Este documento presenta tres definiciones equivalentes de la integral de Riemann de una función acotada en un intervalo cerrado. La primera define la integral como un número único entre las sumas inferior y superior. La segunda la define como el límite de sumas cuando aumenta el número de puntos de división. La tercera la define como el límite de sumas cuando disminuyen las longitudes de los trozos. Se demuestra la equivalencia entre las definiciones circulamente, mostrando que la primera implica a la tercera, la tercera a la segunda y la segunda a la primera.

1. Lecturas Matem´ticas
a
Volumen 23 (2002), p´ginas 27–40
a
La integral como l´
ımite de sumas
Alfonso Rider Moyano & Rafael Mar´ Rubio Ruiz
ıa
Departamento de Matem´ticas, Universidad de C´rdoba, Espa˜a
a o n
Resumen. Este trabajo aborda la definici´n de integral de Rie-
o
mann desde formas tradicionalmente utilizadas, clarificando su
equivalencia y su conveniencia de uso.
Key words and phrases. Riemann´s Integral.
2000 Mathematics Subject Classification. Primary 26A42. Sec-
ondary 00A99.
Abstract. In this work, we present the definition of Riemann´s
Integral with traditional forms, which clarify its equivalence and
its suitability of use.
Introducci´no
Sea f una funci´n continua (teor´ de Cauchy), o simplemente acotada
o ıa
(teor´ de Riemann), en un intervalo cerrado [a, b]. Sea
ıa
P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b}
una partici´n del intervalo en n trozos. Sea
o
{t1 , t2 , . . . , tn }

2. 28 A. RIDER MOYANO & R. M. RUBIO RUIZ
una n-upla arbitraria de valores tomados en cada uno de los subinterva-
los, es decir, tales que
xi−1 ≤ ti ≤ xi,
para cada valor de i = 1, 2, . . . , n. El n´mero
u
n
f (ti )(xi − xi−1 )
i=1
se dice que es una suma ordinaria (de Riemann), correspondiente a
la funci´n f y la partici´n P . Suele anotarse como σ(P, f ), pero debe
o o
observarse que para una misma partici´n hay muchas de estas sumas,
o
dada la arbitrariedad en la elecci´n de los puntos ti .
o
Frecuentemente la integral de f en [a, b] se define como l´ ımite de tales
sumas cuando aumentamos arbitrariamente la cantidad n de puntos de
divisi´n (cuando n tiende a infinito), o bien cuando la anchura de los
o
trozos se hace arbitrariamente peque˜a (tiende a cero la mayor de las
n
anchuras en cada partici´n).
o
Estas definiciones, dadas a alumnos de ense˜ anza media y frecuent´
n ısi-
mas despu´s en los primeros cursos universitarios de Matem´ticas Apli-
e a
cadas, son de las que pueden chocar a cualquier profesor de Matem´ticas
a
de nuestros d´ (el cual, no podr´ menos que sentirse deudor de los de-
ıas ıa
sarrollos elementales del An´lisis expuestos por autores tan eminentes
a
como Jean Dieudonne ´, Henri Cartan, Serge Lang, Tom M.
Apostol o Michael Spivak . . . ). Y chocan porque no se aclara la
naturaleza de estos l´ımites, los cuales no entran en ninguna de las ca-
tegor´ de l´
ıas ımites num´ricos previamente estudiados por los alumnos,
e
trat´ndose, en realidad, de l´
a ımites dirigidos o l´
ımites seg´n filtros, con-
u
ceptos que se incardinan en desarrollos m´s superiores y abstractos de
a
la Matem´tica.
a
Se trata, por tanto, de definiciones matem´ticamente incompletas y
a
tales que, aunque se completaran, resultar´ metodol´gicamente inade-
ıan o
cuadas.
En el transcurso de nuestra actividad docente, hemos eliminado el uso
de las sumas ordinarias de Riemann, para tomar como herramienta de

