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Matemáticas discretas
1
UNIDAD 3
LOGICA PROPOSICIONAL
3.1 LÓGICA PROPOSICIONAL
La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación de proposiciones
complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia de proposiciones a partir de proposiciones,
pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.1
Una lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples representan
proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre
proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.
Definición de proposición:
Una proposición es un enunciado declarativo que puede ser calificado sin ambigüedad como
verdadero o falso. En este análisis no se tendrán en cuenta proposiciones que requieran una opinión
individual y que por lo tanto, no pueden ser verdaderas o falsas.
Las proposiciones pueden considerarse como primitivas, ya que en realidad no se pueden
descomponer en partes más simples.
Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas
(V, F). La lógica proposicional estudia el comportamiento de algunas de estas expresiones, llamadas
conectivas lógicas. En cuanto a las expresiones como "está nublado" o "mañana es jueves", lo único
que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples
letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las
llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p,
luego q, r, s, etc.
Considérese los siguientes argumentos:
Mañana es miercoles
Mañana es Jueves
Por consiguiente tendriamos las siguientes expresiones como:
p:Mañana es miercoles
q:Mañana es Jueves
Las proposiciones primitivas se utilizan con conectivos lógicos para formar proposiciones
compuestas. Los conectivos lógicos son también conocidos con el nombre de conectivos
proposicionales.
Matemáticas discretas
2
Conectiva
Expresión en el
lenguaje
natural
Ejemplo
Símbolo en
este artículo
Símbolos
alternativos
Negación no No está lloviendo.
Conjunción y Está lloviendo y está nublado.
Disyunción o Está lloviendo o está soleado.
Condicional material si... entonces Si está soleado, entonces es de día.
Bicondicional si y sólo si
Está nublado si y sólo si hay nubes
visibles.
Negación conjunta ni... ni Ni está soleado ni está nublado.
Disyunción excluyente o bien... o bien O bien está soleado, o bien está nublado.
Considérese los siguientes argumentos:
1. Mañana es miércoles o mañana es jueves.
2. Es examen de matematicas discretas y no he estudiado.
Así, los dos primeros argumentos de esta sección podrían reescribirse así:
1. p o q p ∨ q
2. p y No q p ∧ ¬q
Las tablas de verdad para estos conectivos son:
Tabla de verdad de la negación:
p ~ p
V F
F V
Tabla de verdad de la disyunción:
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabla de verdad de la conjunción:
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabla de verdad del condicional:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Matemáticas discretas
3
Tabla de verdad del bicondicional:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Dos proposiciones p y q son equivalentes cuando el bicondicional p ↔ q es una proposición verdadera.
Ejemplo 1:
Se tienen las siguientes dos proposiciones:
p : 2 es un número irracional
q : un año bisiesto tiene 366 días
Las dos proposiciones p y q son verdaderas, como V ↔ V es verdadero, entonces las
proposiciones p y q son equivalentes.
Ejemplo 2:
Se tienen las siguientes dos proposiciones:
p : 2+3=7
q : 4 es un número impar
Las dos proposiciones p y q son falsas, como F ↔ F es verdadero, entonces las proposiciones p
y q son equivalentes.
A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica
proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para
representarlas.
Matemáticas discretas
4
La lógica investiga la relación de consecuencia que se da entre una serie de premisas y la
conclusión de un argumento correcto. Se dice que un argumento es correcto (válido) si su conclusión se
sigue o es consecuencia de sus premisas; de otra forma es incorrecto.
Ya claro el concepto de lógica, voy a proceder a la definición de varias palabras que no serán de
gran utilidad en el proceso de lectura y comprensión de este trabajo.
-Argumento: es un razonamiento que quiere probar una proposición o afirmación. Debe estar
fundamentado, pero sólo será correcto cuando esa fundamentación sea adecuada.
-Premisa: es una proposición que se dice con anticipación a algo.
-Inducción: es una forma de razonamiento en la que, a partir de unas observaciones o experiencias
determinadas, sacar una conclusión final.
-Deducción: es una forma de razonamiento en la que, partiendo de unas premisas y utilizando reglas de
derivación (reglas de inferencia) se llega a sacar una conclusión final.
-Derivación: es separar cosas de un todo, dividirlo.
-Reglas de inferencia: son reglas ya determinadas, por medio de ellas podemos hacer una deducción
correcta.
TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las
asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor
V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que
están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición
que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su
valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en
que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
Matemáticas discretas
5
CONTINGENCIA: Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que
puede ser verdadera o falsa,(combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las
proposiciones que la integran. Sea el caso:
Equivalencias Lógicas
Definición: Dos formas proposicionales P y Q se dicen lógicamente equivalentes, y se escribe P ≡ Q, si
sus tablas de verdad coinciden.
Nota:
Esto equivale a decir que P ↔ Q es una tautología; así, P ≡ Q es lo mismo que decir P ⇔ Q.
EJEMPLO:
El programa está bien escrito y bien documentado. El programa está bien documentado y bien escrito.
• LEYES DE MORGAN•
1. ~ (p ∨ q) ≡~ p∧ ~ q – A continuación se muestra en su tabla correspondiente:
• TRANSPOSICION O CONTRARECIPROCO•
•Definición: La contra recíproca o transposición de una proposición condicional p → q es la
proposición ~q →~p Teorema: La proposición condicional p → q y su contra recíproca ~q →~p son
lógicamente equivalentes. A continuación se muestra en su tabla correspondiente:
Matemáticas discretas
6
• ELIMINACION DE CONDICIONALES•
P → Q ≡~P ∨ Q – A continuación se muestra en su tabla correspondiente:
LEYES DE LA LÓGICA
Matemáticas discretas
7
Leyes de absorción:
P ∨ (P ∧ Q) ≡ P
P ∧ (P ∨ Q) ≡ P
• P ∨ (P ∧ Q) ≡ (P ∧ V ) ∨ (P ∧ Q) Ley de identidad
• P ∧ (V ∨ Q) Ley distributiva
• P ∧ V Ley de dominación
• P Ley de identidad
Argumentos Válidos y no Válidos.
