Uni Ingreso escolar 2024

1. Prof. Manuel Hiromoto H 2
MOVIMIENTO EN UNA
DIMENSIÓN
PREUNIVERSITARIO
2021-2

2. Función f(x)
Se dice que una cantidad física (A) está en función de otra cantidad física (B)
denominada variable, cuando el valor de A es determinado por el valor de B.
La notación es: A = A(B)  se lee: A es una función de B.
Grafica
Representa la relación funcional entre dos cantidades físicas.
Ejemplo:
Lanzamos una piedra en la vertical hacia arriba con una velocidad inicial de
30 m/s, registramos la posición (en m) y la velocidad (en m/s) para cada
segundo.

3. Y
T Y V
0 30
1 20
2 10
3 0
4 -10
5 -20
6 -30
DATOS
EXPERIMENTALES
T: tiempo (s)
V: velocidad (m/s)
1 2 3 4 5 6
V(m/s)
t(s)
30
20
10
0
-10
-20
-30







Función lineal: V(t)
La Recta

4. Función lineal => La recta
𝒀
𝑿
𝟎
Y(X)

Y(X) = mx + b = Y
intercepto
Pendiente
m =
∆𝒚
∆𝒙
b
 𝑃1(𝑥1,𝑦1)

𝑃2(𝑥2,𝑦2)
∆𝒚 =𝑦1-𝑦2
∆𝒙 = 𝑥1 − 𝑥2
m =
∆𝒚
∆𝒙
=> m =
𝒚𝟏−𝒚𝟐
𝒙𝟏−𝒙𝟐

5. Y
T Y V
0 0
1 25
2 40
3 45
4 40
5 25
6 0
DATOS
EXPERIMENTALES
T: tiempo (s)
Y: posición (m)
 
 

45
40
25
0
1 2 3 4 5 6


Y(m)
t(s)
Función cuadrática: Y(t)
La Parábola
y = voxt −
𝟏
𝟐
g𝒕𝟐

7. RESOLUCIÓN:
CLAVE:
PROBLEMA: 29
Y = mx + b
Rectas perpendiculares: (𝒎𝟏)(𝒎𝟐)= −𝟏
(𝒎𝟏)(𝒎𝟐)= −𝟏 ⇒
𝟒
𝟑
𝒎𝟐 = −𝟏 ⇒ 𝒎𝟐= -
𝟑
𝟒
Y = mx + b => (3, 4) => 4 = (-
𝟑
𝟒
) 𝟑 + 𝐛 ⇒ 𝐛 =
𝟐𝟓
𝟒
Y = mx + b => Y = -
𝟑
𝟒
x +
𝟐𝟓
𝟒
Y = -
𝟑
𝟒
x +
𝟐𝟓
𝟒

8. Función cuadrática => La parábola
𝐲 – 𝐤 = 𝐜 (𝐱 – 𝐡)𝟐
Vértice: 𝑽(h.k)
Vértice: 𝑽(h.k)
𝒄 ≠ 𝟎
𝐲 = 𝐚 + 𝐛𝐱 + 𝐜 𝐱 𝟐

9. RESOLUCIÓN:
PROBLEMA: 30
De la ecuación de la parábola,
completamos cuadrados:
𝑦 = −2𝑥2 + 12𝑥 − 14
𝑦 = −2 𝑥2
− 6𝑥 + 9 + 4
𝑦 = −2 𝑥 − 3 2 + 4
𝑦 − 4 = −2 𝑥 − 3 2
Vértice: (3,4)
Vértice: (3,4)
Hallando la pendiente
de la recta
𝑚 =
4 − 0
3 − 8
= −
4
5
𝑦 − 4
𝑥 − 3
=
−4
5
5𝑦 − 20 = −4𝑥 + 12
5𝑦 = −4𝑥 + 32
𝑦 = −0,8𝑥 + 6,4

P(X,Y)

