de los resultados obtenidos en (1) y (2), tenemos que:
1
1.8020
349,264
629,394
C
VAN(10%)
B
VAN(10%)
RBC(10%) >
=
=
=
Este resultado indica que el proyecto de adecuación de tierras es atractivo, ya que el valor de
RBC obtenido es mayor que la unidad.
Se debe tener en cuenta que el valor de la RBC depende de la forma como se definen los
costos y beneficios. En ciertas aplicaciones (como las del gobierno de los Estados Unidos, por
ejemplo) se calcula la relación como el cociente del valor presente de los flujos netos positivos
(ingresos netos) y el valor de los flujos netos negativos (costos netos). Para el ejemplo que
acabamos de analizar, entonces, se definiría el flujo en la siguiente forma: (ver gráfico 20).
$80,000: Ingresos Netos Anuales
0 1 2 3 4 5 6 . . . 16 17 años
$50,000
Gráfico 20
$100,000
$80,000: Ingresos Netos Anuales
0 1 2 3 4 5 6 . . . 16 17 años
$50,000
Gráfico 20
$100,000
Realizando los cálculos de forma análoga obtenemos:
1) El cálculo del VAN(10%) B=VAN(10%) Beneficios: Nuevamente hacemos uso de las
fórmulas de valor presente de una Anualidad Diferida Vencida, es decir:
( ) ( ) 26
.
881
,
502
$
2
10
.
0
1
10
.
0
2
17
10
.
0
1
1
000
,
80
B
VAN(10%) =
−
+







 +
−
+
−
=
2) El cálculo del VAN(10%) C=VAN(10%) Costos

257
( ) 72
.
553
,
223
$
10
.
0
2
10
.
1
1
000
,
100
000
,
50
C
VAN(10%) =







 −
−
+
=
Por tanto, de acuerdo a los resultados obtenidos en (1) y (2), tenemos:
1
2.25
223,553.72
502,881.26
C
VAN(10%)
B
VAN(10%)
RBC(10%) >
=
=
=
Observamos que el proyecto sigue mostrando una relación beneficio-costo atractiva. Sin
embargo, su valor es diferente por haber modificado la definición de VAN(B) y VAN(C).
No hay ningún criterio teórico ni conceptual que nos indique que una de las definiciones de
VAN(B) y VAN(C) sea mejor que la otra. Para el analista evaluador individual, lo importante es
tener cuidado en ser consistente en la forma como se define la relación, es decir, seleccionar
una de las formas.
Ejemplo 16:
El flujo de fondos netos del inversionista proyecto sin financiamiento, presentado en la tabla 12
se muestra en el gráfico 21. Con una TREMA del 25% determinaremos:
1) El valor actual neto: VAN
2) La tasa interna de retorno: TIR
3) La relación beneficio costo: RBC
1,110
660
0 1 2 años
1,180
Gráfico 21
1,110
660
0 1 2 años
1,180
Gráfico 21
Solución:
1) El cálculo del VAN(25%) lo efectuamos por la fórmula 31 de la siguiente forma:
( ) ( )2
0.25
1
1,110
0.25
1
660
1,180
-
(25%)
VAN
+
+
+
+
=
VAN (25%)= -1,180+528+710.40=58.40>0 (resultado positivo)
2) Para el cálculo de la TIR, utilizaremos como tasa i1=25% entonces, VAN1 (25%)=58.40>0.
Seleccionamos la tasa i2=35% y obtenemos un VAN2 negativo,
( ) ( )2
0.35
1
1,110
0.35
1
660
1,180
-
(35%)
VAN 1
+
+
+
+
=
VAN2 (35%)=-1,180+488.89+609=-82<0
Por la fórmula 33 de interpolación la TIR es:
( ) ( ) 25%
del
TREMA
29%
82
58.40
58.40
0.25
0.35
0.25
TIR >
=
+
−
+
=
3) La relación beneficio costo RBC es:

258
1
1.050
1,180
1,238.40
C
VAN(25%)
B
VAN(25%)
RBC(25%) >
=
=
=
En el resultado de la RBC podemos interpretar lo siguiente: por cada unidad monetaria invertida
hoy a la tasa TREMA, la ganancia es de 5 centavos.
Podemos observar entonces que los tres indicadores anteriormente calculados satisfacen el
criterio de rentabilidad del proyecto sin financiamiento.
Ejemplo 17:
En la tabla 13, presentamos el flujo de fondos netos del inversionista del proyecto con
financiamiento del 50% de la inversión inicial. Este flujo se muestra en el gráfico 22. Con una
TREMA del 25% determinaremos:
1) El valor actual neto: VAN
2) La tasa interna de retorno: TIR
3) La relación beneficio costo: RBC
767.8
369.6
0 1 2 años
590
Gráfico 22
767.8
369.6
0 1 2 años
590
Gráfico 22
Solución:
1) El cálculo del VAN(25%) es:
( ) ( )2
0.25
1
767.8
0.25
1
369.6
590
-
(25%)
VAN
+
+
+
+
=
VAN (25%)= -590+295.68+491.39=197>0 (resultado positivo)
2) Para el cálculo de la TIR, seleccionamos una tasa i1 =40% entonces,
( ) ( )2
0.40
1
767.8
0.40
1
369.6
590
-
(40%)
VAN 1
+
+
+
+
=
VAN1 (40%)= -590+264+391.73=65.73>0
Nuevamente seleccionamos una tasa i2=60% y obtenemos un VAN negativo,
( ) ( )2
0.60
1
767.8
0.60
1
369.6
590
-
(60%)
VAN2
+
+
+
+
=
VAN2 (60%)= -590+231+299.92= -59<0
Análogamente por la fórmula 33 de interpolamos la TIR es:

