Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método utiliza transformaciones elementales sobre la matriz del sistema para obtener un sistema equivalente en forma escalonada, el cual puede resolverse fácilmente mediante sustitución regresiva. También clasifica los sistemas en determinados, indeterminados e incompatibles dependiendo del número de soluciones.

1. ´
TEMA 8 F. MATEMATICOS.
TEMA 8
Sistemas de Ecuaciones Lineales: M´todo de Gauss.
e
1. Sistemas de ecuaciones lineales. Generalidades
Uno de los problemas centrales del ´lgebra lineal es la resoluci´n de ecuaciones lineales simult´neas.
a o a
Definici´n 1 Un sistema de ecuaciones lineales, en concreto de m ecuaciones con n inc´gnitas, es un
o o
conjunto de m igualdades que se pueden escribir en la forma:

 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
. . . . (1)

 .
. .
. .
. .
.


am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
Los n´meros aij ∈ R para i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n reciben el nombre de coeficientes y los
u
bi ∈ R para i = 1, 2, · · · , m, t´rminos independientes1 . Por ultimo, x1 , x2 , · · · , xn son las inc´gnitas
e ´ o
del sistema.
En el caso particular de que b1 = b2 = · · · = bm = 0 el sistema se denomina homog´neo.
e
Definici´n 2 La matriz del sistema dado (o matriz ampliada) es el conjunto formado por los m ×
o
(n + 1) n´meros que se obtiene al escribir los coeficientes y los t´rminos independientes, ordenadamente
u e
por filas y columnas, en la forma:
 
a11 a12 · · · a1n b1
 a21 a22 · · · a2n b2 
 
 . . .
. .
. . 
. 
 . . . .
am1 am2 ··· amn bm
Si quitamos la ultima columna de los t´rminos independientes, la matriz que nos queda recibe el
´ e
nombre de matriz de los coeficientes del sistema.
Al ser m´s c´modo trabajaremos solamente con la matriz del sistema, en lugar de hacerlo con todo
a o
el sistema, pues con ello simplificamos el proceso de resoluci´n.
´ o
2. Soluci´n de un sistema de ecuaciones. Sistemas equivalentes
o
Definici´n 3 Diremos que un conjunto de n n´meros ordenados (α1 , α2 , , · · · , αn ) es una soluci´n del
o u o
sistema (1) si satisfacen todas las ecuaciones del sistema.
Definici´n 4 Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas solu-
o
ciones.
1 En el caso de ser a
ij ∈ C, [1] puede transformarse en un sistema de coeficientes y t´rminos independientes reales con
e
doble n´ mero de ecuaciones que el sistema inicial
u
´
I.T.I. MECANICA Curso 2006/07 1 ´
FUNDAMENTOS MATEMATICOS

