Este documento presenta los conceptos básicos de vectores y cálculo vectorial, incluyendo definiciones de vectores, operaciones con vectores, sistemas de coordenadas, derivación e integración vectorial, y operadores vectoriales como gradiente, divergencia y rotacional.
NOTA: Prepa en Línea SEP.
“Para realizar esta actividad es necesario que hayas revisado el tema 2. Antiderivada de la unidad 2, ahí encontrarás los referentes teóricos que te permitirán realizar esta actividad”.
Para describir el movimiento de un objeto es conveniente expresar cómo se comporta su posición en función del tiempo, mediante la llamada ecuación del movimiento.
NOTA: Prepa en Línea SEP.
“Para realizar esta actividad es necesario que hayas revisado el tema 2. Antiderivada de la unidad 2, ahí encontrarás los referentes teóricos que te permitirán realizar esta actividad”.
Para describir el movimiento de un objeto es conveniente expresar cómo se comporta su posición en función del tiempo, mediante la llamada ecuación del movimiento.
Sudah ratusan tahun kita bicara Bakat dan Minat, akan tetapi sampai saat ini masih banyak orang yang tidak memahaminya padahal pemahaman seseorang tentang Bakat dan Potensi Kekuatan merupakan petunjuk jalan suksesnya.
Talents Mapping ditemukan oleh anak bangsa yang setelah 10 tahun terakhir ini memberikan inspirasi bagi banyak orang Indonesia.
Materi "Bakat dan Bakat" adalah salah satu dari puluhan materi terkait Karir dan Pendidikan yang akan dan sedang di upload di slide share dalam rangka berbagi ilmu terkait.
semoga bermanfaat.
Aaamiin
Workshop on mobile journalism I led at 2014 CCNMA: Latino Journalists of California Journalism Opportunities Conference on Oct. 23, 2014 at University of Southern California in Los Angeles.
ESCALARES Y VECTORES
ÁLGEBRA DE VECTORES
EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS
EL PRODUCTO PUNTO
EL PRODUCTO CRUZ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS
Estudiantes de la Universidad Cooperativa de Colombia sede Neiva.
A través del presente trabajo se expone deforma clara lo relacionado al cálculo vectorial.
Portafolio final comunicación y expresión ll - ivan alarcon .pptxivandavidalarconcata
Los muros paramétricos son una herramienta poderosa en el diseño arquitectónico que ofrece diversas ventajas, tanto en el proceso creativo como en la ejecución del proyecto.
El Real Convento de la Encarnación de Madrid, una joya arquitectónica y cultural fundada en 1611 por la reina Margarita de Austria, ha sido revitalizado gracias a una avanzada reconstrucción en 3D. Este convento, una maravilla del barroco madrileño, ha sido un pilar en la vida religiosa y cultural de la ciudad durante siglos. Su rica historia y su valor patrimonial han sido capturados en esta innovadora reconstrucción, diseñada para su exploración, una tecnología que combina la realidad virtual y aumentada para ofrecer una experiencia inmersiva y educativa.
La reconstrucción comenzó con una exhaustiva recopilación de datos históricos y arquitectónicos, incluyendo planos originales y fotografías de alta resolución. Estos recursos permitieron a los especialistas crear una réplica digital precisa del convento. Utilizando software de modelado avanzado, cada elemento arquitectónico y decorativo fue cuidadosamente recreado, desde los majestuosos muros exteriores hasta los intrincados detalles del interior, como los frescos y el retablo mayor.
El resultado es un modelo 3D que no solo respeta la integridad histórica y artística del convento, esto permite que un futuro los usuarios pueden explorar virtualmente el convento, navegando por sus pasillos, admirando su arte sacro y descubriendo detalles ocultos que, de otro modo, serían inaccesibles.
Esta reconstrucción no solo preserva la historia del Real Convento de la Encarnación, sino que la hace accesible a un público global, permitiendo a estudiantes, historiadores y amantes del arte experimentar la grandeza del convento desde cualquier lugar del mundo. Además, la implementación de tecnologías de realidad virtual y aumentada ofrece nuevas oportunidades para la educación y el turismo cultural, haciendo del convento un ejemplo brillante de cómo la tecnología puede ayudar a preservar y difundir el patrimonio histórico.
En resumen, la reconstrucción 3D del Real Convento de la Encarnación es un proyecto que combina el respeto por la historia con la innovación tecnológica, asegurando que este tesoro del barroco madrileño continúe inspirando y educando a futuras generaciones
7. Definiciones:
Vector: Objeto matemático para cuya completa definición se
requiere indicar su magnitud (representada por un número
natural) así como su dirección y sentido.
Se conviene que la longitud del vector es proporcional o igual a
la magnitud del vector. Los vectores se representan mediante
segmentos de recta dirigidos.
A
La magnitud del vector se escribe | A | = A
8. Operaciones con vectores I:
Suma: Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal
como se indica a continuación:
A
B
C
Esta operación se denomina suma A + B = C
9. Resta: Dados los vectores A y B, la resta se define como se
grafica:
A
B
C
En este caso escribiremos A - B = C
10. Multiplicación por un escalar:
Podemos multiplicar un vector por un escalar. El resultado es
un vector que mantiene la dirección y sentido pero cuya
magnitud es la anterior multiplicada por la constante escalar.
