Permutaciones combinaciones y áreas bajo la curva

1. Técnicas de Conteo en
Probabilidades
ING. DANIELA SALAZAR

2. Que son las técnicas de conteo
 Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas usadas en probabilidad y estadística que
permiten determinar el número total de resultados que pueden haber a partir de hacer
combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos. Este tipo de técnicas se utilizan
cuando es prácticamente imposible o demasiado pesado hacer de forma manual combinaciones
de diferentes elementos y saber cuántas de ellas son posibles.
 Este concepto se entenderá de forma más sencilla a través de un ejemplo. Si se tienen cuatro
sillas, una amarilla, una roja, una azul y una verde, ¿cuántas combinaciones de tres de ellas se
pueden hacer ordenadas una al lado de la otra?
 Se podría resolver a este problema haciéndolo manualmente, pensando en combinaciones como
azul, rojo y amarillo; azul, amarillo y rojo; rojo, azul y amarillo, rojo, amarillo y azul… Pero esto
puede requerir mucha paciencia y tiempo, y para eso haríamos uso de las técnicas de conteo,
siendo para este caso necesaria una permutación.

3. PERMUTACIONES ( AB Y BA SON
DIFERENTES)
 Antes de entender cómo hacer las permutaciones, es importante entender la diferencia entre una combinación y
una permutación.
 Una combinación es un arreglo de elementos cuyo orden no es importante o no cambia el resultado final.
 En cambio, en una permutación, habría un arreglo de varios elementos en los que sí es importante tenerse en
cuenta su orden o posición.
 En las permutaciones, hay n cantidad de elementos distintos y se selecciona una cantidad de ellos, que sería r.
 La fórmula que se utilizaría sería la siguiente: nPr = n!/(n-r)!
 Por ejemplo:
 Hay un grupo de 10 personas y hay un asiento en el que solo pueden caber cinco, ¿de cuántas formas se pueden
sentar?
 Se haría lo siguiente:
 10P5=10!/(10-5)!=10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 formas diferentes de ocupar el banco.

4. COMBINACIONES (AB Y BA SON LO
MSISMO)
 En las combinaciones, a diferencia de lo que sucedía con las permutaciones, el
orden de los elementos no es importante.
 La fórmula a aplicar es la siguiente: nCr=n!/(n-r)!r!
 Por ejemplo:
 Un grupo de 10 personas quieren hacer limpieza en el barrio y se preparan para
formar grupos de 2 miembros cada uno, ¿cuántos grupos son posibles?
 En este caso, n = 10 y r = 2, así pues, aplicando la fórmula:
 10C2=10!/(10-2)!2!= 45 parejas distintas.

5. QUÉ ES EL FACTORIAL
La función factorial es una fórmula matemática representada por el signo de exclamación “!”. En la fórmula
Factorial se deben multiplicar todos los números enteros y positivos que hay entre el número que aparece
en la fórmula y el número 1.
Es muy fácil, aquí tienes un ejemplo:
7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5.040
En esta fórmula el número 7 se llamaría 7 factorial o factorial de 7 y multiplicaremos todos los números que
aparecen en la fórmula hasta llegar al 1.
Si a estas alturas estás a punto de tirar la toalla te confesaré que en tu calculadora aparece un botón que
calculará la el factorial del número que quieras automáticamente. Debes buscar una tecla parecida a “x!” o
“n!”.
Realizar con la calculadora los siguientes ejemplos: 5!, 3!, 2!, 10!
El factorial de 0 siempre es uno

6. Permutaciones y Combinaciones
 Observa los videos, y escribe los ejercicios
 https://www.youtube.com/watch?v=BKHBESHjGEA
 https://www.youtube.com/watch?v=3ZVq2KvClZ8

7. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
CON CALCULADORA
 Como vimos tanto las permutaciones y combinaciones se realizan con fórmulas,
sin embargo se puede realizar directamente con las teclas de la calculadora por lo
que posteriormente todo ejercicio que realicemos, será solo con calculadora no es
necesario la formula. En el video a continuación aprenderemos como usar la
calculadora para permutación nPr, combinación nCr, y Factorial n!.
 Observa el video y realiza los ejercicios en tu calculadora:
 https://www.youtube.com/watch?v=nZMaF-AnkPU
 https://www.youtube.com/watch?v=dVRK8LMbk2k&t=8s

8. Realice los siguientes ejercicio con
calculadora (Asincrónica 1)

9. Resuelve con calculadora:
 ¿Cuántos equipos diferentes de tres personas pueden originarse si se tienen cinco
personas para elegir entre ellas?
 Calcula en número de formas en que un capataz puede escoger a 12 de 18
trabajadores para asignarles trabajo en tiempo extra.
 El departamento de suministros tiene ocho diferentes motores eléctricos y cinco
diferentes interruptores de arranque. ¿De cuantas maneras pueden seleccionarse
dos motores y dos computadores para un experimento de una antena de rastreo?

