Este documento describe medidas de dispersión como la desviación estándar y la varianza, las cuales permiten cuantificar cuán dispersos están los datos respecto al valor central. Explica que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, la cual se calcula como la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada valor respecto al promedio, dividido entre el número total de valores. También presenta ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular la varianza y la desviación estándar a partir de conjuntos de datos.

1. Medidas de Dispersión: se llaman medidas de dispersión aquellas
que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un
cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de
los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de
coeficientes para variables cuantitativas. Las más usuales son el
desvío estándar y la varianza
Medidas de Dispersión

2. Medidas de Dispersión

3. La desviación estándar
. Una medida diferencial para identificar esos conjuntos de
datos es la concentración o dispersión alrededor de la media.
Una manera de evitar que los distintos signos se compensen
es elevarlas al cuadrado, de manera que todas las desviaciones sean
positivas. La raíz cuadrada del promedio de estas cantidades recibe
el nombre de desviación estándar, o desviación típica y es
representada por la siguiente fórmula:

4. .
La Varianza
El cuadrado de la desviación estándar recibe el nombre de varianza y se
representa por . La suma de los cuadrados de los desvíos de la
totalidad de las observaciones, respecto de la media aritmética de la
distribución, es menor que la suma de los cuadrados de los desvíos
respecto de cualquier otro valor que no sea la media aritmética.
Si observamos, veremos que la varianza no es más que el desvío
estándar al cuadrado. Precisamente la manera de simbolizarla es.
Por lo mismo, la desviación estándar puede definirse como la raíz
cuadrada de la varianza

5. 8 cms.
Aquí tenemos 9 rectángulos cuya altura es de 8 centímetros (y todos
tienen la misma base).
¿Existe alguna variación respecto de su altura entre estos rectángulos?
¿Cuál es el promedio de la altura de estos rectángulos?
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
9
=
72
9
= 8

6. El quinto rectángulo y el octavo rectángulo en un acto de rebeldía
cambiaron su altura. El quinto rectángulo, ahora de color rojo, mide 10
centímetros, y el octavo rectángulo, de color azul, mide 6 centímetros?
¿Cuál es el nuevo promedio de estos 9 rectángulos?
8 + 8 + 8 + 8 + 10 + 8 + 8 + 6 + 8
9
=
72
9
= 8
... ¡el mismo promedio! Pero... ¿ha habido variación?
8 cms.
10 cms
6 cms

7. El rectángulo rojo tiene +2 centímetros sobre el promedio, y el
rectángulo azul tiene –2 centímetros bajo el promedio. Los otros
rectángulos tienen cero diferencia respecto del promedio.
8 cms.
10 cms
6 cms
Si sumamos estas diferencias de la altura respecto del promedio,
tenemos
0 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 – 2 + 0 = 0
Este valor nos parece indicar que ¡no ha habido variabilidad! Y sin
embargo, ante nuestros ojos, sabemos que hay variación.

8. 8 cms.
10 cms
6 cms
Una forma de eliminar los signos menos de aquellas diferencias que
sean negativas, esto es de aquellos mediciones que estén bajo el
promedio, es elevar al cuadrado todas las diferencias, y luego sumar...
02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 = 8
Y este resultado repartirlo entre todos los rectángulos, es decir lo
dividimos por el número de rectángulos que es 9
02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 =
9 9
8
= 0,89

9. 8 cms.
10 cms
6 cms
Se dice entonces que la varianza fue de 0,89
Observemos que las unidades involucradas en el cálculo de la varianza
están al cuadrado. En rigor la varianza es de 0,89 centímetros cuadrados.
De manera que se define
0,89 0,943

La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar

10. 8 cms.
10 cms
6 cms
Que la desviación estándar haya sido de 0,943 significa que en promedio la
altura de los rectángulos variaron (ya sea aumentando, ya sea
disminuyendo) en 0,943 centímetros.
Es claro que esta situación es “en promedio”, puesto que sabemos que
los causantes de la variación fueron los rectángulos quinto y octavo.
Esta variación hace repartir la “culpa” a todos los demás rectángulos
que se “portaron bien”.
La desviación estándar mide la dispersión de los datos respecto del
promedio

