El documento define conceptos básicos sobre matrices, incluyendo que son un conjunto de números ordenados en filas y columnas, y describe diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares y diagonales. También explica operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación y cómo encontrar la inversa de una matriz.

1. Matriz
Es un conjunto de números o expresiones ordenados en forma rectangular,
formando filas y columnas. De igual manera Giovanni Pizzella en su libro Algebra Lineal
para estudiantes de Ingeniería de la Universidad de Carabobo del año 2006 expresa que una
matriz “Es un simple arreglo rectangular de números, usualmente encerrados entre
paréntesis o corchetes”. Ejemplo:
-2 3 4 5
1 -6 6 8 (1)
Es una matriz, la matriz (1) tiene dos filas y cuatro columnas. Una manera de
indicar el tamaño o dimensión de una matriz viene dada por el número de filas y columnas.
Es convencional escribir primero el número de filas. Por ejemplo, la matriz (1) es de
tamaño 2 x 4, ya que tiene dos filas y cuatro columnas.
Elementos de una Matriz
Pizzella2006 manifiesta en libro anteriormente mencionado, frecuentemente se usa
una notación con doble subíndice para indicar la localización de una entrada en una matriz.
El primer subíndice indica el número de la fila en la cual se ubica la entrada, contando
desde arriba, y el segundo subíndice índica el número de la columna, contando desde la
izquierda. Así una matriz de m X n se escribe como:
(2)
Donde cada 푎푖푗 es un número llamado elemento o entrada de la matriz, los números
m y n determinan la dimensión o tamaño de la matriz.
Igualdad de Matrices
Se dice que y son dos matrices iguales, denotado
por , si y solo sí ; es decir:
(3)
Por lo tanto, dos matrices A y B son iguales cuando son del mismo tamaño y los
elementos que están en la misma posición en ambas matrices, llamados elementos
correspondientes, son iguales. Ejemplo.
Si y (4)

2. Entonces para que deben tener el mismo tamaño, que lo tienen pues son de
tamaño , y además debe cumplirse que los elementos correspondientes sean iguales;
es decir, los valores de los parámetros , y deben ser:
y
Matriz Fila
Un matriz 1 X n, llamada matriz fila, es una n-upla fila ordenada de números
reales. Una matriz fila es cuando tiene una sola fila, es decir de orden 1.Ejemplo:
R = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]; es una matriz de 1 x 9, o un vector fila con 9 elementos.
Matriz Columna
Es una m-upla columna de números reales Se denomina matriz columna porque existe
una sola columna, es decir de orden m x 1. Ejemplo: La siguiente matriz es de orden 2 x 1
A2x1=
1
2
(5)
Matriz Cuadrada
Es aquella que tiene igual número de filas y columnas, m = n. Ejemplo: La siguiente
matriz es de orden 2 x 2
5 7 (6)
A2x2= 4 1
Matriz Diagonal
Es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal
principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si: di,j=0 si i≠j.
Ejemplo:
(7)
Matriz Triangular
Se denomina matriz Triangular, a aquella matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos por encima o por debajo de la diagonal principal.
Ejemplo:
(8)

3. Matriz Escalar
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
(9)
Matriz Identidad
Es aquella matriz que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal
principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad. Ejemplo:
(10)
Traza de una Matriz
Sea una matriz cuadrada A de orden n, se define la traza de la matriz A y se denota
por tr(A) al valor obtenido al sumar todos los elementos de la diagonal principal, es decir
Ejemplo: Demostrar que para cualquier par de matrices A,B de Mn(K) y para
cualquier λ∈Kse verifica:
a) tr(A+B)=trA+trB.
b) tr(λA)=λtrA.
c) tr(AB)=tr(BA).
Solución:
a) tr(A+B)=Σi=1n(aii+bii)=Σi=1naii+Σi=1nbii=trA+trB.
b) tr(λA)=Σi=1nλaii=λΣi=1naii=λtrA.
c) Calculemos tr(AB). Sabemos que el elemento cij de la matriz
producto AB es cij=Σnk=1aikbkj, por tanto:
tr(AB)=Σi=1ncii=Σi=1n(Σk=1naikbki)=Σi=1,…,nk=1,…,naikbki.(1)
De manera análoga:
tr(BA)=Σi=1n(Σk=1nbikaki)=Σi=1,…,nk=1,…,nbikaki.(2)
Es claro que en (1) y (2) aparecen exactamente los mismos sumandos. Por ejemplo, el
sumando a23b32 de (1) que corresponde a los subíndices i=2, k=3, es el sumando
de (2) que corresponde a los subíndices i=3, k=2. Concluimos que tr(AB)=tr(BA).

