Capítulo 1, cinemática I. Movimiento en una dimensión. IFU UdeC.

1. Capítulo 04
Cinemática en Dos Dimensiones

2. Contenido
● Posición
● Desplazamiento y distancia recorrida
● Velocidad y rapidez media
● Velocidad y rapidez instantánea
● Aceleración media e instantánea
● Movimiento con aceleración constante
● Movimientos Unidimensionales
● Caída Libre
● Movimiento de Proyectiles
● Movimiento Circunferencial Uniforme

3. Posición
ˆ ˆ ˆ
r = xi + yj + zk
y
Módulo:
r
x
r = r = x2 + y 2 + z 2
z

4. Desplazamiento
Δr ≡ r f − ri
trayectoria
distancia recorrida
Δs
vector
desplazamiento
Δr
ri
rf

5. Desplazamiento
Δ r = r f − ri
Si: ri = x i i + y i ˆ + z i k
ˆ j ˆ y rf = x f i + y f ˆ + z f k
ˆ j ˆ
Entonces:
Δr = ( ) ( )
x f − xi i + y f − yi ˆ + z f − zi k
ˆ j ˆ ( )
Δr = ( Δx ) i + ( Δy ) ˆ + ( Δz ) k
ˆ j ˆ
Magnitud del vector desplazamiento:
(x ) +(y ) +(z )
2 2 2
Δr = f − xi f − yi f − zi

6. En general:
Magnitud del vector distancia
desplazamiento recorrida
Ejemplo:
En un año la Tierra gira en torno al Sol ...

7. Velocidad Media
Δr r f − ri
<v> ≡ =
Δt t f − ti
[ Δr ] = L = m
[ < v > ] = Δt T s
<v> [ ]
Δr

8. Velocidad Media
Δr r f − ri
<v> = =
Δt t f − ti
Si: ri = xi i + yi ˆ + zi k
ˆ j ˆ y rf = x f i + y f ˆ + z f k
ˆ j ˆ
Entonces:
<v> =
(x f − xi ) iˆ + ( y f − yi ) ˆj + ( z f − zi ) kˆ
t f − ti t f − ti t f − ti
Δx ˆ Δy ˆ Δz ˆ
<v> = i+ j+ k
Δt Δt Δt
< v > = < vx > i+ < v y > ˆ < v z > k
ˆ j+ ˆ
“Componente y de la velocidad media”
= “velocidad media en el eje y”

9. Ejemplo: Calcule el desplazamiento y la velocidad
media, si el intervalo de tiempo entre las dos
posiciones es Δt = 10 s y las posiciones están
medidas en metros.

10. Velocidad Instantánea
Δr r f − ri
v ( t ) = v inst ≡ lim = lim
Δt → 0 Δt Δt → 0 t f − t i
recta
tangente
[d r ] = L m
[v ] = dt =
[ ] T s

11. Velocidad Instantánea
Δr dr
v ( t ) = lim =
Δt → 0 Δt dt
⎡ Δx ˆ Δy ˆ Δz ˆ ⎤
v ( t ) = lim ⎢ i+ j+ k⎥
Δt → 0 ⎣ Δt Δt Δt ⎦
⎡ Δx ⎤ ˆ ⎡ Δy ⎤ ˆ ⎡ Δz ⎤ ˆ
v ( t ) = ⎢ lim ⎥ i + ⎢ lim0 Δt ⎥ j + ⎢ lim0 Δt ⎥ k
⎣ Δt → 0 Δt ⎦ ⎣ Δt → ⎦ ⎣ Δt → ⎦
⎡ dx ⎤ ˆ ⎡ dy ⎤ ˆ ⎡ dz ⎤ ˆ
v (t ) = ⎢ ⎥ i + ⎢ ⎥ j + ⎢ ⎥ k
⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦
v (t ) = v x i + v y ˆ + vz k
ˆ j ˆ

12. Ejemplo: Considere un automóvil moviéndose en línea recta ...
En este caso tendremos que:
r = x(t) i
ˆ x
42
Suponga, además, que el auto se 36
mueve de acuerdo a la siguiente 30
ecuación de itinerario: 24
18
r (t ) = 3t 2i
ˆ 12
6
con t en segundos y x en metros 0 1 2 3 4 t
¿Cuánto vale la velocidad instantánea cuando t = 3 s?

