MECÁNICA VECTORES.pdf

Ángel Aquino Fernández
MECÁNICA
VECTORIAL

Cada autor es responsable del contenido de su propio texto.
De esta edición:
© Universidad Continental S.A.C 2012
Jr. Junin 355, Miraflores, Lima-18
Teléfono: 213 2760
Derechos reservados
ISBN: 978-9972-2579-7-1
Hecho el Deposito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°: 2013-07999
Primera Edición: septiembre 2013
Tiraje: 500 ejemplares
Autor: Ángel Aquino Fernández
Oficina de Producción de Contenidos y Recursos
Impreso en el Perú en los talleres de
X Printed Solución Gráfica S.R.L.
Jr. Pomabamba 607, Breña – Lima
Fondo Editorial de la Universidad Continental
Todos los derechos reservados.
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trasmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por
ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por
fotocopia, o cualquier otro sin el permiso previo por escrito de la Universidad.

ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA 11
COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA 11
UNIDADES DIDÁCTICAS 11
TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO 11
UNIDADI:Equilibriodeunapartícula,Fuerzasenelespacio,Cuerposrígidos 13
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I 13
ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES 13
TEMA Nº 1: Algebra Vectorial: Fuerzas en el Plano 15
1 Escalares y vectores 16
2 Vector 16
3 Adición o suma de Vectores 16
4 Producto de un escalar por un vector 17
5 Componentes de un vector 17
6 Componentes rectangulares de un vector 18
ACTIVIDAD Nº 1 18
TEMA Nº 2: Equilibrio de una partícula 19
1 Equilibrio de una partícula en el plano 19
2 Cuerpos sometidos a dos fuerzas 19
3 Cuerpos sometidos a tres fuerzas 19
4 Primera ley de Newton 20
5 Diagrama del cuerpo libre 20
LECTURA SELECCIONADA Nº 1 21
Construcción del “sí mismo” a través de la comunicación. Bethami A. Dobkin, Roger C. Pace
ACTIVIDAD Nº 2 25
TEMA Nº 3: Fuerzas en el espacio 25
1 Vector en el espacio 25
2 Fuerzas en el espacio 26
3 Vector de posición 26
4 Fuerza en términos de su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción 26
5 Adición de fuerzas concurrentes en el espacio 26
6 Equilibrio de una partícula en el espacio 27
ACTIVIDAD Nº 3 27

TEMA Nº 4: Cuerpos Rígidos 28
1 Cuerpos Rígidos y Principio de Transmisibilidad 28
2 Momentos y sus características 28
3 Momento de una fuerza con respecto a un punto 29
4 Teorema de Varignon 29
5 Momento de una fuerza con respecto a un eje 30
6 Pares 30
7 Momento de un Par 30
Aeropuerto Internacional de Kansai; Obras Maestras de la Ingeniería Civil. Revista Digital de la Facultad
de Ingeniería civil – UNI, Perú
ACTIVIDAD Nº 4 35
CONTROL DE LECTURA Nº 1 35
bibliografía de la unidad i 35
AUTOEVALUACIÓN de la unidad i 36
UNIDAD II: Equilibrio de cuerpos rígidos, Centroides y Centros de gravedad 39
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II 39
TEMA Nº 1: Equilibrio de cuerpos rígidos en dos dimensiones 41
1 Equilibrio en dos dimensiones 41
2 Diagrama de sólido libre 43
3 Equilibrio de un cuerpo sujeto a dos fuerzas. 44
4 Equilibrio de un cuerpo sujeto a tres fuerzas 44
ACTIVIDAD Nº 1 46
TEMA Nº 2: Equilibrio de cuerpos rígidos en tres dimensiones 46
1 Equilibrio de un cuerpo rígido en tres dimensiones 46
2 Reacciones en los apoyos y conexiones de una estructura tridimensional 47
El Canal de Panamá; Obras Maestras de la Ingeniería Civil. Revista Digital de la Facultad de Ingeniería
civil – UNI, Perú
Actividad N°2 49
TEMA Nº 3: Centroides y Centro de gravedad 53
1 Introducción de áreas y líneas 53
2 Centros de Gravedad 53
3 Centros de gravedad en líneas 54

4 Centros de gravedad en áreas 55
5 Centros de gravedad en volúmenes 55
6 Cuerpos compuestos 55
7 Determinación del centroide por integración 56
8 Fórmulas de centroides de figuras comunes de áreas y de líneas 56
9 Teorema de Pappus-Guldinus 58
Actividad N°3 58
TEMA Nº 4: Fuerzas Distribuidas 59
1 Cargas distribuidas en vigas 59
2 Fuerzas sobre superficies sumergidas 60
Torres el Faro; Obras Maestras de la Ingeniería Civil. Revista Digital de la Facultad de Ingeniería civil –
UNI, Perú
Actividad N°4 65
TAREA ACADEMICA Nº 1 65
bibliografía de la unidad ii 65
AUTOEVALUACIÓN de la unidad ii 65
UNIDAD III: ANÁLISIS ESTRUCTURAL, ARMADURAS, ARMAZONES Y MÁQUINAS, FUERZAS EN VIGAS Y CABLES, MO-
MENTO DE INERCIA 69
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD III 69
TEMA Nº 1: Análisis estructural: Armaduras 71
1 Armaduras simples 71
2 Análisis de armaduras mediante el método de los nudos 73
3 Análisis de armaduras mediante el método de secciones 74
Actividad N° 1 75
TEMA Nº 2: Análisis estructural: Armazones y maquinas 75
1 Análisis de un armazón 75
2 Armazones que dejan de ser rígidas cuando se separan de sus soportes 76
3 Maquinas 76
Torre Interbank; Obras Maestras de la Ingeniería Civil. Revista Digital de la Facultad de Ingeniería civil – UNI, Perú
Actividad N° 2 81
TEMA Nº 3: Fuerzas en Vigas y Cables 81

1 Fuerzas internas 82
2 Fuerza cortante y momento flector de una viga 82
3 Diagrama de fuerza cortante y momento flector de una viga 82
4 Cables con carga concentrada 83
Actividad N° 3 83
TEMA Nº 4: Momento de Inercia 84
1 Momento de inercia de un área 84
2 Determinación del momento de inercia por integración 84
3 Momento polar de inercia 85
4 Producto de Inercia 85
5 Teorema de ejes paralelos 86
6 Radio de giro 87
7 Momento de inercia de áreas compuestas 87
Presa de las Tres Gargantas; Obras Maestras de la Ingeniería Civil. Revista Digital de la Facultad de Inge-
niería civil – UNI, Perú
Actividad N° 4 94
CONTROL DE LECTURA Nº 2 94
bibliografía de la unidad IiI 95
AUTOEVALUACIÓN de la unidad iii 95
UNIDAD IV: DINÁMICA, MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE PARTÍCULAS, CINÉTICA DE PARTÍCULAS, MÉTODOS DE
ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 97
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD IV 97
TEMA Nº 1: Dinámica 99
1 Cinemática de una partícula 99
2 Determinación del movimiento de una partícula 99
3 Movimiento rectilíneo uniforme 99
4 Movimiento rectilíneo uniformemente variado 100
5 Movimiento de varias partículas 100
Actividad N°1 101
TEMA Nº 2: Movimiento Curvilíneo de Partículas 101
1 Movimiento curvilíneo de partículas 101
2 Componentes rectangulares 101
3 Movimientos proyectiles 103

Actividad N°2 103
Rascacielos; FIC UNI; Obras Maestras de la Ingeniería Civil. Revista Digital de la Facultad de Ingeniería
civil – UNI, Perú
TEMA Nº 3: Cinética de Partículas 107
1 Segunda ley de Newton 108
2 Cantidad de movimiento 108
3 Ecuaciones de movimiento 108
4 Componente tangencial y normal 108
Actividad N° 3 109
TEMA Nº 4: Métodos de Energía y Cantidad de movimiento 109
1 Trabajo de una fuerza 109
2 Principio de trabajo y energía 110
3 Potencia y eficiencia 111
Memoria sobre el World Trade Center; Obras Maestras de la Ingeniería Civil. Revista Digital de la Facul-
tad de Ingeniería civil – UNI, Perú
Actividad N° 4 116
TAREA ACADEMICA Nº 2 116
bibliografía de la unidad IV 116
AUTOEVALUACIÓN de la unidad iv 117
GLOSARIO 119
ANEXO: claves de las autoevaluaciones 120

E
l acelerado crecimiento del saber científico y el desarro-
llo de la técnica en la comunicación plantean desafíos
para revisar contenidos y el proceso metodológico de
aprendizaje en la asignatura de comunicación como medio de
interacción social.
En pleno siglo XXI, el acelerado avance tecnológico en todas las
ramas del conocimiento ha dado luces a nuevas aplicaciones de
las diversas ramas de la ingeniería para el bienestar de la sociedad.
En tal sentido el objetivo principal en este manual autoformativo
es enseñar a los estudiantes los conceptos y métodos fundamen-
tales de la mecánica vectorial. Para entenderlos, los estudiantes
deben tener antes que nada un sólido conocimiento de cómo se
trabaja con vectores.
Inmediatamente después presentamos los conceptos de equili-
brio de diagrama de cuerpo libre, de manera que los estudiantes
puedan empezar en seguida a usarlos y adquirir confianza a tra-
vés de aplicaciones relativamente sencillas. Luego presentamos
los conceptos de momento, par y sistemas equivalentes de fuer-
zas y momentos. El resto del manual se ocupa de las aplicaciones
de estos conceptos. Al analizar cada aplicación destacamos de
manera consistente el papel central que desempeñan los concep-
tos de equilibrio y de diagrama de cuerpo libre. Para ayudar a los
estudiantes a identificar resultados importantes.
Se recomienda que el estudiante desarrolle un hábito permanen-
te de estudio con la lectura constante de la teoría, asimismo, que
sea minucioso en la investigación, ya sea vía Internet, uso de
laboratorios virtuales, consulta a expertos a fin de consolidar los
temas propuestos. El contenido del manual se complementará,
con las clases por video conferencia, y con el uso continúo del
aula virtual de la Universidad, con el fin de desarrollar en forma
más detallada y amplia la asignatura.
Se sugiriere la siguiente secuencia de estudio para cada unidad:
• Realizar el estudio de los contenidos, el cual será de carácter
analítico y reflexiva subrayando, resumiendo y asimilando la in-
formación.
• Pasar al estudio de las lecturas seleccionadas, que son de
estudio de profundización, ampliación y actualización científico
tecnológico.
• Desarrollar la auto evaluación, que es una preparación para
la prueba final de la asignatura.
• Desarrollar las actividades programadas para cada semana
en el aula virtual, con la asesoría del Profesor Tutor.
En este manual autoformativo se consideraron problemas, ejerci-
cios y resúmenes teóricos de los libros: ”Mecánica Vectorial para
Ingenieros. Estática” de Beer Ferdinand; “Mecánica para Inge-
nieros. Estática” de Meriam J.L. Y Kraige L.G. así mismo “Mecá-
nica Vectorial para Ingenieros. Dinámica” de Hibbeler R. C
INTRODUCCIÓN

