2. 2
El problema de Programación Lineal (PL)
Programación Lineal: Introducción
0
,.....,
,
,
....
....
....
....
:
...
/
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
3
3
33
2
32
1
31
2
2
3
23
2
22
1
21
1
1
3
13
2
12
1
11
2
2
1
1
n
m
n
mn
m
m
m
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
a
Sujeto
x
c
x
c
x
c
Min
Max
Función Objetivo
Restricciones
Restricciones de
no negatividad
4. Programación Lineal: Introducción
Definiciones
Un conjunto de variables x1, x2, …., xn que
satisfacen todas las restricciones se llama punto
factible o vector factible.
El conjunto formado por todos los puntos factibles
se llama región factible o espacio factible.
Un PL consiste en encontrar el punto factible que
minimiza (o maximiza) la función objetivo. Este
punto se denomina solución óptima.
4
7. Manipulación del problema
Desigualdades y Ecuaciones
Definición: una variable de holgura es una variable no
negativa, si, con costo igual a “cero” en la función objetivo.
Desigualdad Igualdad: sumando o restando si.
Programación Lineal: Introducción
n
j
i
j
ij b
x
a
1
n
j
i
j
ij b
x
a
1
n
j
i
i
j
ij b
s
x
a
1
0
i
s
n
j
i
i
j
ij b
s
x
a
1
0
i
s
7
8. Manipulación del problema
Igualdad Desigualdad: desdoblando en ≤ y ≥
No negatividad de las variables
Si xj es no restringida en signo se reemplaza por
Programación Lineal: Introducción
n
j
i
j
ij b
x
a
1
n
j
i
j
ij b
x
a
1
n
j
i
j
ij b
x
a
1
j
j
j x
x
x 0
,
j
j x
x
con
8
9. No negatividad de las variables
Si xj ≥ lj se define una nueva variable
Si xj ≤ uj se define una nueva variable
Ejemplo
Programación Lineal: Introducción
j
j
j l
x
x
'
0
'
j
x
con
j
j
j x
u
x
'
0
'
j
x
con
3
s.r.s
6
2
1
2
1
x
x
x
x
3
2
'
2
1
1
1
x
x
x
x
x
Defino:
0
0
,
'
2
1
1
x
x
x
con
9
10. Programación Lineal: Introducción
3
2
'
2
1
1
1
x
x
x
x
x
0
0
,
'
2
1
1
x
x
x
Reemplazando en la restricción x1 + x2 ≥ 6
6
)
3
( '
2
1
1
x
x
x
9
'
2
1
1
x
x
x
0
0
,
'
2
1
1
x
x
x
10
11. Manipulación del problema
Problemas de Maximización y Minimización
Un problema de Max se puede convertir en uno de
Min (y viceversa):
Programación Lineal: Introducción
n
j
j
j
n
j
j
j x
c
Minimo
x
c
Maximo
1
1
Esto es, se multiplican por “-1” los coeficientes de la función
objetivo y una vez resuelto el problema, el valor del
problema original es -1 veces el valor óptimo del nuevo
problema (modificado). 11
12. Programación Lineal: Introducción
Formato
Estándar
Formato
Canónico
Problema de Minimización Problema de Maximización
n
j
x
m
i
b
x
a
a
S
x
c
Min
j
n
j
j
j
ij
n
j
j
j
,...,
1
0
,...,
1
:
.
.
1
1
n
j
x
m
i
b
x
a
a
S
x
c
Max
j
n
j
j
j
ij
n
j
j
j
,...,
1
0
,...,
1
:
.
.
1
1
n
j
x
m
i
b
x
a
a
S
x
c
Min
j
n
j
j
j
ij
n
j
j
j
,...,
1
0
,...,
1
:
.
.
1
1
n
j
x
m
i
b
x
a
a
S
x
c
Max
j
n
j
j
j
ij
n
j
j
j
,...,
1
0
,...,
1
:
.
.
1
1
12
≥ 0 ≥ 0
13. Ejemplo
Escribir en formato estándar
Programación Lineal: Introducción
0
s.r.s
5
10
2
2
6
:
.
.
5
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
S
x
x
x
Min
13
14. Programación Lineal: Introducción
14
A - Sumar "1" del lado izquierdo de la " ≥ "
B - Restar "1" del lado izquierdo de la " ≥ "
C - Restar una variable no negativa (holgura) del lado izquierdo de la " ≥ "
D - Sumar una variable no negativa (holgura) del lado izquierdo de la " ≥ "
PRUEBA
Para convertir la siguiente restricción en igualdad se debe:
3𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 ≥ 1
