Libro 1 antenas

CONTENIDO
Pág.
l. PROPIEDADES DE LAS ANTENAS 4
1.1 Introducción 4
1.2 Función de las antenas 4
1.3 Patrón de radiación 5
1.4 Polarización 7
1.4.1 Polarización lineal 7
1.4.2 Polarización elíptica o circular 8
1.5 Ganancia Directiva 9
1.6 Ganancia de Potencia 11
1.7 Relación Frente-espalda 12
1.8 Resistencia de Radiación 12
1.9 Impedancia 13
l.10 Ancho de Banda 13
l.11 Apertura Efectiva 14
2. ANTENAS ELEMENTALES 15
2.1 Método de Análisis 15
2.1.1 Función Potencial 15
2.2 Antena Dipolo Hertziano 18
2.2.1 Campos en zonas apartadas 21
2.2.2 Patrón de Radiación 22
2.2.3 Potencia Radiada 23
2.2.4 Resistencia de Radiación 24
2.2.5 Polarización 24
2.3 Dipolo Magnético Elemental 25
3. ANTENAS DE ALAMBRE 30
3.1 Antena Dipolo Largo 30
3.1.1 Campos Radiados 31
3.1.2 Patrón de Radiación 35
3.1.3 Potencia Radiada 36
3.1.4 Dipolo de longitud Resonante 37
3.1.5 Impedancia 38
3.1.5.1 Resistencia de Pérdidas 39

2
3.2 Antena Dipolo Doblado 44
3.3 Antena Dipolo Corto 50
3.4 Antena Dipolo de banda Dual 54
3.5 Antena Monopolo 55
4. REDES DE ACOPLAMIENTO 58
4.1 Red tipo L 58
4.2 Red tipo L invertida 63
4.3 Red tipo T 68
4.4 Red tipo PI 70
5. BALUNS 71
6. DUPLEXORES 76
7. ARREGLOS DE ANTENAS 78
7.1 Principio de multiplicación de patrones 79
7.2 Arreglos uniformes en una dimensión 80
7.2.1 Arreglo de radiación lateral 83
7.2.2 Arreglo de radiación longitudinal 87
7.3 Arreglos uniformes en dos dimensiones 91
8. ARREGLOS CON ELEMENTOS PARASITOS 93
8.1 Procedimiento de diseño de una antena YAGI – UDA 99
8.1.1 Determinación del número de elementos del arreglo 99
8.1.2 Cálculo de las longitudes de los dipolos 101
8.1.3 Cálculo de la longitud total de la antena 102
8.1.4 Cálculo de los espaciamientos 102
8.1.5 Cálculo de los diámetros de los conductores 103
8.1.6 Consideraciones en la implementación del diseño 103
9. ANTENAS DE BANDA ANCHA 104
9.1 Diseño de Arreglos logarítmico periódicos de dipolos 105
9.1.1 Regiones de funcionamiento 109
9.1.2 Condiciones de escalamiento 110
9.1.3 Impedancia de entrada 111
9.1.4 Consideraciones de Diseño 112
9.1.4.1 Constante de truncamiento de baja frecuencia 112
9.1.4.2 Constante de truncamiento de alta frecuencia 112
9.1.4.3 Espaciamiento 112
9.1.4.4 Longitud del alimentador y número de elementos 113
9.1.4.5 Carga Terminal 113

3
9.1.5 Procedimiento de diseño 113
Apéndice (Tablas de diseño) 115

4
1. -PROPIEDADES DE LAS ANTENAS
1.1.- INTRODUCCION
Hay dos categorías amplias en los sistemas de comunicaciones: aquellos que utilizan líneas
de transmisión, en la interconexión de una red y, aquellos que dependen de la radiación
electromagnética con una antena en los sitios de transmisión y recepción. En esta segunda
categoría, las antenas son sin duda, componentes esenciales de un sistema de
comunicaciones, consecuentemente, quien esté relacionado con sistemas de
comunicaciones debe tener claro, y entender los fundamentos de las antenas, para poder
evaluar el comportamiento de un sistema de comunicaciones utilizando sus conocimientos
básicos.
Los principios generales revisados hasta ahora, son muy útiles para el estudio de antenas,
el mismo que es inherentemente mas complicado desde el punto de vista electromagnético,
que aquel para líneas de transmisión y guías de onda. El estudio de antenas en el presente
curso, será únicamente superficial puesto que el tema es sumamente extenso y profundo.
1.2.- FUNCION DE LAS ANTENAS
Las antenas son estructuras metálicas o también metálicas dieléctricas, diseñadas para
radiar o recibir ondas electromagnéticas permitiendo una transferencia eficiente de energía
entre una línea de transmisión y el espacio libre; esto es, transforman una onda guiada en
una onda en el espacio libre o viceversa.
El carácter de los procesos, que tienen lugar en las antenas transmisora y receptora
atestigua su reciprocidad, la misma que encuentra su expresión en la posibilidad de utilizar
una misma antena en calidad de transmisora y receptora, y de conservar invariables los
parámetros principales de la antena al pasar del régimen de transmisión al de recepción y
viceversa. Este principio tiene gran importancia práctica, y es utilizado en la mayoría de
sistemas de comunicaciones.
Todas las antenas, independientemente de su aplicación, tienen ciertas propiedades básicas
comunes, como son: patrón de radiación, polarización, directividad, ganancia, impedancia,
ancho de banda, mientras que otras propiedades como: resistencia de radiación, relación
frente a espalda, etc. no son aplicables a todos los tipos de antenas. Estas propiedades son
iguales para transmisión o recepción en virtud del principio de reciprocidad (no para
antenas activas).

5
1.3.- PATRON DE RADIACION
El patrón de radiación de una antena determina la distribución espacial de la energía
radiada, y es usualmente la primera propiedad que es especificada en una antena luego de
conocer la frecuencia de operación. Es común en la práctica realizar gráficas de secciones
planas del patrón de radiación en vez de la superficie tridimensional completa. Las dos
vistas más importantes del patrón de radiación, son aquellas del plano principal paralelo al
vector intensidad de campo eléctrico en la dirección en que este es máximo, conocido
como plano-E y la del plano principal perpendicular al plano-E conocido como plano-H. El
ancho del haz en un plano principal se define como el ancho angular entre puntos que están
3 dB por debajo del máximo del haz.
Los tipos más comunes de patrones de radiación son: patrón de radiación omnidireccional,
patrón direccional, patrón de haz tipo lápiz, patrón de haz tipo abanico, y patrón de haz de
forma arbitraria.
El patrón de radiación omnidireccional se utiliza para sistemas de radiodifusión o servicios
de comunicaciones donde todas las direcciones deben ser cubiertas en igual forma. El
patrón en el plano horizontal es circular, mientras que en el plano vertical, tendrá un ancho
angular.
Figura l.1 Patrones de radiación en Coordenadas Polares (a) Omnidireccional Plano-H;
(b) tipo Lápiz (volumétrico); (c) Direccional plano-E
El patrón de haz tipo lápiz es un patrón altamente direccional y es usado cuando se desea
obtener máxima ganancia y cuando la radiación debe ser concentrada en un sector angular
lo mas angosto posible. El ancho del haz en los dos planos principales es esencialmente
igual. El patrón de haz tipo abanico es similar al tipo lápiz excepto que la sección
transversal del haz es de forma elíptica en vez de circular. El ancho angular del haz en uno
de los planos es mucho mayor que en el otro plano.

6
El patrón de haz de forma arbitraria se usa cuando en uno de los planos se desea tener un
tipo de cobertura especificada. El patrón en el otro plano principal puede tener un ancho
angular angosto o en forma de circunferencia para cierto tipo de aplicaciones.
Hay otros tipos de patrones de diferentes formas utilizados en aplicaciones especiales
(cardioide, de multilóbulo, etc.).
El patrón de radiación de una antena, es particular para el tipo de antena y sus
características eléctricas así como también para sus dimensiones físicas. La medida del
mismo, se realiza a una distancia constante en las zonas apartadas de la antena. El patrón
de radiación de una antena es a menudo graficado en términos de potencia relativa
(normalizado). Esto es, la posición de la potencia máxima radiada es graficada a 0 dbs; así
la potencia de todas las otras posiciones aparecerá como un valor negativo.
En cualquier tipo de patrón de radiación, podrían aparecer haces (lóbulos) de radiación no
deseada, conocidos como lóbulos laterales o secundarios, los cuales están separados del
lóbulo principal y cuyo nivel se especifica con referencia al lóbulo principal generalmente
en dB bajo este. Puesto que estos no contribuyen en la dirección principal de interés,
siempre es deseable mantener los lóbulos laterales en niveles razonablemente bajos.
El patrón de radiación puede ser graficado usando coordenadas rectangulares o
coordenadas polares. Los gráficos en coordenadas rectangulares pueden ser leídos en
forma más precisa, sin embargo, los gráficos polares, dan una representación más real,
siendo así fácil la visualización.
Figura 1.2. Patrón de radiación en coordenadas rectangulares

7
1.4.- POLARIZACION
Aunque este término puede ser aplicado igual para polarización magnética o eléctrica, el
mismo es definido exclusivamente en términos de la orientación del vector intensidad de
campo eléctrico en la dirección de máxima radiación. Esto es, como varía la amplitud del
campo eléctrico en el tiempo, si nos ubicamos en un punto fijo en el espacio. Así, el
extremo del campo eléctrico podría describir una línea recta, una elipse o un círculo. Se
dice entonces que la polarización de una antena, es la polarización del campo eléctrico que
radiaría la antena en la dirección en que este sea máximo.
1.4.1.- POLARIZACIÓN LINEAL
En el caso de polarización lineal, el vector intensidad de campo eléctrico varía
senoidalmente en el tiempo en un plano (plano YZ) como se indica en la figura 1.3. Si un
observador, en un punto fijo en el espacio (Ejem. z=0), mira la punta del vector campo
eléctrico conforme transcurre el tiempo, observará, que este describe una trayectoria lineal,
y para este caso vertical. Se dice entonces que el campo eléctrico tiene polarización
vertical (polarización lineal). Si la trayectoria lineal es en el plano horizontal, se tendrá el
caso de polarización horizontal. El vector campo eléctrico podría también estar polarizado,
formando cualquier ángulo con los planos horizontal o vertical, sin embargo solo el ángulo
de 45 grados es utilizado, caso en el cual se conoce como polarización oblicua o inclinada.
Em sin (wt-Bz)
Figura 1.3. Variación del campo eléctrico con el tiempo en un punto fijo en el espacio para
polarización vertical.
Es importante entonces hacer notar, que la polarización de la antena receptora, debe
coincidir con la polarización de la radiación incidente, para detectar el máximo del campo

8
eléctrico. Si no sucede esto, será detectado solo el componente del campo en la dirección
de polarización de la antena.
1.4.2.- POLARIZACION ELIPTICA O CIRCULAR
La polarización circular es un caso particular de la polarización elíptica por lo que serán
revisadas juntas. Asúmase que el campo eléctrico radiado por una antena tiene dos
componentes que varían senoidalmente en el tiempo con un desfasamiento temporal y
espacial de 90 grados como se indica en la figura 1.4.
E = Em1 Sin(wt - Bz) i + Em2 Sin(wt – Bz + 90°) j
Figura 1.4 Polarización circular producida por dos ondas planas ortogonal mente
polarizadas en cuadratura de fase.
Un observador ubicado en un punto fijo en el espacio (Ejem. z=0), mirará que el campo
resultante en cada instante de tiempo, será la suma de los dos componentes. Si las
amplitudes de los componentes son iguales, el campo resultante siempre tendrá la misma
amplitud pero diferente dirección, describiendo por tanto una trayectoria circular como se
indica en la figura 1.4. Se trata entonces de un campo con polarización circular.

9
Si, las amplitudes de los componentes son diferentes (Ejem. Em2>Eml), el campo
resultante describirá una trayectoria elíptica con el eje mayor en la dirección vertical como
se indica en la figura 1.5. El campo eléctrico tendrá entonces polarización elíptica.
Figura 1.5 Dos casos de polarización elíptica: a) eje mayor vertical, b) eje mayor horizontal
Para el caso de los ejemplos, la amplitud del campo eléctrico resultante cambia de posición
rotando en la dirección horaria. Se dice entonces que se trata de POLARIZACIÓN
CIRCULAR A LA DERECHA que se abrevia como RHCP (Right Hand Circular
Polarization). Si el vector resultante, estuviese rotando en la dirección antihoraria se
conoce como POLARIZACIÓN CIRCULAR A LA IZQUIERDA que se abrevia como
LHCP (Left Hand Circular Polarization).
Las antenas pueden radiar energía no deseada con una polarización diferente a la esperada.
A esta radiación con polarización no deseada se la conoce como POLARIZACIÓN
CRUZADA. Para el caso de polarización lineal la polarización cruzada es perpendicular a
la polarización que se espera. Para polarización circular, la polarización cruzada puede ser
considerada como el componente que tiene el sentido de rotación opuesto al que se espera.
1.5.- GANANCIA DIRECTIVA
AKI
Ninguna antena real irradia energía uniformemente en todas las direcciones, por lo que
siempre existirá una mayor concentración de energía en cierta dirección. Si esta
concentración de energía es medida tomando como referencia un radiador ficticio sin
perdidas que irradie energía uniformemente en todas las direcciones, se tendrá una medida

10
de la concentración de potencia en una dirección particular para esa antena. A esta medida
de la concentración de potencia en una dirección particular (θ, φ) a una distancia fija (r) de
la antena se conoce como ganancia directiva de la antena.
Al radiador ficticio sin perdidas que irradie energía uniformemente en todas las direcciones
y que se lo toma como referencia se lo conoce como RADIADOR ISOTROPICO. La
ganancia directiva D(θ, φ) de una antena estará entonces dada por:
D(θ, φ) =
),(
)(
φθ
φθ
AVU
U ,
donde: U(θ, φ) = Intensidad de radiación
Uav= Intensidad media de radiación asumiendo distribución uniforme
Uav= P rad / 4π
La intensidad media de radiación asumiendo una distribución uniforme de potencia en
todas las direcciones (radiador isotrópico) se la puede obtener mediante la relación de la
potencia total radiada (P rad ) para el ángulo sólido total 4π. Esto es, la ganancia directiva
quedará:
D(θ, φ) = 4 π
AVP
U ),( φθ
La intensidad de radiación no es mas que la potencia radiada por unidad de ángulo sólido y
puede ser determinada como: U(θ, φ) = Sav r2
ó también así:
U(θ, φ) = (1/2ŋ)E2
(r, θ, φ) . r2
donde:
Sav = Densidad media de potencia
ŋ = Impedancia característica del aire = 120 π
r = Distancia radial desde la antena al punto donde se determina el campo
E(r, θ, φ) = Amplitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas (r, θ, φ)
El valor de la ganancia directiva D(r, θ, φ) en la dirección en que esta es máxima se
conoce simplemente como DIRECTIVIDAD.

11
1.6.- GANANCIA DE POTENCIA
La ganancia directiva de una antena es simplemente una función de la forma del patrón de
radiación de la antena. La ganancia de potencia por otro lado tiene en cuenta las perdidas
en la antena y está definida de manera similar a la ganancia directiva, excepto que en este
caso la potencia de entrada total a la antena es usada como referencia en vez de la potencia
total radiada. Siendo la diferencia entre estas dos potencias una medida de la eficiencia de
la antena; esto es:
Prad = e Pin
Donde e es la eficiencia, Pin es la potencia total de entrada a la antena y Prad es la potencia
total radiada por la antena.
La ganancia de potencia es entonces definida como:
G(θ, φ) = 4 π
inP
U ),( ϕθ
Y usando la relación anterior G(θ, φ) = e D(θ, φ)
Esto quiere decir que para antenas sin pérdidas donde la eficiencia es 100%, la ganancia
directiva y la ganancia de potencia son sinónimos. Esto sucede en el radiador isotrópico.
El valor de la ganancia de potencia en la dirección en que esta es máxima se conoce
simplemente como GANANCIA.
A menudo la ganancia de una antena está dada en decibelios tomando como referencia la
ganancia de un radiador isotrópico Go (que es 1) así:
G(dB) = 10 log (G/Go)
G(dB) = 10 log G -10 log Go
G(dB) = 10 log G
La ganancia expresada en dB teniendo como referencia el radiador isotrópico se conoce
con la unidad dBi. Por el contrario, si la referencia es el dipolo de longitud resonante, su
unidad se denomina dBd.
Las ganancias de las antenas varían entre valores de 2 dB para un dipolo, hasta valores
alrededor de 70 dB para una antena de estación de tierra satelital. Estas representan
ganancias lineales en relaciones de 1.5 a 10'000.000, respectivamente comparados con una
antena isotrópica.

12
1.7.- RELACION FRENTE A ESPALDA
La relación frente a espalda F/B (Front to Back ratio) es una medida de la habilidad de una
antena direccional para concentrar el lóbulo principal en la dirección requerida. En
términos lineales, esta es definida como la relación de la potencia máxima del lóbulo
principal para aquella del lóbulo en la dirección contraria (Backlobe). Esta, está
usualmente expresada en decibelios, como la diferencia entre los niveles del máximo en la
dirección frontal (forward) y el máximo en la dirección opuesta. Ver figura 1.6.
Figura 1.6. Patrón de radiación mostrando el lóbulo de espalda.
1.8.- RESISTENCIA DE RADIACION
La Resistencia de radiación de una antena es aquella resistencia equivalente, la cual
disiparía la misma cantidad de potencia que la antena irradia, cuando la corriente en esta
resistencia es igual a la corriente en los terminales de entrada de la antena. De acuerdo a
esto, la resistencia de radiación caracterizará la capacidad de la antena para la emisión de
energía electromagnética, y no provocará la transformación de energía eléctrica en térmica.
El valor de la resistencia de radiación, puede determinarse entonces, mediante la siguiente
relación:
Rrad = P rad / Iin
2

13
donde Prad , es la potencia total radiada por la antena y, Iin es la corriente en los terminales
de entrada a la antena.
1.9.-IMPEDANCIA
La impedancia de entrada de un sistema de antena es de considerable importancia, puesto
que esta directamente afecta la eficiencia de la transferencia de energía a ó desde la antena.
La impedancia de entrada de un sistema de antena depende no solamente de la impedancia
de los elementos individuales de la antena, sino también de la impedancia mutua entre los
elementos de la antena, así como de las condiciones de acoplamiento y montaje de la
antena.
Es extremadamente difícil determinar de manera teórica la impedancia de entrada de una
antena, aunque tenga una forma geométrica simple. Y aun, para estos casos simples existen
muchos tropiezos, por lo que es generalmente preferible usar inicialmente valores de
impedancia teóricos para propósitos de interpretar y guiar el procedimiento de medición
experimental.
1.10.- ANCHO DE BANDA
El ancho de banda de una antena es una medida de su habilidad para radiar o recibir
diferentes frecuencias, y se define como el rango de frecuencias en que la antena puede
radiar o recibir con una eficiencia de potencia del 50% o más (o, en voltaje con una
eficiencia del 70,7% o más). Un gran ancho de banda, es alcanzado sacrificando la
ganancia.
El ancho de banda es generalmente expresado en una de las dos formas: como un
porcentaje o como una fracción o múltiplo de una octava. (Una octava es una banda de
frecuencias entre una frecuencia y la frecuencia que es el doble o la mitad de la primera
frecuencia.) Cuando éste, está expresado como un porcentaje del ancho de banda, el mismo
debe ser repartido y expresado relativo a su frecuencia central.
Cuando el ancho de banda es expresado en forma de porcentaje, este es definido por la
relación:
Bw= (Δf / f) .100
donde f es la frecuencia central y Δf es el rango de frecuencia.
Ejemplo: Las frecuencias de operación de una antena están en el rango de 1 GHz. a 2GHz.,
expresar el este ancho de banda como un porcentaje.