259
( ) ( ) 25%
del
TREMA
50%
59
65.73
65.73
0.40
0.60
0.40
TIR >
=
+
−
+
=
3) La relación beneficio costo RBC se calcula teniendo en cuenta el VAN(25%) de los
beneficios que es la suma de: $295.68+$491.39=$787.07 y el VAN(25%) de los costos que
son de $590 correspondiente a la inversión inicial. Por tanto;
1
1.33
590
787
C
VAN(25%)
B
VAN(25%)
RBC(25%) >
=
=
=
Los indicadores de rentabilidad nos demuestran, que el proyecto con financiamiento del 50%
es más rentable que sin financiamiento, como se observa en la tabla 14 donde establecemos
la comparación.
Tabla 14
Se acepta
1.33
1.05
RBC(25%)
Se acepta
50%
29%
TIR
Se acepta
$197
$58.40
VAN (25%)
Resultado
Con financiamiento
Sin financiamiento
Indicadores
Se acepta
1.33
1.05
RBC(25%)
Se acepta
50%
29%
TIR
Se acepta
$197
$58.40
VAN (25%)
Resultado
Con financiamiento
Sin financiamiento
Indicadores
1. Un proyecto requiere de una inversión inicial de $100,000 para su instalación. Sus gastos de
operación y mantenimiento son del orden de $20,000 para el primer año y se espera que estos
costos crezcan en el futuro a una razón del 10% anual. La vida económica estimada del proyecto es
de 8 años al final de los cuales su valor de rescate se estima en $ 40,000 después de impuestos. Los
ingresos que genera son de $50,000 el primer año y se espera que éstos aumenten a una razón
constante de $10,000 por año. Si la tasa mínima de rendimiento de los inversionistas es de 25%
anual y la tasa impositiva es de 30%. Determino los indicadores de rentabilidad e indico mis
comentarios: VAN, TIR y RBC.
2. La compañía INTERCASA tiene un paquete de proyectos de inversión y para que sean ejecutados
se necesita realizar un análisis financiero. Cada proyecto está diseñado para un horizonte de 8 años
y tasas de interés de oportunidad distintas debido a la actividad específica a los cuales están
destinados. Los flujos de fondos netos por año se presentan en la siguiente tabla. Determinar para
cada proyecto:
a. VAN b. TIR o TIR Ajustada c. RBC
A : 20%
B : 18%
C : 15%
D : 18%
E : 17%
F : 15%
G :16%
H : 22%
Proyecto/Año
(500)
(450)
(560)
(230)
(620)
(300)
(1300)
(800)
I0 ...0
140
---
120
50
---
300
300
---
1
140
---
120
60
180
(120)
300
175
2
140
205
120
70
185
135
300
(275)
3
140
205
120
80
190
---
280
375
4
150
225
170
80
240
400
270
580
140
205
150
50
210
150
280
200
140
205
150
60
205
(80)
280
(165)
140
205
150
70
200
150
280
400
8
7
6
5
A : 20%
B : 18%
C : 15%
D : 18%
E : 17%
F : 15%
G :16%
H : 22%
Proyecto/Año
(500)
(450)
(560)
(230)
(620)
(300)
(1300)
(800)
I0 ...0
140
---
120
50
---
300
300
---
1
140
---
120
60
180
(120)
300
175
2
140
205
120
70
185
135
300
(275)
3
140
205
120
80
190
---
280
375
4
150
225
170
80
240
400
270
580
140
205
150
50
210
150
280
200
140
205
150
60
205
(80)
280
(165)
140
205
150
70
200
150
280
400
8
7
6
5
3. La inversión en el año cero de un proyecto es de $100,000. Los flujos netos del inversionista
(utilidades) son las siguientes: del año 1 al 4 $25,000 y del año 5 al 8, $30,000. El proyecto tiene una
vida útil de 8 años y al final de los cuales tendrá un valor de salvamento de $50,000. Si la tasa de
interés de oportunidad es del 18% anual, determino:
a. El VAN b. La TIR c. La RBC

260
4. Los ingresos brutos de un proyecto son de $120,000 anuales y los costos de operación son de
$75,000 desde el año 1 hasta el 5 y de $60,000 del año 6 hasta el 10. Los impuestos sobre
ganancias gravables son del 20%. La vida útil del proyecto es de 10 años y tiene un valor residual de
$80,000. La inversión inicial en el año cero es de $200,000 y la tasa de interés de oportunidad es del
15% anual. Determino:
a. El VAN b. TIR c. RBC
5. El proyecto de cultivo de piña en la zona de Ticuantepe tiene una inversión inicial del $25,000, los
ingresos netos son de $7,000 desde el año1 hasta el 5 y de $8,000 desde el año 6 hasta el 10. Si la
tasa de oportunidad es del 21%, determino y aplico el criterio de:
a. VAN b. TIR c. RBC
6. Un proyecto industrial trabaja con una tasa de interés del 25% y tiene el siguiente flujo de caja del
inversionista,
0
1
2
3
Año
(1,000)
(400 )
100
500
Flujo
4
5
6
7
Año
500
600
600
600
Flujo
8
9
10
10
Año
600
200
700
300
Flujo
0
1
2
3
Año
(1,000)
(400 )
100
500
Flujo
4
5
6
7
Año
500
600
600
600
Flujo
8
9
10
10
Año
600
200
700
300
Flujo
Calculo y aplico el criterio de:
7. En la región central del país, un organismo internacional promotor de la ecología y el medio
ambiente, está estudiando la posibilidad de desarrollar un proyecto agroforestal, que incluye un
programa reforestación del bosque y financiamiento a pequeños agricultores de la zona. El proyecto
contempla una inversión inicial de $70,000 y una reinversión adicional de $50,000 en el año 5 que
permitirá darle continuidad al proyecto por otros 5 años para un total de 10 años de vida útil, que al
final de los cuales el valor de salvamento se estima en $30,000. Los beneficios que se esperan
obtener serán de $25,000 el primer año con un aumento del 10% hasta el año 5. Durante los
próximos 5 años se espera que haya ingresos de $25,000 con aumentos de $5,000 por año hasta el
final de la vida útil. Los costos de operación serán de $8,000 anuales. Si la tasa de interés es de
20%, determino.
d. Comento desde el punto de vista del rendimiento financiero.
8. La Corporación "FINSA" está estudiando tres inversiones posibles que se caracterizan por los datos
incluidos en la tabla adjunta. Observo que las tres inversiones tienen la misma asignación inicial de
efectivo, la misma duración e iguales rendimientos monetarios; además los flujos de fondos son distintos
en las tres inversiones. Todas las cifras son dadas en miles de córdobas.
Proyectos
Inversión Inicial
Entradas de efectivos
Concepto
$400
$200
$200
$200
1
$400
$240
$200
$160
2
$400
$160
$200
$240
3
0
1
2
3
Años
Proyectos
Inversión Inicial
Concepto
$400
$200
$200
$200
1
$400
$240
$200
$160
2
$400
$160
$200
$240
3
0
1
2
3
Años
La corporación dispone de un capital limitado y no puede desarrollar las tres inversiones. ¿Qué
proyecto es el más rentable? Utilizo el 15% de rendimiento mínimo y calculo: VAN, TIR y RBC.
Selecciono el más rentable.
9. Una Sociedad Anónima aporta un capital de $500 (millones de dólares) para el desarrollo de un proyecto
de inversión maderera. Se estima que el proyecto genere ingresos netos anuales por el orden $170 por
6 años. La Sociedad está interesado en que personalmente le calcule y le oriente en los siguientes
aspectos: Calculo los indicadores de rentabilidad financiera.

