Aplicaciones EDO de Primer Orden

2. APLICACIONES
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. APLICACIONES MEZCLAS
MEZCLAS
MEZCLAS
Una aplicaci´on de las EDO de primer orden son los problemas de mezclas. En
estos, un tanque contiene un fluido con volumen V0 en el cual se encuentra
disuelta una cantidad S de soluto en el tanque, y esta cantidad S(t) en el
tanque puede aumentar o disminuir en el tiempo seg´un si se agrega o se
substrae por dilusi´on parte del soluto.
FIGURA: La cantidad de soluto S cambia seg´un cuanto soluto entra en el Flujo de entrada y cuanto sale en el Flujo de salida.

4. APLICACIONES MEZCLAS
MEZCLAS
MEZCLAS
La raz´on con la que S cambia depende del flujo de entrada y el flujo de salida
del tanque, entonces S cambia seg´un la raz´on neta:
dS
dt
=
raz´on de
entrada de sal
−
raz´on de
salida de sal
= Rin − Rout
La raz´on de entrada Rin con la que la sal entra al tanque es el resultado de
concentraci´on de sal C1 que entra por la taza de flujo que entra Q1.
Rin = C1 · Q1
La raz´on de salida Rout con la que la sal sale del tanque es el resultado de
concentraci´on de sal presente en el tanque S(t) dividido entre la cantidad de
fluido en el tanque por la taza de flujo que sale Q2.
Rout =
S(t)
V0 + (Q1 − Q2)t
· Q2

5. APLICACIONES MEZCLAS
EJEMPLO
EJEMPLO DE MEZCLAS
Un tanque contiene originalmente 200 gal de agua pura. Se hace entrar agua
que contiene 1 lb de sal por gal, a raz´on de 3 gal/min, y se deja que la mezcla
salga del tanque a raz´on de 2 gal/min. Encuentre la cantidad de sal en el
tanque en cualquier instante de tiempo.
Para solucionar este problema calculemos primero las razones de entrada y
salida de sal en el tanque. Para la raz´on de entrada:
Rin = 1
lb
gal
· 3
gal
min
= 3
lb
min
Dado que el flujo de salida de agua no es el mismo de entrada, el tanque se va
llenando, la raz´on de salida ser´a:
Rout =
S(t)
200gal + (3 − 2)gal/min · t
· 2
gal
min
=
2S
200 + t
lb
min

6. APLICACIONES MEZCLAS
EJEMPLO DE MEZCLAS
Despreciando las unidades, la ecuaci´on que debemos resolver es:
dS
dt
= 3 −
2S
200 + t
Es una ecuaci´on lineal de primer orden; tenemos ademas que inicialmente no
hay sal en el tanque; esta condici´on inicial se expresa como: S(0) = 0. La
soluci´on del problema con valor inicial es:
S(t) =
t(t2 + 600t + 120000)
(t + 200)2
Que corresponde a la cantidad de sal que tendr´a el tanque en cualquier
instante de tiempo t.

7. APLICACIONES LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
MEZCLAS
MEZCLAS
En muchas circustancias, la temperatura superficial de un objeto cambia con
raz´on proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la de su
entorno (temperatura ambiente). Esto se conoce como la Ley de enfriamiento
de Newton. Si T(t) es la temperatura del objeto en un instante t y Tm es la
temperatura ambiente, entonces T debe satisfacer la ecuaci´on diferencial:
dT
dt
= −k(T − Tm)
donde k es una constante de proporcionalidad y el signo negativo se incluye
ya que se supone que el objeto est´a m´as caliente que su entorno y por lo tanto
se enfriar´a con el tiempo. Supongamos que la temperatura inicial del objeto es
T(0) = T0, entonces podemos solucionar esta ecuaci´on por variable
separable.

8. APLICACIONES LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
EJEMPLO
EJEMPLO DE ENFRIAMIENTO
Suponga que la temperatura de una taza de caf´e obedece la ley de
enfriamiento de Newton. Si el caf´e tiene una temperatura de 200◦F cuando se
sirve, y un minuto despu´es se ha enfriado hasta 190◦F en un recinto donde la
temperatura ambiente es de 70◦F, determine cu´ando el caf´e alcanza una
temperatura de 150◦F.
Para solucionar este problema, reemplacemos los datos en la ecuaci´on de la
Ley de Newton, para obtener:
dT
dt
= −k(T − 70)
a´un no sabemos el valor de k; solucionemos entonces el problema de valor
inicial con T(0) = 200:
T = 130e−kt
+ 70

9. APLICACIONES LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
EJEMPLO DE ENFRIAMIENTO
Para determinar el valor de la constante de proporcionalidad, usemos la
condici´on dada T(1) = 190; si remplazamos estos datos en la funci´on
anterior obtenemos:
190 = 130e−k
+ 70
120 = 130e−k
ln
120
130
= −k
0,08 ≈ k
Entonces la funci´on de temperatura T en cualquier instante de tiempo t es:
T = 130e−0,08t
+ 70
ahora, el problema nos pide en ocntrar el valor de t para el cual T(t) = 150,
remplazamos en la funci´on anterior y despejamos t.

10. APLICACIONES LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
EJEMPLO DE ENFRIAMIENTO
150 = 130e−0,08t
+ 70
80 = 130e−k
ln
80
130
= −0,08t
−0,0486 ≈ −0,08t
6,07 ≈ t
luego, el tiempo necesario para que la taza de caf´e alcance una temperatura de
150◦F es aproximadamente poco m´as de 6 minutos.

11. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.