11. 8 cms.
10 cms
6 cms
4 cms
8 cms.8 cms. 8 cms.
7 cms.
8 cms.
¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de las alturas de los rectángulos?
En primer lugar debemos calcular el promedio
8 + 4 + 8 + 8 + 10 + 8 + 7 + 6 + 8
9
= 7,44
Luego debemos calcular la varianza

12. 8 cms.
10 cms
6 cms
4 cms
8 cms. 8 cms. 8 cms.
7 cms.
8 cms.
Promedio
7,44
0,56
-3,44
0,56 0,56 2,56 0,56 -0,44 -1,44
0,56
0,562 + (-3,44)2 + 0,562 + 0,562 + 2,562 + 0,562 + (-0,44)2 + (-1,44)2 +
0,562
9
22,2224
9
=
= 2,469
Este es el valor de la varianza

13. 10 cms
8 cms.
6 cms
4 cms
8 cms. 8 cms. 8 cms.
7 cms.
8 cms.
Promedio
7,44
Si la varianza fue de 2,469, entonces la desviación estándar es de...
2,469 1,57

Lo que significa que, en promedio, los rectángulos se desviaron más o
menos (más arriba o más abajo) en 1,57 centímetros.

14. MEDIDAS DE DESVIACION
PARA DATOS AGRUPADOS.
LA DESVIACION ESTANDAR INDICA QUE TAN DISPERSOS
ESTAN LOS DATOS CON RESPECTO A LA MEDIA.

15. PROPIEDADES DE LA VARIANZA Y LA DESVIACION
ESTANDAR.

18. Ejemplo:
Duración (horas) Frecuencia
[40-45[ 22
[45-50[ 16
[50-55[ 10
[55-60[ 8
a) ¿Calcular la duración promedio de una pila?
a) ¿Calcular la desviación estándar y la varianza?
La siguiente tabla muestra la duración de unas baterías alcalinas

19. Ejercicios
1) Calcula el rango y la desviación media y la desviación estándar de la
venta de electrodomésticos realizadas en una tienda durante 10 días
72-63-84-60-72-80-90-81-78-78.
2) En la tabla se muestran las notas de 30 estudiantes en una prueba de
matemáticas. Calcula la varianza y la desviación estándar.
Notas de los estudiantes en un examen de
matemáticas
Nota f
2
5
8
10
5

20. Los carabineros de una ciudad controlaron la rapidez de algunos automóviles que
trasladaban por una autopista y obtuvieron los siguientes datos:
Rapidez (km/h) Cantidad de autos
8
21
57
10
4
a) Calcule el rango, la desviación estándar. Interpreta los resultados

21. En la tabla se muestran os notas de 30 estudiantes en una
prueba de matemática
Notas de estudiantes en examen de matemática
Nota f
[2,0-3,0[ 2
[3,0-4,0[ 5
[4,0-5,0[ 8
[5,0-6,0[ 10
[6,0-7,0[ 5
a) Calcular la desviación estándar e interprétala

22. COMPARACION DE MUESTRAS
Cuando se tienen dos o mas muestras, se pueden comparar sus
características utilizando las medias de tendencia central de posición y
las de dispersión, y a partir de ellas obtener conclusiones.
Nota: Nos es necesario que las muestras sean del mismo tamaño.
Ejemplo
Una estación de bencina reporto las siguientes distribuciones de
frecuencia, la que relaciona la cantidad de litros de bencina vendidas
aun grupo de clientes en un día lunes en dos locales diferentes.

23. LOCAL A
Cantidad de gasolina (litros) Cantidad de ventas
110
157
204
88
85
56
LOCAL B
Cantidad de gasolina (litros) Cantidad de ventas
90
172
190
125
86
37
ANALICE
Utilice la media y la
varianza para
determinar cual de los
dos locales les va
mejor.