Argumento: Conjunto de fórmulas para el razonamiento lógico.
Argumento Válido: Un argumento es válido si se cumple:
 Un argumento puede ser válido con premisas y conclusión verdaderas.
 Pero también puede ser válido con premisas falsas y conclusión verdadera, o incluso con premisas y
conclusión falsas.
Ejemplos de argumentos válidos:
 Todos los hombres son mortales.
 Sócrates es un hombre.
 Por tanto, Sócrates es mortal.
⇩ ⇩ ⇩
 Este líquido es un ácido o una base.
 Si fuera un ácido, volvería rojo el papel tornasol.
 Pero no ha vuelto rojo el papel tornasol.
 Así que este líquido es una base.
⇩ ⇩ ⇩
 Si está soleado, entonces es de día.
 Está soleado.
 Por lo tanto, es de día.
Matemáticas discretas
8
•LA LÓGICA DE PREDICADOS•
Se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan
Reglas de Inferencia.
Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia
garantizan que sólo serán derivadas consecuencias verdaderas.
Tanto los conectivos lógicos, como los operadores dados anteriormente para la lógica proposicional,
son igualmente válidos en lógica de predicados. De hecho, la lógica proposicional es un subconjunto de
la lógica de predicados.
Cada uno de los argumentos en los ejemplos de predicados dados anteriormente, representan a un
objeto específico. Tales argumentos se denominan constantes. Sin embargo, en la lógica de predicados
se pueden tener argumentos que en determinado momento pueden ser desconocidos. Estos son los
argumentos tipo variable.
En el ejemplo:
 color (yerba, X), la variable X, puede tomar el valor de verde, haciendo que el predicado sea verdadero;
o puede tomar el valor de azul, dando lugar a que el predicado sea falso.
Las variables, también pueden ser cuantificadas. Los cuantificadores que típicamente se utilizan en
lógica de predicados son:
 El cuantificador universal; ” indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera
para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo:
” X . . . .
Establece que “para todo X, es verdad que . . . “
 El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera
para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo:
$ X . . . .
Establece que “existe un X, tal que . . . “
 A continuación se dan algunos ejemplos de predicados cuantificados:
” X, [niño (X) => le_gusta (X, helados)].
” Y, [mamífero (Y) => nace (Y, vivo)].
$ Z, [cartero(Z) ^ mordió (boby, Z)].
Cuantificadores.
El cuantificador universal: indica que algo es cierto para todos los individuos.
 Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los
posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.
 (∀x) es cuantificador universal.
 A es el ámbito (alcance) del cuantificador.
 El símbolo ∀ se lee “para todo”.
Matemáticas discretas
9
Ejemplo:
 Todo el mundo tiene buena suerte de vez en cuando.
B ≡ “tener buena suerte de vez en cuando”
B(x) ≡ “x tiene buena suerte de vez en cuando”
∀ xB(x) en el conjunto de los seres humanos.
Cuantificador Existencial: Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es
verdadero para al menos un valor de la variable x, escribiremos ∃ xA.
∃ se denomina cuantificador existencial, y A es el ámbito o alcance del cuantificador existencial.
Ejemplo:
 Hay una persona que ha irrumpido en el aula con malos modales.
B ≡ “irrumpir en el aula con malos modales”
B(x) ≡ “x irrumpe en el aula con malos modales”
∃xB(x) en el conjunto de los seres humanos.
Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la
estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos.
Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión
sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definición
es:
Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:
 (B) si p es una proposición lógica, es una fbf.
 (R) si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬F).
 (R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔.
En el cálculo proposicional existen algunas tautologíasespecialmente útiles cuya demostración se
reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:
 Involución:
¬ (¬ p) ↔ p (se lee “no, no p, equivale a p”)
 Idempotencia:
(p ^ ¬ p) ↔ p
(p v ¬ p) ↔ p
 Conmutatividad:
a) de la disyunción: p v q ↔ q v p
b) de la conjunción: p ^ q ↔ q ^ p
 Asociatividad:
Matemáticas discretas
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a) de la disyunción: (p v q) v r ↔ p v (q v r)
b) de la conjunción: (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)
 Distributividad:
De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ú q) Ù r ↔ (p Ù r) Ú (q Ù r)
De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ù q) Ú r ↔ (p Ú r) Ú (q Ú r)
 Leyes de De Morgan:
~ ( p Ú q ) ↔ ~ p Ù ~ q
“La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones”
~ ( p Ù q ) ↔ ~ p Ú ~ q
“La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones”
 Negación de una Implicación:
Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores
correspondientes:
Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir:
 ~ (p Þ q) Û ~{ ~(p Ù ~ q)}, y podemos concluir entonces que:
 ~( p Þ q ) Û ( p Ù ~ q)
Es decir, la negación de una implicación no es una implicación sino la conjunción del antecedente con
la negación del consecuente.
Ejemplo:
 Sea la implicación p: hoy es viernes entonces mañana es domingo.
 Su negación es ~ p: hoy es viernes y mañana no es domingo.
Principio de Inducción Matemática•
Si S en un conjunto de enteros positivos tal que:
 (B) 1 e S
 (I) k e S Þ (k+1) e S
Matemáticas discretas
11
entonces S contiene todos los enteros positivos.
En en principio de Inducción Matemática son muy importantes los nombres asociados y en la literatura
técnica, como es costumbre, no se presenta con detalle los pasos, por lo que resulta indispensable
conocer la nomenclatura.
