a quien interese

.
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS
UNIDAD 1
ESTADÍSTICA
TEMA 2
Subtema 2: Medidas de dispersión,
desviación estándar, rango
estadístico, varianza y coeficiente de
varianza.
MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN ADMISIÓN

OBJETIVO
Calcular la medidas de dispersión, con apoyo de las TIC,
para resumir, organizar, graficar e interpretar datos
agrupados.

3
Algunas veces es conveniente
resumir la información con
un solo número.
Este número, suele situarse
hacia el centro de la
distribución de datos por
esta razón toman el nombre
de medidas de tendencia
central

En ocasiones los datos pueden estar diseminados en mayor o menor
grado, es decir que algunos datos pueden estar cerca y otros estar muy
alejados de la medida de tendencia central, lo cual podría generar una
incorrecta apreciación de la tendencia de los datos analizados

MEDIDAS DE DISPERSIÓN
En ocasiones los datos pueden estar dispersos en mayor o menor
grado, es decir que algunos datos pueden estar cerca y otros estar
muy alejados de la medida de tendencia central, lo cual podría
generar una incorrecta apreciación de la tendencia de los datos
analizados.
Las medidas de dispersión nos permiten analizar si los datos se
encuentran más o menos concentrados, o más o menos dispersos.
(Armas, et al, 2006)

7
En la siguiente figura se puede observar que la primera presenta una distribución con datos más
concentrados alrededor de su promedio (400) mientras que la otra figura con respecto a su promedio
(1000). Es decir, la primera figura es una distribución con menor dispersión.
Las figuras siguientes muestran a tres distribuciones con promedio 70, sin embargo las tres difieren en cuanto
a su variabilidad alrededor de la media.

8
Medidas
de
Dispersión
Rango
Varianza
Desviación
Típica o
Estándar
Coeficiente
de
variación

RANGO
Es la medida de dispersión más sencilla, nos permite tener una
idea rápida del grado de separación que existe en los datos,
también se conoce como amplitud o recorrido y se calcula por la
diferencia entre el mayor valor y el menor.

» El siguiente conjunto de datos forma una población de: 6, 4, 2, 10 y 8
» 𝑅 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
» 𝑅 = 𝑋𝑚á𝑥 − 𝑋𝑚í𝑛
» 𝑅 = 10 − 2
» 𝑅 = 8
10
RANGO EN DATOS NO AGRUPADOS
2, 4, 6, 8 y 10

11
RANGO EN DATOS AGRUPADOS
Llamamos rango al número de unidades de variación presente en los datos
recopilados y se obtiene de la diferencia entre el dato mayor y el dato menor
𝑅 = 𝑋𝑚á𝑥 − 𝑋𝑚í𝑛
𝑅 = 16 − 13
𝑅 = 3
𝑅 = 𝑋𝑚á𝑥 − 𝑋𝑚í𝑛
𝑅 = 8 − 0
𝑅 = 8

VARIANZA
Nos permite medir la variabilidad existente entre los valores de la serie y la
media aritmética, se calcula como la sumatoria de las diferencias al
cuadrado entre cada valor y la media y se divide para el número de datos
menos uno.
Importante
La varianza siempre será
mayor que cero.
Varianza más cerca de cero
Mientras más se
aproxima a cero (un
valor bajo de la varianza)
más concentrados están
los valores alrededor de
la media.
Varianza más lejos de cero
Mientras más se aleja de
cero (un valor alto de la
varianza) indica una
mayor dispersión de los
datos.

13
VARIANZA EN DATOS AGRUPADOS
La varianza en datos agrupados se calcula en base a la tabla de frecuencias de los
datos , en la cual se crean nuevas columnas con los cálculos necesarios

14
La tabla muestra los resultados obtenidos en un test de 120 preguntas.
Ejemplo:
𝑺𝟐
𝑋 =
2565
49
𝑋 = 52,35

CALCULO DE LA VARIANZA CON EL USO DE
APLICACIONES WEB
15
https://mathcracker.com/es/c
alculadore-varianze-muestral-
datos-agrupados

DESVIACIÓN TIPICA O ESTÁNDAR
Se calcula como la raíz cuadrada positiva de la varianza, con esto se
consigue tener valores en las mismas unidades de los datos.

17
Una vez obtenida la varianza del ejercicio anterior, calcular la
desviación típica o estándar.
Ejemplo:
𝑆 = 𝑆2
𝑆 = 882,15
𝑆 = 29,70
Desviación típica
𝑺𝟐 un valor alto de la varianza, indica una
mayor dispersión de los datos.

18
Calcular la desviación estándar de los siguientes datos:
𝑆 =
12000
50 − 1
𝑆 = 244,90 𝑺 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟓
un valor bajo de la varianza
más concentrados están los
valores alrededor de la
media.

19
Calcular la desviación estándar de los siguientes datos:
INTERVALO fi xi xi.fi Xi- (Xi- )² fi.(Xi- )²
38-44 8 41 328 -15,9 252,81 2022,48
44-50 12 47 564 -9,9 98,01 1176,12
50-56 20 53 1060 -3,9 15,21 304,2
56-62 16 59 944 2,1 4,41 70,56
62-68 12 65 780 8,1 65,61 787,32
68-74 8 71 568 14,1 198,81 1590,48
74-80 4 77 308 20,1 404,01 1616,04
80 4552 7567,2
𝑆 =
7567,2
80 − 1
𝑆 = 95,79 𝑺 = 𝟗, 𝟕𝟗
un valor bajo de la varianza
más concentrados están los
valores alrededor de la
media.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN
La variación estándar “S” nos da la dispersión absoluta, esta medida puede darnos una
idea no tan precisa de cuanto se dispersan los datos ya que no es lo mismo una
variación de 1 cm, en una escala de 10 cm que una variación de 1 cm, en una escala
de 199 m.
Por esta razón es conveniente calcular una variación relativa conocida como
“coeficiente de variación” y se define como el cociente entre la desviación estándar y
la media de los datos (Spiegel y Stephens, 2009)
CV = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑆 = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟
𝑋 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎

21
COEFICIENTE DE VARIACIÒN EN DATOS AGRUPADOS
COEFICIENTE DE VARIACION (CV)
𝑐𝑣 =
𝑫𝑬𝑺𝑽𝑰𝑨𝑪𝑰𝑶𝑵 𝑬𝑺𝑻𝑨𝑵𝑫𝑨𝑹
𝑴𝑬𝑫𝑰𝑨 𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑬𝑻𝑰𝑪𝑨
COEFICIENTE DE VARIACION (CV)
𝐶𝑣 =
𝑫𝑬𝑺𝑽𝑰𝑨𝑪𝑰𝑶𝑵 𝑬𝑺𝑻𝑨𝑵𝑫𝑨𝑹
𝑴𝑬𝑫𝑰𝑨 𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑬𝑻𝑰𝑪𝑨
⋅ 100
TOMA VALORES
ENTRE 0 Y 1
TOMA VALORES
PORCENTUALES

22
El coeficiente de variación puede ser utilizado para calificar
estadísticamente la calidad de las estimaciones.
Para ello se consideran los siguientes criterios:
• CV menor o igual al 7%, las estimaciones se consideran precisas.
• CV entre el 8% y el 14%, las estimaciones tienen precisión
aceptable.
• CV entre el 15% y 20%, la precisión es regular.
• CV mayor del 20% indica que la estimación es poco precisa.

23
Calcular el coeficiente de variación de los siguientes datos:

24
𝑆 =
12000
50 − 1
𝑆 = 244,90
𝑆 = 15,65
𝑋 =
1850
50
𝑋 = 37
𝐶𝑉 =
𝑆
𝑋
𝐶𝑉 =
15,65
37
𝐶𝑉 = 0,423
𝐶𝑉 = 42,3%
Media aritmética
Desviación estándar
Podría interpretarse que los datos varían 42,3% alrededor de la media, lo cual
intuye que la precisión de estimación de los parámetros para esta población es
poco precisa.

25
Calcular el coeficiente de variación de los siguientes datos:
38-44 8 41 328 -15,9 252,81 2022,48
44-50 12 47 564 -9,9 98,01 1176,12
50-56 20 53 1060 -3,9 15,21 304,2
56-62 16 59 944 2,1 4,41 70,56
62-68 12 65 780 8,1 65,61 787,32
68-74 8 71 568 14,1 198,81 1590,48
74-80 4 77 308 20,1 404,01 1616,04
80 4552 7567,2

26
𝑆 =
7567,2
80 − 1
𝑆 = 95,79
𝑆 = 9,79
𝑋 =
4552
80
𝑋 = 56,90
𝐶𝑉 =
𝑆
𝑋
𝐶𝑉 =
9,79
56,90
𝐶𝑉 = 0,172
𝐶𝑉 = 17,2 %
Media aritmética
Desviación estándar
Podría interpretarse que los datos varían 17,2 % alrededor
de la media, lo cual intuye que la precisión de estimación de
los parámetros para esta población es regular

Ejemplo:
Una persona desea realizar una inversión en un negocio que tenga buena
rentabilidad, para ello se le presentan dos proyectos con posibilidades
diferentes.
• El primer proyecto ha presentado utilidades promedio en el último año
de $150 millones y desviación de $50 millones.
• En el mismo año, el promedio de utilidades para el segundo proyecto
fueron de $120 millones con una desviación estándar de $12 millones.
¿Cuál proyecto presenta más estabilidad para generar confianza al
inversionista?

• Sin embargo, como el promedio de las utilidades de los
proyectos es diferente, se recomienda considerar la
variación de la utilidad con respecto al promedio, para
observar la estabilidad de ambos proyectos.

En consecuencia, en relación con la media,
la utilidad del primer proyecto es más
variable que la del segundo. Por tanto, a
pesar de presentar el segundo proyecto
menor utilidad promedio, es más estable
que el primero, lo cual puede generar mayor
confianza para el inversionista.

31
Calcular la varianza de los siguientes datos:
10-20 6
20-30 15
30-40 10
40-50 6
50-60 8
60-70 5

32
00-15 8
15-30 15
30-45 12
45-60 7
60-75 8
75-90 10

33
38-44 8
44-50 12
50-56 20
56-62 16
62-68 12
68-74 8
74-80 4

34
ACTIVIDAD DE CONSOLIDACIÓN
Calcular el rango, varianza , desviación estándar y coeficiente de variación.
En una empresa se distribuye una prima por productividad. El número de trabajadores y la
cantidad de la prima se recogen en la tabla siguiente:
90-120 2
120-150 10
150-180 12
180-210 4
210-240 2

35
Calcular el rango, varianza , desviación estándar y
coeficiente de variación.
Los puntos que han conseguido algunos jugadores de baloncesto por partido han sido:
0-4 2
4-8 5
8-12 6
12-16 4
16-20 3

36
Calcular el rango, varianza , desviación estándar y coeficiente de
variación.
Los puntos que han conseguido algunos jugadores de baloncesto por partido
han sido:

BIBLIOGRAFÍA
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.
Arias Cabezas, J. (2017). Matemáticas, ESO 2. Madrid: Bruño. Colera, J.
(2017). Matemáticas, ESO 2. Madrid: Anaya. Conamat (2015) Matemáticas
simplificadas: Pearson
ESPOL ESPOL (2006) Fundamentos de Matemáticas: Fernandez Bravo, J.
(2002). Didactica de las Matematicas. Madrid: Ccs Jiménez (2015). Matemáticas y
vida cotidiana: Pearso Mario F Triola. Estadística. Pearson Educación. Universidad
de Monterrey Decima edición.
Salazar, C. (2018). fundamentos básicos de la estadística. Quito
.

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