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Solución: Si el rango de frecuencias es de 1 GHz a 2GHz , Δf será 2-1 = 1 GHz. y la
frecuencia central.5GHz. Utilizando la expresión anterior Bw= 66.7%. Entonces el ancho
de banda puede ser descrito como 66.7% a 1.5GHzó 1.5GHz + 33.3% ó 1.5GHz. +
0.5GHz.
Cuando el ancho de banda es expresado en términos de una fracción o múltiplos de una
octava, éste está definido por la siguiente relación:
Bw= log2( fsup / finf )
donde fsup es la frecuencia mayor y, finf es la frecuencia menor de operación.
1.11.- APERTURA EFECTIVA
Considerando una antena como dispositivo receptor, es sumamente útil emplear el
concepto de área efectiva. Si una antena receptora es ubicada dentro del campo de una
onda electromagnética linealmente polarizada, la potencia recibida disponible en los
terminales de la antena es igual al área efectiva que multiplica a la potencia por unidad de
superficie que transporta la onda (densidad de potencia).
Prec = Sav .Aeff ó Aeff = Prec / Sav
donde Prec es la potencia recibida en vatios, Sav es la densidad de potencia de la onda
presente en vatios por metro cuadrado, y, Aeff es el área efectiva de la antena en metros
cuadrados.
Existe una relación muy útil entre el área efectiva y su ganancia de potencia como sigue:
Aeff = λ2
G / 4π

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2. ANTENAS ELEMENTALES
2.1.- METODO DE ANALISIS
Uno de los métodos para determinar la configuración de los campos electromagnéticos
radiados por una antena es partir del conocimiento ya sea de la distribución de corriente en
la superficie de la estructura o del conocimiento de los campos en la superficie de la
misma. Puesto que es mas sencillo determinar o asumir de alguna manera la distribución
de corriente, antes que la forma de los campos, se enfoca el análisis generalmente a partir
de la distribución de corriente, mediante la utilización de funciones potencial auxiliares
como el vector potencial magnético o el vector potencial eléctrico. En este caso se
utilizará exclusivamente el vector potencial magnético.
2.1.1.- FUNCION POTENCIAL
Partiendo de las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre en notación fasorial se tiene
que:
EjwsJHx
BjwHjwEx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ε
μ
+=∇
−=−=∇
donde el término sJˆ es el fasor densidad de corriente en la región, el mismo se lo tratará
como la fuente conocida de los campos electromagnéticos radiados.
Utilizando la identidad vectorial 0=×∇•∇ N
)
Y puesto que 0ˆ =•∇ B , entonces el vector Bˆ puede escribirse como el rotacional de una
función vectorial, que en este caso se la define como vector potencial magnético ( Aˆ ), esto
es,
AB ˆˆ ×∇=
reemplazando en la primera ecuación
0)ˆˆ(
)ˆ(ˆ
=+∇
∇−=∇
AjwEx
AxjwEx
y por la identidad vectorial 0=•∇×∇ V se tiene que
VAjwE −∇=+ ˆˆ

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donde el signo negativo es arbitrario y sirve para simplificar futuros resultados. Siendo V
la función potencial escalar eléctrico.
Por lo tanto si de alguna forma se puede determinar Aˆ y V, los vectores intensidad de
campo eléctrico e intensidad de campo magnético pueden encontrarse como
VAjwE
AxH
∇−−=
∇=
ˆˆ
ˆ1
0μ
)
Esto es, Aˆ y V pueden considerarse únicamente como funciones intermedias en el
proceso de determinación de los vectores de campo deseados.
De la ley de Ampere y utilizando la identidad vectorial del rotacional de una función
vectorial se tiene que
)ˆ(ˆˆ)ˆ(
ˆˆˆ
ˆˆ)(
000
2
000
0000
VAjwjwsJAA
EjwsJA
EjwsJH
∇−−+=∇−•∇∇
+=×∇×∇
+=×∇
εμμ
εμμ
εμμμ
)
de donde,
)ˆ(ˆˆˆ
ˆ)ˆ(ˆˆ
000
2
0
2
0000
2
0
2
VjwAsJAA
VjwAwAsJA
εμμβ
εμεμμ
+•∇∇+−=+∇
∇+−•∇∇+−=∇
ecuación que está en términos únicamente de las funciones potencial ( a ser determinadas)
Aˆ y V y de la fuente (densidad de corriente sJˆ ) la cual se asume conocida.
En este punto, se requiere más información de la función potencial auxiliar. Para
determinar completamente Aˆ , es necesario definir no solo el rotacional sino la
divergencia. Esto es, si se hace que,
VjwA 00
ˆ εμ−=•∇
relación conocida como condición de Lorentz, la ecuación anterior quedará
sJAA ˆˆˆ
0
2
0
2
μβ −=+∇
donde 000
εμωβ =
Se obtiene entonces una ecuación que relaciona exclusivamente al vector potencial
magnético con la densidad de corriente (fuente conocida), la misma que es similar a la
ecuación de la onda con un término adicional - sJˆ
0μ . Esta es una ecuación vectorial que
puede expandirse en sus componentes escalares, cada uno de los cuales será también una
ecuación diferencial parcial de segundo orden no homogénea. Esto es, asumiendo

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coordenadas rectangulares, los componentes escalares serán:
zzz
yyy
xxx
sJAA
sJAA
sJAA
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
μβ
μβ
μβ
−=+∇
−=+∇
−=+∇
La expresión que se asume como solución de este tipo de ecuación diferencial, es la
conocida expresión integral da por:
´
ˆ
4
ˆ
´
´0
0
dv
R
esJ
A
v
Rj
x
x ∫
−
=
β
π
μ
Teniendo la misma forma para el caso de yAˆ y zAˆ .
O en forma vectorial el vector Potencial magnético estará dado por:
´
'ˆ
4
ˆ
´
0
0
dv
R
esJ
A
v
Rj
∫
−
=
β
π
μ
donde dv’ contiene a 'ˆsJ , R es la distancia entre el diferencial elemental de volumen y el
punto en el cual se está determinando Aˆ y r es la magnitud del vector posición del punto
donde se determina Aˆ .
De este modo entonces, si se conoce la distribución de corriente sobre la superficie del
radiador de una antena ( sJˆ ), mediante la solución de la expresión integral anterior se
puede determinar el vector potencial magnético, y conocido este los vectores del campo
electromagnético radiado de las expresiones
AxH ˆ1ˆ
0
∇=
μ
00
)ˆ(ˆˆ
εμjw
A
AjwE
•∇∇
+−=
Alternativamente, para puntos fuera de la distribución de corriente ( sJˆ = 0) el campo
eléctrico podría ser determinado como
Hx
jw
E ˆ1ˆ
0
∇=
ε
Pero ahora, por el momento, la principal dificultad será determinar sJˆ , sin embargo, la
forma aproximada de sJˆ podría deducirse experimentalmente o por razonamiento físico
para ciertas estructuras simples asumiendo que el mismo está localizado exclusivamente en

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la superficie de la antena. Por lo que las soluciones no son exactas para la mayoría de las
estructuras.
Para antenas de formas complicadas es difícil deducir la forma de sJˆ sobre la superficie de
la antena, por lo que para estos casos deberán utilizarse métodos más sofisticados para
aproximar soluciones, tales como el método de los momentos.
Para obtener una buena simplificación, la solución es típicamente restringida a puntos del
campo a grandes distancias desde la antena.
2.2 ANTENA DIPOLO HERTZIANO
Una antena simple para la cual se pueden calcular los campos de una manera directa no
complicada, es el dipolo Hertziano o dipolo eléctrico elemental. Esta antena ideal consiste
de un elemento infinitesimal de corriente (infinitesimal respecto de la longitud eléctrica),
de longitud “dl”, que transporta un fasor de corriente I
)
el mismo que se asume constante
en magnitud y fase a lo largo de toda la longitud del segmento.
Fig. 2.1 Antena dipolo eléctrico elemental
Así entonces, debido a que se conoce la distribución de corriente, el vector Potencial
magnético en un punto ubicado a una distancia radial r del origen de coordenadas y del
dipolo, puede determinarse como
´
´ˆ
4
ˆ
´
0
0
dv
R
eJ
A
v
Rj
∫
−
=
β
π
μ

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Puesto de la densidad de corriente está en la dirección Z (k
)
) y la longitud dl del segmento
es sumamente pequeña comparada con la distancia radial r puede aproximarse en la
expresión integral sin cometer un apreciable error que (1/R) ≅ (1/r) en el caso de la
magnitud y que R ≅ r para la fase, y además, debido a que no existe ninguna especificación
respecto del diámetro del segmento diferencial de corriente, el integral de volumen se
transforma en un integral de línea a lo largo de la longitud del segmento. Esto es , Aˆ
queda
kdzIe
r
A
l
rj
))
´
4
ˆ 00
∫
−
= β
π
μ
de donde kdlIe
r
A rj
))0
4
ˆ 0 β
π
μ −
=
Este será entonces el vector potencial magnético a una distancia r de la antena, el mismo
que se encuentra expresado en función de la distancia radial r (coordenadas esféricas) y del
vector unitario k
)
(coordenadas rectangulares), por lo que para la determinación de H y E
será necesario transformar el mismo completamente a coordenadas esféricas o coordenadas
rectangulares para poder aplicar las operaciones diferenciales del rotacional.
Para expresarlo en coordenadas esféricas, se tiene que el vector unitario k
)
esta dado por
θθθ ˆcos senrk −=
))
de donde
θθ
π
μ
θ
π
μ ββ
ˆ
4
ˆcos
4
ˆ
00
00
sen
r
dleI
r
r
dleI
A
rjrj −−
−=
))
esto es, θθ
ˆˆˆ ArAA r += donde
θ
π
μ
θ
π
μ β
θ
β
sen
r
dleI
Ay
r
dleI
A
rjrj
r
4
cos
4
00
00
−−
−==
))
El vector Intensidad de campo magnético estará entonces dado por
AH ˆ1ˆ
0
×∇=
μ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
θμ
ϕ
ϕθμ
θ
ϕ
θ
θθμ
θϕθ
ϕ
rr A
r
Ar
rr
ArA
senr
A
ASen
rsen
rH
ˆ)ˆ(1
ˆ
)ˆ(ˆ11ˆ
ˆ
)ˆ(
1
ˆ
000
)

20
de donde ϕ
θμ
θ
ˆ
ˆ)ˆ(1
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
= rA
r
Ar
r
H
)
esto es, ϕ
β
θ
π
β
ˆ
1
4
ˆ 0
2
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= −
r
j
r
eSen
Idl
H rj
lo que implica que ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=== −
r
j
r
eSen
Idl
HyHH rj
r
0
2
1
4
0ˆ,0 0
β
θ
π
β
ϕθ
))
Se observa entonces que el campo magnético radiado por esta estructura tiene solo un
componente en la dirección φ, el mismo que tiene la contribución de dos partes, la primera
que es proporcional a (1/r) y la segunda que es proporcional a (1/r2
). La primera parte se
denomina componente del campo en zonas apartadas puesto que si r es muy grande, el
término proporcional a (1/r2
) es despreciable, mientras que la segunda se denomina
componente del campo de inducción el mismo que domina en zonas cercanas, puesto que
si r es muy pequeño, el término proporcional a (1/r) es despreciable.
Conocido el campo magnético, es posible rápidamente determinar el campo eléctrico
aplicando localmente la primera ecuación de Maxwell, esto es
H
jw
E ˆ1ˆ
0
×∇=
ε
que se expande como:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
θε
ϕ
ϕθε
θ
ϕ
θ
θθε
θ
ϕθ
ϕ
r
r
H
r
Hr
rjw
r
HrH
senrjw
H
HSen
Senjwr
rE
ˆˆ(1
ˆ
)
)ˆ(ˆ
(
11ˆ
ˆ
)ˆ(
1
ˆˆ
0
00
quedando θ
εθ
θ
θε
ϕϕ ˆ)ˆ(1
ˆ
)ˆ(1ˆ
00 r
Hr
rjw
r
HSen
Senjwr
E
∂
∂
−
∂
∂
=
de donde ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= −
23
0
1
cos2
4
1ˆ
r
oj
r
sene
dlI
Senjwr
E orj
r
β
θθ
πθε
β
)
0
1
4
ˆ
32
2
0
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+=
−
ϕ
β
θ
ββ
πε
θ
Ey
r
j
r
o
r
o
j
e
wr
IdlSen
E
orj )
Se observa entonces que el campo eléctrico tiene dos componentes un componente en la
dirección radial y un componente en la dirección θ, pero en el componente en la dirección
θ aparece una contribución de campo proporcional a (1/r3
), conocido como campo
electrostático, y que domina en la región sobre el dipolo donde los componentes

21
proporcionales a (1/r) y a (1/r2
) son despreciables.
2.2.1 CAMPOS DEL DIPOLO HERTZIANO EN ZONAS APARTADAS
Debido a que el interés del estudio de antenas radica principalmente en el conocimiento de
los campos en zonas apartadas (transmisión de información a distancia), las expresiones
anteriores para E y H pueden simplificarse notablemente si se desprecian las
contribuciones del campo de inducción (proporcional a 1/r2
) y del campo electrostático
(proporcional a 1/r3
), quedando
θθβη
π
β ˆ
4
ˆ orj
ooFF eSen
r
dlIj
E −
− =
)
ϕθβ
π
β
ˆ
4
ˆ orj
OFF eSen
r
dlIj
H −
− =
)
donde ooo
o
o
o wy εμβ
ε
μ
η ==
puede notarse además que,
FF
FF
o
H
E
−
−
=
ˆ
ˆ
η que no es mas que la impedancia
característica del medio en el que se propagan las ondas, en este caso el vacío. Por lo que
si se conoce el campo eléctrico, el campo magnético puede determinarse como
)ˆˆ(
1ˆ
FF
o
FF ErH −− ×=
η
o, por el contrario si se conoce el campo magnético, el campo
eléctrico será )ˆˆ(ˆ rHE FFoFF ×= −− η
Analizando las expresiones, del campo eléctrico y magnético, se observa que las mismas
tienen una amplitud que decrece como 1/r una función de θ, y una fase. A esta forma de
onda se la conoce como onda esférica, pues se propaga, radialmente en todas las
direcciones, y será la forma que tendrán los campos radiados por la mayoría de estructuras
como se verá mas adelante.
El vector de Poynting o vector densidad media de potencia esta dado por
r
E
r
H
HEeS
o
o
AV
ˆ
2
ˆ
2
)ˆˆ(
2
1
22
*
η
η θϕ
))
==×ℜ=
esto es, r
r
SenodlI
S o
AV
ˆ
32 22
2222
π
θβη
=

22
2.2.2 PATRON DE RADIACION DEL DIPOLO HERTZIANO
La gráfica del módulo de la densidad media de potencia para valores constantes de r se
conoce como el patrón de radiación. Para este caso se obtiene un patrón tridimensional
como se indica en la figura 2.2.
Fig. 2.2 Patrón de radiación tridimensional de la antena dipolo Hertziano
Se observa entonces, que la máxima radiación ocurre para un ángulo θ = 90°, mientras que
radiación cero para cualquier punto ubicado sobre el eje Z. La gráficas del patrón de
radiación en los planos E y H dan patrones como los que se indica en la figura 2.3, donde
el patrón en el plano E es direccional con máximos en θ = 90°, siendo el mismo para
cualquier ángulo φ, y el patrón en el plano H omnidirecional.

23
(a) (b)
Figura 2.4 (a) Patrón de radiación plano E (b) Patrón de radiación plano H
2.2.3 POTENCIA RADIADA
Para determinar la potencia total radiada por la antena, es necesario integrar el
vector de Poynting en la superficie esférica de radio r que rodea la antena, como se indica
en la figura 2.5.
Fig. 2.5 Superficie para la determinación de la potencia total radiada por el dipolo
Así entonces, sdSP AVAV
r
∫=

24
∫ ∫= =
•=
π
θ
π
ϕ
ϕθθ
π
θβη
0
2
0
2
22
2222
ˆˆ
32
rddSenrr
r
SenodlI
P o
AV
)
∫=
=
π
θ
θθπ
π
βη
0
3
2
222
)2(
32
dSen
odlI
P o
AV
)
3
4
)2(
32 2
222
π
π
βη odlI
P o
AV =
12
222
π
βη odlI
P o
AV =
puesto que πη 120=o , entonces la potencia media total radiada por el dipolo hertziano
queda
10 222
odlIPAV β=
ó en función de la longitud de onda, sabiendo que
o
o
λ
π
β
2
= , la expresión del PAV queda
2
22
40 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
o
AV
dl
IP
λ
π
2.2.4 RESISTENCIA DE RADIACION
De acuerdo a la definición de resistencia de radiación la PAV será igual a
RIrms rad
2
=AVP
de donde, remplazando el PAV , y sabiendo que I2
= 2 I2
rms se tiene que
RIrms)2(40 rad
2
2
22
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
o
dl
Irms
λ
π
80R
2
2
rad ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
o
dl
λ
π
2.2.5 POLARIZACIÓN
De la expresión del campo eléctrico, θθβη
π
β ˆ
4
ˆ orj
ooFF eSen
r
dlIj
E −
− =
)
,

25
se observa, que el mismo, será máximo cuando θ = 90°, en la dirección θˆ que corresponde
a - k
)
en ese punto. Por lo que el campo eléctrico conforme transcurra el tiempo
describirá una trayectoria lineal, en este caso vertical. Se trata por tanto de una antena con
polarización vertical
2.3 DIPOLO MAGNETICO ELEMENTAL
El dipolo magnético elemental es un lazo conductor de radio “a”, en el que la longitud total
del lazo es sumamente pequeña comparada con la longitud de onda, y a través de la cual
circula una corriente I que se asume es igual en magnitud y fase a lo largo de todo el lazo
(ver Figura 2.6).
Fig. 2.6 Dipolo magnético elemental
Puesto que se conoce la corriente, el vector potencial magnético en un punto situado a una
distancia radial r del centro del lazo será
´
´ˆ
4
ˆ
´
dv
R
eJ
A
v
oRj
o
∫
−
=
β
π
μ
donde, debido a que el diámetro del conductor es despreciable comparado con su longitud,
el integral de volumen se transforma en un integral de línea a lo largo del lazo y J’ dv’ en I
dl, así, Aˆ queda
ld
R
eI
A
oRj
o
r
∫
−
=
β
π
μ ˆ
4
ˆ
utilizando el siguiente artificio, el exponente puede escribirse como

26
))()(()(
)(
rRjSenrRCose
eee
eeee
oo
rRoj
rRojorjoRj
orjorjoRjoRj
−−−=
=
=
−−
−−−−
−−−
βββ
βββ
ββββ
y puesto que R es muy semejante a r se tiene que
[ ] ( )[ ]RjrjerRjee oo
orj
o
orjoRj
βββ βββ
−+≈−−≈ −−−
1)(1
por lo que Aˆ queda ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+= ∫∫
−
ldIojld
R
I
orje
o
A rj
rr
ˆ
ˆ
1
4
ˆ 0
ββ
π
μ β
Puesto que I es un vector constante en magnitud y fase, el segundo integral es cero,
mientras que el primer integral es una expresión conocida dada por
ϕ
θπ
ˆ
ˆˆ
2
2
r
SenaI
ld
R
I
=∫
r
Así, el vector potencial magnético queda
( ) ϕβ
θπ
π
μ β
ˆ1
ˆ
4
ˆ 0
02
2
0 rj
erj
r
SenaI
A −
+=
de donde el vector H será
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
×∇=
δθ
δ
δθ
θδ
μ
ϕ
δ
ϕδ
δϕ
δ
θμ
θ
δθ
θδ
ϕθ
δθ
δ
θμ
μ
ArrA
rr
rAAr
Senr
A
ASen
rSen
rH
AH
o
o
)(1
ˆ
)(11ˆ)(
1
ˆˆ
ˆ1ˆ
00
θ
θ
δ
ϕδ
μ
ϕθ
δθ
δ
θμ
θ
ˆˆˆ
ˆ)(1
ˆ)(
1ˆ
HrHH
rA
r
rASen
rSen
H
r
oo
+=
−=
y por tanto,
rj
r e
r
j
r
aIjw
H 0
cos
11
2
ˆ
ˆ
33
0
22
00
2
0
2
0 β
θ
ββη
βμ −
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
0ˆ
111
4
ˆ
ˆ 0
33
0
22
00
22
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+= −
ϕ
β
θ θ
βββη
βμ
H
esen
r
j
rr
j
aIjw
H rj
o
oo
y, el campo eléctrico podrá determinarse como

27
H
jw
E ˆ1ˆ
0
×∇=
ε
esto es,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
θε
ϕ
ϕθε
θ
ϕ
θ
θθε
θ
ϕθ
ϕ
r
r
H
r
Hr
rjw
r
HrH
senrjw
H
HSen
Senjwr
rE
ˆˆ(1
ˆ
)
)ˆ(ˆ
(
11ˆ
ˆ
)ˆ(
1
ˆˆ
0
00
ϕϕ
θε
ϕ
θ
ˆˆˆ
ˆˆ(1ˆ
0
E
H
r
Hr
rjw
E r
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
de donde, ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−= 22
22
11
sin
4
ˆ
ˆ
rr
j
aIw
jE
oo
oo
ββ
θ
βμ
ϕ
Esto es, el campo eléctrico y magnético quedan definidos completamente, observándose
que en este caso, el campo eléctrico tiene una expresión similar que la del campo
magnético del dipolo Hertziano, y a su vez, el campo magnético, una expresión similar al
campo eléctrico del dipolo Hertziano, con las contribuciones del campo electrostático,
campo de inducción y campo en zonas apartadas.
Considerando exclusivamente las contribuciones en zonas apartadas, las expresiones de los
campos quedan:
θθ
β β ˆ
4
ˆ
ˆ 0
22
rjo
FF esen
r
aI
H −
− −=
ϕθ
βη β
ˆ
4
ˆ
ˆ 0
22
rjoo
FF esen
r
aI
E −
− =
Donde nuevamente se observa que las mismas corresponden a una onda esférica, teniendo
la misma forma que para el caso del dipolo eléctrico.
El vector densidad media de potencia estará dado por
r
E
r
H
HEeS
o
o
AV
ˆ
2
ˆ
2
)ˆˆ(
2
1
22
*
η
η ϕθ
))
==×ℜ=
esto es, r
r
SenaI
S oo
AV
ˆ
32 2
2442
θβη
= o, r
r
SenA
IS
o
AV
ˆ1860 2
2
2
2
2 θ
λ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
donde A = πa2

28
La gráfica del módulo de esta expresión para valores constantes de r da una forma del
patrón de radiación tridimensional, similar que para el caso del dipolo Hertziano, como se
observa en la figura 2.7. Y los cortes de esta gráfica en los planos E y H, dan un patrón de
radiación omnidireccional en el plano E y direccional en el plano H como se observa en la
figura 2.8, Esto es, contrario de lo que ocurría con el dipolo eléctrico.
Figura 2.7 Patrón de radiación tridimensional del dipolo magnético elemental
(a) (b)
Figura 2.8 (a) Patrón de radiación plano – E, (b) Patrón de radiación plano - H
La potencia media total radiada por esta estructura se obtiene de igual forma que en el caso
anterior, esto es, integrando el vector de Poynting en toda la superficie esférica que rodea
el lazo.