𝐲 – 𝐤 = 𝐜 (𝐱 – 𝐡)𝟐
𝑦 = −2𝑥2
+ 12𝑥 − 14 − 4 + 4
𝑦 = −2𝑥2
+ 12𝑥 − 18 + 4

11. RESOLUCIÓN:
CLAVE:
PROBLEMA: 31
(8, 0)
(-8, 0)
V(0, 10)
Ecuación de la parábola: y – k = c(x – h )𝟐
V(0, 10) => y – 10 = c(x – 0 )𝟐
=> y – 10 = c𝒙𝟐
P(8, 0) => 0 – 10 = c(8)𝟐
=> c = -
𝟓
𝟑𝟐
y – 10 = c𝒙𝟐 ⇒ 𝒚 = 𝟏𝟎 −
𝟓
𝟑𝟐
𝒙𝟐
y = -
𝟓
𝟒
x + 10
Ecuación de la recta: Y = mx + b

12. LA MECANICA
Cinemática
Estudia al movimiento sin sus causas.
Estática
Estudia las causas del reposo y del M.R.U.
Dinámica
Estudia las causas de los movimientos diferentes al M.R.U.

14. ¿Qué es el
movimiento?

20. CINEMATICA
Movimiento: Es el cambio de posición que un cuerpo (móvil)
experimenta respecto de otro cuerpo (sistema de referencia).
¿Trayectoria de la manzana,
respecto de A?
¿Trayectoria de la manzana,
respecto de B?
“A” Lanza respecto de él en la vertical,
una manzana.

21. B
La manzana desarrolla una trayectoria rectilínea, respecto de “A”.
Trayectoria: El la línea o lugar geométrico que el móvil desarrolla al
moverse, esta es relativa al sistema de referencia.
La manzana desarrolla una trayectoria parabólica, respecto de “B”.
B

22. 𝐫𝐨
𝐫
𝐭𝐨
t
Cinemática de una partícula
Partícula: Es aquel cuerpo que solo puede
experimentar movimientos de traslación, no rota
, no vibra.
Posición inicial: 𝒓𝒐 ; 𝒕𝒐
Posición final: 𝒓; ; t
Desplazamiento: ∆𝒓 = 𝒓 - 𝒓𝒐
Intervalo de tiempo: ∆𝒕 = 𝒕 − 𝒕𝒐
Longitud recorrida: ∆𝑺
Sistema de
referencia

23. 𝒓𝐨
𝒓
∆𝒓
to
t
𝒓𝐨
𝒓
to
t
Sistema de
referencia Sistema de
referencia

24. 𝒓𝐨
𝒓
∆S
to
t
∆𝒓
d
d
Sistema de referencia

25. 𝒓𝐨
𝒓
∆𝒗= 𝒗 - 𝒗𝐨
- 𝒗𝐨
𝒗
to
t
𝒗𝐨
𝒗
𝒗 − 𝒗𝐨

26. Sistema de
referencia
𝒓𝐨
𝒓
to
t
𝒗𝐨
𝒗 𝑔

27. RESOLUCIÓN:
PROBLEMA: 34
I. VERDADERO.
II. FALSO.
III. FALSO.
CLAVE: E

28. RESOLUCIÓN:
PROBLEMA: 42
𝒂𝒎(𝑫𝑬) =
𝝅
𝟐
𝒋 −
𝝅
𝟐
𝒊
𝟏𝟎
=
𝝅
𝟐𝟎
−𝒊 + 𝒋 𝒎/𝒔𝟐
I.
FALS
O
II.
FALS
O
III. FALSO.
∆𝒓𝑩𝑫
20𝑖
-20𝑗
(𝒗𝒎)𝑨𝑬=
∆𝑺
∆𝒕
=
𝟐𝝅(𝟏𝟎)
𝟒𝟎
=
𝝅
𝟐
𝒎/𝒔
⇒ ∆𝒓𝑩𝑫 = 20𝑖 -20𝑗 m/s
=> 𝒗𝒎(𝑪𝑫) =
𝟏𝟎𝒊−𝟏𝟎𝒋
𝟏𝟎
= 𝒊 − 𝒋 𝒎/𝒔
𝒂𝒎(𝑫𝑬) =
𝒗𝑬 − 𝒗𝑫
𝒕𝑬 − 𝒕𝑫
𝒗𝑫=
𝝅
𝟐
𝒊 𝒎/𝒔
𝒗𝑬 =
𝝅
𝟐
𝒋 𝒎/𝒔
∆𝒓𝑩𝑫

29. RESOLUCIÓN:
PROBLEMA: 45
𝒂𝒎(𝑨𝑩) =
𝒗𝑩−𝒗𝑨
𝒕𝑩−𝒕𝑨
=> 𝒂𝒎(𝑨𝑩) =
𝟐𝟎𝒊−(𝟐𝟎𝒊+𝟒𝟎𝒋)
𝟒 − 𝟎
= -10𝒋 𝒎/𝒔𝟐
𝒂𝒎(𝑨𝑩) = -10𝒋 𝒎/𝒔𝟐
𝒗𝑪 = 20𝒊 − 10𝒋 𝐦/𝐬
𝒗𝑪 = 𝒗𝑩 + 𝒂𝒕 ⇒ 𝒗𝑪 =20𝒊 + (−10𝒋)(1)

30. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Movimiento que una partícula experimenta cuando su trayectoria
es una recta.
Movimiento que una partícula experimenta cuando su velocidad es
constante.

31. 0 𝒓
x
Δx
xo
X(m)
y (m)
𝒓o Δ𝒓

32. a(m/s2)
t(s) t(s) t(s)
v(m/s) x(m)
a(t) = 0
v(t) = vo
x = xo + vo t
La velocidad es constante
Área = desplazamiento
x=Área
vo
t
xo
t
x
t
La la pendiente es la
velocidad

33. RESOLUCIÓN:
PROBLEMA: 49
I. FALSO
II. VERDADERO.
III. FALSO.
𝒙𝑨/𝑩 = 𝒙𝑨 − 𝒙𝑩 ⇒ 𝒙𝑨/𝑩 = 10 – (-2) = 12 m
𝑥𝐴 = 10 −
10
20
𝑡 ⇒ 𝑥𝐴 = 10 − 0,5𝑡
𝑥𝐵 = −2 +
2
2
𝑡 ⇒ 𝑥𝐵 = −2 + 𝑡
𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 ⇒ 10 − 0,5𝑡 = −2 + 𝑡 ⇒ 𝑡 = 8 𝑠
𝑥𝐴 = 10 − 0,5𝑥8 = 6 𝑚
𝑥𝐵 = −2 + 8 = 6 − 0,5𝑥8 = 6 𝑚

34. RESOLUCIÓN:
PROBLEMA: 50
𝒓 = 𝒓𝐨 + 𝒗𝒐(𝒕 - t𝐨)
𝟒
𝟓
𝒊 +
𝟏𝟐
𝟓
𝒋 =
𝟏𝟔
𝟓
𝒊 +
𝟑
𝟓
𝒋 + 𝒗𝒐(𝟒 - 1)
−
𝟏𝟐
𝟓
𝒊 +
𝟗
𝟓
𝒋 = + 3𝒗𝒐
𝒗𝒐 = −
4
𝟓
𝒊 +
3
𝟓
𝒋 𝑚/𝑠
X(m)
𝒗𝒐 = −
4
𝟓
𝒊 +
3
𝟓
𝒋 𝑚/𝑠
37° 143°
𝒗𝒐

35. Movimiento que una partícula experimenta cuando su velocidad
aumenta o disminuye linealmente con el tiempo, su aceleración
constante es colineal con la velocidad.
𝒗 − 𝒗𝐨
𝒗 = 𝒗𝐨
Ejemplo:

36. Ecuaciones de el MRUV
v 
vo 
t
0
v = vo + at
Área: x
Pendiente => a =
∆𝒗
∆𝒕
Área => x =
𝒗 +𝒗𝒐
𝟐
 𝐭 ⇒
∆𝒙
𝒕
=
𝒗+ 𝒗𝒐
𝟐
x =
𝒗 +𝒗𝒐
𝟐
 𝐭 => x – xo = vo + at + vo
𝟐
 t
x = xo + vot +
𝟏
𝟐
a𝒕𝟐
2x = (𝒗 + 𝒗𝒐 ) (
𝒗 − 𝒗𝒐
𝒂
) => 2xa = 𝒗𝟐 − 𝒗𝒐
𝟐 => 𝒗𝟐 = 𝒗𝒐
𝟐 + 2xa
V(m/s)
t(s)
v
t
[I]
[II]
[de I y II]
De (I) => t =
𝒗 − 𝒗𝒐
𝒂
;
V(t)
[III]
[IV]
de (II) => 2∆𝒙 = = (𝒗 + 𝒗𝒐) t

37. Movimiento en dos dimensiones con
aceleración constante
Ecuaciones vectoriales Proyecciones o componentes en x e y
x = xo + voxt +
𝟏
𝟐
ax𝐭𝟐
𝒗 = 𝒗𝒐 + 𝒂 t
x =
𝐯𝐱
+𝒗𝒐𝒙
𝟐
𝐭
𝒗𝟐
= 𝒗𝒐
𝟐
+ 2𝒙𝒂
y = yo + voyt +
𝟏
𝟐
ay𝐭𝟐
𝒓 = 𝒓o + vot +
𝟏
𝟐
𝒂𝒕𝟐
𝒓 =
𝒗+𝒗𝒐
𝟐
t
𝐯𝐱
𝟐
= 𝐯𝐨𝐱
𝟐
+ 2∆𝐱. 𝐚𝐱
𝐯𝐲= 𝐯𝐨𝐲 + 𝐚𝐲 t
𝐯𝐲
𝟐
= 𝐯𝐨𝐲
𝟐
+ 2∆𝐲. 𝐚𝐲
y =
𝐯𝐲 +𝒗𝒐𝒚
𝟐
𝐭
𝐯𝐱= 𝐯𝐨𝐱 + 𝐚𝐱 t

38. Grafica a(t) y v(t) en el MRUV
a(m/s2)
t(s)
a(t)
V(m/s)
t(s)
v(t)
t
vo
v
v = 𝑣𝑜 + at
Pendiente => a =
∆𝒗
∆𝒕
Área => x =
𝒗 +𝒗𝒐
𝟐
 𝐭
x=Área
v
t

39. Grafica: x(t),en el MRUV
t(s)
●
●
●
●
●
●
● ● ● ● ●
●
●
●
●
●
●
●
x(
m
)
x = vo t +
𝟏
𝟐
a𝒕𝟐
x = vot −
𝟏
𝟐
a𝒕𝟐
●
t
Tangente en ¨t¨
La pendiente de la tangente en
¨t¨, es la velocidad instantánea.
     







40. RESOLUCIÓN:
PROBLEMA: 38
CLAVE: E
I. VERDADERO
II. VERDADERO
III. FALSO.
(0,10) (4,10)



(𝑣𝑚)𝐴𝐸=
∆𝑆
∆𝑡
=
10+10+10+10
4−0
=
𝟏𝟎
𝟐
𝒎/𝒔
𝒂𝒎(𝑫𝑬) =
∆𝒗
∆𝒕
⇒ 𝒂𝒎 ∥ ∆𝒗 → 𝒂𝒎 ∥ 𝒊 − −𝒊 ∥ (𝒊)
𝒗𝒎 =
∆𝒙
∆𝒕
=
𝟎−𝟏𝟎𝒊
𝟎−𝟐
= −𝟓𝒊 𝒎/𝒔

41. RESOLUCIÓN:
PROBLEMA: 54
CLAVE: D
x = xo + voxt +
𝟏
𝟐
ax𝐭𝟐
I. VERDADERO.
II. FALSO.
III. FALSO.
t = 5 s => 𝒗𝟏 > 𝒗𝟐
[𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆]
𝒕𝒐 = 0 s => 𝒙𝟎𝟐 > 𝒗𝟎𝟏
𝒄𝟏 > 𝒄𝟐

42. RESOLUCIÓN:
PROBLEMA: 52
∆x = voxt +
𝟏
𝟐
ax𝐭𝟐
𝟏𝟎𝟗𝟎 =
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎−𝟏𝟎𝟗𝟎
𝟐𝟕
(3) +
𝟏
𝟐
ax(𝟑)𝟐
𝟏𝟎𝟗𝟎 = 990 + 4,5a => a = 22,2 m/𝒔𝟐
a = 22,2 m/𝒔𝟐

44. Movimiento que una partícula
experimenta cuando es sometida
únicamente a la acción de la
gravedad del planeta en las
inmediaciones de su superficie, si
tiene una trayectoria vertical este es
un MRUV.
MOVIMIENTO DE
CAIDA LIBRE

46. Caída libre es un caso muy particular del MRUV, respecto de la Tierra (sistema
de referencia).
Para su desarrollo haremos uso de un sistema coordenado, para definir las
cantidades físicas: posición, velocidad y aceleración, cuyos signos dependerán
de tal sistema.
Y(m)
0
vf
2 = vi
2 + 2yg
Ecuaciones
yf = yi + vo t + ½ g t2
∆𝐲
𝐭
=
𝐯𝐟 + 𝐯𝐢
𝟐
𝐯𝐟 = 𝐯𝐢 + ´g t

47. 1 2 3 4 5 6
V(m/s)
t(s)
30
20
10
0
-10
-20
-30







 
 

45
40
25
0
1 2 3 4 5 6


Y(m)
t(s)
Función cuadrática: Y(t)
y = 𝐯𝐨𝐭 −
𝟏
𝟐
𝐠𝐭𝟐
Función lineal: v(t)
𝐯 = 𝐯𝐨 − 𝐠𝐭

48. Las piedras A y B son disparadas v
simultáneamente en la vertical, A
hacia arriba y B hacia abajo.
Determine las graficas Y(t) para los
cuerpo en movimiento.
        
Y(m)
t(s)
A
B
        
v(m/s)
t(s)
A
B

A B





 






49. RESOLUCIÓN:
PROBLEMA: 57
𝒗𝒄 = 𝟏𝟎𝒕
Altura de la caída: H =
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐
Entre (b) y (c):
∆𝒚
∆𝒕
=
𝒗𝒃 + 𝒗𝒄
𝟐
𝟓
𝟎, 𝟐
=
𝟏𝟎(𝒕 − 𝟎, 𝟐) + 𝟏𝟎𝒕
𝟐
50 = 20t – 2 => t = 2,6 s
Altura de la caída: H =
𝟏
𝟐
(𝟏𝟎)(𝟐, 𝟔)𝟐
H = 33,8 m
CLAVE: D
a
b
c
H
5 m
𝒗𝒂 = 𝟎
𝒗𝒃 = 𝟏𝟎(𝒕 − 𝟎, 𝟐)

50. RESOLUCIÓN:
PROBLEMA: 59
yf = yi + vo t + ½ g t2
H = 20 + 30x10 + ½ (-3) 102
H = 20 + 300 - 150
H = 170 m
vf
2 = vi
2 + 2yg
vf
2 = 302 + 2(0 - 20)(-3)
vf =± 𝟏𝟎𝟐𝟎 =±𝟑𝟏, 𝟗𝟑 𝒎
vf = 𝟑𝟏, 𝟗𝟑 𝒎
20 m
H
h En el grafico: 𝒗𝒐 = 𝟑𝟎
𝒎
𝒔
; 𝒈 = −𝟑 𝒎/𝒔𝟐
30 m/s