Este documento presenta los conceptos fundamentales de la mecánica de fluidos. Introduce las hipótesis del continuo y define un fluido. Explica los enfoques lagrangiano y euleriano para el análisis de fluidos. Presenta las leyes fundamentales de conservación de la masa, cantidad de movimiento y energía. Finalmente, desarrolla las ecuaciones diferenciales y integrales correspondientes a cada ley fundamental.

1. U n ive r s id ad d eNav ar r a E s c u e l aS u p e r i o r d eI n g e n i e r o s
N a f a r r o a k oUni be r t s i t a t e a I n g e n i a r i e nG o iM a i l a k oE s k o l a
MECÁNICA DE FLUIDOS
TRANSPARENCIAS DE CLASE
Alejandro Rivas Nieto
Dr. Ingeniero Industrial
CAMPUSTECNOLÓGICODELAUNIVERSIDADDENAVARRA.NAFARROAKOUNIBERTSITATEKOCAMPUSTEKNOLOGIKOA
PaseodeManuelLardizábal13. 20018 Donostia-SanSebastián.Tel.: 943219877Fax: 943311442 www.tecnun.esarivas@tecnun.es

2. © 2008 Alejandro Rivas Nieto
ISBN
Reservadotodoslosderechos.
Quedaprohibidalareproduccióntotaloparcialsinautorizaciónprevia.
PrimeraEdición:2008
ImpresoenEspaña
Ilustraciones:©AlejandroRivasNieto
Imprime:Unicopia,
PºdeManuelLardizabal,13
20018–SanSebastián(Gipuzkoa-España)

3. 1 CONCEPTOS INTRODUCTORIOS 3
1.1Prólogo 4
1.2LaHipótesisdelContinuo 6
1.2.1PartículaMaterial 9
1.2.2SistemaMaterial 10
1.3DefinicióndeFluido 11
1.4Enfoques LagrangianoyEuleriano 15
1.4.1EnfoqueLagrangiano 16
1.4.2EnfoqueEuleriano 21
1.4.3EjemploFinal 24
1.5LeyesFundamentales 27
1.5.1ConsideracionesFinales 28
2.MAGNITUDES DEL ANÁLISIS DEFLUJOSDEFLUIDOS 30
2.1MétodosDiferencial,IntegralyExperimental 31
2.2MagnitudesCinemáticas 39
2.2.1CampodeVelocidades 41
2.2.2VelocidadesdeDeformacióny Giro 45
2.3MagnitudesIntegrales 55
2.3.1FlujosConvectivos atravésdelaSuperficiedeControl 58
2.3.2MagnitudesPromedio 64
2.4TeoremadelTransportede ReynoldsyDerivadaMaterial 66
2.4.1TeoremadelTransportedeReynolds 67
2.4.2DerivadaMaterial 70
2.5MagnitudesDinámicas 74
2.5.1.Motivación 75
2.5.2.Fuerzasqueactúansobre unfluido 76
2.5.3FuerzasVolumétricas 78
2.5.4Fuerzas deSuperficie 81
2.5.5RelaciónConstitutivade unFluidoNewtoniano 89
2.6MagnitudesTermodinámicas 97

4. 3ECUACIONESFUNDAMENTALESDE LAMECÁNICA DEFLUIDOS
102
3.1MétodosIntegralyDiferencial 103
3.2Leyde ConservacióndelaMasa 105
3.2.1EcuaciónIntegral delaContinuidad 106
3.2.2EcuaciónDiferencialde laContinuidad 109
3.3SegundaLeydeNewton 111
3.3.1EcuaciónIntegral delaCantidaddeMovimiento 112
2.3.2EcuaciónDiferencialde laCantidaddeMovimiento 118
3.41aLeyde laTermodinámica 126
3.4.1EcuaciónIntegral delaEnergía 127
3.4.2Ecuaciónde Bernoulli 130
3.5RegímenesdeFlujo 133
3.5.1Introducción 134
3.5.2ElRégimenLaminar 140
3.5.3ElRégimenTurbulento 141
5 INSTALACIONESHIDRÁULICAS 147
5.1Generalidades 148
5.1.1Definicióny Modeladodeunainstalaciónhidráulica 149
5.1.2Elementosdeunainstalaciónhidráulica 150
5.2Pérdidasdecargaen tuberías 154
5.2.1EcuacióndeDarcy-Weisbach 155
5.2.2Seccionesnocirculares. DiámetroHidráulico 160
5.2.3Problemas Básicos entuberías 163
5.3Válvulas 166
5.3.1FuncionesyTipos 167
5.3.2Pérdidasde cargaenválvulas 169
5.4ModeloMatemáticodeunainstalaciónhidráulica 171
5.4.1EcuacionesFundamentales 172
5.4.2CondicionesdeContorno 173
5.4.3Resolución 174
5.4.4FormulaciónporCaudales 175
5.4.5FormulaciónporAlturas 177