29
Esto es,
sdSP AVAV
r
∫=
∫ ∫= =
•=
π
θ
π
ϕ
ϕθθ
θβη
0
2
0
2
2
2442
ˆˆ
32
rddSenrr
r
SenaI
P oo
AV
∫=
=
π
θ
θθπ
βη
0
3
442
)2(
32
dSen
aI
P oo
AV
)
3
4
)2(
32
442
π
βη oo
AV
aI
P
)
=
puesto que πη 120=o , y además,
o
o
λ
π
β
2
= , entonces
2
2
2
15585 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
λ
A
IPAV
done A es el área del lazo.
Y de esta expresión, de acuerdo a la definición de resistencia de radiación se tiene que
RIrms rad
2
=AVP
de donde la resistencia de radiación será
31170R
2
2rad
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
o
A
λ
Tanto el dipolo eléctrico elemental como el dipolo magnético, son antenas sumamente
ineficientes esto es, requieren de corrientes excesivamente altas para irradiar bajas
potencias, o de muy altas potencias en el medio para inducir muy bajas corrientes, sin
embargo las expresiones obtenidas para estas antenas, permiten simplificar de cierta
manera el análisis de estructuras más complejas. Para el caso particular de la antena dipolo
magnético, esta se utiliza ampliamente a pesar de su baja eficiencia como antena receptora
en la banda de radiodifusión AM, debido a las altas potencias radiadas en esta banda.
Respecto de la polarización, se observa que el campo eléctrico se encuentra en la dirección
φ, y será máximo, para un ángulo θ = π/2, variando en el tiempo sobre el plano horizontal,
por lo que esta antena tiene polarización horizontal.

30
3. ANTENAS DE ALAMBRE
3.1 ANTENA DIPOLO LARGO
La antena dipolo largo o simplemente dipolo, consiste en un alambre delgado de longitud
comparable a la longitud de onda, que es excitado o alimentado con una fuente de voltaje
insertada en el punto medio como se muestra en la figura 3.1
Figura 3.1 Antena dipolo
Asumiendo que los alambres del dipolo son sumamente delgados, de tal manera que las
variaciones de la corriente en la superficie del alambre sean únicamente a través de la
longitud, y a pesar que no se conozca la distribución de corriente se puede tratar de hacer
una predicción razonable de la misma.
Así entonces, considerando los dos alambres como si se tratase de una línea de transmisión
la misma que tiene un circuito abierto como carga, el fasor I(z) estará distribuido
senoidalmente respecto de la posición a lo largo del alambre, y debido al circuito abierto en
la carga, la corriente debe ser cero en los puntos terminales. Entonces si una línea de
transmisión con esta distribución de corriente es abierta hasta formar un dipolo, la
distribución de corriente no deberá cambiar mayormente respecto de lo indicado como se
observa en la figura 3.2 para diferentes longitudes del dipolo.

31
Figura 3.2 Distribución de corriente a lo largo de líneas abiertas y sus correspondientes
dipolos de diferentes longitudes.
Se puede entonces predecir que la distribución de corriente tendrá la forma
2
0
2
Im)(
l
zz
l
SenzI o <≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= β
0
2
-
2
Im)( <≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= z
l
z
l
SenzI oβ
Debe notarse que estas expresiones son más razonables que la distribución asumida para el
dipolo Hertziano.
3.1.1 CAMPOS RADIADOS POR LA ANTENA DIPOLO
Así, entonces conocida la distribución de corriente en la superficie del dipolo, se puede
determinar el vector potencial magnético como
´
'ˆ
4
ˆ
´
0
0
dv
R
esJ
A
v
Rj
∫
−
=
β
π
μ

32
y, los campos radiados por las expresiones
AxH ˆ1ˆ
0
∇=
μ
00
)ˆ(ˆˆ
εμjw
A
AjwE
•∇∇
+−=
sin embargo, un método mas fácil y directo podría ser utilizar los resultados obtenidos para
el dipolo hertziano, considerando los campos del dipolo de longitud l, como la
superposición de los campos debido a pequeños dipolos hertzianos de longitud dz’, cada
uno de los cuales tiene una corriente constante I(z’). Por ejemplo considerando el
segmento infinitesimal dz’, como se indica en la figura 3.3
Figura 3.3 Principio de superposición para la determinación de los campos
radiados por la antena dipolo.
Así, el campo total será el integral de las contribuciones de todos los elementos
infinitesimales a lo largo de la longitud del dipolo. El integral con todas las contribuciones
de los campos de inducción y electrostático es sumamente complicado, por lo que se
consideran únicamente los campos en zonas apartadas que son los de real interés.
En este caso el campo eléctrico F-F de un segmento diferencial será:

33
R
eSendzzIj
Ed
Rj
oo
o
π
θβη β
θ
4
´´´)(ˆ
−
=
Puesto que r >> l , para el caso de la amplitud puede decirse que R≅ r y θ ≅ θ’, sin
embargo, para la fase, no puede utilizarse la misma aproximación ya que el cambio de fase
no depende de la distancia física R, sino de la distancia eléctrica R/λo. Esto es, por
ejemplo si R=1000,5 m , λo=1m, y r=1000m, entonces despreciar 0,5m en R representa
despreciar 180° de diferencia de fase, por lo que se hace necesario introducir otra
aproximación para la fase, esto es, asumiendo que R es aproximadamente paralela a r
debido a la gran distancia del punto en zonas apartadas, como se observa en la figura 3.4, R
puede ser aproximada entonces por R = r – z’cosθ.
R = r – z’cosθ
Figura 3.4 Aproximación para la fase
Sustituyendo estas aproximaciones en la expresión para el campo eléctrico del segmento
diferencial se tiene que
r
eSendzzIj
Ed
Coszroj
oo
π
θβη θβ
θ
4
´´)(ˆ
)´( −−
=
y el campo eléctrico total en zonas apartadas será
∫
−
−−
=
2
2
)´(
´´)(
4
ˆ
l
l
Coszrojoo
dzezI
r
Senj
E θβ
θ
π
θβη
reemplazando la expresión para la distribución de corriente en las dos secciones del dipolo
queda
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′+= ∫ ∫
−=′ =
−
0
2
2
0´
´´
´
2
Im´
2
Im
4
ˆ 00
l
z
l
z
Cosjz
o
Cosjz
o
rjoo
dzez
l
Sendzez
l
Sene
r
Senj
E o θβθββ
θ ββ
π
θβη
realizando una sustitución de variables y cambiando el signo del primer integral, la
expresión puede escribirse como

34
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′−+′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′−= ∫ ∫=′ =
′−−
2
0
2
0´
´
´
22
Im
4
ˆ
l
z
l
z
oCosjz
o
oCoszj
o
rjoo
dzez
l
Senzdez
l
Sene
r
Senj
E o θβθββ
θ ββ
π
θβη
de donde
´)(´
2
Im
4
ˆ
2
0
´
dzeez
l
Sene
r
Senj
E
l
CosozjoCoszj
o
rjoo o
∫ +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= ′−− θβθββ
θ β
π
θβη
´)´(´
2
2Im
4
ˆ
2
0
dzCoszCosz
l
Sene
r
Senj
E
l
oo
rjoo o
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= −
θββ
π
θβη β
Aplicando la identidad trigonométrica SinA CosB = (1/2) (Sin(A+B) +Sin (A-B)) se tiene
que
´´´
2
´´
2
Im
4
ˆ
2
0
dzCoszz
l
SenCoszz
l
Sene
r
Senj
E
l
oooo
rjoo o
∫ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= −
θββθββ
π
θβη β
θ
e integrando
2
0
)1(
)1(´(
2
´
)1(
)1(´(
2
Im
4
ˆ
l
o
oo
o
oo
rjoo
Cos
Cosz
l
Cos
Cos
Cosz
l
Cos
e
r
Senj
E o
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+−
= −
θβ
θββ
θβ
θββ
π
θβη β
θ
de donde,
( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= −
2
22
2
ˆ
θ
βθβ
π
θη β
θ
Sen
l
CosCos
l
Cos
e
r
SenIj
E
oo
rjmo o
esto es, rjmo o
eF
r
Ij
E β
θ θ
π
η −
= )(
2
ˆ
donde
( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
θ
βθβ
θ
Sen
l
CosCos
l
Cos
F
oo
22
)(

35
Aplicando el mismo procedimiento para el campo magnético, se tiene que
rjm o
eF
r
jI
H β
ϕ θ
π
−
= )(
2
ˆ
con lo que quedan determinados los campos radiados por la antena dipolo en zonas
apartadas, esto es
θθ
π
η β ˆ)(
2
ˆ rjmo
FF
o
eF
r
Ij
E −
− = y ϕθ
π
β
ˆ)(
2
ˆ rjm
FF
o
eF
r
jI
H −
− =
Una vez conocidos los campos radiados el vector densidad media de potencia será
r
E
r
H
HEeS
o
o
AV
ˆ
2
ˆ
2
)ˆˆ(
2
1
22
*
η
η θϕ
))
==×ℜ=
r
r
F
S o
AV
ˆ
8
)(Im
22
22
π
θη
=
3.1.2 PATRON DE RADIACION DE LA ANTENA DIPOLO
La grafica del modulo del vector Sav para valores constantes de r, básicamente
corresponde a la gráfica del módulo de la función F2
(θ), la misma que no puede obtenerse
mientras no se defina la longitud de la antena dipolo (en longitudes de onda). Así, dando
diferentes valores a la longitud de la antena dipolo, se obtienen las gráficas que se indican
en la figura 3.5 en las mismas que únicamente se representan los cortes en el plano E
debido a la complejidad de las gráficas tridimensionales.

36
Figura 3.5 Patrones de radiación en el Plano - E de la antena dipolo para diferentes
longitudes (a) l = 0,5 λ; (b) l = λ; (c) l = 1,25 λ; (e) l =2 λ; (f) l = 3 λ
De estas gráficas puede observarse, que dependiendo de la longitud, la antena dipolo puede
radiar en diferentes direcciones considerando el plano E, mientras que para el plano H (no
graficado) los patrones son generalmente omnidireccionales. Para el caso particular de la
antena dipolo de λ /2 que se conoce como antena dipolo de longitud resonante (por razones
que se indicarán mas adelante), el patrón de radiación es similar al de la antena dipolo
Hertziano (Figura 2.2), esto es direccional en el plano E y omnidirecional en el plano H
3.1.3 POTENCIA RADIADA POR LA ANTENA DIPOLO
La potencia media total radiada por la antena dipolo será
sdSP AVAV
r
∫=

37
∫ ∫= =
•=
π
θ
π
ϕ
ϕθθθ
π
η
0
2
0
22
22
2
ˆˆ)(
8
rddSenrrF
r
I
P mo
AV
∫=
=
π
θ
θθθπ
π
η
0
2
2
2
)()2(
8
dSenF
I
P mo
AV
reemplazando el valor de la impedancia característica, la expresión queda
∫=
=
π
θ
θθθ
0
22
)(30 dSenFIP mAV
Donde el integral de esta expresión no puede obtenerse en forma cerrada para ninguna
longitud de la antena dipolo debiendo ser evaluado en forma numérica.
3.1.4 DIPOLO DE LONGITUD RESONANTE
Para el caso particular de la antena dipolo de longitud resonante (l = λ/2) este integral se
evalúa numéricamente como
2186,1)(
0
2
=∫=
π
θ
θθθ dSenF
por lo que la potencia total radiada por la antena de longitud resonante será
)(5,36
)2186,1(30
2
2
vatiosIP
IP
mAV
mAV
=
=
Nótese que para el dipolo de ½ longitud de onda, la corriente en la entrada de la antena (z
= 0) es Îin = Îm Sin βo(l/2) y puesto que l/2 = λ/2, entonces Îin = Îm . Esto es, la amplitud de
la distribución de corriente a lo largo del dipolo es el valor de la corriente en los terminales
de entrada de la antena.
Puesto que el valor RMS de la corriente de entrada a la antena está dado por ( 2/mI
)
), la
potencia radiada será
radrmsrmsrad RIIP
22
25,36 ==
de donde la resistencia de radiación para la antena dipolo de ½ longitud de onda queda
Ω= 73radR
valor que es muy conocido y que se lo normaliza general mente en 75 ohmios.

38
Para el caso de una antena dipolo de cualquier longitud, la expresión de la resistencia de
radiación será
∫=
=
π
θ
θθθ
0
2
)(60 dSenFRrad
3.1.5 IMPEDANCIA DE LA ANTENA DIPOLO
La impedancia total vista en los terminales de entrada de una antena dipolo será igual en
forma general a una parte real más una parte imaginaria, esto es
Zant = Rin + j Xin
Donde la parte real de la impedancia de la antena puede ser determinada o aproximada en
función de la resistencia de radiación y la resistencia de perdidas de la estructura, mientras
que la determinación de la parte reactiva (imaginaria), es sumamente compleja incluso para
las estructuras más simples.
para determinar la parte real, consideremos la corriente en los terminales de entrada de la
antena, esto es si evaluamos z = 0 en la ecuación de la distribución de corriente esta queda
)
2
(
l))
omin SinII β=
que para el caso en el cual si la longitud del dipolo es algún múltiplo impar de λ/2 se
tendrá que min II
))
= .
La potencia entregada a la antena debido a la corriente en su entrada estará dada en
función de la parte real de la impedancia de la antena como
in
in
ant R
I
P
2
2
= ,
esto es, ino
m
ant RSin
I
P )
2
(
2
2
2
l
β=
por otro lado, la potencia radiada por la antena será rad
m
rad R
I
P
2
2
=
y para el caso en el que se pueda asumir que las pérdidas en la antena sean totalmente
despreciables, la potencia entregada a la antena será simplemente la potencia radiada por la
antena, así,

39
ino
m
rad
m
antrad RSin
I
R
I
PP )
2
(
22
2
22
l
β===
de donde, )
2
(2 l
oinrad SinRR β=
Esto es, para antenas sin pérdidas en las que la longitud es un múltiplo impar de λ/2, la
resistencia de radiación será igual a la parte real de la impedancia de la antena., y si la
longitud es diferente, se aplica la relación anterior.
Para el caso en el que las perdidas no sean despreciables, la parte real de la impedancia de
la antena por el factor )
2
(2 l
oSin β , puede estimarse como la suma de la resistencia de
radiación más la resistencia de perdidas de la antena.
3.1.5.1 RESISTENCIA DE PERDIDAS
La resistencia de pérdidas puede ser determinada aproximadamente de la siguiente forma:
Utilizando conocimientos en líneas de transmisión, puede determinarse la resistencia por
unidad de longitud de los conductores, para luego conocido este valor encontrar la potencia
total disipada en las pérdidas óhmicas integrando las pérdidas de potencia en los segmentos
diferenciales, como sigue:
La potencia de pérdidas a lo largo del dipolo será
∫
−
=
2
2
2
´
2
´)(
l
l
WLOSS dz
zI
rP
donde rw es la resistencia por unidad de longitud del conductor.
O también puede ser determinada en función de la resistencia de perdidas como
LOSS
in
LOSS R
I
P
2
2)
=
de donde, la resistencia de pérdidas será

40
2
´
2
´)(
2
2
2
2
in
l
l
W
LOSS
I
dz
zI
r
R )
∫
−
=
Para establecer la resistencia por unidad de longitud del conductor, es necesario realizar
cierta aproximación, pues la corriente tiende a fluir exclusivamente por la superficie del
conductor y puede asumirse que solo penetra una distancia igual a una profundidad de piel
(δ) en el conductor como se muestra en la figura 3.6, por lo que la resistencia por unidad de
longitud será
Figura 3.6 Sección transversal por donde circula la corriente de grosor δ
A
rW
σ
1
=
donde A, es el área de la sección transversal que estará dada por A = 2 π ra δ, siendo ra el
radio del conductor y δ la profundidad de piel, la misma que esta dada por
σμ
δ
w
2
=
esto es,
δπσ a
W
r
r
2
1
=
Reemplazando en la expresión de la resistencia de pérdidas e integrando la misma para la
distribución de corriente I(z’) a lo largo de la longitud del dipolo se tiene que
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
l
lSen
r
l
R
a
LOSS
β
β
σδπ
1
4

41
Expresión que permite estimar la resistencia de pérdidas de una antena dipolo de cualquier
longitud.
Para el caso de una antena dipolo de longitud λ /2, βl = π por lo que
σδπ
λ
a
o
LOSS
r
R
8
= para l = λ /2
De esta manera se puede estimar la parte real de la impedancia de la antena, mientras que
la determinación de la parte reactiva de la impedancia es difícil porque esta requiere de
expresiones precisas para la corriente de excitación sobre la antena y de los campos
reactivos resultantes en las zonas cercanas.
La impedancia de la antena está relacionada con la potencia y energía reactiva almacenada
de la siguiente forma
( )
2
ˆ
2
*
inin
LOSSrad
II
WeWmwjPP
Zant
−++
=
donde, Prad es la potencia radiada, PLOSS es la potencia disipada en las pérdidas óhmicas,
Wm y We son las energías magnética y eléctrica media almacenadas en los campos de las
zonas cercanas , w la frecuencia e Iin la corriente en los terminales de entrada.
Cuando, la energía eléctrica y magnética almacenadas son iguales, una condición de
resonancia existe, y la parte reactiva de la impedancia de la antena se desvanece. Para una
antena dipolo delgada, esto ocurre cuando la longitud de la antena es muy cercana a 0,5 λ.
El comportamiento general de la impedancia de entrada de una antena dipolo de longitud
l, formada por un cilindro de diámetro d se muestra en la figura 3.7
Estas curvas experimentales son el resultado de muchas mediciones en antenas de
diferentes longitudes y diámetros y de la comparación con valores obtenidos
analíticamente. Las mismas sirven para mostrar el comportamiento de la impedancia de las
antenas dipolo habiéndose graficado la parte real y la parte reactiva como función de la
longitud para diferentes longitudes eléctricas (en longitudes de onda) de la antena y para
diferentes relaciones longitud para el diámetro.

42
Figura 3.7 Curvas típicas de impedancia de una antena dipolo
(a) Parte real; (b) Parte reactiva
En la gráfica de la figura 3.7 (a) donde se representa la parte real, se observa que para
longitudes menores a 0,25λ la parte real es prácticamente cero, para longitudes entre 0,25λ
a 0,5λ la parte real es pequeña llegando a ser aproximadamente 73 ohms para 0,5λ e
independiente del diámetro de la antena. Para longitudes mayores a 0,5 λ la parte real
puede tomar cualquier valor dependiendo de la longitud y del diámetro de la antena. Se
observa además que mientras mayor es el diámetro (relación longitud /diámetro menor) las
curvas tienen menor pendiente, esto implica que mejora el ancho de banda conforme se
incrementa el diámetro.
La gráfica de la figura 3.7 (b) muestra la parte reactiva de la impedancia en la que puede
observarse que para una longitud de la antena aproximadamente de 0,48λ la reactancia es
cero para todas las curvas independientemente del diámetro de la estructura. Es decir
ocurre la resonancia, siendo la impedancia de la antena en esta condición puramente
resistiva y aproximadamente igual a 73 ohms. Esta es una característica sumamente
importante por lo que a esta longitud se la denomina longitud resonante que generalmente
se la aproxima a 0,5 λ, a pesar de ser ligeramente menor. Una segunda resonancia ocurre
entre 0,8λ y 0,9λ y conforme el diámetro disminuye, el punto de resonancia se acerca a l
= λ, pero en este caso la resistencia de radiación alcanza valores grandes, y para un
pequeño cambio de frecuencia la reactancia cambia mucho.
Para una antena un poco mas gruesa la resistencia y la reactancia son mas uniformes

43
respecto de los cambios en l/λ , función que es deseada para que una antena opere mejor
sobre una banda de frecuencias. Debe notarse también, que una antena de longitud menor
a 0,5 λ tiene una resistencia de radiación pequeña y una gran reactancia capacitiva que
podría eliminarse y entrar en resonancia con un inductor en el punto de alimentación de la
antena, pero esto reduce la eficiencia debido a las pérdidas óhmicas en el inductor.
Debe quedar claro, que la impedancia de la antena es influenciada en una forma no
predecible por la capacitancia asociada con la unión física donde la línea de transmisión es
conectada a la antena. La estructura usada para soportar la antena, también influencia la
impedancia de la antena, consecuentemente las curvas indicadas únicamente muestran el
comportamiento típico de estas antenas.
Una expresión práctica que es válida únicamente cuando la longitud de una antena con
alimentación central no es mucho menor que λ /2 (en la práctica es el rango más útil) , se
reduce a la siguiente forma
[ ][ ])2/()2/cot(1)2/ln(120)2/( llll βββ XajRZant −−−=
impedancia que corresponde a una antena cilíndrica de radio “a” y longitud l.
Las funciones R(βl/2) y X(βl/2) se encuentran tabuladas para el rango de 0 < βl/2 < π/2
como se indica a continuación:
(βl/2) R(βl/2) X(βl/2) (βl/2) R(βl/2) X(βl/2)
0,1 0,1506 1,010 0,9 18,16 15,01
0,2 0,7980 2,302 1,0 23,07 17,59
0,3 1,821 3,818 1,1 28,83 20,54
0,4 3,264 5,584 1,2 35,60 23,93
0,5 5,171 7,141 1,3 43,55 27,88
0,6 7,563 8,829 1,4 52,92 32,20
0,7 10,48 10,68 1,5 64,01 38,00
0,8 13,99 12,73 π/2 73,12 42,46
Tabla 3.1 Valores de las funciones R y X para el cálculo de la impedancia de la antena
dipolo.

