MODELO MATEMÁTICO Y SIMULACIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS RLC Y TANQUES COMUNICANTES

1. TEMA : MODELAMIENTO DE SISTEMA ELECTRICO Y
DE TANQUES EN CASCADA EN SIMULINK
DOCENTE: ING. COLLAZOS RAMIREZ,
SEGUNDO GREGORIO
CURSO: TEORIA DE CONTROL II
INTEGRANTES:
 MATIAS SILVA, MARCIAL
 SAMANAMUD ANTUNEZ, ANGEL
 BRAVO RIOS, JOSAFAT
HUACHO - PERÚ
2019
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN

2. MODELAMIENTO DE UN
SISTEMA RLC EN SERIE

3. MODELAMIENTO DE UN SISTEMA RLC EN SERIE
CIRCUITO RLC.
Donde:
R = 10Ω
L = 500mH
C = 100mF

4. MODELAMIENTO DE UN SISTEMA RLC EN SERIE
RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
𝑣𝑔 = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 𝑡 +
1
𝐶
𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 (1)
𝑖 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑣 𝐶 𝑡
𝑑𝑡
(2)
𝑣𝑔 = 𝐿
𝑑
𝑑𝑡
𝐶
𝑑𝑣 𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑅 𝐶
𝑑𝑣 𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝐶
𝑑𝑣 𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡

5. MODELAMIENTO DE UN SISTEMA RLC EN SERIE
RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
𝑣𝑔 = 𝐿𝐶
𝑑2 𝑣 𝐶(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝑅𝐶
𝑑𝑣 𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑣 𝐶 𝑡 (3)
𝐿𝐶
𝑑2 𝑣 𝐶(𝑡)
𝑑𝑡2
= 𝑣𝑔 − 𝑅𝐶
𝑑𝑣 𝐶 𝑡
𝑑𝑡
− 𝑣 𝐶 𝑡
𝑑2 𝑣 𝐶(𝑡)
𝑑𝑡2
=
1
𝐿𝐶
𝑣𝑔 −
𝑅
𝐿
𝑑𝑣 𝐶 𝑡
𝑑𝑡
−
1
𝐿𝐶
𝑣 𝐶(𝑡) (4)

6. MODELAMIENTO DE UN SISTEMA RLC EN SERIE
DIAGRAMA DE BLOQUES

7. MODELAMIENTO DE UN SISTEMA RLC EN SERIE
RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
𝑉𝑔 𝑆 = 𝐿𝐶𝑆2 𝑉𝐶 𝑆 + 𝑅𝐶𝑆𝑉𝐶 𝑆 + 𝑉𝐶 𝑆 (5)
𝑉𝑔 𝑆 = 𝐿𝐶𝑆2 + 𝑅𝐶𝑆 + 1 𝑉𝐶 𝑆
𝐺 𝑆 =
𝑉𝐶 𝑆
𝑉𝑔 𝑆
=
1
𝐿𝐶𝑆2 + 𝑅𝐶𝑆 + 1
𝐺 𝑆 =
1
𝐿𝐶
𝑆2 +
𝑅
𝐿
𝑆 +
1
𝐿𝐶
(6)

8. MODELAMIENTO DE UN SISTEMA RLC EN SERIE
DIAGRAMA DE BLOQUES DE LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA

9. MODELAMIENTO DE UN SISTEMA RLC EN SERIE
DIAGRAMA DE BLOQUES EN SIMULINK DE MATLAB

11. 1
2
𝑚𝑣2
= 𝑚𝑔𝐻 𝑣 = 2𝑔𝐻
El flujo de salida del tanque para el caso de una sección transversal S es:
Modelo matemático del sistema de nivel de tanques en cascada
Q = 𝑆𝑣 = 𝑆 2𝑔𝐻 Q = 𝑆 2𝑔 𝐻
Si se considera que la presión manométrica entre los puntos
1 y 2 son cero. Que m es la masa de las partículas de fluido
entre el punto 1 y 2. Y que v es la velocidad de salida de la
partícula 1 y 2. Se tiene que:
Q = 𝐾 𝐻

12. De manera general el flujo que pasa por una válvula de control en estado
estacionario es dado por:
Flujo por una Válvula
𝑄 𝑣 = 𝐾𝑠 𝐴 𝑠 ∆𝑃
𝑄 𝑣= Flujo a través da válvula
𝐾𝑠 = una constante
𝐴 𝑠 = Área de paso
∆𝑃= Presión diferencial a través de la válvula. P2-P1

13. Flujo por una Válvula
𝑄𝑠 = 𝑆. 𝑎. 2𝑔𝐻
𝑄𝑠 = 𝐾. 𝑎. 𝐻
Se puede concluir que el flujo que pasa por la válvula es proporcional al área
de abertura de la válvula en el caso que la diferencia de presión sea
constante. De manera practica tomamos una válvula con un comportamiento
inteligente, donde sea posible hacer una aproximación mas o menos lineal
entre el flujo Qv y la abertura de la válvula.