MECANICA VECTORIAL
MANUAL AUTOFORMATIVO
11
Desarrollo
de contenidos
Actividades Autoevaluación
Lecturas
seleccionadas
Glosario Bibliografía
Recordatorio Anotaciones
COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA
Conoce conceptos básicos, aplica la reducción de un sistema de fuerzas. determina
y ubica el torsor.
Determina los centros de gravedad de diferentes objetos, obtiene los centroides de
cuerpos bidimensionales y tridimensionales.
Utiliza correctamente el método de los nudos o el método de las secciones para
determinar las fuerzas que actúan en las barras de una armadura. Comprende los
efectos que se presentan en el interior de una estructura frente a un estado de carga.
Identifica los parámetros de movimiento. Comprende el comportamiento dinámico
de la partícula y el cuerpo rígido
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD I UNIDAD II UNIDAD II UNIDAD IV
Equilibrio de una
partícula, Fuerzas
en el espacio, Cuer-
pos rígidos
Equilibrio de
cuerpos rígidos,
Centroides
y Centros de
gravedad
Análisis estructural,
Armaduras,
Armazones y
máquinas, Fuerzas
en vigas y cables,
Momento de
Inercia
Dinámica, Movi-
miento Curvilíneo
de partículas,
Cinética de Partí-
culas, Métodos de
Energía y Cantidad
de Movimiento
TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO
UNIDAD I UNIDAD II UNIDAD II UNIDAD IV
1a
y 2a
Semana
16 horas
3a
y 4a
Semana
16 horas
5a
y 6a
Semana
16 horas
7a
y 8a
Semana
16 horas
Diagrama Objetivos Inicio
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA

MECANICA VECTORIAL
13
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
UNIDAD I: EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA, FUERZAS EN EL
ESPACIO, CUERPOS RÍGIDOS
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES
CONOCIMIENTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES
Tema N° 1: Algebra Vecto-
rial: Fuerzas en el Plano
1. Escalares y vectores
2. Vector
3. Adición o suma de Vec-
tores
4. Producto de un escalar
por un vector
5.Componentes de un vec-
tores
6. Componentes rectangu-
lares de un vector
Tema N° 2: Equilibrio de
una partícula
1. Equilibrio de una partí-
cula en el plano
2. Primera ley de Newton o
ley de la inercia
3.Diagrama del cuerpo li-
bre
Lectura Seleccionada N°
1:
Sede Central de Petronas
Kuala Lumpur City Cen-
tre; FIC UNI; 13 pp. La
lectura se encuentra en el
aula virtual de la Universi-
dad Continental
1. Analiza y aplica la teoría
de vectores en Inge-
niería
2. Elabora cálculos en dos
y tres dimensiones
3. Establece las ecuaciones
de equilibrio y describe
modelos sencillos de
los diversos tipos de
soportes utilizados en
ingeniería
4. Aplica los principios y
leyes de la Mecánica en
el análisis de sistemas
en equilibrio, partien-
do de un marco de re-
ferencia inercial
5. Conoce los conceptos
de momento y par de
fuerzas, que son los
que causan giros en las
maquinas
6. Reconoce sistemas equi-
valentes de fuerzas y
momentos
1. Toma conciencia del
rol de ser estudiante
universitario
2. Demuestra interés en
los nuevos conoci-
mientos y respeta la
opinión de sus compa-
ñeros
3. Juzga la importancia
del cálculo en su que-
hacer cotidiano y pro-
fesional
CONTENIDOS
autoevaluación
EJEMPLOS
BIBLIOGRAFÍA
ACTIVIDADES

14
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Tema N° 3: Fuerzas en el
espacio
1. Vector Unitario
2. Fuerzas en el espacio
3. Vector de posición
4. Fuerza en términos de
su magnitud y dos puntos
sobre su línea de acción
5.Adición de fuerzas con-
currentes en el espacio
6. Equilibrio de una partí-
cula en el espacio
Tema N° 4: Cuerpos Rígi-
dos
1. Cuerpos Rígidos y Prin-
cipio de Transmisibilidad
2. Momentos y sus caracte-
rísticas
3. Momento de una fuerza
con respecto a un punto
4. Teorema de Varignon
5. Momento de una fuerza
con respecto a un eje
6. Pares
7. Momento de un Par
2:
EL AEROPUERTO JAPO-
NÉS DE KANSAI - Revista
Digital de la Facultad de
Ingeniería civil – UNI –
Obras Maestras de la Inge-
niería Civil N° 2
Autoevaluación de la uni-
dad I
Actividad N° 1
Actividad N° 2
Actividad N° 3
Actividad N° 4
Control de Lectura Nº 1
Se aplicara una prueba de
selección múltiple de los
Temas N° 1; 2; 3 y 4 vía aula
virtual

MECANICA VECTORIAL
15
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
TEMA N° 1: ALGEBRA VECTORIAL - FUERZAS EN EL PLANO
Los domos geodésicos, son estructuras espaciales reticuladas compuestas por barras
y nudos que unidos entre sí forman un tejido sinérgico extremadamente resistente
y liviano. El edificio Spaceship Earth (la nave espacial Tierra) cerca de Orlando,
Florida, contiene 1450 vigas en unidades triangulares repetidas que forman una
esfera de 165 pies de diámetro. Para analizar las fuerzas en los elementos de tales
estructuras, los vectores fuerza se deben descomponer en componentes tridimen-
sionales
Para determinar las reacciones que se dan en los apoyos de las estructuras debemos
especificar la magnitud de la fuerza y su dirección. Para describir la posición de
un Omnibus respecto a su terrapuerto, se deben especificar la distancia y la direc-
ción del terrapuerto al Omnibus. En ingeniería tratamos con muchas cantidades
que tienen tanto magnitud como dirección que se pueden expresar como vectores.
En este apartado estudiaremos operaciones con vectores y la descomposición de
vectores en sus componentes, y daremos ejemplos de aplicaciones sencillas de los
vectores a la ingeniería.
UNIDAD I: EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA, FUERZAS EN EL ESPACIO, CUERPOS RÍGIDOS
Fig 1. Edificio Spaceship Earth en Florida E.U.A. en forma de domo
http://www.wdwinfo.com/Photos/Epcot_spaceship_earth/index.htm

16
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
1 ESCALARES Y VECTORES
Dentro del campo de la ingeniería cotidianamente vamos a trabajar con cantidades
escalares y vectores.
Una magnitud escalar sólo tiene módulo (valor numérico), seguido de la unidad.
Ejemplo: podemos decir que la masa de un avión ligero vale 5800 kg.
Una magnitud vectorial además de su valor numérico está definida también por su
dirección y sentido en el espacio.
Ejemplo, Un automóvil se dirige al norte a 80 km/h.
2 VECTOR
Un vector se representa gráficamente con un segmento de recta orientada y se sim-
boliza haciendo uso de letras del alfabeto sean estas mayúsculas o minúsculas, con
una flecha sobre la letra, como
→
A ,
→
c ,
→
AB
Elementos de un vector:
| |
x

Modulo, longitud, tamaño o norma de un vector
Dirección: Se mide desde algún eje de referencia ( ἀ grados sobre la horizontal)
Sentido: Esta dado por la punta de la flecha
A: Punto de aplicación (origen del vector)
B: Punto final (extremo del vector)
Línea de acción: Recta sobre la cual se ubica el vector
3 ADICION O SUMA DE VECTORES
Por definición los vectores se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Dos
vectores aplicados en un mismo punto tienen un vector resultante aplicado y en ese
mismo punto, y representado por la diagonal del paralelogramo construido sobre
estos vectores como lados.

MECANICA VECTORIAL
17
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Ley de los cosenos: cos
S A B AB ϕ
= + +
2 2 2
2
A partir de la ley del paralelogramo se puede obtener otro método para determinar
la suma de dos vectores. Este método denominado regla del triángulo, consiste en
disponer un vector a continuación del otro, la resultante es aquel vector que une el
origen con el extremo libre.
La resta de un vector se define como la adición de un vector con el opuesto del
segundo.
( )
A B A B
− = + −

 
 
 

Si tenemos más de dos vectores procedemos a sumar inicialmente dos vectores, al
resultado le sumamos el tercero y así sucesivamente.
4 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector A


. El producto es
un nuevo vector c A


. La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del
vector A


. Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A


.
Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a A


.
5 COMPONENTES DE VECTORES
Hemos verificado que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula pueden
sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula. De la
misma manera, una sola fuerza F que actúa sobre una partícula puede reemplazar-
se por dos o más fuerzas que produzcan juntas el mismo efecto sobre la partícula. A
estas fuerzas se le llamas componentes de la fuerza original F, y al proceso de susti-
tuirlas en lugar de F se le llama descomposición de la fuerza F en sus componentes.

18
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
6 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
El vector A


puede representarse como la suma de dos vectores que se encuentran
sobre los ejes x y y respectivamente. Estos vectores reciben el nombre de compo-
nentes del vector A


.
Ax y Ay se denominan componentes del vector A y se pueden calcular mediante la
siguiente relación:
cos
x
A A θ
=
y
A Asenθ
=
2 2
x y
A A A
= +
1
tan ( )
y
x
A
A
θ −
=
En este punto se introducirán dos vectores de magnitud unitaria dirigidos a lo largo
de los ejes positivos x e y. A esos vectores se les llama vectores unitarios y se repre-
sentan por i y j, respectivamente
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
ACTIVIDAD N°11
:
Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 Los Ejercicios han sido tomados de los textos:
Beer F., Johnston R, Eisenbenberg E., (2007). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Octava edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México.
Meriam J.L. Y Kraige L.G. (1998). Mecánica para Ingenieros. Estática. Tercera edición. Editorial Reverté, S.A. España.

