Este documento define y clasifica las matrices. Una matriz es una tabla de datos ordenados en filas y columnas. Las matrices se clasifican por su orden (número de filas y columnas), y pueden ser cuadradas, rectangulares, nulas, triangulares u otras. El documento también describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, producto por escalar y producto de matrices.
2. MATRIZ
• Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados
elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de
las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas
verticales.
3. ORDEN
• Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n
("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales
si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
• Ejemplo: Dada la matriz:
• Podemos ver que es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] es el 7
4. CLASIFICACION DE LAS MATRICES
• Matriz fila. Una matriz fila está
constituida por una sola fila.
• Matriz columna. La matriz
columna tiene una sola columna
• Matriz rectangular. La matriz
rectangular tiene distinto número
de filas que de columnas, siendo su
dimensión mxn.
5. CLASIFICACION DE LAS MATRICES
• Matriz cuadrada. La matriz cuadrada
tiene el mismo número de filas que de
columnas
• Matriz nula. En una matriz nula
todos los elementos son ceros.
• Matriz triangular superior. En una
matriz triangular superior los
elementos situados por debajo de la
diagonal principal son ceros.
6. CLASIFICACION DE LAS MATRICES
• Matriz triangular inferior. En una
matriz triangular inferior los
elementos situados por encima de
la diagonal principal son ceros.
• Matriz diagonal. En una matriz
diagonal todos los elementos
situados por encima y por debajo
de la diagonal principal son nulos.
7. CLASIFICACION DE LAS MATRICES
• Matriz escalar.. Una matriz escalar
es una matriz diagonal en la que los
elementos de la diagonal principal
son iguales.
• Matriz identidad o unidad. Una
matriz identidad es una matriz
diagonal en la que los elementos de
la diagonal principal son iguales a 1.
8. OPERACIONES CON MATRICES
• SUMA:
• Propiedades
• -Asociativa
Dadas las matrices m*n A, B y C
(A + B) + C = A + (B + C)
-Conmutativa
Dadas las matrices m*n A y B
A + B = B + A
-Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
10. OPERACIONES CON MATRICES
• PRODUCTO POR UN ESCALAR: Dada una matriz A y un escalar C,
su producto C*A se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A.
11. OPERACIONES CON MATRICES
• PRODUCTO DE DOS MATRICES: El producto de dos matrices se
puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el
mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una
matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la
matriz m×p (m filas, pcolumnas).
12. DETERMINANTES
• El determinante de una matriz de dimensión m*n es el resultado de restar la
multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la
multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.
13. MATRIZ INVERSA
• Antes de empezar a operar tenemos que poner la matriz A y la matriz
Identidad en una sola matriz:
14. MATRIZ INVERSA
• Ahora debemos convertir la matriz de la parte izquierda en la matriz
identidad operando en las filas.
• Los dos primeros elementos de la primera columna ya son iguales que los de
la matriz identidad. Por tanto, no hace falta cambiar ninguno de estos
números.
15. MATRIZ INVERSA
• Pero la matriz identidad tiene un 0 en el tercer elemento de la primera
columna, donde ahora hay un 2. Así que tenemos que convertir el 2 en un 0.
Para ello, a la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por 2:
16. MATRIZ INVERSA
• La matriz identidad tiene un 0 en el primer elemento de la segunda columna,
donde ahora hay un 2. Así que tenemos que convertir el 2 en un 0. Para ello,
a la fila 1 le restamos la fila 2 multiplicada por 2:
17. MATRIZ INVERSA
• La matriz identidad tiene un 0 en el último elemento de la segunda columna,
donde ahora hay un -4. Así que tenemos que convertir el -4 en un 0. Para
ello, a la fila 3 le sumamos la fila 2 multiplicada por 4:
18. MATRIZ INVERSA
• Ahora solo nos falta convertir el primer elemento de la tercera columna en 0.
Para ello, a la fila 1 le sumamos la fila 3 multiplicada por -1:
19. MATRIZ INVERSA
• Ya hemos logrado que la matriz de la izquierda sea la matriz identidad. De
manera que la inversa de la matriz A es:
