MedidasdeTendenciacentral.ppt

24/09/2023
Ing. Dr. Sc. Abraham Palacios
Velasquez 1
HUANCAYO - PERU
2023

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Velasquez 2
I. CONSTRUCCION DE UNA DISTRIBUCION DE
FRECUENCIAS
A.-Sean las siguientes cifras, los pH de bebidas carbonatadas, que se
han tomado n = 56 unidades, siendo entre acido y básico.
7.3 6.3 8.1 7.2 4.4 5.2 6.9 5.5 3.0 7.5 3.8 4.3
7.5 6.7 6.6 6.1 7.6 8.7 8.4 3.9 7.2 6.2 8.2
5.8 7.5 8.9 6.9 7.3 5.3 5.9 7.9 8.7 9.5 6.3
4.3 5.0 5.9 3.8 6.4 7.0 7.4 8.4 6.3 8.2 6.3
4.8 9.5 5.2 5.9 7.7 7.5 6.8 3.6 4.7 6.5 5.3
CUADRO 01
B.-El siguiente paso es ordenarlos sea en sentido creciente o en
sentido decreciente. En el presente libro ordenamos en sentido
creciente es decir del menor dato al mayor dato
C.-De la tabla de datos se puede distinguir entre los números el
menor valor 3.0 y el mayor valor 9.5.

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Velasquez 3
II. CONSTRUCCION INTERVALOS DE CLASE Y
LÍMITES DE CLASE
Para la construcción de los intervalos de clase o limites de clase, se realiza según
los siguientes pasos:
a.- ¿Cuántas CLASES O INTERVALOS necesitaremos? Para
saber esto se utiliza la formula de Sturges (empírica).
K = 1 + 3.3 log n o
En donde:
K = número de intervalos o clases
n = número de datos (tamaño de la muestra)
Remplazando en la formula
K = 1 + 3.3 log 56
= 1 + 3.3 (1.748)
K = 6.8
Pero se ha dicho que la formula es empírica, entonces para obtener el
numero que realmente es necesario, redondeamos al siguiente entero mayor.
K = 7
10
n  k n
 24 400
n
 

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Velasquez 4
b.- Calculara el RECORRIDO O EXTENSIÓN
de los datos que se denota con la letra R, su fórmula es:
R = Valor máximo – valor mínimo
Se debe sumar el número 1 cuando los datos se expresan
en números enteros.
Si los datos son decimales no se suma 1.
R = 9.5 – 3.0
R = 6.5
Entonces
La extensión o recorrido es 6.5.

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Velasquez 5
c.- Determinar el ANCHO O AMPLITUD DE
CADA INTERVALO, y se representa con la letra
C.
en donde R = C . K
Redondeamos a 0.93
R = C.K = 0.9285 x 7 = 6.4995
R´= C.K = 0.93 x 7 = 6.51

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Velasquez 6
d.-Teniendo en cuenta que este recorrido es mayor que el
recorrido original buscaremos el exceso :
Exceso = 6.51 – 6.4995
Exceso = 0.0105
El exceso proviene de haber aumentado la amplitud de cada
intervalo de 0.9285 a 0.93
Para buscar la simetría de los datos, debemos repartir este
exceso a los dos extremos del recorrido original, mitad para
cada lado, 0.010 / 2 = 0.005
Restamos del valor mínimo 0.005 y súmanos 0.005 al valor
máximo.
3.0 – 0.005 = 2.995
9.5 + 0.005 = 9.505
A partir del valor obtenido de 2.995 agregamos
sucesivamente la amplitud de 0.93 y así obtenemos los
puntos de división que determinan los 7 intervalos.

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Velasquez 7
Cuando se presenta que algunos datos coinciden con cualquiera de los
puntos de división se debe tomar en cuenta lo siguiente:
[ > Cerrado por la izquierda y abierto por la derecha.
< ] Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha
[ ] Cerrado por ambos lados
< > Abierto por ambos lados
En la práctica los intervalos deben colocarse uno debajo del otro,
formando una columna base o columna matriz, que dará origen a la
distribución de frecuencias que vamos a formar.
Intervalos o clases
[2.995 – 3.925>
[3.925 - 4.855>
[4.855 - 5.785>
[5.785 - 6.715>
[6.715 - 7.645>
[7.645 - 8.575>
[8.575 - 9.505>

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Velasquez 8
e.- El siguiente paso, de este proceso de resumen, es
ponernos de acuerdo que todos y cada uno de los datos
que se hallen dentro de un mismo intervalo, estén
representados por el mismo valor. Este valor caracteriza a la
clase y por eso se llama MARCA DE CLASE, se
obtiene promediando los extremos de cada intervalo.
La marca de clase para los 7 intervalos son:
2.995 + 3.925/2 = 3.46
3.925 + 4.855/2 = 4.39
4.855 + 5.785/2 = 5.32
5.785 + 6.715/2 = 6.25
6.715 + 7.645/2 = 7.18
7.645 + 8.575/2 = 8.11
8.575 + 9.505/2 = 9.04

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f.- Ahora llevaremos a cabo la clasificación y el conteo de
los datos, es decir, colocar cada uno de los datos en el
intervalo que le corresponde.
Intervalos o
clases
Marca de
clase
Frecuencias
absoluta
f ( ni )
[2.995 – 3.925> 3.46 5
[3.925 - 4.855> 4.39 5
[4.855 - 5.785> 5.32 6
[5.785 - 6.715> 6.25 14
[6.715 - 7.645> 7.18 14
[7.645 - 8.575> 8.11 7
[8.575 - 9.505> 9.04 5

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REGLA GENERAL PARA ELEBORAR LAS
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
1.- Determinar el número de clases (k) a considerar.
2.- Determinar el recorrido o rango de los datos (R).
3.- Determinar la amplitud o longitud de los intervalos de clase (C )
4.- Determinar los limites de clase
5.- Se determina la marca de clase.
6.- Finalmente se halla la frecuencia absoluta de cada clase.

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MEDIDAS DE RESUMEN
Entre las medidas que permiten resumir
información proveniente de una población,
podemos considerar las medidas de posición,
medidas de dispersión y medidas de forma.

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Medidas de Media
Tendencia Mediana
Central Moda
Medidas de
Posición Percentiles
Cuartiles
Deciles
Medidas de Rango
Resumen Medidas de Recorrido Intercuartílico
Dispersión Varianza, Desviación Estándar
Coeficiente de Variación
Medidas de Asimetría
Forma Apuntamiento

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Medidas de Posición
Tienen por objeto, obtener un valor que
resuma en sí todas las mediciones. La
mayoría de ellas trata de ubicar el centro
de la distribución, razón por la cual, se
llaman MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL; estas son: Media, Mediana
y Moda.

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media Aritmética, Media o Promedio:
Es una de las medidas de tendencia central de
mayor uso. La media muestral se simboliza
por y la media poblacional de denota por
.
X
X

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. MEDIA ARITMÉTICA
CARACTERÍSTICAS:
• Es sensible a la variación de las puntuaciones
• Si hay intervalos de clase abiertos no se puede calcular
• No es recomendable cuando hay valores muy extremos
-DATOS SIN AGRUPAR:
X = x1 + x2 + x3 + ....... + xn = Σxi
N N
Es la suma de todos los valores de una variable dividida
por el número total de ellos.
_
-DATOS AGRUPADOS:
X = Σxi . fi
N
_

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PROMEDIO PARA DATOS NO TABULADOS
Sea X una variable cuantitativa y x1, x2,…, xn
una muestra de tamaño "n" de valores de la
variable, se define la media aritmética de X como:
n
x
x
x
x
X n





.....
3
2
1
Esta expresión se puede escribir también , como:
n
x
X
n
i
i


 1

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CÁLCULO DE LA MEDIA. EJEMPLOS
1.- DATOS NO AGRUPADOS: Calcular la T.A. sistólica
media de 5 pacientes en los que se han obtenido las
siguientes cifras. 110, 118, 125, 136, 145
X = 110 + 118 + 125 + 136 + 145 = 634 = 126,8
5 5
_
2.- DATOS AGRUPADOS:
xi fi xi . fi
1 3 3
2 4 8
3 6 18
4 5 20
5 2 10
___ ___
20 59
X = Σxi . fi = 59 = 2,95
N 20
_

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24/09/2023 20
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1
n
i
fd
X A
n

 

MEDIAARITMETICA
METODO LARGO
METODO CLAVE
1
n
i
fu
X A C
n

 
 
 
 
 
 
 

A = Es cualquier supuesta media aritmética
C = Tamaño del intervalo
n = Conjunto de números
d = desviaciones.
u = desviaciones
= Sumatoria de frecuencias
1
n
i
i
f



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PROPIEDADES DE LA MEDIAARITMETICA
1ra Propiedad
2da Propiedad
3ra Propiedad
M (x) = M (b) = b
( ) ( )
Y M y M x b
  
( ) ( )
Y M y aM x
 
4ta Propiedad
1
( ) 0
n
i
i
x X

 


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5ta Propiedad
6ta Propiedad
7ma Propiedad
2 2
1 1
( ) ( )
n n
i i i i
i i
n y Y n y a
 
  
 
( ) ( ) ( )
M x y M x M y
  
Total NX


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Velasquez 24
Ventajas de la media aritmética
1.- Es un concepto familiar a la mayoría de las personas e intuitivamente
claro.
2.- Es una medida que se puede calcular y es única. Ya que cada conjunto
de datos tiene una y sola media.
3.- En le calculo de la media, es tomada en cuenta cada observación del
conjunto de datos.
4.- La media es una medida digna de confianza, porque se determina con
mayor certeza que otras características de un conjunto de datos.
Desventajas de la media aritmética
1.- La media aritmética puede verse afectada por valores extremos que
no son representativos del resto de observaciones. Por ello, cuando se
esta utilizando esta mediad en un análisis, vale la pena advertir la
representatividad de los valores extremos y la influencia que estos tiene
sobre el resultado.

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Medias
•Media generalizada de orden p.
Propiedad: xp xp+
•Media armónica
1
1
1 p
p p
p p i i
i
M a n x
N 
  
1 1
1
i
i i
N
H M
n
x


 


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•Media Geométrica
Media Aritmética Simple
0
1
i
I
n
N
i
i
g M x

  
1
1
1
1
i i
i
X M n x
N 
  
•Media Aritmética Ponderadas
1 1
1 1
1
i i i
i i
X p x Siendo p N
N  
 
 

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LA MEDIANA
1
´
1
1
2
j
i j
j j
n
N
Me y c
N N



 

 
   

 
 
Cj = amplitud de la clase mediana
Nj = Frecuencia absoluta acumulada de la clase mediana
N = numero de observaciones
Y i-1= Limite inferior de la clase mediana
Nj-1= Frecuencia absoluta acumulada antes de la medina

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Mediana (Me)
Sea X una variable por lo menos ordinal y sea x1, x2,…xn una
muestra de tamaño n de observaciones de la variable, se define
como Mediana "Me" un valor tal que supera a no más del 50%
de las observaciones y es superado por no más del 50% de las
observaciones, cuando estas han sido ordenadas según
magnitud.
impar
es
n
si
x
Me
par
es
n
si
x
x
Me
n
n
n
2
1
1
2
2
2





MEDIANA PARA DATOS NO TABULADOS

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. MEDIANA
- DATOS SIN AGRUPAR:
a) Nº de datos impares: Valor central
7,4,2,5,9 2,4,5,7,9 X = 5
b) Nº de datos pares: Media de los dos valores centrales:
7,4,2,5,9,6 2,4,5,6,7,9 X = 5 +6 = 5,5
2
La mediana de una serie de N datos ordenados en orden
creciente o decreciente es la puntuación que ocupa el valor
central de la distribución.

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- DATOS AGRUPADOS:
La mediana es el valor de la variable que tiene la propiedad
de que los valores menores que él son tan frecuentes como los
mayores que él.
X = Li + N/2 – fd
fc
donde: Li = Límite inferior del intervalo crítico
N = Nº total de datos
fd = Frecuencia acumulada por debajo del intervalo crítico
fc = Frecuencia del intervalo crítico
i = Amplitud del intervalo
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. MEDIANA
. i

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INTERVALOS fi Fac.
151,5 – 172,5 5 5
172,5 – 193,5 7 12
193,5 – 214,5 9 21
214,5 – 235,5 6 27
235,5 – 256,5 3 30
___
30
X = Li + N/2 – fd . i = 193,5 + 30 /2 - 12 . 21 = 200,5
fc 9

24/09/2023 32
Velasquez

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CARACTERÍSTICAS DE LA MEDIANA
• Es menos sensible que la media a la variación
de las puntuaciones.
• Se puede calcular aunque existan algún
intervalo abierto, siempre que no sea ese el
intervalo crítico.
• Es más representativa cuando la distribución
tiene puntuaciones muy extremas.

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Ventajas de la mediana
1.- La mediana es fácil de entender y puede ser calculada a partir de
cualquier clase de datos
2.- La mediana esta afectada por el numero de observaciones y no por la
magnitud de cualquier valor extremo
3.- Se puede encontrar la medina inclusive de datos cualitativos ordinal
Desventajas de la Mediana
1.- Se debe organizar los datos antes de realizar cualquier tipo de calculo
para determinar la mediana.
2.-Ciertos procedimientos estadísticos que usan la medina son muchos
mas complejos que aquellos que usan la media.
3.- La mediana no es adecuada a manipulaciones algebraicas posteriores.

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PROPIEDADES DE LA MEDIANA
1ra Propiedad
2da Propiedad
1
( ) min
n
i i
i
n y Me imo

 

1
2
m
Me y 

2
,
m
Me y

Si m es impar
Si m es par

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LA MODA
L1 = Limite inferior de la clase modal
= Exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia de
la clase contigua inferior
= Exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia de
la clase contigua superior
C = Tamaño del intervalo de clase modal
1

2

1
1 2
i
Moda L c
 
   

 

24/09/2023
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171 174 169 171 173 166 162 150
162 175 169 162 168 167 180 154
180 172 170 171 173 167 182 170
163 175 155 185 173 170 183 167
161 175 156 172 174 173 184 165
164 176 157 170 171 168 174 170
170 176 158 174 185 174 172 159
165 177 170 175 186 168 168 159
166 178 172 172 189 169 174 160
166 179 171 173 192 169 174 163

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Velasquez 38
Moda o Modo (Mo)
Como su nombre lo indica es aquel valor de la variable
que tiene una mayor frecuencia.
Si consideramos el ejemplo N°2 del peso de
una muestra de personas:
65 76 48 48 68 78 90 87 67 72 78
Mo = 48 kilos
Mo = 78 kilos.
Esto significa que la mayoría de estas personas
pesa 48 kilos y 78 kilos.
Esta distribución es bimodal.

24/09/2023 39
Velasquez

24/09/2023
Velasquez 40
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. MODA
Es el valor de la variable a la que corresponde la máxima
frecuencia.
Si los datos están agrupados en intervalos, la moda es la
marca de clase del intervalo con mayor frecuencia.
CARACTERÍSTICAS:
• Es muy sencilla de obtener.
• Se puede calcular aunque existan intervalos abiertos,
siempre que no esté incluida en él.
• Es poco representativa.

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Ventajas de la Moda
1.- La moda, se puede usar como una localización tanto para datos
cualitativos como cuantitativos
2.- La moda no esta indebidamente afectada por valores extremos. Aun si
los valores altos son muy altos y los valores pequeños muy pequeños, se
escoge el valor mas frecuente del conjunto de datos como el valor modal.
3.- La moda se puede calcular aun cuando una mas de las clases sean
abiertas en los extremos.
Desventajas de la moda
1.- Muy a menudo, no hay un valor modal, por que el conjunto de datos
no contiene valores que se repiten mas de una vez. Otras veces, cada
valor es la moda, por que cada uno aparece el mismo numero de veces.
Claramente, la moda no es una medida útil en estos casos.
2.- Cuando el conjunto de observaciones contiene dos, tres o mas modas,
estas son difíciles de interpretar y comparar

24/09/2023
Velasquez 42
5. COMPARACION ENTRE MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
¿CUANDO ELEGIR MEDIA, MEDIANA
O MODA?
NORMA GENERAL:
1º MEDIA.
2º MEDIANA.
3º MODA.
RAZONES PARA PREFERIR LA
MEDIA:
1. EN ELLA SE BASAN OTROS
ESTADISTICOS.
2. LAS MEDIAS MUESTRALES SON
MEJORES ESTIMADORES DE LOS
PARAMETROS POBLACIONALES.

24/09/2023
Velasquez 43
¿CUANDO ELEGIR LA MEDIANA EN
LUGAR DE LA MEDIA?:
1. CUANDO LA VARIABLE ESTE
MEDIDA EN UNA ESCALA ORDINAL.
2. CUANDO HAYA VALORES EXTREMOS,
PUES ESTOS DISTORSIONAN LA
INTERPRETACION DE LA MEDIA.
EJEMPLO: 3,4,8,5,6,124 Media=25
LA MEDIA ES MUY SENSIBLE A LAS
PUNTUACIONES EXTREMAS
3. CUANDO HAYA INTERVALOS
ABIERTOS, YA QUE ESTOS CARECEN
DE PUNTO MEDIO.

24/09/2023
Velasquez 44
¿CUANDO ELEGIR LA MODA EN
LUGAR DE LA MEDIANA ?:
1. CUANDO LA VARIABLE ESTE
MEDIDA EN UNA ESCALA NOMINAL.
2. CUANDO HAYA INTERVALOS
ABIERTOS Y LA MEDIANA
PERTENEZCA A UNO DE ELLOS.
EL CALCULO DE LA MEDIANA (C50)
SUPONE UNA DISTRIBUCION
HOMOGENEA DE LOS VALORES
DENTRO DEL INTERVALO.
ESTE SUPUESTO SOLO SE PUEDE
MANTENER SI EL INTERVALO ESTA
CERRADO.

24/09/2023
Velasquez 45
LAS TRES MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL COINCIDEN CUANDO LA
DISTRIBUCION ES UNIMODAL Y
SIMETRICA (EJEMPLO: DISTRIBUCION
NORMAL).
CUANTO MAS ASIMETRIA, MAS
DIFERENCIAS ENTRE ELLAS.

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• Se refiere a la simetría respecto a la media.
Si f es la función de distribución, diremos que la
distribución es:
Distribución simétrica
0
2
4
6
8
10
12
m-a
m
m+a
Densidad
Asimetría negativa
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Densidad
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Densidad
Asimetría positiva
( ) ( )
f media a f media a
  
Simétrica si para todo a es
( ) ( )
f media a f media a
  
Asimetría negativa si para algún a es
( ) ( )
f media a f media a
  
Asimetría positiva si para algún a es

24/09/2023
Velasquez 47
RELACION ENTRE LA MODA, MEDIA Y MEDIAN EN
DISTRIBUCION SIMETRICA Y ASIMETRICA
1.- En la distribución de frecuencias simétricas cuya
representación grafica es acampanada y además unimodal,
coinciden exactamente en el mismo valor; media, median y
moda.
2.- Si la distribución tiene la forma acampanada, es unimodal,
pero no tiene simetría las tres medidas toman valores
diferentes, y la mediana queda comprendida
generalmente entre la moda y la media aritmética
a.- Si la asimetría a la derecha o positiva X>Me >Mo
b.- Si la asimetría es a la izquierda o negativa: X<Me <Mo
c.- Si la distribución es moderadamente asimétrica y
unimodal, se cumple aproximadamente la relación;
X – Mo = 3 (x - Me)

24/09/2023
Velasquez 48
Una distribución estadística viene dada por la siguiente
tabla:
Hallar:
La moda, mediana y media.
Frecue
ncia
10-15 15-20 20-25 25-30 30-35
f 3 5 7 4 2
EJERCICIO

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Velasquez 49
xi fi Fi xi · fi
|x − x |
· fi
xi
2 · fi
[10, 15) 12.5 3 3 37.5 27.857 468.75
[15, 20) 17.5 5 8 87.5 21.429 1537.3
[20, 25) 22.5 7 15 157.5 5 3543.8
[25, 30) 27.5 4 19 110 22.857 3025
[30, 35) 32.5 2 21 65 21.429 2112.5
21 457.5 98.571
10681.2
5

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Velasquez 50
MODA
MEDIANA
MEDIA

24/09/2023
Velasquez 51
PROBLEMAS DE REPASO
Se tiene una distribución de frecuencia simétrica, con 6
intervalos de clase de amplitud constante, y los siguientes
datos:
n =150; n3=30 y’5=5 n2=n1+5
Q1=43.5
Calcule:
a) El sexto decil
b) El 90 percentil
c) El valor que es superado por el 15 % de la
Informacion

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Velasquez 52
Solución
1.- Como la distribución es simétrica, con m=6, entonces
n1=n6; n2=n5; n3=n4=30
2.- Como n=150, entonces n1+n2+n3=75
luego n1 + n1 + 5 + 30 =75
2 n1 = 75 – 25
De donde n1=20 y n2 + 5 = 25

24/09/2023
Velasquez 53
Con los datos disponibles hasta ahora, puede disponerse
ene una tabla de frecuencias incluyendo las frecuencias
acumuladas
Y’i-1 ------- y’i ni Ni
Y’0 ------- y’1 20 20
Y’1 ------- y’2 25 45
Y’2 ------- y’3 30 75
Y’3 ------- y’4 30 105
Y’4 ------- 60 25 130
60 ------- y’6 20 150
Totales 150

24/09/2023
Velasquez 54
3.-Calculo de c=amplitud de clase constante. Para lo cual
usamos el dato de Q1=43.5
a) Determínanos
b) De la tabla, de frecuencias absolutas acumuladas que
supere a es N2 = 45
Entonces j = 2 y j-1=1, por tanto, el intervalo de clase que
contiene a Q1 es y’1 - y’2
c) Como > N1 = 20
150
37.5
4 4
n
 
37.5
4
n

37.5
4
n

1
' '
1 1 1
2 1
37.5 20
4
45 20
n
N
Q y c y c
N N
 

  
 
   
   
 
 
 
 

24/09/2023
Velasquez 55
Pero
' ' '
5 0 0 1
5 4 4 60
y y c y c c y c
       
'
1 60 4
y c
 
Reemplazando esta expresión en Q1, se tiene
15.5
43.5 60 4 60 4 0,7 60 3,3
25
c c c c c
       
3.3 60 43.5 16.6
c    De donde
16.5
5
3.3
c  
Y’i-1 ------- y’i ni Ni
35 ------- 40 20 20
40 ------- 45 25 45
45 ------- 50 30 75
50 ------- 55 30 105
55 ------- 60 25 130
60 ------- 656 20 150
Totales 150

24/09/2023
Velasquez 56
a) Calculo del 6to decil
1.- La menor frecuencia acumulada que supere a
60 6 150
90
10 10
x
 
Es N4=105, luego j=4 y j-1=3, entonces la clase que
contiene a D6 es y’3 ---- y’4 = 50 --- 55
2.- Como se tiene
3
60
90 75
10
N
 
3
'
6 3
4 3
60
90 75 15
10 50 5 50 5 52.5
105 75 30
n
N
D y c
N N
 

  
   
      
   
 
 
   
 
 
b) Calculo del 90avo percentil
5
'
90 5
6 5
90
135 130 5
100 60 5 60 5 61.25
150 130 20
n
N
P y c
N N
 

  
   
      
   
 
 
   
 
 

24/09/2023
Velasquez 57
c.- El valor que es superado por el 15 % de la
información corresponde al 85avo percentil o sea P85
Entonces
4
'
85 4
5 4
85
127.5 105 22.5
100 55 5 55 5 59.5
130 105 25
n
N
P y c
N N
 

  
   
      
   
 
 
   
 
 

24/09/2023
Velasquez 58
En una distribución simétrica de 8 intervalos, que se refiere al
ingreso diario en S/. De 212 trabajadores de una empresa, donde se
conoce:
Moda= 19 amplitud de clase =4, n1=10 N6=186
Y Q1=14.375
Hallar
a) El ingreso mínimo del 30 % de los trabajadores de mayor
ingreso.
b) El sindicato solicita que el nuevo pacto colectivo se establezca
un salario mínimo de S/. 120 ?Que porcentaje de trabajadores
de beneficiara?
c) Los trabajadores que ganan mas de S/ 28.00 por dia, se supone
son muy calificados ?Que % de trabajadores pertenecen a este
grupo?
d) El ingreso medio por día de los trabajadores de la empresa
e) El ingreso mediano de la distribución.

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Velasquez 59
1.- La distribución es simétrica con m=8 por entonces
' '
4
2
19
m
Mo y y
  
Como c=amplitud de clase =4, los limites de clase
restantes son:
'
3 19 4 15
y    '
2 11
y  '
1 7
y 
'
0 3
y 
'
5 19 4 23
y   
'
6 23 4 27
y    '
7 31
y  '
8 35
y 
Intervalo yi ni Ni
3 ----- 7 10 10
7 ----- 11 16 26
11 ----- 15 32 58
15 ----- 19 48 106
19 ----- 23 48 154
23 ----- 27 32 186
27 ----- 31 16 202
31 ----- 35 10 212

24/09/2023
Velasquez 60
1
'
1
1 3
53 26 27
4
14.375 11 4 11 4
26 26
j
j
j j
n
N
y c
N N n n



 

   

 
       
   
  
   
 
 
O sea 14.375+11n3+108
n3= 32=n6
Entonces n4=80-32=48=n5
a) El ingreso minimo del 30 %
1
'
30 1
1
70
148 106
4 19 4 22.53
154 106
j
j
j j
n
N
P y c
N N



 

  
 
    
   
 
 
 
 

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Velasquez 61
b) Se beneficiara todos los trabajadores que tengan un
ingreso por debajo de S/. 12.00 diarios.
1.- Primero determinaremos el numero de
trabajadores que reciban un sueldo debajo de S/. 12.00.
Este salario se encuentra en el tercer intervalo.
N=10+16+r
11 r 12 15
Si una amplitud de 4 le corresponde 32 observaciones a
una amplitud de 12 – 11=1 le corresponde r
observaciones. Es decir:
32(12 11) 32 1
8
4 4
x
r

  
32(12 11)
10 16 10 16 8 34
4
N

      

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Velasquez 62
2.- Calculamos el porcentaje, que estará dado por
34
100 100 16.04%
212
N
P x x
n
  
c) En forma complementa mente análoga al caso anterior, el
numero de trabajadores que pertenece al grupo muy
calificado será aproximadamente
16(31 28)
10 4 3 10 22
4
M x

    
22
100 100 10.38%
212 212
M
P x x
  
d) La distribución es simétrica con m=8 par (m=numero de
clases) Entonces: ' '
4
2
19
m
Y y y Mo
   
e) Por la misma razón anterior Me = 19

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Velasquez 63

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