•Nomenclatura de Inducción Matemática•
 (B) se llama Caso Base o caso inicial
 (I) se llama Paso de Inducción
 k e S se llama Hipótesis de Inducción
Y como ya se mencionó todo junto se llama Principio de Inducción Matemática. Otra forma de
enunciar el Principio de Inducción Matemática es:
 Si F(n) es una proposición abierta que involucra enteros y se tiene (B) F(1) es verdadera; o sea, se que
cumple para n=1 (I) F(K) Þ F(k+1); Si se cumple para n = k entonces también se cumple para n=k+1.
Concluimos que la proposición es verdadera para todos los enteros positivos.
El Principio de Inducción Matemática se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y
probar que son verdaderas, usualmente en el conjunto de los números enteros positivos.
EJEMPLO:
Demostrar por Inducción Matemática que:
F(n):
{$ 1 + 2 + 3 + … + n = frac{n(n+1)}2$}
Consideremos el conjunto S de los enteros para los cuales la propiedad es cierta.
*[B] Si n=1; tenemos:
{$1 = frac{1(1+1)}2$}
{$1 = frac{2}2$}
{$1 = frac{2}2$}
{$ 1 = 1$}
Entonces 1 está en S o sea que se cumple el caso base.
En la lógica proposicional, las conectivas lógicas son tratados como funciones de verdad. Es
decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por
ejemplo, la conectiva lógica no es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma
el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función no a una letra que represente una
proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será
verdadero que «no está lloviendo».
El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones
de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente
a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el
significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de
verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que
puede recibir.
Matemáticas discretas
12
Límites de la lógica proposicional
La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una
gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente
válidos, pero cuya validez no puede ser probada por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese
el siguiente argumento:
1. Todos los hombres son mortales.
2. Sócrates es un hombre.
3. Por lo tanto, Sócrates es mortal.
Como este argumento no contiene ninguna de las conectvias «no», «y», «o», etc., según la lógica
proposicional, su formalización será la siguiente:
1. p
2. q
3. Por lo tanto, r
Pero esta es una forma de argumento inválida, y eso contradice nuestra intuición de que el
argumento es válido. Para teorizar sobre la validez de este tipo de argumentos, se necesita investigar la
estructura interna de las variables proposicionales. De esto se ocupa la lógica de primer orden. Otros
sistemas formales permiten teorizar sobre otros tipos de argumentos. Por ejemplo la lógica de segundo
orden, la lógica modal y la lógica temporal.
Dos sistemas formales de lógica proposicional
A continuación se presentan dos sistemas formales estándar para la lógica proposicional. El
primero es un sistema axiomático simple, y el segundo es un sistema sin axiomas, de deducción
natural.
Sistema axiomático
Alfabeto
El alfabeto de un sistema formal es el conjunto de símbolos que pertenecen al lenguaje del
sistema. Si L es el nombre de este sistema axiomático de lógica proposicional, entonces el alfabeto de
L consiste en:
 Una cantidad finita pero arbitrariamente grande de variables proposicionales. En general se las toma del
alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, etc., y utilizando subíndices cuando es necesario o
conveniente. Las variables proposicionales representan proposiciones como "está lloviendo" o "los metales se
expanden con el calor".
 Un conjunto de operadores lógicos:
 Dos signos de puntuación: los paréntesis izquierdo y derecho. Su única función es desambiguar ciertas
expresiones ambiguas, en exactamente el mismo sentido en que desambiguan la expresión 2 + 2 ÷ 2, que puede
significar tanto (2 + 2) ÷ 2, como 2 + (2 ÷ 2).
Gramática
Una vez definido el alfabeto, el siguiente paso es determinar qué combinaciones de símbolos
pertenecen al lenguaje del sistema. Esto se logra mediante una gramática formal. La misma consiste en
un conjunto de reglas que definen recursivamente las cadenas de caracteres que pertenecen al lenguaje.
A las cadenas de caracteres construidas según estas reglas se las llama fórmulas bien formadas. Las
reglas del sistema L son:
Matemáticas discretas
13
1. Las variables proposicionales del alfabeto de L son fórmulas bien formadas.
2. Si es una fórmula bien formada de L, entonces también lo es.
3. Si y son fórmulas bien formadas de L, entonces , , y
también lo son.
4. Sólo las expresiones que pueden ser generadas mediante las cláusulas 1 a 3 en un número finito de pasos
son fórmulas bien formadas de L.
Según estas reglas, las siguientes cadenas de caracteres son ejemplos de fórmulas bien formadas:
Y los siguientes son ejempos de fórmulas mal formadas:
Fórmula Error Corrección
Sobran paréntesis
Sobran paréntesis
Sobran paréntesis
Faltan paréntesis
Faltan paréntesis
Por otra parte, dado que la única función de los paréntesis es desambiguar las fórmulas, en
general se acostumbra omitir los paréntesis externos de cada fórmula, ya que estos no cumplen ninguna
función. Así por ejemplo, las siguientes fórmulas generalmente se consideran bien formadas:
Otra convención acerca del uso de los paréntesis es que las conjunciones y las disyunciones
tienen «menor jerarquía» que los condicionales materiales y los bicondicionales. Esto significa que
dada una fórmula sin paréntesis, las conjunciones y las disyunciones deben agruparse antes que los
condicionales materiales y los bicondicionales. Por ejemplo:
Fórmula Lectura correcta Lectura incorrecta
Matemáticas discretas
14
Estas convenciones son análogas a las que existen en el álgebra elemental, donde la
multiplicación y la división siempre deben resolverse antes que la suma y la resta. Así por ejemplo, la
ecuación 2 + 2 × 2 podría interpretarse como (2 + 2) × 2 o como 2 + (2 × 2). En el primer caso el
resultado sería 8, y en el segundo caso sería 6. Pero como la multiplicación siempre debe resolverse
antes que la suma, el resultado correcto en este caso es 6, no 8.