MECANICA VECTORIAL
19
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
TEMA N° 2: EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
1 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO
“Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la par-
tícula se encuentra en equilibrio”.
Suponga que el sistema de fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en equili-
brio es bidimensional (coplanar). Orientando un sistema coordenado de manera
que las fuerzas queden en un plano x-y, podemos expresar la suma de las fuerzas
externas como:
( ) ( )
ˆ ˆ
x y
F F i F j
= + =
∑ ∑ ∑ 0
Esta ecuación se satisface si y solo si:
x
F =
∑ 0
y
F =
∑ 0
2 CUERPO SOMETIDO A DOS FUERZAS:
Si el cuerpo está en equilibrio, las 2 fuerzas deben ser de igual magnitud y direc-
ción, los sentidos son opuestos.
3 CUERPO SOMETIDO A TRES FUERZAS:
Si el cuerpo está en equilibrio, las 3 fuerzas deben ser concurrentes o paralelas
(caso particular).
Fig 2. El equilibrista estadounidense Nick Wallenda intentará este verano atravesar las cataratas
del Niágara sobre una cuerda de hierro
http://mirahechosyrealidades.com.mx/index_archivos/Page1564.htm

20
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
4 PRIMERA LEY DE NEWTON O LEY DE LA INERCIA
La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo sólo
puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. Newton expone que:
Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo
a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.
Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado
inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se apli-
que una fuerza o una serie de fuerzas cuyo resultante no sea nulo sobre él.
La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referen-
cia conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de
referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna
fuerza neta se mueve con velocidad constante.
5 DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE
Es la representación de todas las fuerzas que intervienen o actúan en un cuerpo o
partícula, se requiere efectuar dos pasos:
1) Dibujar un buen diagrama de cuerpo libre, donde se incluyan las fuerzas cono-
cidas y las que se quieren determinar.
2) Establecer las ecuaciones de equilibrio, para obtener expresiones que relacio-
nen las fuerzas conocidas con las desconocidas.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 Imágenes tomadas del libro de Mecánica para Ingeniería- Estática de Bedford y Fowler

MECANICA VECTORIAL
21
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
LECTURA SELECCIONADA N° 13
SEDE CENTRAL DE PETRONAS KUALA LUMPUR CITY CENTRE
INTRODUCCIÓN
El Kuala Lumpur City Centre trata de
expresar en arquitectura la visión que la
ciudad tiene sobre sí misma y su futuro.
Constituye un nuevo símbolo de Kuala
Lumpur y de Malasia, con una silueta
que será inmediatamente reconocida.
Las formas arquitectónicas surgen de
una clara intención de diseño.
El terreno, disponible gracias a la relo-
calización del Selangar Turf Club (Hi-
pódromo), se encuentra en el corazón
del distrito comercial y financiero de
Kuala Lumpur. La primera fase del Kua-
la Lumpur City Centre ocupa seis hectá-
reas en el sector noreste del predio. Las
torres gemelas de ochenta y ocho pisos
y 452.60m de altura, albergan la sede
de Petronas (Petróleos Nacionales), sus
subsidiarias y son el foco central del pro-
yecto. Las torres han sido diseñadas para
ser eficientes a la vez que hermosas. Un
puente aéreo conecta ambas torres en el
piso 41º y 42º a nivel del Sky Lobby, don-
de están el Surau (Capilla Musulmana) y el Centro de Conferencias. El puente de-
fine un portal urbano de escala monumental. El trazado de las plantas está basado
en principios geométricos islámicos. Compuestas por dos cuadrados rotados y su-
perpuestos que se combinan con un sistema en las esquinas internas, creando una
estrella de diez y seis puntas, las plantas permiten una eficiente distribución de ofi-
cinas y brindan magníficas vistas panorámicas. Las dos torres están conectadas no
sólo a nivel del puente aéreo sino también a nivel del basamento y de los subsuelos.
Ubicación: Jalan Ampang y Jalan Ramlee, Kuala Lumpur, Malasia Cliente: Kuala
Lumpur City Centre – Propiedades Sendirian Berhad Superficie: 418.000 m2 de ofi-
cinas y 140.000 m2 de negocios y amenidades Torres Gemelas de 88 pisos y 452.60
m de altura. Garaje subterráneo para 600 autos. Las torres gemelas tienen una
altura de 452,60 mts
El exterior de las torres está organizado en bandas horizontales de ventanas con-
tinuas que ofrecen ininterrumpidas vistas al paisaje. Un sistema de profundos pa-
rasoles y proyecciones horizontales modulan las formas verticales y producen una
fachada tridimensional, con sombras y relieves que, combinadas con la compleja
geometría de las plantas y de la silueta, crean un tipo de rascacielos apropiado
para el trópico. Las torres son rascacielos, pero con características diferentes de
los de climas templados. Las Petronas expresan la pujanza tecnológica de Malasia.
El cerramiento externo es un muro cortina de paneles de acero inoxidable en un
sistema tubular del mismo material. La base está más ricamente detallada respon-
diendo a su rol público. El edificio ofrece una bienvenida acogedora a través de
generosas arcadas y amplias cornisas y marquesinas. Además de la sede de Petronas,
el edificio incluye un shopping, un Museo del Petróleo, una Galería de Arte, una
Sala de Música Sinfónica con capacidad para ochocientos cincuenta espectadores y
un Centro de Conferencias.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 Revista Digital de la Facultad de Ingeniería civil – UNI - Obras Maestras de la Ingeniería Civil

22
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
LA COMPETICIÓN
Para el desarrollo del proyecto se invito a empresas arquitectónicas con anteceden-
tes probados de haber desarrollado proyectos altamente complejos, solo 8 empre-
sas internacionales presentaron sus planes al publico de KLCC.
Un don de Yale que siguió para empezar su propia empresa arquitectónica cuando
él estaba en los años cincuentas, Cesar Pelli entro en el proyecto con un vitae de
estudios formidables.
Él había diseñado el Centro Financiero Mundial en la Ciudad de Nueva York y el
Muelle del Canario en Londres, en 1995, él recibió la medalla de oro del Instituto
Americano de Arquitectura.
Para la oficina de Petronas, Pelli previó dos torres de 88 pisos cada una.
Con la circunferencia de las torres que disminuye gradualmente, se da la impresión
de dos edificios elegantes que se mueven en espiral hacia el cielo.
El modelo del suelo era basado en una estrella 12 puntas, un motivo repitiéndose
en la arquitectura islámica. (Esto se cambió después a una estrella de ocho puntas
por la sugerencia del Dr. Mahathir, por ser más representativo del plan islámico.)
Fortaleciendo el toque malasio, materiales locales y planes adornarían el interior
de las dos torres.
Pero la parte del proyecto que resaltaba era el skybridge que une los dos edificios.
El puente no sólo tenía el propósito funcional de facilitar el tráfico humano entre
las dos torres, también tenía una dimensión simbólica - un portal del cielo y la en-
trada a una Visión del año 2020.
LOS EDIFICIOS DEL FUTURO
Baste decir que el plan de Pelli quedo sumamente bien con todos los involucrados,
no sólo debido al elemento islámico y el simbolismo inherente del puente del cielo,
sino también por el 76% de eficacia en el uso de espacio.
Hasta ese momento no existía ningún proyecto que pudiese eclipsar el lanzamiento
de las Torres Petronas, tan solo estaba la Torre Sears de Chicago, entonces el edifi-
cio más alto del mundo con 443m.
Se supone que las Torres Petronas eran distintivas y únicas pero no eran las más
altas, el plan original tenía tan solo 427m, 16m. Debajo de la Torre Sears, de hecho
la construcción ya había empezado cuando una tarde de 1994, en una reunión de
té, una pregunta se puso por accidente a Pelli por el Dr. Mahathir.
Según Azizan que estaba presente en la reunión con Ananda y Abdul Rahim el
primer ministro pregunto cuántos metros habría que aumentarle a las torres para
conseguir un edificio más alto, “Tener la etiqueta de ser las más altas del mundo”,
entonces se regreso al diseño y de un recalculamiento matemático se sugirió que no
se aumentaría el número de pisos, sin embargo, levantando la altura de los pinácu-
los que fueron diseñados para ser mas planos originalmente.
EL ACERCAMIENTO
El planeamiento de la construcción de las torres tuvo lugar a lo largo de 1992, en
este tiempo del cinco al siete por ciento del presupuesto total fue gastado en la
planificación exclusivamente.

MECANICA VECTORIAL
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DE LA VISIÓN A LA REALIDAD
El impulso del hombre por alcanzar los cielos es evidente en los muchos monumen-
tos, antiguos y modernos, de la torre bíblica de Babel a la Torre Sears de Chicago,
nosotros vemos evidencia del esfuerzo del hombre para alcanzar el cielo.
Pero mientras se diseña y se plantea estos rascacielos, es otro problema el hacerlos
realidad, las Torres Petronas fueron el desafió del siglo.
LA FUNDACIÓN
La fundación tomo un año entero para completar, cada paso de su construcción era
un descubrimiento tecnológico. La construcción de las Torres Petronas fue planifi-
cado en el área de la que fue el Selangor Césped club, que tenía un terreno llano,
verde, pero los estudios de la tierra mostraron que el sitio donde se había planifica-
do originalmente tenia irregularidades siendo impropio para la fundación, es más
las pruebas de la tierra mostraron que el lecho de roca bajo ambas torres empeza-
ban poco profundas,15m abajo, pero se inclinaba gradualmente a mas de 180m.
Finalmente se decidió mover la locación 60m. Al sudeste del sitio para lograr un
buen apoyo, aquí el lecho de roca era más profundo, permitiendo así fijar los edifi-
cios firmemente en por lo menos 55m de tierra.
La excavación empezó en Marzo de 1993.
El contrato para los trabajos de la fundación se otorgo a un consorcio francés y las
compañías locales: Dragages-Bachy-First Nationwide Sdn Bhd.
Cada paso en la preparación de la fundación era un descubrimiento tecnológico,
dice Alida Ariff, entonces el gerente de la planificación del proyecto de KLCC.
Era la primera vez que la industria de la construcción daría testimonio de la can-
tidad más grande de hormigón vertida en su historia 13,200 metros cúbicos, el
hormigón se vertió a raudales continuamente en el agujero por más de 52 horas.
ESTRUCTURAS EXCELENTES
KLCCB decidió traer dos equipos de construcción separados para las Torres. La
razón, según Abdul Rahim Naim, jefe el funcionario que opera de KLCCB, era que
“nosotros no quisimos poner todos los huevos en una cesto.
“Nosotros también queríamos que ambas contratistas aprendieran de nosotros. Ha-
blando logísticamente y financieramente, había mucho más ventajas teniendo dos
equipos” separados.
Además, agrega Arlida, la competición entre ambas empresas para ver quién hace
bien el trabajo era saludable.
Así en 1994, se otorgaron contratos para la construcción de las Torres Gemelas a
dos consorcios. El Mayjaus Joint-Venture, llevado por la Corporación de Hazama
de Japón, y hecho por JA Jones Construction Co, MMC Engineering Services Sdn
Bhd, Ho Hup Construction Co Bhd and Mitsubishi Corporation, ganó el contrato
para Torre Uno.
El contrato para Torre Dos y el skybridge se otorgó a SKJ Joint Venture que se llevó
por Samsung Engineering & Construction Co y comprised Kuk Dong Engineering
& Construction Co Ltd y Syarikat Jasatera Sdn Bhd.

