Este documento define las proposiciones y operadores lógicos, y describe cómo se pueden usar para construir razonamientos válidos. Explica que una proposición es un enunciado que es verdadero o falso, pero no ambos. Luego introduce los operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional, y cómo se pueden usar para unir proposiciones. Finalmente, discute métodos de demostración lógica como la demostración directa e indirecta, e inferencias

1. Proposiciones
Una proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como
"verdadero" o "falso", pero no ambas cosas a la vez. Toda proposición tiene una y
solamente una alternativa, sea verdadero o falso.
 Tenemos los siguientes ejemplos de proposiciones:

Coro es un municipio de Miranda (falso).

Los estudiantes de UFT son aplicados (verdadero).

Y también tenemos algunos enunciados que no son proposiciones:
o
No corras, el país te necesita.
o
¿Cómo te llamas?
 Operaciones Veritativas:
Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que nos permiten
construir otras proposiones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de
proposiciones dadas.
Ejemplos de Proposiciones Atómicas
Coro es un municipio de Miranda.
Conectivos logicos: La negación
 Tabla de verdad de los conectivos logicos
Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, que se
lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la
negación de dicha proposición.
 La conjunción
Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p Ù q, que se
lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad

2.  La disyunción inclusiva
Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p vq, que se
lee "p o q", y cuyo valor lógico
 La disyunción exclusiva
Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición
p vq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla. En otras palabras, la
disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales
Ejemplo
Si, p: 17 es un número primo.
q: 17 es un número par.
r: 17 es mayor que 2.
Entonces1.p v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par VL(p v q) = 1, ya
que
VL(p) = 1 y VL(q) = 0.
p v r: ó 17 es un número primo ó 17 es mayor que 2 VL(p Ú r) = 0, ya que VL(p) = 1 y
VL(r) = 1
 El condicional
Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q es
la proposición p ® q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico
Condición Necesaria y Condición Suficiente
El condicional es una de las proposiciones más importantes en la matemática, ya que la
mayoría de teoremas vienen dados en esa forma. En los teoremas, el antecedente es llamado
hipótesis y el consecuente tesis. Un condicional puede ser expresado también con las
llamadas condiciones necesarias y suficientes. El antecedente es la condición suficiente y el
consecuente la condición necesaria.
Así el condicional A ® C puede ser leído de las siguientes maneras:
1. Si A entonces C
2. C es condición necesaria para A
3. Una condición necesaria para A es C
4. A es condición suficiente para C

3. 5. Una condición suficiente para C es A
6. C si A
7. A sólo si C
8. A solamente si C
 El Bicondicional
Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q a la proposición
p « q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q", y cuyo
valor lógico
Ejemplo. Consideremos las siguientes proposicones:
a: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3
b: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2 > 3
c: 2 + 1 = 4 si y sólo si 2 > 3
d: 2 + 1 = 4 es condición necesaria y suficiente para que 2< 3.
Entonces
VL(a)=1, VL(b)= 0, VL(d) = 0
 Formas Proposicionales
A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar los conectivos lógicos a las
variables proposicionales p, q, r, s, t, etc., se les llaman formas proposicionales, por ejemplo
t® (q Ù ~ r) ~ [(p« s)Ù (r« q)] son formas proposicionales y podemos decir, para ser más
preciso que las variables proposicionales también son formas proposicionales
Tablas de Verdad de las formas proposicionales
Tablas de verdad
Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición
compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan.
Es posible que no se conozca un valor de verdad específico para cada proposición;
es este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que nos indique todas las diferentes
combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse. Las posibilidades de
combinar valores de verdad dependen del número de proposiciones dadas.
Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinaciones
Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinaciones
Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones
Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones

4. Tautologias y Contradicciones
 Proposición Tautológica o Tautología
Es aquella proposición molecular que es
verdadera (es decir, todos los valores de verdad
que aparecen en su tabla de verdad son 1)
independientemente de los valores de sus
variables.
Ejemplo: Probar que P Ú ~ P es una tautología
PÚ~P
110
011
 Contradicción
Es aquella proposición molecular que
siempre es falsa (es decir cuando los
valores de verdad que aparecen en su
tabla de verdad son todos 0) independientemente de los valores de sus variables
proposicionales que la forman
Ejemplo: Probar que p Ù ~ p es una contradicción
pÙ~p
1 0 0
0 0 1
Leyes del Algebra de Proposiciones
1. Leyes Idempotentes
1.1. pÚ p º p
1.2. pÙ p º p
2. Leyes Asociativas
2.1. (P Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)
2.2. (P Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)
Leyes Conmutativas
3.1. P Ú q º q Ú p
3.2. P Ù q º q Ù p