2. ´
TEMA 8 F. MATEMATICOS.
Obs´rvese que no necesariamente han de tener el mismo n´mero de ecuaciones.
e u
Es f´cil comprobar que las siguientes transformaciones, que denominaremos elementales, efectuadas
a
sobre la matriz de un sistema nos conducen a otro sistema equivalente:
1. Fij : Intercambiar el orden de las filas i, j (equivale a cambiar el orden de dichas ecuaciones).
2. Fi (α) : Multiplicar la fila i por el escalar α = 0 (equivalente a multiplicar la ecuaci´n i-´sima por
o e
el escalar α no nulo).
3. Fij (α) : Sumar a la fila i la fila j multiplicada por el escalar α (equivalente a sumar a la ecuaci´n
o
i-´sima un m´ltiplo de la ecuaci´n j-´sima).
e u o e
Clasificaci´n de un sistema de ecuaciones lineales
o
Atendiendo a la existencia o no de soluciones, los sistemas lineales se clasifican en:
Compatibles: si tienen al menos una soluci´n.
o
Incompatibles: si no tienen soluci´n.
o
A su vez los sistemas de ecuaciones lineales compatibles se clasifican, en funci´n del n´mero de
o u
soluciones, en:
Determinados: si tienen una unica soluci´n.
´ o
Indeterminados: si tienen m´s de una, en cuyo caso tendr´n infinitas soluciones.
a a
Notemos que los sistemas homog´neos tienen siempre, al menos, la soluci´n (0, 0, · · · , 0) que recibe
e o
el nombre de soluci´n trivial, por ello siempre son compatibles.
o
3. M´todo de eliminaci´n de Gauss
e o
Es un m´todo directo que nos da la soluci´n exacta, si existe, en un n´mero finito de pasos u opera-
e o u
ciones.
Pretendemos resolver un sistema de ecuaciones lineales dado mediante su transformaci´n en otro
o
sistema equivalente que se resuelva f´cilmente. Dichos sistemas tienen una forma concreta.
a
Definici´n 5 Un sistema de ecuaciones lineales se denomina escalonado (o reducido) si la matriz
o
del sistema verifica que:
1. Todos los elementos por debajo de los aii para i = 1, 2, · · · , n son nulos.
2. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, est´ a la derecha del primer elemento
a
diferente de cero (pivote) de la fila anterior.
3. Cualquier fila formada unicamente por ceros est´ bajo todas las filas con elementos diferentes de
´ a
cero.
Para conseguir nuestro objetivo utilizaremos el m´todo de eliminaci´n de Gauss que consiste en,
e o
utilizando transformaciones elementales sobre la matriz del sistema, pasar de un sistema de ecuaciones
a otro equivalente que sea escalonado. Los sucesivos pasos de este proceso son:
´
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3. 3.1 Aplicaci´n del m´todo de Gauss a la resoluci´n de un sistema de ecuaciones lineales con o sin
o e o
´
TEMA 8 F. MATEMATICOS. par´metros
a
1. Localizamos en la primera columna no nula, de la matriz del sistema, el primer elemento no nulo
a.
2. Intercambiamos la primera fila con la fila en la que se encuentra a.
3. Multiplicamos la primera fila por a−1 .
4. Sumando m´ltiplos adecuados de la primera fila a las dem´s, anulamos todos los elementos de la
u a
primera columna no nula menos el primero.
5. Repetimos el proceso, con la matriz que resulta de eliminar la primera fila y la primera columna,
hasta conseguir un sistema escalonado.
En algunos casos podemos ahorrarnos c´lculos no siguiendo a rajatabla los pasos del proceso explicado.
a
Por ejemplo, si en la primera columna no nula hay un uno conviene, en el primer paso, tomar a como
dicho elemento, pues as´ nos ahorraremos el paso tercero. Esto nos permite afirmar que dado un sistema,
ı
el sistema escalonado obtenido a partir de ´l no es unico, aunque si hay ciertas caracter´
e ´ ısticas que son
comunes a todos ellos, a saber:
- El n´mero de filas no nulas (n´mero de ecuaciones independientes que tiene el sistema) que coincide
u u
con el n´mero de pivotes.
u
- El pivote de cada fila est´ situado siempre en la misma columna.
a
Finalmente, una vez obtenido el sistema escalonado, lo resolvemos por sustituci´n regresiva.
o
3.1. Aplicaci´n del m´todo de Gauss a la resoluci´n de un sistema de ecua-
o e o
ciones lineales con o sin par´metros
a
Estudiamos la eliminaci´n gaussiana como un m´todo para la manipulaci´n de sistemas de ecuaciones
o e o
con el fin de obtener un sistema escalonado cuya resoluci´n fuese m´s c´moda.
o a o
Nuestro objetivo ahora, es dar criterios generales que nos faciliten la resoluci´n del sistema escalonado
o
obtenido y, en consecuencia, del sistema inicialmente planteado (1).
Para ello dividimos las inc´gnitas de nuestro sistema x1 , x2 , · · · xn en dos grupos, aquellas que corre-
o
sponden a columnas con pivotes, que llamaremos inc´gnitas b´sicas y las restantes, correspondientes
o a
a las columnas sin pivotes, que llamaremos inc´gnitas libres. Al n´mero de inc´gnitas libres se le
o u o
denomina n´mero de grados de libertad del sistema.
u
En el sistema escalonado puede ocurrir entonces lo siguiente:
1. Aparece una fila al menos, en la matriz del sistema, que tiene todos los elementos nulos salvo el
ultimo (es decir hay alguna ecuaci´n de la forma 0 = b con b = 0 ). En dicho caso el sistema
´ o
escalonado y por tanto el inicial (1) es incompatible.
2. En caso contrario el sistema (1) es compatible.
a) Si el n´mero de pivotes coincide con el de inc´gnitas, es decir, no hay inc´gnitas libres, el
u o o
sistema tiene soluci´n unica. La soluci´n se obtiene por sustituci´n regresiva empezando por
o ´ o o
la ultima ecuaci´n hasta llegar a la primera (determinado).
´ o
b) Si el n´mero de pivotes es menor que el de inc´gnitas, es decir, hay inc´gnitas libres, el sistema
u o o
tiene infinitas soluciones (indeterminado). En este caso las soluciones se obtienen dando valores
arbitrarios a las inc´gnitas libres y poniendo las inc´gnitas b´sicas, por sustituci´n regresiva,
o o a o
en funci´n de dichos valores arbitrarios.
o
´
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FUNDAMENTOS MATEMATICOS

