A0239 ma ingenieria_de_control_ed1_v1_2016

INGENIERÍA DE
CONTROL
Celso De La Cruz Casaño

Cada autor es responsable del contenido de su propio texto.
De esta edición:
© Universidad Continental 2016
Jr. Junín 355, Miraflores, Lima-18
Teléfono: 213 2760
Derechos reservados
Primera edición: febrero 2016
Autor: Celso De La Cruz Casaño
Fondo Editorial de la Universidad Continental
Todos los derechos reservados.
Esta publicación no puede ser reproducida, en todo ni en parte, ni registrada en o
trasmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por
ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico,
por fotocopia, o cualquier otro sin el permiso previo por escrito de la Universidad.

INTRODUCCIÓN 7
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA 9
COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA 9
UNIDADES DIDÁCTICAS 9
TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO 9
UNIDAD I: INTRODUCCIÓN Y TRANSFORMADA DE LAPLACE 11
Diagrama de presentación de la unidad I 11
ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES 11
Tema N° 1: INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA DE CONTROL 12
1 Importancia e historia 12
2 Definiciones 15
Tema N° 2: TRANSFORMADA DE LAPLACE 18
1 Definiciones 18
2 Transformada directa de Laplace 18
LECTURA SELECCIONADA Nº 1
Importancia de la Ingeniería de Control de Procesos 23
ACTIVIDAD Nº I 24
Tema N° 3: TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Y TEOREMAS 25
1 Transformada inversa de Laplace 25
2 Teoremas 27
Cánovas Peña, José Salvador. Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales. Pag.
1-3, 29-30. 31
Control de lectura Nº 1 34
Glosario de la unidad I 35
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I 36
Autoevaluación DE LA UNIDAD I 37
UNIDAD II: Modelamiento de Sistemas Dinámicos 41
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD ii 41
TEMA N° 1: Modelamiento matemático con funciones de transferencia 42
1 Introducción al MatLab 42
ÍNDICE

2 Introducción al modelamiento matemático 46
3 Modelamiento de sistemas mecánicos y eléctricos 48
Modelado Matemático de Sistemas de Control 54
ACTIVIDAD Nº 2 56
TEMA N° 2: El Simulación y Diagrama de bloques 57
1 Simulación con Simulink 57
2 Generación de diagrama de bloques 62
3 Reducción de diagrama de bloques 64
Control de simulación y visualización de resultados en Simulink 69
Tarea Académica N° 1 71
Glosario de la unidad II 73
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD II 74
Autoevaluación DE LA UNIDAD Ii 75
UNIDAD III: Análisis De Estabilidad 79
Diagrama de Presentación de la Unidad III 79
Tema N° 1: Respuesta transitoria 80
1 Respuesta de un sistema de primer orden 80
2 Respuesta de un sistema de segundo orden 84
Error en régimen permanenteGIL, J.J. y DÍAZ, A.R. Ingeniería de Control: Control de Sistemas Continuos.
Pag. 45 y 46. 91
Actividad Nº 3 92
Tema N° 2: Estabilidad 93
1 Definición de estabilidad 93
2 Determinación de la estabilidad con los polos del sistema 93
3 Criterio de Routh 93
4 Lugar geométrico de las raíces 100
Historia de la Estabilidad ARÁNTEGUI, J. Control de Procesos. Pag. 6 y 7. 104
Control de lectura N° 2 106
Glosario de la unidad III 107
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD III 108
Autoevaluación DE LA UNIDAD IiI 109

UNIDADIV:CONTROLADORESPIDYANÁLISISDELARESPUESTAENFRECUENCIA 113
Diagrama de Presentación de la Unidad Iv 113
Tema N° 1: Controladores PID 114
1 Sintonización de un controlador PI utilizando el lugar geométrico de las raíces. 114
2 Sintonización de un controlador PID utilizando las reglas de Ziegler-Nichols 119
PID, the most popular.WONTROP, C. Multiple control schemes advance motion control. Pag. 65 y 66. 123
Actividad Nº 4 124
Tema N° 2: Respuesta en Frecuencia 125
1 Diagrama de Bode. 126
2 Diagrama de Nyquist 128
Tema N° 3: Estabilidad 130
1 Determinación de la estabilidad a partir de la respuesta en frecuencia. 130
Consideraciones de la Respuesta en Frecuencia. Ogata, Katsuhiko. Modern Control Engineering. Pag. 398-
399, 491-492. 136
Tarea Académica N° 2 138
Glosario de la unidad IV 139
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IV 140
Autoevaluación DE LA UNIDAD IV 141
ANEXOS: claves de las Autoevaluaciones 147

INTRODUCCIÓN
L
os sistemas de control automáticos son
de gran importancia en el avance de las
ingenierías, y su participación en las nuevas
tecnologías se incrementa cada vez más. Por ejemplo,
en la actualidad es impensable tener un automóvil
sin un control automático porque es vital para una
mejora sustancial en el ahorro de combustible,
disminución de la contaminación, seguridad en el
frenado, dirección, etc. Otras tecnologías que han
visto su desarrollo gracias al control automático son la
robótica, procesos industriales y máquinas de control
numérico computarizado.
La ingeniería de control estudia los sistemas de
control automático desde un punto de vista de
modelamiento y análisis de estabilidad de sistemas
dinámicos y diseño de controladores. Gracias a
las herramientas matemáticas de la ingeniería de
control, se han conseguido sistemas de control muy
precisos en las aplicaciones antes mencionadas. Los
avances en la teoría y práctica del control automático
aportan los medios para mejorar la productividad,
incrementar la calidad, aligerar la carga de muchas
operaciones manuales repetitivas y rutinarias. Por tal
motivo, casi todos los ingenieros y científicos deben
tener un buen conocimiento en este campo.
Ingeniería de Control es una asignatura transversal
a las carreras de ingeniería, tiene como propósito
desarrollar en el estudiante capacidades para diseñar
sistemas de control utilizando las teorías de control y
cumpliendo requerimientos de manera óptima.
Los contenidos propuestos en este material de
estudio, sintetizan las diversas herramientas teóricas
y matemáticas de la ingeniería de control y obliga al
estudiante a buscar mayor información en los textos
propuestos. Además, se encuentran todas las guías
y explicaciones para las actividades formativas, las
cuales tienen como fin que el estudiante genere un
producto realista y aplicativo en cada unidad.
Demanerasintetizadarecorremosencuatrounidades,
los temas establecidos en nuestro silabo: Unidad I:
“Introducción y Transformada de Laplace”, Unidad II:
“Modelamiento de Sistemas Dinámicos”, Unidad III:
“Análisis de Estabilidad y Diseño de Controladores” y
la Unidad IV: “Análisis de la Respuesta en Frecuencia”.

INGENIERÍA DE CONTROL
MANUAL AUTOFORMATIVO
9Desarrollo
de contenidos
Actividades Autoevaluación
Lecturas
seleccionadas
Glosario Bibliografía
Recordatorio Anotaciones
COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA
Diseña sistemas de control industrial, con responsabilidad y trabajo en equipo,
mediante el desarrollo de sus conocimientos fundamentales de las teorías de control.
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD I UNIDAD II UNIDAD III UNIDAD IV
Introducción y
Transformada de
Laplace
Modelamiento de
Sistemas Dinámicos
Análisis de
Estabilidad y Diseño
de Controladores
Controladores
PID y Análisis de
la Respuesta en
Frecuencia
TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO
UNIDAD I UNIDAD II UNIDAD III UNIDAD IV
1.a
y 2.a
semana
16 horas
3.a
y 3.a
semana
16 horas
4.a
y 5.a
semana
16 horas
6.a
y 7.a
semana
16 horas
Diagrama Objetivos Inicio
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN
DE LA ASIGNATURA

11Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
UNIDAD I: INTRODUCCIÓN Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES
CONOCIMIENTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES
Tema 1: Introducción a la
Ingeniería de Control.
1. Importancia e historia.
2. Definiciones.
Tema 2: Transformada de
Laplace.
1. Definiciones
2. Transformada directa de
Laplace.
Lectura seleccionada N° 1:
Título: Importancia de la
Ingeniería de Control de
Procesos. Página Web de
GUNT- Hamburg.
Tema 3: Transformada In-
versa de Laplace y Teore-
mas.
1. Transformada inversa de
Laplace.
2. Teoremas.
Lectura seleccionada N° 2:
Título: Aplicaciones de la
Transformada de Laplace
Cánovas Peña, José Sal-
vador. Transformada de
Laplace y sus aplicaciones a
las ecuaciones diferenciales.
Pag. 1-3, 29-30.
Autoevaluación DE
LA UNIDAD I
1. Explica la importancia e
historia de la ingeniería
de control.
2. Explica los conceptos
generales de la ingenie-
ría de control.
3. Resuelve problemas de
transformada directa de
Laplace.
Actividad N° 1
Control de Lectura
Nº 1
1. Resuelve con
responsabilidad
y puntualidad las
aplicaciones de la
transformada de
Laplace.
2. Resuelve con
responsabilidad
y puntualidad las
aplicaciones del
modelamiento.
3. Resuelve con
responsabilidad
y puntualidad las
aplicaciones de los
sistemas de control.
4. Identifica mode-
los matemáticos
y determina la
estabilidad con
responsabilidad y
puntualidad.
CONTENIDOS
AUTOEVALUACIÓN
LECTURAS
SELECCIONADAS
BIBLIOGRAFÍA
ACTIVIDADES

12ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
TEMA N° 1: INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA DE CONTROL
En este tema se resalta la importancia de las teorías de control en aplicaciones
de ingeniería de múltiples disciplinas y como ha intervenido en la mejora de la
producción en la industria. Además, se muestra una breve historia de la ingeniería
de control donde pueden observar que las teorías de control son muy nuevas, rá-
pidamente se han desarrollado y que el curso en realidad es un pequeño inicio de
todas las teorías de control que existen, sin embargo, es la que más se utiliza en la
industria actualmente.
En la segunda parte del tema, se brindan las definiciones más utilizadas en el curso
de ingeniería de control, y es prácticamente el léxico que se utiliza cuando se des-
criben y analizan sistemas de control.
1 Importancia e Historia
1.1. Importancia
Las teorías de control más utilizadas son la teoría de control clásica, la teoría de
control moderno y la teoría de control robusto. El presente curso trata del análisis y
diseño de sistemas de control basado en la teoría de control clásica su herramienta
matemática principal es la transformada de Laplace.
El control automático ha desempeñado un papel vital en el avance de la ingeniería
y la ciencia, porque ha permitido controlar variables físicas con gran precisión. El
control automático se ha convertido en una parte importante e integral en los sis-
temas robóticos, en los procesos modernos de fabricación y en cualquier operación
industrial que requiera el control de alguna variable industrial como temperatura,
presión, flujo, humedad, etc. Por lo tanto, es deseable que la mayoría de los inge-
nieros y científicos estén familiarizados con la teoría y la práctica del control auto-
mático. (Ogata, 2010, p. 1)
Por ejemplo en la figura 1, se muestra el diagrama de un proceso industrial en el
cual se controla las variables de temperatura y nivel.
Otro ejemplo es un robot industrial (ver la figura 2). Para que un robot desempeñe
su trabajo con gran precisión y velocidad requiere de un control automático dise-
ñado utilizando su modelo matemático. Con el modelo matemático del robot se
realizan el análisis del comportamiento del sistema dinámico y las simulaciones de
tal manera de garantizar un buen funcionamiento del control.

13Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Figura 1: Control de un Proceso Industrial
Fuente: http://www.ddorazioasociados.com/servicios.htm
Figura 2: Robot Industrial
Fuente: http://www.tecnoing.com/productos.aspx?CatId=RobPal

14ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
1.2. Historia de la Ingeniería de Control
El primer trabajo significativo en control automático fue el regulador de velocidad
centrífugo de James Watt para el control de velocidad de una máquina de vapor, en
el siglo dieciocho (ver figura 3). (Ogata, 2010, p. 2).
Figura 3: Regulador de Velocidad Centrifugo de James Watt
Fuente: Libro de Ogata, pag. 4.
Este sistema de control consistía en hacer girar unas esferas a la misma velocidad
que la máquina de vapor. Cuando la velocidad era demasiado alta, la fuerza centrí-
fuga provocada que las esferas muevan un mecanismo, haciendo que la válvula de
combustible se cerrara parcialmente dependiendo de la velocidad de giro de las
esferas; mientras más giraba más se cerraba la válvula de combustible. Así llegaba
poco combustible a la máquina, ésta perdía potencia y bajaba la velocidad. Cuando
la velocidad de giro de las esferas era muy baja, la fuerza centrífuga también era
muy baja y el peso de las esferas hacía que el mecanismo se mueva en dirección
opuesta, provocando que la válvula de combustible se abra más, dejando pasar más
combustible, así ganaba potencia y la máquina aumentaba la velocidad. Existía un
punto de equilibrio que era la velocidad deseada del sistema de control.
En 1922, Minorsky trabajó en controladores automáticos para el guiado de embar-
caciones, y mostró que la estabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones
diferenciales que describen el sistema.
En 1932, Nyquist diseñó un procedimiento relativamente simple para determinar
la estabilidad de sistemas en lazo cerrado, a partir de la respuesta en lazo abierto a
entradas sinoidales (respuesta en frecuencia).
En la década de los cuarenta, los métodos de la respuesta en frecuencia (espe-
cialmente los diagramas de Bode) hicieron posible que los ingenieros diseñaran
sistemas de control lineales en lazo cerrado que cumplieran los requisitos de com-
portamiento.
En los años cuarenta y cincuenta muchos sistemas de control industrial utilizaban
controladores PID para el control de la presión, de la temperatura, etc. El método
principal que utilizaban para sintonizar los parámetros del PID fue las reglas desa-
rrolladas por Ziegler y Nichols. Este método se utiliza hasta la actualidad, sin embar-
go, aparecieron otros métodos basados en estas reglas de sintonización.
A principios de la década de los cincuenta se desarrolló por completo el método del
lugar de las raíces propuesto por Evans.
Hasta este momento se habían desarrollado las teorías clásicas de control, las cuales
se utilizarán en el presente curso.
Desde finales de la década de los cincuenta, se desarrollaron técnicas de diseño de
controladores más avanzados (control moderno) que dieron lugar al control ópti-
mo y al control de plantas con múltiples entradas y salidas.

15Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Entre la década de los sesenta y ochenta se estudió a fondo el control óptimo y el
control adaptativo, y desde la década de los ochenta se desarrollaron las técnicas
de control robusto.
Las matemáticas que utiliza el control moderno son muy avanzadas y cada método
desarrollado es para un curso completo.
2 Definiciones
Antes de analizar los sistemas de control, deben definirse los siguientes términos
básicos:
Variable controlada. Es la cantidad o condición que se mide o controla del sistema
a controlar. Por ejemplo la temperatura de un horno eléctrico (ver figura 4). En un
sistema de llenado de un tanque de agua, la variable que se controla es el nivel de
agua, por lo tanto el nivel de agua es la variable controlada.
Señal de control o variable manipulada. Es la cantidad o condición que el contro-
lador modifica sobre el sistema a controlar para afectar el valor de la variable con-
trolada. Por ejemplo el voltaje que llega a la resistencia eléctrica de un horno; en la
figura 4 se puede observar que el controlador aumenta o disminuye directamente
el voltaje en la resistencia eléctrica, como consecuencia se calienta más o menos
aumentando o disminuyendo la temperatura; por lo tanto el voltaje en la resisten-
cia eléctrica sería la variable manipulada. En un sistema de llenado de un tanque
de agua como el de la figura 5, la variable manipulada sería el voltaje que llega a la
bomba eléctrica, porque el controlador modifica directamente este voltaje.
Planta. Es cualquier objeto físico que se va a controlar, por ejemplo: un dispositivo
mecánico, un motor eléctrico, un horno de calefacción, un reactor químico y brazo
robótico, etc. En el ejemplo de la figura 4, la planta sería el horno eléctrico.
Figura 4: Sistema de control de temperatura.
Proceso. Es cualquier operación que se va a controlar. Por ejemplo el proceso de
calentamiento del horno, proceso de llenado de un tanque, etc.
Sistemas. Un sistema es una combinación de componentes que actúan juntos y
realizan un objetivo determinado. Un sistema no está necesariamente limitado a
los sistemas físicos. El concepto de sistema se puede aplicar a fenómenos abstractos
y dinámicos, como los que se encuentran en la economía. Por tanto, la palabra
sistema debe interpretarse en un sentido amplio que comprenda sistemas físicos,
biológicos, económicos y similares. En el ejemplo de la figura 4, se tiene un sistema
de control el cual está conformado por la planta (horno) el controlador, sensor y
los demás componentes de la figura.

16ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Figura 5: Sistema de Llenado de un Tanque de Agua
Fuente: De La Cruz Casaño, Celso
Perturbaciones. Una perturbación es una señal que tiende a afectar negativamente
el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema,
se denomina interna, mientras que una perturbación externa se genera fuera del
sistema y es una entrada. Por ejemplo, el desgaste de un resistencia eléctrica es una
perturbación interna y la temperatura exterior es una perturbación externa en una
planta horno eléctrico (figura 4). En un sistema de control de nivel de agua (ver
figura 5), una perturbación interna sería el desgaste en la bomba haciéndola menos
eficiente, y una perturbación externa sería el gasto de agua del tanque.
Actuador. Un actuador es un dispositivo que modifica el proceso que se está contro-
lando. Por ejemplo, la resistencia eléctrica es un actuador en un horno eléctrico. La
resistencia eléctrica genera calor modificando el proceso, específicamente modifi-
ca la temperatura en el horno eléctrico. En el sistema de llenado de un tanque de
agua, el actuador es la electro-bomba, el cual impulsa agua al tanque modificando
el nivel del agua.
Sistema de control en lazo cerrado. Un sistema que mantiene una relación deter-
minada entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando la dife-
rencia como medio de control, se denomina sistema de control realimentado o en
lazo cerrado. Por ejemplo, el sistema de control de temperatura de una habitación.
Midiendo la temperatura real y comparándola con la temperatura de referencia
(temperatura deseada), el termostato activa o desactiva el equipo de calefacción
o de enfriamiento (actuador) para asegurar que la temperatura de la habitación
se mantenga en un nivel confortable independientemente de las condiciones ex-
ternas. En este ejemplo la planta es la habitación. Podemos representar con un
diagrama de bloques el sistema en lazo cerrado, la cual se presenta en la figura 6.
En la figura, salida se refiere a la variable controlada. Generalmente, salida es igual
a variable controlada.
La salida generalmente es la variable controlada (por ejemplo temperatura en la
habitación, temperatura en un horno, nivel de agua, etc.). La salida se mide con un
sensor y esta información es comparada con la entrada de referencia cuya diferen-
cia es el error de control, el cual ingresa al controlador. El controlador genera una
señal de control que llega al actuador, quien finalmente modifica el proceso de la
planta. Cuando el error de control es cero, se ha alcanzado el objetivo de control.

17Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Figura 6: Sistema en lazo cerrado
Sistema de control en lazo abierto. Los sistemas en los cuales la salida no tiene
efecto sobre la acción de control se denomina sistemas de control en lazo abierto.
En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se
realimenta para compararla con la entrada. Un ejemplo práctico es una lavadora.
El remojo, el lavado y el centrifugado en la lavadora operan con una base de tiem-
po. La máquina no mide la señal de salida, que es la limpieza de la ropa.
Figura 7: Sistema en Lazo Abierto.
Comparación entre los sistemas de lazo abierto y cerrado.
Según Ogata (2010, p. 8) las ventajas y desventajas de estos sistemas son los siguien-
tes:
• Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimenta-
ción vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones
externas y a las variaciones internas en los parámetros del sistema.
• Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto
es más fácil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un problema
importante.
• Por otra parte, la estabilidad es una función principal en el sistema de control en
lazo cerrado, lo cual puede producir a oscilaciones de amplitud creciente.
Es por eso que el presente curso principalmente se enfocará al estudio de la estabi-
lidad de sistemas de control en lazo cerrado.

18ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
TEMA N° 2: TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace es la herramienta que se utiliza en el control clásico,
que es el tipo de control que se desarrollará en el presente curso. Esta herramienta
nos permite modelar los sistemas de una manera más versátil, permitiendo realizar
las simulaciones de una forma adecuada y visual. Además, esta forma de mode-
lamiento, permite realizar el análisis de estabilidad de una forma relativamente
sencilla.
1 Definiciones
1.1. Función en el tiempo
f(t)=una función del tiempo t tal que f(t)=0 para t0
Toda función que tenga al final entre paréntesis la variable del tiempo t es una fun-
ción del tiempo. Por ejemplo: g(t), h(t), etc.
En el curso generalmente la función del tiempo se denota con una letra minúscula.
En el curso de Ingeniería de Control toda función en el tiempo será considerado
como 0 para tiempos negativos; es decir: f(t)=0 para t0. En la práctica esto no gene-
rará ningún problema, porque, generalmente no se consideran tiempos negativos
cuando se realiza el análisis del comportamiento de un sistema físico.
1.2. Variable Compleja
s= una variable compleja
En la transformada de Laplace se utiliza una variable compleja, esta variable com-
pleja se denota con “s”. Como se sabe por cursos previos las variables complejas
tienen parte real y parte imaginaria. Generalmente la parte real e imaginaria de
la variable s se denota de la siguiente manera: , donde es la parte real y es la parte
imaginaria.
1.3. Función Compleja
F(s) = función compleja
La transformada de Laplace da como resultado una función compleja, esta función
compleja es función de la variable s.
Generalmente se denota con una letra mayúscula.
1.4. Operador Transformada de Laplace
L[f(t)]=F(s) ó también:
El símbolo “L” o “ ” es el operador de Transformada de Laplace.
2 Transformada Directa de Laplace
La transformada de Laplace se calcula utilizando una integral de 0 a infinito de la
función temporal f(t) multiplicado por la función est
.
Ejemplo 1:
Hallar la transformada de Laplace integrando de la siguiente función exponencial:
f(t)=0 para t 0
f(t)=Ae-at
para t ≥ 0
En donde A y a son constantes.

19Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Solución
Ejemplo 2:
Hallar la transformada de Laplace integrando de la siguiente función escalón:
f(t)=0 para t 0
f(t)=3 para t 0
Solución
2.1. Funciones temporales especiales
2.1.1. Función escalón
La función escalón tiene la forma de un escalón cuando se lo grafica en función
del tiempo. Se define:
f(t)=0 , para t 0
f(t)=A , para t 0
Donde A es una constante.
Figura 8: Función escalón
2.1.2. Función escalón unitario
La función escalón unitario es la función escalón con A=1. Se define:
f(t)=0 , para t 0
f(t)=1 , para t 0
‫ܨ‬ ‫ݏ‬ = ‫ܮ‬ ݂ ‫ݐ‬ = ݂ ‫ݐ‬ ‫ݏ‬ ‫ݐ‬
∞
0
= ‫ܣ‬ −ܽ ‫ݐ‬ ‫ݏ‬ ‫ݐ‬
∞
0
= ‫ܣ‬ ݁ ܽ ‫ݏ‬ ‫ݐ‬
∞
0
= ‫ܣ‬
ܽ ‫ݏ‬ ‫ݐ‬
(ܽ ‫ݏ‬ 0
∞
=
‫ܣ‬
(ܽ ‫ݏ‬
݁ ܽ ‫ݐ‬
0
∞
=
‫ܣ‬
ܽ ‫ݏ‬
݁ (ܽ ∞
−
−
݁ (ܽ ‫ݏ‬ 0
=
‫ܣ‬
(ܽ ‫ݏ‬
0 − 1
‫ܨ‬ =
‫ܣ‬
‫ݏ‬ ܽ
‫ܨ‬ = ‫ܮ‬ ݂ ‫ݐ‬ ݂ ‫ݐ‬ ݁ ‫ݏ‬ ‫ݐ‬
∞
0
= 3݁ ‫ݏ‬ ‫ݐ‬
∞
0
= 3 ݁ ‫ݏ‬ ‫ݐ‬
∞
= 3
‫ݏ‬ ‫ݐ‬
‫ݏ‬ 0
∞
=
3
‫ݏ‬
݁ ‫ݏ‬ ‫ݐ‬
=
3
−‫ݏ‬
݁ ‫ݏ‬
− ݁ ‫ݏ‬
=
3
−‫ݏ‬
0 − 1
A

20ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
2.1.3. Función pulso
La función pulso tiene la forma de un pulso cuando se lo grafica en función del
tiempo. Se define:
f(t)=0 , para t 0
f(t)=A/a , para 0 t a
f(t)=0 , para t a
Donde A y a son constantes. La amplitud del pulso es A/a y el ancho del pulso es a.
El área del pulso es:
AREA = (A/a)a = A
Figura 9: Función pulso
2.1.4. Función impulso
La función impulso es una función pulso con , es decir dura un infinitesimal y la
amplitud tiende a infinito. Se define:
Donde A es una constante. El área de la función impulso es:
AREA = (A/t0
)t0
= A
2.1.5. Función impulso unitario
La función impulso unitario es la función impulso con A=1, es decir:
A/a
a
݂ ‫ݐ‬ = lim
→
‫ܣ‬
0
, ‫ܽݎܽ݌‬ 0 ‫ݐ‬ ‫ݐ‬
݂ ‫ݐ‬ = 0 , ‫ܽݎܽ݌‬ ‫ݐ‬ 0, ‫ݐ‬ ‫ݐ‬
݂ ‫ݐ‬ = lim
→ 0
, ‫ܽݎܽ݌‬ 0 ‫ݐ‬ ‫ݐ‬
݂ ‫ݐ‬ = 0 , ‫ܽݎܽ݌‬ ‫ݐ‬ 0, ‫ݐ‬ ‫ݐ‬
1

21Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Figura 10: Función impulso unitario
2.2. Propiedades de la transformada de Laplace
L[A f (t)]=AL[ f (t)]
L[ f1
(t)±f2
(t)]=L[ f1
(t)]±L[ f2
(t)]
Las propiedades de la transformada de Laplace son las mismas que las propiedades
de la integral, dado que la transformada de Laplace es una integral.
Con la primera propiedad se puede sacar de la transformada de Laplace cualquier
real que multiplica a la función temporal. Con la segunda propiedad la transforma-
da de Laplace de la suma de funciones temporales se puede convertir en suma de
transformadas de Laplace de cada función temporal.
2.3. Tablas de transformadas de Laplace
Otra forma de obtener la transformada de Laplace es utilizando tablas de transfor-
madas de Laplace como la Tabla 1. Utilizando la tabla y las propiedades de la trans-
formada de Laplace, se puede resolver la mayoría de problemas de transformada
de Laplace.
Ejemplo 3:
Hallar la transformada de Laplace utilizando tablas de la siguiente función.
f(t)=5t+cos(30) e-2t
Solución
F(s)=L[ f (t)]=L[5t+cos(30) e-2t
]=5L[t]+cos(30)L[e-2t
]
Utilizando tablas:
‫ܨ‬ ‫ݏ‬ = 5
1
‫ݏ‬
+ cos
1
‫ݏ‬ 2
Ejemplo 4:
Hallar la transformada de Laplace utilizando tablas de la siguiente función
f ( t )=2t3
+ e3
+2
Solución
F(s)=L[f (t)]=L[2t3
+ e-3
+2]=2L[t3
]+e-3
u(t)+2u(t)
Donde u(t) es el escalón unitario o unidad de paso:
F(s)=2L[t3
]+e-3
) L[u(t)]+2L[u(t)]

22ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Utilizando tablas:
Tabla 1: Transformada de Laplace de Funciones Comunes
Fuente: Libro de Ogata, Pag. 863
‫ܨ‬ ‫ݏ‬ = 2
3!
‫ݏ‬ +1
݁
1
‫ݏ‬
2
1
‫ݏ‬
‫ܨ‬ ‫ݏ‬ =
12
‫ݏ‬
+ (݁ 3
+ 2)
1
‫ݏ‬

23Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
UNIDAD I: INTRODUCCIÓN Y TRANSFORMADA DE LAPLACEDiagrama Objetivos Inicio
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
LECTURA SELECCIONADA N° 1
LA IMPORTANCIA DE LA INGENIERÍA DE CONTROL DE PROCESOS
Página Web de GUNT- Hamburg
La ingeniería de control de procesos es indispensable para la automatización y su-
pervisión de procesos técnicos complejos. Estos procesos están constituidos por las
operaciones básicas necesarias para la transformación de materiales. Las materias
primas se transformen en productos, por regla general con aportación de otras sus-
tancias y energía. Ejemplos de estos procesos son la fabricación de etanol a partir de
biomasa, la separación de la gasolina del petróleo por rectificación o el tratamiento
de aguas residuales.
Con ayuda de la ingeniería de control de procesos se supervisa y actúa sobre los pro-
cesos de una forma controlada. Para esto se registran y regulan variables como son
el caudal, la temperatura, la concentración, etc. durante el desarrollo de procesos.
Los campos temáticos de la ingeniería de control de procesos
Metrología
Para adquirir los valores de las variables a medir se usan sensores. Estas variables
pueden ser la presión, el caudal, la temperatura y la concentración, todas ellas pro-
pias de la ingeniería de procesos. Estas variables se transforman en señales para su
posterior procesamiento.
Ingeniería de accionamientos
Por medio de actuadores se influye directamente en el proceso, es decir, se modifi-
ca la variable adquirida. Un ejemplo es la modificación controlada de un caudal en
una tubería, por medio de una válvula de control.
Ingeniería de Control
El regulador recibe del sensor la variable controlada adquirida (p. ej. un caudal)
en forma de señal de entrada. En el regulador se compara esta variable controlada
con la variable de referencia predeterminada por el operador. El regulador envía
al actuador una señal de salida cuyo valor depende de la variable activa. El procesa-
miento de la señal en el regulador sigue una relación funcional entre la variable de
entrada y la de salida. Para lograr ajustes óptimos de esta relación en el regulador
(p. ej. a través de los parámetros de regulador P, I y D) se necesita conocer en pro-
fundidad el proceso en sí.
Control en circuito abierto
Las secuencias del procesamiento de señales en sistemas de ingeniería de procesos
industriales se repiten con frecuencia. Tales tareas de control de procesos se reali-
zan mediante controladores de lógica programable (PLC).
Visualización de procesos
La visualización de procesos hace posible que la persona se integre en el entorno
técnico. Para que los procesos complejos se hagan comprensibles para el operador
y poder proporcionar a este la información necesaria sobre el estado del proceso, es
imprescindible una visualización simplificada del mismo. Desde la sala de mando,
el operador puede tomar decisiones basadas en dicha información e influir adecua-
damente en el proceso.
Comunicación
La transmisión segura de datos del proceso a la sala de mando y desde esta al pro-
ceso es un aspecto importante de la ingeniería de control de procesos. Para la inter-

24ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
conexión de varios dispositivos, como p. ej. reguladores, PLCs y actuadores, con la
sala de mando se usan sistemas de bus de campo.
Figura 11: Esquema de la Ingeniería de Control de Procesos
Fuente: Página Web de GUNT- Hamburg
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
ACTIVIDAD N° 1
Esta actividad puede consultarla en su Aula virtual.

25Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
TEMA N° 3: TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Y TEOREMAS
La transformada de Laplace con ayuda de los teoremas convierte una ecuación
diferencial en una ecuación algebraica. Esta es la principal ventaja de la transfor-
mada de Laplace. Una vez resuelto el problema en el espacio de la transformada de
Laplace, se realizará la transformada inversa de Laplace para obtener la solución en
el espacio temporal, es decir obtener una función en el tiempo.
1 Transformada Inversa de Laplace
El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f(t) a partir de la transforma-
da de Laplace F(s) se denomina transformada inversa de Laplace.
La transformada inversa de Laplace también se calcula utilizando una integral:
Donde c es una constante real y L-1
es el operador de la transformada inversa de
Laplace.
Sin embargo, en el presente curso la transformada inversa de Laplace se obtendrá
utilizando la tabla 1.
Las propiedades de la transformada inversa de Laplace son las mismas que la trans-
formada directa de Laplace, dado que también se trata de una integral; es decir:
L-1
[AF(s)]=AL-1
[F(s)]
L-1
[F1
(s) ± F2
(s)]=L-1
[F1
(s)]± L-1
[F2
(s)]
Donde A es una constante real.
Utilizando la tabla 1 y las propiedades de la transformada inversa de Laplace se
puede calcular la transformada inversa de Laplace.
Ejemplo 1
Hallar la transformada inversa de Laplace utilizando tablas de la siguiente función:
‫ܨ‬ ‫ݏ‬ =
6
‫ݏ‬
4
‫ݏ‬ 1+
Solución
+
݂ ‫ݐ‬ = ‫ܮ‬ 1
‫ܨ‬ ‫ݏ‬ = 6‫ܮ‬ 1
1
‫ݏ‬
− 4‫ܮ‬ 1
1
‫ݏ‬ 1
[
[
[
[
[
[
Utilizando tablas:
f (t)= 6u (t) - 4e-t
Donde u(t) es la unidad de paso o escalón unitario. Si multiplicamos a una función
cualquiera una función escalón unitario, el resultado será la misma función. Por lo
tanto, el resultado también se puede tomar como:
f (t)= 6 - 4e-t
Ejemplo 2:
Hallar la transformada inversa de Laplace
Solución
Para obtener la solución de este problema, se utilizará la expansión en fracciones
parciales. Entonces la función compleja se puede expandir en las siguientes fraccio-
nes parciales (revisar el apéndice del libro de Ogata):
ࡸ ૚
ࡲ ࢙ = ࢌ ࢚ =
૚
ࡲ ࢙ ࢋ ࢊ࢙
+࢐
࢐
, ࢖ࢇ࢘ࢇ ࢚ ૙

26ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Multiplicando por
Suponiendo s = -1
8s
(s − 6) s=−1
= a1 +
(0)a2
(−7)
8s
(s − 6) s=−1
= a1
; a1 = 8/7
Multiplicando por (s-6) y suponiendo s=6
8s
(s + 1) s=6
= a2
; a2 = 48/7
Luego:
F s =
8/7
(s + 1)
+
48/7
(s − 6)
f t = L−1
F s =
8
7
L−1
(s + 1)
+
48
7
L−1
1
(s − 6)
Aplicando tablas:
f t =
8
7
e−t
+
48
7
e6t
Ejemplo 3
Hallar la transformada inversa de Laplace de la siguiente función compleja.
F s =
s + 1
s2(s + 2)
Solución
En este ejemplo también se utilizará la expansión en fracciones parciales. Cuando
se tienen factores en el denominador elevados a un exponente, la expansión de las
fracciones parciales se realiza de la siguiente manera:
F s =
s + 1
s2(s + 2)
=
a1
s
+
a2
s2
+
b
(s + 2)
Realizando la suma de las fracciones, se tiene:
s + 1
s2(s + 2)
=
a1s s + 2 + a2 s + 2 + bs2
s2(s + 2)
Ordenando:
F(s) =
8s
(s + 1)(s − 6)
=
a1
(s + 1)
+
a2
(s − 6)
8s
(s − 6)
= a1 +
(s + 1)a2
(s − 6)

27Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Igualando los numeradores, se puede obtener:
(al igualar los coeficientes de s0
)
(al igualar los coeficientes de s)
(al igualar los coeficientes de s2
)
Resolviendo se puede obtener:
2a1 + a2 = 1; 2a1 + 0.5 = 1; a1 = 0.25( ) ( )
Luego:
Aplicando la transformada inversa de Laplace:
2 Teoremas
2.1. Teorema de diferenciación real
La transformada de Laplace de la derivada de una función f(t) se obtiene mediante:
‫ܮ‬
݀
݂ ‫ݐ‬ = ‫ݏ‬ ‫ܨ‬ ‫ݏ‬ − ݂ 0
dt
( ) ( ) ( )
Donde f (0) e el valor inicial de f (t) evaluado en t =0.
Del mismo modo, obtenemos la relación siguiente para la segunda derivada de f(t):
En donde es el valor de df(t)/dt evaluada en t=0.
2
2
Ejemplo 1:
Hallar la transformada de Laplace de la siguiente función utilizando el teorema de
diferenciación real
g t =
d(cos 4t )
dt
( )
( )
Solución
L g t = G s = s
s
s2 + 42
− 1 =
−16
s2 + 16
2.2. Teorema del valor final
El teorema del valor final relaciona el comportamiento en estado estable de f(t) con

28ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
el comportamiento de sF(s) cuando s = 0. Sin embargo, este teorema se aplica si y
solo si existe ; lo que significa que f(t) se asienta en un valor definido para . Si este
es el caso, entonces se puede aplicar el siguiente teorema:
lim
‫ݐ‬ ∞
݂ ‫ݐ‬ = lim
‫ݏ‬ 0
‫ݏ‬ ‫ܨ‬ ‫ݏ‬
Ejemplo 2:
Hallar f(t) cuando t tiende al infinito, si se sabe que existe y la transformada de
Laplace de f(t) es:
Solución
2.3. Teorema del valor inicial
El teorema del valor inicial es la contraparte del teorema de valor final. Este teo-
rema nos permite encontrar el valor de f(t) en t = 0 + directamente a partir de la
transformada de Laplace de f(t).
Haciendo un preámbulo, t=0+ es el valor 0 más un infinitesimal más adelante. Por
ejemplo u(0+)=1; u(0-) = 0, donde u(t) es el escalón unitario. Para funciones conti-
nuas no hay diferencia entre f(0+), f(0) y f(0-).
El teorema del valor inicial se aplica si existe . La siguiente fórmula es la expresión
del teorema del valor inicial.
Ejemplo 3:
Hallar f(t) cuando t=0+, si se sabe que la transformada de Laplace de f(t) es:
Solución
Reordenando:
݂ 0 + = 3 − 0 = 3( )
2.4. Teorema de integración real.
2.4.1. Función de orden exponencial
Antes de explicar el teorema de integración real, se explicará qué es una función
exponencial.
Una función es de orden exponencial si el valor absoluto de la función está por
debajo de una función exponencial para un tT donde M, k y T son reales positi-
vos, gráficamente:

29Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Figura 12: Función de orden exponencial
Ejemplo de funciones exponenciales son la función escalón, la función rampa, la
función senoidal, la función exponencial, la función impulso. Un ejemplo de fun-
ción que no es exponencial es una función que se va al infinito abruptamente y se
mantiene en el infinito. Prácticamente todas las funciones que se verán en el curso
son de orden exponencial.
2.4.2. Teorema
El teorema de la integración real dice lo siguiente: Si f(t) es de orden exponencial,
entonces:
Ejemplo 4:
Hallar la transformada de Laplace de la siguiente función:
Solución
Aplicando el teorema de la integración real se tiene:
Ejemplo 5:
Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial. Considerar x(0)= 0,
x(0) = 0.1.
Mekt
| f (t) |

30ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Solución
Obteniendo la Transformada Inversa de Laplace:

31Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
LECTURA SELECCIONADA Nº 2:
APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cánovas Peña, José Salvador. Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecua-
ciones diferenciales. Pag. 1-3, 29-30.
Vamos a desarrollar un tema sobre la Transformada de Laplace y su aplicación a la
resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coefi-
cientes constantes.
Estas ecuaciones surgen de manera natural en el contexto de los circuitos eléctri-
cos. Consideremos por ejemplo el típico circuito LRC de la figura:
Figura 13: Circuito LRC
Fuente: Libro de Cánovas, Pag. 1
donde la inductancia L, la resistencia R y la capacidad de condensador C se con-
sideran constantes. Se tiene entonces que la carga q(t) que circula por el circuito
está dada por la ecuación:
Y dado que la intensidad I(t) es la derivada de la carga, ésta puede calcularse por la
ecuación:
O equivalentemente con la ecuación diferencial:
En el caso en que V(t) sea una función derivable.
De forma similar, si tenemos un circuito con varias ramas y más elementos, como
por ejemplo:

32ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Figura 14: Circuito de varias ramas
Podemos deducir a partir de las leyes de Kirchoff que las intensidades que circulan
por los hilos eléctricos del circuito vienen dadas por:
Si suponemos los elementos del circuito constantes, salvo a lo mejor el voltaje V(t),
que supondremos una función derivable, tenemos un sistema de ecuaciones dife-
renciales lineales con coeficientes constantes.
La Transformada de Laplace es una herramienta que permite transformar los pro-
blemas anteriores en problemas algebraicos y, una vez resuelto este problema alge-
braico más fácil a priori de resolver, calcular a partir de la solución del problema
algebraico la solución del problema de ecuaciones diferenciales.
Esta es la forma en que los ingenieros abordan el estudio de estos problemas.
Sin embargo, para entender en su justa dimensión la Transformada de Laplace hay
que dominar contenidos básicos de variable compleja que nuestros alumnos ya han
estudiado durante el curso. Así, vamos a presentar la Transformada de Laplace en
un primer lugar usando los conocimientos que el alumno tiene de funciones de
variable compleja y una vez explicada ésta, procederemos a indicar algunas aplica-
ciones a las ecuaciones y sistemas citadas anteriormente. Nuestros alumnos también
deben conocer y dominar contenidos relativos a integrales impropias.
A modo de introducción histórica, diremos que la expresión:
fué acuñada en primer lugar por Pierre—Simon Laplace en 1782. Su utilización
dentro de la técnica se debe en su forma rigurosa a Thomas Bromwich, el cual for-
malizó utilizando las funciones de variable compleja y la Transformada de Laplace
un cálculo operacional inventado por Oliver Heaviside para la resolución de circui-
tos eléctricos.

33Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Una aplicación concreta:
El transbordador Atlantis, de Estados Unidos, se acopló con la cosmonave Mir, de
Rusia, el 28 de junio de 1995.
Para activarse y abrir una puerta de carga del transbordador estadounidense, el
electroimán consume 0.1 A antes de activarse. El diagrama eléctrico del circuito
del electroimán se ve en la siguiente figura, donde la bobina del imán se representa
con L.
Figura 15: Diagrama eléctrico del circuito de un electroimán
La corriente de activación es i1
(t). El intervalo en el que i1
llega a 0.1 A debe ser
menor que 3 segundos. Comprobar L = 1 H es un valor adecuado para conseguir
este objetivo.
Inicialmente el circuito estaba según el diagrama:
Figura 16: Diagrama eléctrico del circuito inicial de un electroimán
Por lo que inicialmente i1
(0)=i2
(0)=0 A y vc
(0)=1V. Una vez que se cierran los dos
interruptores el circuito pasa a ser de la forma:
Figura 17: Diagrama eléctrico del circuito en una segunda etapa de un electroimán
Y las ecuaciones del mismo son:

34ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
De donde teniendo en cuenta las condiciones iniciales y tomando la Transformada
de Laplace obtenemos:
Despejando L[i2
] en función de L[i1
] en la primera ecuación y sustituyendo en la
segunda ecuación tenemos que:
Por lo que tomando la Transformada de Laplace inversa:
Observamos que la función i1
es creciente si y que , por lo que el valor L=1H es
perfectamente válido en el diseño del circuito.
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
CONTROL DE LECTURA Nº 1

35Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
GLOSARIO DE LA UNIDAD I
f(t): es una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t 0
s: es una variable compleja
F(s) : es una función compleja
L[] o [] : es el operador de Transformada de Laplace.
u(t) ó 1(t): es el escalón unitario, también conocido como unidad de paso.
: es el impulso unitario
PLC : controlador lógico programable

36ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I
Ogata, Katsuhiko (2010). Modern Control Engineering. Edit. Prentice Hall.
La Transformada de Laplace.
http://matematicas.univalle.edu.co/~jarango/Books/curso/cap07.pdf
Importancia de la Ingeniería de Control de Procesos. GUNT-HAMBURG.
http://www.gunt.de/download/Process_control_spanish.pdf
Cánovas Peña, José Salvador (2008). Transformada de Laplace y sus aplica-
ciones a las ecuaciones diferenciales.
http://www.dmae.upct.es/~jose/varcomp/ctrans.pdf

37Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
UNIDAD I: INTRODUCCIÓN Y TRANSFORMADA DE LAPLACEObjetivos Inicio
s
s
o Anotaciones
AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD I
1. La variable manipulada es ________ y la variable controlada es _________.
a) Es la señal que ingresa al controlador / es la cantidad que se realimenta.
b) Es la cantidad que el controlador modifica / es la cantidad que se mide y
controla.
c) Es la cantidad que perturba al sistema / es la cantidad que se mide y contro-
la.
d) Es la cantidad que perturba al sistema / es la cantidad que el controlador
modifica.
e) Es la cantidad que el controlador modifica / es la variable perturbada.
2. Proceso es:
a) Cualquier operación que se va a medir
b) Cualquier operación que se va a controlar
c) Una señal que afecta negativamente al sistema de control
d) Una señal que es la salida del sistema de control
e) Cualquier operación que afecta negativamente al control
3. Hallar la transformada de Laplace de la siguiente función utilizando la tabla:
a)
b) ‫ܨ‬ ‫ݏ‬ = ݁ +
3
‫ݏ‬ 3
c)
d) ‫ܨ‬ ‫ݏ‬ = ݁
‫ݏ‬
3
‫ݏ‬ 1
e)
4. Hallar la transformada de Laplace de la siguiente función utilizando la tabla:
f(t)=cos(2+3t)
a)
b)
c) ‫ܨ‬ ‫ݏ‬ =
2‫ݏ‬
2+4
+
3‫ݏ‬
2+9
d)
‫ܨ‬ ‫ݏ‬ =
cos(2 )‫ݏ‬
2
+9
−
3‫ݏ‬ ݁ ݊(2)
‫ݏ‬ +9
e)

38ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
5. Hallar la transformada inversa de Laplace de: ‫ܨ‬ ‫ݏ‬ =
7
(‫ݏ‬ 2)2
+
3
‫ݏ‬+
a) ݂ ‫ݐ‬ = ‫ݐ‬ −2‫ݐ‬ 3
‫ݐ‬
−
b) −݂ ‫ݐ‬ = 7‫ݐ‬ −2‫ݐ‬ 3
‫ݏ‬
c)
d)
e)
6. Hallar la transformada inversa de Laplace de:
a) ݂ ‫ݐ‬ = 4݁ 2‫ݐ‬
5݁ 2‫ݐ‬– – –
b)
c)
d)
e)
7. Hallar el valor final de f(t) si su transformada de Laplace es:
a) 0.25
b) 0.33
c) 0.45
d) 0.50
e) 0.65
8. Hallar el valor inicial de f(t) si su transformada de Laplace es:
a) 0.2
b) 0.3
c) 0.4
d) 0.5
e) 0.6
9. Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial. Considerar x(0)=2.
4ẋ(t) = 6
a) x(t) = 3t + 2
b) x(t)=e-4t
- 0.5e-t
c) x(t) = 2e -0.5t
- 2e-t

39Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
d) x(t)=1.5t + 2
e) x(t) = 4e-0.5t
- 6e-t
10. Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial. Considerar x(0)=0.
2x(t) + 4ẋ(t)=e-t
a) x(t) = e-0.5t
- e-t
b) x(t) = 0.5e-0.5t
- 0.5e-t
c) x(t) = 2e-0.5t
- 2e-t
d) x(t) = 5e-0.5t
- 0.5e-t
e) x(t) = 0.5e-0.5t
- 5e-t

41Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
UNIDAD II: MODELAMIENTO DE SISTEMAS DINÁMICOS
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES
CONOCIMIENTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES
Tema N° 1: Modelamiento
matemático y simulación
con funciones de transfe-
rencia.
1. Introducción al MatLab.
2. Introducción al modela-
miento matemático.
3. Modelamiento de siste-
mas mecánicos y eléctri-
cos.
Lectura seleccionada N° 1
Título: Modelado Mate-
mático de Sistemas de
Control. Ogata, Katsuhi-
ko. Modern Control Engi-
neering. Pag. 13, 14 y 15.
Tema N° 2: Simulación y
Diagrama de bloques
1. Simulación con Simu-
link.
2. Generación de diagra-
ma de bloques.
3. Reducción de diagrama
de bloques.
Lectura seleccionada N° 2
Título: Control de la simu-
lación y visualización de
resultados en Simulink.
Manual “Simulación de
sistemas de control con-
tinuos con MATLAB y SI-
MULINK”, pag. 9,10 y 12.
Autoevaluación de
la unidad ii
1. Grafica funciones con
MatLab.
2. Modela sistemas mecá-
nicos.
3. Modela sistemas eléc-tri-
cos.
Actividad N° 2
Tarea Académica Nº 1
1. Resuelve con responsa-
bilidad y puntualidad
las aplicaciones del mo-
delamiento.
CONTENIDOS
AUTOEVALUACIÓN
LECTURAS
SELECCIONADAS
BIBLIOGRAFÍA
ACTIVIDADES

42ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
UNIDAD II: Modelamiento de Sistemas Dinámicos
TEMA N° 1: Modelamiento Matemático con Funciones de Transferencia
Cuando se diseñan controladores industriales, se tienen que realizar su análisis de
estabilidad y obtener sus respuestas mediante simulaciones, de tal manera que se
garantiza el buen funcionamiento del sistema de control. El modelo matemático
juega un papel muy importante para conseguir este objetivo. El modelo matemáti-
co se puede obtener de múltiples manera, sin embargo, en el presente curso se uti-
liza el modelo matemático con transformadas de Laplace el cual da varias ventajas
al momento de realizar el análisis y la simulación del sistema.
1 Introducción al MatLab
El MatLab es un software muy potente para cálculos matemáticos, no solo sirve para
el curso de ingeniería de control sino para diversos cursos como procesamiento de
señales, procesamiento de imágenes, inteligencia artificial, diseño de filtros, etc.
En la presente introducción al MatLab se tocarán solo temas que se utilizarán en
el curso de ingeniería de control. Si se desea mayor información ir al tutorial de
introducción al MatLab de Gonzales (2004).
Al iniciar el MatLab se mostrará una pantalla (ver figura 18) donde se tiene la línea
de comandos. Esta línea de comandos inicia con los símbolos “”. En esta línea de
comandos se pueden realizar operaciones, ejecutar funciones y programas.
1.1. Operadores y funciones
Para iniciar, realizaremos unas operaciones sencillas, por ejemplo:
a=1; b= 2;
c=a+b
En la primera línea se asignó el valor de 1 a la variable “a” y el valor 2 a la variable
“b”, el punto y coma separa las operaciones o comandos. Si obviamos el punto y
coma al final se muestra el resultado del último comando. Si colocamos el punto
y coma al final no se mostrará el resultado del último comando, sin embargo, el
resultado estará en memoria.
Los operadores matemáticos de MatLab son los siguientes:
+,- : suma y resta.
*, / : producto y división.
ˆ : elevar a una potencia. Ejem: 2ˆ3 (dos al cubo)
Por ejemplo:
d=4*bˆ3
d=
32

43Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Figura 18: Ventana de inicio del MatLab
Fuente: Software MatLab
Además de las operaciones se tienen diversas funciones como las funciones trigo-
nométricas: sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh.
Ejm:
sin(pi/6)
Da como resultado 0.5, la constante pi que es igual a ya está predefinida en el Mat-
Lab. La funciones trigonométricas solo operan en radianes.
Ejm:
r=atan(1)
Da como resultado 0.7854 radianes. En grados el arcotangente de 1 es 45°. Para
obtener este resultado es necesario hacer la siguiente conversión:
r2=r*180/pi
r2=
45
Otras funciones muy utilizadas son:
sqrt(x) que obtiene ,
exp(x) que obtiene , ex
log(x) que obtiene el logaritmo natural de x,
log10(x) que obtiene el logaritmo en base 10 de x.
Ejm:
sqrt(4)
2.000
exp(10)
2.7183
log(2.7183)
1.000
log10(100)
2

44ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
1.2. Números complejos
La potencialidad de MatLab es que trabaja con números complejos y matrices.
Para ingresar un número complejo se coloca un valor real más un valor imaginario
seguido por la letra “i”.
Ejm:
c=3-8i
Por ejemplo en el siguiente cálculo de las raíces de un polinomio da como resulta-
do raíces complejas:
a=1; b=2; c=3;
x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)
x1 =
-1.0000 + 1.4142i
x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)
x2 =
-1.0000 - 1.4142i
Donde a,b,c son los coeficientes de un polinomio de segundo grado; x1 y x2 son las
raíces del polinomio.
1.3. Vectores
Los vectores se ingresan de la siguiente manera.
Vector fila:
v1=[1 , 3 , 5 , 4 , 6]
v1 =
1 3 5 4 6
Vector columna:
v2=[3; 5; 6; 3; 2]
v2 =
3
5
6
3
2
Se pueden multiplicar vectores utilizando el producto matricial:
A=v1*v2
A=
72
B=v2*v1
A=
3 9 15 12 18
5 15 25 20 30
6 18 30 24 36
3 9 15 12 18
2 6 10 8 12
Para sumar vectores, tienen que ser de la misma dimensión.
Ejm:
v3=[2 5 6 3 4]
v4=v1+v3
v4=
3 8 11 7 10

45Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Se puede obtener la transpuesta de un vector:
v2’
3 5 6 3 2
Existe la posibilidad de operar vectores elemento a elemento, es decir la operación
se realiza el primer elemento con el primer elemento, el segundo elemento con el
segundo elemento, el tercer elemento con el tercer elemento, y así sucesivamente.
Ejm:
a=[1 3 4 6]
b=[2 1 3 2]
c=a.*b
c=
2 3 12 12
Agregando el punto antes del operador la operación se realizará elemento a ele-
mento. En el ejemplo se multiplicó 1*2 3*1 4*3 6*2.
d=a.ˆb
d=
1 3 64 36
En este ejemplo se operó 1ˆ2 3ˆ1 4ˆ3 6ˆ2
e=a.ˆ2
e=
1 9 16 36
En este ejemplo se opera cada elemento de “a” al cuadrado.
Se puede generar vectores de manera dinámica:
x=1:0.1:2
x=
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
1.4. Polinomios
En MatLab un polinomio se define ingresando solo los coeficientes del polinomio
en un vector.
Por ejemplo se tiene que ingresar el polinomio: 4x3
+3x2
+2x+6
Se ingresa solo los coeficientes en un vector:
p=[4 3 2 6]
Para ingresar correctamente el polinomio se tiene que ordenar el polinomio desde
término con mayor exponente hasta el término con exponente cero.
Ejm:
3s+6s3
+1
Se ordena:
6s3
+0s2
+3s+1
p2=[6 0 3 1]
Se completa con ceros los términos que faltan.
Se pueden obtener las raíces de un polinomio con el comando “roots”; por ejem-
plo:
roots(p2)
0.1432 + 0.7493i
0.1432 - 0.7493i
-0.2864
Como el polinomio es de tercer grado, se obtiene tres raíces dos de las cuales son
complejas.

46ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
2 Introducción al modelamiento matemático
Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas distintas. Dependiendo
del sistema del que se trate y de las circunstancias específicas, un modelo matemáti-
co puede ser más conveniente que otros. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales
expresan muy bien el modelo de un sistema físico. Sin embargo, si se quiere ver el
flujo de las señales en el sistema, es conveniente utilizar un diagrama de bloques.
2.1. Simplicidad contra precisión
Generalmente, cuando aumentamos la precisión de un modelo matemático, au-
menta su complejidad.
Según Ogata (2010), el modelo debe ser simple para poder realizar los análisis con
facilidad, y a la vez tiene que ser lo suficientemente preciso para obtener resultados
aceptables.
Por ejemplo: en física se utilizan unas ecuaciones de caída libre; estas ecuaciones
de caída libre son en condiciones de laboratorio, es decir en el vacío donde no
hay rozamiento del aire. En condiciones reales el cuerpo en caída experimenta
rozamiento del aire. Sin embargo, cuando el cuerpo es muy denso como el acero se
desprecia la influencia del aire sobre el cuerpo. Sin embargo, cuando el cuerpo es
ligero como una hoja de papel, si es necesario considerar el rozamiento.
2.2. Sistema Lineal
Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición.
Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de
dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales.
Figura 19: entradas y salidas de un sistema
Fuente: Celso De La Cruz Casaño
Si el sistema cumple el principio de superposición:
Figura 20: Principio de superposición
En la figura 19 se muestra que la entrada e1
genera la respuesta r1
y la entrada e2
. Si en el sistema se cumple el principio de superposición,
entonces la suma de las entradas e1
+e2
+r2
.
2.3. Sistema lineal e invariante en el tiempo
Una ecuación es invariante en el tiempo si sus coeficientes son contantes.
Por ejemplo:
Sistema
e1(t) r1(t)
Sistema
r2(t)e2(t)
Sistema
r1(t)+r2(t)e1(t) + e2(t)

47Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Donde ; ‫ݔ‬ =
‫ݔ‬
dt dt
‫ݔ‬ =
Los coeficientes son m y b, los cuales son constantes. Los coeficientes son la masa,
coeficiente de fricción, constante del resorte, resistencia, capacitancia, etc.
2.4. Sistema lineal y variante en el tiempo
Una ecuación es variante con el tiempo si uno o más coeficientes son funciones del
tiempo.
Por ejemplo:
Donde m(t) es la masa que varía con el tiempo.
Un sistema físico que varía en el tiempo es un cohete. El cohete al inicio tiene el
tanque de combustible lleno, su masa es muy grande. A medida que va subiendo el
combustible se va gastando y por lo tanto su masa va disminuyendo, en otras pala-
bras su masa está variando en el tiempo.
Un automóvil también gasta su combustible, estrictamente es un sistema variante
en el tiempo, sin embargo, la masa del combustible es baja con respecto a la masa
del resto del automóvil y por simplicidad la masa del automóvil se considera cons-
tante para considerarlo como un sistema invariante en el tiempo.
2.5. Sistema No Lineal
Un sistema es No Lineal si NO se aplica el principio de superposición. Las no li-
nealidades se presentan si en la ecuación una o más variables están elevadas a una
potencia distinta de 1, se multiplican dos o más variables o están evaluadas por una
función matemática.
Por ejemplo:
En esta ecuación la no linealidad está en el término x2
. El término no es una no
linealidad porque es una función del tiempo o sea se puede reemplazar por una
función F(t). Es decir quedaría:
x +x2
+x=F(t)
Otro ejemplo:
x +(x-1) x + x=0
En esta ecuación se está multiplicando que es la no linealidad.
En el siguiente ejemplo la no linealidad sería sen(x).
sen(x)+x =3t
La ecuación diferencial de un sistema lineal se muestra en el subtema 2.3 (sistema
lineal e invariante en el tiempo).
2.6. Función de Transferencia
La función de transferencia se utiliza para relacionar las entradas y salidas de un
sistema.
Se utiliza en los sistemas lineales invariantes en el tiempo.
Es el cociente entre la transformada de Laplace de la señal de SALIDA entre la
transformada de Laplace de la señal de ENTRADA, bajo la suposición de que todas
las condiciones INICIALES SON CERO.
A continuación se desarrollará una función de transferencia.

48ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
3 Modelamiento de sistemas mecánicos y eléctricos
En esta parte se desarrollarán ejemplos de modelamiento de sistemas mecánicos
y eléctricos mostrando la metodología para obtener los modelos en función de
transferencia.
Ejemplo 1:
Hallar la función de transferencia del siguiente sistema masa-resorte-amortiguador.
Figura 21: Sistema masa-resorte-amortiguador
Fuente: Libro de Ogata (2010)
Donde k es la constante elástica del resorte, b es el coeficiente de fricción viscosa, m
es la masa del cuerpo, F es una fuerza externa, y x es el desplazamiento del cuerpo.
Para este sistema la entrada es la fuerza F y la salida es el desplazamiento x.
Solución
El diagrama de cuerpo libre del sistema es el siguiente:
Figura 22: Diagrama de cuerpo libre, caso 1
Donde Fr
y Fa
son la fuerza que ejerce el resorte sobre el cuerpo y la fuerza que
ejerce el amortiguador sobre el cuerpo respectivamente.
Nótese que en el diagrama de cuerpo libre no se considera el peso. Esto es común
en los modelamientos de este tipo, porque se considera que el peso ha sido com-
pensado por el resorte, y se parte de este punto de equilibrio.

49Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
La fuerza Fr
aparece en el sentido de la figura cuando el cuerpo se desplaza en el
sentido de x. Es decir el resorte se estira y tiende a jalar al cuerpo hacia arriba. Tam-
bién se sabe que la fuerza del resorte es igual a la constante elástica por la elonga-
ción. La elongación para este sistema coincide con el desplazamiento x. Entonces:
Fr
=kx (1)
Supongamos que se tomó el sentido de la fuerza Fr
en el sentido contrario:
Figura 23: Diagrama de cuerpo libre, caso 2
En este caso la fuerza Fr
aparece cuando la masa se desplaza en el sentido contrario
a x. Por lo tanto, sería un desplazamiento negativo y la fuerza se calcularía:
Fr
= -kx
La fuerza del amortiguador Fa
depende de la velocidad con que se estira o compri-
me el amortiguador. Si consideramos la primera figura, esta fuerza aparece cuando
el cuerpo se desplaza en el sentido de x, porque los amortiguadores se oponen al
movimiento. La velocidad con que se estira el amortiguador coincide con la veloci-
dad con que se desplaza el cuerpo. Por lo tanto:
Fa
= bx (2)
Supongamos, que se consideró el sentido de la fuerza del amortiguador en sentido
contrario como en la segunda figura. En este caso la fuerza Fa
aparece cuando el
cuerpo se desplaza en sentido contrario a x es decir con una velocidad negativa. Por
lo tanto, para este caso:
Fa
= -bx
Vamos a utilizar el diagrama de cuerpo libre de la primera figura para aplicar la ley
de Newton. Aplicando esta ley:
Nótese que la segunda derivada de x, que es , es la aceleración de la masa. Luego:
F-Fr
-Fa
=mx
El signo de la fuerza es positiva si tiene el sentido de x, y es negativa si tiene el sen-
tido contrario a x.
Reemplazando las ecuaciones de (1) y (2):
F-kx-bx =mx
Para calcular la función de transferencia, se consideran las condiciones iniciales
iguales a cero, es decir: x(0)=0; x (0)=0; lo que significa x en t=0 y x en t=0 son iguales
a cero.
Obteniendo la transformada de Laplace de la ecuación anterior:

50ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Donde L[F]=F(s) y L[x]=X(s). Aplicando los teoremas:
F(s)-kX(s)-b(sX(s)-x(0))=m(s2
X(s)-sx(0)-x (0))
Reemplazando los valores iniciales:
F(s)-kX(s)-bsX(s)=ms2
X(s)
Reordenando:
F(s)=ms2
X(s)+kX(s)+bsX(s)
F(s)=(ms2
+k+bs)X(s)
Hallando la transformada de Laplace de la salida entre la transformada de Laplace
de la entrada, se obtiene, la función de transferencia:
‫ܨ‬ ‫ݏ‬ =
1
݉ 2 ݇
Ejemplo 2:
En la siguiente figura se presenta el sistema de suspensión de un automóvil. Mode-
lar este sistema requiere de varias variables y momento de inercia del automóvil, lo
cual, dará un modelo muy complejo.
Figura 24: Sistema de suspensión de un automovil
Se puede utilizar un modelo simplificado del sistema de suspensión la cual se mues-
tra en la siguiente figura. El modelo simplificado da información del sistema lo sufi-
cientemente precisa para una primera inspección del comportamiento del sistema.
Si se requiere de mayor precisión se tiene que utilizar el modelo completo. En este
modelo simplificado x0
es el desplazamiento del cuerpo, xi
es el desplazamiento de
la rueda del automóvil, y el punto P representa la rueda del automóvil (esta es otra
simplificación más que se ha realizado).
‫ܮ‬ ‫ܨ‬ ܾ ‫ܮ‬ ݉
‫ܮ‬ − ‫ݔ‬ = ݉ ‫ݔܮ‬
‫ܨ‬ ‫ݏ‬ − ݇ ܺ ‫ݏ‬ − ‫ݔ‬ = ‫ݔ‬

51Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Hallar el modelo matemático del sistema de suspensión simplificado de un automó-
vil expresado por su función de transferencia.
Tomar en cuenta que en este sistema la entrada es el desplazamiento xi
y la salida
sería el efecto que es el desplazamiento x0
.
Figura 25: Sistema de suspensión simplificado
Solución
El diagrama de cuerpo libre del cuerpo es el siguiente:
Figura 26: Diagrama de cuerpo libre
La fuerza del resorte se da en el sentido de la figura cuando la masa se desplaza en
sentido contrario a x0
, es decir el resorte se estira. La elongación del resorte es igual
a (xi
-xo
). Por lo tanto:
Fr = k(xi - xo)
La fuerza del amortiguador se da en el sentido de la figura cuando la masa también
se desplaza en sentido contrario a x0
, es decir el amortiguador se estira y se opone
al movimiento. La velocidad de elongación del amortiguador es igual a xi - xo. Por
lo tanto:
Fa = b(xi - xo)
Aplicando la ley de Newton:
∑ fuerzas = mx0
Considerando que x0
es positivo hacia abajo, se consideran las fuerzas positivas si
apuntan hacia abajo. Entonces:

52ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Fr + Fa = mẍ0
Reemplazando:
k(xi - xo )+b(ẋi - ẋo )= mẍ0
Obteniendo la transformada de Laplace, considerando las condiciones iniciales
iguales a cero y reordenando:
k(Xi (s)-X0 (s)) + b(sXi (s) - sX0 (s))=ms2
X0 (s)
kXi (s)-kX0 (s) + bsXi (s) - bsX0 (s)=ms2
X0 (s)
(k+bs)Xi (s)=(ms2
+ bs + k)X0 (s)
La función de transferencia es igual a la transformada de Laplace de la salida sobre
la transformada de Laplace de la entrada. Es decir:
ܺ
ܺ
=
݇
(݉ 2 + ܾ ‫ݏ‬ ݇
Ejemplo 3:
Hallar el modelo matemático en función de transferencia del siguiente circuito.
La entrada en este circuito es el voltaje de la fuente ei
y la salida es el voltaje en el
condensador e0
.
Figura 27: Circuito LRC
Solución:
Utilizando la ley de voltaje de Kirchhoff se obtiene la siguiente ecuación:
‫ܮ‬
1
‫ܥ‬
݅ =∫+ +
Esta ecuación sería suficiente si la salida fuera la corriente i. Sin embargo, la salida
en este problema es el voltaje en el condensador e0
. Por lo tanto, se requiere la
ecuación de voltaje del condensador, el cual es el siguiente:
∫
1
‫ܥ‬
݁0
Obteniendo la transformada de Laplace de las ecuaciones anteriores, considerando
las condiciones iniciales iguales a cero y utilizando los teoremas de diferenciación
real y de la integración real, se obtiene:

53Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
‫ݏ‬ + ܴ ‫ܫ‬‫ݏ‬ +
1
‫ܥ‬
‫ܫ‬ ‫ݏ‬
‫ݏ‬
= ‫ܧ‬ ‫ݏ‬(( (( ((
((
((
((1
‫ܥ‬
‫ܫ‬ ‫ݏ‬
‫ݏ‬
= ‫ܧ‬ ‫ݏ‬0
Despajando la corriente de la segunda ecuación y reemplazando en la primera
ecuación, se obtiene:
‫ܫ‬ ‫ݏ‬ = 0 ‫ݏ‬
0(‫ݏ‬ + 0(‫ݏ‬ +
1
‫ܥ‬
0(‫ݏ‬
‫ݏ‬
= (‫ݏ‬
2
‫ܧ‬ (‫ݏ‬ + (‫ݏ‬ + ‫ܧ‬ (‫ݏ‬ = ‫ܧ‬ (‫ݏ‬i
Reordenando:
( 2
+ +1)‫ܧ‬ (‫ݏ‬ = ‫ܧ‬ (‫ݏ‬i
Colocando la transformada de Laplace de la salida sobre la transformada de Lapla-
ce de la entrada se obtiene la función de transferencia:
+
‫ܧ‬ (‫ݏ‬
‫ܧ‬ (‫ݏ‬
=
1
( 2 + 1)

54ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
UNIDAD II: Modelamiento de Sistemas DinámicosDiagrama Objetivos Inicio
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Modelado Matemático de Sistemas de Control
Libro de Ogata (pag. 13, 14 y 15)
Introducción
Al estudiar los sistemas de control, el lector debe ser capaz de modelar sistemas
dinámicos y analizar las características dinámicas. Un modelo matemático de un
sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representan la
dinámica del sistema con precisión o, al menos, bastante bien. Téngase presente
que un modelo matemático no es único para un sistema determinado. Un sistema
puede representarse de muchas formas diferentes, por lo que puede tener muchos
modelos matemáticos, dependiendo de cada perspectiva.
La dinámica de muchos sistemas, ya sean mecánicos, eléctricos, térmicos, econó-
micos, biológicos, etc., se describe en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas
ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan un sis-
tema determinado como las leyes de Newton para sistemas mecánicos y las leyes de
Kirchhoff para sistemas eléctricos. Se debe siempre recordar que obtener un mode-
lo matemático razonable es la parte más importante de todo el análisis.
A lo largo de este libro se supone que el principio de causalidad se aplica a los
sistemas que se consideren. Esto significa que la salida actual del sistema (la salida
en t=0) depende de las entradas pasadas (entradas en t0) pero no depende de las
entradas futuras (entradas para t0).
Modelos matemáticos.
Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas distintas. Dependiendo
del sistema del que se trate y de las circunstancias específicas, un modelo matemá-
tico puede ser más conveniente que otros. Por ejemplo, en problemas de control
óptimo, es provechoso usar representaciones en el espacio de estados. En cambio,
para los análisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia de sis-
temas lineales con una entrada y una salida invariantes en el tiempo, la represen-
tación mediante la función de transferencia puede ser más conveniente que cual-
quier otra. Una vez obtenido un modelo matemático de un sistema, se usan diversos
recursos analíticos, así como computadoras para estudiarlo y sintetizarlo.
Simplicidad contra precisión.
Al obtener un modelo matemático se debe establecer un compromiso entre la sim-
plicidad del mismo y la precisión de los resultados del análisis. Al obtener un mo-
delo matemático razonablemente simplificado, a menudo resulta necesario ignorar
ciertas propiedades físicas inherentes al sistema. En particular, si se pretende obte-
ner un modelo matemático de parámetros concentrados lineal (es decir, uno en
el que se empleen ecuaciones diferenciales), siempre es necesario ignorar ciertas
no linealidades y parámetros distribuidos que pueden estar presentes en el sistema
dinámico. Si los efectos que estas propiedades ignoradas tienen sobre la respuesta
son pequeños, se obtendrá un buen acuerdo entre los resultados del análisis de un
modelo matemático y los resultados del estudio experimental del sistema físico.
En general, cuando se resuelve un problema nuevo, es conveniente desarrollar
primero un modelo simplificado para obtener una idea general de la solución. A
continuación se desarrolla un modelo matemático más completo y se usa para un
análisis con más pormenores.
Se debe ser consciente de que un modelo de parámetros concentrados lineal, que
puede ser válido si opera en baja frecuencia, tal vez no sea válido en frecuencias
suficientemente altas, debido a que la propiedad no considerada de los parámetros
distribuidos puede convertirse en un factor importante en el comportamiento di-
námico del sistema. Por ejemplo, la masa de un resorte puede pasarse por alto en
operaciones en baja frecuencia, pero se convierte en una propiedad importante del
sistema en altas frecuencias. (Para el caso en el que el modelo matemático tiene en
cuenta consideraciones de errores, se puede aplicar la teoría de control robusto. La

55Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
teoría de control robusto se presenta en el Capítulo 10)
Sistemas lineales.
Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este prin-
cipio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos fun-
ciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por
tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una
entrada cada vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar solu-
ciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de soluciones sim-
ples.
Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son proporcionales
la causa y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposición, el
sistema se considera lineal.
Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo.
Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones
sólo de la variable independiente. Los sistemas dinámicos formados por componen-
tes de parámetros concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen me-
diante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo —de coeficientes
constantes. Tales sistemas se denominan sistemas lineales invariantes en el tiempo
(o lineales de coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante
ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denomi-
nan sistemas lineales variantes en el tiempo. Un ejemplo de un sistema de control
variante en el tiempo es un sistema de control de naves espaciales. (La masa de una
nave espacial cambia debido al consumo de combustible.).
Función de transferencia y de respuesta-impulso
En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para ca-
racterizar las relaciones de entrada-salida de componentes o de sistemas que se
describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. Se
comenzará por definir la función de transferencia, para proseguir con el cálculo de
la función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales. A continua-
ción se analiza la función de respuesta-impulso.
Función de transferencia.
La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferen-
cial lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transforma-
da de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de
la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones
iniciales son cero.
Considérese el sistema lineal e invariante en el tiempo descrito mediante la siguien-
te ecuación diferencial:
donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La función de transferencia de este
sistema es el cociente de la transformada de Laplace de la salida y la transformada
de Laplace de la entrada cuando todas las condiciones iniciales son cero, o
Función de transferencia = (‫ܩ‬ ‫ݏ‬ =
‫ܮ‬
‫ܮ‬ |salida
Entrada Condiciones iniciales cero
[
[
[ [
+
+
0
0
=
‫ݏ‬
ܺ ‫ݏ‬
=
‫ݏ‬ + ܾ ‫ݏ‬ −1
+ ⋯ + ܾ −1‫ݏ‬ ܾ
ܽ ‫ݏ‬ + ܽ ‫ݏ‬ −1 + ⋯ + ܽ −1‫ݏ‬ ܽ
=ܽ
‫ݕ‬
ܽ
݀ −
−
1
‫ݕ‬
݊ 11 + ++ ⋯ + ܽ −1 1+ ܽ ‫ݕ‬ ܾ
݀ ‫ݔ‬
ܾ
݀ −
−
1
‫ݕ‬
݉ 1
+ ⋯ + ܾ −1 + ܾ ‫ݔ‬ ; (݊ ݉0 0
t t t t tt
≥

56ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la diná-
mica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta
de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, el sistema se
denomina sistema de orden n-ésimo.
Comentarios acerca de la función de transferencia.
La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas
descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo; sin
embargo, el enfoque de la función de transferencia se usa extensamente en el aná-
lisis y diseño de dichos sistemas. A continuación se presentan algunos comentarios
importantes relacionados con la función de transferencia. (Obsérvese que en la lis-
ta, los sistemas a los que se hace referencia son aquellos que se describen mediante
una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo.).
1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es
un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la
variable de salida con la variable de entrada.
2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de
la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.
3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la
entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la
estructura física del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas
físicamente diferentes pueden ser idénticas.)
4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o
respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la
naturaleza del sistema.
5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse
experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida
del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una
descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia
de su descripción física.
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
ACTIVIDAD N° 2

57Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
TEMA N° 2: SIMULACIÓN Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Las simulaciones son fundamentales para probar los sistemas de control antes de
implementarlos en una planta real. El análisis de la respuesta transitoria permite
variar los parámetros del controlador para obtener una respuesta adecuada del
sistema de control. Las simulaciones son muy sencillas si se utilizan funciones de
transferencia, incluso utilizando diagramas de bloques se consigue ver el flujo de
las señales desde una parte a otra parte del sistema. En este tema se utilizará el
software Simulink del MatLab, una herramienta de MatLab muy potente para simu-
laciones y que trabaja uniendo bloques de funciones.
Los diagramas de bloques son otra forma de modelamiento, en el cual cada bloque
puede ser una función de transferencia. La ventaja de esta forma de modelamiento
es ver el flujo de las señales de una parte del sistema a otra. Un ejemplo clásico de
un diagrama de bloques es el sistema en lazo cerrado, cuyo diagrama de bloques se
muestra en la siguiente figura.
Figura 28: Sistema en lazo cerrado
1 Simulación con Simulink
El Software MatLab tiene la herramienta Simulink, el cual es muy útil para realizar
simulaciones tanto de sistemas lineales como de sistemas no lineales interconectan-
do bloques de funciones.
Para ingresar a simulink en la línea de comandos de MatLab escribir:
simulink
Y aparecerá la siguiente ventana:

58ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Figura 29: Ventana principal del Simulink
Fuente: Simulink del MatLab
Se tiene que hacer click en el ícono para abrir un nuevo modelo, donde se
ingresarán los bloques.
Para iniciar, se graficará una función sencilla. Luego de abrir un nuevo modelo
hacer click en la librería “User-defined functions” y arrastrar el bloque “fcn” hacia
el nuevo modelo.
Figura 30: Ingreso de un bloque en simulink
Luego ir a la librería “Source” y arrastrar el bloque “clock” y de la librería “Sinks”
arrastrar el bloque “Scope” (osciloscopio). Luego, conectar los bloques arrastran-
do el mouse desde la salida de un bloque hasta la entrada del otro bloque. Para
ingresar la función que se desea graficar hacer doble click en “Fcn” e ingresar la

59Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
función, teniendo en cuenta que la variable es “u”. La variable “u” es la entrada al
bloque “Fcn” es decir si la entrada es clock o sea el tiempo “t”, en realidad se estará
graficando la función “sen(t)” (ver la siguiente figura).
Figura 31: Diagrama de bloques de la función seno
Finalmente, hacer click en el ícono para correr la simulación y luego hacer
doble click en “Scope” para que muestre el gráfico. Se puede hacer click en el ícono
de autoescala para ampliar el gráfico. Algunas veces no se muestra el gráfico
totalmente hasta que se hace click en autoescala.
Figura 32: Grafico de la función seno en simulink
En el siguiente ejemplo se muestra la simulación de un sistema de control en lazo
cerrado, en este diagrama de bloques se utiliza la función de transferencia para
ingresar el modelo de la planta. Abrir un nuevo modelo e ingresar los siguientes
bloques:

60ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Source - Step
Math Operations - Sum
Math Operations - Gain
Continuous - Transfer Fcn
Sinks - Scope
Hacer doble click en el bloque Sum e ingresar “|+-“. Hacer doble click en Gain e in-
gresar “kc”. Hacer doble click en “Transfer Fcn” e ingresar el modelo de un sistema
masa resorte amortiguador:
ܺ ‫ݏ‬
‫ܨ‬ ‫ݏ‬
=
1
2 + +ܾ ‫ݏ‬ ݇
De la siguiente manera: numerator coeficients = [1]; denominator coeficients=[m
b k].
Conectar como se muestra en la figura 33.
Para realizar la conexión de la realimentación, se arrastra el mouse desde el blo-
que “Sum” hasta la flecha de la salida. Esto puede hacerse primero arrastrando el
mouse hacia abajo desde el bloque “Sum”, luego se suelta el mouse y finalmente
continuar arrastrando el mouse hasta la flecha de la salida.
Figura 33: Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado
Antes de simular este sistema en lazo cerrado se tiene que ingresar los parámetros
de la planta “m”, “b” y “k” y la ganancia del controlador “kc” en la línea de comando
del MatLab.
m=100;
b=10;
k=10;
kc=2;
Simular el diagrama de bloques con el icono , hacer doble click en “Scope” y
luego hacer click en el ícono de autoescala. Se obtendrá el resultado que se muestra
en la figura 34:
Sin embargo, se puede observar que se requiere simular por más tiempo para ver
por completo la respuesta del sistema de control. Para aumentar el tiempo de si-

61Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
mulación ir al menú “Simulation”, elegir el sub menú “Configuration Parameters”
e ingresar en “Stop Time” el valor de 80. El gráfico de la respuesta del sistema de
control se mostrará completo (ver figura 35).
Figura 34: Resultado de la simulación con 10 segundos
Figura 35: Resultado de simulación con 80 segundos

62ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
2 Generación de Diagramas de bloques
Los diagramas de bloques se generan utilizando los siguientes elementos:
Bloque: Los bloques se componen de una función de transferencia, al bloque in-
gresa una sola señal y sale una sola señal que es el resultado de operar la entrada
con la función de transferencia.
Figura 36: Bloque
En esta figura R(s) es la salida y E(s) es la entrada, la función de transferencia
relacional la salida con la entrada. Por lo tanto, la salida se calcula de la siguiente
manera:
R(s)=G(s)E(s)
Punto Suma: El punto suma realiza la operación de sumar las entradas multiplica-
das por el signo que se encuentra en la punta de la señal.
Figura 37: Punto suma
Punto de bifurcación. Del punto de bifurcación las señales se pueden dirigir a di-
versos bloques. La misma señal que llega al punto de bifurcación va a los demás
bloques sin modificación como se puede ver en la siguiente figura.
Figura 38: Punto de bifurcación

63Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Obtención del diagrama de bloques de un sistema
Para obtener el diagrama de bloques de un sistema, primero se obtienen las ecua-
ciones diferenciales, luego se calcula la transformada de Laplace de esas ecuacio-
nes. Antes de graficar el diagrama de bloques se tiene que determinar las causas y
efecto de cada ecuación, es decir que variables se considerarán como entradas y que
variables se consideran como salidas. Se despejan las variables que son las salidas,
luego se grafica el diagrama de bloques de cada ecuación diferencial, finalmente
se unen los diagramas de bloques para obtener el diagrama de bloques completo.
EJEMPLO:
Obtener el diagrama de bloques del siguiente sistema eléctrico (Ogata, 2010).
Figura 39: Circuito eléctrico RC
En este sistema ei
es la entrada y e0
es la salida.
SOLUCIÓN
Las ecuaciones diferenciales son los siguientes:
ei = Ri + e0
݁ =
1
‫ܥ‬
݅ ݀ ‫ݐ‬0 ∫
Obteniendo sus transformadas de Laplace, se obtiene:
Ei (s)=RI(s)+E0 (s)
0‫ܧ‬ =
‫ܫ‬ ‫ݏ‬
‫ܥ‬ ‫ݏ‬
( )
Se tiene que determinar cuál es la causa y efecto de la primera ecuación. La causa
viene a ser la entrada al sistema, es decir el voltaje de la fuente Ei
(s); y el efecto sería
lo que ocurre al aplicar el voltaje Ei
(s). El efecto o salida sería tener una corriente
en el circuito I(s).
En la segunda ecuación diferencial. La causa sería la corriente que se tiene en el
circuito y el efecto o salida sería tener un voltaje en el condensador.
Despajando las salidas se obtiene:
0
0i
=
‫ܫ‬ ‫ݏ‬
‫ܥ‬ ‫ݏ‬
( )
( )
( ) ( )
‫ܫ‬ ‫ݏ‬ =
‫ܧ‬ ‫ݏ‬ − ‫ݏ‬
ܴ
Graficando los diagramas de bloques correspondientes a cada ecuación se obtie-
nen:

64ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Figura 40: Diagramas de bloques por separado
Finalmente se unen los diagramas de bloques y se obtiene:
Figura 41: Diagrama de bloques completo
3 Reducción de Diagramas de bloques
Según Ogata (2010), los diagramas de bloques son muy útiles para ver el flujo de las
señales desde un subsistema o componente hacia otro subsistema o componente.
Además, es útil para generar simulaciones obteniendo gráficas de las distintas seña-
les de un sistema. Sin embargo, al momento de realizar el análisis de estabilidad, es
necesario reducir el diagrama de bloques a una mínima expresión. Se tiene que to-
mar en cuenta que no hay un único diagrama de bloques para modelar un sistema
físico; es decir se pueden utilizar múltiples diagramas de bloques para representar
un sistema físico.
3.1. Equivalencias de diagramas de bloques
Para operar los diagramas de bloques, con el fin de obtener un diagrama de blo-
ques más conveniente, es necesario utilizar sus equivalencias. A continuación se
muestran algunas equivalencias comunes de diagramas de bloques.
Diagramas de bloques en serie
Figura 42: Equivalencia de diagrama de bloques en serie
Diagrama de bloques Diagrama de bloques equivalente
G1(s) G2(s)
E(s) R(s)A(s)
G1(s)G2(s)
E(s) R(s)

65Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
La equivalencia del diagrama de bloques se puede demostrar de la siguiente ma-
nera:
Se sabe que la salida es igual a la función de transferencia por la entrada. Por lo
tanto:
A(s) = G1
(s)E(s)
R(s)= G2
(s)A(s)
Reemplazando la primera ecuación en la segunda ecuación, se obtiene:
R(s)= G2
(s) G1
(s)E(s)
A partir de esta ecuación se genera el diagrama de bloques reducido.
Diagrama de bloques en paralelo
Figura 43: Equivalencia de diagrama de bloques en paralelo
La demostración es similar al caso anterior
Puntos suma
Figura 44: Equivalencia de diagrama de bloques de punto suma
Se puede demostrar de la siguiente manera:
Las ecuaciones del diagrama de bloques son:
R(s)=CB(s)
C=E(s)A(s)
Reemplazando la segunda ecuación en la primera ecuación, se obtiene:
R(s)= E(s)A(s)B(s)
Haciendo que:
G1(s)
G2(s)
E(s)
R(s)R
E(s) R(s)
E(s) R(s)
A(s)
B(s)
+ + E(s) R(s)
B(s)
A(s)
+ ++C +D

66ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
D= E(s)B(s)
Se obtiene:
R(s)=DA(s)
D= E(s)B(s)
A partir de estas ecuaciones se obtiene el diagrama de bloques equivalente.
Otros diagramas de bloques equivalentes
En la siguiente figura se muestran otras equivalencias de diagramas de bloques.
Figura 45: Otras equivalencias de diagramas de bloques
EJEMPLO 1: Hallar el diagrama de bloques reducido.
Figura 46: Diagrama de bloques de un sistema
SOLUCIÓN
E
B
+G
E
B
+ G
1/G
E R+ G
H
E R
G
E R
E
G
E R
1/G
E
- 1
1 + GH

67Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
(a)
(b)
(c)
Figura 47: Reducción del diagrama de bloques de la figura 46 parte 1
(a)
(b)
Figura 48: Reducción del diagrama de bloques de la figura 46 parte 2
Ejemplo 2:
Reducir el siguiente diagrama de bloques (Ogata, 2010):

68ollo
nidos
as
nadas
torio Anotaciones
Figura 49: Diagrama de bloques de un sistema
Solución
Ver la solución en el libro de Ogata (2010) pag. 45.

69Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
UNIDAD II: Modelamiento de Sistemas DinámicosDiagrama Objetivos Inicio
Desarrollo
de contenidos
Lecturas
seleccionadas
Control de la simulación y visualización de resultados
en simulink
Manual “Simulación de sistemas de control continuos con MATLAB y SIMULINK”.
Pag. 9, 10 y 12.
Antes de poder ejecutar la simulación, es necesario seleccionar los parámetros
apropiados para la misma (1). Desde el menú “SimulationParameters”, se puede
desplegar un cuadro de dialogo, en el que se controlan parámetros de la simulación
de entre los cuales el que se modifica más habitualmente es el tiempo final de la
simulación. (Otros parámetros accesibles son el tiempo de inicio de la simulación,
el método matemático que se empleará para llevarla a cabo, o las variables que se
tomarán/guardarán de/en el espacio de trabajo). La simulación se puede poner
en marcha o detener mediante el menú anterior o los botones de la ventana (2).
Figura 50: Parámetros de simulación
Fuente: Manual “Simulación de sistemas de control continuos con MATLAB y SIMULINK”
Para visualizar los resultados de la misma son muy útiles los bloques que se encuen-
tran en el grupo “Sinks” de la biblioteca de Simulink. De entre ellos, quizás el más
útil es el bloque “Scope” que simula el comportamiento de un osciloscopio. Tras
realizar una simulación se pueden ver los resultados que ha registrado haciendo un
doble clic sobre él (3). Para ver correctamente los resultados se utilizan los contro-
les de zoom (4), siendo conveniente pulsar siempre tras una simulación el botón de
autoescala (el de los prismáticos) para ver el total de los datos registrados. Los otros
tres botones de zoom permiten respectivamente ampliar un área señalada con un
arrastre del ratón, ampliar el eje “X” de la misma manera o ampliar el eje “Y”.
El bloque “Scope” tiene una serie de propiedades a las que se accede a través del

A0239 ma ingenieria_de_control_ed1_v1_2016

A0239 ma ingenieria_de_control_ed1_v1_2016

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a A0239 ma ingenieria_de_control_ed1_v1_2016

Similar a A0239 ma ingenieria_de_control_ed1_v1_2016 (20)

Último

Último (20)

A0239 ma ingenieria_de_control_ed1_v1_2016