261
10. Un inversionista de bienes raíces compra una propiedad en $6,000 y la vende 8 años más tarde por
$30,000. Los impuestos sobre la propiedad fueron de $80 el primer año, $90 el segundo y $10 más cada
año hasta que fue vendida. Determino la tasa interna de retorno de la inversión.
11. La familia Bel-Moreno compró una casa vieja por $25,000 con la idea de hacerle mejoras, alquilarla y
luego venderla. En el primer año, gastaron $5,000 en mejoras, en el segundo gastaron $1,500 en una
cerca y $1,200 en el tercero en decoración. Los impuestos anuales fueron de $500 durante los 7 años
que les perteneció. Del año 4 hasta el año 7 la alquilaron por $7,200 anuales, finalmente la vendieron en
$40,000. Determino la tasa de retorno que obtuvieron de la inversión durante los 7 años.
12. Si una compañía gasta $5,000 hoy y $800 anuales durante 7 años, con el primer desembolso en el año
4, ¿qué tasa de retorno recibirá la compañía, si los ingresos durante los 10 años fueron de $3,000 al
final del año 3, y $2,000 anuales de allí en adelante?
13. Una persona está decidiendo si comprar árboles de navidad artificiales o continuar cortando árboles. El
árbol artificial le cuesta $34.00 y puede utilizarlo durante 8 años después de lo cual se tira como basura.
La otra alternativa es continuar cortando árboles con un costo de $8.00 hoy, $9.00 el próximo año,
$10.00 en el siguiente, etc., y así durante esos mismos 8 años. ¿Si compra el árbol artificial, qué tasa de
retorno logra con la inversión?
14. Un inversionista compra 3 clases de acciones (identificadas como grupo A, B y C). El inversionista
compró 200 acciones de A a $13.00 cada una, 400 de B a $4.00 cada una y 100 de C a $ 18.00 cada
una. Los dividendos fueron de $ 0.50 por acción de A durante los 3 años, vendiéndose luego la acción
en $ 15.00. La acción B no produjo dividendos pero se vendió en $5.50, dos años después de su
compra. La acción C produjo dividendos de $2.10 por cada una durante 10 años, pero debido a una
depresión del mercado de valores su precio de venta fue de $12.00 la unidad. Determino:
a. La tasa interna de retorno sobre cada grupo de acciones.
b. La tasa interna de retorno sobre la inversión global de acciones.
15. La cooperativa San Jacinto está interesada en desarrollar un proyecto de cultivo de 20 manzanas de
“pitahaya rosa” en el Municipio de la Concepción de Masaya, que requiere de una inversión inicial de
$600 de los cuales $200 se obtienen a través de una fuente de financiamiento bancaria con interés de
20% sobre saldos y pagaderos en 5 cuotas proporcionales anuales. Los ingresos estimados por venta
de la producción anual serán de $500 y los costos operativos serán de $200. El proyecto tiene activos
fijos de $350 de los cuales $250 se depreciarán totalmente en línea recta en 5 años. Los otros activos de
$100 no se deprecian y tendrán un valor de salvamento de $120 después de impuesto al final del año 5.
Los estudios previos del proyecto fueron de $30 y la inversión en activos diferidos se programan en $50,
ambos se amortizarán a una tasa del 20% anual. El capital de trabajo es de $200 y servirá para la
adquisición de materias primas, insumos y labores agrícolas. La tasa impositiva es del 30% y la tasa de
interés de oportunidad se fija en 22%. Determino los indicadores de rentabilidad y realizo un análisis
financiero de los resultados para una vida económica de 5 años.
Al final de esta unidad encontraré las respuestas a esta actividad, en la página 276, con lo cual podré
comparar mis respuestas y corregirlas si no son las apropiadas.

262

263
Resumen final de la unidad autoformativa III
Una vez concluido el estudio de la Unidad autoformativa III no debe olvidar que para estar en
capacidad de aplicar los sistemas de amortización, los fondos y para poder evaluar inversiones
deberá:
1. Explicar los conceptos:
Amortización de deudas
Fondo de amortización
Cuota para la amortización y el fondo, su diferencia
Saldo insoluto y general
Saldo acumulado del fondo
Interés sobre saldos y flat
Proyecto de inversión privada y social
Vida económica de un proyecto
Depreciación de activos
2. Describir la clasificación de los sistemas de amortización de deudas
3. Construir la tabla de amortización de una deuda
4. Construir la tabla de capitalización de un fondo
5. Calcular el valor de la cuota para amortizar una deuda según el sistema de pago y los saldos
insolutos
6. Calcular el valor de la cuota para el fondo y los saldos acumulados
7. Conocer los elementos esenciales para la construcción del flujo de fondos de un proyecto de
inversión privada con y sin financiamiento
8. Calcular los indicadores de rentabilidad financiera
Valor Actual Neto
Tasa Interna de Retorno
Relación Beneficio Costo
9. Usar correctamente el criterio de toma de decisiones de inversión en base a los resultados de
los indicadores de rentabilidad financiera
10. Desarrollar destrezas y habilidades en la resolución de casos y problemas relacionados con:
Amortizaciones de deudas
Constitución de fondos
Evaluación de inversiones

