DESVIACION MEDIA, VARIANZA, DESVIACION ESTANDAR

1. MEDIDAS DE
DISPERSION
DOCENTE: ROLIN LAUREANO C.

2. 1.Desviación media (Dm)
. Permite determinar en cuanto varían, en
promedio, los datos de una distribución con
respecto a la media aritmética.
. Se define como el promedio de las
diferencias en valor absoluto de los datos de
la variable respecto de la media aritmética.

3. 1.1 CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA CON DATOS NO AGRUPADOS

4. 1.2 CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA CON DATOS AGRUPADOS

5. 2. Varianza (S2)
La varianza es el promedio de los cuadrados de
las desviaciones de los datos respecto a su media.
La varianza también se define como el cuadrado
de cada una de las desviaciones entre el número
de datos menos 1

6. 2.1 CÁLCULO DE LA VARIANZA CON DATOS NO AGRUPADOS

7. 2.2 CÁLCULO DE LA VARIANZA CON DATOS AGRUPADOS

8. Ejemplo: Con la finalidad de conocer la varianza de los gastos semanales (en soles) del personal
administrativo de una empresa de cemento en Lima, en enero del 2016, se seleccionó una muestra de 30
personas. Los datos resumidos y los cálculos necesarios se presentan en la siguiente tabla:

9. 3. DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S)
Permite cuantificar la dispersión dada por la desviación media. Éste indicador nos
dará una idea más cercana de lo disperso del conjunto.
El problema de la varianza es que no tiene interpretación práctica por sus
unidades cuadráticas. Si queremos que la medida de dispersión sea de la misma
dimensión que las observaciones, bastará tomar su raíz cuadrada. Por ello, se
define la desviación estándar como la raíz cuadrada positiva de la varianza:

11. 8 cms.
Aquí tenemos 9 rectángulos cuya altura es de 8 centímetros (y todos
tienen la misma base).
¿Existe alguna variación respecto de su altura entre estos rectángulos?
¿Cuál es el promedio de la altura de estos rectángulos?
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
9
=
72
9
= 8
Ejm:

12. El quinto rectángulo y el octavo rectángulo en un acto de rebeldía
cambiaron su altura. El quinto rectángulo, ahora de color rojo, mide 10
centímetros, y el octavo rectángulo, de color azul, mide 6 centímetros?
¿Cuál es el nuevo promedio de estos 9 rectángulos?
8 + 8 + 8 + 8 + 10 + 8 + 8 + 6 + 8
9
=
72
9
= 8
... ¡el mismo promedio! Pero... ¿ha habido variación?
8 cms.
10 cms
6 cms

13. El rectángulo rojo tiene +2 centímetros sobre el promedio, y el
rectángulo azul tiene –2 centímetros bajo el promedio. Los otros
rectángulos tienen cero diferencia respecto del promedio.
8 cms.
10 cms
6 cms
Si sumamos estas diferencias de la altura respecto del promedio,
tenemos
0 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 – 2 + 0 = 0
Este valor nos parece indicar que ¡no ha habido variabilidad! Y sin
embargo, ante nuestros ojos, sabemos que hay variación.

14. 8 cms.
10 cms
6 cms
Una forma de eliminar los signos menos de aquellas diferencias que
sean negativas, esto es de aquellos mediciones que estén bajo el
promedio, es elevar al cuadrado todas las diferencias, y luego sumar...
02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 = 8
Y este resultado repartirlo entre todos los rectángulos, es decir lo
dividimos por el número de rectángulos que es 9
02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 =
9 9
8
= 0,89

15. 8 cms.
10 cms
6 cms
Se dice entonces que la varianza fue de 0,89
Observemos que las unidades involucradas en el cálculo de la varianza
están al cuadrado. En rigor la varianza es de 0,89 centímetros cuadrados.
De manera que se define
0,89 0,943

La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar

16. 8 cms.
10 cms
6 cms
Que la desviación estándar haya sido de 0,943 significa que en promedio la
altura de los rectángulos variaron (ya sea aumentando, ya sea
disminuyendo) en 0,943 centímetros.
Es claro que esta situación es “en promedio”, puesto que sabemos que
los causantes de la variación fueron los rectángulos quinto y octavo.
Esta variación hace repartir la “culpa” a todos los demás rectángulos
que se “portaron bien”.
La desviación estándar mide la dispersión de los datos respecto del
promedio

17. 8 cms.
10 cms
6 cms
4 cms
8 cms.8 cms. 8 cms.
7 cms.
8 cms.
¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de las alturas de los rectángulos?
En primer lugar debemos calcular el promedio
8 + 4 + 8 + 8 + 10 + 8 + 7 + 6 + 8
9
= 7,44
Luego debemos calcular la varianza

18. 8 cms.
10 cms
6 cms
4 cms
8 cms. 8 cms. 8 cms.
7 cms.
8 cms.
Promedio
7,44
0,56
-3,44
0,56 0,56 2,56 0,56 -0,44 -1,44
0,56
0,562 + (-3,44)2 + 0,562 + 0,562 + 2,562 + 0,562 + (-0,44)2 + (-1,44)2 +
0,562
9
22,2224
9
=
= 2,469
Este es el valor de la varianza

19. 10 cms
8 cms.
6 cms
4 cms
8 cms. 8 cms. 8 cms.
7 cms.
8 cms.
Promedio
7,44
Si la varianza fue de 2,469, entonces la desviación estándar es de...
2,469 1,57

Lo que significa que, en promedio, los rectángulos se desviaron más o
menos (más arriba o más abajo) en 1,57 centímetros.