4. ´
TEMA 8 F. MATEMATICOS.
A veces aparecen sistemas de ecuaciones en los cuales ciertos coeficientes o t´rminos independientes no
e
tienen un valor fijo predeterminado, sino que son par´metros, y se nos pide estudiar el sistema para todos
a
los valores posibles de dichos par´metros (discutir el sistema). Pues bien, en dichos casos, aplicamos
a
tambi´n la t´cnica de eliminaci´n gaussiana para clasificar estos sistemas atendiendo a los distintos
e e o
valores de los par´metros.
a
M´todo de Gauss con pivoteo parcial y total
e
Cuando un proceso matem´tico no est´ definido para un valor particular de un par´metro, es muy
a a a
posible que el proceso funcione num´ricamente mal cerca de ese valor. El siguiente ejemplo ilustra las
e
consecuencias de operar con un pivote peque˜o.
n
Ejemplo. Por eliminaci´n gaussiana y trabajando con dos y cuatro cifras respectivamente, resolver el
o
sistema de ecuaciones:
0, 0001 x + y = 1
x + y = 2
Este ejemplo prueba que la aparici´n de un pivote peque˜o puede ser el anuncio de un desastre com-
o n
putacional. Por ello debemos modificar el m´todo de eliminaci´n de Gauss para evitar pivotes peque˜os
e o n
intercambiando las filas y las columnas de la matriz A. Concretamente:
Eliminaci´n gaussiana con pivoteo total. Si en la etapa r-´sima del proceso de eliminaci´n el
o e o
pivote arr es demasiado peque˜o, elegimos el elemento apq = max {|aij | / i, j ≥ r} como nuevo pivote.
n
Para ello intercambiamos las filas r y p y las columnas r y q de forma que situamos el elemento apq
en la posici´n (r,r). Obviamente hemos tomado i, j ≥ r para no perturbar los ceros que ya ten´
o ıamos.
Posteriormente continuamos la eliminaci´n con el nuevo pivote.
o
Eliminaci´n gaussiana con pivote parcial. En este caso la alternativa consiste en buscar sola-
o
mente en la r-´sima columna; es decir, tomar
e
apr = max {|air | / i ≥ r} como nuevo pivote. Para ello intercambiamos las filas r y p, continuando
posteriormente el proceso de eliminaci´n.
o
En la pr´ctica, el m´todo de Gauss con pivoteo total puede consumir mucho tiempo, computacional-
a e
mente hablando, pues para hallar el m´ximo en cada paso hay que buscar entre (m − r + 1) · (n − r + 1)
a
elementos.
En el otro caso, adem´s del ahorro de tiempo, las inc´gnitas de nuestro sistema no cambian de orden
a o
en el sistema reducido. Por ello, en general, es suficiente utilizar un pivoteo parcial.
4. Factorizaci´n L.U de una matriz
o
Teorema 1 (Descomposici´n L.U) Toda matriz A ∈ Mm×n (K ), siempre que no sea necesario re-
o
alizar un intercambio de filas, se puede descomponer en la forma A = L.U con L ∈ Mm (K ) triangular
inferior con unos en la diagonal y U ∈ Mm×n (K ) triangular superior.
Para el caso m < n, supuesto que unicamente utilicemos la transformaci´n Fij (α), ser´
´ o ıa:
   
