Este documento describe el análisis cinemático de mecanismos, que incluye determinar las posiciones, velocidades y aceleraciones de las partes móviles de un mecanismo. Explica que primero se calculan las posiciones, luego las velocidades y finalmente las aceleraciones, usando incrementos pequeños de las variables de entrada. También cubre representaciones de vectores, análisis para casos donde la magnitud y orientación de un vector son variables o fijas, y ecuaciones cinemáticas para mecanismos de 4 barras y

1. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE
MECANISMOS.
2.1. Introducción
Una vez que el diseño (síntesis) de un mecanismo ha sido realizado, este debe ser
analizado. El objetivo del análisis cinemático es determinar las posiciones, velocidades
y aceleraciones de todas las partes en movimiento en un mecanismo.
El diseñador debe asegurar que el mecanismo propuesto o máquina no falle bajo
condiciones de operación. De esta manera los esfuerzos en los elementos deben ser
mantenidos debajo de los límites permisibles.
Para calcular los esfuerzos, se necesitan conocer las fuerzas y momentos estáticos o
dinámicos según sea el caso, que se presentan en dichos elementos.
Para calcular las fuerzas y momentos dinámicos:
GamF
→→
=
MG = IG α
Se necesitan conocer las aceleraciones lineales y angulares. Para calcular dichas
aceleraciones, debemos hallar antes las velocidades lineales y angulares. Y antes de
calcular velocidades se calculan primero las posiciones lineales y angulares.
1

2. Todo el proceso anterior se realiza para pequeños incrementos de valor de las variables
de entradas (es decir de los grados de libertad). Si la entrada es un ángulo θ, el
incremento puede ser de 1° cada vez. Si la entrada es una distancia x, el incremento puede
ser de 1 mm (esto es a juicio del ingeniero) cada vez.
Todos los cálculos deben ser hechos con el apoyo de un programa de computadora,
debido a la necesidad de resolver una gran cantidad de ecuaciones, un número
considerable de veces (por ejemplo, cuando θ es dada, se pueden hacer 360 veces el
cálculo).
2.2. Análisis de Posición
2.2.1 Representación de un Vector
La notación
→
R será usada para definir un vector de posición. Existen muchas formas de
representar un vector, entre ellas tenemos las dos formas siguientes.
• Números Complejos
(capítulo 4 libro de
Norton)
)θsinθr (cosr j
jeR ±== ±
→
θ
• Vectores Unitarios
2

3. ∧∧→
+= jiR yx
∧∧
+= ji )sinr()cosr( θθ
)sin(cosr
∧∧
+= ji θθ
∧→
= uR r
Donde:
∧∧∧
+= jiu θθ sincos
( ) ( ) 1sincos =+=
∧
22
u θθ
∧
u es un vector unitario
Nota: El ángulo medido desde la horizontal ( x positiva ) y las funciones cosθ en i
∧
y
sinθ en j
∧
, dan automáticamente el signo de las componentes.
Ejemplo:
Medido con la vertical ( el signo en x se da a partir del dibujo ):
x = – 1 sin 30° = – 0.5 m
y = 1 cos 30° = 0.866 m
Medido con la horizontal ( el signo en x lo da la función cos 120° ):
x = 1 cos 120° = – 0.5 m
y = 1 sin 120° = 0.866 m
3

4. 2.3. Análisis de Velocidad y Aceleración
Caso 1.- Vector de Magnitud Variable y Orientación Fija
Posición
∧→
= uR r
∧→
= iR x
Velocidad
dt
)x(d
dt
d
∧→
→
==
iR
V
dt
d
x
dt
dx
∧
∧
+=
i
i
donde
dt
dx
vx = y
→
∧
= 0
i
dt
d
∧→
= iV xv
Posición
∧→
= jR y
Velocidad
∧→
= jV yv
Posición
∧→
= uR r
∧→
= uR d
Velocidad
dt
)d(d
dt
d
∧→
→
==
uR
V
( )
dt
d
d
dt
dd
∧
∧
+=
u
u
donde
( )
dt
dd
vd =
∧→
= uV dv
4