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torio Anotaciones
Cuando la fundación de la torre uno estuvo, lista en Marzo de 1994, la corporación
de Hazama fue movilizada, la construcción de la torre Dos por Samsung empezó
un mes después.
Quizás el paso más revolucionario estaba en el uso del hormigón en lugar del acero
convencional en la construcción de las columnas y paredes del centro de las torres.
Hashimah explica que las torres Petronas se diferencian de los demás edificios en
el mundo ya que los demás usan el acero en su construcción, mientras que acá ase
opto por el hormigón ya que era material local que podría producirse fácilmente.
El tamaño macizo de la construcción también exigió una mano de obra grande.
Durante el periodo máximo de la construcción entre Julio de 1995 y los inicios de
1997, aproximadamente 1000 personas trabajaron en cada torre.
Tomó 25 meses y una semana para completar la Torre Uno y 24 meses para Com-
pletar la Torre dos.
SIGUIENDO LA HUELLA RÁPIDA
Una de las tareas más desafiantes era completar las Torres dentro del presupuesto
y en el horario establecido.
Un ejemplo de esto era la velocidad de construcción de cada piso, cada uno se
completo dentro de 4 días, casi tres veces más rápidamente que la proporción de la
construcción normal que es de 10 días por piso.
EL REVESTIMIENTO
El revestimiento empezó una vez que el edificio alcanzo el nivel nueve, esto fue en
los últimos meses de 1994.
Un total de 83,500m. De expulsiones de acero limpias y 55,000m. De vaso laminado
se usó para el revestimiento de las paredes.
El contrato para el revestimiento externo de la torres se otorgo a un consorcio de
Harmon Contract Asia Sdn Bhd, Lucksoon Metal Works y Nippon Light Metal.
Pero el revestimiento se detuvo brevemente en una fase, en el nivel 30, para dejar
paso al primer momento culminante del edificio, el Skybridge.
EL PINÁCULO
La gloria de coronamiento a las torres gemelas es el par de pináculos de acero
73.5mde altura que propulsarían a las torres para afamar como el edificio más alto
del mundo.
Cada pináculo comprendió un mástil, una pelota espiral y una pelota del anillo;
todos se alzaron el pedazo parte por parte en el lugar.
Feb 13, 1996 otro día importante - el día cuando la construcción del pináculo em-
pezó. Primero el mástil que tenía 24 segmentos fue numerado y alzado. La pelota
del anillo que consistió en 14 tubos concéntricos de diferentes diámetros también
se ensamblo.
Finalmente, la pelota espiral que se diseñó en 10 secciones se soldó en la cima del
pináculo.

MECANICA VECTORIAL
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¡Según Hashimah, aunque ambos contratistas empezaron simultáneamente los pi-
náculos, la Torre dos termino seis días antes, el 5 de marzo de 1996.
Pero no es la ilusión que después de 37 meses de puro trabajo duro, ingeniosidad
y determinación, el último monumento del país a su “Malasia Boleh” el espíritu es
una realidad que puede estar de pie alto y orgulloso de verdad entre los más gran-
des edificios del mundo.
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ACTIVIDAD N° 24
:
TEMA N° 3: FUERZAS EN EL ESPACIO
En ingeniería muchas aplicaciones requieren la descomposición de vectores en sus
componentes en un sistema coordenado tridimensional. Aquí explicaremos cómo
hacerlo y cómo operar con vectores en tres dimensiones.
1 Vector Unitario:
Es un vector de magnitud 1. Tiene por finalidad indicar la dirección y sentido de un
determinado vector. A dicho vector se le llama también versor.
Fig 3. Descenso en cuerdas de un nido de aguiluchos a más de 500 m de altura
http://www.emocionextrema.com
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2 Fuerzas en el Espacio:
3 Vector de Posición:
Se define como un vector fijo que localiza un punto en el espacio con respecto a
otro punto.
4 Fuerza en términos de su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción:
Toda fuerza es la multiplicación de su módulo por el vector unitario.
5 Adicción de fuerzas concurrentes en el espacio:
Cuando se presentan mas de dos fuerzas en un sistema, es necesario encontrar la
resultante de todas ellas; para lo cual sólo es necesario sumarlo vectorialmente y
atendiendo los principios vectoriales.
Fig 4. Grúas de construcción, montadas al camión para aplicaciones
http://www.interempresas.net

MECANICA VECTORIAL
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6 Equilibrio de una partícula en el espacio:
Las situaciones de equilibrio que hemos considerado hasta ahora implicaron sólo
fuerzas coplanares. Cuando el sistema de fuerzas externas que actúan sobre un
cuerpo en equilibrio es tridimensional, podemos expresar la suma de las fuerzas
externas como:
( ) ( ) ( ) ˆ
ˆ ˆ
x y z
F F i F j F k
= + + =
∑ ∑ ∑ ∑ 0

Esta ecuación se cumple si sólo si
; ;
x y z
F F F
= = =
∑ ∑ ∑
0 0 0
Las sumas de las componentes x y y, z de las fuerzas externas que actúan sobre un
cuerpo en equilibrio deben ser iguales a cero.
Desarrollo
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ACTIVIDAD N° 35
:
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Hibbeler R. C. (2004). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Pearson Educación de México, S.A. De C.V. México.
( ) ( ) ( ) ˆ
ˆ ˆ
; ;
x y z
x y z
y
x z
x y z
R F
R F i F j F k
R R R R
R
R R
Cos Cos Cos
R R R
θ θ θ
=
= + +
= + +
= = =
∑
∑ ∑ ∑
2 2 2

 



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torio Anotaciones
TEMA N° 4: CUERPOS RÍGIDOS
En temas anteriores se supuso que cada uno de los cuerpos considerados podía ser
tratado como si fuera una sola partícula. Sin embargo, esto no siempre es posible
y, en general, un cuerpo debe tratarse como la combinación de varias partículas.
Tendrá que tomarse en consideraciones el tamaño del cuerpo y también el hecho
de que las fuerzas actúan sobre distintas partículas y, por tanto, tienen distintas
partículas y, por lo tanto, tienen distintos puntos de aplicación.6
Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no se deforma, se supone que la
mayoría de los cuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos. Mas sin
embargo, las estructuras y maquinas reales nunca han tenido la posibilidad de con-
siderarse lo absolutamente rígidas ya que se pueden deformar bajo la acción de las
cargas que actúan sobre ellas. A pesar de esto, en lo general esas deformaciones son
muy pequeñas y no pueden afectar las condiciones de equilibrio o de movimiento
de la estructura que se toma en consideración. No obstante, tales deformaciones
son importantes en lo que concierne a la resistencia en la falla de las estructuras y
se consideran en el estudio de materiales.
1 Cuerpos Rígidos y Principio de Transmisibilidad
El Principio de Transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o mo-
vimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa
en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F’ que tiene la mis-
ma magnitud, dirección y sentido, pero que actúa en un punto distinto, siempre y
cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción.
Las dos fuerzas, F y F’, tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que
son equivalentes.
2 Momentos y sus características
El momento de una fuerza respecto a un punto o respecto a un eje es una medida
de la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor del punto o del eje.
Fig 5. Maquinaria pesada actuando como cuerpo rígido en pleno trabajo de campo
http://ciudadarequipa.mundoanuncio.com.pe
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6 Beer F., Johnston R, Eisenbenberg E., (2007). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Octava edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México.

MECANICA VECTORIAL
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Ejemplo:
El momento de F respecto de O es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer
girar el cuerpo alrededor del eje AA.
La recta AA es perpendicular al plano que contiene a la fuerza F y al punto O.
Sentido del momento: Se indica mediante una flecha curva en torno al punto.
Por definición:
- Rotación antihoraria: momento positivo
- Rotación horaria: momento negativo
3 Momento de una fuerza respecto a un punto:
El vector r

que va del punto respecto del cual hay que determinar el momento a
un punto cualquiera de la recta soporte de la fuerza se puede expresar así:
La ecuación vectorial de cálculo del momento de una fuerza respecto a un punto:
M0
=r x F (Expresión Vectorial)
Es aplicable tanto al caso bidimensional como al tridimensional.
4 Teorema de Varignon:
El momento que una fuerza ejerce sobre un punto es igual a la suma de los momen-
tos de las componentes de la fuerza con respecto al mismo punto.

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torio Anotaciones
5 Momento de una fuerza con respecto a un eje:
El momento de una fuerza respecto de un punto no tiene significado físico
en mecánica por que los cuerpos giran en torno a ejes y no alrededor de
puntos.
El momento MOB de una fuerza respecto a un eje n se puede obtener:
6 Pares
Dos fuerzas de igual módulo, paralelas, no colineales y de sentidos opues-
tos forman un par. Así, la suma de las dos fuerzas es nula en cualquier
dirección, por lo que un par tenderá solamente a hacer girar el cuerpo al
que esté aplicado.
7 Momento de un Par
El momento de un par es simplemente la suma de los momentos de las
fuerzas respecto a un punto O:
Los vectores momento de los pares son vectores libres, se pueden sumar o restar
independientemente de su posición en el espacio.

