Este documento presenta conceptos básicos de vectores y su aplicación al movimiento en dos dimensiones. Introduce la notación vectorial para representar vectores y sus propiedades de magnitud y dirección. Explica sumas, restas y multiplicación de vectores por escalares. Luego define velocidad, aceleración y desplazamiento vectorial y cómo se aplican estos conceptos al movimiento rectilíneo y curvilíneo en el plano. Finalmente, analiza el movimiento de proyectiles bajo la acción de la gravedad.
Este documento presenta el solucionario de un libro sobre vibraciones y ondas. Contiene soluciones detalladas a problemas relacionados con movimientos periódicos, superposición de movimientos, vibraciones libres y forzadas de sistemas físicos, osciladores acoplados, modos normales de sistemas continuos y ondas progresivas. El autor del solucionario es Mauricio Vargas Villegas de la Universidad de Tolima y fue publicado en julio de 2019 en ResearchGate.
Este documento trata sobre conceptos básicos de cinemática y movimiento en una y dos dimensiones. Explica qué es una función, gráfica y movimiento rectilíneo uniforme. Luego, introduce conceptos como posición, velocidad, aceleración, trayectoria y sistemas de referencia para analizar el movimiento de partículas. Finalmente, presenta ecuaciones para describir el movimiento rectilíneo uniforme y acelerado en una y dos dimensiones.
Este documento presenta conceptos básicos de cinemática. Define sistema de referencia, posición, velocidad y aceleración para describir el movimiento. Explica los tipos de movimiento según variaciones en la velocidad y aceleración. Luego introduce el movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado, dando sus ecuaciones vectoriales y escalares de posición, velocidad y aceleración. Finalmente muestra representaciones gráficas de estas magnitudes.
1) El documento explica conceptos relacionados a vectores bidimensionales como ecuaciones paramétricas, curvas planas, notación y propiedades de vectores.
2) Se proporcionan ejemplos de cómo encontrar la recta tangente a partir de la ecuación paramétrica de una curva y de sumar y descomponer vectores.
3) Finalmente, se deja como tarea práctica realizar curvas paramétricas en GeoGebra y ejercicios de sumas y descomposición de vectores.
Este documento presenta un taller individual de física para la alumna Estefanía García. Contiene 9 preguntas sobre vectores, movimiento rectilíneo uniforme y acelerado, que deben resolverse utilizando los números de su cédula como datos. Se pide dibujar gráficas y calcular magnitudes como módulos, productos escalares, ángulos y desplazamientos.
El documento presenta una introducción a conceptos básicos de cinemática, incluyendo movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, movimientos en dos direcciones y movimientos circulares. Explica las ecuaciones que describen estos tipos de movimiento y provee ejemplos de gráficas correspondientes. También discute conceptos como alcance de un tiro y velocidad máxima en lanzamientos parabólicos.
El documento presenta una introducción a conceptos básicos de cinemática, incluyendo movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, movimientos en dos direcciones y movimientos circulares. Explica las ecuaciones que describen estos tipos de movimiento y provee ejemplos de gráficas correspondientes. También discute conceptos como alcance de un tiro y velocidad máxima en lanzamientos parabólicos.
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores y cálculo vectorial, incluyendo definiciones de vectores, operaciones con vectores, sistemas de coordenadas, derivación e integración vectorial, y operadores vectoriales como gradiente, divergencia y rotacional.
Este documento presenta el solucionario de un libro sobre vibraciones y ondas. Contiene soluciones detalladas a problemas relacionados con movimientos periódicos, superposición de movimientos, vibraciones libres y forzadas de sistemas físicos, osciladores acoplados, modos normales de sistemas continuos y ondas progresivas. El autor del solucionario es Mauricio Vargas Villegas de la Universidad de Tolima y fue publicado en julio de 2019 en ResearchGate.
Este documento trata sobre conceptos básicos de cinemática y movimiento en una y dos dimensiones. Explica qué es una función, gráfica y movimiento rectilíneo uniforme. Luego, introduce conceptos como posición, velocidad, aceleración, trayectoria y sistemas de referencia para analizar el movimiento de partículas. Finalmente, presenta ecuaciones para describir el movimiento rectilíneo uniforme y acelerado en una y dos dimensiones.
Este documento presenta conceptos básicos de cinemática. Define sistema de referencia, posición, velocidad y aceleración para describir el movimiento. Explica los tipos de movimiento según variaciones en la velocidad y aceleración. Luego introduce el movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado, dando sus ecuaciones vectoriales y escalares de posición, velocidad y aceleración. Finalmente muestra representaciones gráficas de estas magnitudes.