10. Distribuciones
Probabilísticas
ING. DANIELA SALAZAR

11. Clasificación
La distribución de probabilidad permite asignar a cada evento la probabilidad de que este ocurra o tenga
éxito, ejemplo de esto, la realización de experimentos, estudios sobre el progreso de una empresa, etc.
Con el estudio de las probabilidades, se ha permitido una manera de estandarizar los sucesos y procesos que
ocurren al azar, esto se ha logrado estimando las frecuencias en las que se obtiene un resultado en
específico.
 Para variables continuas: en el caso de que la variable aleatoria sea continua, la
distribución asociada es una distribución normal o de tipo Gaussiana. (variable continua
se puede fraccionar, peso, estatura)
 Para variables discretas: en el caso de que la variable aleatoria sea discreta, pueden existir
varios tipos de distribuciones, las principales son la distribución binomial, la distribución
hipergeométrica y la distribución de Poisson. (no se puede usar decimales, nro de hijos
de autos)

12. Distribuciones discretas y continuas

13. Distribución Normal (z)
 Esta distribución considera dos parámetros, los cuales son el promedio o la media (μ) y
la desviación estándar (σ). Gracias a estos dos parámetros, tiene asociada una ecuación,
de la cual se desarrolla una gráfica conocida como campana de Gauss.
 Esta gráfica es simétrica (cola derecha e izquierda igual), con respecto a la media y su
apertura o ancho viene dada por la desviación estándar. A su vez, en la gráfica se ve
reflejada la distribución de la probabilidad de la variable en estudio.
 De esta distribución normal se desarrollan otros tres tipos de distribuciones:
 T de Student
 Ji-cuadrado
 F de Fisher

14. Probabilidades y áreas bajo la curva
normal
 Ver video 1 que es distribución normal
https://www.youtube.com/watch?v=phY8Z9-TXCY
Ver instrucciones de cálculo:
Para calcular áreas bajo la curva normal es necesario estandarizar y usar la tabla z:

15. Estandarización
 Se debe considerar que el área bajo la curva siempre es igual a 100% de la probabilidad, con ello se
estandarizacualquier curva, es decir, cualquier conjunto de valores se puede definir con este criterio.Bajo esta
consideración se puede utilizar la media como punto de referencia y la desviación estándar como una medida
de la desviación de dicho punto de referencia, y con este criterio se puede reordenar cualquier distribución
normal para ser expresada en una forma estandarizada.
 Cuando se toma este criterio de estandarización, cualquier valor real puede ser transformado en su
equivalente medido en términos de su desviación estándar y con esto se genera una escala que se conoce
como escala z, que se calcula aplicando la siguiente fórmula:

16. Ejemplo
 Considerando una media de 100 (u) y una desviación estándar (s) de 10,
estandarice los valores observados:

17. Ejercicios:
 Con una media de 70 y una desviación estándar de 5, estandarice los siguientes
valores:
 80
 90
 60
 50

18. Tabla z
 Para saber el porcentaje que corresponde a la curva se deberá usar la tabla z el valor
obtenido se buscará en la tabla, y el valor resultado de la intersección en los horizontal
y vertical es el valor que se busca en la curva.
 Ejemplo si z=1,50
 Buscar en la parte vertical los números enteros es decir 1,5 y en la parte horizontal el
último número en este caso 0, con cuyo valor trabajaremos para la curva, que es de
0,4332
 Si z=1,25, el valor en la tabla seria 0,3944, resultante de buscar 1,2 en lo vertical y 0,05
en lo horizontal.
 Ver el video y reescribir los ejercicios en una hoja:
 https://www.youtube.com/watch?v=1yJ19xJcjAQ

20. EJERCICIOS ÁREAS BAJO LA CURVA
 Resolver:
 La estatura de las mujeres de Cayambe tiene una distribución normal con una
media de 63.6centímetros y una desviación estándar de 2.5 centímetros, basado
en datos de la encuesta nacional de salud, si se selecciona al azar a una mujer,
determine la probabilidad de:
 a)Que su estatura esté entre 63.6 pulgadas y 68.6 pulgadas
 b)Que su estatura sea mayor de 68 pulgadas
 c)Que su estatura sea menor a 62 pulgadas
 d)Que su estatura esté entre 62 y 64.5 pulgadas
 e)Que su estatura sea mayor de 61.5 pulgadas

21.  Se realiza un estudio sobre sueldos de Gerentes, la media es de $1000, y la
desviación estándar de 100, hallar la probabilidad de que:
 A) Un gerente gane entre 790 y 1000
 B) Que gane entre 840 y 1200
 C) Que gane más de 1245
 D) Que gane entre 1150 y 1250
 E) Que sea menor de 790
No te olvides de ver el video, de los diferentes casos y sobre todo graficar,
para ubicar más fácil él área.

22. Asincrónica 2
 Los precios de las acciones de cierta industria se distribuyen en forma normal con
media de $20y desviación estándarde $3. ¿Cuál es la probabilidad de que el
precio de las acciones de una empresa se encuentre entre $18 y $20?Rpta: 0,2486
 La estatura de mujeres adultas en cierta región tieneuna distribuciónnormal cuya
media es de 160 cm, con desviación estándar de 2cm. ¿Qué porcentaje tiene una
estaturaentre 158 y 163 cm?Rpta: 0,77456.
 Los sueldos mensuales en una empresa siguen una distribución normal con media
de 1200 dólares, y desviación estándar de 200dólares¿Qué porcentaje de
trabajadores ganan entre 1000 y 1550 dólares? Rpta: 0,8012

23. Otros casos de áreas fijas bajo la curva.

24. Regla empírica

25. EJEMPLO

26.  Bajo el 68%
 U+ 1s = 19 +1,20 =20,2
 U-1S= 19 -1,20 = 17,8
 El 68% de las pilas duran entre 17 y 20 horas
 Bajo el 95%
 El 95% de pilas duran entre 16 y 21 horas
 Bajo casí el 100%
 U+ 3s = 19 +3,60 =22,6
 U- 3S= 19 -3,60 = 15,4
 El casí 100% de las pilas duranentre 15 y 23 horas.

27. Realice los siguientes ejercicios, los
literales a, b y c. (Trabajo autónomo en
casa)
 Del literal 21 no realizar el d.