  1 0 ··· 0 p11 u12 · · · u1m · · · u1n
a11 · · · a1m · · · a1n 
 . . .   l21 1 · · · 0   0 p22 · · · u2m · · ·
  u2n 

 . .. . . = .
. . . . . .. . . . . .. . . 
 .. .
. . .   .
. . .
. . .
. .
. 
am1 · · · amm · · · amn
lm1 lm2 · · · 1 0 0 · · · pmm · · · umn
´
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FUNDAMENTOS MATEMATICOS

5. ´
TEMA 8 F. MATEMATICOS.
Donde:
La matriz U es la matriz escalonada resultado de aplicar a la matriz A las trasformaciones elemen-
tales por filas del tipo Fij (α) .
los elementos pij de la diagonal de U , son los pivotes de la matriz A.
El elemento lij , i > j de la matriz L es exactamente el valor α cambiado de signo que aparece en
la transformaci´n elemental Fij (α) que se aplic´ a A para obtener la matriz U .
o o
Ejercicios
1. Resolver, cuando sea posible, los sistemas:

  x1 +x2 −x3 +x4 +x5 = 2
 x1 +x2 +x3 = 0 

x1 −2x2 +x4 = 5
a) −2x1 +3x2 −x3 = −4 b)
 
 −x1 +x3 +2x5 = 3
3x1 −2x2 +x3 = 2 
3x2 +x3 −2x4 = −1

  x1 +x2 −x3 −2x4 +3x5 = 0
 x1 +x2 +2x3 = 0 

−x1 +2x2 +2x3 +3x4 −2x5 = 0
c) 3x1 −x2 −2x3 = 0 d)
 
 2x1 −x2 −x3 +x4 +x5 = 0
−x1 −2x2 +x3 = 0 
2x1 +2x2 −2x3 −x4 −2x5 = 0


 x1 +2x2 −3x3 = 0

−2x1 −x3 = −3
e)
 −x1
 +x2 = 0

−2x2 +4x3 = 4
2. Utilizando el m´todo de Gauss, estudiar los sistemas seg´n los par´metros y resolverlos cuando sea
e u a
posible:
 
 mx1 −x2 +x3 = 2x1  x1 +ax2 +x3 = a+2
a) x1 +2mx2 −mx3 = x2 b) x1 +x2 +ax3 = −2a − 2
 
x1 +mx2 −x3 = 0 ax1 +x2 +x3 = a
  2
 2x1 +x2 = a  x1 +ax2 +a x3 = 1
c) 4x1 +2x2 = 1 + b d) x1 +ax2 +abx3 = a
 
5x1 +3x2 = 2 bx1 +ax2 +a2 bx3 = a2 b

 (a + 1)x1 +x2 +x3 = 1
e) x1 +(a + 1)x2 +x3 = b

x1 +x2 +(a + 1)x3 = b2
3. Dado los siguientes sistemas estudiarlos seg´n los diferentes valores de los par´metros:
u a
 
 (1 + a)x +y +z = 3+b  (1 + a)x + y − z = 1 + b
a) −ax +y +z = b b) (2 + a)x − y + 3z = −1
 
x +ay +z = 0 3x + ay + 2z = 1 − b
 
 (3u − 4)x + 2(u − 1)y + (3u − 4)z = 1  (1 + a)x +y +z =1+b
c) ux + uy + uz = (u − 1)2 d) −2x +2y +z = −2
 
 2(u − 1)x + 2(u − 1)y + (3u − 4)z = u − 1 ax (4 − a)y +3z =1+b
 (1 + a)x +y
 +z = 3 + b

−ax +y +z = b
e)
 x
 −2y +z = −4

x +ay +z = 0
´
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FUNDAMENTOS MATEMATICOS