1) El documento explica conceptos relacionados a vectores bidimensionales como ecuaciones paramétricas, curvas planas, notación y propiedades de vectores.
2) Se proporcionan ejemplos de cómo encontrar la recta tangente a partir de la ecuación paramétrica de una curva y de sumar y descomponer vectores.
3) Finalmente, se deja como tarea práctica realizar curvas paramétricas en GeoGebra y ejercicios de sumas y descomposición de vectores.
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El documento presenta una introducción a conceptos básicos de cinemática, incluyendo movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, movimientos en dos direcciones y movimientos circulares. Explica las ecuaciones que describen estos tipos de movimiento y provee ejemplos de gráficas correspondientes. También discute conceptos como alcance de un tiro y velocidad máxima en lanzamientos parabólicos.
El documento presenta una introducción a conceptos básicos de cinemática, incluyendo movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, movimientos en dos direcciones y movimientos circulares. Explica las ecuaciones que describen estos tipos de movimiento y provee ejemplos de gráficas correspondientes. También discute conceptos como alcance de un tiro y velocidad máxima en lanzamientos parabólicos.
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores y cálculo vectorial, incluyendo definiciones de vectores, operaciones con vectores, sistemas de coordenadas, derivación e integración vectorial, y operadores vectoriales como gradiente, divergencia y rotacional.
I. La velocidad de la partícula A cuando alcanza una altitud de 80m es 201.2461 m/s.
II. La aceleración de A en el eje x es 405 m/s2.
III. La aceleración normal de A es 362.243 m/s2.
IV. La aceleración tangencial de A es 181.1215 m/s2.
Este documento describe el movimiento de proyectiles. Explica que un proyectil se mueve bajo la influencia de la gravedad y que su movimiento puede descomponerse en componentes horizontales y verticales. También presenta ecuaciones para calcular la posición y velocidad de un proyectil en función del tiempo, la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento. Finalmente, incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo resolver problemas de movimiento de proyectiles.
Este documento describe el movimiento de proyectiles. Explica que un proyectil se mueve bajo la influencia de la gravedad y que su movimiento puede descomponerse en componentes horizontales y verticales. También presenta ejemplos numéricos para calcular la posición y velocidad de un proyectil en función del tiempo, dado su velocidad inicial y ángulo de lanzamiento.
Este documento proporciona una guía detallada de fórmulas y conceptos clave de cálculo diferencial e integral, incluyendo límites, derivadas, reglas de derivación para funciones algebraicas y trascendentales, identidades trigonométricas, propiedades de exponentes y logaritmos.
Este documento presenta el movimiento de proyectiles. Explica que un proyectil se mueve bajo la influencia de la gravedad y que su movimiento puede descomponerse en componentes horizontales y verticales. Proporciona ecuaciones para calcular la posición, velocidad, tiempo y otros parámetros del movimiento de proyectiles dados la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar estas ecuaciones para resolver problemas de movimiento de proyectiles.
Este documento contiene 11 problemas de álgebra trigonométrica que involucran cálculos con senos, cosenos y tangentes de ángulos compuestos y expresiones trigonométricas. Los problemas piden simplificar expresiones, calcular valores numéricos dados senos, cosenos o tangentes de ángulos específicos, determinar si ciertas identidades trigonométricas son verdaderas o falsas, y calcular un ángulo a partir de una gráfica.
Este documento contiene 11 problemas de álgebra trigonométrica que involucran cálculos con senos, cosenos y tangentes de ángulos compuestos y expresiones trigonométricas. Los problemas piden simplificar expresiones, calcular valores numéricos dados senos, cosenos o tangentes, determinar si ciertas identidades trigonométricas son verdaderas o falsas, y calcular ángulos dados gráficos o información geométrica.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinemática unidimensional. Explica las propiedades de los vectores y cómo se usan los vectores de posición, velocidad y aceleración para describir el movimiento. Luego, analiza diferentes tipos de movimiento unidimensional como el movimiento en reposo, a velocidad constante, acelerado y en caída libre, y presenta las ecuaciones de movimiento correspondientes a cada caso. Finalmente, resume los conceptos clave cubiertos en la clase.
Este documento presenta varios ejercicios sobre la representación y análisis de rectas. En el primer ejercicio, se pide representar rectas de la forma y = mx + b. En ejercicios posteriores, se analizan las pendientes, intersecciones y ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados o tienen pendientes especificadas. El documento concluye calculando pendientes de rectas que pasan por pares de puntos.