44
Si (βl/2) cae entre dos valores de la tabla, las funciones R(βl/2), y X(βl/2) pueden
determinarse utilizando interpolación lineal. Por ejemplo si θ es el valor de (βl/2) deseado
y cae entre los valore θ1 y θ2 de la tabla, entonces el valor de la función R(θ) estará dado
por
[ ]
)12(
)1()2()1(
)1()(
θθ
θθθθ
θθ
−
−−
+=
RR
RR
Para antenas de longitud mayor a 0,5λ, existen muchas expresiones, sin embargo, ninguna
de estas es lo suficientemente simple en cuanto al cálculo numérico que concierne las
mismas para ser expuestas en este punto y además la importancia y utilización de antenas
de estas longitudes es mínima.
3.2 ANTENA DIPOLO DOBLADO
Esta antena consiste de dos conductores de longitud l conectados en sus extremos como se
indica en la figura 3.8. Un o de los conductores es abierto en el centro y conectado a la
línea de transmisión. La antena dipolo doblado tiene una resistencia de radiación de 292
ohms y por lo tanto útil con líneas de transmisión de impedancia 300 ohms, el cual es el
nivel de impedancia común en televisión. La antena dipolo doblado por construcción
tiene una línea de transmisión equivalente que actúa como stub de sintonía compensando
variaciones de impedancia de la antena con la frecuencia. Así, la banda de frecuencias de
operación útil, para esta antena es mayor que para la antena dipolo convencional de
espesor equivalente.
Figura 3.8 Antena dipolo doblado o dipolo plegado
En la frecuencia de resonancia donde l = λ/2, la corriente en cada conductor es la misma,
puesto que los conductores tienen el mismo diámetro y la separación eléctrica entre los
mismos es despreciable. La razón para esto es el fuerte acoplamiento mútuo entre los dos
conductores.

45
La corriente en cada conductor puede ser aproximada por
2
Im)( ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= z
l
SenzI oβ .
Puesto que, los conductores están separados por una pequeñísima facción de longitud de
onda, hay una diferencia de fase despreciable en el campo radiado desde cada conductor.
Consecuentemente el campo radiado es dos veces más fuerte que aquel radiado por un
simple conductor. La potencia radiada será entonces 4 veces más grande. Puesto que la
corriente aplicada por la línea de transmisión es únicamente Im, la resistencia de radiación
referida a los terminales de entrada de la antena, es incrementada en un factor de 4 sobre
aquella de la antena dipolo convencional. Esto es la potencia radiada será
2
56,364
2
2 m
radmrad
I
RIxP ==
esto es,
Ω== 5,29256,368xRrad
Para comprender las características de compensación de impedancia del dipolo doblado,
su operación puede ser vista como la superposición de los efectos obtenidos de la
operación de esta estructura como una antena y como una línea de transmisión.
Las gráficas (b) y (c) de la figura 3.9 muestran dos formas de operación de esta estructura.
(a) (b) (c)
Figura 3.9 Efectos de operación de la antena dipolo doblado
La excitación en la figura 3.9 (b), producirá corrientes iguales en los dos conductores y
funcionará como una antena dipolo convencional. La excitación en la figura 3.9 (c),
producirá corrientes opuestas en cada conductor, o en otras palabras hará funcionar a la
estructura como dos líneas de transmisión terminadas en cortocircuito y conectadas en
serie. Puesto que las corrientes en la línea de transmisión están en direcciones opuestas y
con una separación muy pequeña, la radiación desde las dos es casi completamente
cancelada. Cuando el efecto de los dos métodos de excitación de la estructura se
superponen, el voltaje resultante que maneja un conductor llega a ser V y se reduce a cero

46
en el otro conductor. La corriente de entrada puede ser encontrada por la adición de las
corrientes en el conductor principal debido a las dos formas de excitación.
Figura 3.10 Excitación como antena dipolo equivalente
En la figura 3.10 se muestra la antena dipolo equivalente para la cual, la corriente 2I1 esta
dada por
Zdip
V
I
1
2
2 1 = o, Ydip
V
I
2
2 1 = de donde, Ydip
V
I
4
1 =
siendo Ydip la admitancia de entrada de una antena dipolo construida con dos conductores
paralelos conectados en los extremos y en el centro como se indica en la figura 3.10, donde
la estructura dipolo equivalente tiene un radio que puede determinarse con la siguiente
relación
11
22
21 )ln2ln(
)1(
1
lnln
a
d
vy
a
a
udondevuuu
u
aaeq ==+
+
+=
Ahora debido al efecto como línea de transmisión equivalente la corriente I2, como se
observa en la figura 3.11 puede estará dada por

47
Figura 3.11 Efecto como línea de transmisión equivalente
Yin
V
I
2
2 =
donde Yin es la admitancia de entrada del segmento de línea de transmisión terminada en
corto circuito y por lo tanto esta dada por
)2/cot(
1
lβojY
Zin
Yin −==
siendo Yo la admitancia característica de la línea de transmisión formada por dos
conductores paralelos, la misma que puede determinarse como
o
o
Z
Y
1
= donde,
21
1
2
cosh120
aa
d
Zo
−
=
Entonces, I2 quedará:
)2/cot(
2
2 lβoY
V
jI −=
Cuando las dos excitaciones como se indica en la figura 3.9 se superponen, se obtiene la
excitación original, por lo que la corriente I en el conductor principal será
I = I1 + I2
Y la admitancia vista en los terminales de entrada de la antena estará dada por
V
I
V
I
V
II
V
I
Yant
2121
+=
+
==

48
reemplazando I1 y I2 de las expresiones anteriores se tiene que
)2/cot(
24
1
lβo
ant
Y
j
Y
Y −=
debe notarse que la admitancia de la antena dipolo (simple) se reduce en un factor de 4
y una admitancia de compensación es adicionada en paralelo. Cuando l = λ/2, la
admitancia de compensación se hace cero puesto que 2/lβ = π/2 . Para antenas de
conductores sumamente delgados, esta entra en resonancia cuando l = λ/2 y en este caso
Y1=(73,13)-1
ohms-1
de tal forma que Zant = Rant = 292,5 ohms. Para 2/lβ diferente
de π/2, se tiene que Y1 = G1 + j B1 con B1 positivo (o capacitivo si l << λ/2 ) para 2/lβ
< π/2 y puesto que - )2/cot(
2
lβoY
j es una suceptancia inductiva, se produce la
compensación. Para l > λ/2 , la suceptancia B1 de la antena ( antena dipolo de dos
conductores) es negativa, pero la )2/cot( lβ también cambia de signo ( l > λ/2), así que la
compensación nuevamente se produce. Con una selección apropiada de las dimensiones
del dipolo doblado, el ancho de banda de operación, puede ser incrementado en una
cantidad considerable sobre aquel de un dipolo convencional del mismo espesor
equivalente. En dipolos doblados prácticos la longitud resonante es ligeramente menor que
λ/2, y por lo tanto las frecuencias de resonancia de la antena y de la línea de transmisión no
coinciden exactamente.
El dipolo doblado, no está limitado a ser una estructura con dos conductores de igual
diámetro. Mediante la variación de la relación del diámetro de los conductores la
impedancia puede ser variada desde menos de 2 a 20 o mas veces. Es también, posible
conectar 3 o mas conductores en paralelo. Para tres conductores idénticos, la impedancia
es incrementada en un factor de 9.
En la práctica las antenas dipolo de longitud resonante ( l = λ/2) son las más utilizadas para
las cuales la impedancia de la antena formada por dos conductores de diferente radio puede
ser estimada con la relación
1
2
)2/( )1( ZaZant +=λ
donde Z1 es la impedancia del dipolo resonante equivalente formado por los conductores
conectados en paralelo con un radio equivalente aeq. (1+a)2
es la relación de
transformación que fija el incremento de impedancia donde “a” está dada por

49
Figura 3.12 Relación de transformación de impedancia del dipolo doblado
11
2
22
1
22
1
2
1
2
1
a
d
vy
a
a
usiendo
vu
uv
Cosh
v
uv
Cosh
a ==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
=
−
−
La relación de transformación de impedancia puede ser determinada rápidamente en la
gráfica que se indica en la figura 3.12
El patrón de radiación de la antena dipolo doblado es exactamente igual que para el caso de
la antena dipolo simple, al igual que su polarización, mientras que el ancho de banda puede
incrementarse hasta en un 5% de su frecuencia central.

50
3.3 ANTENA DIPOLO CORTO
A bajas frecuencias donde la longitud de onda es sumamente grande, las limitaciones de
espacio, a menudo no permiten el uso de una antena dipolo de longitud resonante (media
longitud de onda), sino muchísimo menor. Como consecuencia la resistencia de radiación
se reduce considerablemente, por lo que algún medio debe ser empleado para eliminar la
gran reactancia capacitiva que presenta la impedancia de esta antena. Esto último es
usualmente logrado mediante el uso de uno o más inductores conectados en serie con la
antena. Las pérdidas adicionales en estas bobinas de sintonía reducen la eficiencia y
ganancia. El arreglo más simple serían bobinas en la entrada como se muestra en la figura
3.13.
Figura 3.13 Compensación de la alta reactancia capacitiva mediante bobinas en la
entrada
Sin embargo, se ha observado, en la práctica, que si las bobinas son movidas hacia el
centro de cada brazo del dipolo, entonces una distribución de corriente más uniforme en la
antena es obtenida, lo que incrementa la resistencia de radiación.
Para un dipolo corto, la distribución de corriente es triangular y la potencia radiada es
proporcional al cuadrado del área bajo la distribución de corriente. Si una distribución de
corriente uniforme puede ser lograda, un incremento en la resistencia de radiación hasta en
un factor de 4 sobre aquella para una distribución triangular puede ser obtenido.
Para observar como estas bobinas ubicadas en el centro del brazo del dipolo, pueden
mejorar la distribución de corriente, la antena es modelada como una línea de transmisión
terminada en circuito abierto como se muestra en la figura 3.14

51
(a) (b)
Figura 3.14 (a) compensación inductiva en el centro del brazo del dipolo
(b) Antena como línea de transmisión equivalente
La inductancia de las bobinas debe ser escogida, de tal forma que la antena se haga
resonante (como si la longitud efectiva de la línea de transmisión fuese λ/4). Esto es
equivalente a hacer este modelo de línea de transmisión efectivamente un cuarto de
longitud de onda, lo que significa que la impedancia de entrada en la línea de transmisión
equivalente debe hacerse cero. Así, a la izquierda de las bobinas, la impedancia Z1 será:
)4/tan()(
)4/tan()(
1 0
l
l
β
β
∞=+
+∞=
+=
Lo
oL
o
ZjZ
jZZ
ZjwLZ
)4/cot(1 0 lβojZjwLZ −=
y, por lo tanto, en la entrada de la línea se tendrá que:
)4/tan())4/cot((
)4/tan())4/cot((
)4/tan(1
)4/tan(1
0
0
ll
ll
l
l
ββ
ββ
β
β
oo
oo
o
o
o
o
jZjwLjZ
jZjZjwL
ZZin
jZZ
jZZ
ZZin
−+
+−
=
+
+
=
Pero para que esta línea de transmisión sea equivalente a una línea de un cuarto de longitud
de onda, Zin debe ser cero. Por lo que el numerador de la expresión anterior deberá ser
cero, esto es,
0)4/tan())4/cot(( 0 =+− ll ββ oo jZjZjwL
Así, entonces se tiene que
)4/tan()4/cot(0 ll ββ oo ZZwL −=
expresión que determina el valor de inductancia requerida para que se produzca la
condición de resonancia Zin=0.
Considerando ahora las ecuaciones de voltaje y corriente en una línea de transmisión se
tiene que :

52
)(
)(
zjzj
o
zjzj
ee
Z
V
I
eeVV
ββ
ββ
−
+
−+
Γ−=
Γ+=
l
l
Debido a la condición de impedancia cero en la entrada, la distribución de voltaje
estacionario deberá tener un nodo cero en la entrada y la onda estacionaria de corriente
deberá tener un máximo. Por lo que tomando como punto de referencia z = 0 a la entrada,
las ecuaciones de voltaje y corriente pueden escribirse como:
zCosII
zSinVV
β
β
1
1
=
=
siendo la relación entre I1 y V1 I1 = j(V1/Zo)
Figura 3.15 Relación de voltaje y corriente estacionario en la antena
En la sección a la derecha de las bobinas, la onda estacionaria de corriente debe ser cero en
Z = l/2 y la onda estacionaria de voltaje tendrá un máximo valor como se indica en la
figura 3.15 donde V2 e I2 tendrán la misma relación que I1 y V1.
Puesto que sobre la bobina, la corriente debe ser continua a través de la misma y el voltaje
discontinuo en una cantidad igual a la caída de tensión en el inductor, las relaciones entre
V2 y V1 y entre I2 e I1 llegan a ser
V2 = V1Cot(βl/4) e I2 = I1Cot (βl/4)
La distribución de corriente queda entonces como se indica en la figura 3.16

53
Figura 3.16 Distribución de corriente en la antena dipolo corto
Para una antena con l << λ/4 la función Cos βZ será aproximadamente 1 ya que el
máximo valor del argumento será menor a π/8, por lo que la distribución de corriente
puede aproximarse a la forma que se indica en la figura 3.17
Figura 3.17 Distribución de corriente para l<< λ/4
En esta aproximación la corriente es uniforme e igual a I1 hasta l/4 y entonces decrece
linealmente a cero en Z = l/2. Para esta aproximación, el área bajo la curva de distribución
de corriente es 2(I1 (l/4)+I1 (l /8)) = 3I1(l /4), en vez de I1(l /2), que corresponde a una
distribución lineal. Puesto que la potencia radiada es proporcional al cuadrado del área
bajo la distribución de corriente, esta es incrementada en un factor de (1,5)2
o, 2,25, lo
cual demuestra la ventaja de utilizar bobinas de sintonía en el centro de cada brazo de la
antena en vez de colocarlas en la entrada.
Otro método para proveer una distribución de corriente uniforme es con una carga
capacitiva en los dos extremos, mediante la utilización de un disco conductor ó mediante la
utilización de 4 o mas conductores de longitud l1 orientados radialmente como se indica en
la figura 3.18

54
Figura 3.18 Compensación mediante carga capacitiva
Así, la corriente en Z = l/2 no tiene que ser cero ya que esta puede dividirse y fluir en los
brazos radiales. Al final de cada brazo radial la corriente se hace cero.
El efecto total de esta estructura radial es un alargamiento equivalente de la longitud de la
antena en una cantidad igual a 2l1, haciendo la distribución de corriente más uniforme, e
incrementando la resistencia de radiación y la potencia radiada en un factor de hasta 2,25.
Esta estructura para su análisis también podría modelarse como una línea de transmisión
teniendo como carga una capacitancia. Por eso el nombre de carga capacitiva para esta
estructura.
3.4 ANTENAS DIPOLO DE BANDA DUAL
Antenas dipolo multibanda son a veces construidas como dipolos largos con circuitos
resonantes sintonizados en paralelo colocados en puntos adecuados a lo largo de los brazos
del dipolo, como se indica en la figura 3. 19. Esto hace funcionar a la antena como un
dipolo corto a una frecuencia dada, y como un dipolo largo para otra frecuencia.

55
Figura 3.19 Antena dipolo de banda dual
El circuito L1C1 se escoge para ser resonante a la frecuencia donde l1 = λ/2. El circuito
resonante provee una muy alta impedancia a la corriente y, efectivamente aísla las
secciones extremas del dipolo a esta frecuencia. A otra frecuencia deseada de bajo valor,
el circuito L1C1 tiene una reactancia inductiva neta y forma una bobina de carga para
sintonizar la antena dipolo de longitud l para resonar a esta baja frecuencia. Esto puede
analizarse con el modelo de línea de transmisión.
3.5 ANTENAS MONOPOLO
La antena monopolo es una estructura formada por un conductor ubicado en posición
vertical, donde la alimentación se encuentra entre el extremo inferior del conductor y un
plano de tierra que se asume ser un perfecto conductor. La longitud normal del brazo
monopolo utilizado es en general de un cuarto de longitud de onda excepto en casos
especiales, donde las restricciones de espacio u otros factores obligan a utilizar una
longitud menor.

56
Figura 3.20 Antena monopolo de ¼ de l . Torre vertical para radiodifusión AM
Es ampliamente utilizada en radiodifusión AM ( 500 a 1500 KHz.), puesto que es la antena
pequeña más eficiente para estas grandes longitudes de onda, y también porque a estas
frecuencias las ondas con polarización vertical sufren menos pérdidas de propagación que
aquellas con polarización horizontal.
Figura 19. Dirección de las corrientes en un elemento radiador y su imagen eléctrica.

57
La configuración de los campos electromagnéticos se determina utilizando el principio de
las imágenes, para lo cual se asume que la tierra o el plano de tierra, se comporta como un
perfecto conductor a la frecuencia de operación.
El método de las imágenes eléctricas, consiste en que las ondas electromagnéticas de un
radiador que inciden sobre una superficie conductora, inducen en ella corrientes, bajo la
acción de las cuales, aparece una onda reflejada equivalente a la irradiada por la imagen
eléctrica del radiador.
Utilizando este método, el análisis es exactamente igual que para el dipolo convencional.
Así, los campos radiados serán iguales. Pero para este caso, la radiación es solo en la
semiesfera sobre el plano de tierra, por lo que la potencia total radiada será la mitad que
para el dipolo de λ/2, e igualmente, la resistencia de radiación para el monopolo de altura
λ/4 será 73/2= 36,5 ohmios.
El patrón de radiación, es similar al de la antena dipolo, pero únicamente sobre el plano de
tierra.
En ciertos casos, se puede montar la antena monopolo sobre una torre, para lo cual se
simula el plano de tierra con varillas conductoras distribuidas en forma radial.
En la práctica, debido a la baja conductividad de la tierra, se producen pérdidas excesivas
de potencia en las corrientes inducidas en la tierra, lo que disminuye notablemente la
eficiencia, siendo la resistencia de radiación mucho menor que 36,5 ohms. El efecto de
baja conductividad puede ser superado instalando una pantalla de tierra.

