Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la lógica, incluyendo definiciones de términos lógicos como proposiciones, tablas de verdad, operadores lógicos, cuantificadores y leyes de la lógica. También incluye una lista de problemas propuestos relacionados con estos temas.

1. Maestrías en Ingeniería
Industrial y de Ingeniería de
Sistemas
Profesor:
Ms. Sc. Carlos Vera Gutiérrez

2. Temario:
• Operadores lógicos.
• Proposiciones. Fórmula lógica.
• Tablas de verdad.
• Tautología, contradicción y contingencia.
• Equivalencias.
• Leyes lógicas.
• Implicación. Consecuencia lógica.
• Predicados. Operaciones.
• Cuantificadores universal y existencial.
• Leyes de predicados.

3. Lógica
Es la disciplina que trata de los métodos de
razonamiento. En un nivel elemental, la lógica
proporciona reglas y técnicas para determinar si
es o no válido un argumento.
Enunciado:
Es cualquier expresión del lenguaje.
Proposición:
Es un enunciado que se declara como verdadero
o falso.
Ejemplo
Notación
Para representar a las proposiciones en Lógica
se emplean las letras p, q, r, etc., llamadas
variables propositivas (o proposicionales).
Operadores Lógicos
Son expresiones o símbolos que se utilizan para
crear nuevas proposiciones a partir de
proposiciones dadas.
Nombre del
operador
Palabras que la
define
Símbolo
Negación No es cierto que ~
Conjunción ... y ... 
Disyunción ... o ... 
Condicional Si ... entonces ... 
Bicondicional ... si y solo si ... 
• El 9 y el 27 son factores del 81.
• Esa caja es de madera.
• Nada es para siempre.
Definición:

4. Lógica
Tipos de proposición:
Proposición Simple
Cuando en su definición no aparece operador lógico alguno.
Ejemplo: El número 2 es par.
Proposición Compuesta
Cuando en su definición aparece al menos un operador lógico.
Ejemplo: Los números 13 y 17 son primos.
Fórmula Lógica:
Es una combinación adecuada de variables propositivas y operadores lógicos.
Ejemplo: (𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑡 ↔∼ 𝑟)

5. Lógica
Tablas de verdad:
p q ~p p  q p  q p q p  q
V V
V F
F V
F F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
Las letras son p y q son proposiciones, a continuación mostramos la tabla de verdad para
cada operador lógico

6. Lógica
Clases de fórmulas lógicas:
Tautología
Una fórmula lógica es una
tautología si su tabla de verdad
solamente contiene valores de
verdad VERDADEROS.
Contradicción o Falacia
Una fórmula lógica es una
contradicción si su tabla de
verdad solamente contiene
valores de verdad FALSOS.
Contingencia
Una fórmula lógica es una
contingencia si no es una
tautología ni una contradicción.

7. Lógica
Equivalencias:
Sean P y Q fórmulas lógicas. P y Q son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad, o si la
proposición P  Q es una tautología y en tal caso se denota P  Q .
Ejemplos:
1. p  q  ~p  q
2. p  q  ~ q  ~p
3. p  q  (p  q)  (q  p)

8. Lógica
Leyes lógicas:
1. Conmutativa: a) p  q  q  p b) p  q  q  p
2. Identidad: a) p  V  V b) p  F  p
3. Complemento: a) p  ~p  F b) p  ~p  V
4. Distributiva: a) p  (q  r)  (p  q )  (p  r)
b)p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
5. Idempotencia: a) p  p  p b) p  p  p
6. Acotamiento: a) p  F  F b) p  V  V

9. Lógica
Leyes lógicas:
7. Absorción: a) p  (p  q)  p a) p  (p  q)  p
8. Asociativa: a) p  (q  r)  (p  q)  r
b) p  (q  r)  (p  q)  r
9. Involución: ~ (~p)  p
10. Opuesto: a) ~V  F b) ~F  V
11. De Morgan: a) ~(p  q)  (~p  ~q) b) ~(p  q)  (~p  ~q)
12. Condicional: p  q  ~p  q

10. Lógica
Leyes lógicas:
13. Bicondicional: p  q  (p  q)  (q  p)
14. Disyunción exclusiva: p Δ q  (p  q)  ~ (p  q)
15. Contraposición: p  q  ~ q  ~p
16. Negación del condicional: ~ (p  q)  p  ~ q
17. Negación del bicondicional: ~( p  q)  p Δ q
18. Absorción generalizada: a) p  (~p  q)  p  q
b) p  (~p  q)  p  q
Ejemplo.
Simplificar:[p  (q  q)]  [~p  (q  ~p)]  (r  p)

11. Lógica
Implicación:
Sean P y Q fórmulas lógicas. P implica Q si la proposición P  Q es una tautología y en tal caso
se denota P => Q .
Si P implica Q, decimos que P es suficiente para Q o que Q es necesario para P.
Ejemplo
Demostrar que p  q implica p.
Consecuencia lógica:
Sean P y Q fórmulas lógicas. Q es consecuencia lógica de P, si P => Q .
En el ejemplo anterior, p es consecuencia lógica de p  q .