4. Matriz Traspuesta
Se denomina matriz traspuesta a aquella que resulta intercambiando filas con
columnas.
Ejemplo:
(11)
Matriz Simétrica
La matriz simétrica es una cuadrada igual a su matriz transpuesta. A = At , aij = aji
Ejemplo:
Matriz Antisimétrica
La matriz antisimétrica es cuadrada igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij
= -aji Necesariamente aii = 0
(12)
Operaciones con Matrices
Suma y Resta de Matrices
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de
columnas. se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplos:
(13)
(14)
Producto de un Escalar por una Matriz
Se define como el producto de un número real por una matriz, a la matriz del mismo
orden que A, en la que cada elemento es multiplicado por K. kA=(k ai j )
Ejemplo:

5. Producto de Matrices
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con
el número de filas de B. Mm x n x Mn x p = M m x p
Ejemplo:
Propiedades de las Operaciones con Matrices
 Propiedades de la suma de matrices
De la dimensión
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa
A + (B + D) = (A + B) + D
Elemento neutro
A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto
A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de
signo.
Conmutativa
A + B = B + A
 Propiedades del producto de matrices
Asociativa
A • (B • C) = (A • B) • C
Elemento neutro
A • I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Anti
conmutativa A • B ≠ B • A
Distributiva del producto respecto de la suma
A · (B + C) = A · B + A · C

6. Matriz Inversa
A·A-1 = A-1 · A = I
Propiedades
(A · B) ^ (-1) = B ^ (-1) · A ^ (-1)
[ A^ (-1) ] ^ (-1) = A
(k · A) ^ (-1) = k ^ (-1) · A ^ (-1)
(A ^ t) ^ (-1) = [ A ^ (-1) ] ^ t
Matrices Singulares
Matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero. Una matriz singular
no tiene matriz inversa. Ejemplo:
A =
4 2
8 4
= 0 Determinante de A = 4 x 4 – 2 x 8 = 0
Matrices Invertibles
Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la
propiedad de que
AB = BA = I
siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la
denotamos por A-1.
Ejemplo:
Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra

7. Operaciones Elementales por Fila de una Matriz
Una operación elemental por filas o por columnas en una matriz , es
alguna de las siguientes tres que se le aplique a los elementos de ciertas filas o columnas:
 Intercambio de filas o columnas
Consiste en intercambiar dos filas o dos columnas de la matriz .
Su notación matricial es: o
Se intercambiaron la fila con la fila de ; es decir, los elementos de la
fila de cambian de posición a la fila y viceversa, pero conservan la posición de la
columna, resultando una nueva matriz .
En este caso se intercambiaron la columna con la columna de ; es decir, los
elementos de la columna de cambian de posición a la columna y viceversa, pero
conservan la posición de la fila, resultando una nueva matriz .
 Multiplicación de un escalar por fila o columna
Consiste en multiplicar un escalar distinto de cero por una fila o por una columna de .
Su notación matricial es: o

8. En ese caso se multiplicó el escalar por la fila de ; es decir, los elementos de
la fila de cambian el valor numérico por veces su valor, resultando una nueva
matriz .
En ese caso se multiplicó el escalar por la columna de ; es decir, los
elementos de la columna de cambian el valor numérico por veces su valor,
resultando una nueva matriz .
 Sustitución de una fila por columna
Consiste en sustituir una fila completa o una columna completa de por la suma
de la misma fila (o columna) más el múltiplo de otra fila o columna.
Su notación matricial es: o
Se sustituyó la fila de por la suma de ella más veces la fila de ; es decir,
los elementos de la fila de cambian el valor numérico por la suma del elemento de la
fila más veces el elemento de la fila , resultando una nueva matriz .