58
Determinar la Directividad de una antena de longitud resonante:
r
r
F
S o
AV
ˆ
8
)(Im
22
22
π
θη
=
)(5,36
)2186,1(30
2
2
vatiosIP
IP
mrad
mAV
=
=
( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
θ
βθβ
θ
Sen
l
CosCos
l
Cos
F
oo
22
)( = 1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= 2
4 r
P
Srad
D
rad
π = 1,641227
D= 2,1516 dBi

59
4. REDES DE ACOPLAMIENTO
Las redes de acoplamiento pueden verse como dispositivos de cuatro terminales, los
mismos que sirven para acoplar impedancias. En este caso, para acoplar la impedancia de
la antena a la línea de transmisión. Existen muchos tipos de redes de acoplamiento, que se
clasifican de diferentes maneras, sin embargo, se revisaran exclusivamente las redes más
simples que se utilizan para el acoplamiento de impedancias mediante el uso exclusivo de
elementos reactivos como son inductancias y capacitancias para el caso de bajas
frecuencias, o mediante el uso de stubs para el caso de frecuencias mas elevadas, en las
cuales el diseño se efectuará utilizando la carta de Smith. Entre las mas conocidas se
tienen la red tipo L, tipo L invertida, tipo T y tipo PI.
Otros dispositivos que permiten el acoplamiento son los transformadores de impedancia
dentro de los cuales en el caso de antenas se destacan los baluns, los mismos que cumplen
una función adicional al acoplamiento de impedancias como será visto mas adelante.
4.1 RED TIPO L
La red tipo L está formada por la conexión de dos elementos reactivos, uno en paralelo
con la entrada de la red y otro en serie con la salida de la red como se muestra en la figura
4.1
Figura 4.1 Red de acoplamiento tipo L
El elemento reactivo en paralelo, se representa con su suceptancia (inverso de la
reactancia), mientras que el elemento reactivo en serie por su reactancia.
El diseño de la red de consiste en determinar los valores de los elementos reactivos de la
red, tal que la impedancia vista por la línea de transmisión en los terminales de entrada de
la red sea igual a la impedancia característica Zo. Esto es, acoplar la impedancia de carga
a la línea de transmisión (cero reflexión).
Para realizar el diseño utilizando la carta de Smith, es necesario primero normalizar las
impedancias respecto de la impedancia característica de la línea, esto es dividir todos los
valores de impedancia para Zo. Así, por ejemplo la impedancia normalizada de carga será

60
LL
o
L
o
L
o
L
jxr
Z
X
j
Z
R
Z
Z
+=+==
Las impedancias normalizadas así obtenidas, se denotan con letras minúsculas como se
indica en la figura 4.2
Figura 4.2 Impedancias normalizadas
Puesto, que el primer elemento cercano a la carga, se encuentra en serie con la misma, es
conveniente trabajar con la carta de impedancias. Se grafica entonces la impedancia
normalizada sobre la carta de Smith, como se muestra en la Figura 4.3.
Figura 4.3 Carta de Smith para el diseño de la red L
La impedancia , será entonces la suma de mas jx puesto que se encuentran en serie,
esto es

61
jxjxrjxzz LLL ++=+=1
)(1 xxjrz LL ++=
y debido a que la impedancia serie jx, es aún desconocida, tiene como coordenadas en
la carta Lr y cualquier valor de la parte reactiva, esto es el circulo que corresponde al lugar
geométrico para Lr constante, como se indica en la figura 4.3, encontrándose en el
tramo arriba de si la reactancia serie es inductiva, y abajo de si la reactancia serie
es capacitiva.
Ahora en el lado de entrada de la red, para que exista acoplamiento con la línea de
transmisión, la impedancia de entrada normalizada debe ser igual a 1 como se indica en la
figura 4.3, pero debido a que el elemento en la entrada de la red se encuentra en paralelo,
será mejor trabajar con admitancias, así, la admitancia de entrada será igual a
1
1
==
in
in
z
y
y la misma deberá ser igual a la suma de la suceptancia jb mas la admitancia y1 (siendo
y1=1/z1), esto es
11 yjbyin +±==
de donde jby m11 =
Al graficar esta admitancia sobre la carta y puesto que jb es aún desconocida, da como
resultado la circunferencia que corresponde al lugar geométrico para valores g = 1 como se

62
Figura 4.4 Carta de Smith, cálculo de la red L
Conocido el lugar geométrico de y1, se obtiene z1 invirtiendo este 180°, resultando dos
lugares geométricos para z1, los mismos que tienen dos puntos de intersección (puntos A y
B), que corresponderán a dos posibles soluciones como se indica en la figura 4.4.
La selección de cualquiera de estas soluciones dependerá de los requerimientos o
disponibilidad de elementos para el diseño de la red, esto es, disponibilidad de
condensadores o bobinas, o la necesidad de que la red actúe como filtro pasa bajos o pasa
altos, etc.
Por ejemplo si se decide por la solución del punto B, el elemento en serie de la red será un
capacitor, el mismo que puede determinarse como sigue:
La lectura sobre la carta de la impedancia z1 en el punto B da como resultado
BLB jxrz 11 −=
y, puesto que, BLLLLB jxrjxjxrjxzz 11 −=++=+=
se obtiene )( 1BL xxjjx +−=
Como puede verse, corresponde entonces a la reactancia de un capacitor, de donde
conociendo la frecuencia de operación, el capacitor en serie de la red estará dado por
CW
ZxX o
1
== (reactancia no normalizada)
WZx
C
o
1
=
Para encontrar el valor del elemento en paralelo, la impedancia z1B, debe transformarse a
admitancia, esto es y1B, como se indica en la figura 4.5

63
Figura 4.5 Carta de Smith, calculo de la red L
Así, la lectura de y1B sobre la carta da como resultado,
BB jby 11 1+=
y, puesto que jbjbjbyy BBin ++=+== 11 11
de donde Bjbjb 1−=
Esto es, debido al signo, se observa que corresponde a la suceptancia de una bobina. El
elemento en paralelo será entonces una inductancia cuyo valor puede determinarse como
LWZ
b
B
o
1
== (Susceptancia no normalizada)
bW
Z
L o
=
De esta manera quedan determinados los valores de los elementos reactivos que forman
esta red tipo L.

64
Figura 4.6 Red tipo L no factible
Para el caso particular en el que la posición de la impedancia de carga, sobre la carta de
Smith, se encuentre dentro del círculo de g = 1, como se indica en la figura 4.6, el lugar
geométrico de z1 que corresponde a los puntos de Lr constante, no tendrá ningún punto de
intersección con el lugar geométrico de z1 que se obtuvo al invertir y1. Esto ocurre
únicamente cuando la parte real de la impedancia de carga es mayor que el valor de la
impedancia característica de la línea. Por esto, queda claro, que la aplicación de una red
tipo L puede realizarse únicamente bajo la condición de que la parte real de la impedancia
de carga sea menor que la impedancia característica de la línea de transmisión, esto es
LR < oZ
4.2 RED TIPO L INVERTIDA
La red tipo L invertida está formada por la conexión de dos elementos reactivos, uno en
serie con la entrada de la red y otro en paralelo con la salida de la red como se muestra en
la figura 4.6

65
Figura 4.6 Red de acoplamiento tipo L invertida
El elemento reactivo en paralelo, se representa con su suceptancia (inverso de la
reactancia), mientras que el elemento reactivo en serie por su reactancia.
El diseño de la red de consiste en determinar los valores de los elementos reactivos de la
red, tal que la impedancia vista por la línea de transmisión en los terminales de entrada de
la red sea igual a la impedancia característica Zo. Esto es, acoplar la impedancia de carga
a la línea de transmisión (cero reflexión).
Para realizar el diseño, primero se normalizan las impedancias como en el caso anterior,
como se indica en la figura 4.7.
Figura 4.7 Impedancias y admitancias normalizadas
Puesto, que el primer elemento cercano a la carga, se encuentra en paralelo con la misma,
es conveniente trabajar con la carta de admitancias. Se grafica entonces la admitancia
normalizada sobre la carta de Smith, como se muestra en la Figura 4.8.

66
Figura 4.8 Carta de Smith para el diseño de la red L invertida
La admitancia , será entonces la suma de mas jb puesto que se encuentran en paralelo,
esto es
jbjbgjbyy LLL ++=+=1
)(1 bbjgy LL ++=
y debido a que la susceptancia jb, es aún desconocida, tiene como coordenadas en la
carta gL, y cualquier valor de la parte reactiva, esto es el circulo que corresponde al lugar
geométrico para gL constante, como se indica en la figura 4.8, encontrándose en el tramo
arriba de si la susceptancia paralelo es capacitiva, y bajo de si la susceptancia
paralelo es inductiva.
Ahora en el lado de entrada de la red, para que exista acoplamiento con la línea de
transmisión, la impedancia de entrada normalizada debe ser igual a 1 como se indica en la
figura 4.8, y la misma deberá ser igual a la suma de la reactancia jx mas la impedancia
(siendo =1/ ), esto es
11 zjxzin +±==
de donde jxz m11 =
Al graficar esta impedancia sobre la carta y puesto que jx es aún desconocida, da como
resultado la circunferencia que corresponde al lugar geométrico para valores r = 1 como se

67
Figura 4.9 Carta de Smith, cálculo de la red L invertida
Conocido el lugar geométrico de , se obtiene invirtiendo este 180°, resultando dos
lugares geométricos para , los mismos que tienen dos puntos de intersección (puntos A y
B), que corresponderán a dos posibles soluciones como se indica en la figura 4.9.
La selección de cualquiera de estas soluciones dependerá de los requerimientos o
disponibilidad de elementos para el diseño de la red, esto es, disponibilidad de
condensadores o bobinas, o la necesidad de que la red actúe como filtro pasa bajos o pasa
altos, etc.
Por ejemplo si se decide por la solución del punto B, el elemento paralelo de la red será
una inductancia, la misma que puede determinarse como sigue:
La lectura sobre la carta de la admitancia en el punto B da como resultado
BLB jbgy 11 −=
y, puesto que, BLLLLB jbgjbjbgjbzy 11 −=++=+=
se obtiene )( 1BL bbjjb +−=
Como puede verse (por el signo), corresponde entonces a la susceptancia de una bobina, de
donde conociendo la frecuencia de operación, la inductancia en paralelo de la red estará
dada por
WL
Z
b
B
o
== (susceptancia no normalizada)

68
WZ
b
L
o
=
Para encontrar el valor del elemento serie, la admitancia By1 debe transformarse a
impedancia, esto es Bz1 , como se indica en la figura 4.10
Figura 4.10 Carta de Smith, calculo de la red L invertida
Así, la lectura de Bz1 sobre la carta da como resultado,
BB jxz 11 1+=
y, puesto que jxjxjxzz BBin ++=+== 11 11
de donde Bjxjx 1−=
Esto es, debido al signo, se observa que corresponde a la reactancia de un condensador. El
elemento en serie será entonces un capacitor cuyo valor puede determinarse como
CW
xZX o
1
== (Reactancia no normalizada)
WxZ
C
o
1
=
De esta manera quedan determinados los valores de los elementos reactivos que forman

69
esta red tipo L invertida.
Figura 4.11 Red tipo L invertida no factible
Para el caso particular en el que la posición de la admitancia de carga, sobre la carta de
Smith, se encuentre dentro del círculo de r = 1, como se indica en la figura 4.11, el lugar
geométrico de que corresponde a los puntos de Lg constante, no tendrá ningún punto de
intersección con el lugar geométrico de que se obtuvo al invertir . Para que no ocurra
esto, es decir para que exista solución en el diseño de la red tipo L invertida, deberá
cumplirse que
oZ >
L
LL
R
XR 22
+
4.3 RED TIPO T
La red tipo T está formada por la conexión de tres elementos reactivos, dos en serie y uno
en paralelo formando una T como se indica en la figura 4.12

70
Figura 4.12 Red de acoplamiento tipo T
Existen diferentes procedimientos de diseño para este tipo de red, sin embargo uno de los
más versátiles y simples, es mediante la utilización de un parámetro característico de la
red como es el factor de calidad (Q), el mismo que en este caso está definido como
L
L
R
XX
Q
2±
=
De experiencias practicas, se ha observado, que valores óptimos del factor de calidad están
en el rango de 1 a 2, por lo que asumiendo un valor para el factor de calidad dentro de este
rango, puede determinase la reactancia serie X2. El carácter de la reactancia, inductiva o
capacitiva, depende del signo seleccionado, y puesto que en el numerador de la expresión
del factor de calidad se requiere el modulo, esto permitirá que para ciertos casos se cumpla
la misma condición con un valor de reactancia inductiva o con otro de reactancia
capacitiva.
Si X2 ha sido determinada, la determinación de los dos elementos restantes se reduce a la
solución de una red tipo L invertida como se indica en la figura 4.13. La misma que tendrá
solución únicamente si se cumple que
oZ >
L
LL
R
XXR 2
2
2
)( ±+
Figura 4.13 Reducción de la red T a L invertida
Puede verse entonces, que utilizando la definición del factor de calidad, la red tipo
T se reduce a la solución de una red tipo L invertida cuya solución fue analizada
anteriormente.

71
4.4 RED TIPO PI
La red tipo PI, está formada por la conexión de tres elementos reactivos, dos en paralelo y
uno en serie como se indica en la figura 4.14
Figura 4.14 Red de acoplamiento tipo PI
Existen diferentes procedimientos de diseño para este tipo de red, sin embargo uno de los
más versátiles y simples, es mediante la utilización de un parámetro característico de la
red como es el factor de calidad (Q), el mismo que en este caso está definido como
L
L
G
BB
Q
2±
=
De experiencias practicas, se ha observado, que valores óptimos del factor de calidad están
en el rango de 1 a 2, por lo que asumiendo un valor para el factor de calidad dentro de este
rango, puede determinase la susceptancia paralelo B2. El carácter de la susceptancia,
inductiva o capacitiva, depende del signo seleccionado, y puesto que en el numerador de la
expresión del factor de calidad se requiere el modulo, esto permitirá que para ciertos casos
se cumpla la misma condición con un valor de susceptancia inductiva o con otro de
susceptancia capacitiva.
Si B2 ha sido determinada, la determinación de los dos elementos restantes se reduce a la
solución de una red tipo L como se indica en la figura 4.15. La misma que tendrá solución
únicamente si se cumple que
LR < oZ
Figura 4.13 Reducción de la red PI a tipo L

72
Puede verse entonces, que utilizando la definición del factor de calidad, la red tipo PI se
reduce a la solución de una red tipo L cuya solución fue analizada anteriormente.
5. BALUNS
Los baluns son dispositivos que permiten acoplar un sistema no balanceado a uno
balanceado o viceversa a mas de permitir un acoplamiento de impedancia (el nombre balun
viene de las palabras en inglés balanced, unbalanced). Es necesario entonces definir lo que
se conoce como sistemas balanceados y no balanceados.
Un sistema balanceado es aquel cuyos terminales de entrada o salida tienen potenciales
simétricos respecto de tierra, y uno no balanceado aquel cuyos terminales tienen
potenciales no simétricos respecto de tierra. Como ejemplo de un sistema balanceado se
tiene el caso de una línea de transmisión de conductores paralelos, o una antena dipolo
simple o dipolo doblado, mientras que una línea de transmisión coaxial será el caso típico
de un sistema no balanceado como se indica en la figura 5.1
Figura 5.1 (a) Sistemas balanceados; (b) Sistemas no balanceados
Cuando se conecta una línea de transmisión coaxial a una antena dipolo, como se muestra
en la figura 5.2 (a), esto es una línea no balanceada, a la antena que requiere de una entrada
balanceada, el potencial de cero respecto de tierra del conductor externo del cable coaxial
aplicado a un brazo del dipolo, permite que se produzca la inducción de corrientes en la
superficie exterior del conductor externo del cable e coaxial, lo que a su vez ocasiona
radiación de energía desde esta superficie cambiando totalmente la distribución de energía
radiada por la antena dipolo, la impedancia y la resistencia de radiación, esto es, los
parámetros de la antena cambian en forma no predecible. Para que no ocurra esto, es
necesario transformar la alimentación no balanceada a una balanceada, siendo esta la
función del balun.
Un balun sumamente simple es el que se indica en la figura 5.2 (b) conocido como choque
de RF, el mismo que esta formado por un conductor cilíndrico de longitud λ/4 que rodea al
conductor coaxial y conectado al conductor externo del cable coaxial en la parte inferior.
Así, la impedancia de entrada en la línea de transmisión formada por el conductor
cilíndrico y el conductor externo del cable coaxial tiende al infinito (transformador de λ/4),

73
lo que impide la circulación de corriente en la parte externa del cilindro conductor y por
ende del cable coaxial, permitiendo así, que las características de radiación de la antena
permanezcan invariables.
Figura 5.2 (a) Conexión incorrecta; (b) Balun choque de RF
Otros tipos de balun que pueden construirse fácilmente con secciones de líneas de
transmisión de λ/4 y λ/2, y que además producen transformación de impedancia son los
que se indican en las figuras 5.2 (a) y 5.2 (b)
Figura 5.2 (a) Balun de relación 1:1 (b) Balun de relación 4:1
El balun de la figura 5.2 (a) acopla una línea coaxial de 75 ohmios (no balanceada), a una
antena dipolo de 75 ohmios (balanceada), esto es, no existe transformación de impedancia.
Este balun esta formado por dos secciones de línea de transmisión de impedancia
característica 75 ohmios, una de longitud λ/4 y otra de longitud 3λ/4. La impedancia en
los terminales de entrada de la antena dipolo, es de 75 ohmios, mientras que la impedancia
entre cada uno de los terminales de la antena y el punto de tierra es 37,5 ohmios (mitad de

74
la impedancia entre los terminales de la antena). En el otro extremo de las secciones de
línea de transmisión, la impedancia será (Zo)2
/37.7= 150 ohmios, pues se trata de
transformadores de λ/4. Puesto que estos extremos están conectados en paralelo, la
impedancia que ve la línea de transmisión será de 150/2= 75 ohmios. Esto es, la relación
de transformación de impedancia es de 1:1.
Debido a que la diferencia de longitud entre las dos secciones de línea de transmisión es
λ/2, los voltajes en los terminales que alimentan a la antena tendrán una diferencia de fase
de 180°, así, si uno es V el otro será –V, es decir una alimentación balanceada. De esta
forma se acopla la línea coaxial (no balanceada) a la antena dipolo (balanceada)con una
relación de transformación de impedancia 1:1.
El balun de la figura 5.2 (b) acopla una línea coaxial de 75 ohmios (no balanceada) a una
antena dipolo doblado de 300 ohmios (balanceada), esto es, produce una transformación de
impedancia de 4:1. Este balun, esta formado por una sección de línea de transmisión de
impedancia característica 75 ohmios, de longitud λ/2 conectada como se indica en la figura
5.2 (b). La impedancia en los terminales de entrada de la antena dipolo doblado, es 300
ohmios, mientras que la impedancia entre cada uno de los terminales de la antena y el
punto de tierra es 150 ohmios (mitad de la impedancia entre los terminales de la antena).
Así, la impedancia de 150 ohmios entre el brazo derecho del dipolo y el punto de tierra se
aplica a la entrada de la sección de línea de λ/2, y debido a la longitud de la línea en el otro
extremo aparece la misma impedancia, esto es 150 ohmios. Pero este extremo de la línea
está conectado en paralelo con el terminal izquierdo de la antena y el punto de tierra que
también tienen una impedancia de 150 ohmios, por lo que la impedancia resultante será
150/2 = 75 ohmios, que es la impedancia que verá la línea de transmisión de alimentación.
Así, entonces, se produce una transformación de impedancia de 300 ohmios a 75 ohmios,
esto es de 4:1
Debido a la conexión entre los brazos del dipolo a través de la línea de λ/2, el voltaje entre
estos dos puntos tiene una diferencia de fase de 180°, así, si uno es V el otro será –V, es
decir una alimentación balanceada. De esta forma se acopla la línea coaxial (no
balanceada) a la antena dipolo (balanceada)con una relación de transformación de
impedancia de 4:1.
Otro tipo de balun de banda ancha muy utilizado en RF y en televisión, es el que se indica
en la figura 5.3 el cual esta formado por dos secciones de línea de transmisión de cables
paralelos enrollados en un pequeño núcleo toroidal formando un transformador, con
relación de impedancia de 300 a 75 ohmios.

75
Figura 5.3 Balun de banda ancha de relación 4:1
El funcionamiento de este tipo de balun puede explicarse mediante el principio de
superposición del sistema con conexión balanceada y no balanceada como se indica a
continuación.
Figura 5.4 (a) Conexión balanceada (b) Conexión no balanceada (c) Superposición
Debido a la conexión, balanceada de las dos secciones de línea de transmisión como se
indica en la figura 5.4 (a), el potencial en el punto medio de la carga será cero, al igual que
el potencial en el punto medio del conductor que conecta las dos líneas. Así, una línea de
transmisión tendrá como carga efectiva ZL/2, y para que no exista reflexión debe cumplirse
que
o
L
Z
Z
=
2
La corriente Ia será entonces igual a
o
a
Z
V
I
2
= y, reemplazando la ecuación
anterior en Ia, esta queda
L
a
Z
V
I
4
=
Ahora, debido a la conexión no balanceada (figura 5.4 (b)), la corriente Ib dependerá de la
capacitancia parásita de los terminales de las líneas con respecto a tierra.
Al sumar los dos efectos, aplicando el principio de superposición, como se observa en la

76
figura 5.4 (c), la corriente I será I = Ia + Ib, observándose que en la entrada se tienen
potenciales de 2V y cero que corresponden a la entrada no balanceada, y sobre la carga la
salida balanceada. La impedancia en la entrada no balanceada será
ba
in
II
V
I
V
Z
+
==
2
2
despreciando la corriente Ib, que depende de la capacitancia parásita, y además porque al
enrollar las líneas en el núcleo toroidal se incrementa la oposición a esta corriente, la
expresión anterior queda
4/4
L
La
in
Z
ZV
V
I
V
Z ===
4
L
in
Z
Z =
Esto es, la impedancia en la carga balanceada es 4 veces la impedancia de la entrada no
balanceada.
(a) (b)
Figura 5.5 Baluns de banda ancha (a) relación 1:1 ; (b) relación 4:1
En la figura 5.5 se muestran dos configuraciones típicas de este tipo de balun, con sus
arrollamientos en el núcleo toroidal. La grafica de la figura 5.5 (b) corresponde a un balun
de relación de transformación 4:1 como el que se analizo anteriormente; mientras que la

77
figura 5.5 (a) corresponde a un balun de relación de transformación 1:1.
Existen muchísimos tipos de balun, los cuales son generalmente construidos con secciones
de líneas de λ/4, λ/2,3λ/4. En la figura 5.6 se muestran algunos de los más conocidos.
Figura 5.6 Diferentes tipos de balun
6. DUPLEXORES
Los duplexores, son dispositivos que permiten la utilización de una misma antena para
transmisión y recepción, en diferentes frecuencias sin que las señales de transmisión
interfieran en la recepción, y sin que las señales recibidas por la antena interfieran en la
transmisión. Estos dispositivos pueden construirse con diferentes tipos de elementos,
dependiendo de las frecuencias de operación. Así, por ejemplo para el caso de bajas
frecuencias se utilizan filtros con elementos reactivos L y C, para frecuencias mas altas
cavidades resonantes, acopladores direccionales y para muy elevadas frecuencias
circuladores y acopladores direccionales.
Para entender el funcionamiento de los mismos se utilizará el diagrama de un duplexor
para baja frecuencia, que emplea circuitos resonantes LC como se indica en la figura 6.1
En el circuito de la figura 6.1, puede verse al duplexor como un sistema de seis terminales;
dos para entrada o salida a la frecuencia f1, dos para entrada o salida a la frecuencia f2, y
dos para la conexión a la antena, siendo en este caso tres de los terminales comunes, que
corresponden a la conexión de tierra.

78
Figura 6.1 Circuito típico de un duplexor de baja frecuencia
Si la entrada a la frecuencia f1, está presente el circuito resonante paralelo L3C3 y el
circuito resonante serie L4C4 deben estar en resonancia, actuando L4C4 como un circuito
abierto, y L3C3 como un cortocircuito. Esto permite, que la señal a la frecuencia f1, se
aplique exclusivamente a la antena y no a los terminales de salida de la señal f2. Por el
contrario, si la señal a la frecuencia f2, está presente, el circuito resonante paralelo L2C2 y
el circuito resonante serie L1C1 deben estar en resonancia, actuando L2C2 como un circuito
abierto y L1C1 como un cortocircuito. Esto permite que la señal a la frecuencia f2 se
aplique exclusivamente a la antena o de la antena al terminal de salida f2. Los elementos
reactivos jXs1 y jXs2 serán determinados tal que, la impedancia de la antena a la frecuencia
f1 quede acoplada a la línea de transmisión que alimenta la señal f1, y, la impedancia que
presenta la antena a la frecuencia f2 quede acoplada a la línea de transmisión que alimenta
o recibe la señal f2.
Figura 6.2 Circuitos equivalentes (a) Operando a f1 ; (b) Operando a f2
Para realizar estos acoplamientos, si la frecuencia f2 es mayor que la frecuencia f1, el
circuito equivalente operando a la frecuencia f1, quedará como se indica en la figura 6.2
(a), dando en este caso L2C2 una inductancia equivalente y L1C1 una capacitancia
equivalente. Así, la determinación de jXs1 se reduce a resolver una red tipo T. De igual
forma, el circuito equivalente operando a la frecuencia f2, quedará como se indica en la

79
figura 6.2 (b), dando en este caso L3C3 una capacitancia equivalente y L4C4 una
inductancia equivalente. Así, la determinación de jXs2 se reduce a resolver una red tipo T.
7. ARREGLOS DE ANTENAS
La antena dipolo, es una antena muy simple que se utiliza cuando un patrón omnidirecional
es requerido. Sin embargo, su ganancia es baja ( máximo 1,64). En muchos sistemas de
comunicaciones el interés está en la comunicación punto a punto y un lóbulo de radiación
altamente directivo puede ser usado como ventaja. Mediante la disposición de varios
dipolos u otros radiadores elementales dentro de un arreglo, un lóbulo de radiación
sumamente directivo puede ser obtenido. Un lóbulo mas directivo, implica también, que la
antena tenga una alta ganancia. Arreglos simples pueden ser construidos, para rangos de
ganancia de hasta 15 dB sobre la del dipolo de longitud resonante. Un incremento en la
ganancia por un determinado factor, permite reducir la potencia de transmisión,
manteniendo la misma fuerza de señal en el sitio de recepción. Si adicionalmente la antena
receptora también tiene cierta ganancia, una mayor reducción en la potencia puede ser
efectuada relativamente para el mismo comportamiento del sistema.
Para establecer el método básico utilizado en el análisis de arreglos, considere el arreglo
general mostrado en la figura 7.1
Figura 7.1 Arreglo de n radiadores de iguales características
Este arreglo consiste de N antenas de iguales características con la misma orientación, pero
excitadas con amplitudes relativas Ci y fase αi, para la iésima antena. La posición de la
iésima antena esta dad por el vector ri. Tomando como referencia el campo eléctrico
radiado por una antena (parte del arreglo), localizada en el origen, con un coeficiente de
excitación unitario, se tiene que
r
e
frE
rj o
π
ϕθ
β
4
),()(ˆ =
donde f(θ,φ) describe el patrón de radiación de una antena del arreglo. Considerando el
campo en zonas apartadas, esto es, en la región donde r >>ri, las distancias desde cada
radiador al punto donde se considera el campo, parecen paralelas, por lo que la distancia
desde el iésimo radiador al punto de interés, puede aproximarse por

80
iri rarR ˆˆ ⋅−=
El campo distante producido por la iésima antena sufrirá un retardo de propagación de fase
en una cantidad de iro ra ˆˆ ⋅β menos que de la antena de referencia en el origen. Cuando el
diferente retardo de fase, y la diferente amplitud y fases de excitación son tomadas en
cuenta, el campo resultante desde todas las antenas en el arreglo puede ser expresado en la
siguiente forma
∑=
⋅−−
=
N
i i
rarj
j
i
R
e
feCE
iro
i
1
ˆˆ(
4
)
),(ˆ
π
ϕθ
β
α
para el caso de la amplitud puede aproximarse que
iRr
11
=
quedando )ˆˆ(
14
),(ˆ iroi
o
raj
N
i
i
rj
eC
r
e
fE ⋅+
=
∑= βα
β
π
ϕθ
Para el caso de la magnitud se observa que se aproximo r = Ri, sin embargo, debe notarse
que aún cuando Ri y r podrían diferir por menos de una parte en 1000, esto podría todavía
representar una distancia de algunas longitudes de onda en la fase, así que la aproximación
r = Ri, para la fase no puede ser usada. Una diferencia de trayecto correspondiente a λ,
representa un cambio de fase de 360°. Estas diferencias de fase debido a las diferentes
longitudes de los trayectos desde las varias antenas del arreglo son de fundamental
importancia en el control de los efectos de interferencia que permiten que un haz directivo
de radiación sea formado.
7.1 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN DE PATRONES
Si la expresión )ˆˆ(
14
),(ˆ iroi
o
raj
N
i
i
rj
eC
r
e
fE ⋅+
=
∑= βα
β
π
ϕθ
es examinada, se verá que el campo de radiación desde la antena de referencia está
multiplicado por un factor F(θ,φ), que depende del arreglo, denominado factor del arreglo,
y dado por
)ˆˆ(
1
),( iroi raj
N
i
ieCF ⋅+
=
∑= βα
ϕθ
y por tanto, ),(),(
4
ˆ ϕθϕθ
π
β
Ff
r
e
E
rj o
=
Pero se ha visto que el patrón de radiación (representado por Sav), y la ganancia directiva
son directamente proporcionales al cuadrado del factor que es función de θ y φ. Por lo que
en este caso
22
),(),( ϕθϕθα FfSAV =
22
),(),(),( ϕθϕθαϕθ FfD =
relación que representa el importante principio de multiplicación de patrones, el cual
enuncia que el patrón de radiación de un arreglo es el producto de la función patrón de una

81
antena individual con la función patrón del arreglo. Donde la función patrón del arreglo,
depende de la localización de cada antena en el arreglo y de las amplitudes relativamente
complejas de la alimentación. Este principio es sumamente importante y se lo utilizará
mas adelante.
La derivación del principio de multiplicación de patrones, asume que todas las antenas en
el arreglo tienen el mismo patrón de radiación. Esta consideración, no es generalmente
correcta, porque la distribución de corriente sobre una antena es perturbada por los efectos
del acoplamiento mutuo con objetos cercanos, esto es las otras antenas del arreglo. Así, las
antenas cerca de los extremos del arreglo, serán influenciadas de una manera diferente que
aquellas en el centro del arreglo. Sin embargo, la modificación en el patrón de radiación
de las antenas individuales es a menudo sumamente pequeña, que esta puede ser
despreciada.
El comportamiento general de los arreglos, puede ser establecido con buena precisión
asumiendo que el principio de multiplicación de patrones es valido.
En el estudio de arreglos, es usual enfocar la atención sobre el factor del arreglo por
separado, puesto que en un arreglo con alta directividad, las antenas individuales
generalmente tienen un patrón muy abierto y la mayor contribución a la directividad la da
el factor del arreglo.
7.2 ARREGLOS UNIFORMES EN UNA DIMENSION
En la figura 7.2 se muestra un arreglo lineal de N+1 elementos, dispuestos a lo largo del
eje x, en el que por conveniencia se asume dipolos de longitud resonante separados una
distancia d, donde cada antena es excitada con la misma amplitud constante C = Io,
pero con un cambio de fase progresivo ad de elemento a elemento, así que αi = iαd,
Figura 7.2 Arreglo unidimensional
El campo eléctrico total en zonas apartadas está dado por
),(),(
4
ˆ ϕθϕθ
π
β
Ff
r
e
E
rj o
=
donde ),( ϕθF está dado por

82
∑∑ =
+⋅+
=
==
N
i
dijdji
o
raj
N
i
i
oiroi
eIeCF
0
cos)ˆˆ(
0
),( φαβαβα
ϕθ
donde Φ es el ángulo entre el vector unitario raˆ y el vector posición del iésimo radiador
irˆ , siendo iidri
ˆˆ = y, kjiar
ˆcosˆsinsinˆcossinˆ θϕθϕθ ++=
de donde ϕθφ cossincosˆˆ ididra ir ==⋅
entonces ∑=
+
=
N
i
dijdji
o
o
eIF
0
cossin
),( ϕθαβα
ϕθ
si observamos esta expresión como una serie geométrica que podría ser sumada usando la
expresión ∑ −
−
=
+N N
n
W
W
W
0
1
1
1
Así, ),( ϕθF puede ser expresado como
)cossin(
)cossin()1(
1
1
),( ϕθβα
ϕθβα
ϕθ ddj
ddjN
o o
o
e
e
IF +
++
−
−
=
si hacemos A = )cossin( ϕθβα dd o+
),( ϕθF puede escribirse como
22
)
2
1
()
2
1
(
2
)
2
1
(
)(
),( A
j
A
j
A
N
jA
N
j
A
j
A
N
j
o
ee
ee
e
e
IF
−
−
=
−
++
−
+
ϕθ
esto es
22
)
2
1
()
2
1
(
2
)(
),( A
j
A
j
A
N
jA
N
jNA
j
o
ee
ee
eIF
−
−
=
−
++
−
ϕθ de donde se tiene
que
)cossin(
2
0
0
0
)
2
cossin
sin(
)cossin(
2
1
sin(
),(
ϕθβα
ϕθβα
ϕθβα
ϕθ
dd
N
j
o e
dd
dd
N
IF
+
+
+
+
=
que es la expresión completa del factor del arreglo, en la que la primera parte corresponde
a la magnitud y la segunda, a la fase. Sin embargo, la contribución del factor del arreglo al
patrón de radiación y a la directividad, es exclusivamente del módulo del mismo, por lo
que el estudio de arreglos enfoca el análisis del módulo del arreglo. Esto es
)
2
cossin
sin(
)cossin(
2
1
sin(
),(
0
0
ϕθβα
ϕθβα
ϕθ
dd
dd
N
IF o
+
+
+
=
Así, para estudiar 0el modulo del factor del arreglo es conveniente introducir la variable
“u“ definida por u = φβ cosdo , donde ϕθφ cossincos = y la constante
uo = dα

83
El factor del arreglo queda entonces
)
2
sin(
)](
2
1
sin[
)(
uu
uu
N
IuF
o
o
o
+
+
+
=
Esta función se comporta de manera muy similar a la función bien conocida (
u
usin
),
excepto que esta es periódica. La gráfica del factor del arreglo como función de u se
ilustra en la figura 7.3
Figura 7.3 Factor del arreglo
Note que el máximo de F(u) ocurre cuando u = -uo, y cuando πm
uu o
=
+
2
, donde m es un
entero . Estos máximos tienen un valor que puede determinarse como
)1(
)(
))(1(
)sin(
])1sin[(
lim
2
2
2
2
0
+=
+
=
+
→
NI
N
I
N
I oX
X
oX
X
o
x
esto es )1()( max
+= NIuF o que corresponderá a una adición en fase de los campos
radiados desde todos los N+1 dipolos.
Los máximos mas pequeños, ocurrentes en esta función, son llamados lóbulos laterales, los
cuales normalmente tienen amplitudes muy pequeñas comparadas con las amplitud del
principal, por lo que usualmente se desprecian. Para verificar lo indicado, la amplitud del
primer lóbulo secundario puede encontrarse como:
Cada cero de la función ocurre cuando el argumento de la función seno del numerador
tenga un valor de mπ, para m = 1, 2, 3,... , esto es el primer máximo a partir del primer
cero ocurrirá cuando el argumento de la función del numerador sea π +( π /2)=3π/2, es
decir que
2
3
)(
2
1 π
=+
+
ouu
N
de donde
1
3
)(
+
=+
N
uu o
π
, y, así entonces

84
)
)1(2
3
sin(
1
)(
+
=
N
IuF o
π
, pero si N es grande, la función del denominador puede
aproximarse por el argumento, quedando )1(21,0
)1(2
3
1
)( +=
+
= NI
N
IuF oo
π
Se observa entonces, que la amplitud del primer lóbulo lateral es apenas el 21% de la
amplitud del lóbulo principal por lo que generalmente se desprecia los lóbulos laterales.
Puede demostrarse que el número de lóbulos laterales entre los principales es función de N
, y es igual a N-1 lóbulos laterales.
Como función de u, el patrón del arreglo se repite cada 2π unidades a lo largo del eje u
como se observa en la figura 7.3. También puede notarse que puesto que φβ cosdu o=
El rango de u correspondiente al espacio físico real denominado “región visible”, es
dud oo ββ ≤≤− , debido a que cosφ cae entre –1 y 1. Así, la región visible corresponde a
un valor de u igual a od λπ /2± a cada lado de u = 0. En la práctica es deseable tener sólo
un lóbulo principal en el espacio físico, por lo que debe escogerse un valor adecuado del
espaciamiento d lo suficientemente pequeño para este propósito, como se indica en la
figura 7.4
Figura 7.4 Zona visible
Dos casos de especial importancia en este tipo de arreglos uniformes en una dimensión son
el arreglo de radiación lateral (perpendicular) al eje del arreglo (broadside array), y el
arreglo de radiación longitudinal (end-fire array).
7.2.1 ARREGLO DE RADIACION LATERAL
Si, se fija α = 0, entonces 0=ou y el máximo del lóbulo principal ocurre en u = 0 ó cosΦ
= 0, lo cual da Φ = π/2. Así, la radiación máxima ocurre lateralmente al eje del arreglo.
Intuitivamente se podría decir que este es el caso en el que todos los elementos son
alimentados en fase. Si se examina la figura 7.5, puede verse que debido a que se
mantiene la distancia d entre los elementos algo menor que λo, lóbulos mayores adicionales
no ocurrirán en el espacio visible, puesto que el lóbulo mayor más cercano esta a π2± del

85
lóbulo en u = 0. La región visible se extiende desde - doβ hasta doβ , y esto yace dentro
del intervalo π2− < u < π2 puesto que d < λo.
Figura 7.5 Arreglo de radiación lateral (Factor del arreglo)
Es de interés determinar el ancho angular del lóbulo principal entre ceros, puesto que esta
es una medición de la concentración que logra determinado haz. Los ceros para el haz
principal ocurrirán cuando el argumento de la función seno del numerador, sea igual a
πm . Así,
π±=+
+
))(
2
1
( uu
N
o
πφβ ±=
+
cos)
2
1
( d
N
o
ó
dNdN
o
o )1()1(
2
cos
+
±
=
+
±
=
λ
β
π
φ
para N muy grande φcos es pequeño, así que φ es cercano a π/2. Por lo que esta
expresión puede escribirse como
)sin(
)1(
2
)
2
cos( φ
β
π
φ
π
Δ±=
+
±
=Δ±
dN o
φ
β
π
Δ±=
+
±
sin
)1(
2
dN o
entonces,
dN
dN
dN
o
o
o )1(2
)1(
2
)1(
2
+
=
+
=
+
=Δ
λ
λ
π
π
β
π
φ
consecuentemente el ancho del haz (BW) (beam wide) será
BW = 2
dN
o
)1(
2
+
=Δ
λ
φ
L
BW oλ2
=
siendo L = (N+1)d aproximadamente la longitud del arreglo.

86
Esta ecuación,
L
BW oλ2
= , expresa la propiedad general de un arreglo lineal de radiación
lateral que indica que el ancho del haz es inversamente proporcional a la longitud del
arreglo medido en longitudes de onda.
Para un ancho del haz de 6° (cerca de 0,1 rad.), un arreglo alrededor de 20 λo de longitud
es requerido.
Esto es factible a altas frecuencias, pero en 1 MHz. Donde λo = 300 m, la longitud del
arreglo podría ser de 6 Km, lo cual prueba ser impráctico y además costoso.
La amplitud del factor del arreglo como un patrón se muestra en la figura 7.6 (a) como
función deθ y φ (máximo para 2/πφ = e independiente de θ ).
Figura 7.6 Patrón de radiación (a) Patrón de radiación del factor del arreglo; (b) Patrón
de radiación del dipolo de λ/2; (c) Patrón de radiación total del arreglo.
Si el arreglo consiste de dipolos de media longitud de onda, entonces el patrón de radiación
resultante total, es el producto del patrón del factor del arreglo por el patrón del dipolo
como se muestra en la figura 7.6 (c).
Nótese que los ceros a lo largo del eje z, del patrón del dipolo produce dos lóbulos
orientados a lo largo del eje ± y, juntamente con los lóbulos menores y lóbulos laterales.
Es generalmente difícil calcular el valor absoluto de la directividad para un arreglo,
especialmente por la dificultad que el patrón del arreglo ocasiona en la evaluación de la
potencia total radiada.
En el presente caso para un arreglo de dipolos de media longitud de onda, se requeriría
evaluar el siguiente integral
ϕθθ
ϕθβ
ϕθβ
θ
θπ π π
ddsin
dsin
sin
dsinsin
sin
N
2
0
02
12
0 0
2
)
]
2
cos
[
)]cos)([()coscos(
(
+
⋅∫∫

87
Una estimación razonable de la directividad podría ser obtenida dividiendo el ángulo
sólido total ocupado por una esfera, esto es 4π steradianes para el ángulo sólido ocupado
por el haz principal, el mismo que se aproxima por el producto del ancho angular de media
potencia en el plano vertical, por el ancho angular de media potencia en el plano
horizontal.
El ancho angular del haz de media potencia está usualmente dado por los patrones de los
planos principales E y H, y es el ancho angular entre puntos en los cuales la potencia
radiada por unidad de área es la mitad de la potencia radiada máxima. Respecto del campo
eléctrico, son los puntos donde el campo es 2/maxE .
Para el arreglo bajo discusión, el ancho angular del haz de media potencia en el plano
vertical (plano E), es aquel del dipolo de media longitud de onda, el mismo que tiene un
valor de 1,36 radianes (78°), mientras que el ancho angular del haz en el plano horizontal
(plano H), esta determinado por el factor del arreglo, el mismo que se determina como
sigue:
El valor del módulo del factor del arreglo en el punto de media potencia será
2
)1(
]
2
[
])
2
1
[(
)(
2
1
2
1
2
1
+
=
+
=
N
I
u
sin
u
N
sin
IuF oo
pero puesto que
2
1u es cercano a cero, y además el argumento del denominador varía más
lentamente que el argumento del numerador, entonces puede aproximarse el denominador
al argumento de la función, esto es
2
)1(
2
])
2
1
[(
2
1
2
1
+
=
+
N
u
u
N
sin
22
)1(
])
2
1
[( 2
1
2
1
uN
u
N
sin
+
=
+
la función seno restante puede aproximarse por los dos primeros términos de la serie
infinita, esto es
2
1
2
)
2
()1(
6
1
2
1
]
2
1
[ 2
1
2
1
2
1
2
1
33 +
=+−
+
≈
+ Nuu
Nu
N
u
N
sin
quedando
2
1
)
2
()1(
6
1
1 22 2
1
=+−
u
N
de donde
)1(
65.2
2
1
+
=
N
u