6. 3.1 METODOS INTEGRAL Y DIFERENCIAL

7. LasEcuacionesFundamentalessonlaformulaciónmatemáticadelas LeyesFundamentales
las cualesrigen el movimientodeun fluido.
Conservación de laMasa
2ª LeydeNewton
1ª Leyde laTermodinámica
Esposibleescribir cada ley:
Parauna partículaque en un instanteestá ocupando
una posición en el V.C. (Método Diferencial)
Incógnitas:Magnitudesdelaspartículas(Flujo
incompresible v(x,t)y p(x,t).
Parael sistemaqueenuninstanteestáocupando el V.C.
(Método Integral)
Incógnitas:Magnitudes Integrales (ie:
Caudales,Flujos,Fuerzas y Magnitudes
Promedio).

8. 3.2 LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MASA

9. LeydeConservacióndelaMasa:Larapidezdelcambioeneltiempodela masadeunsistemaes nula. Por
tanto su masa permanece constante.
DmΠ
=0
Dt
m&e1
m&s2
Sielsistemaqueseconsideraesaquelqueenel instante
testáocupando el volumen de control:
DmΠ
Dt
=
dmVC
dt
+m&SC
UniendolasdosexpresionesseobtienelaEcuación
IntegraldelaContinuidad
m&s1
dmVC
dt
dmVC
+m&SC=0
& &
+∑ms−∑me=0

10. dt s e

11. s e
Utilizando la densidadpromedio:
dmVC
+∑(ρˆ⋅q)s−∑(ρˆ⋅q)e=0
dt s e
En el caso de flujo incompresible (ρ=cte)entoncesmVC=ρ·VVCla ecuaciónqueda como:
dVVC
+∑qs−∑qe=0
dt s e
dVVC
dt
+∑(v
s
⋅A) −∑(v
e
⋅A) =0

12. s e
Casoparticular:
VolumendeControlFijoeIndeformableVVC≠f(t).Flujo compresibleestacionarioρ=ρ(x)o
incompresibleρ=cte.(mVC≠F(t) ydmVC/dt=0).
∑m&s−∑m&e=0
s e
Para flujo incompresible(ρ=cte):
∑qs−∑qe=0
s e
En el casode un VC con unaentradayunasalida:
Flujocompresible estacionarioρ=ρ(x)
m&s=m&e=m&
Paraflujo incompresible(ρ=cte):
m&e
qs=qe=q
m&s
(v⋅A) =(v⋅A) =q

13. LeydeConservacióndelaMasa:Larapidezdelcambioeneltiempodelamasadeunsistemaes nula. Por tanto
su masa permanece constante.
δm=ρ⋅δV
D(δm)
=0
Dt
m&e1 m&s 2
D(ρ⋅δV) Dρ
=
Dt Dt
⋅δV+ρ⋅
D(δV)=0
Dt
Introduciendo la Velocidad de Deformación
Volumétrica:
m&s1
D(ρ⋅δV)
=
Dt
Dρ
⋅δV+ρ⋅V&⋅δVD
t
ConsiderandounapartículaqueenelinstantetestáocupandounaposiciónxenelV.C.r=r(x),
v=v(x,t)y ρ(x,t)
∂ρ(x,t)+∇ρ(x,t)⋅v(x,t)+ρ(x,t)⋅div[v(x,t)]=0
∂t

14. Para flujo incompresible(ρ=cte):
div(v)=0
Uncasoparticularmuyinteresanteesel flujoincompresible, completamentedesarrolladoy
enrégimenlaminarenconductos(conductosrectosdegran longitud) de cualquier tipo de sección.
u=u(y,z) ;v=w≡0
Se satisfacela ecuacióndecontinuidad
∂u
+
∂v
+
∂w
=0
∂x ∂y z
{ { {∂
=0 =0 =0

15. 3.3 SEGUNDA LEY DE NEWTON

16. ⎞
) )
∑=
x SC
2ªLeydeNewton:Larapidezdelcambioeneltiempodelacantidaddemovimientodeun sistemaesigual ala
resultantedelasfuerzasqueactúansobreelsistema.
DM
Fπ
Dt
ext
m&e1
m&s2
Sielsistemaqueseconsideraesaquelqueenel instante
testáocupando el volumen de control:
DMπ
Dt
=
dMVC
dt
+M&
SC
Uniendo las dos expresiones se obtiene la Ecuación
IntegraldelaCantidaddeMovimiento.
m&s1 dMVC
M& F
dt
+ SC=∑ ext
⎛dMVC
⎜
⎝ dt
+M&
SC⎟⋅i=(∑Fext
⎠
)⋅i
d(Mx)VC
dt
+(M& =∑(Fx ext

17. ms
dMVC
M& F
dt
+ SC=∑ ext
m&e1
m&s2 Utilizandola cantidaddemovimientoporunidad
demasapromedioenlassuperficiesdeentraday salida
sepuedeescribir:
M&
SC =∑(ρˆ⋅q⋅vˆ)s−∑(ρˆ⋅q⋅vˆ)e
s e
Laresultantesepuededescomponerenlaresultante delas
fuerzasdevolumeny las de superficie:
&1
dM ˆ
∑Fext
ˆ
=FV +FΣ(Π)
VC
+
dt
∑(ρ ⋅q
s
⋅v)s −∑(ρ ⋅q
e
⋅v)e =FV +FΣ(Π)

18. F
m
e(Π) s(Π) m
e(Π)
Fμ)
dMVC
dt
+∑(ρˆ
s
⋅q⋅vˆ)s −∑(ρˆ
e
⋅q⋅vˆ)e =FV +FΣ
Separando las fuerzasdesuperficie:
FΣ(Π)= ∑Fe(Π)+ ∑Fs(Π)+ +FW(Π)+FW (Π)
e s
En las entradas y en las salidas las fuerzas de
superficiesedescomponen ensumadeunadebidaa las
presiones y otra debida a la viscosidad.
Σ(Π)= ∑(Fp
e
+Fμ) +∑(Fp
s
+Fμ) +FW(Π)+FW (Π)
Despreciando las fuerzasviscosasen las entradasy las salidas y considerando superficiesplanas:
∑(Fp +Fμ) +∑(Fp + ≅s(Π) ∑(Fp)e(Π)
+∑(Fp)s(Π)
= −∑(p⋅A⋅n)e −∑(p⋅A⋅n)s
e s e s e s

19. {
⎜ ⎟
{
m
m
Sustituyendo enla ecuaciónseobtendrá:
dMVC
dt
+∑(ρˆ⋅q⋅vˆ)s
s
−∑(ρˆ⋅q⋅vˆ)e
e
=FV +FW(Π)+FW (Π)−∑(p⋅A⋅n)e
e
−∑(p⋅A⋅n)s
s
Aldesconocerladistribucióndevelocidadesenlassuperficieslacantidaddemovimientoporunidad de masa
promedio se aproximacomo:
 V.C. Fijo e Indeformable(vSC≡0)
vˆs =(vˆn)s +(vˆt)s
≅0
≅(β⋅v ⋅n)s =
⎛
β⋅
q
⎝ A
⎛
⋅n
⎞
⎠s
q ⎞
vˆe =(vˆn)e +(vˆt)e
≅0
≅−(β⋅v⋅n)e
=−⎜β⋅
⎝
⋅n⎟
A ⎠e
dMVC
dt
+∑(ρˆ⋅q⋅β⋅v⋅n)s
s
+∑(ρˆ⋅q⋅β⋅v⋅n)e
e
=FV +FW(Π)+FW (Π)−∑(p⋅A⋅n)e
e
−∑(p⋅A⋅n)s
s

20. βesel factor de corrección de cantidadde movimientoen lasuperficie.

21. ⎜
⎜
m
s
V.C. Móvily/oDeformable(vSC≠0)
vˆs =(vˆ n)s +(vˆ t)s ≅(β⋅v⋅n+v SUP)s =
⎛
β⋅
q
⋅n+v
⎞
SUP⎟
{ ⎝ A ⎠≅0
vˆe =(vˆ n)e +(vˆ t)e
≅(−β⋅v⋅n+v SUP)e
=
⎛
−β⋅
q
⋅n+v
⎞
SUP⎟
123
≅0
dM
⎝ A ⎠e
VC
dt
+∑[ρˆ⋅q⋅(β⋅v⋅n+vSUP)]s
s
−∑[ρˆ⋅q⋅(−β⋅v⋅n+vSUP)]e
=
e
=FV +FW(Π)+FW (Π)−∑(p⋅A⋅n)e
e
−∑(p⋅A⋅n)s
s

22. m
Caso Particular
V.C. Fijo e Indeformable (vSUP≡0)
Flujo Incompresible (ρ=cte)
V.C. Con una entrada y una salida (qe=qs=q)
Flujo Estacionario (v=v(x) ⇒dMVC/dt≡0)
ρ⋅q⋅[(β⋅v ⋅n)s +(β⋅v ⋅n)e]=FV +FW (Π)+FW (Π)−(p⋅A⋅n)s −(p⋅A⋅n)e

23. ∑
v(x,t)
2ªLeydeNewton:Larapidezdelcambioeneltiempodelacantidaddemovimientodeun sistemaesigual ala
resultantedelasfuerzasqueactúansobreelsistema.
D(δM)= δF
δM=ρ⋅v⋅δV⇒
D(δM)=
Dt
Dv
⋅ρ⋅δV+v⋅
ext
D(ρ⋅δV) =
Dv
⋅ρ⋅δV
Dt Dt 1Dt43 Dt42
0
Considerandounapartículaqueenelinstantetestá ocupando
una posiciónxenelV.C.r=r(x) y v=v(x,t).
Para un fluido newtoniano y suponiendo
flujoincompresible:
∑δFext =δFV +δF∂Σ =[fV +div(T)]⋅δV
T= −p⋅I+2μ⋅D
δF∂Σ =div(T)⋅δV =(−∇p+ μ⋅∇2
v)⋅δV
ρ⋅⎢
v(x,t)
+
⋅v(x,t)⎥=−∇p(x,t)+μ⋅∇2
v(x,t)+f (x,t)
⎡∂ ∂ ⎤

24. ⎣ ∂t ∂r ⎦
V
14444244443
a(x,t)

25. div(v)=0
∂v
+
∂v
⋅v=−
1
⋅∇p+
μ
⋅∇2
v+
1
⋅f
∂t ∂r ρ ρ ρ
V
La expresión de∇2ven coordenadascartesianases:
⎛∂2
u ∂2
u ∂2
u⎞ ⎛∂2
v ∂2
v ∂2
v⎞ ⎛∂2
w ∂2
w ∂2
w⎞2 2 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∇ v=∇ u⋅i+∇ v⋅j+∇ w⋅k=
⎜∂x2
+
∂y2
+
∂z2
⎟
⋅i+
⎜∂x2
+
∂y2
+
∂z2
⎟
⋅j+
⎜ ∂x2
+
∂y2
+
∂z2
⎟
⋅k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
En coordenadascilíndricasoesféricaslasexpresionessepuedenencontrarenlasTablasdelos
Apuntes:

26. ⎛∂ ∂
div(v)=0
⎞
ρ⋅⎜
v
+
v
⋅v⎟=−∇p+ ⋅∇2
v+f
⎝∂t ∂r μ
⎠ { 23 V
1
fp fμ
•Dos incógnitas de flujo, v(x,t)y p(x,t).
•EcuacionesDiferencialesdeCant.DeMov.yContinuidadrigencualquierflujoincompresible
(Ecuaciones de Navier-Stokes)

27. •Ecuaciones EN DERIVADAS PARCIALES NO LINEALES. Las más complejas de la física.
•Poquísimos flujos poseen solución analítica(geometríassencillas y régimen laminar).
•Flujoincompresibley completamentedesarrolladoenunconductorectoydesecciónarbitraria
constanteen régimen laminaresunodeellos.

28. ⎜ ⎟
⎪ ⎪ ⎪
V
Flujo incompresibley completamentedesarrolladoenunconductorectoydesecciónarbitraria
constanteen régimen laminar. v(x)=u(y,z)⋅i
⎧u⎫ ⎧u⎫
⎡∂u ∂u
⎢
∂x ∂y
∂u⎤
⎥
∂z
⎧u⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪
a=
D⎪
v
⎪
=
∂⎪
v
⎪
+⎢∂v ∂v ∂v⎥
⋅
⎪
v
⎪
=0
⎨ ⎬
Dt⎪ ⎪
⎨
∂t⎪
⎬ ⎢∂x ∂y
⎢
∂z⎥⎨ ⎬
⎥
⎪⎩w⎪⎭ ⎪⎩w⎪⎭
⎢∂w ∂w
⎢⎣∂x ∂y
∂w⎥
∂z⎥⎦
⎪⎩w⎪⎭
2 2 ⎛∂2
u ∂2
u⎞
∇ v=∇ u⋅i=⎜ 2
⎝∂y
+
∂z2
⎟⋅i
⎠
⎡ ⎤
f =ρ⋅g⋅[sen(α)⋅i−cos(α)⋅j+0⋅k]=−γ⋅⎢
∂h
⋅i+
∂h
⋅j+
∂h
⋅k⎥
=−γ⋅
∂⎛
+
⎞ ⎛∂u ∂u⎞

29. ⎝
⎝
⎠
⎠
+ ⋅ +
⎣∂x ∂y ∂z ⎦
(X) 0 ⎜p ⎟
⎜ ⎟
2 2
⎜ ⎟
⎜ 2 2⎟
∂x⎝γ ⎠ ⎝∂y ∂z ⎠
∂⎛ ⎞
(Y) 0=−γ⋅ ⎜p
+h⎟
∂y⎜γ ⎟
∂⎛ ⎞
(Z) 0=−γ⋅ ⎜p
+h⎟
∂z⎜γ ⎟

30. ⎝
⎝
⎜
⎜
⎠
⎠
2⎟
+
+
CONCEPTOFUNDAMENTAL:Alturapiezométrica(H)deunfluidoenunpuntoeslasumadela
alturade presiónmáslacotarespectode una referencia horizontalarbitraria.
∂⎛ ⎞
(Y) 0=−γ⋅ ⎜p
+h⎟
∂y⎜γ ⎟
H≠H (y,z)
∂⎛ ⎞
(Z) 0=−γ⋅ ⎜p
+h⎟
∂z⎜γ ⎟
dH ⎛∂2
u ∂2
u⎞ dH H −H
(X) 0=−γ⋅
dx
+μ⋅⎜ +
⎝∂y2
⎟
∂z ⎠
=cte=
dx
s e
L
0=−γ⋅
dH ⎛
+μ⋅⎜
∂2
u
2
∂2
u⎞
⎟
2⎟
CONDICIONES DE CONTORNO
u(xw,yw)=uW∀(xw,yw)∈Pw
dx ⎝∂y ∂z ⎠ ∂H/∂x

31. Uw= 0y ∂H/∂z≠0 FlujoPoiseuille
UW≠0y ∂H/∂z=0 Flujo deCouette
UW≠0y ∂H/∂z≠0 FlujoPoiseuille+Couette
z
CASO 1
Flujo incompresibley completamentedesarrolladoenunconductorectoyde seccióncircular
de radioRen régimen laminar. v=uZ(r)⋅eZ
γ⋅
dH
dz
=μ⋅
1
⋅
d
r dr
⎛
⎜r⋅
⎝
du ⎞
⎟
dr ⎠
CONDICIONES DE CONTORNO
uZ(r=R)=Uwiy ∂H/∂z

32. z
R
r
CASO 2
Flujo incompresibley completamentedesarrolladoenunconductorectoyde secciónanularde
radiosRiyReen régimen laminar. v=uZ(r)⋅eZ.
e er
γ⋅
dH
dz
=μ⋅
1
⋅
d
r dr
⎛
⎜r⋅
⎝
du ⎞
⎟
dr ⎠
CONDICIONES DE CONTORNO
e
uZ(r=Ri)=Uwi,uZ(r=Re)=Uwey ∂H/∂z
Uwi=Uwe=0y ∂H/∂z≠0 Flujo Poiseuille
Ri
Uwi≠Uwe≠0y∂H/∂z=0 Flujo deCouette
Uwi≠Uwe≠0y∂H/∂z≠0 Flujode Poiseuille+Couette

33. Uwi=Uws=0y ∂H/∂z≠0 FlujoPoiseuille
Uwi≠Uws≠0y∂H/∂z=0 Flujo deCouette
Uwi≠Uws≠0y∂H/∂z≠0 Flujode Poiseuille+Couette
CASO 3
Flujo incompresible y completamentedesarrollado en un conducto recto y de sección
rectangular delados ayh con a>>>hen régimen laminar. v=u(y)⋅i.
γ⋅
dH
dx
=μ⋅
d2
u
dy2
CONDICIONES DE CONTORNO
u(y=0)=Uwi,u(y=h)=Uwsy ∂H/∂x

34. 3.4 1ª LEY DE LA TERMODINÁMICA

35. 1ªLeydelaTermodinámica:Larapidezdelcambioeneltiempodela Energíadeunsistemaes igual a la
velocidaddetransferencianetadeenergía(potencia)entre el sistema y el entorno.
DEΠ
Dt
=Q&+W&
Siendo EΠ laenergía total del sistema, sumadesu
energíainterna,cinéticay potencial(Ek+Ep=Em).
EΠ=(Ũ+Ek+Ep)Π=(Ũ+Em)Π
 Q&
 W&
potencianeta en forma de Calor(∇T)
potencia neta en forma de Trabajo (Fuerzas)
 Q&>0,W&>0
 Q&<0,W&<0
EnergíaEntorno ⇒Sistema
Energía Sistema ⇒Entorno
Si el sistema que se
consideraesaquelqueen
elinstantetestáocupando
DEΠ
=
dEVC
+ &
dEVC
+E& =Q&+W&
el V.C. Dt dt
ESC
dt
SC

36. s e
)p(
Según los tipos de fuerzasqueactúan sobreel sistema:
W&=W&
V′ +W&
Σ ≡ ∫fV′
VC
⋅v⋅dV + ∫t⋅v⋅dS
SC
Lapotenciaasociadaalafuerzasde superficie:
W&
Σ =W&
{w
=0
+W&
m +∑W&
s
s
+∑W&
e
e
Enlas entradasysalidasdefluidoalV.C.lapotencia
asociada a las fuerzasdesuperficiees:
W&
Σ =W&
m +∑(W&
p
s
+W&
μ) +∑(W&
p
e
+W&
μ)
Enunaentradaoenunasalidalapotenciaasociadaalasfuerzasviscosassedespreciay la asociada a las
fuerzasdepresión:
Quedando:
W&
s
≡−∫
s
p⋅v⋅dS=−∫
s
p⋅(v−v SUP )⋅dS−∫
s
p⋅vSUP ⋅dS≡W&
F +W&
D
W&
V′ +W&
Σ =W&
V′ +W&
m +∑(W&
F
s
+W&
D)s +∑(W&
F
e
+W&
D)e

37. d
U
d
+
&
p ⎞
dEVC & & & & & & & &+ESC=Q+WV′+Wm+∑(WF+WD)s
+∑(WF+WD)e
dt
d(Em)VC
+(E& )
~
+
UVC
s e
+
~&
=
dt
m SC
dt
SC
=Q&+W&
V′+W&
m+∑(W&
F+W&
D)s+∑(W&
F+W&
D)e
s e
Cuandoel flujoes incompresible(ρ=cte)la2a leydela
Termodinámica:
~
UVC
dt
~
USC −Q&=W&
L≥0
14243
DUΠ
d(E )
( ) ( ) (
Dt
) ( )mVC
dt
+∑E&
m
s
s+∑
e
E&
m e=W&
V′+W&
m+∑
s
W&
D +W&
F s+∑
s
W&
D +W&
F s−W&
L
d(Em)VC
⎧⎪
+ρ⋅
⎡ ⎛ ⎞⎤
q⋅⎜e +e + ⎟ −
⎡ ⎛
q⋅⎜e +e
+
p
⎟
⎤ ⎪⎫
=W&′+W& +
(W& )+ (W& )−W&
⎨∑⎢ ⎜ˆk
ˆp ⎟⎥ ∑⎢ ⎜ˆk
ˆp ⎟⎥⎬ V m ∑ D s ∑ D e L

38. dt ⎪⎩s ⎣ ⎝ ρ⎠⎦s e⎣ ⎝ ρ⎠⎦e⎪⎭ s e

39. p ⎞
d(Em)VC
⎧⎪
+ρ⋅
⎡ ⎛ ⎞⎤
q⋅⎜e +e + ⎟ −
⎡ ⎛
q⋅⎜e +e
+
p
⎟
⎤ ⎪⎫
=W&′+W& +
(W& )+ (W& )−W&
⎨∑⎢ ⎜ˆk
ˆp ⎟⎥ ∑⎢ ⎜ˆk
ˆp ⎟⎥⎬ V m ∑ D s ∑ D e L
dt ⎪⎩s ⎣ ⎝ ρ⎠⎦s e⎣ ⎝ ρ⎠⎦e⎪⎭ s e
Caso Particular
V.C. Fijo e Indeformable (vSUP≡0)
Flujo Incompresible (ρ=cte)
V.C. Con una entrada y una salida (qe=qs=q)
Flujo Estacionario (v=v(x) ⇒d(Em)VC/dt≡0)
⎡⎛ p⎞ ⎛ p⎞⎤
ρ⋅q⋅⎢⎜eˆk+eˆp+
ρ
⎟ −⎜eˆk+eˆp+
ρ
⎟ ⎥=W&
m−W&
L
⎢⎣⎝ ⎠s ⎝ ⎠e⎥⎦
DividiendoporelflujomásicoqueatraviesaelV.C.
(ρ·q)laecuacióndelaenergíanosquedaexpresadaen
unidades de energía porunidaddemasa de
fluido:

40. + −e +
⎛
⎜eˆk
⎝
+ep
p⎞
⎟
ρ⎠s
⎛
⎜ˆk
⎝
+ep
p⎞
⎟
ρ⎠e
=wm −wL

41. ⎛
⎟ ⎜ ⎟
s
2
Dividiendoporlaaceleracióndelagravedad(g)laecuaciónquedaexpresada enenergíaporunidadde
peso(alturade columnade fluido).
⎜hˆ +h+
p⎞
−
⎛
hˆ +h+
p⎞
= −
⎝
k
γ⎠ ⎝
k
γ⎠e
Hm hL
Alaĥk+h+(p/γ)seledenominaBernoullidelfluido(B)enlasuperficieyestáexpresadocomo
una altura de columna de fluido [B]=L.
Normalmentelaalturadeenergíacinéticapromedio enuna superficieĥkpuede expresarse como:
hˆ ≅α⋅
v
k
2g
Siendo αel coeficientedecorreccióndelaenergíacinética.

42. IMPORTANTÍSIMO
El2° Principiodela Termodinámica
(hL≥0) establece una restriccióna la
variacióndelBernoulliquesufreelfluido,
calculada enelsentidodelflujo(Bernoulli
aguasarriba(entrada)menos Bernoulli
aguasabajo(salida))yelaporte netode
energíaal flujo (Hm)
hL=Be−Bs+Hm≥0
123
∇B

43. 3.5 REGÍMENES DE FLUJO

44. Elflujodeunfluidopuededarsecondosregímenesdenaturalezamuydiferentedenominados
regímenesLaminar y Turbulento.
La constatación de la existencia de los distintos
regímenesde un flujoprovienedeantiguo:
Leonardo daVinci(EstudiosobreelAgua).
En el siglo XIX comenzaron los primeros estudios
científicos sobre el tema:
G.H. L. Hagen (1839). Primeros indicios
experimentales.Caidadepresiónen conductos
largos delatón.
OsborneReynolds (1883).Pionero en el estudio
de los regímenesde flujo.
Δp
Δp~v
Δp~v1.75
v

45. En1883unprofesordeingenieríabritánicollamado
OsborneReynoldsutilizóun dispositivoexperimentalconelque
evidencióla existenciadedosregímenesdeunflujoe introdujo
elparámetro adimensionaldel que dependía la existencia de
uno u otro régimen (NúmerodeReynolds).

47. Reynolds constató experimentalmente:
 La existencia en un flujo de dos regímenes.Régimen Laminary régimen Turbulento
 LaexistenciadeunouotrodependíadeunparámetroadimensionalnúmerodeReynolds(Re).
En el casodel flujo en un conductode seccióncircular el númerode Reynolds viene dado por:
Siendo:
 D Diámetro de la tubería.
 vVelocidad media.
 ρDensidaddelfluido.
 μla viscosidad del fluido.
Re=
ρ⋅D⋅v
μ
Encualquierflujoexistendosregímenesylaexistenciadeunouotrodependedesunúmerode
Reynolds que viene dado por:
Re=
ρ⋅L⋅U
μ
SiendoLy Uuna longitud y una velocidad característicasdel flujo.

48. ElNúmerodeReynoldsexpresaelpapelquejueganenelflujolasfuerzasdeinerciafrentealas
viscosas:
Re=
Fuerzas
Fuerzas
deInercia
Viscosas
=
ρ⋅L⋅U
μ
RecordarlasecuacionesdeNavier-Stokespara unflujo incompresible:
⎛∂ ∂ ⎞
ρ⋅⎜
v
+
v
⋅v⎟=−∇p +μ⋅∇2
v+f ⇒f +f +f +f =0
⎝∂t ∂r ⎠
V p μ v i
NúmerosdeReynoldselevados(Reg.Turbulento):fi>>fν.Enelflujopredominanlasfuerzasde
inercia.
Númerosde Reynolds bajos (Reg. Laminar):fi<<fν.En el flujo predominan las fuerzasviscosas.

49. Re=0
Re=2300
Re=4000
Re=∞
REGIMEN
LAMINAR
TRANSICIÓN
REGIMEN
TURBULENTO

50. El Régimen laminarun flujo estácaracterizado:
Patróndeflujoordenado.Existentrayectoriasylíneasdecorriente bien
definidas.
Bajosnúmeros de Reynolds. Son predominantes las fuerzas
viscosas.
Antecondiciones de contorno estacionarias el flujo será
generalmente estacionario(existen excepciones
i.e.:KarmanVortexStreet).
Suanálisisesasequible(SeconocenvariassolucionesalasE.D. tanto
analíticas como numéricas)
Eltransportedecantidaddemovimiento,energíaymaterianoes
efectivo(i.e.: mezcla de pinturas)
Porreglagenerallosflujosviscosos NOsonmuycomunesenlas
aplicacionesenlaindustria.
 Flujosde muybajavelocidad(i.e.:CreepingFlows).
 Fluidosde elevadaviscosidad(i.e.:Ciertos aceites, grasas).
 Flujosenespacios reducidos (i.e.:LubricaciónoBiología)

51. El Régimen turbulentoun flujo estácaracterizado:
Flujoradicalmente diferente al laminar.
Patrónde flujo complejo, desordenadoy caótico.
Altosnúmeros de Reynolds. Son predominantes las fuerzasde
inercia.
El flujo será siempre no estacionario.La turbulenciaesunfenómeno
denaturalezatridireccionaly no estacionaria.
SuanálisisdirectoNOesfactible
Analíticamenteimposiblenien los casos más sencillos.
Numéricamente. Actualmentefueradel alcancede los
computadores más potentes.
Eltransportede cantidad de movimiento, energía y materiaes
efectivo.
Por regla general los flujos viscosos SON muycomunesenla
naturaleza.

52. uP(t)
UP
u'P(t)
 Existencia de unas estructuras rotacionales (paquetes de
fluido) denominadas Torbellinos(Vortex).
La dinámica de los vórtices (movimiento e interacciones
vortexstretching) es complejísima.
Tamaño de los torbellinosseextiendeenunampliorango:
 Grandes:Lv≅L
 Pequeños torbellinos Lv≅LK=(ν3·L/U3)0.25 (Escala de
Kolmogorov).
vyppresentanuna variacióneneltiempofluctuandode
formaaleatoriaalrededordeunvalormedio.Lasamplitudesy
frecuenciasde estasfluctuaciones esmuy variada:
u
 Amplitud: 1% - 20% del valor medio
 Frecuencia: 1-104Hz. (Tamaño de los vórtices)
Las fluctuaciones estáasociada a la dinámica de los vórtices.
t

53. Ciertamente la turbulencia es:
un fenómeno muycomplejo.
NOseposeeaún una explicación completa.
Campo de activísima investigación.
• Taylor &Von Karman(1937): Laturbulencia es un
movimiento irregular que,en general, hace suapariciónenlos
fluidos,líquidosogases,cuandoestánfluyendoencontacto con
superficies sólidas o cuandocorrientespróximasdelmismo fluido
fluyen una sobre otra.
• Hinze(1959):Elmovimientoturbulentodeunfluidoesuna
condiciónirregulardeflujoenlaquevarias magnitudes muestran
variaciones aleatorias respecto del tiempo ydelas
coordenadasespacialesdeformaque pueden discernirse
diferentes promedios estadísticos.
• Bradshaw(1971): La turbulencia es un movimiento
tridimensionalydependientedeltiempoenelcual el
vortexstretching producefluctuacionesenlasvelocidadespara
extender los vórtices a todas las longitudes de onda
comprendidasentreunmínimodeterminado porlasfuerzas
viscosasyun máximo determinado por las condiciones de
contornodelflujo.Este eselestadohabitualdemovimientode los
fluidos, excepto a bajos números de Reynolds.

54. uP(t)
UP
u'P(t)
2
PREGUNTA:¿Como tratan los ingenieros la turbulencia?
div(v)=0 u
ρ⋅
Dv
Dt
=−∇p +μ∇ v+fV
LasecuacionesdeNavier-Stokesrigenelflujodeun fluido
enrégimenlaminar y turbulento.
La turbulencia complica aún más las ecuaciones.
Lascapacidadesdecálculoactualesnosoncapacesde
resolverlas para cualquier tipo de flujo en régimen
turbulento. t
RESPUESTA:
Desdeelpunto de vistaingenieril NOes interesanteconocer los valores instantáneosde las
variables de flujo sino su valormedio temporal.
Las variables de flujo sedescomponenenenun valor promedioyenuna fluctuación:
v=V+v′
p=P+p′

55. uP(t)
ω'
(t)Ω(t)
UP
u'P(t)
T
1
u
Elpromediodelasvariablesdeflujo(ω=u,v,wóp)sedefine
como:
Ω(x)= ω(x,t) =
1
⋅∫ω(x,t)⋅dt
T 0
Ω(x,t)= ω(x,t) = lim
N
⋅∑ω(n)(x,t)N→∞N n=1
t
SiendoTunperíododetiempomayorquecualquierperíodo
significativo de las fluctuaciones y N un número de
ω
experimentos.
Los promedios cumplen ciertasreglas como:
Ω=Ω; ω′ =0; ω′⋅φ′ ≠0
∂ω
=
∂ω
∂x ∂x
t

56. ν
⎜
∂y⎜
⎝
)
⎟
⎜ ⎟
xy(
Al promediar las ecuaciones de N-S:
 Se obtienen unas nuevas ecuaciones, similares a las originales de N-S (Navier-Stokes-
Reynolds).
 Las incógnitas son los valores promedios delas variables deflujo (Uy p).
 Aparecen unos nuevos términos, promedios del producto de las fluctuaciones de las
velocidades a los que sedenominan Tensiones-Turbulentasde Reynolds(TR).
∂U
+
∂V
=0
∂x ∂y
∂U
+U⋅
∂U
∂t ∂x
∂V ∂V
+V⋅
∂U
∂y
∂V
=−
1
⋅
ρ
1
∂P
+
∂x
∂P
∂⎛
⎜⋅
∂x⎝
∂⎛
∂U
−
∂x
∂V
u′⋅u′
⎞∂⎛
⎟+ ν⋅
⎠ ⎝
⎞∂⎛
∂U
−
∂y
∂V
⎞
u′⋅v′ ⎟
⎠
⎞
+U⋅
∂t ∂x
+V⋅
∂y
=− ⋅
ρ∂y
+ ⎜ν⋅ −
∂x⎝ ∂x
u′⋅v′ ⎟+ ⎜ν⋅ −
⎠ ∂y ∂y
v′⋅v′ ⎟
⎠
Incluso en flujos sencillos (i.e.: flujo completamente desarrollado en un conducto) NO puede
obtenerseanalíticamenteel perfil de velocidades promedio
τxy =μ⋅
dU
∂y
b
Y
+ τ T
Z 0
∂H d ⎛dU ⎞
γ⋅ =μ⋅ ⎜
∂ x dy⎝∂y

57. −ρ⋅ u′⋅v
′⎟
⎠
w