3. LA INTEGRAL COMO L´
IMITE DE SUMAS 29
construcci´n de la integral las llamadas sumas inferiores y sumas supe-
o
riores, en las cuales los valores de f en puntos arbitrarios de cada trozo
se sustituyen, respectivamente, por el ´ ınfimo (m´xima cota inferior) o
a
el supremo (m´ ınima cota superior) de la funci´n acotada f (no se olvide
o
que las continuas lo son, por lo que carece de sentido ce˜irse a la teor´
n ıa
de Cauchy) en cada uno de los trozos de la partici´n.o
Hay muchos desarrollos en esta l´
ınea, siendo destacable el seguido por
Spivak en su popular Calculus.
Trabajando en esta l´ınea, la integral de f en [a, b] aparece como un
n´mero unico I (si existe) intermedio a todas las sumas inferiores (que
u ´
quedan como aproximaciones por defecto a la integral) y las respectivas
superiores (aproximaciones por exceso). Las sumas ordinarias, las cuales
pueden evitarse, ser´ aproximaciones a la integral sin especificaci´n ni
ıan o
ley alguna en cuanto a serlo por defecto o exceso.
Sin embargo, habr´ que decir, para ampliaciones posteriores a la
ıa
simple exposici´n de la teor´ de la integral de funciones de una variable
o ıa
en un intervalo cerrado, es conveniente el conocimiento de las sumas
generales de Riemann y la manera de aproximarse ´stas al valor de la
e
ımites dirigidos.
integral. Hay que recurrir, pues, a los citados l´
Ahora bien, no queremos excedernos, y caer en metodolog´ tales ıas
como la de afirmar que, “ya que la integral es un l´ ımite seg´n filtros,
u
d´mos previamente una teor´ extensa de estos l´
e ıa ımites para preparar el
terreno...” Ni mucho menos: una teor´ nueva no ha de explicarse nunca
ıa
en extenso sin conocer previamente modelos concretos de la misma y
sin tener en horizonte su aplicaci´n a nuevos m´ltiples casos. Basta
o u
con dar la definici´n general de estos l´
o ımites con el disfraz del modelo
concreto (integral en nuestro caso) y como mucho informar al alumno
que se trata de un tipo m´s general de l´
a ımites que los num´ricos por ellos
e
conocidos y que existe una teor´ m´s amplia que los abarca. Si antes
ıa a
se ha estudiado la integral mediante sumas inferiores y superiores, basta
con comprobar la equivalencia con las definiciones mediante l´ ımites y
seguir adelante. En efecto.

4. 30 A. RIDER MOYANO & R. M. RUBIO RUIZ
1. Tres definiciones para un mismo concepto
Sea f una funci´n acotada en el segmento [a, b]. Para cada partici´n
o o
P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b}
y cada valor de i = 1, 2, . . . , n, existen los n´meros
u
mi (P, f ) = Inf {f (x)/xi−1 ≤ x ≤ xi },
Mi (P, f ) = Sup {f (x)/xi−1 ≤ x ≤ xi },
los cuales permiten definir estos otros:
n
s(P, f ) = mi (P, f )(xi − xi−1 ),
i=1
n
S(P, f ) = Mi (P, f )(xi − xi−1 ),
i=1
conocidos, respectivamente, como suma inferior y suma superior de
f correspondiente a la partici´n P. Por otra parte, para cada n-upla de
o
valores tomados de forma que
xi−1 ≤ ti ≤ xi ,
para cada valor de i = 1, 2, . . . , n, tenemos una suma ordinaria
n
σ(P, f ) = f (ti )(xi − xi−1 ).
i=1
Finalmente, anotemos que el n´mero
u
µ(P ) = M´x. {x1 − x0 , x2 − x1 , . . . , xn − xn−1 }
a
recibe el nombre de norma de la partici´n P.
o
1.1. La integral como valor encajado entre las sumas inferio-
res y superiores. Se dice que f es integrable-1 en [a, b] si existe un
n´mero unico I tal que
u ´
s(P, f ) ≤ I ≤ S(P, f ),
cualquiera que sea la partici´n P del segmento.
o