Este capítulo trata sobre la cinemática en dos dimensiones. Explica conceptos como posición, desplazamiento, distancia recorrida, velocidad media e instantánea, aceleración media e instantánea, y movimiento con aceleración constante. También cubre temas como caída libre, movimiento de proyectiles y movimiento circular uniforme.
El documento presenta tres ejercicios sobre vectores. En el primero, se demuestra que tres vectores dados (a, b, c) son ortogonales calculando su producto escalar. En el segundo, se determina mediante el producto mixto que un conjunto de tres vectores (u, v, w) es linealmente dependiente. En el tercero, se buscan los valores de n1 y n2 para que un vector z sea ortogonal a otros dos vectores a y b.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las rectas en el plano cartesiano, incluyendo las diferentes formas de representar una recta mediante una ecuación, el cálculo de pendientes, y las relaciones entre rectas paralelas y perpendiculares. Se explican conceptos como la pendiente, la ecuación punto-pendiente, la ecuación general, y las fórmulas para calcular distancias entre puntos y rectas. El documento concluye resumiendo los diferentes métodos para representar una recta analíticamente.
Este documento describe un experimento para analizar el movimiento uniformemente acelerado. El experimento utiliza un carril con cojín de aire para registrar la posición de un objeto en movimiento a intervalos regulares de tiempo. Los datos se analizan para determinar las relaciones entre la posición y el tiempo, la velocidad media y el tiempo, y la velocidad instantánea y el tiempo. El análisis muestra que la posición es proporcional al cuadrado del tiempo y que la velocidad es directamente proporcional al tiempo, lo que indica una aceler
1. El documento describe los procedimientos para reducir ángulos a su equivalente en el primer cuadrante, incluyendo ángulos mayores a 360°, menores que 0° y relacionados.
2. Se explican casos como descomponer ángulos entre 90° y 360° en la suma o resta de un ángulo cuadrante y uno agudo, o dividir ángulos mayores que 360° por ese valor.
3. También se definen las identidades trigonométricas para ángulos complementarios, suplementarios y de medida negativa que son útiles para real
El documento trata sobre la recta en geometría. Define las características de una recta como su ángulo de inclinación, pendiente y ecuación. Explica cómo calcular la pendiente entre dos puntos y la medida angular entre dos rectas. También describe el plano cartesiano, incluyendo los ejes de coordenadas y cuadrantes. Por último, detalla los diferentes tipos de ecuaciones de una recta en función de un punto, pendiente y ordenada al origen.
Este documento define y explica conceptos básicos sobre vectores. Explica que un vector es una magnitud física definida por módulo y dirección. Describe diferentes tipos de vectores como colineales, concurrentes y la resultante. También cubre operaciones con vectores como suma, resta, multiplicación por escalares y ejemplos de su aplicación.
Este documento presenta conceptos fundamentales de mecánica del movimiento en dos dimensiones, incluyendo desplazamiento, velocidad, aceleración, movimiento de proyectiles y movimiento circular. Explica cómo calcular estas cantidades usando ecuaciones vectoriales y cómo representar gráficamente las trayectorias. También incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta conceptos fundamentales de mecánica del movimiento en dos dimensiones, incluyendo desplazamiento, velocidad, aceleración, movimiento de proyectiles y movimiento circular. Explica cómo calcular estas cantidades usando ecuaciones vectoriales y cómo representar gráficamente las trayectorias. Incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS Unidad 2.DianaJulia10
Este documento describe el análisis cinemático de mecanismos, que incluye determinar las posiciones, velocidades y aceleraciones de las partes móviles de un mecanismo. Explica que primero se calculan las posiciones, luego las velocidades y finalmente las aceleraciones, usando incrementos pequeños de las variables de entrada. También cubre representaciones de vectores, análisis para casos donde la magnitud y orientación de un vector son variables o fijas, y ecuaciones cinemáticas para mecanismos de 4 barras y
Este documento presenta una introducción a la física para estudiantes de ingeniería. Brevemente describe por qué estudiar física y cómo contribuye al desarrollo tecnológico. Luego resume los temas básicos de cinemática que se abordarán, incluyendo descripciones del movimiento, sistemas de unidades, y conceptos como posición, desplazamiento, velocidad y movimiento rectilíneo uniforme.
I. La velocidad de la partícula A cuando alcanza una altitud de 80m es 201.2461 m/s.
II. La aceleración de A en el eje x es 405 m/s2.
III. La aceleración normal de A es 362.243 m/s2.
IV. La aceleración tangencial de A es 181.1215 m/s2.
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1. El documento describe los procedimientos para reducir ángulos a su equivalente en el primer cuadrante, incluyendo ángulos mayores a 360°, menores que 0° y relacionados.
2. Se explican casos como descomponer ángulos entre 90° y 360° en la suma o resta de un ángulo cuadrante y uno agudo, o dividir ángulos mayores que 360° por ese valor.
3. También se definen las identidades trigonométricas para ángulos complementarios, suplementarios y de medida negativa que son útiles para real
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ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS Unidad 2.DianaJulia10
Este documento describe el análisis cinemático de mecanismos, que incluye determinar las posiciones, velocidades y aceleraciones de las partes móviles de un mecanismo. Explica que primero se calculan las posiciones, luego las velocidades y finalmente las aceleraciones, usando incrementos pequeños de las variables de entrada. También cubre representaciones de vectores, análisis para casos donde la magnitud y orientación de un vector son variables o fijas, y ecuaciones cinemáticas para mecanismos de 4 barras y
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Similar a Matemáticas - Física de vectores para ingenieros (20)
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TIA portal Bloques PLC Siemens______.pdfArmandoSarco
Bloques con Tia Portal, El sistema de automatización proporciona distintos tipos de bloques donde se guardarán tanto el programa como los datos
correspondientes. Dependiendo de la exigencia del proceso el programa estará estructurado en diferentes bloques.
Presentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calorGerardoBracho3
Las aletas de transferencia de calor, también conocidas como superficies extendidas, son prolongaciones metálicas que se adhieren a una superficie sólida para aumentar su área superficial y, en consecuencia, mejorar la tasa de transferencia de calor entre la superficie y el fluido circundante.
Estilo Arquitectónico Ecléctico e Histórico, Roberto de la Roche.pdfElisaLen4
Un pequeño resumen de lo que fue el estilo arquitectónico Ecléctico, así como el estilo arquitectónico histórico, sus características, arquitectos reconocidos y edificaciones referenciales de dichas épocas.
1. Vectores
A
B
C
De aquí en adelante usaremos la siguiente notación para
indicar un vector: A, B y C (o sea, la letra en negrita)
Los vectores A, B y C tienen dos propiedades: magnitud y
dirección
|A| = magnitud del vector, que corresponde a la longitud de
la flecha que lo representa
5. Multiplicación de un vector por un escalar
( ) ¿Qué vectores y escalares físicos conocemos?
temperatura
viento
corriente marina
presión atmosférica
lluvia
6. Multiplicación de un vector por un escalar
A
2A
2A = A+A
Multiplicamos el vector
A por 2
7. x
y
x
y
r(t) = x(t) + y(t)ĵ
î
v
e
c
t
o
r
Este es un vector que tiene 2 componentes:
Una en el eje x y otra en el eje y
ĵ
î Vectores unitarios (tienen
magnitud igual a 1) que
indican la dirección y
sentido de la componente.
y
Notación vectorial (muy útil)
8. Es claro para ustedes que los ejes x e y son perpendiculares?
( )
O sea, son ortogonales
ĵ
î y
α
x
y
î
ĵ
¿Cuánto vale α?
9. x
y
r
y ĵ
xî
|r|2 = x2 + y2
Magnitud o módulo del vector r
α
x = |r| cos α
y = |r| sen α
tan α = y / x
OBS: en el caso del vector desplazamiento la
partícula está ahora en la punta de la flecha
11. x
y
∆r = rf - ri
ri
-2
3
rf
4
5
ri 3î 2 ĵ
= -
rf 5î 4 ĵ
= +
Sólo se suman o restan los valores
(longitudes) de un mismo eje
∆r = (5 - 3) + (4 + 2)
î ĵ
∆r = 2 + 6
î ĵ
∆r
2
6
12. Velocidad media en 2D
∆r
∆t
=
Vector desplazamiento
Intervalo de tiempo
=
∆r = (xf – xi ) + (yf – yi) ĵ
î
∆y ĵ
∆xî
∆r = +
Entonces la velocidad media puede escribirse como:
∆r
∆t
=
∆y ĵ
∆xî
+
∆t ∆t
=
v
v
13. =
∆x
∆t
=
vy
∆y
∆t
vx
Notemos que
En general
=
v ĵ
î
vx vy
+
Todo lo que vimos en movimiento rectilíneo (1D) se cumple
en el caso 2D... por componente!
En el caso del vector velocidad, ahora tiene rapidez
(magnitud) y dirección.
,
14. x
y
2. Necesitamos un
sistema de referencia
Representación de una
pista de carrera
1. Un auto recorre la
pista con una rapidez
uniforme de 30 m s-1
3. Calcular la velocidad
instantánea en las
posiciones 1, 2, 3 y 4
1
2
3
4
15. x
y 3. Calcular la velocidad instantánea en las
posiciones 1, 2, 3 y 4
=
v ĵ
î
vx vy
+
pistas: i) como la velocidad
del auto es uniforme, su
velocidad media e
instantánea son iguales. ii)
la velocidad instantánea es
tangente a la trayectoria del
auto.
1
En 1: =
v 30 m s-1 ĵ
=
v -30 m s-1 ĵ
En 2:
2
En 3:
3
En 4:
4
=
v -30 m s-1 î
=
v 30 m s-1 î
16. x
y
4. Si el auto tarda 40 s
en ir entre 1 y 3, cuya
separación es de 300 m,
¿cuál será su rapidez
media durante este
intervalo?
1
2
3
4
300 m
500
m
r1 0î 0 ĵ
= +
r2 150 î 500ˆj
= +
r3 300 î 0 ˆ
j
= +
r4 150 î 500ˆj
= -
1 punto
17. r1 0î 0 ĵ
= +
r2 150 î 500ˆj
= +
r3 300 î 0 ˆ
j
= +
r4 150 î 500ˆj
= -
=
∆x
∆t
=
vy
∆y
∆t
vx
ii. Podemos calcular también la
velocidad en cada componente
300 m
40 s
= = 7.5 m s-1
0 m
40 s
= = 0 m s-1
Luego
=
v ĵ
î
vx vy
+
=
v ĵ
î
7.5 0
+ m s-1
Entre 1 y 3 se movió con una
rapidez media de 7.5 m s-1
∆r = (xf – xi ) + (yf – yi) ĵ
î
i. Calculemos el desplazamiento:
|r|2 = x2 + y2
∆r = (300–0) + (0 – 0) ĵ
î
∆x ∆y
pero
2 2
300 0
+
|r| = = 300 m
|∆r|
∆t
=
|v|
300 m
40 s
= = 7.5 m s-1
18. 5. ¿y la velocidad media
entre 1 y 2? ∆t=20 s
r1 0î 0 ĵ
= +
r2 150 î 500ˆj
= +
r3 300 î 0 ˆ
j
= +
r4 150 î 500ˆj
= -
∆r = (150–0) + (500 – 0) ĵ
î
∆x ∆y
=
∆x
∆t
=
vy
∆y
∆t
vx
300 m
20 s
= = 15 m s-1
500 m
20 s
= = 25 m s-1
Luego
=
v ĵ
î
vx vy
+
=
v ĵ
î
15 25
+ m s-1
|v|2 = vx
2 + vy
2
También se cumple que
|v| = 29.1 m s-1
19. Aceleración en 2D
En notación vectorial la aceleración de un vector se escribe
como:
=
a
En general
=
a ĵ
î
ax ay
+
=
∆vx
∆t
=
ay
∆vy
∆t
ax
(vfx – vix ) (vfy – viy) ˆj
î
∆t ∆t
+
∆v
∆t
=
a
donde ,
20. x
y
1
3
¿Calcular la aceleración entre 1 y 3?
∆t ∆t
=
v1 30 m s-1 ĵ
=
v3 -30 m s-1 ĵ
=
a
(vfx - vix ) (vfy - viy) ˆj
î
+
∆t = 40 s
=
a
(0 - 0 ) (-30 - 30) ˆj
î
∆t ∆t
+
0 - 60 m s-1
40 s
î ˆj
=
a
0 - 1.5 m s-2
î ˆj
=
a
21. x
y
1
3
¿Calcular la aceleración entre 1 y 3?
0 - 1.5 m s-2
î ˆj
=
a
Por lo tanto, la aceleración media
entre 1 y 3 es de –1.5 m s-2 y se
dirige en - (hacia abajo en la
figura)
ˆj
Existe aceleración, pues hay cambio de
dirección del vector velocidad. Es fácil
verlo si nos damos cuenta que ese
cambio se observa en las componentes...
v1
v3
v3 - v1
a
22. Esta curva representa la trayectoria
seguida por una partícula. En el
instante t1 el vector velocidad es v1 y
en t2 el vector velocidad es v2. Son
vectores tangentes a la trayectoria.
v1
v2 = v1 + ∆v
v
2
=
v
1
+
∆
v v1
∆v
a
∆v
∆t
=
23. x = xi + vix ∆t + ½ aox ∆t2
Modelo de movimiento con aceleración uniforme en 2D
y = yi + viy ∆t + ½ aoy ∆t2
vx = vix + aox ∆t
vy = viy + aoy ∆t
¿Esto les
parece
complicado?
24. Proyectiles
Si consideramos despreciable la resistencia del aire (al igual que
en el caso de caída libre), el movimiento de un proyectil sólo se
ve influido por la aceleración de gravedad g
y
x
1 punto
vx
vy
¿qué componente del
vector velocidad es
función del tiempo?
¿cuál no?
25. Luego
aox = 0 No hay aceleración en la horizontal
aoy = −g En la vertical actúa la aceleración de gravedad
x = xi + vox ∆t
y = yi + viy ∆t - ½ g ∆t2
vx = vox
vy = viy - g ∆t
26. Una bala dejada caer desde
el reposo y una proyectada
hacia delante caen al
mismo tiempo.
27. Distancia horizonal o alcance del proyectil
y
x
alcance
alcance
El alcance (R) es el punto en la
horizontal donde el proyectil toca el
suelo.
alcance
Por simplicidad (lo que quiere decir que ustedes
necesitan conocer los conceptos básicos y saber
resolver problemas clásicos de mecánica), sólo
veremos el caso cuando yi está a nivel del suelo
(curva roja en la figura).
28. y
x
alcance
α
viy = |vi| senα
vox = |vi| cosα
y = yi + viy ∆t - ½ g ∆t2 (1)
x = xi + vox ∆t (2)
∆y = |vi| senα ∆t - ½ g ∆t2
(1) se puede reescribir como
Cuando el proyectil toque nuevamente el suelo ∆y = 0, por
lo que (1) queda como
0 = (|vi| senα - ½ g ∆t) ∆t
R = ∆x = x - xi
29. Como ∆t no puede ser igual a cero (luego que recorrió el alcance
R), la ecuación anterior queda como
0 = |vi| senα - ½ g ∆t
2 |vi| senα = g ∆t
∆t = 2 |vi| senα / g vox = |vi| cosα
Recordar que
Se sustituye en (2) x = xi + vox ∆t
∆x = vox ∆t
∆x = |vi| cosα 2 |vi| senα / g
R = |vi|2 sen2α / g
sen2α
∆x = |vi|2 2 cosα senα / g
30. Se da un puntapié a una pelota desde el suelo con una velocidad de
25 m s-1 y un ángulo de 30° con respecto al suelo (horizontal):
a) ¿Cuándo se alcanza la altura máxima?, b) ¿En que posición se
encuentra en ese instante?, c) ¿Cuál es el alcance R?
a) Cuando la altura es máxima, vy es igual a cero
vy = viy - g ∆t
viy = |vi| senα
vy = |vi| senα - g ∆t
vy = 0
|vi| = 25 m s-1
∆t = |vi| senα / g
sen(30°)= 0.5
Por lo tanto ∆t = 1,28 s
g = 9,8 m s-2
31. b) Cuando se pide la posición... ¿qué se está pidiendo?
ymax = yi + viy ∆t - ½ g ∆t2
|vi| = 25 m s-1
sen(30°)= 0.5
g = 9,8 m s-2
viy = |vi| senα
ymax = yi + |vi| senα ∆t - ½ g ∆t2
yi = 0 m
∆t = 1,28 s
ymax = 0 + (25) (0,5) (1,28) – (½) (9,8) (1,28)2
En y:
= 7,97 m
ymax = 7,97 m
32. En x:
x = xi + vox ∆t
vox = |vi| cosα
x = xi + |vi| cosα ∆t
|vi| = 25 m s-1
cos(30°)= 0,866
xi = 0 m
∆t = 1,28 s
xa mitad de camino = 0 + (25) (0,866) (1,28)
xa mitad de camino = 27,6 m
33. x
r = ĵ
î
xa mitad de camino +
xa mitad de camino
ymax
Respuesta en notación vectorial
ymax
Cuando alcanza la altura máxima, el proyectil se
encuentra en el vector posición:
r = ĵ
î
27,6 + 7,97 m
34. R = |vi|2 sen2α / g
c) El alcance del proyectil es
|vi| = 25 m s-1
sen(60°)= 0,866
g = 9,8 m s-2
R = (25)2 (0,866) / 9,8
R = 55,2 m