MECANICA VECTORIAL
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EL AEROPUERTO JAPONÉS DE KANSAI
El aeropuerto japonés de Kansai es, junto con la Gran Muralla China, una de las
dos únicas obras hechas por el hombre que pueden divisarse desde el espacio. Es
también, el aeropuerto más caro del mundo, lo que no impide que se esté hundien-
do en el mar.
CARACTERÍSTICAS
El aeropuerto de Kansai se inauguró en 1994 como la última gran proeza de inge-
niería del siglo XX. Dado que el aeropuerto no cabía entre la densidad urbana y
las montañas de la segunda región más poblada de Japón, fue preciso crear una isla
artificial en la bahía de Osaka.
La construcción de esta isla, de 511 hectáreas, duró siete años y medio y se invirtie-
ron más de 14 mil millones de dólares, lo que le convierten en el aeropuerto más
caro del mundo. Los ingenieros ya previeron que el aeropuerto iría descendiendo
con el tiempo: calcularon que bajaría 11,5 metros en 50 años y que en los siguientes
44 años sólo podría descender otros 50 centímetros más. Sin embargo, desde su
construcción ya ha descendido los 11,5 metros previstos para 50 años y amenaza
con perder la estabilidad. Y no es un edificio cualquiera: con 1,7 kilómetros, el ala
de embarque es, probablemente, el volumen más largo que jamás se haya construi-
do en una sola unidad.
EL PROBLEMA
En el momento de la construcción de la terminal, y para poder nivelarla, las co-
lumnas de soporte se equiparon con gatos hidráulicos que permiten levantarla o
bajarla.
Pero según la prensa japonesa, las alas del edificio se han deformado tanto que los
gatos apenas pueden corregir la inclinación.
El problema estaría en los cimientos, que se habrían amasado con más arena y me-
nos roca de lo conveniente.
Se han detectado grietas en varios edificios de la isla, las instalaciones eléctricas po-
drían verse afectadas y los depósitos de combustible soportan una presión excesiva.
Y lo peor es que no sólo la terminal de pasajeros se hunde en la isla, sino que la
propia isla -según “The Japan Times”- se hunde en la bahía.
¿HAY SOLUCIÓN?
Los defectos que padece el aeropuerto de Kansai tienen, en principio, solución
técnica. Sin embargo hay suficientes problemas para sembrar la inquietud. Si no se
hunde en el mar, puede arruinarse económicamente.
Además, en los últimos años, compañías internacionales como British Airways o
United Airlines han anulado o reducido sus vuelos con Kansai y ello a pesar de ser
el único aeropuerto de Japón que puede permanecer abierto las 24 horas del día.
LOS CULPABLES
El arquitecto que proyectó el aeropuerto, el italiano Renzo Piano -coautor del cen-
tro Pompidou de París y premio Pritzker de arquitectura de 1998-, se defiende di-
ciendo que la plataforma sobre la que se sustenta la terminal no es obra suya y que
el movimiento detectado hasta ahora es un simple asentamiento del terreno. Sin
embargo, también hay quien recuerda que es obligación del arquitecto comprobar
la solidez del terreno sobre la que se construye su obra.
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7 Revista Digital de la Facultad de Ingeniería civil – UNI – Obras Maestras de la Ingeniería Civil N° 2

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torio Anotaciones
CRONOLOGIA
1968 Abril
El ministerio del transporte (MOT) comenzó a examinar ocho sitios propuestos
del aeropuerto: en la frontera prefectural de Osaka-Wakayama; en las aguas de las
orillas de Sennan, de Kishiwada, de Nishinomiya, de Rokko, de la isla portuaria y de
Akashi; en la isla de Awaji.
1974 Agosto
El consejo para la aviación civil sometida a MOT un informe que recomienda el
área de la costa afuera de Senshu como la mejor opción en términos de la escala y
de la localización.
1976 Septiembre
MOT comenzó un examen del área recomendada fuera de la costa de Senshu.
1981 Mayo
MOT presentó un sistema de ofertas a los tres gobiernos prefectural (las prefectu-
ras de Osaka, de Hyogo y de Wakayama): “plan del aeropuerto para el aeropuerto
internacional de Kansai”.
1982 Julio
El gobierno prefectural de Osaka dio consentimiento a MOT para poner el plan
en ejecución (seguido por el consentimiento del gobierno prefectural de Hyogo en
Junio de 1984 y del gobierno prefectural de Wakayama en abril de 1984).
1984 Octubre
Aeropuerto Internacional Co., Ltd De Kansai. (KIAC) fue fundado.
1985 Octubre
La compañía sometió al gobierno prefectural de Osaka un informe preliminar que
determinaba las consecuencias para el medio ambiente de la construcción propues-
ta del aeropuerto. El aviso y el acceso públicos fueron hechos y las reuniones fueron
celebradas para explicar el proyecto a los residentes locales.
Diciembre El consejo de gabinete aprobó el plan general para la construcción de
las instalaciones internacionales del aeropuerto de Kansai.
1986 Febrero
La organización ambiental de la vigilancia del aeropuerto internacional de Kansai
fue establecida. (la organización se compone del gobernador de la prefectura de
Osaka y de los alcaldes de ocho ciudades.)
Abril La compañía entró en un acuerdo de la remuneración con la federación
de las asociaciones de los pescadores en la prefectura de Osaka. Por noviembre la
compañía había entrado en acuerdos similares con las federaciones de Hyogo y de
Wakayama de las asociaciones de los pescadores y con la asociación cooperativa de
los pescadores de Izumisano.
Noviembre La ciudad de Izumisano, de Sennan y los gobiernos municipales de la
Tajiri-ciudad sometieron una declaración del acuerdo en el terraplén para el pro-
yecto del aeropuerto al gobernador de la prefectura de Osaka.
Diciembre MOT concedió el permiso oficial para la construcción del aeropuerto
internacional de Kansai.

MECANICA VECTORIAL
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Desarrollo
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Lecturas
seleccionadas
1987 Enero
El gobernador de la prefectura de Osaka licenció a la compañía a realizar el trabajo
de la recuperación en las aguas públicas para la construcción del aeropuerto. La
construcción comenzó en el malecón de la isla del aeropuerto.
Enero: La construcción del malecón de la isla del aeropuerto comenzó.
Junio La construcción del puente del acceso del aeropuerto fue comenzada.
Noviembre: El japonés y el U.S.governments alcanzaron un acuerdo referente a los
procedimientos de la consecución para el proyecto del aeropuerto.
Diciembre: El malecón de la isla del aeropuerto casi fue terminado y el trabajo de
la recuperación comenzó.
1988 Junio
El malecón de la isla del aeropuerto fue terminado.
1989 Mayo
La construcción del edificio de la terminal de viajeros comenzó.
Diciembre: El trabajo de la recuperación sobre la isla del aeropuerto fue terminado.
1991 Diciembre
La construcción de las instalaciones principales del aeropuerto (cauce, pistas de
rodaje, delantal) fue terminada.
1993 Enero
La construcción de la isla del aeropuerto fue terminada.
El puente del acceso del aeropuerto fue terminado.
El aeropuerto pasó la inspección oficial para la terminación.
Junio: El edificio de la terminal de viajeros fue terminado.
Junio: Los ferrocarriles del acceso del aeropuerto comenzaron la operación.
1994 4 de Septiembre: El aeropuerto fue abierto.
1995 24 de Junio: El Aeroplaza, un hotel y el complejo del centro de compras,
fueron abiertos.
Diciembre: Los costos del proyecto relacionados con la 2da fase del plan maestro
del aeropuerto fueron incluidos en el bosquejo del presupuesto de FY96 del go-
bierno central.
1996 11 de Junio: El desarrollo de tierra internacional del aeropuerto de Kansai
Co., Ltd. fue fundado.
7 de Noviembre: Fundaron al comité internacional de la promoción de la inversión
del Sector-Privado de la construcción de la Segundo-Fase del aeropuerto de Kansai.
11 de Diciembre: El informe final del 7mo programa de desarrollo de cinco años
del aeropuerto fue sometido.
1997 Junio
MOT sometió un plan comprensivo de la actividad con respecto a las rutas inter-
nacionales del vuelo del aeropuerto de Kansai a tres gobiernos prefectural locales.
Diciembre: Los costos de la preparación de la construcción para la 2da fase del
plan maestro del aeropuerto fueron incluidos en el bosquejo del presupuesto del
gobierno nacional FY98.

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torio Anotaciones
LA EXPANSIÓN AEROPUERTO INTERNACIONAL DE KANSAI, JA-
PÓN
El Aeropuerto Internacional de Kansai (KIA) está realizando un proyecto de ex-
pansión que incluye la construcción de dos nuevas pistas de aterrizaje y una nueva
terminal de pasajeros fuera de la isla ya existente.
El aeropuerto abrió en septiembre de 1994 y se localiza en la Bahia de Osaka, 35
Km al sur del centro de Osaka, Japón.
LA EXPANSIÓN DEL AEROPUERTO
KIA ya ha ganado una posición importante como un cubo de tráfico aéreo inter-
nacional. En el orden retener y más allá reforzar su importancia en un momento
cuando están construyéndose otros nuevos aeropuertos grandes a lo largo de Asia,
es considerado vital para proceder con el desarrollo. Se espera que la expansión
también aumente las actividades económicas y sociales y tocará un factor positivo
mejorando la economía de Osaka y la región de Kansai. El aeropuerto opera ac-
tualmente en una sola pista de aterrizaje de 3,500m y depende de un manejo de
160,000 salidas y llegadas por año. Se espera que este número suba a a a 230,000
salidas y llegadas el año 2011 con la suma de una segunda pista de aterrizaje.
LA BALANZA DE TIEMPO DE PROYECTO
Los trabajos han empezado en 1999 y la pista de aterrizaje debe estar lista para su
uso en octubre del 2007.
LA CREACION DE UNA NUEVA ISLA
El desarrollo producirá unas 542 hectáreas adicionales de tierra.
La nueva tierra será el sitio para la construcción de una nueva pista de aterrizaje de
4,000m. El desmonte para el relleno de la isla se estima en 270 millones de m³ de
tierra, piedra y arena.
Debajo de las capas del lecho marino existe una capa de arcilla húmeda. Primera-
mente, el agua debe quitarse para fortalecer la arcilla. Deben construirse paredes
que rodeen la isla para protegerla de las corrientes oceánicas.
LA MEJORA DEL LECHO MARINO
El método usado para la mejora del lecho marino es el método de desagüe de are-
na. Se manejan varios montones de arena en la arcilla del lecho marino suave. El
peso de la tierra se usa para hacer presión en la arcilla para que esta expulse el agua.

MECANICA VECTORIAL
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Desarrollo
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La arcilla se solidifica gradualmente de esta manera.
Se usaron ocho barcazas de desagüe de arena grandes para el trabajo de mejora de
lecho marino.
El segundo desarrollo de la fase del Aeropuerto Internacional de Kansai costará
aproximadamente $13 mil millones.
Desarrollo
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ACTIVIDAD N° 48
:
Desarrollo
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CONTROL DE LECTURA Nº 1:
Objetivos Inicio
os
s
o Anotaciones
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I
Beer F., Johnston R, Eisenbenberg E., (2007). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática.
(Octava edición). Mc. Graw-Hill Interamericana. México.
Bedford A. Y Fowler W. (1996). Mecánica para Ingenieros. Estática. (Primera Edición).
Estados Unidos; Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, S.A.
Hibbeler R. C. (2004). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Pearson Educación de
México, S.A. De C.V. México.
Meriam J.L. Y Kraige L.G. (1998). Mecánica para Ingenieros. Estática.(Tercera edición).
España: Editorial Reverté, S.A.
Riley W.F. Y Sturges L.D. (1995). Ingeniería Mecánica. Estática.(Primera edición).España
:Editorial Reverté, S.A.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hibbeler R. C. (2004). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Pearson Educación de México, S.A. De C.V. México.
Riley W.F. Y Sturges L.D. (1995). Ingeniería Mecánica. Estática. Primera edición. Editorial Reverté, S.A. España.

