1. CALCULO
PROPOSICIONAL
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERRECTORADO ACADEMICO
UNIVERSIDAD FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE ELECTRICA
AUTOR:
NOGUERA PABLO
C.I: 17595671
MAYO; 2014

2. PROPOSICION LOGICA:
Según Jiménez Murillo, Una proposición o enunciado es una oración que
puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez y que las mismas
tienen un carácter coherente de si se puede tornar veritativo o no . La
proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no
válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones.
Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos
y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.
p: La tierra es un planeta.
q: 15+25= 40
r: ¿Qué día es hoy?
n: ¡juega conmigo!
En este caso p y q son proposiciones; mientras que r y n no lo son.

3. PROPOSICION LOGICA:
Según Saenz, en su publicación 2006 Fundamentos
De La Matemática, “los diferentes juicios que ocurren
en nuestro lenguaje pueden ser clasificados en tres
clases: juicios interrogativos, imperativos, y
declarativos;” son estos últimos los que nos sirven
para la exposición y fundamentación del
pensamiento científico.

4. CONECTIVOS LOGICOS DE
UNA PROPOSICIÓN:
EN EL LENGUAJE DIARIO SE TIENEN
CIERTOS TERMINOS, QUE NOS PERMITEN
CONECTAR PROPOSICIONES PARA
PRODUCIR OTRAS MAS COMPLEJAS. ASI,
CON LAS PROPOSICIONES:
A- MARTE ES UN PLANETA B- EL SOL ES
UNA ESTRELLA
ASI CONSTRUIMOS ESTAS OTRAS:
1- MARTE ES UN PLANETA Y EL SOL ES UNA
ESTRELLA.

5. CONECTIVOS LOGICOS DE
UNA PROPOSICIÓN:
2- MARTE ES UN PLANETA O EL SOL ES
UNA ESTRELLA.
3- O MARTE ES UN PLANETA O EL SOL ES
UNA ESTRELLA.
4- SI MARTE ES UN PLANETA ENTONCES EL
SOL ES UNA ESTRELLA.
5- MARTE ES UN PLANETA SI Y SOLO SI EL
SOL ES UNA ESTRELLA.
6- MARTE NO ES UN PLANETA.

6. CONECTIVOS LOGICOS DE
UNA PROPOSICIÓN:
A LOS TERMINOS CONECTIVOS: Y; O;
O…O; SI, … ENTONCES; SI Y SOLO SI;
NO; PROVISTOS DEL SIGNIFICADO
PRECISO QUE SE LES DARA MAS
ADELANTE, SE LES LLAMA CONECTIVOS
LOGICOS ELEMENTALES.

7. CONECTIVOS LOGICOS DE
UNA PROPOSICIÓN:
NOMBRE SIMBOLO TRADUCCION
NEGACIÓN
~ NO, NO ES EL CASO
QUE.
CONJUNCIÓN
^ Y
DISYUNCIÓN(INCLUSIV
A)
V O
DISYUNCION
EXCLUSIVA
V O…O
CONDICIONAL → SI … , ENTONCES
BICONDICIONAL ↔ SI Y SOLO SI

8. CONECTIVOS LOGICOS DE
UNA PROPOSICIÓN:
 LA NEGACIÓN: ESTA OPERACIÓN ANULA
EL VALOR VERITATIVO QUE POSEE, EN
CASO QUE SEA VERDADERO SE
CONVIERTE EN FALSO Y SI ES FALSO EN
VERDADERO, VIENE DADA POR LA
SIGUIENTE TABLA DE VERDAD:
p ~p
1
0
0
1

9. CONECTIVOS LOGICOS DE
UNA PROPOSICIÓN:
 LA CONJUNCIÓN: SE LEE “Y”, VIENE DADA POR LA SIGUIENTE
TABLA DE VERDAD:
 NOTA: LOS VALORES VERITATIVOS SE ASIGNAN DE ACUERDO A
LA CANTIDAD DE VARIABLES QUE SE ESTEN ANALIZANDO,
EJEMPLO, SI SON DOS VARIABLES p Y q, ENTONCES LOS
VALORES VERITATIVOS SERAN 22 LA BASE 2 CORRESPONDE A
VERDADERO (1) Y FALSO (0), Y EL EXPONENTE 2 YA QUE SON 2
VARIABLES p Y q. LA FORMA DE COLOCAR ESTOS VALORES
VERITATIVOS ES 50:50 PARA LA PRIMERA VARIABLE, 25:25 PARA
LA SEGUNDA VARIABLE.
p q p ^q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0

10. CONECTIVOS LOGICOS DE
UNA PROPOSICIÓN:
 LA DISYUNCION: O DISYUNCION INCLUSIVA,
VIENE DADA POR LA TABA DE VERDAD:
 LA DISYUNCION EXCLUSIVA: SE LEE O p O q,
VIENE DADA POR:
p q pvq
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
p q pvq
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0

11. CONECTIVOS LOGICOS DE
UNA PROPOSICIÓN:
 EL CONDICIONAL: EN ESTE CONECTIVO LAS
PROPOSICIONES SE DENOMINAN
ANTECEDENTE Y CONSECUENTE, SE LEE SI,
ENTONCES, VIENEN DADA POR LA TABLA:
p q p→q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1

12. CONECTIVOS LOGICOS DE
UNA PROPOSICIÓN:
 EL BICONDICIONAL: RECIBE EL NOMBRE DE
BICONDICIONAL PORQUE p→q ES
EQUIVALENTE A: ( p→q ) ^ (q→p), SU VALOR
LOGICO VIENE DADO POR LA SIGUIENTE
TABLA:
p q p↔q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1

13. FORMAS PROPOSICIONALES
A LAS EXPRESIONES QUE SE OBTIENEN A
PARTIR DE VARIABLES PROPOSICIONALES:
p, q, r, ENTRE OTROS; MEDIANTE
APLICACIONES DE LOS CONECTIVOS
LOGICOS, SE LLAMAN FORMAS
PROPOSICIONALES. A ESTAS LAS
DENOTAREMOS CON LETRAS MAYUSCULAS
A, B, C, ENTRE OTROS.

14. FORMAS PROPOSICIONALES
EN CASO DE QUE QUERAMOS ENFATIZAR
LAS VARIABLES QUE INTERVIENEN EN LAS
FUNCIONES PROPOSICIONALES
ESCRIBIREMOS ASI: A(p, q), B(p1, p2, p3),
ENTRE OTROS.
EJEMPLO 1: SON FORMAS
PROPOSICIONALES LAS SIGUIENTES
EXPRESIONES:
1- A(p, q) = ~[p→(~q)]
2- B( p, q, r) = p ^ (q ^ r)

15. FORMAS PROPOSICIONALES
CONTINUACION DE EJEMPLO 1:
3- C (p1, p2, p3)= p1 → [p2 ↔(p3 ^(~p1))]
DEFINIMOS FORMA PROPOSICIONAL COMO UNA
EXPRESION QUE SE OBTIENE SIGUIENDO LAS
SIGUIENTES REGLAS:
1- TODAS LAS VARIABLES PROPOSICIONALES SON
FORMAS PROPOSICIONALES. A ESTAS LAS
LLAMAREMOS FORMAS PROPOSICIONALES
ATOMICAS.
2- SI A Y B SON FORMAS PROPOSICIONALES,
ENTONCES TAMBIEN LO SON:
~A, A^B, A V B, A V B, A→B Y A↔B

16. FORMAS PROPOSICIONALES
 SIGNOS DE AGRUPACIÓN: LOS SIGNOS DE
AGRUPACION, PARENTESIS (), CORCHETES [],
LLAVES {}; SON USADOS EN LA CONSTRUCION
DE FORMAS PROPOSICIONALES PARA EVITAR
AMBIGÜEDADES. ASI LOS PARENTESIS NOS
PERMITEN DIFERENCIAR LAS DOS FORMAS:
(pVq)^r y p v (q^r)
QUE TIENEN SIGNIFICADOS DIFERENTES, EN
(pVq)^r EL CONECTOR PRINCIPAL ES ^,
MIENTRAS QUE EN p v (q^r) EL CONECTOR
PRINCIPAL ES v.

17. FORMAS PROPOSICIONALES
 TABLAS DE VERDAD DE FORMAS
PROPOSICIONALES:
COMO CADA FORMA PROPOSICIONAL ESTA
DEFINIDA MEDIANTE OPERACIONES
VERITATIVAS, EL VALOR LOGICO DE UNA FORMA
PROPOSICIONAL DEPENDE UNICAMENTE DE
LOS VALORES LOGICOS QUE SE ASIGNE A SUS
VARIABLES PROPOSICIONALES. PARA EL
CALCULO DE ESTE VALOR SE USAN LAS TABLAS
DE VERDAD.
EJEMPLO: SE DESEA CONSTRUIR LA TABLA DE
VERDAD PARA LA PROPOSICION (p ^ ~ q) ↔ q

18. FORMAS PROPOSICIONALES
 SOLUCION: EXISTEN DOS METODOS EL ACUMULATIVO Y
EL ABREVIADO.
 EL ACUMULATIVO: SE ASIGNA UNA COLUMNA PARA CADA
VARIABLE PROPOSICIONAL, Y UNA COLUMNA PARA CADA
OPERACIÓN INDICADA, CONSERVANDO EL ORDEN EN
QUE ESTAS SE LLEVARA A CABO:
LA PRIMERA OPERACIÓN QUE SE REALIZO FUE LA
NEGACION DE q, LUEGO LA CONJUNCION DE p Y ~q; POR
ULTIMO EL BICONDICIONAL CON q.
p
q ~q p ^ ~q (p ^ ~q) ↔ q
1
1
0
0
1
0.
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1

19. FORMAS PROPOSICIONALES
 METODO ABREVIADO: ESTE ES EL MAS USADO
YA QUE PERMITE AHORRAR TIEMPO Y ESPACIO.
SE COMIENZA A OPERAR DIRECTAMENTE
SOBRE LA TABLA DE LA SIGUIENTE MANERA:
p
q (p ^ ~q) ↔
q
1
1
0
0
1
0.
1
0
0 0
0
1 1
0
0 0
0
0 1
1
1 1 3 2 4

20. FORMAS PROPOSICIONALES
 TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCIONES:
 TAUTOLOGIAS: ES LA FORMA PROPOSICIONAL
QUE ES VERDADERA PARA CUALQUIER VALOR
LOGICO QUE SE LE ASIGNE A SUS VARIABLES
PROPOSICIONALES.
EJEMPLO:
p ~p p v ~p
1
0
0
1
1
1

21. FORMAS PROPOSICIONALES
 CONTRADICCIONES: ES UNA FORMA
PROPOSICIONA QUE ES FALSA EN
CUALQUIER VALOR LOGICO QUE SE LE
ASIGNE A LA VARIABLE PROPOSICIONAL.
EJEMPLO:
p ~p p^~p
1
0
0
1
0
0

22. LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL
EXISTEN ABUNDANTES EQUIVALENCIAS
LOGICAS, SIN EMBARGOTODAS ESTAS PUEDEN
DEDUCIRSE A PARTIR DE UNAS POCAS
EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES, A LAS QUE
LLAMAREMOS LEYES DEL ALGEBRA DE
PROPOSICIONES, LAS MISMAS SON:
 LEYES IDEMPOTENTES:
p v p = p p ^ p = p
 LEYES ASOCIATIVAS:
(p v q ) v r = p v (q v r ) / (p ^ q ) ^ r = p ^ ( q ^ r )
 LEYES CONMUTATIVAS:
p v q = q v p p ^ q = q ^ p

23. LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL
 LEYES DISTRIBUTIVAS:
p v ( q ^ r ) = (p v q) ^ (p v r)/p ^ ( q v r) = (p ^ q) v ( p ^
q)
 LEYES DE IDENTIDAD O ELEMENTO NEUTRO:
p v 0 = p p ^ 1 = p
 LEYES DE DOMINACION:
p v 1 = 1 p ^ 0 = 0
 LEYES DE COMPLEMENTACION:
TERCIO EXCLUIDO: CONTRADICCION:
p v ~p = 1 p ^~ p = 0

24. LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL
 DOBLE NEGACION:
~~p = p ~1 = 0, ~0 = 1
 LEYES DE MORGAN:
~( p v q ) = ~ p ^ ~ q ~ ( p ^ q ) = ~ p v ~q
 LEY DEL CONDICIONAL:
p → q = ~ p v q
 LEY DEL BICONDICIONAL:
p ↔ q = ( p →~ q) ^ ( q →~ p)
 LEY DE DISYUNCION EXCLUSIVA:
p v q = (p ^~q) v ( q^~ p)

25. LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL
 LEY DEL CONTRARECIPROCO:
p → q = ~ q →~ p
 LEY DE REDUCCION AL ABSURDO:
( p → q) = ( p ^ ~ q → 0)
 LEY DE DEMOSTRACION POR CASOS:
[( p v q ) → r] = (p → r) ^ ( q → r)
 LEYES DE ABSORCION:
p v ( p ^ q) = p p ^ ( p v q ) = p

26. DEMOSTRACION EN
MATEMATICA E INGENIERIA:
UNA DEMOSTRACION ES UNA SECUENCIA DE
PROPOSICIONES QUE TERMINA CON LA
CONCLUSION. CADA UNA DE LAS PROPOSICIONES
ES UNA PREMISA O UNA CONSECUENCIA LOGICA DE
PROPOSICIONES ANTERIORES. EXISTEN DOS
METODOS PARA REALIZAR UNA DEMOSTRACION:
A- DEMOSTRACION DIRECTA: SI UNA DE LAS
PREMISAS ES UNA DISYUNCION, SE PUEDE
PROCEDER A PROBAR POR CASOS:
[( p v q ) → r] = (p → r) ^ ( q → r), ESTE METODO TAMBIEN
ES VALIDO SI UNA DE LAS PREMISAS ES UNA
DISYUNCION EXCLUSIVA, ESTA SITUACION SE
FUNDAMENTA EN UNA IMPLICACION: p v q → p v q

27. DEMOSTRACION EN
MATEMATICA E INGENIERIA:
B- DEMOSTRACION INDIRECTA: LOS METODOS DE
DEMOSTRACION INDIRECTA EN LUGAR DE PROBAR
LA IMPLICACION P1^ P2^ P3 …^ Pn → C; PRUEBAN
UNA IMPLICACION EQUIVALENTE, ESTOS METODOS
SON:
METODO DEL CONTRARECIPROCO: EN LUGAR DE
DEMOSTRAR P1^ P2^ P3 …^ Pn → C, SE
DESARROLLA: ~C → ~(P1^ P2^ P3 …^ Pn).
METODO DE REDUCCION AL ABSURDO: SI (P1^
P2^ P3 …^ Pn → C) = (P1^ P2^ P3 …^ Pn ^~ C→0)
SI AL AGREGAR LAS PREMISAS DE LA NEGACION DE LA
CONCLUSION SE OBTINENE UNA CONTRADICCION,
ENTONCES EL RAZONAMIENTO ES VALIDO.

28. RED DE CIRCUITOS LOGICOS DE
UNA FORMA PROPOSICIONAL:
p
q
~r
q
r
~ r
p
r
p
DADO UN CIRCUITO, HALLAR OTRO MAS
SIMPLE QUE CUMPLA LA MISMA FUNCION,
EMPLEANDO EL ALGEBRA DE FUNCIONES
PARA SIMPLIFICAR CIRCUITOS.

29. RED DE CIRCUITOS LOGICOS DE
UNA FORMA PROPOSICIONAL:
SOLUCION: TRABAJAMOS CON SU FORMA
PROPOSICIONAL:
{(p^r)v(q^~r)v(~r^p)v(q^r)}^ p
={(p^r)v(~r^p)v(q^~r)v(q^r)} ^ p LEY
CONMUTATIVA
={ [(p^r)v(~r^p)]v[(q^~r)v(q^r)]}^ p LEY
ASOCIATIVA
={[p^(rv~r)]v[q^(~rvr)]}^ p LEY DISTRIBUTIVA
={[p^1] v [q^1]} ^ p LEY DEL TERCIO
EXCLUIDO
={p v q} ^ p LEY IDENTIDAD
= p ^{ p v q} LEY
CONMUTATIVA

30. RED DE CIRCUITOS LOGICOS DE
UNA FORMA PROPOSICIONAL:
EL CIRCUITO DADO PUEDE REEMPLAZARSE
POR EL CIRCUITO:
p

31. FIN
Contacto
pablo.zenon@hotmail.com