264

265
Autoevaluación final de la unidad autoformativa III
Resuelva cada uno de los problemas que se le presentan a continuación, disponga de una
calculadora electrónica, el formulario papel y lápiz.
1. El financiamiento de un comerciante es de $30,000 (córdobas) con el 12% flat semestral y
plazo de 15 meses para pagarse en cuotas trimestrales iguales. Elabore la tabla de pago.
2. Un préstamo de $50,000 con interés del 18% CS y a plazo total de 8 años que incluyen 1
año de gracia donde se liquidarán los intereses de forma semestral; la deuda se podrá
amortizar a través de cuotas niveladas semestrales. Elabore la tabla hasta la cuota 3
3. Dado el siguiente flujo de fondos netos del inversionista de un proyecto de pesca, determine
los indicadores de rentabilidad financiera con iop=18% y haga sus comentarios.
Año 0 1 2 3 4 5
FNI (800) 200 250 300 350 400
4. Un proyecto obtiene un préstamo por $60,000 para pagarse a plazo total de 10 años que
incluye medio año de gracia, con interés del 18% CT. En el periodo de gracia los intereses
se capitalizan y el pago de la deuda será a través de cuotas trimestrales niveladas.
Construya la tabla de pago hasta la cuota 5.
5. Una empresa desea tener $30,000 al final del año 6, para ello abre un fondo con $5,000 y
para completar el fondo destinará una cuota constante mensual con interés del 7% efectivo.
Elabore la tabla de capitalización del fondo hasta la cuota 5.
6. La empresa XS desea saldar una deuda de $40,000 en un plazo de 8 años con 15% CM
anual sobre saldos a través de cuotas proporcionales decrecientes mensuales. Construya la
tabla de pago hasta la cuota 5.
En la página 278, al final de la unidad autoformativa III encontrará las respuestas a esta
Autoevaluación.

266

267
Hojas de respuestas
Respuestas a la prueba diagnóstica de la unidad autoformativa III
1. $3,330
2. a. Cuotas niveladas semestrales. En el periodo de gracia cada semestre se liquida un
interés de $1,920
No. CUOTA PRINCIPAL INTERES CUOTA SALDO
0 0.00 0.00 0.00 24,000
24,000.00
1 2,689.74 1,920.00 4,609.74 21,310.26
2 2,904.92 1,704.82 4,609.74 18,405.35
3 3,137.31 1,472.43 4,609.74 15,268.04
4 3,388.29 1,221.44 4,609.74 11,879.74
5 3,659.36 950.38 4,609.74 8,220.38
6 3,952.11 657.63 4,609.74 4,268.28
7 4,268.28 341.46 4,609.74 0.00
b. Cuotas proporcionales semestrales.
0 0 0 0 24,000.00
24,000.00
1 3,428.57 1,920.00 5,348.57 20,571.43
2 3,428.57 1,645.71 5,074.29 17,142.86
3 3,428.57 1,371.43 4,800.00 13,714.29
4 3,428.57 1,097.14 4,525.71 10,285.71
5 3,428.57 822.86 4,251.43 6,857.14
6 3,428.57 548.57 3,977.14 3,428.57
7 3,428.57 274.29 3,702.86 0.00
3. Resultados evaluación inversión
Indicador Resultado Criterio Decisión
VAN (20%) - $ 35.00 Menor que cero Se rechaza
RBC(20%) 0.94 Menor que 1 Se rechaza
TIRA 18.53% Menor 20% Se rechaza
4. Cuotas niveladas anuales
No CUOTA PRINCIPAL INTERES CUOTA SALDO
0 0.00 0.00 0.00 30,000
41,772.00
1 5,838.80 7,518.96 13,357.76 35,933.20
2 6,889.78 6,467.98 13,357.76 29,043.42
3 8,129.95 5,227.81 13,357.76 20,913.47
4 9,593.34 3,764.42 13,357.76 11,320.14
5 11,320.14 2,037.62 13,357.76 0.00
5. Tabla de la capitalización del fondo

268
No. CUOTA CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL
0 2,000.00 0.00 0 2,000
1 2,363.37 216.00 2,579.37 4,579.37
2 2,363.37 494.57 2,857.94 7,437.30
3 2,363.37 803.23 3,166.59 10,603.90
4 2,363.37 1,145.22 3,508.59 14,112.49
5 2,363.37 1,524.15 3,887.51 18,000.00
6. Cuotas mensual nivelada en dólares o en córdobas al TCO de la fecha de pago
CUOTA PRINCIPAL INTERES: $ CUOTA: $ SALDO: $ TIPO CAM. CCM: C$ SCM: C$
0 0.00 0.00 0.00 1,002.21 14.9669 0.00 15000.00
1 241.35 25.06 266.41 760.86 15.0388 4006.41 11442.40
2 247.38 19.02 266.41 513.48 15.1109 4025.64 7759.12
3 253.57 12.84 266.41 259.91 15.1835 4044.97 3946.31
4 259.91 6.50 266.41 0.00 15.2564 4064.39 0.00
7. a. $528.17 b. $36,052.06 c. $230,285.60
0 10000.00 0.00 0.00 50,000
51,516.96
1 141.79 386.38 528.17 51,375.17
2 142.85 385.31 528.17 51,232.32
3 143.92 384.24 528.17 51,088.40
4 145.00 383.16 528.17 50,943.39
5 146.09 382.08 528.17 50,797.30
8. Cuota $37,293.27
No. CUOTA PRINCIPAL INTERES C$ CUOTA : C$ SALDO : C$
0 0.00 0.00 0.00 100,000.00
1 7,973.27 29,320.00 37,293.27 92,026.73
2 10,311.03 26,982.24 37,293.27 81,715.71
3 13,334.22 23,959.05 37,293.27 68,381.49
4 17,243.81 20,049.45 37,293.27 51,137.67
5 22,299.70 14,993.57 37,293.27 28,837.97
6 28,837.97 8,455.29 37,293.27 0.00
1. a.$301.61 b. $5,162.30 c. Tabla de pago
0 0 0.00 0 10,200
1 145.45 156.16 301.61 10,054.55
2 147.68 153.93 301.61 9,906.87
3 149.94 151.67 301.61 9,756.93
4 152.23 149.37 301.61 9,604.70
5 154.57 147.04 301.61 9,450.13