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torio Anotaciones
Desarrollo
de contenidos
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AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD I
INSTRUCCIONES:
Seleccionar y marcar la respuesta correcta de las 5 alternativas presentadas en cada pre-
gunta. (Cada pregunta tiene un valor de 2 puntos)
1. Unos arqueólogos extranjeros midieron una estructura ceremonial precolombina
obtuvieron las dimensiones mostradas. Determine la magnitud del vector que va
del punto A al punto B.
a) 16,25 m b) 66 m c) 2,66 m
d) 14,25 m e) 10,25 m
2. Del problema anterior, al volver a su país, los arqueólogos se dan cuenta de que
han perdido las notas que contienen la dimensión b, pero otras notas indican que
la distancia del punto B al punto C es de 16,4 m. ¿Cuál es el valor de b?
a) 6,99 m b) 5,99 m c) 4,99 m
d) 3,99 m e) 2,99 m
3. Determine la magnitud de la fuerza resultante. Considerar F1
=250 lb; F2
=375 lb;
θ=30° y φ=45°
a) 293,18 b) 493,18 c) 393,18
d) 593,18 e) 693,18
4. Del problema anterior determine la dirección de la resultante respecto al eje x
positivo
a) 7,11° b) -7,11° c) 17,11°
d) -17,11° e) 10,11°

MECANICA VECTORIAL
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5. Dos cables se amarran en C y se cargan como se muestra en la figura. Determine la
tensión en el cable AC.
a) 100 lb b) 200 lb c) 300 lb
d) 400 lb e) 500 lb
6. Del problema anterior encuentre la tensión en el cable BC.
a) 544 lb b) 444 lb c) 500 lb
d) 244 lb e) 100 lb
7. Tres cables son usados para amarrar el globo que se muestra en la figura. Si la ten-
sión en el cable AB es de 259 N, determine la fuerza vertical P que ejerce el globo
en A.
a) 1031 N b) 1300 N c) 1200 N
d) 1500 N e) 1600 N
8. Del problema anterior la tensión en la cuerda AD es?
a) 126 lb b) 256 lb c) 356 lb
d) 436 lb e) 536 lb
9. Se aplica una fuerza de 300 N al vértice B de una placa rectangular, en la forma que
se indica en la figura, Determinar la magnitud del momento de la fuerza respecto
al punto O.

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torio Anotaciones
a) 266 N.m b) 53 N.m c) 106 N.m
d) 291 N.m e) 122 N.m
10. Del problema anterior el momento de la fuerza respecto al eje OD es?
a) 254 N.m b) 523 N.m c) 306 N.m
d) 491 N.m e) 122 N.m

MECANICA VECTORIAL
39
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Desarrollo
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UNIDAD II: EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS, CENTROIDES Y
CENTROS DE GRAVEDAD
Desarrollo
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DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES
cuerpos rígidos en dos di-
mensiones
1. Equilibrio en dos di-
mensiones
2. Diagrama de sólido li-
bre
3. Equilibrio de un cuer-
po sujeto a dos fuerzas
po sujeto a tres fuerzas
cuerpos rígidos en tres di-
mensiones
po rígido en tres di-
mensiones
2. Reacciones en los apo-
yos y conexiones de
una estructura tridi-
mensional
3
El Canal de Panamá. Obras
Maestras de la Ingeniería Ci-
vil. Revista Digital de la Facul-
tad de Ingeniería civil – UNI,
Perú
Tema N° 3: Centroides y
Centro de gravedad.
1. Introducción de áreas
y líneas
1. Establece y aplica con-
diciones de equilibrio
de los cuerpos rígidos
2. Calcular reacciones en
apoyos de las vigas
3. Establece y aplica con-
diciones de equilibrio
de los cuerpos rígidos
en el espacio
4. Determina los centros
de gravedad de dife-
rentes objetos. Obtiene
los centroides de cuer-
pos bidimensionales y
tridimensionales
5. Aplica los conceptos de
centroide en la solu-
ción de problemas de
cargas distribuidas
Actividad N°1:
Actividad N°2:
Actividad N°3:
Actividad N°4:
Tarea academica Nº 1
Elabora una monografía de las
lecturas seleccionadas N° 1; 2;
3 y 4
1. Toma conciencia del
rol de ser estudiante
universitario
2. Demuestra interés
en los nuevos conoci-
mientos y respeta la
opinión de sus compa-
ñeros
3. Juzga la importancia
del cálculo en su que-
hacer cotidiano y pro-
fesional
CONTENIDOS
autoevaluación
EJEMPLOS
BIBLIOGRAFÍA
ACTIVIDADES

40
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
2. Centros de Gravedad
3. Centros de gravedad
de líneas
de áreas
de volumen
6. Cuerpos compuestos
7. Determinación del
centroide por integra-
ción
8. Fórmulas de centroi-
des de figuras comu-
nes de áreas y de líneas
9. Teorema de Pa-
ppus-Guldinus
Tema N° 4: Fuerzas Distri-
buidas
1. Cargas distribuidas en
vigas
2. Fuerzas sobre superfi-
cies sumergidas
4
Torres el Faro; Obras Maes-
tras de la Ingeniería Civil. Re-
vista Digital de la Facultad de
Ingeniería civil – UNI, Perú
Autoevaluación de la uni-
dad II

MECANICA VECTORIAL
41
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UNIDAD II: QUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS, CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD
TEMA N`1: EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES
El estudio del equilibrio de un cuerpo rígido consiste básicamente en conocer to-
das las fuerzas, incluidos los pares que actúan sobre él para mantener ese estado.
Por ahora se analizarán las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, es decir las
fuerzas que otros cuerpos, unidos o en contacto con él, le ejercen.
Las condiciones necesarias para el equilibrio de un cuerpo rígido son:
• ∑F = 0, Sumatoria de Fuerzas (No hay traslación)
• ∑M= 0, Sumatoria de Momentos (No hay rotación)
Estas ecuaciones se pueden expresar vectorialmente:
x y z
x y z
F F i F j F k i j k
M M i M j M k i j k
= + + = + +
= + + = + +
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
0 0 0
0 0 0


1 EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES:
Son problemas donde las fuerzas que intervienen están contenidas en un plano,
los momentos son perpendiculares al plano donde están contenidas las fuerzas. Se
pueden analizar escalarmente.
En dos dimensiones (en el plano xy), de las ecuaciones generales quedarían:
x
F =
∑ 0 y
F =
∑ 0 z
M =
∑ 0
Por ello solo hay tres ecuaciones escalares independientes para el equilibrio de un
cuerpo rígido.
MODELADO DE LA ACCION DE LAS FUERZAS EN UN ANALISIS DE DOS DI-
MENSIONES9
Tipo de contacto y Origen Fuerza Acción sobre el cuerpo para ser aislado
1. Cable Flexible, correa, cadena o
cuerda
La fuerza ejercida por un cable flexi-
ble es siempre una tracción dirigida
fuera del cuerpo en la dirección del
cable.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9 Meriam J.L. Y Kraige L.G. (2007). Mecánica para Ingenieros. Estática. Quinta edición. Editorial Reverté, S.A. España.

42
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
2. Las superficies lisas Fuerza de contacto es de compresión
normal a la superficie.
3. Las superficies rugosas Las superficies rugosas son capaces de
soportar una componente tangencial
F (fuerza de fricción), así como una
componente normal N de la fuerza de
contacto resultante R.
4. Apoyo de rodillo Los apoyos de rodillo, eje de balancín,
sector o bola, transmiten una fuerza
compresiva normal a la superficie
portante.
5. Guía de deslizamiento libre Collar o corredera con libertad para
moverse a lo largo de guías lisas; pue-
de resistir solamente la fuerza normal
a la guía.
6. Conexión del pasador Una conexión de pasador articulada,
resiste una fuerza en cualquier direc-
ción en el plano normal al eje del
pasador que suele representarse por
sus componentes Rx y Ry. Un pasador
que no gire libremente podrá resistir
también un par M.
7. Empotramiento o apoyo fijo. Solda-
dura
Un empotramiento o apoyo fijo pue-
de resistir una fuerza axial F, una fuer-
za transversal V (fuerza cortante o de
cizallamiento), y un par M (momento
flector) para impedir la rotación.

MECANICA VECTORIAL
43
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
8. Atracción gravitatoria La resultante de la atracción gravita-
toria sobre todos los elementos de un
cuerpo de masa m es el peso W = mg y
actúa hacia el centro de la tierra.
9. Acción resorte La fuerza en el resorte es de tracción
si primero se estira y será de com-
presión si se le comprime. Para un
resorte elástico lineal la rigidez k es
la fuerza necesaria para deformar el
resorte una longitud media.
2 DIAGRAMA DE SOLIDO LIBRE
1. Armadura Plana
El peso de la armadura se desprecia frente a F
2. Viga en voladizo
3. Viga
Contacto liso en A