Axiomas
Los axiomas de un sistema formal son un conjunto de fórmulas bien formadas que se toman
como punto de partida para demostraciones ulteriores. Un conjunto de axiomas estándar es el que
descubrió Jan Łukasiewicz:



Reglas de inferencia
Una regla de inferencia es una función que va de conjuntos de fórmulas a fórmulas. Al conjunto
de fórmulas que la función toma como argumento se lo llama premisas, mientras que a la fórmula que
devuelve como valor se la llama conclusión. En general se busca que las reglas de inferencia transmitan
la verdad de las premisas a la conclusión. Es decir, que sea imposible que las premisas sean verdaderas
y la conclusión falsa. En el caso de L, la única regla de inferencia es el modus ponens, el cual dice:
Recordando que y no son fórmulas, sino metavariables que pueden ser reemplazadas por
cualquier fórmula bien formada.
Ejemplo de una demostración
A demostrar:
Paso Fórmula Razón
1
Instancia del primer
axioma.
2
Instancia del primer
axioma.
3
Instancia del segundo
axioma.
4
Desde (2) y (3) por modus
ponens.
5 Desde (1) y (4) por modus
Matemáticas discretas
15
ponens. QED
Deducción natural
Artículo principal: Deducción natural.
Un sistema de lógica proposicional también puede construirse a partir de un conjunto vacío de
axiomas. Para ello se especifican una serie de reglas de inferencia que intentan capturar el modo en que
naturalmente razonamos acerca de las conectivas lógicas.
 Introducción de la negación:
Si suponer lleva a una contradicción, entonces se puede inferir que (reducción al absurdo).
 Eliminación de la negación:
 Introducción de la conjunción:
 Eliminación de la conjunción:
 Introducción de la disyunción:
 Eliminación de la disyunción:
 Introducción del condicional (véase el teorema de la deducción):
Si suponer lleva a una prueba de , entonces se puede inferir que .
 Eliminación del condicional (modus ponens):
 Introducción del bicondicional:
 Eliminación del bicondicional:
Matemáticas discretas
16
Ejemplo de una demostración
A demostrar:
Paso Fórmula Razón
1 Supuesto.
2 Desde (1) por introducción de la disyunción.
3 Desde (1) y (2) por introducción de la conjunción.
4 Desde (3) por eliminación de la conjunción.
5 Resumen de (1) hasta (4).
6 Desde (5) por introducción del condicional. QED
Lenguaje formal en la notación BNF
El lenguaje formal de la lógica proposicional se puede generar con la gramática formal descrita
usando la notación BNF como sigue:
La gramática anterior define la precedencia de operadores de la siguiente manera:
1. Negación ( )
2. Conjunción ( )
3. Disyunción ( )
4. Condicional material ( )
5. Bicondicional ( )
Semántica
Una interpretación para un sistema de lógica proposicional es una asignación de valores de
verdad para cada variable proposicional, sumada a la asignación usual de significados para los
operadores lógicos. A cada variable proposicional se le asigna uno de dos posibles valores de verdad: o
V (verdadero) o F (falso). Esto quiere decir que si hay n variables proposicionales en el sistema, el
número de interpretaciones distintas es de 2n.
Partiendo de esto es posible definir una cantidad de nociones semánticas. Si A y B son fórmulas
cualesquiera de un lenguaje L, es un conjunto de fórmulas de L, y M es una interpretación de L,
entonces:
 A es verdadera bajo la interpretación M si y sólo si M asigna el valor de verdad V a A.
Matemáticas discretas
17
 A es falsa bajo la interpretación M si y sólo si M asigna el valor de verdad F a A.
 A es una tautología (o una verdad lógica) si y sólo si para toda interpretación M, M asigna el valor de verdad V a
A.
 A es una contradicción si y sólo si para toda interpretación M, M asigna el valor de verdad F a A.
 A es consistente (o satisfacible) si y sólo si existe al menos una interpretación M que asigne el valor de verdad V
a A.
 es consistente si y sólo si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas en .
 A es una consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas si y sólo si para toda fórmula B que pertenezca a
, no hay ninguna interpretación en que B sea verdadera y A falsa. Cuando A es una consecuencia semántica de
en un lenguaje L, se escribe: .
 A es una fórmula lógicamente válida si y sólo si A es una consecuencia semántica del conjunto vacío. Cuando A
es una fórmula lógicamente válida de un lenguaje L, se escribe: .
Tablas de verdad
Artículo principal: Tablas de verdad.
La tabla de verdad de una fórmula es una tabla en la que se presentan todas las posibles
interpretaciones de las variables proposicionales que constituye la fórmula y el valor de verdad de la
fórmula completa para cada interpretación. Por ejemplo, la tabla de verdad para la fórmula
sería:
Como se ve, esta fórmula tiene 2n interpretaciones posibles —una por cada línea de la tabla—,
donde n es el número de variables proposicionales (en este caso 3, es decir p, q, r) , y resulta ser una
tautología, es decir que bajo todas las interpretaciones posibles de las variables proposicionales, el
valor de verdad de la fórmula completa termina siendo V.
Formas normales
A menudo es necesario transformar una fórmula en otra, sobre todo transformar una fórmula a
su forma normal. Esto se consigue transformando la fórmula en otra equivalente y repitiendo el proceso
hasta conseguir una fórmula que sólo use los conectivos básicos ( ). Para lograr esto se utilizan
las equivalencias lógicas:
Matemáticas discretas
18
Por ejemplo, considérese la siguiente fórmula:
La misma puede desarrollarse así:
Se dice que una fórmula está en forma normal disyuntiva (FND) si y sólo si tiene la siguiente forma:
Donde cada A es una conjunción de fórmulas. Por ejemplo, la siguiente fórmula está en forma normal
disyuntiva:
Se dice que una fórmula está en forma normal conjuntiva (FNC) si y sólo si tiene la siguiente forma:
Donde cada A es una disjunción de fórmulas. Por ejemplo, la siguiente fórmula está en forma normal
conjuntiva:
Por las leyes de De Morgan, es posible pasar de una forma normal disyuntiva a una forma normal
conjuntiva y viceversa:
Las FNC y FND son mutuamente duales. La demostración hace uso de las leyes de De Morgan y de la
propiedad distributiva de la conjunción y la disyunción. Se debe cumplir que:
Y viceversa:

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  • 1. Matemáticas discretas 1 UNIDAD 3 LOGICA PROPOSICIONAL 3.1 LÓGICA PROPOSICIONAL La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.1 Una lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad. Definición de proposición: Una proposición es un enunciado declarativo que puede ser calificado sin ambigüedad como verdadero o falso. En este análisis no se tendrán en cuenta proposiciones que requieran una opinión individual y que por lo tanto, no pueden ser verdaderas o falsas. Las proposiciones pueden considerarse como primitivas, ya que en realidad no se pueden descomponer en partes más simples. Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas (V, F). La lógica proposicional estudia el comportamiento de algunas de estas expresiones, llamadas conectivas lógicas. En cuanto a las expresiones como "está nublado" o "mañana es jueves", lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, s, etc. Considérese los siguientes argumentos: Mañana es miercoles Mañana es Jueves Por consiguiente tendriamos las siguientes expresiones como: p:Mañana es miercoles q:Mañana es Jueves Las proposiciones primitivas se utilizan con conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Los conectivos lógicos son también conocidos con el nombre de conectivos proposicionales.
  • 2. Matemáticas discretas 2 Conectiva Expresión en el lenguaje natural Ejemplo Símbolo en este artículo Símbolos alternativos Negación no No está lloviendo. Conjunción y Está lloviendo y está nublado. Disyunción o Está lloviendo o está soleado. Condicional material si... entonces Si está soleado, entonces es de día. Bicondicional si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubes visibles. Negación conjunta ni... ni Ni está soleado ni está nublado. Disyunción excluyente o bien... o bien O bien está soleado, o bien está nublado. Considérese los siguientes argumentos: 1. Mañana es miércoles o mañana es jueves. 2. Es examen de matematicas discretas y no he estudiado. Así, los dos primeros argumentos de esta sección podrían reescribirse así: 1. p o q p ∨ q 2. p y No q p ∧ ¬q Las tablas de verdad para estos conectivos son: Tabla de verdad de la negación: p ~ p V F F V Tabla de verdad de la disyunción: p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F Tabla de verdad de la conjunción: p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F Tabla de verdad del condicional: p q p → q V V V V F F F V V F F V
  • 3. Matemáticas discretas 3 Tabla de verdad del bicondicional: p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V Dos proposiciones p y q son equivalentes cuando el bicondicional p ↔ q es una proposición verdadera. Ejemplo 1: Se tienen las siguientes dos proposiciones: p : 2 es un número irracional q : un año bisiesto tiene 366 días Las dos proposiciones p y q son verdaderas, como V ↔ V es verdadero, entonces las proposiciones p y q son equivalentes. Ejemplo 2: Se tienen las siguientes dos proposiciones: p : 2+3=7 q : 4 es un número impar Las dos proposiciones p y q son falsas, como F ↔ F es verdadero, entonces las proposiciones p y q son equivalentes. A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas.
  • 4. Matemáticas discretas 4 La lógica investiga la relación de consecuencia que se da entre una serie de premisas y la conclusión de un argumento correcto. Se dice que un argumento es correcto (válido) si su conclusión se sigue o es consecuencia de sus premisas; de otra forma es incorrecto. Ya claro el concepto de lógica, voy a proceder a la definición de varias palabras que no serán de gran utilidad en el proceso de lectura y comprensión de este trabajo. -Argumento: es un razonamiento que quiere probar una proposición o afirmación. Debe estar fundamentado, pero sólo será correcto cuando esa fundamentación sea adecuada. -Premisa: es una proposición que se dice con anticipación a algo. -Inducción: es una forma de razonamiento en la que, a partir de unas observaciones o experiencias determinadas, sacar una conclusión final. -Deducción: es una forma de razonamiento en la que, partiendo de unas premisas y utilizando reglas de derivación (reglas de inferencia) se llega a sacar una conclusión final. -Derivación: es separar cosas de un todo, dividirlo. -Reglas de inferencia: son reglas ya determinadas, por medio de ellas podemos hacer una deducción correcta. TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
  • 5. Matemáticas discretas 5 CONTINGENCIA: Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa,(combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: Equivalencias Lógicas Definición: Dos formas proposicionales P y Q se dicen lógicamente equivalentes, y se escribe P ≡ Q, si sus tablas de verdad coinciden. Nota: Esto equivale a decir que P ↔ Q es una tautología; así, P ≡ Q es lo mismo que decir P ⇔ Q. EJEMPLO: El programa está bien escrito y bien documentado. El programa está bien documentado y bien escrito. • LEYES DE MORGAN• 1. ~ (p ∨ q) ≡~ p∧ ~ q – A continuación se muestra en su tabla correspondiente: • TRANSPOSICION O CONTRARECIPROCO• •Definición: La contra recíproca o transposición de una proposición condicional p → q es la proposición ~q →~p Teorema: La proposición condicional p → q y su contra recíproca ~q →~p son lógicamente equivalentes. A continuación se muestra en su tabla correspondiente:
  • 6. Matemáticas discretas 6 • ELIMINACION DE CONDICIONALES• P → Q ≡~P ∨ Q – A continuación se muestra en su tabla correspondiente: LEYES DE LA LÓGICA
  • 7. Matemáticas discretas 7 Leyes de absorción: P ∨ (P ∧ Q) ≡ P P ∧ (P ∨ Q) ≡ P • P ∨ (P ∧ Q) ≡ (P ∧ V ) ∨ (P ∧ Q) Ley de identidad • P ∧ (V ∨ Q) Ley distributiva • P ∧ V Ley de dominación • P Ley de identidad Argumentos Válidos y no Válidos. Argumento: Conjunto de fórmulas para el razonamiento lógico. Argumento Válido: Un argumento es válido si se cumple:  Un argumento puede ser válido con premisas y conclusión verdaderas.  Pero también puede ser válido con premisas falsas y conclusión verdadera, o incluso con premisas y conclusión falsas. Ejemplos de argumentos válidos:  Todos los hombres son mortales.  Sócrates es un hombre.  Por tanto, Sócrates es mortal. ⇩ ⇩ ⇩  Este líquido es un ácido o una base.  Si fuera un ácido, volvería rojo el papel tornasol.  Pero no ha vuelto rojo el papel tornasol.  Así que este líquido es una base. ⇩ ⇩ ⇩  Si está soleado, entonces es de día.  Está soleado.  Por lo tanto, es de día.