269
2. a. $2,496.21 b. $2,769.02 c. Tabla de pago
0 - - - 50,000.00
1 1,746.21 750.00 2,496.21 48,253.79
2 1,772.40 723.81 2,496.21 46,481.40
3 1,798.98 697.22 2,496.21 44,682.41
4 1,825.97 670.24 2,496.21 42,856.44
5 1,853.36 642.85 2,496.21 41,003.09
3. a. $96,488.95 b. $827,204.59 c. Tabla de pago
0 - - - 1,000,000.00
1,137,993.73
1 46,382.23 50,106.72 96,488.95 1,091,611.50
2 48,424.48 48,064.47 96,488.95 1,043,187.02
3 50,556.64 45,932.31 96,488.95 992,630.38
4 52,782.69 43,706.26 96,488.95 939,847.69
5 55,106.75 41,382.20 96,488.95 884,740.94
4. a. C$ 257,309.98 b. C$452,636.86 c. Tabla de pago
0 - - - 1,000,000.00
1,295,029.00
1 140,757.37 116,552.61 257,309.98 1,154,271.63
2 153,425.53 103,884.45 257,309.98 1,000,846.09
3 167,233.83 90,076.15 257,309.98 833,612.26
4 182,284.88 75,025.10 257,309.98 651,327.38
5 198,690.52 58,619.46 257,309.98 452,636.87
5. a. $677,649.21 b. $2,269,668.30 c. Tabla de pago
0 - - - 3,240,000.00
4,651,439.02
1 328,791.28 348,857.93 677,649.21 4,322,647.74
2 353,450.63 324,198.58 677,649.21 3,969,197.11
3 379,959.42 297,689.78 677,649.21 3,589,237.69
4 408,456.38 269,192.83 677,649.21 3,180,781.30
5 439,090.61 238,558.60 677,649.21 2,741,690.70
6. a. $472,022.40 b. $2,381,770.70 c. $243,000 Tabla de pago

270
0 - - - 3,240,000.00
3,240,000.00
1 229,022.40 243,000.00 472,022.40 3,010,977.60
2 246,199.09 225,823.32 472,022.40 2,764,778.51
3 264,664.02 207,358.39 472,022.40 2,500,114.49
4 284,513.82 187,508.59 472,022.40 2,215,600.68
7. a. $647.02 b. $1856.02 c. $817.31 y $809.52 d. $2,266.76
8. a. $1,146.00 b. $3,387.44
9. Intereses:$13,213.42 Amortización principal: $3,774.83
10. a. Cuota $3,033.33 b. Tabla de pago
- - - - 10,000.00
1 2,500.00 533.33 3,033.33 7,500.00
2 2,500.00 533.33 3,033.33 5,000.00
3 2,500.00 533.33 3,033.33 2,500.00
4 2,500.00 533.33 3,033.33 -
11. a. Valor de la cuota fija $4,320 b. Tabla de pago
- - - - 16,000.00
1 3,200.00 1,120.00 4,320.00 12,800.00
2 3,200.00 1,120.00 4,320.00 9,600.00
3 3,200.00 1,120.00 4,320.00 6,400.00
4 3,200.00 1,120.00 4,320.00 3,200.00
5 3,200.00 1,120.00 4,320.00 -
12. a. $15,902.35 b. Tabal de pago
0 0.00 0.00 0.00 34,000
48,351.45
1 6,593.79 9,308.57 15,902.36 41,757.66
2 7,863.22 8,039.14 15,902.36 33,894.44
3 9,377.04 6,525.32 15,902.36 24,517.40
4 11,182.30 4,720.07 15,902.36 13,335.10
5 13,335.10 2,567.26 15,902.36 0.00
13. a. $1,399.09 b. $1,757.15
14. a. $10,253.90 b. $308,200.59
15. a. Cuota 1 $8,646.73 b. Tabla de pago

271
No. CUOTAPRINCIPAL INTERES CUOTA SALDO
0 0 0 0 50,000.00
Valor alcanzado en el Periodo de
gracia 59,405.00
1 3,300.28 5,346.45 8,646.73 56,104.72
2 3,300.28 5,049.43 8,349.70 52,804.44
3 3,300.28 4,752.40 8,052.68 49,504.17
4 3,300.28 4,455.38 7,755.65 46,203.89
5 3,300.28 4,158.35 7,458.63 42,903.61
16. a. Cuota 1 $7,625.00 b. Tabla de pago
0 0 0 0 50,000.00
50,000.00
1 3,125.00 4,500.00 7,625.00 46,875.00
2 3,125.00 4,218.75 7,343.75 43,750.00
3 3,125.00 3,937.50 7,062.50 40,625.00
4 3,125.00 3,656.25 6,781.25 37,500.00
5 3,125.00 3,375.00 6,500.00 34,375.00
6 3,125.00 3,093.75 6,218.75 31,250.00
17. a. Tabla de pago b. Saldo después de la cuota 26, $833.42
0 0 0 0 3,000
1 83.33 75.00 158.33 2,916.67
2 83.33 72.92 156.25 2,833.33
3 83.33 70.83 154.17 2,750.00
4 83.33 68.75 152.08 2,666.67
5 83.33 66.67 150.00 2,583.33
6 83.33 64.58 147.92 2,500.00
18. a. Cuota $428.29 b. Saldo cuota 40, $23, 552.00
0 - - - 35,000.00
1 260.29 168.00 428.29 34,739.71
2 261.54 166.75 428.29 34,478.17
3 262.79 165.50 428.29 34,215.38
4 264.06 164.23 428.29 33,951.32
5 265.32 162.97 428.29 33,686.00
19. a. Cuota $135 b. $1,032.28 c. $16.62 d. Tabla de pago

272
0 - - - 3,276.00
1 101.74 33.26 135.01 3,174.26
2 102.78 32.23 135.01 3,071.48
3 103.82 31.19 135.01 2,967.66
4 104.87 30.13 135.01 2,862.78
5 105.94 29.07 135.01 2,756.84
20. Tabla de pago.
No CUOTA PRINCIPAL INTERES: C$ CUOTA C$ SALDO: C$
0 0.00 0.00 0.00 150,000.00
1 8,476.07 32,850.00 41,326.07 141,523.93
2 10,332.33 30,993.74 41,326.07 131,191.60
3 12,595.11 28,730.96 41,326.07 118,596.50
4 15,353.44 25,972.63 41,326.07 103,243.06
5 18,715.84 22,610.23 41,326.07 84,527.23
6 22,814.61 18,511.46 41,326.07 61,712.62
7 27,811.00 13,515.06 41,326.07 33,901.61
8 33,901.61 7,424.45 41,326.07 0.00
21. Tabla de pago
CUOTA PRINCIPAL INTERES $ CUOTA $ SALDO $ T C O CCM C$ SCM C$
0 0.00 0.00 0.00 1,330.49 15.0321 0.00 20000.00
1 209.16 31.04 240.21 1,121.33 15.1043 3628.12 16936.80
2 214.04 26.16 240.21 907.28 15.1768 3645.54 13769.66
3 219.04 21.17 240.21 688.25 15.2496 3663.04 10495.56
4 224.15 16.06 240.21 464.10 15.3228 3680.62 7111.39
5 229.38 10.83 240.21 234.73 15.3964 3698.29 3613.97
6 234.73 5.48 240.21 0.00 15.4703 3716.05 0.00
1. Tabla
AÑO CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL
0 3,500 0.00 0 3,500
1 2,397.20 332.50 2,729.70 6,229.70
2 2,397.20 591.82 2,989.02 9,218.72
3 2,397.20 875.78 3,272.98 12,491.70
4 2,397.20 1,186.71 3,583.91 16,075.62
5 2,397.20 1,527.18 3,924.38 20,000.00
2. Tabla del fondo hasta cuota 5.

273
MES CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL
1 810.19 0.00 810.19 810.19
2 810.19 6.75 816.95 1,627.14
3 810.19 13.56 823.75 2,450.89
4 810.19 20.42 830.62 3,281.51
5 810.19 27.35 837.54 4,119.05
3. Tabla del fondo.
SEMESTRE CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL
0 5,000 0.00 0 5,000
1 4,717.69 300.00 5,017.69 10,017.69
2 4,717.69 601.06 5,318.75 15,336.45
3 4,717.69 920.19 5,637.88 20,974.32
4 4,717.69 1,258.46 5,976.15 26,950.48
5 4,717.69 1,617.03 6,334.72 33,285.20
6 4,717.69 1,997.11 6,714.80 40,000.00
4. Tabla del fondo hasta cuota 5.
TRIMESTRE CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL
1 4,658.65 - 4,658.65 4,658.65
2 4,658.65 139.76 4,798.41 9,457.05
3 4,658.65 283.71 4,942.36 14,399.41
4 4,658.65 431.98 5,090.63 19,490.04
5 4,658.65 584.70 5,243.35 24,733.39
5. Tabla del fondo hasta la cuota 5.
TRIMESTRE CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL
0 324.27 - 324.27 324.27
1 324.27 11.53 335.80 660.07
2 324.27 23.47 347.74 1,007.81
3 324.27 35.84 360.11 1,367.92
4 324.27 48.64 372.91 1,740.83
6. Tabla hasta la cuota 4.
0 24,000.00 0 0 24,000.00
1 0 320.00 320.00 24,320.00
2 0 324.27 324.27 24,644.27
3 0 328.59 328.59 24,972.86
4 0 332.97 332.97 25,305.83
5 1,818.57 337.41 2,155.98 27,461.81
6 1,818.57 366.16 2,184.73 29,646.54
7 1,818.57 395.29 2,213.86 31,860.40
8 1,818.57 424.81 2,243.38 34,103.78

274
SEMANA CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL
1 159.73 - 159.73 159.73
2 159.73 0.25 159.98 319.71
3 159.73 0.49 160.22 479.94
4 159.73 0.74 160.47 640.41
5 159.73 0.99 160.72 801.12
8. Valor de la cuota quincenal $115.02
9. Tabla del fondo en cuotas semestrales vencidas equivalentes.
SEMESTRE CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL
1 2,920.78 - 2,920.78 2,920.78
2 2,920.78 417.16 3,337.94 6,258.72
3 2,920.78 893.91 3,814.69 10,073.41
4 2,920.78 1,438.74 4,359.52 14,432.93
5 2,920.78 2,061.39 4,982.17 19,415.10
BIMESTRE CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL
0 10,533.95 - 10,533.95 10,533.95
1 10,533.95 386.24 10,920.19 21,454.14
2 10,533.95 786.65 11,320.60 32,774.74
3 10,533.95 1,201.74 11,735.69 44,510.43
4 10,533.95 1,632.05 12,166.00 56,676.43
11. a. Tabla del fondo en el año 5 b. $1,276,864.50
0 50,000 - 50,000 50,000
1 50,000 4,601.25 54,601.25 104,601.25
2 50,000 9,625.93 59,625.93 164,227.18
3 150,000 15,113.00 165,113.00 329,340.19
4 50,000 30,307.53 80,307.53 409,647.72
5 00 37,697.83 37,697.83 447,345.55
12. Valor del depósito quincenal $14,077.72