44
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
4. Sistema rígido de cuerpos interconectado considerado como un conjunto único
3 EQUILIBRIO DE UN CUERPO SUJETO A DOS FUERZAS10
Las resultantes de las fuerzas que actúan en cada uno de estos puntos deben tener
la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos. Esta propiedad
permitirá simplificar la solución de algunos problemas reemplazando las dos com-
ponentes desconocidas de una reacción, por una sola fuerza de magnitud descono-
cida pero cuya dirección es conocida.
En el estudio de estructuras, marcos y máquinas se verá que saber identificar los
cuerpos sometidos a la acción de dos fuerzas simplifica la solución de ciertos pro-
blemas.
Considérese una placa en ángulo sujeta a dos fuerzas F1
y F2
que actúan, respecti-
vamente, en A y B (Fig. a). Si la placa está en equilibrio, la suma de los momentos
de F1
y F2
con respecto a cualquier eje debe ser igual a cero. Primero se suman mo-
mentos con respecto a A. Como, obviamente, el momento de F1
es igual a cero, el
momento de F2
también debe ser igual a cero y la línea de acción de F2
debe pasar
a través de A (fig b). En forma similar, sumando momentos con respecto a B se
demuestra que la línea de acción de F1
debe pasar a través de B (fig c). Por tanto,
ambas fuerzas tienen la misma línea de acción (que resulta ser la línea AB). A partir
de cualquiera de las ecuaciones ∑Fx = 0 y ∑Fy = 0 se observa que las fuerzas también
deben tener la misma magnitud pero sentidos opuestos. (Estática – Beer Jhonson)
4 EQUILIBRIO DE UN CUERPO SUJETO A TRES FUERZAS
Otro caso de equilibrio que es de gran interés es aquel de un cuerpo rígido sujeto
a tres fuerzas, esto es, un cuerpo rígido sobre el que actúan tres fuerzas o, en forma
más general, un cuerpo rígido sometido a fuerzas que actúan sólo en tres puntos.
Considérese un cuerpo rígido bajo un sistema de fuerzas que puede reducirse a
tres fuerzas F1, F2 y F3 que actúan, respectivamente, en A, B y C. A continuación se
demostrará que si el cuerpo está en equilibrio, las líneas de acción de las tres fuerzas
deben ser concurrentes o paralelas.
Como el cuerpo rígido está en equilibrio, la suma de los momentos de F1, F2 y F3
con respecto a cualquier eje debe ser igual a cero. Suponga que las líneas de acción
de F1 y F2 se intersecan y al representar su punto de intersección con D, se suman
momentos con respecto a D. Como los momentos de F1 y F2 con respecto a D son
iguales a cero, el momento de F3 con respecto a D también debe ser igual a cero y
la línea de acción de F3 debe pasar a través de D. Por tanto, las tres líneas de acción
son concurrentes. La única excepción se da cuando ninguna de las líneas de acción
se intersecan; entonces, dichas líneas son paralelas.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MECANICA VECTORIAL
45
Desarrollo
de contenidos
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seleccionadas
Aunque los problemas relacionados con cuerpos sujetos a tres fuerzas se pueden
resolver por medio de los métodos generales de las secciones anteriores, la propie-
dad que se acaba de establecer puede utilizarse para resolverlos en forma gráfica o
matemática a partir de relaciones trigonométricas o geométricas simples11
.
Ejemplo:
Un hombre levanta una vigueta de 10 kg y de 4 m de longitud tirando de una cuer-
da. Encuentre la tensión T en la cuerda y la reacción en A.
Realizando el diagrama del sólido libre tenemos:
Aplicando los principios geométricos:
Aplicando la ley de senos en el triángulo vectorial:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

46
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Desarrollo
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ACTIVIDAD N°112
:
TEMA N` 2: EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES13
1 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EN TRES DIMENSIONES
Las condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rígido sometido a un sistema
tridimensional de fuerza requieren que la fuerza resultante y el momento de par
resultante que actúan sobre el cuerpo sean iguales a cero.
a) Ecuaciones vectoriales de equilibrio. Las dos condiciones para lograr el equi-
librio de un cuerpo rígido pueden ser expresadas matemáticamente en forma
vectorial como
o
F
M
Σ =
Σ =
0
0


donde F
Σ

es la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre
el cuerpo y o
M
Σ

es la suma de los momentos de par y los momentos de todas
las fuerzas con respecto a cualquier punto O localizado en o fuera del cuerpo.
b) Ecuaciones escalares de equilibrio. Si todas las fuerzas externas y los momentos
de par aplicados son expresados en forma vectorial cartesiana y sustituidos en
las ecuaciones anteriores, tenemos:
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
x y z
o x y z
F F i F j F k
M M i M j M k
Σ = Σ + Σ + Σ =
Σ = Σ + Σ + Σ =
0
0


Como las componentes ˆ
ˆ ˆ
,
i j y k son independientes una de otra, las ecuaciones
anteriores serán satisfechas siempre que:
Estas seis ecuaciones escalares de equilibrio pueden usarse para resolver cuand mu-
cho seis incógnitas mostradas en el diagrama de cuerpo libre.
Cuando las ecuaciones de equilibrio son suficientes para determinar las fuerzas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12 Los Ejercicios han sido tomados del texto:
Meriam J.L. Y Kraige L.G. (2007). Mecánica para Ingenieros. Estática. Quinta edición. Editorial Reverté, S.A. España.

MECANICA VECTORIAL
47
Desarrollo
de contenidos
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seleccionadas
incógnitas en los apoyos se dice que el cuerpo está determinado estáticamente (es
isostático). Un cuerpo que tiene soportes redundantes, es decir que tiene más so-
portes de los necesarios para mantener el equilibrio se dice que es estáticamente
indeterminado (es hiperestático), se requieren nuevas relaciones entre las fuerzas,
además de las planteadas por el equilibrio, estos casos se estudian en los cursos de
Resistencia de Materiales y Análisis Estructural.
• Para resolver problemas se dibuja el diagrama de cuerpo libre, este se debe ob-
tener aislando el cuerpo de sus soportes y mostrando las cargas y las reacciones
que los soportes pueden generar sobre el cuerpo.
• Se aplican las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones.
2 REACCIONES EN LOS APOYOS Y CONEXIONES DE UNA
ESTRUCTURA TRIDIMENSIONAL.
A continuación se muestra los diferentes tipos de apoyos y las reacciones que se
dan en estos:
MODELOS PARA LA ACCION DE LAS FUERZAS EN TRES DIMENSIONES14
Tipo de contacto y origen de las fuer-
zas
Acción sobre el cuerpo a aislar
1. Miembro en contacto con super-
ficie lisa o miembro con apoyo
esférico
2. Miembro en contacto con superfi-
cie rugosa
3. Apoyo de rodillos sobre ruedas con
vínculo lateral
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

48
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
4. Rótula
5. Unión fija (empotramiento o
soldadura)
6. Cojinete de empuje
EJEMPLOS:
La placa homogénea mostrada en la figura tiene una masa de 100 kg y está some-
tida a una fuerza y un momento de par a lo largo de sus bordes. Si la placa está
soportada en el plano horizontal por medio de un rodillo en A, una rótula esférica
en B y una cuerda en C, determine las componentes de reacción en los soportes15
.
x
F
Σ =
0 ; Bx = 0
y
F
Σ =
0 ; By = 0
z
F
Σ =
0 ; Az + Bz + Tc – 300 – 981 = 0
x
M
Σ =
0 ; Tc(2) – 981 (1) + Bz(2) = 0
y
M
Σ =
0 ; 300(1,5) + 981(1,5) – Bz(3) – Az(3) – 200 = 0
Resolviendo las ecuaciones
Az = 790 N
Bz = -217 N
Tc = 707 N
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15 Hibbeler R. C. (2004). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Pearson Educación de México, S.A. De C.V. México.

MECANICA VECTORIAL
49
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ACTIVIDAD N°216
:
Desarrollo
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EL CANAL DE PANAMÁ17
Introducción
Cuando se inauguró el Canal de Panamá en 1914, también fue la culminación de
más de 40 años de construcción y más de cuatro siglos de sueños e ideas.
A su llegada en 1881, los ingenieros franceses se encontraron con un ambiente hos-
til, plagado de insectos y caldo de cultivo ideal de enfermedades como la malaria y
la fiebre amarilla.
Miles de toneladas en equipos de construcción fueron importadas, aunque en su
mayoría, la tecnología utilizada no era la adecuada para el terreno panameño. Los
frecuentes deslizamientos de tierra sepultaron una y otra vez a la precaria obra,
llevándose consigo miles de vidas.
Cuando los estadounidenses tomaron el control del Canal en 1903, el proyecto
original francés de construir la vía interoceánica a nivel del mar fue desechado, y se
emprendió la construcción de un lago artificial y un sistema de exclusas, que es el
que hoy sigue en funcionamiento.
A los efectos de mejorar la calidad de vida de los obreros del Canal y contener la
difusión de enfermedades, se construyeron nuevos pueblos en la zona.
El Corte Culebra, o Corte Gaillard, fue el tramo más difícil de la obra. Decenas de
palas mecánicas a vapor excavaron un conducto a través de la superficie rocosa. La
temperatura ambiente de la zona suele rondar los 50ºC.
En 1906, el presidente de Estados Unidos Franklin Delano Roosevelt realizó el pri-
mer viaje internacional de un mandatario estadounidense para supervisar la cons-
trucción del Canal de Panamá. “Ésta es una gran obra”, señaló.
Los tres conjuntos de esclusas del Canal de Panamá constituyeron los sistemas más
avanzados de su tipo. Gigantescos moldes de hierro de 12 metros de largo monta-
dos sobre patines fueron utilizados para fijar el concreto.
En octubre de 1913, las compuertas de la Esclusa de Miraflores fueron abiertas por
primera vez, llenando de agua el Canal por primera vez. Luego de más de 80 años
en servicio, la estructura de las compuertas se mantiene casi en perfectas condicio-
nes.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bedford A. Y Fowler W. (1996). Mecánica para Ingenieros. Estática. Primera Edición. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. Estados Unidos.
17 Revista Digital de la Facultad de Ingeniería civil – UNI - Obras Maestras de la Ingeniería Civil

50
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
El tramo más estrecho del Canal: el Corte Gaillard o Culebra. La vía interoceánica
sigue siendo una de las más importantes obras de ingeniería del mundo.
Historia de la Construcción
El 30 de diciembre de 1879, con una selecta comitiva de técnicos y empresarios,
el francés Ferdinand de Lesseps arribó al puerto de Colón, donde declaró que el
canal adoptaría la misma ruta del ferrocarril de Panamá. De vuelta a Francia, se de-
dicó a recabar con éxito fondos para la obra, mientras en Panamá se supervisaban
los trabajos iniciales de excavación.
Ante las pobres condiciones higiénicas imperantes en el istmo, la Compañía Uni-
versal del Canal Interoceánico invirtió más de cuatro millones de dólares en exce-
lentes instalaciones hospitalarias, entre las que destacó el Hospital Ancón, y contra-
tó los servicios del eminente médico francés Lacroisade.
El mayor escollo de las excavaciones lo presentó, con sus cerros de 17 tipos de
rocas volcánicas de hasta 60 millones de años, el antiguo Corte Culebra, hoy Cor-
te Gaillard, en honor del ingeniero estadounidense que afrontó ese desafío. En
1882 un movimiento sísmico atribuido a las fuertes explosiones afectó mucho las
obras, ocasionando impresionantes derrumbes. La falta de planes y organización,
especialmente en materia de finanzas y recursos técnicos, causó desde el inicio nu-
merosas dificultades.
Improvisadamente llegaban al istmo maquinaria costosa y grandes cantidades de
obreros, que se hacinaban en viviendas carentes de las mínimas condiciones de sa-
lubridad, a la vez que las excavaciones dejaban una serie de depósitos naturales de
aguas estancadas y desperdicios que hacían proliferar los mosquitos, transmisores
de la fiebre amarilla y la malaria.
Ante los rumores de corrupción y malversación de fondos de la compañía, el go-
bierno francés designó al inspector Armand Rousseau para que le informase sobre
los trabajos. Rousseau criticó las pésimas condiciones higiénicas y la falta de medios
adecuados para combatir las terribles epidemias que afectaban a los miles de tra-
bajadores.
Tras un exhaustivo examen de los estados financieros, los activos y las condiciones
técnicas, el funcionario denunció una situación de crisis que alarmó a los franceses.
Lesseps reconoció que el Corte Gaillard era su mayor obstáculo para culminar la
obra y quiso contratar entonces al reputado ingeniero Gustavo Eiffel para cambiar
el proyecto a nivel por uno de esclusas; pero ya era demasiado tarde.
Ante una cadena de acusaciones, los tribunales de justicia ordenaron la liquidación

