Este documento presenta información sobre derivadas parciales. Explica que las derivadas parciales son útiles para estudiar funciones de múltiples variables y resolver problemas de ingeniería y biotecnología de manera más realista al considerar la influencia de múltiples factores. También incluye ejemplos de cálculo de derivadas parciales de primer y segundo orden, y aplicaciones en un modelo matemático de crecimiento biomasa.

1. M A RÍ A CA M A CA RO C.I: 2 962 92 94 .
PA ULA A M A YA C.I: 30880997.
JESÚS DOM OROM O C.I: 3059991 2 .
A STRID NA IM C.I: 302 751 68.
SECCIÓN SAIA B
PROFESORA MARLEN Y CARRERO DE
PARRA
MATEMÁTICA III

2. C OMO IN GEN IEROS UTILIZAMOS MUC H AS H ERRA MIEN TAS C OMO L A
D ERIV AC IÓN Y L A IN TEG RAC IÓN , GRAC IAS A L A C APAC ID AD Q UE
TEN EMOS PA RA ES TUD IA R LAS COSA S MED IAN TE RELACION ES, SIN
EMB ARG O, E S MÁ S R EALISTA PEN SAR Q U E N UESTRO O B JETO D E ESTUD IO
D EPEN D E D E MUC H OS FAC TO R ES Y N O SO LO D E UN O . P O R L O QUE
IN TRO D UC IM OS E L C O N C E P T O D E D ERIV AD AS PARC I ALES PARA P OD ER
RESOL V ER O ID EN TIFIC AR C AUS AS Y C ON SEC UEN C IAS D E UN A MAN ERA
MÁ S REALISTA, ES P O R ESTA RAZÓN QUE EX ISTEN D IV ERSAS
APLIC AC ION ES D E LAS D ERIV AD AS PARC IALES TAN TO E N L A IN G EN IERÍ A
C OMO E N L A B IOTEC N OLOG ÍA .

3. EN CÁLCULO, UNA DERIVADA PARCIAL DE UNA FUNCIÓN DE DIVERSAS
VARIABLES ES SU DERIVADA RESPECTO A UNA DE ESAS VARIABLES CON LAS
OTRAS MANTENIÉNDOLAS CONSTANTES. LAS DERIVADAS PARCIALES SON ÚTILES
EN CÁLCULO VECTORIAL Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL UNA VEZ QUE YA HEMOS
INTRODUCIDO EL TÉRMINO DE FUNCIÓN DERIVADA, PODEMOS ESTUDIAR LAS
DERIVADAS PARCIALES. ÉSTAS SE USAN CUANDO LA FUNCIÓN QUE QUEREMOS
DERIVAR ESTÁ DEFINIDA EN VARIAS VARIABLES, COMO POR EJEMPLO: F(X,Y,Z)=
2XY+X-3YZ
DE FORMA ANÁLOGA A LA DEFINICIÓN DE DERIVADA EN UNA VARIABLE, SE
DEFINE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN VARIAS VARIABLES EN EL PUNTO
A=(A1,A2,…….AN) COMO EL SIGUIENTE LÍMITE:

4. HALLEMOS LAS DERIVAD A S PARCIALE S:
F(X,Y,Z)= 2 XY+X -3YZ.
AL IGU AL QU E DE FINÍ AM OS L A
DE RIV AD A SE GU ND A, COMO L A
DE RIV AD A D E L A DE RIV AD A, TAMB IÉ N
EXISTE N L A S D E RIV A D A S P A RCIAL E S
DE ORD E N 2 , Y D E M A N E RA S UCE S IV A
H A ST A E L ORDE N N -É S IM O QU E SE A
DERIVABL E .
CALCULEMOS LAS SIGUIE NTE S DERIVAD A S:
EN EL P RIME R AP A RT A DO T EN EM OS QUE
DERIVA R RESPECTO DE X DOS VECES :
EN EL SE GU ND O A PA RT AD O, T E NEM OS QU E
UTILIZ A R L A DE RIVA DA E N F U NCIÓN DE X,
Y DE RIV A RL A E N F U N CIÓN D E L A Y . A SÍ
COMO T AMB IÉ N POD RIAM OS UT IL IZ A R L A
DE RIV AD A P A RCIAL RE SP ECT O D E Y, Y
DERIVA RL A RESPECTO DE LA X:

5. PARA POD ER C OMP REN D ER UN P OCO M ÁS ACERCA D E N UEST R O
MOD ELO MATEMÁ TIC O QU E IN V OLUC RA U N PR OB LEMA, D EBEMOS
EN TEN D ER D IFEREN TES C ON C EPTOS QUE E N E L L O S SE B ASA :

6. EL C REC IMI ENTO DE BI OM ASA C ON RESP EC TO AL TI EMP O DE U N REAC TOR
ESTÁ DADO POR L A FUNCIÓN :
• DO NDE S ES LA CO NCENTRACIÓ N DEL SUSTRATO Y E LA CO NCENTRACIÓ N DE LA ENCIMA .
• CALCULAR LA MÁ X IMA TASA DE CAMBIO EN EL RE ACTO R CUANDO LA CO NCENTRACIÓN
DEL SUSTRATO ES DE 2M Y LA CO NCENTRACIÓ N DE LA ENCIMA ES DE 3 M.
• CALCULAR LA TASA DE CAMBIO CUANDO S CAMBIA A 2 .1 Y E CAMBIA A 3 .1 MO LAR, ¿CUÁL
SERÁ LA NUEVA TASA DE CAMBIO ?
Q U I E R E D E C I R Q U E N UE S TR O
C A M B I O T O TA L E N LA
C O N F O R M A C I ÓN D E L A B IO M A SA E S
D E 36 9 . 6 77 . T A M B IÉ N E XP R E S A M O S
Q U E D EB ID O A Q UE E L D I F ER E N C I A L
1 8 3 . 9 7 E S M A Y O R , DE J A M O S
C O N S TA NT E Q U E E L D I F E RE N C I A L
D E L S U S T R A T O E S M Á S S E N S I B L E .

7. C ON RE SPEC TO A LAS D ERIV AD AS PARC I ALES EN L A BIOTEC N OLOG ÍA
Y A LAS MATEMÁ TIC AS EN G ENERAL, C ON C LUIMOS QUE ESTÁ N E N
TOD O S LAD OS Y N O S AYU D AN A REALIZAR A C C ION ES C OTI D IAN AS
SIMPLES PERO PRIN C IPALMEN TE A EN TEN D ER E L MUN D O QUE N OS
ROD EA, C ON T RIB UYEN D O ASÍ A L C AMPO D E L A C IEN C IA, LA
MED IC IN A, L A TEC N OLOG ÍA Y C OMO P UD IMO S C OM PROB AR, A L A
B IOTEC N OLOG ÍA .
P O R L O TAN TO, POD EMOS D ECIR QUE, N OS AYUD AN A RESOLVER
PROB LEMAS Y SITUAC IO N ES Q UE SE PRES EN TEN E N MED IO D E
N UESTROS P ROYEC TOS Y ESTO N OS AYUD ARÁ A TEN ER MÁ S
PREC IS IÓN Y A SE GURA RN O S D E C AD A RESU LTAD O Y D E C A D A
SOLUC IÓN .

8. "LOS ENCANTOS DE ESTA CIENCIA
SUBLIME, LAS MATEMÁTICAS, SOLO
SE REVELAN A AQUELLOS QUE
TIENEN EL VALOR DE PROFUNDIZAR
EN ELLA".
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