5. LA INTEGRAL COMO L´
IMITE DE SUMAS 31
1.2. La integral como l´ ımite de sumas cuando aumentamos
arbitrariamente la cantidad de puntos de divisi´n en el seg-
o
mento. Se dice que f es integrable-2 en [a, b] si existe un n´mero J
u
tal que, fijado cualquier n´mero ε > 0, existe al menos una partici´n
u o
P (ε) de [a, b] de manera que para cualquier otra partici´n
o
P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b}
m´s fina que P (ε) y para cualesquiera n-uplas
a
{t1 , t2 , . . . , tn }
elegidas de forma que
xi−1 ≤ ti ≤ xi ,
para cada valor de i = 1, 2, . . . , n, se verifique
n
f (ti )(xi − xi−1 ) − J < ε.
i=1
1.3. Integral como l´ ımite de sumas cuando disminuimos ar-
bitrariamente las longitudes de los trozos en que dividimos el
segmento. Se dice que f es integrable-3 en [a, b] si existe un n´mero
u
K tal que, fijado cualquier n´mero ε > 0, existe al menos otro δ > 0 de
u
manera que para cualquier partici´n
o
P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b}
de norma µ(P ) < δ y para cualesquiera n-uplas
{t1 , t2 , . . . , tn }
elegidas de forma que
xi−1 ≤ ti ≤ xi ,
para cada valor de i = 1, 2, . . . , n, se verifique
n
f (ti )(xi − xi−1 ) − K < ε.
i=1
He aqu´ tres n´meros candidatos a convertirse en la integral de f en
ı u
[a, b]. El primero, I recuerda a los definidos mediante los cl´sicos encajes
a
de intervalos de Cantor, J parece ser un l´ ımite de sucesiones, mientras
que Kse asemeja a un l´ ımite de funciones con su variable tendiendo a

6. 32 A. RIDER MOYANO & R. M. RUBIO RUIZ
cero. Tres n´meros cuya existencia ser´ simult´nea y cuya coincidencia
u a a
cabe esperar. . .
2. Equivalencia entre las tres definiciones de integrabilidad
Para probar la equivalencia entre estas definiciones supondremos que
alguna de ellas (la primera en nuestro caso) ya ha sido estudiada en ex-
tenso. Podremos, pues, usar, por ejemplo, la condici´n de Riemann
o
que es equivalente a la que acabamos de llamar de integrabilidad-1.
Por haber tres afirmaciones, la demostraci´n habr´ de ser circular. Ana-
o a
lizadas sus posibles ordenaciones, hemos encontrado como m´s simple
a
la cadena
Definici´n−1 ⇒ Definici´n−3 ⇒ Definici´n−2 ⇒ Definici´n-1
o o o o
2.1. Integrabilidad−1 ⇒ Integrabilidad-3. Dada una partici´n o
arbitraria P se tendr´, por la definici´n de I,
a o
s(P, f ) ≤ I ≤ S(P, f ),
a la vez que
s(P, f ) ≤ σ(P, f ) ≤ S(P, f ),
cualquiera que sea la suma ordinaria que construyamos con P . Restando
las dos desigualdades, se tiene
s(P, f ) − S(P, f ) ≤ σ(P, f ) − I ≤ S(P, f ) − s(P, f ) ⇔
⇔ |σ(P, f ) − I| ≤ S(P, f ) − s(P, f ).
Ahora bien, como f cumple la condici´n de Riemann, fijado un positivo
o
ε, encontraremos una partici´n P (ε) tal que
o
S(P (ε), f ) − s(P (ε), f ) < ε/2.
Sea N la cantidad de subintervalos de P (ε) y sean m y M los n´meros
u
m = Inf{f (x)/a ≤ x ≤ b}, M = Sup{f (x)/a ≤ x ≤ b}.
Para cada partici´n P pongamos
o
S(P, f ) − s(P, f ) = A + B,
donde A est´ formado por los sumandos del primer miembro correspon-
a
dientes a los trozos de P que no incluyan ning´n punto de P (ε) y B por
u
los restantes. Siendo n la cantidad de estos segundos trozos, es claro

7. LA INTEGRAL COMO L´
IMITE DE SUMAS 33
que n no puede superar estrictamente a N (en el caso de mayor disper-
si´n, pi´nsese que cada uno de ellos s´lo tendr´ un punto de P (ε) . . . ).
o e o ıa
Adem´s, en cada uno de ellos, es
a
(Mi (P, f ) − mi (P, f ))(xi − xi−1 ) ≤ (M − m)µ(P ),
de manera que
B ≤ (M − m)µ(P )n ≤ (M − m)µ(P )N.
Por otro lado, si un trozo aporta su sumando al n´mero A, estar´ con-
u a
tenido en alguno de los subintervalos de la partici´n P (ε), con lo cual
o
el sumando es menor o igual que el aportado al n´mero S(P (ε), f ) −
u
s(P (ε), f ) por el trozo de P (ε) en que est´ contenido. De aqu´ se con-
e ı
cluye que
A ≤ S(P (ε), f ) − s(P (ε), f ) < ε/2.
Fundiendo los razonamientos anteriores, podemos resumirlos as´
ı:
|σ(P, f ) − I| ≤ S(P, f ) − s(P, f ) = A + B
ε
< + (M − m)µ(P )N < ε,
2
si tomamos P de forma que
ε
µ(P ) < δ = ,
2(M − m)N
con lo cual nuestro I verifica la tercera condici´n de integrabilidad.
o
2.2 Integrabilidad–3 ⇒ Integrabilidad–2. Tomemos P (ε) como
una partici´n con norma inferior a δ (siempre existen tales particiones:
o
por ejemplo, en la sucesi´n de particiones equilongitudinales, a partir de
o
un cierto lugar todas ser´n de norma menor que δ pues su valor gen´rico
a e
(b − a)/n, tiende a cero). Para cualquier partici´n P m´s fina que esta
o a
P (ε), se tendr´
a
µ(P ) ≤ µ(P (ε)) < δ,
y, por tanto, para una suma ordinaria cualquiera asociada a ella, ser´
a
|σ(P, f ) − K| < ε,
lo que demuestra que K verifica la segunda definici´n.
o

8. 34 A. RIDER MOYANO & R. M. RUBIO RUIZ
2.3. Integrabilidad–2 ⇒ Integrabilidad–1. Fijado ε > 0, sea
P (ε) la partici´n asociada a ´l por la definici´n del n´mero J. Para
o e o u
cada partici´n arbitraria P consideremos la
o
Q = P ∪ P (ε).
Entonces, usando cualquiera de las sumas ordinarias asociadas a Q,
obtenemos las desigualdades
s(P, f ) ≤ s(Q, f ) ≤ σ(Q, f ) < J + ε,
J − ε < σ(Q, f ) ≤ S(Q, f ) ≤ S(P, f ).
Dada la arbitrariedad del positivo ε, la primera implica que
s(P, f ) ≤ J,
mientras que la segunda nos lleva a
J ≤ S(P, f ).
Por tanto, el n´mero J es un posible valor de la integral entendida
u
en nuestro primer sentido. Si logramos demostrar que f satisface la
condici´n de Riemann, quedar´ probado que es unico y, en consecuencia,
o a ´
coincidir´ con dicha integral. A este fin empecemos por observar que
a
para una partici´n arbitraria
o
P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b},
se tiene
n
S(P, f ) − s(P, f ) = (Mi (P, f ) − mi (P, f ))(xi − xi−1 ),
i=1
donde
Mi (P, f ) − mi (P, f )
coincide con el n´mero
u
Sup{f (x) − f (y)/x, y ∈ [xi−1 , xi ]}.
Esto significa que, fijado cualquier positivo ρ, existen n´meros
u
ti , ui ∈ [xi , xi−1 ]
para los cuales
Mi (P, f ) − mi (P, f ) − ρ < f (ti ) − f (ui ).

9. LA INTEGRAL COMO L´
IMITE DE SUMAS 35
Multiplicando esta desigualdad por la longitud del trozo y sumando para
todos los de la partici´n, tenemos
o
n
S(P, f ) − s(P, f ) − ρ(xi − xi−1 ) = S(P, f ) − s(P, f ) − ρ(b − a)
i=1
n n
< f (ti )(xi − xi−1 ) − f (ui )(xi − xi−1 )
i=1 i=1
lo que es equivalente a
n
S(P, f ) − s(P, f ) < ρ(b − a) + f (ti )(xi − xi−1 ) − J +
i=1
n
J− f (ui )(xi − xi−1 ) ≤ ρ(b − a) +
i=1
n n
f (ti )(xi − xi−1 ) − J + J − f (ui )(xi − xi−1 ) .
i=1 i=1
Fijado ε, basta tomar la partici´n P (ε) asociada por la definici´n de J
o o
al positivo ε/3 y particularizar la anterior desigualdad a esta partici´n
o
y al valor
ε
ρ= ,
3(b − a)
para obtener finalmente
S(P (ε), f ) − s(P (ε), f ) < ε.
Las demostraciones est´n acabadas, pero cabe alg´n comentario per-
a u
sonal. El segundo paso (integrabilidad-3 ⇒ integrabilidad-2) es casi tri-
vial, el tercero (integrabilidad−2 ⇒ integrabilidad-1 ) queda bien ela-
borado, es cl´sico, can´nico, pero he aqu´ que queda como curioso el
a o ı
primero (integrabilidad−1 ⇒ integrabilidad−3). La relaci´n
o
S(P, f ) − s(P, f ) ≤ (M − m)µ(P )n,

10. 36 A. RIDER MOYANO & R. M. RUBIO RUIZ
donde n es ahora la cantidad de trozos de P , es inmediata pero no
permite seguir acotando adecuadamente el segundo t´rmino por la pre-
e
sencia del factor n; hemos tenido que acotar ´ste mediante la introduc-
e
ci´n de la componente B del primer t´rmino y ah´ ha estado la clave
o e ı
de la demostraci´n porque, adem´s, el otro sumando A se logra acotar
o a
mediante la condici´n de Riemann.
o
3. ¿Por qu´ tres nombres para un mismo objeto?
e
En nuestro primer punto hab´ ıamos se˜ alado que para ciertas aplica-
n
ciones de la integral es preferible usar la versi´n de l´
o ımite dirigido y no
la de n´mero encajado. Ilustr´moslo a trav´s de algunos ejemplos que
u e e
muestren la conveniencia de cada caso.
En los tres primeros ejemplos, las sumas inferiores y superiores ofrecen
un m´todo natural de aproximaci´n:
e o
´
1) Area encerrada por un trapecio recto, con un lado curvado
Hay un caso elemental que es el del rect´ngulo. Su area es el producto
a ´
de la longitud de la altura por la longitud de la base.
2) Masa de un alambre recto, conocida la densidad
El caso elemental es el de densidad constante. La masa, entonces, es el
producto de tal constante por la longitud del alambre.
3) Trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de un
segmento rectil´ ıneo si la direcci´n es constante e igual a la del
o
desplazamiento
El caso de fuerza con intensidad o m´dulo constante es elemental. El
o
trabajo, para ´l, se mide mediante el producto de esta constante por la
e
longitud recorrida.
En estos modelos, el primer factor de la medida para el caso elemental
es una funci´n sin m´s. El primero de ellos tiene un uso tan antiguo
o a
como la propia Teor´ de la Integral y es el que los Profesores utilizan
ıa
habitualmente para motivar el concepto de integral. Nosotros, actuando
en consecuencia con lo se˜alado al principio de no estudiar teor´ gene-
n ıas
rales hasta conocer varios modelos concretos, solemos dar un paso m´s a
y actuamos de otra forma: desarrollamos independientemente los tres

11. LA INTEGRAL COMO L´
IMITE DE SUMAS 37
modelos, haciendo ver al alumno que siempre llegamos a que el n´ mero
u
para medir bien el ´rea, bien la masa o bien el trabajo, se aproxima siem-
a
pre por unos n´meros que aritm´ticamente son los mismos. Entonces
u e
queda justificado el darles nombre: son las sumas inferiores y superiores
de Riemann, y a nadie extra˜ar´ que el n´mero buscado (´rea, masa
n a u a
o trabajo), cuando prescindamos de la interpretaci´n propia de cada
o
modelo, nos lleve a un nuevo concepto: la integral de Riemann.
Sin embargo, si el primer factor es resultado a su vez de operaciones
con una o varias funciones, las aproximaciones se expresan mejor con
sumas ordinarias de Riemann y esto tiene su explicaci´n: no hay un
o
a
´lgebra clara para trabajar ni con los ´
ınfimos ni con los supremos. Pre-
cisamente por ello, la introducci´n de modelos compuestos debe hacerse
o
cuando ya se ha desarrollado suficientemente la Teor´ de la Integral y se
ıa
conozca, por ejemplo, que ciertas operaciones con funciones integrables
tienen resultado integrable o que las funciones continuas siempre lo son.
Desarrollaremos en detalle un modelo de este tipo:
Momento de inercia de un alambre recto no homog´neo res- e
pecto de un elemento geom´trico r (punto o recta) dado.
e
Partimos del caso simple de una masa puntual m situada a una dis-
tancia δ de r, cuyo momento de inercia se define como el n´mero
u
Ir = mδ 2 .
Esta misma f´rmula se mantiene para un sistema finito de masas
o
{m1 , m2 , . . . , mn }
situadas a distancias
{δ1 , δ2 , . . . , δn }
de r, sin m´s que sumar. Es decir, el momento de inercia del sistema
a
ser´ el n´mero
ıa u
n
2
Ir = δi m i .
i=1
El paso de este sistema discreto a uno continuo (segmento de alambre no
homog´neo) requiere referenciarlo convenientemente, lo cual se consigue
e
situando el alambre en un intervalo [a, b] del primer eje coordenado, para
poder expresar dos funciones: una f (x) que nos se˜ ale la densidad (masa
n

12. 38 A. RIDER MOYANO & R. M. RUBIO RUIZ
por unidad de longitud) y otra δ(x) que mida la distancia desde r a cada
valor x del intervalo. Tomada ahora una partici´n
o
P = {a = x0 , x1 , x2 , ..., xn−1 , xn = b},
cabr´ la construcci´n de un n´mero que mida aproximadamente el mo-
ıa o u
mento de inercia del alambre sin m´s que imaginar que a cada trozo le
a
asignamos una densidad constante e igual, por ejemplo, a la de su punto
inicial, as´ como imaginar que la masa de este trozo se encuentra toda
ı
concentrada en el mismo punto inicial. Este n´mero ser´
u ıa
n
δ 2 (xi−1 )f (xi−1 )(xi − xi−1 ),
i=1
y observamos enseguida que se trata de una suma ordinaria de Riemann
asociada a la partici´n P y a la funci´n
o o
δ 2 (x)f (x).
Si δ y f se suponen continuas, tambi´n lo es la anterior y, por tanto,
e
se trata de una funci´n integrable en [a, b]. Tomando particiones bien
o
cada vez con m´s puntos de divisi´n, bien con norma cada vez menor,
a o
las anteriores sumas aproximan por un lado a la medida buscada del
momento de inercia y por otro lado a su integral. Nada m´s natural,
a
entonces, que tomar el n´mero
u
b
Ir = δ 2 (x)f (x)dx
a
como extensi´n continua del momento de inercia conocido para casos
o
discretos.
Hemos tratado el caso simple de un alambre recto. Si fuese curvo,
razonamientos similares nos conducir´ a una integral curvil´
ıan ınea. O
una integral doble si se tratase de una l´mina plana, una de superficie si
a
fuese una l´mina curvada o una triple para el caso m´s general (y real
a a
por cierto) de un s´lido.
o
4. Los elementos diferenciales
Este mismo problema ser´ abordado del siguiente modo, en algunos
ıa
casos, por usuarios de la matem´tica de formaci´n t´cnica
a o e