MECANICA VECTORIAL
51
Desarrollo
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Lecturas
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de la empresa. La suspensión de los trabajos de excavación del canal francés coinci-
dió con una severa depresión económica en Colombia, que culminó con la quiebra
de su Banco Nacional; casi de inmediato, la guerra civil sumió a la nación en una
espantosa hecatombe.
Estados Unidos enfocó entonces su interés en una ruta por Nicaragua, y ante la
inminencia de un entendimiento para llevar al cabo el proyecto, en 1901 suscribió
con Inglaterra el Tratado Hay- Pauncefote.
Por medio de ese documento, ambos países se comprometían a respetar el concep-
to de la neutralidad establecido en la Convención de Constantinopla respecto a la
libre navegación por el Canal de Suez en caso de que se construyese el canal por el
istmo centroamericano.
Bunau Varilla, hábil mediador de los intereses franceses, señaló a los Estados Uni-
dos que la distancia mucho más corta que ofrecía el Istmo de Panamá entre ambos
mares hacía más bajo su costo, y ofreció los activos de la Compañía Universal del
Canal Interoceánico, con la tentadora cifra de 40 millones de dólares.
Convencidas las facciones colombianas en pugna para concertar un convenio de
paz bajo los auspicios de Estados Unidos, se iniciaron las negociaciones para re-
anudar los trabajos de excavación del Canal de Panamá. Pero el Tratado Herrán
- Hay, de 1903, fue rechazado por el Senado colombiano, que consideraba que el
mismo vulneraba la soberanía del país. Entonces, un grupo de istmeños, con la
participación de Bunau Varilla, gestionó el apoyo de EE.UU. para separar Panamá
de Colombia y estar en condiciones de negociar directamente un tratado. El 3 de
noviembre de 1903, Panamá declaró su independencia, y casi de inmediato designó
a Varilla como su representante diplomático ante Washington.
En 1904, los estadounidenses reanudaron los trabajos de excavación del canal, en-
cargando al ingeniero John Stevens la transformación del antiguo proyecto a nivel
por uno de esclusas. Lo primero que hicieron en el área fue aplicar una intensa
campaña de saneamiento, que se extendió a otras partes del país, para erradicar la
malaria y la fiebre amarilla; se construyó un acueducto que dotaría de agua limpia
a Panamá, Colón y áreas aledañas, y se habilitaron sistemas de alcantarillados. Ese
programa estuvo a cargo de William Crawford Gorgas.
En 1906, el propio presidente estadounidense Theodore Roosevelt estuvo en Pa-
namá inspeccionando a fondo las faenas canaleras y las condiciones de vida de los
trabajadores. De vuelta a su país, comunicó al Senado su entusiasmo por la marcha
del proyecto.
Tras la renuncia del ingeniero Stevens, asumió toda la autoridad de las obras Geoge
W. Goethals, quien confesó su admiración por los trabajos realizados por los inge-
nieros franceses y comentó, como en esa época lo hizo el inspector Rousseau, que
“el único enemigo al que venimos a combatir es el Corte Culebra”.
En compañía de un excelente equipo de colaboradores, Goethals se entregó a la
culminación del proyecto.
En 1913, cuando ya casi se consideraba vencida la naturaleza, un enorme derrumbe
en el Paso de Cucaracha obligó a postergar la fecha de inauguración del canal.
Superado el grave incidente, siguieron adelante los trabajos; en forma de prueba,
en mayo de 1914, se autorizó al vapor Alaskan el tránsito completo de la vía inte-
roceánica; unas semanas más tarde, Goethals haría ese trayecto a bordo del barco
Cristóbal.
Por fin, el 15 de agosto de 1914, en un magno evento al que asistieron las máximas
autoridades de Panamá y Estados Unidos, y más de 200 invitados, el vapor Ancón

52
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
completó el primer tránsito oficial del canal, en 9 horas y 40 minutos. “La obra de
ingeniería más portentosa que vieron los siglos”, producto del genio innovador de
los franceses y el idealismo dinámico de los estadounidenses, costó 387 millones de
dólares, incluyendo el traspaso de activos de la francesa Compañía Universal del
Canal Interoceánico.
La construcción del canal implicó problemas de ingeniería del más alto nivel, como
la excavación del cauce a través de la división continental, la construcción de la
represa de tierra más grande hasta entonces, el diseño y construcción de las más
grandes esclusas y compuertas del momento, y la solución de enormes problemas
ambientales.
En las dramáticas jornadas canaleras intervinieron más de 75,000 personas, entre
ellas un sinnúmero de obreros de todas las nacionalidades. Sin lugar a dudas, los
grandes líderes de la proeza de construir el Canal de Panamá fueron George Goe-
thals, John Stevens, David Gaillard y el Dr. William Gorgas. Pero detrás de ellos
hubo un ejército de hombres heroicos y valerosos procedentes de España, Italia,
Colombia y, sobre todo, de las islas del Caribe, quienes llevaron sobre sus hombros
la ardua tarea de excavar la gran zanja.
Funcionamiento
El Canal de Panamá tiene 80 kilómetros de largo desde el Océano Atlántico hasta
el Océano Pacífico.
Fue excavado en la parte más angosta del continente americano y en el punto más
bajo del Istmo de Panamá. El Canal corre de Noroeste a Sureste, estando la entrada
del Atlántico a unos 54 kilómetros al Norte y más de 43 kilómetros al Oeste de la en-
trada del Pacífico. La distancia por aire entre las dos entradas es de 69.1 kilómetros.
Una nave tarda alrededor de 8 a 10 horas en transitar el Canal, las esclusas que ele-
van las naves entre el nivel del mar y el lago son las de Gatún en el Atlántico, y las
de Pedro Miguel y Miraflores en el Pacífico. El tránsito por el Canal, se hace todo el
camino con la ayuda de la naturaleza ya que los barcos se elevan por agua del nivel
del mar al nivel del lago, cruzan el Istmo en el lago y vuelven a bajar al nivel del mar.
Una nave que transita el Canal desde el Atlántico, con dirección al Pacífico, entra
al cauce desde la Bahía de Limón, después de pasar por el rompeolas de Cristóbal.
Este trecho a nivel del mar en el Atlántico tiene 10 kilómetros de largo y 152 metros
de ancho, atravesando un manglar que se encuentra a nivel del mar. Las naves des-
cienden o ascienden unos 26 metros a través de las tres cámaras de las esclusas de
Gatún. Cada cámara mide 33.53 metros de ancho y 304.8 metros de largo.
El largo de las esclusas de Gatún, incluyendo los muros de aproximación es de más
de dos kilómetros.

MECANICA VECTORIAL
53
Desarrollo
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Luego la nave continúa en tránsito para entrar a las esclusas de Pedro Miguel en
el extremo Sur del Corte Gaillard, allí desciende unos 9 metros en un solo paso al
nivel del Lago Miraflores que separa los dos juegos de esclusas del Pacífico.
La nave baja los últimos dos escalones, hasta el nivel del mar en las esclusas de
Miraflores que tiene más de 1,600 metros de largo. Las compuertas de Miraflores
son las más altas de todo el sistema debido a las marcadas variaciones de mareas en
el Pacífico.
TEMA N` 3: CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD18
1 INTRODUCCIÓN DE ÁREAS Y LÍNEAS
Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre un
cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denomi-
nada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de
gravedad del cuerpo. De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de
las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra
sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de peque-
ñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, en este capítulo se
aprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada
por una sola fuerza equivalente W. También se aprenderá cómo determinar
el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para
cuerpos de varias formas.
• El centro de gravedad toma en cuenta los materiales que componen el
cuerpo y es el punto donde está aplicada la fuerza resultante equivalente
que es el peso del cuerpo.
• El centroide es un centro geométrico, toma en cuenta la forma más no los
materiales que componen el cuerpo.
• Si el cuerpo es homogéneo (Y= constante) el centro de gravedad coincide
con el centroide.
2 CENTRO DE GRAVEDAD:
Peso (w): Fuerza ejercida por la tierra sobre los elementos del cuerpo rígido
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
18 Beer Ferdinand, et. al. (2007). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Octava edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México.

54
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Las siguientes ecuaciones se utilizan para calcular el centro de gravedad.
; ;
xdW ydW zdW
x y z
dW dW dW
= = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Si la aceleración de la gravedad es igual en todas las partículas del cuerpo:
W = mg dW = g.dm m= masa
dm= masa de cualquier partícula del cuerpo.
Las siguientes ecuaciones se utilizan para calcular el centro de masa.
; ;
xdm ydm zdm
x y z
dm dm dm
= = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
3 CENTRO DE GRAVEDAD DE LÍNEAS;
Alambre de sección constante.
; ;
xdl ydl zdl
x y z
dl dl dl
= = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

MECANICA VECTORIAL
55
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
4 CENTROS DE GRAVEDAD DE ÁREAS:
; ;
xdA ydA zdA
x y z
dA dA dA
= = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
5 CENTROS DE GRAVEDAD DE VOLUMEN:
; ;
xdV ydV zdV
x y z
dV dV dV
= = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
6 CENTROS DE GRAVEDAD DE VOLUMEN:
Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos conectados que son de
forma más simple como por ejemplo, de forma rectangular, triangular, semi-
circular, etcétera. Un cuerpo tal puede a menudo seccionarse o dividirse en las
partes que lo componen.

56
ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
;
i i i i
i i
i i
i i
x A y A
x y
A A
= =
∑ ∑
∑ ∑
7 DETERMINACIÓN DE CENTROIDES POR INTEGRACIÓN
El centroide de un área limitada por curvas analíticas (esto es, curvas definidas
por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las integra-
les que aparecen a continuación:
xA xdA yA ydA
= =
∫ ∫
Si el elemento de área dA es un pequeño rectángulo de lados dx y dy, la evalua-
ción de cada una de estas integrales requiere una integración doble con respec-
to a x y y. También es necesaria una integración doble si se usan coordenadas
polares para las cuales dA es un elemento de lados dr y rdθ .
8 FÓRMULAS DE CENTROIDES DE FIGURAS COMUNES DE ÁREAS Y
DE LÍNEAS.

MECANICA VECTORIAL
57
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
EJEMPLO: Para el área plana mostrada en la figura, determine: a) los primeros
momentos con respecto a los ejes x y, y y b) la ubicación de su centroide.

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