  • 8. Matemáticas discretas 8 •LA LÓGICA DE PREDICADOS• Se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia. Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia garantizan que sólo serán derivadas consecuencias verdaderas. Tanto los conectivos lógicos, como los operadores dados anteriormente para la lógica proposicional, son igualmente válidos en lógica de predicados. De hecho, la lógica proposicional es un subconjunto de la lógica de predicados. Cada uno de los argumentos en los ejemplos de predicados dados anteriormente, representan a un objeto específico. Tales argumentos se denominan constantes. Sin embargo, en la lógica de predicados se pueden tener argumentos que en determinado momento pueden ser desconocidos. Estos son los argumentos tipo variable. En el ejemplo:  color (yerba, X), la variable X, puede tomar el valor de verde, haciendo que el predicado sea verdadero; o puede tomar el valor de azul, dando lugar a que el predicado sea falso. Las variables, también pueden ser cuantificadas. Los cuantificadores que típicamente se utilizan en lógica de predicados son:  El cuantificador universal; ” indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo: ” X . . . . Establece que “para todo X, es verdad que . . . “  El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo: $ X . . . . Establece que “existe un X, tal que . . . “  A continuación se dan algunos ejemplos de predicados cuantificados: ” X, [niño (X) => le_gusta (X, helados)]. ” Y, [mamífero (Y) => nace (Y, vivo)]. $ Z, [cartero(Z) ^ mordió (boby, Z)]. Cuantificadores. El cuantificador universal: indica que algo es cierto para todos los individuos.  Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.  (∀x) es cuantificador universal.  A es el ámbito (alcance) del cuantificador.  El símbolo ∀ se lee “para todo”.
  • 9. Matemáticas discretas 9 Ejemplo:  Todo el mundo tiene buena suerte de vez en cuando. B ≡ “tener buena suerte de vez en cuando” B(x) ≡ “x tiene buena suerte de vez en cuando” ∀ xB(x) en el conjunto de los seres humanos. Cuantificador Existencial: Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para al menos un valor de la variable x, escribiremos ∃ xA. ∃ se denomina cuantificador existencial, y A es el ámbito o alcance del cuantificador existencial. Ejemplo:  Hay una persona que ha irrumpido en el aula con malos modales. B ≡ “irrumpir en el aula con malos modales” B(x) ≡ “x irrumpe en el aula con malos modales” ∃xB(x) en el conjunto de los seres humanos. Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos. Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definición es: Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:  (B) si p es una proposición lógica, es una fbf.  (R) si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬F).  (R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔. En el cálculo proposicional existen algunas tautologíasespecialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:  Involución: ¬ (¬ p) ↔ p (se lee “no, no p, equivale a p”)  Idempotencia: (p ^ ¬ p) ↔ p (p v ¬ p) ↔ p  Conmutatividad: a) de la disyunción: p v q ↔ q v p b) de la conjunción: p ^ q ↔ q ^ p  Asociatividad:
  • 10. Matemáticas discretas 10 a) de la disyunción: (p v q) v r ↔ p v (q v r) b) de la conjunción: (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)  Distributividad: De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ú q) Ù r ↔ (p Ù r) Ú (q Ù r) De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ù q) Ú r ↔ (p Ú r) Ú (q Ú r)  Leyes de De Morgan: ~ ( p Ú q ) ↔ ~ p Ù ~ q “La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones” ~ ( p Ù q ) ↔ ~ p Ú ~ q “La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones”  Negación de una Implicación: Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes: Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir:  ~ (p Þ q) Û ~{ ~(p Ù ~ q)}, y podemos concluir entonces que:  ~( p Þ q ) Û ( p Ù ~ q) Es decir, la negación de una implicación no es una implicación sino la conjunción del antecedente con la negación del consecuente. Ejemplo:  Sea la implicación p: hoy es viernes entonces mañana es domingo.  Su negación es ~ p: hoy es viernes y mañana no es domingo. Principio de Inducción Matemática• Si S en un conjunto de enteros positivos tal que:  (B) 1 e S  (I) k e S Þ (k+1) e S
  • 11. Matemáticas discretas 11 entonces S contiene todos los enteros positivos. En en principio de Inducción Matemática son muy importantes los nombres asociados y en la literatura técnica, como es costumbre, no se presenta con detalle los pasos, por lo que resulta indispensable conocer la nomenclatura. •Nomenclatura de Inducción Matemática•  (B) se llama Caso Base o caso inicial  (I) se llama Paso de Inducción  k e S se llama Hipótesis de Inducción Y como ya se mencionó todo junto se llama Principio de Inducción Matemática. Otra forma de enunciar el Principio de Inducción Matemática es:  Si F(n) es una proposición abierta que involucra enteros y se tiene (B) F(1) es verdadera; o sea, se que cumple para n=1 (I) F(K) Þ F(k+1); Si se cumple para n = k entonces también se cumple para n=k+1. Concluimos que la proposición es verdadera para todos los enteros positivos. El Principio de Inducción Matemática se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas, usualmente en el conjunto de los números enteros positivos. EJEMPLO: Demostrar por Inducción Matemática que: F(n): {$ 1 + 2 + 3 + … + n = frac{n(n+1)}2$} Consideremos el conjunto S de los enteros para los cuales la propiedad es cierta. *[B] Si n=1; tenemos: {$1 = frac{1(1+1)}2$} {$1 = frac{2}2$} {$1 = frac{2}2$} {$ 1 = 1$} Entonces 1 está en S o sea que se cumple el caso base. En la lógica proposicional, las conectivas lógicas son tratados como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica no es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función no a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está lloviendo». El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.