275
13. a. Aproximadamente 6 bimestres b. Tabla del fondo
BIMESTRE CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL
1 300,000.00 - 300,000.00 300,000.00
2 300,000.00 6,000.00 306,000.00 606,000.00
3 300,000.00 12,120.00 312,120.00 918,120.00
4 300,000.00 18,362.40 318,362.40 1,236,482.40
5 300,000.00 24,729.65 324,729.65 1,561,212.05
6 300,000.00 31,224.24 331,224.24 1,892,436.29
14. Valor de cuota $19,772.88 b. Tabla del fondo
MES DEPOSITO INTERES INCREMENTO CAPITAL
1 19,772.88 - 19,772.88 19,772.88
2 19,772.88 90.30 19,863.18 39,636.06
3 19,772.88 181.00 19,953.88 59,589.94
4 19,772.88 272.13 20,045.01 79,634.95
5 19,772.88 363.67 20,136.55 99,771.49
6 19,772.88 455.62 20,228.50 120,000.00
15. a. Capital en el fondo $ 1,055,395.37 b. Tabla hasta la cuota 5
0 40,000.00 0 40,000.00 40,000.00
1 40,000.00 300.00 40,300.00 80,300.00
2 40,000.00 602.25 40,602.25 120,902.25
3 40,000.00 906.77 40,906,77 161,809.02
4 40,000.00 1,213.57 41,213.57 203,022.59
16. valor de la cuota complementaria $172,146.63 b. Tabla del fondo
0 500,000 0 500,000 500,000
1 172,146.63 90,000.00 262,146.63 762,146.63
2 1,672,146.63 137,186.39 1,809,333.02 2,571,479.65
3 172,146.63 462,866.34 635,012.97 3,206,492.62
4 2,172,146.63 577,168.67 2,749,315.30 5,955,807.92
5 172,146.63 1,072,045.45 1,244,192.06 7,200,000.00
17. a. Cuota inicial $61,908.33 b. Tabla del fondo
AÑO CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL RETIRO
0 61,908.33 0.00 61,908.33 61,908.33 0.00
1 60,000 6,190.83 66,190.83 128,099.16 0.00
2 0.00 12,809.91 12,809.91 90,909.09 50,000.00
3 0.00 9,090.91 9,090.91 0.00 100,000.00

276
18. a. Utilidad $161,342.13 b. Tabla del fondo
AÑO DEBITO INTERES INCREMENTO CAPITAL
0 0.00 0.00 0.00 500,000
1 125,228.23 75,000 -50,228.23 449,771.77
2 125,228.23 67,465.77 -57,762.46 392,009.31
3 125,228.23 58,801.40 -66,426.83 325,582.48
4 125,228.23 48,837.37 -76,390.86 249,191.62
5 125,228.23 37,378.74 -87,849.49 161,342.13
19. a. Acumula $8,846,457.96 b. Tabla del fondo
SEMESTRE CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL RETIRO
0 2,500,000 0.00 0.00 2,500,000 0.00
1 2,500,000 67,000.00 2,567,000.00 5,067,500 0.00
2 2,500,000 136,822.50 2,636,822.50 7,704,322.50 0.00
3 5,500,000 208,016.71 5,708,016.71 13,412,339.21 0.00
4 2,500,000 362,133.16 2,862,133.16 16,274,472.37 0.00
5 0.00 439,410.75 439,410.75 8,613,883.12 8,100,000
6 0.00 232,574.84 232,574.84 8,846,457.96 0.00
20. a. $25,874.99 b. $24,554.24 c. Tabla del fondo
AÑO DEBITO INTERES INCREMENTO CAPITAL
1 25,874.99 0.00 25,874.99 25,874.99
2 25,874.99 1,811.25 27,686.24 53,561.22
3 24,554.24 3,749.29 28,303.53 81,864.74
4 24,554.24 5,730.53 30,284.77 112,149.52
5 0.00 7,850.48 7,850.48 120,000.00
1.
VAN (25%) $ 19,084 Mayor que cero Se acepta
RBC(25%) 1.19 Mayor que 1 Se acepta
TIR 30.33% Mayor 20% Se acepta
2.
Proyecto VAN TIR TIR Ajustada RBC
A $39.52 22.75% ----- 1.08
B $70.25 21.80% ----- 1.16
C $34.00 16.77% ----- 1.06
D $29.12 22.10% ----- 1.13
E $37.83 18.80% ----- 1.06
F $186.03 ----- 20.34% 1.44
G ($41.93) 15% -------- 0.97
H ($398.73) ----- 14.50% 0.50

277
3.
TIR 25% Mayor que 18% Se acepta
4.
5.
VAN (21%) $ 4,506.63 Mayor que cero Se acepta
6.
VAN (25%) - $ 80.60 Menor que cero Se rechaza
RBC(25%) 0.92 Menor que 1 Se rechaza
TIR 23.5% Menor que 25% Se rechaza
7.
VAN (20%) $ 9,309.35 Mayor que cero Se acepta
TIR 21.35% Mayor que 20% Se acepta
8.
Proyectos
Concepto 1 2 3 Criterio
VAN(15%) 56.65 65.13 48.16 Mayor que cero
TIR 23.50% 25.50% 21.60% Mayor que 15%
RBC(15%) 1.14 1.16 1.12 Mayor que 1
Decisión Se acepta Se acepta Se acepta
9.
VAN (25%) $ 65.35 Mayor que cero Se acepta
10.
Indicador Resultado
TIR 21,44%
11.
Indicador Resultado
TIR 11.92%
12.
Indicador Resultado
TIR 16.12%
13.
Indicador Resultado
TIR 25.60%

278
14.
Indicador Grupo Resultados
TIR A 8.50%
TIR B 17.60%
TIR C 9.50%
TIR A, B, C 10.5%
15.
Respuestas a la autoevaluación final de la unidad autoformativa III
1.
No. CUOTAPRINCIPAL INTERES CUOTA SALDO
- - - - 30,000.00
1 6,000.00 1,800.00 7,800.00 24,000.00
2 6,000.00 1,800.00 7,800.00 18,000.00
3 6,000.00 1,800.00 7,800.00 12,000.00
4 6,000.00 1,800.00 7,800.00 6,000.00
5 6,000.00 1,800.00 7,800.00 -
2.
0 - - - 50,000.00
50,000.00
1 1,921.66 4,500.00 6,421.66 48,078.34
2 2,094.61 4,327.05 6,421.66 45,983.73
3 2,283.12 4,138.54 6,421.66 43,700.61
4 2,488.60 3,933.05 6,421.66 41,212.01
5 2,712.58 3,709.08 6,421.66 38,499.43
3.
TIR 22.54% Mayor 18% Se acepta
4.
0 - - - 60,000.00
65,521.50
1 681.53 2,948.47 3,630.00 64,839.97
2 712.20 2,917.80 3,630.00 64,127.76
3 744.25 2,885.75 3,630.00 63,383.51
4 777.74 2,852.26 3,630.00 62,605.77
5 812.74 2,817.26 3,630.00 61,793.02