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TEMA 8 F. MATEMATICOS.
4. Una industria utiliza tres m´quinas en la elaboraci´n de cuatro productos diferentes. Las m´quinas
a o a
se utilizan a pleno rendimiento 8 horas al d´ El n´mero de horas que cada m´quina necesita para
ıa. u a
elaborar una unidad de cada producto es:
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4
M´quina 1
a 1 2 1 2
M´quina 2
a 2 0 1 1
M´quina 3
a 1 2 3 0
¿Cu´l es el n´mero de unidades de cada producto que elaborar´ la industria en un d´
a u a ıa?
5. Tres productos X, Y y Z, tienen los siguientes porcentajes de F e, Zn y Cu:
Fe Zn Cu
X 50 30 20
Y 40 30 30
Z 30 70 0
¿Cu´nto de cada producto debe combinarse para obtener un nuevo producto que contenga 44 % de
a
F e, 38 % de Zn y 18 % de Cu?
6. Consideremos la siguiente red de calles de una direcci´n:
o
T
300 200 100
500 A x1 B x2 C 600
Ec E Ec E
T
x3 x4 x5
' 400 c
' x6 ' x7 c
' 450
F TE D
350 600 400
c c
Los n´meros indican la cantidad de coches/hora que pasan por ese punto. Las variables x1 , x2 , . . . , x7 ,
u
representan el n´mero de coches/hora que pasan de la intersecci´n A a la B, de la B a la C, etc.
u o
Suponiendo que en las calles est´ prohibido aparcar, ¿qu´ valores tomar´n las variables x1 , x2 , . . . , x7
a e a
en los siguientes casos?
a) Hay obras en la calle de D a E y por tanto queremos que en ese tramo el tr´fico sea m´
a ınimo.
b) An´logamente, hay obras en la calle de D a F .
a
7. En una red telef´nica como la de la figura las centrales A, B, y C se encargan de distribuir las
o
llamadas a la central D. Los n´meros que aparecen en la figura son las llamadas/hora que entran
u
o salen de las centrales A, B, C y D.
´
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7. ´
TEMA 8 F. MATEMATICOS.
d
d
d
α 250
d
d x3
Ad
‚ E B
©
d
d
d
d
d
c x1 ‚
d x2
d c x4
d
d
d
d
C E d
d D
‚
x5 d
d
d 850
150 d
d
d
‚
a) Hallar el valor de α que hace que sea posible la distribuci´n de llamadas.
o
b) Para dicho valor de α, hallar el n´mero de llamadas por cada tramo, si por una aver´ en la
u ıa
l´
ınea, se quiere que en el tramo BD el tr´nsito sea m´
a ınimo.
8. Hallar la factorizaci´n
o L · U de las siguientes matrices:
     
1 2 0 6 1 4 1 1 0 0
A= 0 1 0  B =  0 −1 0  C= 0 1 1 0 
2 1 −1 2 0 2 1 0 0 1
9. Calcular cuando sea posible, por el m´todo de Gauss-Jordan, la inversa de las matrices del ejercicio
e
anterior.
10. Resolver mediante factorizaci´n LU el sistema
o

 2x + y + z = 1
3x − y + 4z = 0

x+y+z = −2

 ax + by + z = 1
11. Dado el sistema de ecuaciones x + aby + z = b . Se pide:

x + by + az = 1
a) Discutirlo seg´n los valores de a y b.
u
b) Para a = 2 y b = 1, hallar A−1 por el m´todo de Gauss-Jordan donde A es la matriz de los
e
coeficientes.
c) ¿Para qu´ valores de a y b admite descomposici´n LU la matriz de los coeficientes ? Calcular
e o
dicha descomposici´n para dichos valores.
o
12. Resolver utilizando el m´todo de factorizaci´n LU los sistemas:
e o

  x −y +z =4
 4x −2y −2z = 0 

−x +2y −z +2t = −3
a) −2x +2y =1 b)
  x −y
 +5z +2t = 16
−2x +9z = 0 
2y +2z +6t =8
´
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