  • 12. Matemáticas discretas 12 Límites de la lógica proposicional La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no puede ser probada por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento: 1. Todos los hombres son mortales. 2. Sócrates es un hombre. 3. Por lo tanto, Sócrates es mortal. Como este argumento no contiene ninguna de las conectvias «no», «y», «o», etc., según la lógica proposicional, su formalización será la siguiente: 1. p 2. q 3. Por lo tanto, r Pero esta es una forma de argumento inválida, y eso contradice nuestra intuición de que el argumento es válido. Para teorizar sobre la validez de este tipo de argumentos, se necesita investigar la estructura interna de las variables proposicionales. De esto se ocupa la lógica de primer orden. Otros sistemas formales permiten teorizar sobre otros tipos de argumentos. Por ejemplo la lógica de segundo orden, la lógica modal y la lógica temporal. Dos sistemas formales de lógica proposicional A continuación se presentan dos sistemas formales estándar para la lógica proposicional. El primero es un sistema axiomático simple, y el segundo es un sistema sin axiomas, de deducción natural. Sistema axiomático Alfabeto El alfabeto de un sistema formal es el conjunto de símbolos que pertenecen al lenguaje del sistema. Si L es el nombre de este sistema axiomático de lógica proposicional, entonces el alfabeto de L consiste en:  Una cantidad finita pero arbitrariamente grande de variables proposicionales. En general se las toma del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, etc., y utilizando subíndices cuando es necesario o conveniente. Las variables proposicionales representan proposiciones como "está lloviendo" o "los metales se expanden con el calor".  Un conjunto de operadores lógicos:  Dos signos de puntuación: los paréntesis izquierdo y derecho. Su única función es desambiguar ciertas expresiones ambiguas, en exactamente el mismo sentido en que desambiguan la expresión 2 + 2 ÷ 2, que puede significar tanto (2 + 2) ÷ 2, como 2 + (2 ÷ 2). Gramática Una vez definido el alfabeto, el siguiente paso es determinar qué combinaciones de símbolos pertenecen al lenguaje del sistema. Esto se logra mediante una gramática formal. La misma consiste en un conjunto de reglas que definen recursivamente las cadenas de caracteres que pertenecen al lenguaje. A las cadenas de caracteres construidas según estas reglas se las llama fórmulas bien formadas. Las reglas del sistema L son:
  • 13. Matemáticas discretas 13 1. Las variables proposicionales del alfabeto de L son fórmulas bien formadas. 2. Si es una fórmula bien formada de L, entonces también lo es. 3. Si y son fórmulas bien formadas de L, entonces , , y también lo son. 4. Sólo las expresiones que pueden ser generadas mediante las cláusulas 1 a 3 en un número finito de pasos son fórmulas bien formadas de L. Según estas reglas, las siguientes cadenas de caracteres son ejemplos de fórmulas bien formadas: Y los siguientes son ejempos de fórmulas mal formadas: Fórmula Error Corrección Sobran paréntesis Sobran paréntesis Sobran paréntesis Faltan paréntesis Faltan paréntesis Por otra parte, dado que la única función de los paréntesis es desambiguar las fórmulas, en general se acostumbra omitir los paréntesis externos de cada fórmula, ya que estos no cumplen ninguna función. Así por ejemplo, las siguientes fórmulas generalmente se consideran bien formadas: Otra convención acerca del uso de los paréntesis es que las conjunciones y las disyunciones tienen «menor jerarquía» que los condicionales materiales y los bicondicionales. Esto significa que dada una fórmula sin paréntesis, las conjunciones y las disyunciones deben agruparse antes que los condicionales materiales y los bicondicionales. Por ejemplo: Fórmula Lectura correcta Lectura incorrecta
  • 14. Matemáticas discretas 14 Estas convenciones son análogas a las que existen en el álgebra elemental, donde la multiplicación y la división siempre deben resolverse antes que la suma y la resta. Así por ejemplo, la ecuación 2 + 2 × 2 podría interpretarse como (2 + 2) × 2 o como 2 + (2 × 2). En el primer caso el resultado sería 8, y en el segundo caso sería 6. Pero como la multiplicación siempre debe resolverse antes que la suma, el resultado correcto en este caso es 6, no 8. Axiomas Los axiomas de un sistema formal son un conjunto de fórmulas bien formadas que se toman como punto de partida para demostraciones ulteriores. Un conjunto de axiomas estándar es el que descubrió Jan Łukasiewicz:    Reglas de inferencia Una regla de inferencia es una función que va de conjuntos de fórmulas a fórmulas. Al conjunto de fórmulas que la función toma como argumento se lo llama premisas, mientras que a la fórmula que devuelve como valor se la llama conclusión. En general se busca que las reglas de inferencia transmitan la verdad de las premisas a la conclusión. Es decir, que sea imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En el caso de L, la única regla de inferencia es el modus ponens, el cual dice: Recordando que y no son fórmulas, sino metavariables que pueden ser reemplazadas por cualquier fórmula bien formada. Ejemplo de una demostración A demostrar: Paso Fórmula Razón 1 Instancia del primer axioma. 2 Instancia del primer axioma. 3 Instancia del segundo axioma. 4 Desde (2) y (3) por modus ponens. 5 Desde (1) y (4) por modus