279
5.
No CUOTA CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL
- 5,000.00 - - 5,000.00
1 254.02 28.27 282.29 5,282.29
2 254.02 29.87 283.89 5,566.19
3 254.02 31.47 285.50 5,851.68
4 254.02 33.09 287.11 6,138.79
5 254.02 34.71 288.73 6,427.53
6.
0 - - - 40,000.00
1 416.67 500.00 916.67 39,583.33
2 416.67 494.79 911.46 39,166.67
3 416.67 489.58 906.25 38,750.00
4 416.67 484.38 901.04 38,333.33
5 416.67 479.17 895.83 37,916.67

280

281
Glosario
Amortización. Procero mediante el cual se reduce una deuda hasta convertirla en cero al
vencimiento del plazo
Amortización gradual. Sistema que se utiliza para liquidar una deuda a través de cuotas fijas o
niveladas que incluyen intereses sobre saldo.
Amortización constante. Sistema para liquidar una deuda a través de cuotas decrecientes o
proporcionales que incluyen intereses sobre saldo.
Corrección monetaria. Efecto de convertir un pago o saldo en moneda constante a moneda
corriente a través del factor de corrección monetaria o tipo de cambio oficial.
Depreciación de activos. Valor de desgaste de los activos fijos por efectos de su uso en la
actividad productiva de bienes y servicios.
Fondo de amortización. Cantidad de dinero que se capitaliza mediante cuotas periódicas
iguales o diferentes que devengan intereses hasta alcanzar un monto deseado o prefijado.
Gasto no desembolsado. Valor resultante por periodo de las depreciaciones de activos fijos y
amortizaciones de activos diferidos en el flujo de caja de un proyecto.
Índice de deseabilidad o relación beneficio costo. Indicador financiero que expresa el
cociente entre el valor actual neto de beneficios entre el valor actual neto de costos de un
proyecto. Mide en valores actuales, las cantidades unitarias que se pierden o que se ganan por
cada unidad monetaria invertida en un proyecto.
Interés flat. Interés fijo calculado sobre principal inicial de una deuda y no sobre saldos.
Interés sobre saldo. Interés calculado sobre principal no liquidado al final de cada periodo de
pago.
Proyecto de inversión privada. Cuando la inversión es privada, además de resolver problemas
sociales y satisfacer una necesidad; incluye el factor de rentabilidad o crecimiento real del dinero.
Proyecto de inversión social. Inversiones, insumos y actividades con el fin de resolver un
problema o satisfacer una necesidad en función de mejorara el nivel de vida de un grupo de
beneficiarios (véase alternativa de inversión).
Saldo acumulado del fondo. Capital en el fondo, producto de las cuotas más los intereses
capitalizados.
Saldo Insoluto y general. Saldo insoluto es el principal adeudado no cubierto por las
amortizaciones y saldo general es el saldo insoluto más los cargos por seguros, comisiones,
manejo de deuda, otros.

282
Tasa de variación monetaria. Tasa de inflación monetaria que hace variar el precio de la divisa
en moneda de valor corriente (en nuestro medio ésta tasa es conocida como tasa de
deslizamiento).
Tasa inflada o nominal. Tasa de interés que se utiliza para efectuar operaciones financieras en la
cual se incluye la tasa de inflación y la tasa real de interés.
Tasa interna de retorno. Tasa que se gana sobre capital no recuperado de una inversión o
tasa que se paga sobre saldo adeudado de un crédito. Indicador financiero que convierte el
valor actual neto de un proyecto en valor cero.
Valor actual neto. Indicador financiero que compara en valores actuales con una tasa de
interés de rendimiento mínimo, los beneficios y costos de un proyecto (véase valor presente
neto).
Valor de salvamento. Valor en libro o comercial de los activos depreciados.
Vida económica de una inversión. Tiempo en el cual la inversión es rentable y competitiva.

283
Bibliografía
1. Baca, Currea Guillermo, "Las Matemáticas Financieras y los Sistemas", Limusa Noriega
Editores, Bogotá Colombia, 1997.
2. Blank, Leland T/Tarquin, Anthony J. "Ingeniería Económica", Mcgraw-Hill, Tercera edición,
México, 1992.
3. Buchholz Todd G. "Nuevas ideas de Economistas de ayer", Librería el Ateneo, Buenos Aires,
Argentina, 1993.
4. Delp, Peter y otros "Análisis de Proyectos" ICAP, Costa Rica, 1992.
6. Documentos: "Indicadores Económicos trimestrales. Anuarios", Banco Central de Nicaragua,
Años 98, 99, 00, 01, 02
7. Grant Eugene L. y otros “Principios de Ingeniería Económica” Ed. Continental S.A. México,
1989
8. Mokate, Karen Marie. "Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión", Universidad de los
Andes Santafé de Bogotá, Colombia, 1994.
10. Ramírez C., Jesús A. "Matemáticas Financieras para proyectos", Universidad de la Amazonía
Florencia Caquetá, Colombia, 1994.
11. Villalobos, José Luis “Matemáticas Financieras” , Pearson Educación, Segunda Edición,
México, 2001
Reseñas del autor
Nombre: Noel Reyes Alvarado
Experiencia: 23 años de docencia universitaria.
Grados Académicos: Master en Matemáticas Aplicadas a la Economía y Administración.
Licenciado en Matemáticas.
Cargos Académicos: Profesor Titular, Departamento de Matemáticas y Estadísticas,
Facultad de Ciencias Económicas, UNAN-Managua. (23)
Profesor de los Programas de Maestrías y Post-Grados - Facultad de
Ciencias Económicas UNAN-Managua. (12)
Profesor de los Programas de Maestría y Post-Grados área de
Economía, Administración y Proyectos de la UCA. (9)
Profesor Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la
UCA. (10)

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