A
3A
11. Componentes de un vector:
Proyeción de un vector sobre
cada uno de los ejes
cartesianos.
Definimos sobre cada eje un
vector cuya longitud es 1
(vector unitario). Cada
proyección puede ser
representada en función del
vector unitario respectivo.
Los vectores unitarios son:
eje OX : i
eje OY : j
eje OZ : k
12. A
x
y
z
o
X
Y
Z
En la figura:
OX = xi
OY = yj
OZ = zk
De modo que A puede ser
representado como una
suma:
® ® ® ®
A = x i + y j+ z k
13. Con esta nueva notación la suma podrá reescribirse para dos
vectores:
A = a i + a j +
a k
1 2 3
= + +
B b i b j b k
1 2 3
A B a b i a b j a b k
( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 + = + + + + +
y la resta:
A B a b i a b j a b k
( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 - = - + - + -
14. Operaciones con vectores II:
B
Producto Escalar:
Dados dos vectores A y B se
define como producto
escalar:
A.B = | A | . | B | . cosq
donde q es el ángulo que
q
forman los dos vectores.
De la definición: A
1 1 2 2 3 3 A.B = a b + a b + a b
15. Producto vectorial:
Se define como producto
vectorial de los vectores A y
B al vector V tal que
V = A ´ B = [A B]
es perpendicular a A y B a
la vez y cuya magnitud se
define como:
| V | = | A |.| B | senq
Puede verse que la
magnitud del vector V es
igual al área definida por A
y B.
Observe el sentido de la
rotación.
B
A
V
q
16. Propiedades:
A + B = B + A
A - B = - (B - A)
c(A + B) = cA + cB
A.B = B.A
A.(B + C) = A.B + A.C
A.(B + C) = (B + C).A
A.A = | A |2
[A B] = - [B A]
[A (B + C)] = [A B] + [A C]
A.[C B] = B.[A C] = C.[B A]
[A [B C]] = (A.C)B - (A.B)C
TTaarreeaa:: DDeemmoossttrraarr llaass
aanntteerriioorreess rreellaacciioonneess
17. El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante:
i j k
a a a
´ = =
1 2 3
b b b
A B
1 2 3
a b a b i a b a b j a b a b k
= - - - + -
( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
18. Existe el llamado triple escalar :
[ ]
ABC A .
B C
A A A
1 2 3
B B B
1 2 3
C C C
1 2 3
=
= ´ =
19. DDeerriivvaacciióónn::
Una magnitud vectorial es derivable respecto a un
parámetro escalar, por ejemplo, el tiempo:
d = + + =
j dz
dt
k v
dt
r dx
dt
i dy
dt
Hemos obtenido una nueva magnitud vectorial denominada
VELOCIDAD.
20. También podemos calcular la
variación de una magnitud
escalar respecto a la dirección.
Por ejemplo, podemos calcluar la
variación de densidad del aire
respecto a la altura (eje Z).
O también podemos calcular la
variación de la temperatura del
agua respecto a la profundidad
(eje Z).
O podemos calcular la variación
de la población de determinada
especie a medida que nos
alejamos de una fuente de
alimento (radio R)
21. Sea P la magnitud escalar, entonces la variación direccional de
P se expresará como:
dP
j dP
k
dz
i dP
dx
+ +
dy
Es, evidentemente, una magnitud vectorial. Se denomina
GRADIENTE de P. “Factorizando” el operador de derivación
direccional, escribiremos finalmemente:
æ
= + +
grad P d ÷ ÷ø
j d
k P
dz
i d
dx
dy
ö
ç çè
22. Por otro lado, si deseamos conocer como varía la magnitud
de un vector A con la dirección, escribiremos:
+ +
dA
j dA
k
dz
i dA
dx
dy
Si recordamos que:
= + +
A a i a j a k x y z
vemos que cada término es un producto escalar, y que la
operación da como resultado un escalar.
23. Esta operación se denomina DIVERGENCIA del vector A, y
se escribe:
æ
= + +
j d
ö
k A
dz
i d
dx
dy
div A d
. ÷ ÷ø
ç çè
Puede apreciarse que se ha realizado una operación de
producto escalar entre el operador de variación direccional y la
magnitud vectorial analizada.
24. Finalmente, si el vectort A gira, incluye el giro en su
desplazamiento en en el espacio, la operación que nos permite
conocer la variación de las componentes de A al girar se
denomina rotor o rotacional de A, y se escribe:
æ
= + +
j d
ö
k A
dz
i d
dx
dy
rot A d
´ ÷ ÷ø
ç çè
Es una operación de producto vectorial, y para calcularla se
aplica el determinante previemente visto en la primera parte de
este curso.
25. Resumiendo, si denotamos mediante Ñ (nabla) el operador de
variación direccional, las tres operaciones de derivación
direccional pueden reescribirse:
j d
ö
æ
j d
j d
ö
ö
k A
dz
i d
dx
i d
dx
i d
dx
dy
æ
æ
A rot A d
k A
dz
dy
A div A d
k P
dz
dy
P grad P d
´ ÷ ÷ø
ç çè
Ñ´ = = + +
· ÷ ÷ø
ç çè
Ñ = = + +
÷ ÷ø
ç çè
Ñ = = + +
.