5. Leyes Distributivas
4.1. P Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù (p Ú r)
4.2. P Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú (p Ù r)
Leyes de Identidad
5.1. P Ú F º P
5.2. P Ù F º F
5.3. P Ú V º V
5.4. P Ù V º P
Leyes de Complementación
6.1. P Ú ~ P º V (tercio excluido)
6.2. P Ù ~ P º F (contradicción)
6.3. ~ ~ P º P (doble negación)
6.4. ~ V º F, ~ F º V
Leyes De Morgan
7.1. ~ ( P Ú q ) º ~ P Ù ~ q
7.2. ~ ( P Ù q ) º ~ P Ú ~ q
Otras Equivalencias Notables
a. p® q º ~ p Ú q (Ley del condicional)
b. p« q º (p® q) Ù (q® p) (Ley del bicondicional)
c. p Ú q º ( p Ù ~ q ) Ú ( q Ù ~ p ) (Ley de disyunción exclusiva)
d. p® q º ~ q® ~ p (Ley del contrarrecíproco)
e. p Ù q º ~ ( ~ p Ú ~ q )
f. ( (p Ú q ) ® r ) º ( p ® r ) Ù (q ® r ) (Ley de demostración por casos)
g. (p® q) º (p Ù ~ q® F) (Ley de reducción al absurdo)
 Equivalencia e Implicación logica
Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A Implica Lógicamente a B, o
simplemente A implica a B, y se escribe:
AÞ B si el condicional A® B es una tautología
Ejemplos
Dos implicaciones lógicas muy conocidas son las leyes de simplificación y adición, las
cuales probaremos a continuación.

6. (Ley de Simplificación) Probar que p Ù q implica lógicamente a p; o sea, ( p Ù q ) Þ p
(Ley de Adición) Probar que p implica lógicamente a p Ú q; o sea, pÞ ( p Ú q )
(Proposiciones Equivalentes)
Sean A y B dos formas proporsicionales. Diremos que A es Lógicamente Equivalente a
B, o simplemente que A es equivalente a B, y escribimos
A º B o A Û B,
Si y sólo si la forma bicondicional A Û B es una tautología.
 Razonamientos
Un razonamiento o una inferencia es la aseveración de que una proposición,
llamada conclusión es consecuencia de otras proposiciones dadas llamadaspremisas.
Métodos de Demostración
 Demostración Directa
En la demostración directa debemos probar una implicación:
P Þ q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una secuencia
de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas o propiedades
demostradas previamente.
Demostración Indirecta
Dentro de este método veremos dos formas de demostración:
Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p® C nos
proporciona la Ley del contrarrecíproco: P ® C º ~ C ® ~ P.
Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado el método del
contrarrecíproco, según el cual, para demostrar que pÞ C, se prueba que ~ C Þ~ P.
Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la proposición p Þ q es
tautológicamente equivalente a la proposición (p Ù ~ q) Þ (r Ù ~ r) siendo r una proposición
cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.
 Inferencia
1. Modus Ponendo Ponens(MPP)
(p® q) Ù p Þ q
p® q
p

7. ---------q
2. Modus Tollendo Tollens (MTT)
(p® q) Ù ~ qÞ ~ p
p® q
~q
----------~p
3. Silogismo Disyuntivo (S.D)
(pÚ q) Ù ~ qÞ p
(pÚ q) Ù ~ pÞ q
pÚq
~q
-----------p
ó
pÚq
~p
----------q
4. Silogismo Hipotético(S.H)
(p® q) Ù (q® r) Þ (p® r)
p® q
q® r
---------p® r
5. Ley de Simplificación
pÙqÞp
pÙqÞq
pÙq
p
ó
pÙq
q
6. Ley de la Adición
pÞ p Ú q
qÞpÚq
p
---------pÚq
ó
q
--------pÚq
7. Ley de Conjunción
( p )Ù ( q)Þ ( p Ù q)
p
q
--------pÙq
 Circuitos Logicos
Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una forma
proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o

8. dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional correspondiente. Además,
usando las leyes del álgebra proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más
sencillos, pero que cumplen la misma función que el original