5. Aceleración
dt
)v(d
dt
d x
∧→
→
==
iV
A
dt
d
v
dt
dv
x
x
∧
∧
+=
i
i
donde
dt
dv
a x
x =
∧→
= iA xa
Aceleración
∧→
= jA ya
Aceleración
dt
)v(d
dt
d d
∧→
→
==
uV
A
dt
d
v
dt
dv
d
d
∧
∧
+=
u
u
donde
dt
dv
a d
d =
∧→
= uA da
Caso 2.- Vector de Magnitud Fija y Orientación Variable
Posición
)sin(cosrr
∧∧∧→
+== jiuR θθ (1)
Velocidad ( r es constante y θ es variable. En el dibujo se supone la ω en el sentido
negativo, solo para poder separar en el dibujo las velocidades y aceleraciones lineales que
se irán mostrando ).
dt
)r(d
dt
d
∧→
→
==
uR
V
dt
d
r
dt
dr
∧
∧
+=
u
u
Donde 0
dt
dr
= :
dt
d
r
∧
→
=
u
V (2)
5

6. Calculando:
)sc(
dt
d
dt
d ∧∧
∧
+= ji
u
θθ
∧∧
+−= ji )
dt
d
c()
dt
d
s(
θ
θ
θ
θ
∧∧
+−= ji )c()s( ωθωθ (3)
Otra forma de escribir (3) usando el producto cruz:
∧→
∧
×= u
u
ω
dt
d
)sc()(
∧∧∧
+×= jik θθω
∧∧
+−= ji )c()s( ωθωθ (4)
Finalmente sustituyendo (4) en (2):
)r (
∧→→
×= uV ω
)r(
∧→
×= uω
→→→
×= RV ω (5)
Donde
∧→
= kωω .
Aceleración
dt
d
→
→
=
V
A )(
dt
d
R
→→
×= ω
dt
d
dt
d
→
→→
→
×+×=
R
R ω
ω
)(
→→→→→
××+×= RR ωωα
→→→→
−×= RRA 2
ωα
(6)
Donde
∧→
= kαα . Las aceleraciones se muestran en el siguiente dibujo.
6

7. Caso 3.- Vector de Magnitud Variable y Orientación Variable
Posición






+==
∧∧∧→
jiuR θsinθcosrr
Velocidad ( r es variable y θ es variable )
dt
rd
dt
d






==
∧
→
→
u
R
V
dt
d
r
dt
dr
∧
∧
+=
u
u






×+=
∧→∧
uu ωrv
7

8. →→∧→
×+= Rv uV ω
(7)
Aceleración
dt
d
→
→
=
V
A
( )
dt
d
dt
d
dt
d
v
dt
vd
→
→→
→
∧
∧
×+×+






+=
R
R
u
u ω
ω






×+×+×+





×+=
→→∧→→→∧→∧
RuRuu ωωαω vva






××+×+





×+=
→→→→→∧→∧
RRuu ωωαω v2a
→→→∧→∧→
−×+





×+= RRuuA 2
ωv2a αω (8)
Nota: La aceleración de Coriolis )u×
∧→
( v2ω , aparece cuando existe un movimiento de
rotación y traslación en el cuerpo. Si no existe alguno de ellos la aceleración de
Coriolis es cero.
8

9. 9

10. 2.4. Ecuaciones Cinemáticas de Mecanismos de 4 Barras
10

11. 11

12. 12

13. 13

14. 14

15. 15

16. Ejemplo 2.- Mecanismo de 4 Barras
Ejemplo dado en clase
Ejemplo 3.- Mecanismo de 4 Barras – Expresiones de Forma Cerrada
16

17. 17

18. 18

19. 19

20. 20

21. 21

22. 22

23. 2.5. Ecuaciones Cinemáticas de Mecanismos con más de 6
Barras
Ejemplos dados en clase
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