  • 15. Matemáticas discretas 15 ponens. QED Deducción natural Artículo principal: Deducción natural. Un sistema de lógica proposicional también puede construirse a partir de un conjunto vacío de axiomas. Para ello se especifican una serie de reglas de inferencia que intentan capturar el modo en que naturalmente razonamos acerca de las conectivas lógicas.  Introducción de la negación: Si suponer lleva a una contradicción, entonces se puede inferir que (reducción al absurdo).  Eliminación de la negación:  Introducción de la conjunción:  Eliminación de la conjunción:  Introducción de la disyunción:  Eliminación de la disyunción:  Introducción del condicional (véase el teorema de la deducción): Si suponer lleva a una prueba de , entonces se puede inferir que .  Eliminación del condicional (modus ponens):  Introducción del bicondicional:  Eliminación del bicondicional:
  • 16. Matemáticas discretas 16 Ejemplo de una demostración A demostrar: Paso Fórmula Razón 1 Supuesto. 2 Desde (1) por introducción de la disyunción. 3 Desde (1) y (2) por introducción de la conjunción. 4 Desde (3) por eliminación de la conjunción. 5 Resumen de (1) hasta (4). 6 Desde (5) por introducción del condicional. QED Lenguaje formal en la notación BNF El lenguaje formal de la lógica proposicional se puede generar con la gramática formal descrita usando la notación BNF como sigue: La gramática anterior define la precedencia de operadores de la siguiente manera: 1. Negación ( ) 2. Conjunción ( ) 3. Disyunción ( ) 4. Condicional material ( ) 5. Bicondicional ( ) Semántica Una interpretación para un sistema de lógica proposicional es una asignación de valores de verdad para cada variable proposicional, sumada a la asignación usual de significados para los operadores lógicos. A cada variable proposicional se le asigna uno de dos posibles valores de verdad: o V (verdadero) o F (falso). Esto quiere decir que si hay n variables proposicionales en el sistema, el número de interpretaciones distintas es de 2n. Partiendo de esto es posible definir una cantidad de nociones semánticas. Si A y B son fórmulas cualesquiera de un lenguaje L, es un conjunto de fórmulas de L, y M es una interpretación de L, entonces:  A es verdadera bajo la interpretación M si y sólo si M asigna el valor de verdad V a A.
  • 17. Matemáticas discretas 17  A es falsa bajo la interpretación M si y sólo si M asigna el valor de verdad F a A.  A es una tautología (o una verdad lógica) si y sólo si para toda interpretación M, M asigna el valor de verdad V a A.  A es una contradicción si y sólo si para toda interpretación M, M asigna el valor de verdad F a A.  A es consistente (o satisfacible) si y sólo si existe al menos una interpretación M que asigne el valor de verdad V a A.  es consistente si y sólo si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas en .  A es una consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas si y sólo si para toda fórmula B que pertenezca a , no hay ninguna interpretación en que B sea verdadera y A falsa. Cuando A es una consecuencia semántica de en un lenguaje L, se escribe: .  A es una fórmula lógicamente válida si y sólo si A es una consecuencia semántica del conjunto vacío. Cuando A es una fórmula lógicamente válida de un lenguaje L, se escribe: . Tablas de verdad Artículo principal: Tablas de verdad. La tabla de verdad de una fórmula es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituye la fórmula y el valor de verdad de la fórmula completa para cada interpretación. Por ejemplo, la tabla de verdad para la fórmula sería: Como se ve, esta fórmula tiene 2n interpretaciones posibles —una por cada línea de la tabla—, donde n es el número de variables proposicionales (en este caso 3, es decir p, q, r) , y resulta ser una tautología, es decir que bajo todas las interpretaciones posibles de las variables proposicionales, el valor de verdad de la fórmula completa termina siendo V. Formas normales A menudo es necesario transformar una fórmula en otra, sobre todo transformar una fórmula a su forma normal. Esto se consigue transformando la fórmula en otra equivalente y repitiendo el proceso hasta conseguir una fórmula que sólo use los conectivos básicos ( ). Para lograr esto se utilizan las equivalencias lógicas:
  • 18. Matemáticas discretas 18 Por ejemplo, considérese la siguiente fórmula: La misma puede desarrollarse así: Se dice que una fórmula está en forma normal disyuntiva (FND) si y sólo si tiene la siguiente forma: Donde cada A es una conjunción de fórmulas. Por ejemplo, la siguiente fórmula está en forma normal disyuntiva: Se dice que una fórmula está en forma normal conjuntiva (FNC) si y sólo si tiene la siguiente forma: Donde cada A es una disjunción de fórmulas. Por ejemplo, la siguiente fórmula está en forma normal conjuntiva: Por las leyes de De Morgan, es posible pasar de una forma normal disyuntiva a una forma normal conjuntiva y viceversa: Las FNC y FND son mutuamente duales. La demostración hace uso de las leyes de De Morgan y de la propiedad distributiva de la conjunción y la disyunción. Se debe cumplir que: Y viceversa: