Este documento introduce los conceptos de función y relación entre conjuntos. Explica que una función es una relación especial entre dos conjuntos donde cada elemento del primer conjunto está asociado a exactamente un elemento del segundo conjunto. También define los elementos clave de una función como su dominio y rango.

1. 1

2. 2
Presentación.
Al estudiar la naturaleza percibimos que algunos fenómenos varían
con el paso del tiempo. Por ejemplo, si observamos día a día, veremos
que el amanecer se adelanta al aproximarse el verano, y se atrasa al
aproximarse el invierno. En otras palabras, la hora del amanecer está en
función dela fecha en que se lo observe.
En la vida diaria se presentan situaciones que tienen que ver con la
asociación o relación de elementos entre conjunto. En una relación de A y
B, los elementos de A, llamado conjunto de partida, están relacionados
con los elementos de B, llamado conjunto de llegada.
Una función es una relación entre dos conjuntos. El conjunto de los
números originales se llama conjunto de partida y el otro conjunto de lo
que se obtiene resultado se llama conjunto de llegada.

3. Logros Identificación de funciones
Aplicación del concepto
de función entre
conjuntos numéricos
Aplicación de función
biyectiva
3

4. Las relaciones de conjuntos sucede cuando existen ciertos conjuntos que tiene
algo en común y que cumplen una propiedad específica en común o como también puede
ser por el número de elementos que pueden tener los conjuntos que queremos comprar.
La relación de conjuntos no es mas que una comparación entre conjuntos según las
cualidades que le asignemos, si es que existen.
¿Que entendemos por relación entre conjuntos?
Ejemplo:
Carolina ha decidido hacer una fiesta y quiere ubicar a sus
amigo según el estado al que pertenece. Para facilitar su trabajo ha
decidido relacionarlos con el diagrama que se muestra a
continuación.
Luego, le parece que es mas fácil si los coloca en
forma de par ordenados se decir:
( Luis, Aragua), (Ana, Zulia), (Juan, La Guaira),
(Pedro, Apure)
De lo cual se concluye que:
Un par ordenado es un conjunto formado por dos
elementos colocados en un orden
El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como
(a, b).
En un par ordenado los elementos se llaman componentes o coordenadas. El elemento a es
la primera componente del par ordenado (a, b) y b es su segunda componente.
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5. Relación es un subconjunto de pares ordenados de dos
conjuntos A y B que obedecen a una proposición establecida.
RELACIONES
Ejemplo: Sean: A = { a, b } M = { m, n, p }
Se puede realizar u obtener los siguientes pares
ordenados del conjunto A al conjunto B
𝑅 = 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎, 𝑚 , 𝑎, 𝑛 , 𝑎, 𝑝 , 𝑏, 𝑚 , 𝑏. 𝑛 , 𝑏, 𝑝
La expresión 𝑅 = 𝐴 ∙ 𝐵 se denota como Relación
Una relación de un conjunto A en el conjunto B se puede
establecer como un conjunto de pares ordenados cuyas
primeras componentes están en A y su segundas
componentes están en B
En una relación de A en B, el conjuntoA se llama su conjunto de partida, y el
conjunto B se llama su condominio o conjunto de llegada.
Si A y B son el mismo conjunto, se dice que es una relación en A.
Una relación R puede visualizase escribiendo sus pares ordenados o usando un
diagrama llamado diagrama sagital,
Los diagramas sagitales son gráficos para representar
relaciones y consiste en curvas cerradas que relacionan los
elementos del conjunto de partida y conjunto de llegada
mediante flechas.
5

6. Para hallar una relación que establezca la asociación
entre algunos estados de Venezuela y sus capitales por ejemplo
𝐴 = Maracay, La Asunción, Barquisimeto,Coro y 𝐵 =
Lara, Aragua, Falcón, Nueva Esparta , se puede establecer la
relación « Es la capital de»
DIAGRAMA SAGITAL PARES ORDENADOS
𝑅 =
Maracay, , Aragua , La Asunción, Nueva Esparta ,
Barquisimeto, Lara , Coro, Falcón
Si 𝐴 = 2,3,5,7 𝑦 𝐵 = 4,9,15,28 ¿que relación se
puede establecer en la que la primera componente sean
divisores de los de la segunda componentes?
Una posible relación es
𝑅 = 2,4 , 3,9 , 5,15 , 28,7
6

7. En análisis matemático, el concepto general de
función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna
a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de
un segundo conjunto. Las funciones son relaciones entre los
elementos de dos conjuntos.
Función
Definición
Una función de A en B es una relación de par ordenado
que asocia a TODO ELEMENTO del conjunto A con UN
SOLO ELEMENTO del conjunto B.
Una función f es una relación que cumple
dos condiciones:
• Todos los elementos del conjunto de
partida están relacionados.
• Cada elemento del conjunto de partida
sólo tiene relación con un elemento del
conjunto de llegada.
La manera habitual de denotar una función f es: f: A → B la
cual se lee  f es una función del conjunto A en el conjunto B
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8. En general una función se denota así:
f (x) = y
Donde x es un elemento de A, e y es un
elemento de B.
DOMINIO Y RANGO
Dominio de una función : Es el conjunto de todas las
PRIMERAS componentes del par ordenado que pertenecen a
una función f. Se denota 𝐷𝑜𝑚 𝑓
Rango de una función: Es el conjunto de todas las
SEGUNDAS componentes del par ordenado que pertenecen
a una función f. Se denota 𝑅𝑔 𝑓
Cada uno de los elementos del conjunto de llegada que están
relacionados se denominan imágenes.
Una función de A en B es una correspondencia que asigna
a cada elemento de A una única imagen en B
𝑓: 𝐴 → 𝐵 = 1,2 , 2,4 , 6,3
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 1,2,3
𝑅𝑔 𝑓 = 2,4,6
8

9. Ejercicio modelo N° 1
Observa las siguientes relaciones, en cada una
indica si son funciones y explica por qué. En cada caso
determina el dominio y el rango.
𝑓: 𝐴 → 𝐵 = 𝑎, 1 , 𝑏, 2 , 𝑐, 2
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
𝑅𝑔𝑜 𝑓 = 1,2
Solución:
No es una función porque el elemento d no está relacionado. Para
ser función todos los elementos del conjunto de partida deben estar
relacionados.
𝑓: 𝐴 → 𝐵 = 𝑎, 1 , 𝑏, 2 , 𝑐, 3 , 𝑑, 3
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
𝑅𝑔𝑜 𝑓 = 1,2,3
Es una función porque todos los elemento del conjunto de partida
está relacionado y cada uno de ellos tiene una sola imagen.
9

10. Función numérica
Llamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y
codominio son subconjuntos de números. Estas funciones son aquellas
que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales
Si A y B son conjuntos de números, entonces f:AB
quedará determinada bien mediante una proposición que
indique como se construye las imágenes, o simplemente
mediante una fórmula que indique la imagen de cada
elemento del dominio.
Sea f:QQ definida por 𝑓 𝑥 =
𝑥
2
. Entonces f es una
función en el que el conjunto de los números
racióneles (Q) , ya que cada numero racional tiene
como su mitad que es un número racional.
𝑓 𝑥 =
𝑥
2
Sea
Se tiene que: Para 𝑥 =
1
2
⟹ 𝑓
1
2
=
1
2
2
=
1
4
Para 𝑥 = 4 ⟹ 𝑓 4 =
4
2
= 2
Para 𝑥 = −3 ⟹ 𝑓 −3 =
−3
2
= −
3
2
Existe la notación y = f 𝑥 , la cual expresa
que y es la imagen del elemento x del dominio de la
función f . La letra x se llama variable
independiente y la letra y se llama variable
dependiente.
RECUERDA
Una función es una
relación entre dos variables
numéricas, habitualmente las
denominamos x e y, a una de
ellas la llamamos variable
dependiente pues depende de los
valores de la otra para su valor,
suele ser la y, a la otra por tanto
se la denomina variable
independiente y suele ser la x.
Pero además para que una
relación sea función a cada valor
de la variable independiente le
corresponde uno o ningún valor
de la variable dependiente, no le
puede corresponder dos o más
valores. Estamos en presencia de
una función cuando de cada
elemento del primer conjunto
solamente sale una única flecha.
10

11. Dada la función g: ZZ defina mediante 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3, para
hallar 𝑔 −2 , 𝑔 0 y 𝑔 3𝑛
Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas
variables (dependiente (y) e independiente(x)). Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que
puede tomar la variable independiente. El dominio de una función del tipo y = f (x) suele representarse con
alguna de estas expresiones: D(f), Dom f . Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de
valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la
función. El recorrido de una función del tipo y = f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f),
Rgo f, Im (f).
Elementos de una función
Se efectúa lo siguiente.
Para la función 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3
𝑔 −2 = 2 −2 − 3 = −7 ⟹ 𝑔 −2 = −7
𝑔 0 = 2 0 − 3 = −3 ⟹ 𝑔 0 = −3
𝑔 3𝑛 = 2 3𝑛 − 3 = 6𝑛 − 3 ⟹ 𝑔 3𝑛 = 6𝑛 − 3
RECUERDA
El concepto de relación implica la idea de
correspondencia entre los elementos de dos conjuntos
que forman parejas ordenadas. Cuando se formula
una expresión que liga dos o más objetos entre sí,
postulamos una relación (no necesariamente
matemática)
11

12. Ejercicio modelo N° 2 Dado el conjunto 𝐴 = 1,2,3,4 y la funcion 𝑓 𝑥 = 𝑥2,determina
el conjunto B para que se cumpla f: AB. Hallar el dominio y el
rango de la función.
Procedimiento
1. Para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 y el conjunto 𝐴 = 1,2,3,4
se define la función f: A B mediante los siguientes cálculos:
Para 𝑥 = 1 ⟹ 𝑦 = 12
= 1 ⟹ 𝑦 = 1
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2
⟹ 𝑦 = 𝑥2
Para 𝑥 = 2 ⟹ 𝑦 = 22
= 4 ⟹ 𝑦 = 4
Para 𝑥 = 3 ⟹ 𝑦 = 32
= 9 ⟹ 𝑦 = 9
Para 𝑥 = 4 ⟹ 𝑦 = 42 = 16 ⟹ 𝑦 = 16
2. Se realiza el diagrama sagital de la función.
3. Se define el dominio y el rango de la función.
Para la función 𝑓:𝐴 → 𝐵 = 1,1 , 2,4 , 3,9 , 4,16
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 1,2,3,4
𝑅𝑔𝑜 𝑓 = 1,4,9,16
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13. Clasificación de funciones
Función inyectiva:
Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de
exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los
pares (x, y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.
Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por
medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales
para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.
Función Sobreyectiva:
Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (también
llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos
un elemento de A , bajo f .
A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden
elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento y es
imagen de algún elemento x del dominio.
Función Biyectiva:
Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es
sobreyectiva e inyectiva a la vez .
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la
función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo
elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen
simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.
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14. Sea 𝐴 = −2, −1,0,1,2 y la función está definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥2,
¿Será biyectiva?
Ejercicio modelo N° 3
1. Para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 y el conjunto 𝐴 = −2, −1,0,1,22,3,4
se define la función f: A B mediante los siguientes cálculos:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2
⟹ 𝑦 = 𝑥2
Para 𝑥 = −2 ⟹ 𝑦 = −2 2
= 4 ⟹ 𝑦 = 4
Para 𝑥 = −1 ⟹ 𝑦 = −1 2 = 1 ⟹ 𝑦 = 1
Para 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 0 2
= 4 ⟹ 𝑦 = 0
Para 𝑥 = 1 ⟹ 𝑦 = 12
= 1 ⟹ 𝑦 = 1
Para 𝑥 = 2 ⟹ 𝑦 = 22 = 4 ⟹ 𝑦 = 4
2. Se realiza el diagrama sagital de la función 𝑦 = 𝑥2 .
3. Se define el dominio y el rango de la función.
Para la función 𝑓:𝐴 → 𝐵 = −2,4 , −1,1 , 0,0 , 1,1 , 2,4
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = −2, −1,0,1,2,
𝑅𝑔𝑜 𝑓 = 1,2,4
Si se observa que, por ejemplo 2 y 2, tienen
la misma imagen, igual que  1 y 1, por lo tanto no
es inyectiva. Esta función es sobreyectiva porque el
rango de la función es igual al conjunto B.
Entonces como la función no es inyectiva pero es
sobreyectiva. Por lo tanto no es biyectiva.
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15. Ejercicio modelo N° 4 Sea 𝐴 = −4,5,
1
2
y B el conjunto de los números racionales Q.
Sea f una relación que asigna a cada elemento de A su inverso
en B.¿ Es una función?
1. Se tiene que el inverso de un número es
igual a la expresión:
𝑎−1
=
1
𝑎
2. Para buscar el inverso de los elementos del conjunto A
se aplica lo siguiente:
Sea 𝐴 = −4,5,
1
2
Para 𝑎 = −4 ⟹ −4 −1 =
1
−4
= −
1
4
Para 𝑎 = 5 ⟹ 5 −1
=
1
5
=
1
5
Para 𝑎 =
1
2
⟹
1
2
−1
=
1
1
2
= 2
El conjunto Q está formado por infinitos elementos de los
cuales sólo −
1
4
,
1
5
, 2 son imágenes; f es una función porque
cada elemento del conjunto de partida está relacionado y
además tiene una sola imagen
−4
5
1
2
A
−
1
4
1
5
2
B
𝐴 = −4,5,
1
2
B = −
1
4
,
1
5
, 2
𝑓: 𝐴 → 𝐵 = −4, −
1
4
, 5,
1
5
,
1
2
, 2
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16. Ejercicio modelo N° 5 Sea la función de los números racionales distintos de 1 a
los números racionales de modo que 𝑓 𝑥 =
1
𝑥−1
. Calcula
𝑓 0 , 𝑓
1
2
, 𝑓 −
1
2
, 𝑓
5
3
𝑦 𝑓 −
2
3
1. Para la función𝑓 𝑥 =
1
𝑥−1
previamente definida, se efectúa lo siguiente:
𝑓 0 =
1
0 − 1
=
1
−1
= −1 ⟹ 𝑓 0 = −1
𝑓
1
2
=
1
1
2
− 1
=
1
1 − 2
2
=
1
−
1
2
= −2 ⟹ 𝑓
1
2
= −2
𝑓
5
3
=
1
5
3
− 1
=
1
5 − 2
3
=
1
3
3
= 1 ⟹
𝑓 −
1
2
= −
2
3
𝑓 −
1
2
=
1
−1
2
− 1
=
1
−1 − 2
2
=
1
−
3
2
= −2 ⟹
𝑓
5
3
= 1
𝑓 −
2
3
=
1
−2
3
− 1
=
1
−2 − 3
3
=
1
−
5
3
= 1 ⟹ 𝑓 −
2
3
= −
3
5
16

17. Expresiones decimales
Un número racional, escrito de la forma
𝒂
𝒃
, es equivalente a una única expresión
decimal. La cual consiste en dividir el numerador a entre el denominador b. Es decir:
𝑎
𝑏
= 𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑬𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒎𝒂𝒍
Ejemplos:
a.
5
16
= 0,3125 b.
5
3
= 1,6666 ⋯ = 1, ෠
6
c.
29
22
= 1,31818 ⋯ = 1,3෢
18 d.
3
7
= 0,4285 ⋯
Clasificación de las Expresiones Decimales
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18. Fracción generatriz.
La fracción generatriz es aquella que da como resultado un número decimal, ya sea
exacto o periódico.
Visto de otro modo, una fracción generatriz es una forma de expresar un número
decimal. Esto, mediante una fracción irreducible, es decir, donde el numerador y el
denominador no tienen divisores en común, de manera que la fracción no se puede
simplificar en números más pequeños.
• Fracción generatriz de una expresión decimal limitada: para hallar la fracción generatriz,
es decir la fracción que se origina de una expresión decimal, se toma como numerador
todas las cifras de la expresión decimal sin considerar la coma, y como denominador la
unidad seguida de tantos cero como cifras tenga la parte decimal. Si es posible, se
simplifica la fracción resultante.
Ejemplos:
a) 0,45 =
45
100
=
45÷5
100÷5
=
9
20
𝑚.𝑐.𝑑 45,100 = 5
b) 9,57 =
957
100
c) 0,4 =
4
10
=
4÷2
10÷2
=
2
5
𝑚.𝑐. 𝑑 4,10 = 2
d) 0,6895 =
6895
10000
=
6895÷5
10000÷5
=
1379
200
𝑚.𝑐.𝑑 6895,10000 = 5
• Fracción generatriz de una expresión decimal ilimitada periódica pura: para hallar la fracción
generatriz, de una expresión periódica pura, se escribe como numerador la expresión decimal sin
la coma menos la parte entera de la expresión, y como denominador un número formado por
tantos nueves como cifras tenga el período . Si es posible, se simplifica la fracción resultante.
18

19. Ejemplos:
a) 0, ෠
4 =
4−0
9
=
4
9
b) 1, ෢
45 =
145−1
99
=
144÷9
99÷9
=
16
11
𝑚.𝑐.𝑑 144,99 = 9
c) 12, ෢
847 =
12847−12
999
=
12895
999
d) 0, ෢
27 =
27−0
99
=
27÷9
99÷9
=
3
11
𝑚. 𝑐.𝑑 27,99 = 9
Ejemplos:
 Fracción generatriz de una expresión decimal ilimitada periódica mixta: para hallar la fracción
generatriz, de una expresión periódica mixta, se escribe como numerador la expresión decimal sin
la coma menos la parte entera junto con las cifras que conforma el período, y como denominador
un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros tengan
el anti período. Si es posible, se simplifica la fracción resultante.
a) 2,44෠
3 =
2443−244
900
=
2199÷3
900÷3
=
733
300
𝑚.𝑐.𝑑 2199,900 = 3
b) 25,4෢
12 =
25412−254
990
=
25158÷6
990÷6
=
4193
165
𝑚.𝑐. 𝑑 25158,900 = 6
Ejercicio modelo N° 6
Realice la siguiente operación y simplifique si se puede
2 3
4 + 2,25 − 1,0෠
6 + 1, ෠
6 −
7
2
+
3
5
19

20. 1. Se convierten los
números mixtos en
fracciones impropias y
las expresiones
decimales en fracción
generatriz
2 3
4=
2∙4 +3
4 =
11
4
2,25 =
225
100
=
9
4
1,0෠
6 =
106 − 10
90
=
96
90
=
16
15
1, ෠
6 =
16 − 1
9
=
15
9
=
5
3
2 3
4
+ 2,25 − 1,0෠
6 + 1, ෠
6 −
7
2
+
3
5
=
11
4
+
9
4
+
16
15
+
5
3
−
7
2
+
3
5
2. Se busca el m. c. m
denominador y se divide
entre cada denominador y el
cociente se multiplica por el
numerador
11
4
+
9
4
+
16
15
+
5
3
−
7
2
+
3
5
=
165 + 135 − 70 + 100 − 210 + 36
60
𝑚. 𝑐. 𝑚 2,3,4,5,6 = 60
3. Se opera con los numeradores
tomando en cuenta sus signos
165 + 135 + 36 + 100 − 70 − 210
60
=
436 − 280
60
=
156
60
=
13
5
𝑚. 𝑐. 𝑑 156,60 = 12
De manera que: 23
4 + 2,25 − 1,0෠
6 + 1, ෠
6 −
7
2
+
3
5
=
13
5
20

21. 21