13. LA INTEGRAL COMO L´
IMITE DE SUMAS 39
-T´mese un trozo peque˜o de alambre con longitud dx en el que
o n
la densidad y la distancia sean constantes, su momento de inercia ser´
a
δ 2 (x)f (x)dx.
Esta es la diferencial del momento de inercia, luego si lo queremos para
todo el alambre, hagamos lo contrario de diferenciar, integr´moslo.
e
Si abordamos el problema mas general de una l´mina plana, no ser´
a a
tan clara la existencia de una funci´n (de dos variables, por supuesto)
o
que tuviera como diferencial el leibniziano integrando
δ 2 (x, y)f (x, y)dxdy
Para dar justificaci´n a este modo de proceder, habr´ que adentrarse
o ıa
en la teor´ del c´lculo diferencial exterior, lo cual quedar´ fuera del
ıa a a
alcance habitual en los cursos de matem´ticas de las distintas carreras
a
t´cnicas.
e
Sin embargo, el uso de este tipo de razonamientos (con variantes
m´s o menos esmeradas) no es del todo rechazable. La misma histo-
a
ria est´ llena de ellos. Se trata de lo que podr´
a ıamos llamar mentiras,
que encierran una verdad, y en cualquier caso, de maravillas del lenguaje
sint´tico, porque bien conducidas lo unico que hacen es abreviar toda
e ´
nuestra exposici´n para llegar, no ya a una diferencial, sino m´s bi-
o a
en al conocimiento del sumando gen´rico que aparece en las sumas de
e
Riemann de la integral que vamos buscando.
Pero lo mismo que hemos hablado de modelos simples y modelos com-
puestos, sugiriendo que ´stos se empleen en etapas m´s avanzadas dentro
e a
de la exposici´n de una Teor´ de la Integral, la consideraci´n de los ele-
o ıa o
mentos diferenciales debe hacerse cuando el alumno haya avanzado en
la madurez del tema.
Referencias
[1] Apostol, Tom M. An´lisis matem´tico, 2a. edici´n. Revert´, Barcelona, 1996.
a a o e
[2] Apostol, Tom M. Calculus, Vols. I, II. Revert´, Barcelona, 1989.
e
[3] Dieudonn´, Jean. Elementos de an´lisis. Revert´, Barcelona, 1981.
e a e
[4] Gaughn, E. Introducci´n al an´lisis. Editorial Alhambra.
o a

14. 40 A. RIDER MOYANO & R. M. RUBIO RUIZ
[5] Spivack, Michael. Calculus, 2a. edici´n, Revert´, Barcelona, 1992.
o e
[6] Schwartz, Laurent. Cours d’analyse. Hermann, Paris, .
(Recibido en septiembre 2001)
Alfonso Rider Moyano & Rafael Mar´a Rubio Ruiz
ı
e-mail: ma1rimoa@uco.es, ma1rurur@uco.es
´
Universidad de Cordoba, Campus de Rabanales. Edificio C-2.C.P.
Espa˜a, 14071. Tel´fono: 957211023
n e