88
Ahora, puesto que )cos(
2
1
2
1 2 φβ π
Δ−= du o
se tiene
2
1
2
1 φβ Δ= du o
quedando
d
u
oβ
φ 2
1
2
1 =Δ
Entonces el ancho del haz de media potencia en el plano horizontal será
)
1
65,2
(
2
2
2
1
2
1
+
=Δ=
Nd
HBW
oβ
φ
)
1
65,2
(
2
1
+
=
Nd
HBW o
π
λ
La directividad del arreglo estará entonces determinada como
HBWrad
D
2
1)36,1(2
4
⋅
≅
π
donde el denominador se ha multiplicado por 2 debido a que se tienen dos lóbulos
)65,2(
)1(
)36,1(2
4
o
Nd
rad
D
λ
ππ +
⋅≅
esto es
o
dN
D
λ
)1(
48,5
+
≅
Puede verse entonces, que la directividad del arreglo es directamente proporcional a la
longitud del arreglo ( L ≅ (N+1)d ).
Como ejemplo considérese un arreglo de 21 elementos, esto N = 20, d = 0,9 λo. Su
directividad será entonces
o
o
D
λ
λ9,021
48,5
⋅
= = 103
Así, un arreglo de 21 elementos, tiene una directividad muy grande y también una gran
ganancia.
7.2.2 ARREGLO DE RADIACIÓN LONGITUDINAL
Si se selecciona ou igual a doβ− , un lóbulo máximo es formado cuando
φββ cosdduu ooo ==−=
esto es, cuando 0=φ , lo cual indica que el haz está a lo largo del eje del arreglo. El
cambio de fase progresivo αd a lo largo del arreglo, es entonces doβ− , una cantidad que

89
justo mantiene nulo el avance de propagación de fase de elemento a elemento en la
dirección x. Si uo es escogido igual a doβ , entonces el haz es formado en la dirección -x.
El factor del arreglo y el patrón resultante del arreglo se muestran en la figura 7.7 , donde
puede observarse que un espaciamiento d algo menor que λo/2, es ahora requerido para
evitar tener un segundo lóbulo principal dentro de la zona visible.
Figura 7.7 Arreglo de radiación longitudinal
El segundo lóbulo empieza a aparecer a lo largo de la dirección –x cuando d se aproxima a
λo/2. El patrón del arreglo es nuevamente una figura de revolución alrededor del eje del
arreglo.
Para este tipo de arreglo, el factor del arreglo estará dado por
)
2
cos
(
))cos(
2
1
(
),(
0
0
dd
sin
dd
N
sin
IF
o
o
o
βφβ
βφβ
ϕθ
−
−
+
=
)
2
)1(cos
(
))1(cos
2
1
(
),(
−
−
+
=
φβ
φβ
ϕθ
d
sin
d
N
sin
IF
o
o
o
Para determinar en este caso, el ancho angular del haz, se tiene que los ceros del lóbulo
principal aparecerán cuando el argumento de la función seno del numerador sea π± , esto
es
πφβ ±=−Δ
+
)1)(cos(
2
1
d
N
o
de donde, 1
)1(
2
)cos( +
+
±
=Δ
dN oβ
π
φ

90
pero para valores grandes de N, φΔ es pequeño, por lo que la función puede ser
aproximada por los dos primeros términos de su serie infinita, esto es,
2
)(
1cos
2
φ
φ
Δ
−≅Δ , que reemplazando en la relación anterior se tiene que
1
)1(
2
2
)(
1
2
+
+
±
=
Δ
−
dN oβ
πφ
obteniéndose
2
1
)1(
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=Δ
dN
oλ
φ
y entonces el ancho angular del haz será:
BW = 2
1
2
1
)(22
)1(
2
22
LdN
oo λλ
φ =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=Δ
Donde L es aproximadamente la longitud del arreglo. Puede verse entonces que para un
arreglo de radiación longitudinal el ancho angular del haz es inversamente proporcional a
la raíz cuadrada de la longitud del arreglo medida en longitudes de onda.
El haz en un plano dado no es angosto como para el arreglo de radiación lateral, pero en
este caso el ancho del haz está limitado en dos planos. El gran ancho del haz, es
compensado por la limitación en los planos E y H.
Para un arreglo largo, la multiplicación del patrón del arreglo, por el patrón del dipolo de
λ/2, tiene un efecto pequeño, puesto que el último es casi constante sobre la región angular
ocupada por el patrón del arreglo.
Para este arreglo, la directividad también puede ser estimada como en el caso anterior, esto
es, la relación del ángulo sólido total ocupado por la esfera, para el ángulo sólido ocupado
por el haz. Así, primeramente se requiere determinar el ancho angular de media potencia,
que para este arreglo, es igual en el plano vertical como en el plano horizontal, esto es,
2
1
2
)1(cos
)1(cos
2
1
2
1
2
1
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−Δ
+
N
I
d
sin
d
N
sin
I o
o
o
o
φβ
φβ
utilizando la aproximación
2
)(
1cos
2
φ
φ
Δ
−≅Δ , se tiene que

91
2
1
)(
4
)(
4
1
2
2
2
1
2
1
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
−
N
d
sin
d
N
sin
o
o
φ
β
φβ
de donde, aproximando el numerador por los dos primeros términos de la serie infinita, y el
denominador por el argumento de la función seno, se tiene que
2
1
)(
4
)()
4
1
(
6
1
)()
4
1
(
2
63332
+
=
Δ
Δ
+
−Δ
+
N
d
d
N
d
N
o
oo
φ
β
φβφβ
obteniéndose,
2
1
2
1
)1(
63,1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=Δ
dN
o
π
λ
φ
Para este caso en el que el patrón de radiación total del arreglo es simétrico en los dos
planos, el ángulo sólido ocupado por el mismo puede determinarse mediante la integración
del diferencial de ángulo sólido entre cero y
2
1φΔ . Esto es,
2
2
0 0
)()1(cos2
2
1
2
1 φπφπϕθθ
π φ
Δ≅−Δ==Ω ∫ ∫
Δ
ddsinB
entonces ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=Ω
dN
o
B
π
λ
π
)1(
)63,1( 2
siendo la expresión aproximada de la directividad
oB
dN
D
λπ
πππ
2
)63,1(
)1(44 +
=
Ω
=
o
dN
D
λ
)1(
73,4
+
=
Expresión que corresponde a una muy buena aproximación, respecto de los valores
teóricos exactos calculados con integración numérica.
Nuevamente se observa que la directividad para este arreglo es directamente proporcional a
la longitud del arreglo.
Una forma de obtener mayor directividad en el arreglo de radiación longitudinal, sin
cambiar las dimensiones del mismo, es haciendo el retardo de fase progresivo a lo largo del
arreglo, más grande que N doβ . Así, en vez de escoger Nαd igual a - N doβ , se escoge
Nαd = - N doβ - π

92
ó αd = uo = - doβ -
N
π
Esta selección hace que el máximo ocurra en u = - uo = doβ +
N
π
o donde
=φβ coso doβ +
N
π
, lo que requiere que φcos >1
Esto es el máximo está fuera de la zona visible como se observa en la figura 7.8
Figura 7.8 Arreglo de radiación longitudinal mas directivo
7.3 ARREGLOS UNIFORMES EN DOS DIMENSIONES
Un arreglo en dos dimensiones de dipolos de media longitud de onda, se muestra en la
figura 7.9, el mismo que consiste de N+1 dipolos distribuidos a lo lardo del eje x, y M+1
dipolos, distribuidos a lo largo del eje z, o un total de (N+1)(M+1) dipolos. Se asume que
los dipolos tienen la misma amplitud de excitación, pero con un cambio de fase progresivo
a lo largo del eje “x” y del eje “z”. Así, la fase de corriente en el mn avo elemento estará
dada por djmdjn zx
e αα +
El arreglo descrito, puede ser visto como un arreglo de M+1 arreglos lineales. Así,
mediante el uso del principio de multiplicación de patrones, el factor del arreglo en dos
dimensiones es el producto del factor del arreglo de las M+1 antenas dispuestas a lo largo
del eje z con el factor del arreglo para N+1 elementos arreglados a lo largo del eje x. Esto
es,
)
2
cos
(
)cos(
2
1
(
)
2
cos
(
)cos(
2
1
(
),(
0
0
0
0
θβα
θβα
ϕθβα
ϕθβα
ϕθ
dd
sin
dd
M
sin
dsind
sin
dsind
N
sin
IF
z
z
x
x
o
+
+
+
×
+
+
+
=

93
Figura 7.9 Arreglo en dos dimensiones
donde se ha utilizado φθβ cosˆˆ sindaa oxr =⋅ y θβ cosˆˆ daa ozr =⋅
definiendo las variables u y v y las constantes uo y vo, como
φθβ cosdsinu o= du xo α=
θβ cosdv o= dv zo α=
el factor del arreglo en dos dimensiones queda
)
2
(
)(
2
1
(
)
2
(
)(
2
1
(
),(
vv
sin
vv
M
sin
uu
sin
uu
N
sin
IvuF
o
o
o
o
o
+
+
+
×
+
+
+
=
El factor del arreglo tiene su primer máximo principal cuando ouu −= , ovv −= , el cual
define la dirección en el espacio del lóbulo de radiación principal. Si 0== zx αα , la
dirección de radiación máxima es perpendicular al plano del arreglo, esto es a lo largo del
eje ± y. Para valores apropiados de zx y αα el lóbulo puede ser orientado en cualquier
dirección deseada. Si la fase de los elementos es controlada por cambiadores de fase en
cada línea de alimentación, puede obtenerse un control de la dirección del haz
electrónicamente tal que el lóbulo scannee cualquier sector angular deseado. Arreglos de
este tipo son conocidos como arreglos de fase cambiante.
En el caso de un arreglo de radiación lateral el ancho angular del lóbulo en los planos “xy”
y “yz” se obtiene cuando el argumento de las funciones del numerador de los factores
parciales serán

94
π±=
+
u
N
2
1
π±=
+
v
M
2
1
y como fue desarrollado para el arreglo lineal, el ancho angular en cada plano será
dN
BW o
xy
)1(
2
+
=
λ
dM
BW o
yz
)1(
2
+
=
λ
El ancho angular del haz en cada plano es inversamente proporcional a la longitud del
arreglo en aquel plano. De manera similar los anchos angulares de media potencia pueden
ser encontrados y, están dados por las expresiones
dN
BW o
xy
π
λ
)1(
65,2
)(
2
1
+
=
dM
BW o
yz
π
λ
)1(
65,2
)(
2
1
+
=
La directividad estará entonces aproximadamente dada por
2
2
)1)(1(83,8
)()(2
4
2
1
2
1 oyzxy
dMN
BWBW
D
λ
π ++
==
2
83,8
o
A
D
λ
=
donde se ha reemplazado 2
)1)(1( dMN ++ por el área A ocupada por el arreglo.
De esta ecuación, se observa que la directividad de esta antena es directamente
proporcional al área medida en longitudes de onda al cuadrado, una propiedad que es
característica de todas las antenas.
8. ARREGLOS CON ELEMENTOS PARASITOS
Todo elemento conductor que no tenga una alimentación directa de corriente o voltaje en
las cercanías de otro que si lo tiene se denomina elemento parásito. Así, entonces un
arreglo formado con varios de estos elementos junto a un elemento activo (alimentado), se
denomina arreglo con elementos parásitos. Los elementos parásitos, son excitados por el
acoplamiento de la impedancia mutua con los elementos activos, así como con otros
elementos parásitos. Los arreglos con elementos parásitos, han sido usualmente diseñados
por métodos experimentales debido a la gran dificultad de cálculo de las impedancias
mutuas, de las longitudes de los elementos, y de las separaciones óptimas , debido a que
todos estos parámetros están relacionados en una forma compleja no lineal. El arreglo con
elementos parásitos más conocido es el arreglo Yagi-Uda.

95
Figura 8.1 Arreglos con elementos parásitos
El arreglo más simple con elementos parásitos, es el de dos elementos como se muestra en
la figura 8.1 (a), el mismo que consiste de un elemento activo y un elemento reflector.
Este es un arreglo de radiación longitudinal con la máxima radiación a lo largo del eje del
arreglo. Para su análisis este arreglo puede ser visto como una red con dos pares de
terminales. Puesto que el elemento reflector no tiene alimentación, su voltaje terminal es
cero. Así, puede escribirse que
2121110 IZIZ +=
2221212 IZIZV +=
Si se resuelve para la corriente I1 e I2, se obtiene
2
122211
212
1
ZZZ
VZ
I
−
−
=
2
122211
211
2
ZZZ
VZ
I
−
=
la relación de I1 para I2 es 1112 / ZZ− , que en módulo y fase puede ser expresada como
dj
eZZ α
1112 /− , y por tanto el factor de este arreglo será
φβα cos
11
12
1)( djdj o
e
Z
Z
uF −
−=
donde φ es el ángulo relativo al eje del arreglo. Para obtener la máxima radiación en la
dirección φ = 0, se requiere que πβα ±=− dd o o d = )/( αβπ −om
Si se requiere que la radiación en la dirección φ = π (dirección de espalda), sea cero,
entonces también se necesita que 0=− dd oβα o 2π y además que 1/ 1112 =ZZ , lo que
generalmente no es factible, por consiguiente, únicamente un mínimo y no un cero podrá
obtenerse en la dirección de espalda. El ángulo de fase de Z11, puede ser variado, mediante

96
la variación de la longitud del elemento. Cuando el elemento es menor que la longitud
resonante, Z11 tiene una reactancia capacitiva, mientras que si es mayor que la longitud
resonante Z11 tendrá una reactancia inductiva. La impedancia mutua Z12 de pende de la
distancia d entre los elementos. En la práctica se ha determinado que la longitud del
elemento reflector debe ser mayor que la longitud resonante, y el espaciamiento “d”
óptimo, alrededor de 0,15λo. Idealmente, se debería tener d = λo /4, αd = - π /2 y
1/ 1112 =ZZ . Un espaciamiento d igual a λo /4, produce un pequeño valor de Z12 y por
consiguiente una pequeña corriente inducida. Así, entonces, un espaciamiento menor que
λo /4 es mejor, aún cuando el valor teórico exacto requerido de la fase αd pueda
generalmente no ser obtenido. Con una selección óptima del espaciamiento, y de la
longitud de los elementos, una directividad alrededor de 3 puede ser alcanzada.
Si el elemento parásito es más corto que la longitud resonante, este actúa como un
director, y la radiación máxima ocurre en la dirección del elemento director. Un gran
mejoramiento de la directividad puede obtenerse usando los dos elementos parásitos
reflector y director, como se muestra en la figura 8.1 (b). Este arreglo es la forma mas
simple del arreglo Yagi-Uda.
En este tipo de arreglos se cumple que la ganancia es pequeña cuando hay más de un
reflector pero que, hasta un cierto limite, a mayor número de directores mayor ganancia de
la antena. Lo normal es que una antena Yagi tenga entre 12 y 16 elementos directores. Para
una antena que tenga más de 40 elementos, el rendimiento que se consigue no justifica su
tamaño.
Figura 8.2 Lóbulo de radiación horizontal con elemento parásito a 0,15λ
Si la medida del elemento parásito es la misma que la del dipolo y existe una separación
entre ellos de 0.15 longitudes de onda, la antena da dos lóbulos de ganancias iguales, uno
hacia adelante y otro hacia atrás, como se muestra en la figura 8.2. Si la longitud del
elemento parásito, se aumenta hasta en un 5%, pasa a actuar como reflector, disminuyendo
el lóbulo de radiación de espalda, para reforzar el principal obteniéndose una ganancia de
hasta 3 dB, siendo el patrón de radiación en el plano horizontal como se muestra en la
figura 8.3

97
Figura 8.3 Diagramas de radiación (a) Plano horizontal (b) Plano vertical
Si la longitud del elemento parásito disminuye hasta en un 5% de la longitud resonante,
este actuará como director, reforzándose la ganancia en la dirección principal, como se
muestra en la figura 8.4
Figura 8.4 Diagramas de radiación (a) Plano horizontal (b) Plano vertical
Para cada uno de los casos, la ganancia de la estructura según la separación entre los
elementos, utilizando un elemento parásito como reflector se indica en la figura 8.5 (a) y,
con el elemento parásito como director se muestra en la figura 8.5 (b)
Figura 8.5 (a) Ganancia de una antena de dos elementos dipolo - reflector
(b) Ganancia de una antena de dos elementos dipolo - director

98
Un problema serio de los arreglos con elementos parásitos es el bajo valor de la resistencia
de radiación vista el los terminales del elemento activo. La reducción en la resistencia de
radiación con un espaciamiento de 0,1 longitudes de onda para un único elemento parásito
es alrededor de 0,15 y, con un espaciamiento de 0,5 λ, esta se reduce por un factor 0,3.
Figura 8.6 Resistencia de radiación de una antena de dos elementos
(a) con reflector línea llena; (b) con director línea segmentada
En la figura 8.6 se observa que para valores de espaciamiento inferiores a 0,11 λ, la
resistencia es de 14 Ω , aumentando a medida que se separan. La baja resistencia de
radiación para los espaciamientos que dan más alta ganancia , tiende a reducir la eficiencia
de radiación. Esto es porque con una resistencia de pérdidas fija, la potencia subministrada
a la antena se pierde en calor y se irradia menos, ya que la resistencia de radiación se
aproxima a la resistencia de pérdidas en magnitud. La resistencia de pérdidas puede
decrecer con el uso de conductores de baja resistencia para los elementos de la antena.
Esto significa principalmente conductores de diámetro grande, usualmente tubos de
aluminio, cobre o bronce.
Para un dipolo estándar de longitud resonante, la resistencia de radiación en presencia de
un elemento parásito es típicamente de 20 Ω o menos. Este valor puede ser incrementado
por un factor de 4 usando un dipolo doblado. Adicionalmente, al decrecimiento de la
resistencia de radiación, la banda de frecuencias de operación usualmente no excede 2 o
3% debido a la sintonización crítica requerida de los elementos parásitos para óptimos
resultados.
La relación frente a espalda (F/B) conocida también como eficacia directiva, aumenta
cuando el espaciamiento aumenta al utilizar un elemento director, y disminuye con el
aumento del espaciamiento al utilizar un elemento reflector, como se muestra en la figura
8.7

99
Figura 8.7 Relación F/B (a) con reflector (b) con director
Las condiciones de sintonía que dan máxima ganancia en la dirección principal, no dan
máxima reducción de la señal o atenuación en la parte de atrás. Por lo que es necesario
reducir la ganancia para tener la mas alta relación F/B. En la práctica hay ciertos casos en
los que se debe condicionar para la máxima relación F/B, antes que para una máxima
ganancia. Las más grandes relaciones F/B pueden ser garantizadas con el elemento
parásito actuando como director, antes que como reflector.
Un arreglo Yagi-Uda típico, es un arreglo de radiación longitudinal con un elemento
activo, un elemento reflector y algunos elementos directores como se muestra en la figura
8.8
Figura 8.8 Arreglo Yagi-Uda
Respecto de la figura 8.4, si Zij es la impedancia mutua entre los elementos i y j , Zii es la
impedancia propia del elemento i , y todos los voltajes terminales son cero, excepto Vo
para el elemento activo, las siguientes ecuaciones circuitales pueden ser escritas
NN IZIZIZIZ 1111010111 ..........0 −−−−−− +++=
NNo IZIZIZIZV 0101000110 ..........+++= −−
.....................................................................
NNNNNN IZIZIZIZ ..........0 110011 +++= −−
Si todas las impedancias Zij son conocidas, las corrientes Ii podrían determinarse y
entonces calcularse los campos radiados. El problema de diseño requiere seleccionar los
espaciamientos di y longitudes de elementos li (lo cual controla Zij) tal que las corrientes Ii

100
tengan la fase apropiada para proveer la adición en fase para el campo radiado en la
dirección principal. Puesto que los parámetros ajustables están todos interrelacionados, es
difícil obtener buenos datos de diseño. A lo largo de los años, un gran número de diseños
han sido desarrollados mas por métodos experimentales, y estos son usados para diseñar
los arreglos Yagi-Uda. Con arreglos típicos de 8 a 10 elementos, ganancias alrededor de
14 dB son obtenidas. Debido a la longitud crítica de cada elemento, los arreglos Yagi-Uda
son antenas de banda angosta, operando satisfactoriamente solo en un ancho de banda de
pequeño porcentaje. Su popularidad es debido a su estructura simple.
8.1 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE UNA ANTENA YAGI-UDA
El diseño de este tipo de antenas se basa principalmente en datos experimentales y prácticos
recopilados a lo largo de los años, los mismos que han permitido establecer criterios o tablas de
valores típicos como se verá a continuación. El diseño comprende la determinación de las
diferentes longitudes y espaciamientos de todos y cada uno de los elementos del arreglo.
Figura 8.1 Distancias y espaciamientos de los elementos de un arreglo Yagi-Uda
Los pasos a seguirse para el diseño de una antena Yagi-Uda son los siguientes:
8.1.1 Determinación del número de elementos del arreglo
Para la determinación del número de elementos se tienen varios criterios, uno de ellos es a
partir de la ganancia de la antena mediante la curva que se indica a continuación en la
figura 8.2

101
Figura 8.2 Ganancia en dB en función del número de elementos de la antena Yagi
Otros criterios comprenden obtener el número de elementos del arreglo en función de la
relación F/B. La eficiencia de la antena es también otro parámetro que se asume conocido.
Tabla 8.1 Relación Frente - Espalda en dB y eficiencia para distinto
número de elementos
Otro criterio para escoger el número de elementos del arreglo es mediante el ancho del
lóbulo principal de media potencia (ancho del haz).