14. 𝐴1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
= 𝑞𝑖 − 𝑞 𝑚
𝐴2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
= 𝑞 𝑚 − 𝑞 𝑜
Tanque 1:
Tanque 2:
𝐴1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
= 𝑘1 𝑎1 − 𝐾2 ℎ1
𝐴2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
= 𝑘2 ℎ1 − 𝐾3 𝑎2 ℎ2
(suponiendo flujo de entrada
constante en 𝑞𝑖)
Sección Transversal: Q = 𝐾 𝐻
Válvula: 𝑄𝑠 = 𝐾. 𝑎. 𝐻

15. 𝐴1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
= 𝑘1 𝑎1 − 𝑘2 ℎ1
Tanque 1:
Tanque 2:
ℎ2𝑠 =
𝑘2
2
ℎ1𝑠
𝑘3 𝑎2
2
𝐴1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
= 𝑘1 𝑎1 − 𝐾2 ℎ1
𝐴2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
= 𝑘2 ℎ1 − 𝐾3 𝑎2 ℎ2
𝑘1 𝑎1 = 𝑘2 ℎ1𝑆
ℎ1𝑠 =
𝑘1 𝑎1
𝑘2
2
Linealización del sistema no lineal:
Encontramos el punto de equilibrio del sistema
𝐴2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
= 𝑘2 ℎ1 − 𝑘3 𝑎2 ℎ2
𝑘2 ℎ1𝑠 = 𝑘3 𝑎2 ℎ2𝑠
0
0

16. Linealización Serie de Taylor
𝐹 𝑥
= 𝐹 𝑥∗ + 𝛻𝐹 𝑥∗ ∆𝑥
+
1
2
𝑑2
𝑑𝑥2
𝑥∗
∆𝑥2 +
1
3!
𝑑3
𝑑𝑥3
𝑥∗
∆𝑥3
𝐴1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
= 𝑘1 𝑎1 − 𝑘2 ℎ1
Tanque 1:
F 𝑎1, ℎ1 = 𝐴1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
∆𝑎1 = 𝑎1 − 𝑎1∗
𝐹 𝑎1, ℎ1 ≈ 𝐹 𝑎1∗, ℎ1∗ +
𝜕𝐹
𝜕𝑎1 𝑎1∗,ℎ1∗
𝑎1 − 𝑎1∗ +
𝜕𝐹
𝜕ℎ1 𝑎1∗,ℎ1∗
(ℎ1 − ℎ1∗)
∆ℎ1 = ℎ1 − ℎ1∗
𝐹 𝑎1, ℎ1 ≈ 𝑘1 𝑎1∗ − 𝑘2 ℎ1∗ + 𝑘1∆𝑎1 −
𝑘2
2 ℎ1∗
∆ℎ1
𝐴1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
𝐴1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡 𝑎1∗,ℎ1∗

17. 𝐺1 𝑠 =
∆ℎ1(𝑠)
∆𝑎1(𝑠)
=
𝑘1
𝐴1 𝑠 +
𝑘2
2 ℎ1∗
𝐴1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
− 𝐴1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡 𝑎1∗,ℎ1∗
≈ 𝑘1∆𝑎1 −
𝑘2
2 ℎ1∗
∆ℎ1
𝐴1
𝑑∆ℎ1
𝑑𝑡
= 𝑘1∆𝑎1 −
𝑘2
2 ℎ1∗
∆ℎ1
Laplace:
𝐴1 𝑠∆ℎ1(𝑠) = 𝑘1∆𝑎1(𝑠) −
𝑘2
2 ℎ1∗
∆ℎ1(s)
∆ℎ1 𝑠 𝐴1 𝑠 +
𝑘2
2 ℎ1∗
= 𝑘1∆𝑎1(𝑠)
Tanque 1:

18. Tanque 2:
𝐴2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
= 𝑘2 ℎ1 − 𝑘3 𝑎2 ℎ2 F ℎ1, ℎ2 = 𝐴2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
∆ℎ1 = ℎ1 − ℎ1∗
𝐹 ℎ1, ℎ2 ≈ 𝐹 ℎ1∗, ℎ2∗ +
𝜕𝐹
𝜕ℎ1 ℎ1∗,ℎ2∗
ℎ1 − ℎ1∗ +
𝜕𝐹
𝜕ℎ2 ℎ1∗,ℎ2∗
(ℎ2 − ℎ2∗)
∆ℎ2 = ℎ2 − ℎ2∗
𝐹 ℎ1, ℎ2 ≈ 𝑘2 ℎ1∗ − 𝐾3 𝑎2 ℎ2∗ +
𝑘2
2 ℎ1∗
∆ℎ1 −
𝑘3 𝑎2
2 ℎ2∗
∆ℎ2
𝐴2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
𝐴2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡 ℎ1∗,ℎ2∗

19. 𝐺1 𝑠 =
∆ℎ1(𝑠)
∆𝑎1(𝑠)
=
𝑘1
𝐴1 𝑠 +
𝑘2
2 ℎ1∗
𝐴2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
− 𝐴2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡 ℎ1∗,ℎ2∗
≈
𝑘2
2 ℎ1∗
∆ℎ1 −
𝑘3 𝑎2
2 ℎ2∗
∆ℎ2
𝐴2
𝑑∆ℎ2
𝑑𝑡
=
𝑘2
2 ℎ1∗
∆ℎ1 −
𝑘3 𝑎2
2 ℎ2∗
∆ℎ2
Laplace:
𝐴2 𝑠∆ℎ2(𝑠) =
𝑘2
2 ℎ1∗
∆ℎ1(𝑠) −
𝑘3 𝑎2
2 ℎ2∗
∆ℎ2(𝑠)
∆ℎ2 𝑠 𝐴2 𝑠 +
𝑘3 𝑎2
2 ℎ2∗
=
𝑘2
2 ℎ1∗
∆ℎ1(𝑠)
Tanque 2:

20. 𝑮 𝟐 𝒔 =
∆𝒉 𝟐(𝒔)
∆𝒂 𝟏(𝒔)
=
𝒌 𝟏 𝒌 𝟐
𝟐 𝒉 𝟏∗
(𝑨 𝟏 𝒔 +
𝒌 𝟐
𝟐 𝒉 𝟏∗
)(𝑨 𝟐 𝒔 +
𝒌 𝟑 𝒂 𝟐
𝟐 𝒉 𝟐∗
)
∆ℎ2 𝑠 𝐴2 𝑠 +
𝑘3 𝑎2
2 ℎ2∗
=
𝑘2
2 ℎ1∗
𝑘1∆𝑎1(𝑠)
𝐴1 𝑠 +
𝑘2
2 ℎ1∗
Tanque 2:

21. SIMULACION EN MATLAB – SIMULINK
DE MODELADO DE DOS TANQUES EN
CASCADA
.

22. DEFINIMOS PARAMETROS:
CONSTANTES DE
CAUDAL O FLUJO
ABERTURAS DE
VALVULAS (0-1)
AREAS DE LOS
TANQUES

23. DIAGRAMA DE BLOQUES (EDO) – SISTEMA NO LINEAL

24. CONDICIONES INICIALES EN EQUILIBRIO:
𝒉 𝟏𝒔=
𝟎.𝟎𝟒𝒎 𝟑/𝒔∗𝟎.𝟓
𝟎.𝟎𝟑𝒎 𝟑/𝒔
𝟐
𝒉 𝟐𝒔=
(𝟎.𝟎𝟑𝒎 𝟑/𝒔) 𝟐∗𝟎.𝟒𝟒
(𝟎.𝟎𝟓𝟓𝒎 𝟑/𝒔∗𝟎.𝟒𝟓) 𝟐

25. REEMPLAZAMOS LOS VALORES INICIALES DADOS :
CONSTANTES DE
CAUDAL O FLUJO
ABERTURAS DE
VALVULAS (0-1)
AREAS DE LOS
TANQUES

26. CREAMOS UN SUBSISTEMA:

27. GRAFICA DE RESPUESTA DE LOS TANQUES
(EDO):

28. FUNCION DE TRANSFERENCIA 𝐺2(s) – SISTEMA LINEAL
CONSTANTES DE
CAUDAL O FLUJO
ABERTURAS DE
VALVULAS (0-1)
AREAS DE LOS
TANQUES
𝒉 𝟏= 0.44
𝒉 𝟐= 0.65

29. DIAGRAMA DE BLOQUES (FT)
𝑑𝑢 = −0.001 𝑃𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑎 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
h2= 0.65 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

30. REEMPLAZAMOS LOS VALORES INICIALES DADOS :

31. GRAFICA DE RESPUESTA DE LOS TANQUES
(FUNCION DE TRANSFERENCIA):