9. Se sustituyó la columna de por la suma de ella más veces la columna de ;
es decir, los elementos de la columna de cambian el valor numérico por la suma del
elemento de la columna más veces el elemento de la columna , resultando una nueva
matriz .
Matrices Particionadas
Existen razones para querer particionar una matriz A, algunas de ellas son: (i) La
partición puede simplificar la escritura de A. (ii) La partición puede exhibir detalles
particulares e interesantes de A. (iii) La partición puede permitir simplificar cálculos que
involucran la matriz A.
Submatrices
Una submatriz es una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de
una matriz más grande. Es decir, como un array, en el que se cortan las entradas limitadas por
fila y columna.
Descomposición LU
Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que en español se
traducen como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que se sigue en la
descomposición LU es posible comprender el porqué de este nombre, analizando cómo
una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra
inferior. La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la
matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver
sistemas de álgebra lineal.

10. Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].
[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz
diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz
triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].
Pasos Para Encontrar La Matriz Triangular Superior (Matriz [U])
1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.
2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a
cero los valores abajo del pivote.
3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.
4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le
suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se
convertirá en cero). Esto es:
- factor * pivote + posición a cambiar
Pasos Para Encontrar La Matriz Triangular Inferior (Matriz [L])
Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de
cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de
"factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal
según corresponda en cada uno.
Esquemáticamente se busca lo siguiente:
Originalmente se tenía:
Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en
nada la ecuación y se tiene lo siguiente:
Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b.

11. Método de Gauss Jordán
Es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n
números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos
la primera aplicación mencionada. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando
este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de
ecuaciones lineales en su notación matricial:
Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):
Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una
matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:
Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices
simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una
operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes,
esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad,
dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada
una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:
 d1 = x
 d2 = y
 d3 = z
Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales por medio de este método.
Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:
 Sea el sistema de ecuaciones:

12.  Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:
 Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la
matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la
misma:
 Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1
de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el
inverso de 2, es decir ½.
 Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para
lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la
primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno
de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por
ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos
de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la
segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los
elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en
columna de la tercera fila.
 Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de
igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del número que
deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

13. Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos
poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los
elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para
el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores.
 Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz identidad,
para hacer esto buscamos el opuesto del número que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la
matriz con la cual estamos operando, en este caso -17, cuyo opuesto será 17; lo que
hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos
resultados con el número que le corresponde en columna de la 3ª fila.
 A esta altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a
parecerse a la matriz identidad.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la matriz
identidad, ahora bien, aplicamos el mismo procedimiento con el que estábamos trabajando,
es decir que vamos a multiplicar toda la 3ª fila por el inverso del número que se encuentre
en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso 96/13, cuyo inverso será 13/96.
 Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para
lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª
columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso 11/13 y ½ cuyos opuestos
serán - 11/13 y -½, respectivamente.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno
de los elemento de la 3ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por
ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los
elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en

14. columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila se multiplicara a -½ (opuesto de ½) por
cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le
corresponda en columna de la primera fila.
 El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de la matriz
identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del número que se ubica en la 1ª columna,
2ª fila de la matriz con la que estamos operando, en este caso es 3/2, cuyo opuesto será -
3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y
sumar esos resultados con el número que le corresponde en columna de la 1ª fila.
 Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscábamos,
y en la cuarta columna hemos obtenido los valores de las variables, correspondiéndose de
este modo:
x= 1
y= -1
z= 2
 Luego, el sistema de ecuaciones está resuelto y por último lo verificamos.
2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4
2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4
2 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4
1 = 1 -3 = -3 4= 4