102
Tabla 8.2 Ancho del haz de media potencia para distintos arreglos Yagi
8.1.2 Cálculo de las longitudes de los dipolos:
Puesto que se conoce la frecuencia de trabajo de la antena se puede calcular las longitudes
del reflector. conductor y directores utilizando el criterio inicial(5%):
fc → frecuencia de trabajo. Longitud de onda:
cf
c
=λ
Tabla 8.3 Longitudes óptimas en λ de los directores Yagi
DIPOLO: posee la longitud resonante: 0.48λ o aproximadamente λ/2.
DIRECTORES: su longitud debe ser MENOR (de 1 a 5%) que la longitud resonante. Este
valor puede ser escogido de la tabla 8.3.
REFLECTOR: su longitud debe ser MAYOR (de 1 a 5%) que la longitud resonante. Un
valor óptimo de este parámetro es Lref = 150 / f(MHz).
Además, la selección de la longitud de este elemento es muy importante ya que la misma
esta relacionada con el ancho de banda de la antena. Generalmente se coloca un valor
mayor al calculado con el propósito de incrementar el ancho de banda.
En términos prácticos las longitudes de los elementos y su separación no son muy criticas,
y se pueden permitir variaciones de 1% en la longitud y hasta 5% en la separación. La
longitud del reflector es más tolerante que la del director aunque en algunos casos se
utilizan estas tolerancias para ampliar el ancho de banda de la antena; es decir, con
reflectores un poco más largos y directores un poco más cortos, aumenta el ancho de
banda, sin embargo en sentido contrario, el efecto es totalmente dañino y anula el
comportamiento de la antena.

103
8.1.3 Cálculo de la longitud total de la antena
Este es un parámetro de gran importancia en el diseño pues, más que el valor de los
espaciamientos entre los elementos influye la longitud total del arreglo. Sobre todo los
efectos de la longitud total de la antena se pueden observar a altas frecuencias de
operación.
A continuación se muestra una curva en la que se observa la relación entre la longitud de la
antena y la ganancia en dB de esta.
Figura 8.3 Longitud total del arreglo en longitudes de onda (λ) óptima de la antena Yagi en
función de la cantidad de elementos
8.1.4 Cálculo de los espaciamientos:
Los elementos de una antena Yagi deberían (teóricamente) estar distribuidos
uniformemente, pero por experiencia, debido a numerosos experimentos realizados se han
logrado establecer espaciamientos entre los diferentes elementos para un rendimiento
óptimo de la antena, los cuales se encuentran tabulados para antenas de N elementos.
Tabla 8.4 Espaciamientos óptimos par una antena Yagi

104
En antenas hasta de 4 elementos, la separación entre elementos debe estar entre 0.15 a 0.2
aunque en algunos casos se logra una ganancia mayor si el segundo director esta 0.251 del
primero, se puede obtener mayor ganancia ,separando un poco mas el tercero y cuarto
elementos hasta un máximo de 0.41
8.1.5 Cálculo de los diámetros de los conductores:
Este es un parámetro que debe ser tomado muy en cuenta debido a su influencia en el
comportamiento de la antena, para facilidad en el diseño, el desempeño para los diámetros
de los elementos más comunes se ilustra a continuación.
Figura 8.4 Longitud de los directores en función de su posición en el arreglo para varios
espesores del material.
8.1.6 CONSIDERACIONES EN LA IMPLEMENTACION DEL DISEÑO
Los dipolos de la antena deberán montarse sobre una vara o varilla, no importa si la vara es
también conductora ya que por estar a ángulos rectos de las corrientes de los elementos y a
los campos eléctricos irradiados, aporta muy poca o ninguna corriente y no contribuye a la
radiación. Si la varilla se fabrica del mismo material del de los elementos dipolares, puede
conectarse eléctricamente al reflector y a los directores (pero nunca al conductor) sin
afectar las propiedades de la antena.

105
Debido a la complejidad matemática que conlleva el cálculo de impedancia, ganancia
relación (F/B) y otros parámetros relacionados con la antena es necesario el uso de un
software para verificar los resultados del diseño.
9. ANTENAS DE BANDA ANCHA
Teóricamente hablando, se dice que una antena es independiente de la frecuencia cuando al
variar esta en cualquier magnitud, no se modifican las características eléctricas de la
antena ( configuración de radiación, impedancia de entrada, resistencia de radiación, etc.),
Sin embargo, en la práctica esto es demasiado ideal, considerándose que una antena es
independiente de la frecuencia cuando no se alteran sus características eléctricas en un
ancho de banda limitado, denominándose mejor a este tipo de antenas como antenas de
banda ancha.
Las antenas de banda ancha, representan el desarrollo de ideas relativamente simples, pero
brillantes, propuestas por primera vez por Rumsey en 1957. La primera idea establece que
cualquier estructura cuya forma este completamente definida por ángulos, y no por alguna
dimensión longitudinal, tendrá propiedades de independencia en la frecuencia,
denominándose a este enunciado condición angular. Hay dos clases de antenas que
satisfacen esta condición angular: las antenas cónicas y las antenas espirales
equiangulares.
Para que estas antenas satisfagan completamente la condición angular, deberían extenderse
hasta el infinito, pero esto es imposible, por lo que se deben truncar limitando el ancho de
banda a un determinado valor.
El segundo postulado se basa en el principio de escalamiento y establece que: si una
estructura llega a ser igual a si misma por un cambio particular en sus dimensiones,
proporcional a una constante de relación τ, tendrá las mismas propiedades eléctricas a las
frecuencia f, τf, τ2
f, … A esto se denomina condición de escalamiento.
Para antenas que satisfacen la condición de escalamiento, la impedancia, la configuración
de radiación, la distribución de corriente, etc. Tendrán los mismos valores a las frecuencias
f, τf, τ2
f, τ3
f,…. Expresando esta serie de frecuencias en escala logarítmica, se tiene:
log f, (log f + log τ), (log f + 2 log τ), (log f + 3 log τ), ….., observándose que se obtiene
una serie periódica con período log τ , del logaritmo de la frecuencia. Las antenas que se
obtienen bajo este principio se denominan antenas periódico logarítmicas.
Hay diferentes tipos de antenas que satisfacen la condición de escalamiento, entre las mas
conocidas están: las antenas trapezoidales logarítmico periódicas, y los arreglos periódico
logarítmico de dipolos, siendo este último de especial interés, por lo que se revisa a
continuación.

106
9.1 DISEÑO DE ARREGLOS LOGARITMICO PERIODICOS DE DIPOLOS
Considérese dos dipolos de media longitud de onda, operando en frecuencias f1 y f2
respectivamente. Puesto que las dos antenas tienen la misma longitud eléctrica (λ/2) se
cumple que
1
2
2
1
f
f
L
L
= , donde L1 y L2 son las longitudes físicas de los dipolos. Se dice
entonces, que estas dos antenas cumplen con el principio de semejanza electrodinámica o
principio de escalamiento.
Este principio es aplicado en las antenas logarítmicas periódicas de dipolos (LPD). Para el
análisis de sus características considérese primero que se tiene un arreglo de dos elementos
iguales separados una distancia d, formando un arreglo end-fire como se muestra en la
figura 9.1
Figura 9.1 Arreglo de dos elementos de igual longitud (λ/2)
Si las corrientes de alimentación tienen igual amplitud, pero fases 0 y -α respectivamente,
el factor del arreglo estará dado por
( )φβα
ϕθ cos(
1),( dj
o
o
eIF −−
+=
Para máxima ganancia, en la dirección 0=φ , debe cumplirse que doβα = , esto es que el
desfasamiento entre las corrientes debe ser igual al espaciamiento eléctrico . Si α = π
/2, entonces d = λ /4
Con esto se consigue una ganancia considerable, sin embargo el ancho de banda es
pequeño.
Si los elementos tienen longitudes diferentes, se podrían dar los siguientes casos:
1er caso.- Si un elemento tiene longitud resonante, y el otro una longitud menor a la
resonante como se indica en la figura 9.2

107
Figura 9.2 Dipolo corto y dipolo resonante
El dipolo más corto presentará a la frecuencia de resonancia una impedancia capacitiva de
la forma Zc = cj
eZc θ−
. Las corrientes en los elementos no serán iguales ni en magnitud ni
en fase. El factor k < 1 se debe a la mayor impedancia del elemento resonante, y el
desfasamiento de la corriente será:
co d θβα −=
pero para lograr máxima ganancia en la dirección 0=φ , deberá cumplirse que doβα = ,
lo que implica que 0=cθ , requiriendo que los dipolos sean iguales, oponiéndose al
supuesto inicial. Sin embargo, son posibles dos soluciones para que se produzca máxima
radiación en la dirección 0=φ .
a) Si la línea de alimentación entre los dos dipolos l es de mayor longitud que la
separación entre ellos d. Si esto ocurre, se tendría entonces que para máxima
ganancia debe cumplirse que
doco βθβα =−= l
(b) La transposición de la línea de alimentación entre los dos dipolos, para lo cual se
considera la alimentación por el dipolo más corto y además se ha girado el arreglo
(por conveniencia), Figura 9.3. En este caso debido a la transposición de la línea,
se produce una diferencia de fase adicional de 180°, obteniéndose en este caso que
para máxima ganancia en la dirección de alimentación ( πφ = ) deberá cumplirse
que
dd oco βθβα −=°−−= 180 de donde
2
180 cθ
α
+°
=

108
Figura 9.3 Radiación Back-Fire
2do Caso Por el contrario si tenemos un dipolo de longitud resonante y otro mas largo
como se indica en la figura 9.4
Figura 9.4 Dipolo largo y dipolo resonante
En este caso el elemento mas largo, tendrá una impedancia de carácter inductivo ZL =
Lj
L eZ θ
y para que exista máxima radiación en la dirección 0=φ , deberá cumplirse que,
dd oLo βθβα =+=
condición que se cumple solo si 0=Lθ , que no es posible, pues se opone al supuesto
inicial.
Figura 9.5 Dipolo largo y dipolo resonante con alimentación transpuesta

109
Si se realiza una transposición de la alimentación, como se indica en la figura 9.5 , se
tendrá máxima radiación en la dirección de la alimentación ( πφ = ), esto es
dd oLo βθβα −=−+= 180
Así, para máxima radiación deberá cumplirse que
2
180 Lθ
α
−°
=
Si se combinan los dos caso anteriores como se indica en la figura 9.6, el dipolo más largo
que el resonante, se comporta como un reflector, y la corriente en el adelanta a la corriente
del dipolo resonante. Por el contrario, el dipolo mas corto, hace las veces de director y la
corriente en el se retarda de la corriente del dipolo resonante.
Figura 9.6 Arreglo de 3 elementos con
alimentación cruzada
Este arreglo presenta similares condiciones de ganancia para cada una de las frecuencias a
las cuales uno de los dipolos es resonante, ampliándose de esta manera el ancho de banda.
Para conservar una directividad satisfactoria a las frecuencias extremas, se debe procurar,
que el dipolo resonante a la onda mas larga, tenga seguidamente al menos un dipolo
reflector mas largo, y el dipolo resonante a la onda más corta tenga seguidamente al menos
un dipolo director mas corto. La banda de frecuencias puede ser arbitrariamente ampliada
solo con la extensión de la geometría de la antena.
Para que las características de la antena varíen lo menos posible sobre la banda de
frecuencias de diseño, el arreglo debe presentar las mismas condiciones de fase
espaciamiento y longitud de los dipolos a las diferentes frecuencias de resonancia, lo que
puede conseguirse si la longitud de los elementos y el espaciamiento entre ellos dependen
de una progresión geométrica con relación común τ < 1. Esto es si se cumple con la
condición de escalamiento. Así, cumpliendo la condición de escalamiento, se tendrán los
mismos valores de impedancia, resistencia de radiación, etc. a las frecuencias f, τf, τ2
f,
τ3
f,…., que en escala logarítmica será log f, (log f + log τ), (log f + 2 log τ), (log f + 3 log
τ), ….., es decir la geometría de la estructura debe ser logarítmico periódica.
9.1.1 REGIONES DE FUNCIONAMIENTO
Para entender mejor el funcionamiento de una antena LPD, es conveniente diferenciar 3
regiones en la misma.

110
1) Región de entrada o región de transmisión.- Está formada por dipolos de
longitudes pequeñas l << λ / 2, presentando alta impedancia capacitiva,
donde la corriente es pequeña y va en adelanto al voltaje. La separación
entre elementos (en longitudes onda), es muy pequeña, por lo que el desfase
entre ellos corresponde prácticamente a la inversión de fase de 180°
(provocado por la línea), dando un campo en puntos apartados sumamente
insignificante.
2) Región activa.- Constituida por un dipolo de longitud resonante, y un par
de dipolos que lindan con el por los lados. Las corrientes en los dipolos de
la región activa son máximas y están en fase con el voltaje de alimentación.
La separación en longitudes de onda entre elementos es considerable, y se
tiene una fuerte radiación back-fire (en la dirección de la alimentación),
comportándose el elemento mayor como reflector y el menor como director.
3) Región terminal o región reflectora.- Está formada por dipolos de
longitudes mayores a la de resonancia (l >> λ / 2), teniendo una alta
impedancia inductiva. Entre los dipolos existe un considerable desajuste y,
debido además a la fuerte radiación de la región activa, ocasiona que los
campos radiados por esta región sean casi cero.
9.1.2 CONDICIONES DE ESCALAMIENTO
Figura 9.7 Definición de parámetros de una antena LPD

111
Las estructuras que satisfacen la condición de escalamiento deben cumplir con las
siguientes ecuaciones
τ=
−1n
n
l
l
τ=
−1n
n
R
R
2
n
n
L
=l →τ constante de escalamiento
αtan=
n
n
R
l
1−= nn ll τ ⇒ 1
1
ll −
= n
n τ 1−= nn RR τ ⇒ 1
1
RR n
n
−
= τ
Si realizamos τ=
−
−
=
−
+
− nn
nn
n
n
RR
RR
d
d
1
1
1
de donde 1−= nn dd τ ⇒ 1
1
dd n
n
−
= τ
Ahora puesto que
4
n
n
λ
=l
4
1
1
λ
=l ,
4
2
2
λ
=l ,
4
3
3
λ
=l , etc.
El espaciamiento nd expresado en longitudes de onda se define como la constante de
espaciamiento σ .
α
τ
λ
σ
tan4
)1(
4
1
n
n
n
nn
n
n
R
RRRd −
=
−
== +
l
⇒
σ
τ
α
4
1
tan
−
=
9.1.3 IMPEDANCIA DE ENTRADA
El cálculo de la resistencia media de entrada (Zin), está determinado principalmente por la
impedancia característica del alimentador principal y depende inversamente de α y τ . El
análisis es complejo, pero mediante aproximaciones, y considerando la muy alta carga
capacitiva de los elementos de longitud pequeña, se puede estimar la resistencia de entrada
en función de la separación y diámetro del alimentador principal como sigue:
La relación de la separación para el diámetro de los conductores utilizados en el
alimentador esta dada por
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
120
cosh 0Z
D
S
donde S es la separación (entre centros), D es el
diámetro, y Zo la impedancia característica del alimentador (sin carga), la misma que está
dada por
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ′
++
′
= 2
22
)(64
11
8 in
a
a
in
o
Z
Z
Z
Z
Z
σ
σ
donde a su vez, Zin es la impedancia
de entrada (Resistencia media de entrada), Za es la impedancia característica promedio de
los dipolos, dada por

112
270log276 −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
d
a
D
L
Z en la cual, L es la longitud promedio de los
dipolos y, dD es el diámetro de los dipolos (asumiendo igual diámetro);
y por último, σ ′ es la relación
τ
σ
σ =′
Para el caso particular en el cual el alimentador está construido con tubo de sección
rectangular o cuadrada como se indica en la figura 9.8, el diámetro equivalente del
alimentador esta dado por D = 2 r, donde )(287,0 bar += para el caso del tubo con
sección rectangular, y ar 574,0= para el caso del tubo con sección cuadrada.
Figura 9.8 Radio equivalente del alimentador rectangular o cuadrado.
9.1.4 CONSIDERACIONES DE DISEÑO
Las consideraciones generales de diseño, sugieren la minimización del tamaño de la antena
y la reducción del número de dipolos. Como el número de dipolos depende de τ
Entonces los valores de τ y σ , deben ser calculados varias veces hasta conseguir la
mínima longitud con el menor número de elementos.
El rango de valores del ángulo α , puede variar de 2° a 40°, sin embargo, los valores
óptimos usados para máxima ganancia están en el rango 4° < α < 20°.
La frecuencia límite inferior, determina el tamaño de la antena, mientras que la frecuencia
límite superior determina la precisión en la construcción de la antena.
9.1.4.1 CONSTANTE DE TRUNCAMIENTO DE BAJA FRECUENCIA
Puesto que las características de la antena deben ser igual a cualquier frecuencia dentro del
ancho de banda, es necesario, asegurar que a la frecuencia límite inferior, la zona activa
contenga un elemento reflector, esto es, K1 es simplemente la longitud del elemento mas
largo requerido expresado en longitudes de onda, a la frecuencia mas baja en la cual la
antena LPD opera.
⇒ LKL λ11 =
Los valores óptimos de K1, están entre 0,5 y 0,6 ; y están relacionados con los valores de τ
y σ seleccionados.
9.1.4.2 CONSTANTE DE TRUNCAMIENTO DE ALTA FRECUENCIA

113
Igual que en el caso anterior, para asegurar un elemento director en la zona activa cuando
la antena opera a la frecuencia más alta, es necesario que la longitud del último elemento
sea menor que 0,5 longitudes de onda de la frecuencia más alta, esto es,
Hx KL λ2≤ Lx → longitud del último elemento
Esto es, K2 es la longitud aproximada del menor elemento, expresado en longitudes de
onda de la más alta frecuencia a la que opera la antena LPD.
Valores óptimos están entre 0,1< K2 < 0,44 y depende de τ y σ .
9.1.4.3 ESPACIAMIENTO
Como se analizó anteriormente, la separación entre dipolos se puede determinar por
1
1
dd n
n
−
= τ
sin embargo , la misma se utiliza solo para bajas frecuencia (HF), pero para frecuencias
más altas (VHF, UHF), en la medición de los espaciamientos se pueden acumular muchos
errores, por lo que el espaciamiento es mejor tomarlo teniendo como referencia el apex.
Así, ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
τ
σ
1
2
11 LR y 1
1
RR n
n
−
= τ
9.1.4.4 LONGITUD DEL ALIMENTADOR Y # DE ELEMENTOS
La longitud total del alimentador esta dada por
α
λλ
α tan2tan2
211
1
HLx
s
KKLL
RxRL
−
=
−
=−=
mientras que el número total de elementos puede determinarse a partir de la expresión
como 1
1
LL x
x
−
= τ donde x es el número de elementos,
Así entonces despejando x se tienen que
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
τ
1
log
2
log
1
1
B
K
K
x siendo B =
1
2
f
f
H
L
=
λ
λ
9.1.4.5 CARGA TERMINAL
Es la terminación de la línea de transmisión en el lado de baja frecuencia, usualmente se
termina en un cortocircuito a una distancia de λ/8 del último elemento a la frecuencia
menor, o se puede terminar en cortocircuito sobre el último elemento, actuando este último
como un reflector pasivo.

114
9.1.5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO
Datos Requeridos :
- Rango de frecuencia fL - fH
- Ancho angular de haz en el plano horizontal (opcional)
- Ancho angular del haz en el plano vertical (opcional)
- Directividad mínima(1,5 a 2 dB mas que la ganancia)
- Impedancia de entrada deseada
- Longitud máxima permitida para la estructura
1ro Con la directividad se determina los valores óptimos de τ y σ mediante las curvas
de la figura 1 del anexo.
2do Se verifica si es del caso, que estos valores de τ y σ cumplan con el ancho angular
del haz deseado en el plano E y H. Mediante las curvas de las figuras 2 (a) y (b) del anexo-
3ro Se determinan las constantes de truncamiento K1 y K2 mediante las curvas de las
figuras 3 (a) y (b) del anexo.
4to Se verifica si la longitud del alimentador no excede el límite impuesto y se determina
el # de elementos.
5to Se calcula la longitud de los elementos utilizando logaritmos para no introducir
errores acumulativos. Esto es,
)log)1(log(log 1 τ−+= nLantiLn
6to Se determinan las posiciones de los elementos teniendo como referencia el apex,
esto es )
1
2
(
τ
σ
−
= nn LR
7mo Se calcula la relación S/D del alimentador.

119
BIBLIOGRAFIA
- Advanved Engineering Electromagnetics

120
C. A. Balanis John Willey
- Antennas and Radiowave Propagation
R.E. Collin McGraw-Hill
- Handbook of Antennas for EMC
T. Magnamara Artech House
- Handbook of Antennas
Jonsson & Jasik McGraw-Hill
- The ARRL Antenna Book
G. L. Hall ARRL

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