12. Lógica
Inferencia lógicas:
1. Adición: p => (p  q)
2. Simplificación: (p  q) => p
3. Modus ponens: [(p  q)  p] => q
4. Modus tollens: [(p  q)  ~ q] => ~p
5. Silogismo disyuntivo:[(p  q)  ~ p] => q
6. Silogismo hipotético: [(p  q)  (q  r)] => (p  r)

13. Lógica
Predicados:
Sean X1, X2,………,Xn conjuntos no vacíos y sea D ⊂ X1 x X2……x Xn
Un predicado P definido en D es una función P: D → L = {V, F}.
Si P es un predicado en D y a ε D, entonces P(a) es una proposición.
Ejemplos:
1. Si D = Z+ y P(x): x es par, entonces P(4) es V y P(3) es F.
2. Si D = Z x Z y P(x,y): x < y, entonces P(2,3) es V y P(3,2) es F.

14. Lógica
Operaciones con predicados:
Dados los predicados P y Q, se definen los predicados:
1. (~P) (x) = ~ P(x).
2. (P ˄ Q) (x) = P(x) ˄ Q(x).
3. (P ˅ Q) (x) = P(x) ˅ Q(x).
4. (P Δ Q) (x) = P(x) Δ Q(x).
5. (P → Q) (x) = P(x) → Q(x).
6. (P ↔ Q) (x) = P(x) ↔ Q(x).

15. Lógica:
Cuantificador universal:
El cuantificador universal es la expresión “para todo” que se representa por ꓯ.
Si P(x) es un predicado definido en D, la expresión ꓯ x ε D: P(x), es una proposición.
Cuantificador existencial:
El cuantificador existencial es la expresión “existe” que se representa por Ǝ.
Si P(x) es un predicado definido en D, la expresión Ǝ x ε D: P(x), es una proposición.
Ejemplos
1. ꓯ x ε Z+: x > 0 es V.
2. ꓯ x ε Z: x > 0 es F.
3. Ǝ x ε Z: x + 2 = 2 es V.
4. Ǝ x ε Z+: x + 2 = 2 es F.

16. Lógica
Leyes de predicados:
Sean P(x) y Q(x) dos predicados:
1. ~ (ꓯ x: P (x))  Ǝ x: ~P(x).
2. ~ (Ǝ x : P (x))  ꓯ x: ~P(x).
3. ꓯ x: [P(x) ˄ Q(x)]  [ꓯ x: P(x)] ˄ [ꓯ x: Q(x)].
4. Ǝ x: [P(x) ˅ Q(x)]  [Ǝ x: P(x)] ˅ [Ǝ x: Q(x)]
5. Ǝ x: [P(x) ˄ Q(x)] => [Ǝ x: P(x)] ˄ [Ǝ x: Q(x)]
6. ꓯ x: [P(x) ˅ Q(x)] <= [ꓯ x: P(x)] ˅ [ꓯ x: Q(x)]

17. Lógica
Leyes de predicados:
Ejemplos:
1. ~(ꓯ x ε Z: x > 0)  Ǝ x ε Z: x ≤ 0
2. ~(Ǝ x ε Z: x + 2 = 2)  ꓯ x ε Z: x + 2 ≠ 2
3. ~(Ǝ x ε Z: x > 0 ˄ x + 2 = 2)  ꓯ x ε Z: x ≤ 0 ˅ x + 2 ≠ 2
4. ~(ꓯ x ε Z: x > 0 → x + 2 = 2)  Ǝ x ε Z: x > 0 ˄ x + 2 = 2

18. Lógica
Teorema (Particularización):
Sea P: D → L un predicado y a ε D, entonces P(a) es una consecuencia lógica de ꓯ x ε D: P(x).
Teorema (Generalización):
Sea P: D → L un predicado y a ε D, entonces Ǝ x ε D: P(x) es una consecuencia lógica de P(a).
Teorema (Reducción al absurdo)
La proposición Q es consecuencia lógica de la proposición P, si y sólo si la proposición P ˄ ~Q es
una contradicción. ( Q <= P) ↔ (P ˄ ~Q)  F

19. Lógica
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Determine la tabla de verdad de:
a) ~p  q
b) ~(p  q)
c) ~(p  ~q)
d) (p  q)  (p  q)
e) (p  q)  ~(p  ~q)
2. Verifique si las siguientes proposiciones son tautologías, contradicciones o consistencias:
a) p  ~(p  q)
b) (p  q)  ~(p  q)

20. Lógica
PROBLEMAS PROPUESTOS
3. Demuestre la verdad de las siguientes equivalencias lógicas:
a) (p  q)  ~(~p  ~q)
b) ~(p  q)  ~p  ~q
c) ~(p  q)  ~p  ~q
d) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
e) (p  q)  (p  q)  (q  p)
4. Simplifique las siguientes proposiciones:
a) p  (p  q)
b) ~(p  q)  ~(~p  q)

21. Lógica
PROBLEMAS PROPUESTOS
5. Verifique la validez de los siguientes argumentos:
a) p  q => p  q
b) [(p  q)  q] => p
c) Si estudio, no desaprobaré Matemáticas.
Si no voy al concierto, entonces estudio.
Pero desaprobé Matemáticas.
Por lo tanto, fui al concierto.