13. Desplazamiento y velocidad media
para diferentes intervalos de tiempo.
ˆ
r ( t ) = 3t 2 i
(los intervalos comienzan en t = 3 s)
Δt(s) Δr ( m ) < v > (m / s)
x
1,00 21,00 i 21,00 i
42
0,50 9,75 i 19,50 i 36
30
0,25 4,69 i 18,80 i
24
0,10 1,83 i 18,30 i 18
12
0,05 0,9075 i 18,15 i
6
0,1803 i 18,03 i
0,01
1 2 3 4 t
0,001 0,018003 i 18,003 i
pendiente de la
Por ejemplo, para Δt = 0,01s: tangente en t =3s
Δr = r f − ri = x ( 3s + 0,01s ) i − x ( 3s ) i
ˆ ˆ
Δr = 3 ( 3,01) mi
ˆ − 3 ( 3 ) 2 mi = ( 27,1803m − 27m ) i = 0,1803mi
ˆ ˆ ˆ
2

14. Cálculo analítico del límite
ˆ
r ( t ) = 3t 2 i
Entonces:
Δ r = r f − ri = r ( t + Δ t ) − r ( t )
Δ r = 3 (t + Δt ) i − 3t 2i
ˆ ˆ
2
Δ r = ⎡ 3 ( t 2 + 2 tΔ t + Δ t 2 ) − 3 t 2 ⎤ i
⎣ ⎦
ˆ
Δ r = ⎡ 6 tΔ t + 3 Δ t 2 ⎤ iˆ
⎣ ⎦
Dividiendo por Δt, se tiene:
Δr
Δt
= [ 6 t + 3 Δ t ]iˆ
Por lo tanto:
Δr
v (t ) = lim ˆ
= 6t i
Δt → 0 Δ t

15. Resumiendo, si:
r ( t ) = 3t i
2ˆ
Entonces:
v ( t ) = 6t i
ˆ
“Ruta corta”:
¡ DERIVAR !
d d 2
dt
( 3t ) = 3 dt ( t ) = 3 ( 2 ⋅ t ) = 6t
2

16. Algunas derivadas útiles
df
f (t )
dt
α 0
tn n t n−1
s in ( t ) co s ( t )
cos (t ) − s in ( t )
dg dh
g (t ) + h (t ) +
dt dt
dg dh
g (t )⋅ h (t ) ⋅ h (t ) + g (t )⋅
dt dt
dg dh
g ( h ( t )) ⋅
dh dt

17. Rapidez
La rapidez se define como el módulo del vector velocidad.
v≡ v = v x + v 2 + v z2
2
y
Por lo tanto, la rapidez no es un vector,
es un escalar.
v= v ⋅v

18. Aceleración Media
Δv v f − v i
<a> ≡ =
Δt Δt
y
vf
x
v
vi vf <a>
vi

19. Aceleración Media
Δv v f − vi
<a> = =
Δt Δt
Si: v i = v xi i + v yi ˆ + v zi k
ˆ j ˆ y v f = v xf i + v yf ˆ + v zf k
ˆ j ˆ
Entonces:
<a > =
(v xf − v xi ) iˆ + ( v yf − v yi ) ˆj + ( v zf − v zi ) kˆ
t f − ti t f − ti t f − ti
Δv x ˆ Δv y ˆ Δv z ˆ
<a> = i+ j+ k
Δt Δt Δt
< a > = < a x > i+ < a y > ˆ < a z > k
ˆ j+ ˆ
“Componente y de la aceleración media” =
“aceleración media en el eje y”

20. Aceleración Instantánea
Δv v f − vi
a ( t ) = a inst ≡ lim = lim
Δt → 0 Δ t Δt → 0 Δt
vi vi
vf v <a>
vf
ri
rf

21. Aceleración Instantánea

22. Aceleración Instantánea
Δv dv
a ( t ) = lim =
Δt → 0 Δt dt
⎡ Δv x ˆ Δv y ˆ Δvz ˆ ⎤
a ( t ) = lim ⎢ i+ j+ k⎥
Δt → 0 ⎣ Δ t Δt Δt ⎦
⎡ Δv x ⎤ ˆ ⎡ Δv y ⎤ ˆ ⎡ Δvz ⎤ ˆ
a ( t ) = ⎢ lim ⎥i + ⎢ lim ⎥ j + ⎢ lim ⎥k
⎣ Δt → 0 Δ t ⎦ ⎣ Δt → 0 Δ t ⎦ ⎣ Δt → 0 Δ t ⎦
⎡ dv x ⎤ ˆ ⎡ dv y ⎤ ˆ ⎡ dvz ⎤ ˆ
a (t ) = ⎢ ⎥ i + ⎢ dt ⎥ j + ⎢ dt ⎥ k
⎣ dt ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
a (t ) = a x i + a y ˆ + azk
ˆ j ˆ
Como:
dr d ⎛ dr ⎞ d 2 r
v (t ) = ⇒ a (t ) = ⎜ dt ⎟ ≡ dt 2
dt dt ⎝ ⎠

23. Caso particular: Movimiento Rectilíneo
ˆ
r = x ( t )i ˆ
v = v x ( t )i ˆ
a = a x ( t )i
dx dv x d 2 x
v x (t ) = a x (t ) = =
dt dt dt 2

24. Movimiento Rectilíneo Uniforme
x x x
vx vx vx
ax ax ax

25. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
v(t) = pendiente de la tangente en t

26. Ejemplo: Δt = 1s
mˆ mˆ mˆ mˆ
v ( t i ) = +2
s
i ( )
v t f = +4
s
i v ( t i ) = +4
s
i ( )
v t f = +2
s
i
mˆ mˆ
a x = +2 2
i a x = −2 2
i
s s
mˆ mˆ
v ( ti ) = −2
s
i ( )
v t f = −1 i
s
v ( ti ) = −2
mˆ
s
i ( ) mˆ
v t f = −3 i
s
mˆ m ˆ
a x = +1 2 i a x = −1 2 i
s s

28. Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)
Caso M.R.U.
vx
vx(t) = vx0 = constante
vx0
ti tf t
Δt
área "bajo la curva": v x0 Δt = Δx = x f − xi

29. Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)
Caso General
vx
Δx = x f − xi
Δx = Δx1 + Δx2 + ...
Δx = v x1Δt1 + v x2 Δt 2 + ...
Δx ≈ A1 + A2 + ...
Δx = A
ti tf

30. Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)
vx Caso General
tf tf
Δx = lim ∑ v (t i )Δt i = ∫ v (t )dt
x Δt i → 0 t i ti
ti ti t
desplazamiento
Δx entre ti y tf = área delimitada por gráfico
vx v/s t entre ti y tf

31. Cálculo del desplazamiento a partir de v(t)
Caso M.R.U.A.
Este cálculo ya se hizo en el capítulo 2 y las leyes obtenidas son:
a x = cte .
v x ( t ) = v x0 + a x ( t − t 0 )
ax
x ( t ) = x 0 + v x0 ( t − t 0 ) + ( t − t0 )
2
2
Además:
v x = v x0 + 2 a x ( x − x 0 )
2 2

32. Movimiento en 2 ó 3 dimensiones con
aceleración constante
Suponga que en 3D el cuerpo se mueve con aceleración cte.
a = a x i + a y ˆ + az k
ˆ j ˆ
Podemos descomponer este mov. en 3 mov. independientes:
uno en el eje x, otro en el eje y y otro en el eje z
t − t 0 ) v x ( t ) = v x0 + a x ( t − t 0 )
ax
x ( t ) = x 0 + v x0 ( t − t 0 ) + (
2
Eje x: ax= cte.
2
ay
y ( t ) = y 0 + v y0 ( t − t 0 ) + ( t − t0 ) v y ( t ) = v y0 + a y ( t − t 0 )
2
Eje y: ay= cte.
2
az
Eje z: az= cte. z ( t ) = z 0 + v z0 ( t − t 0 ) + ( t − t0 )
2
v z ( t ) = v z0 + a z ( t − t 0 )
2

33. Movimiento en 2 ó 3 dimensiones con
aceleración constante
a = cte .
v ( t ) = v0 + a ( t − t0 )
1
r ( t ) = r0 + v 0 ( t − t 0 ) + a ( t − t 0 )
2
2
Además:
v 2 ( t ) = v 0 + 2 a ⋅ ( r − r0 )
2

34. Caída Libre y Movimiento de Proyectil
a = cte . ≡ g

35. Caida Libre y Movimiento de Proyectil
Galileo Galilei
Galileo Galilei (1564-1642): Nacido en Pisa. Su padre, Vincenzio Galilei
fue matemático y músico. Estudió medicina en la Univ. de Pisa. 1589:
Profesor de matemáticas en Pisa. En 1610 publica “Sidereus Nuncius”
en el que presenta observaciones astronómicas efectuadas con su
telescopio. En 1632 publica “Dialogo sopra i due massimi sistemi del
mondo”. En 1638 publica “Discorsi e Dimostrazioni Matematiche delle
due nuove scienze” (donde describe la caída libre).

36. pelota
vy= 0 en el
punto más alto
durante el descenso
g ay = -g, la rapidez
aumenta y la
durante el ascenso velocidad se hace
ay = -g, la rapidez más negativa
disminuye y la
velocidad se hace
menos positiva
m
g = − g ˆ = − 9,8 2 ˆ
j j
s
v y ( t ) = v y0 − g ( t − t0 )
g
y ( t ) = y0 + v y0 ( t − t0 ) − ( t − t0 )
2
2

37. y ( t ) (m )
altura
t (s)
En ambos
lanzamientos,
vy=0 m/s en el
vy(t) (m/s) punto de altura
máxima velocidad
t (s)
lanzamiento “rápido”
lanzamiento “lento”

38. Problema: Calcular el tiempo que tarda un proyectil
en llegar a tierra, si éste se lanza con una velocidad
de 16 m/s hacia arriba, desde una altura de 100 m

39. -3,17 s 6,44 s

40. Movimiento de Proyectil
● Podemos:
● Ignorar el roce con el aire
● Ignorar la rotación de la tierra
● Con estas aproximaciones, tenemos que :
– Una vez liberado, sólo la gravedad actúa
sobre el cuerpo, tal como en el movimiento
de lanzamiento vertical.
– Como la gravedad acelera el cuerpo hacia abajo,
entonces:
Hay aceleración vertical hacia abajo.
NO hay aceleración horizontal.
El cuerpo sigue una trayectoria parabólica.

41. Si elegimos un sistema de referencia tal que la dirección y sea
vertical y positiva hacia arriba, entonces:
a x = 0 m/s 2 ay = − g
g
Supongamos también que en t0 = 0 el cuerpo parte y
del origen de coordenadas, es decir:
x0 = 0 m y0 = 0 m x
1 2
x ( t ) = v x0 t y ( t ) = v y0 t − gt
2
v x ( t ) = v x0 v y ( t ) = v y0 − gt
2
⎛ x ⎞ 1 ⎛ x ⎞
y = v y0 ⎜ ⎟− g⎜ ⎟
⎝ v x0 ⎠ 2 ⎝ v x0 ⎠
⎛ v y0 ⎞ 1⎛ g ⎞ 2
y( x ) = ⎜ ⎟x − ⎜ 2 ⎟x
⎝ v x0 ⎠ 2 ⎝ v x0 ⎠

42. ⎛ v y0 ⎞ 1⎛ g ⎞ 2
y = ⎜ ⎟x − ⎜ 2 ⎟x
⎝ v x0 ⎠ 2 ⎝ v x0 ⎠
2
1 ⎛ g ⎞⎛ 2 2v x0 v y0 ⎞ 1 ⎛ g ⎞⎛ v x0 v y0 ⎞ v2
y0
y = − ⎜ 2 ⎟⎜ x − x⎟ = − ⎜ 2 ⎟⎜ x − ⎟ +
2 ⎝ v x0 ⎠ ⎝ g ⎠ 2 ⎝ v x0 ⎠ ⎝ g ⎠ 2g
y
v 20
y
2g
g
v0
0 v x0 v y0 x
g

43. g

44. Alcance y Altura Máxima
El proyectil alcanza la altura máxima cuando: vy = 0 m/s
v y ( t ) = v 0 sen θ 0 − g t 0 = v 0 sen θ 0 − gt hm
v 0 sen θ0 tiempo en que
t hm = alcanza la altura
g
máxima
Al sustituir este tiempo en la ley de la posición vertical, se tiene:
1 2
y ( t ) = hm ax = v 0 senθ 0 t hm − gt hm
2
2
⎛ v 0 senθ0 ⎞ 1 ⎛ v 0 senθ0 ⎞
hmax = v 0 senθ0 ⎜ ⎟− g⎜ ⎟
⎝ g ⎠ 2 ⎝ g ⎠
v 0 sen 2 θ 0
2
hm ax =
2g

45. Siempre que el punto inicial y final estén a la misma altura:
v 0 senθ 0
El tiempo total de vuelo es: tt = 2thm tt = 2
g
Reemplazando en la ley de la posición horizontal, se tiene:
x (tt )= v 0co sθ 0 t t
Luego, el alcance R es:
⎛ v 0 senθ 0 ⎞
R = ( v 0 cos θ 0 ) ⎜ 2 ⎟
⎝ g ⎠
2
v0 2cosθ0 senθ0
R=
g
2
v 0 sen ( 2 θ 0 )
R =
g

46. ⎛π ⎞
R ⎜ − θ0 ⎟ = R (θ0 )
⎝ 2 ⎠
2
v0 π
R m ax = Para: θ0 =
g 4

47. Problema
Un avión lanza un paquete a un
grupo de exploradores. El avión 0
vuela horizontalmente a una altura
de 100 m sobre el suelo, con una
rapidez de 40 m/s
¿Dónde cae el paquete, relativo a la
posición en que fue lanzado?
1. Introducimos un sistema de coordenadas
Eje y: dirigido hacia abajo
Eje x: dirigido hacia la derecha
Origen: en la posición del avión
cuando lanza el paquete
d
2. Tenemos que: x0 = 0 m y0 = 0 m
vx0= +40 m/s vy0 = 0 m/s
ax= 0 m/s2 ay= +g = + 9,8 m/s2
1 100 m
3. y ( t ) = gt 2 = + 4,9 ( m / s 2 ) t 2 4. y = + 100 m → t = = 4,52 s
2 4,9 m / s 2
x ( t ) = v x0 t = 40 ( m / s ) t 5. d = x ( 4,52 s ) = ( 40 m / s ) ⋅ ( 4,52 s ) = 181 m

49. Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U.
• La trayectoria del móvil es una circunferencia y
• La recorre con rapidez constante: v = cte.
vi vi
Δv
vf vf <a>
ri
rf

50. Aceleración Centrípeta.
vi
Δθ Δv
vi vf
Δθ / 2 ⎛ Δθ ⎞ Δv
ac Δθ / 2 sen ⎜ ⎟ = 2v
⎝ 2 ⎠
vf
⎛ Δθ ⎞ Δr
Δθ sen ⎜ ⎟ = 2r
⎝ 2 ⎠
v
Δv = Δr
r
Δv Δr v
=
Δt Δt r
v
Si: Δt → 0 a = v
r

51. Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U.
Aceleración
Centrípeta:
v2
ac =
r
Velocidad
Tangencial:
2πr
v =
T
T = Periodo

52. Aceleración Radial (Centrípeta) y Tangencial
En general: a = ac + a t
2
v dv d v
ac = at = =
r dt dt
a = ac2 + at2

53. Movimiento Relativo
r'
r
u = cte .
ut K'
K
r = r' + ut pos. del cpo. c/r al sist. K = pos. del cpo. c/r al sist.
K ' + pos. del sist. K ' c/r a K
v = v' + u vel. del cpo. c/r al sist. K = vel. del cpo. c/r al
sist. K ' + vel. del sist. K ' c/r al sist. K
acel. del cpo. c/r al sist. K = acel. del cpo. c/r al
a = a' sist. K ' (si vel. de K ' c/r a K es cte.)

54. Movimiento Relativo

55. Movimiento Relativo
vrt
N
vbt
O E
S
vbr

56. Movimiento Relativo
vrt
N
vbt
O E
vbr
θ S
v b t = v b r + v rt