ing civil

1. Pauta Interrogación Nº1
Primer Semestre 2005
Optimización
Pregunta 1:
Datos:
N productos diferentes.
M materias primas
Aij materia prima i necesaria por producto j (i = 1,..,m j = 1,...,n)
Aj, Bj, Cj cantidades excluyentes que se fabrica cada producto. También es posible que no
se fabrique. Si es que se instale el filtro, son válidas las cantidades Bj y Cj.
Pj precio por unidad del producto j
Cj costo unitario del producto j
Kj costo fijo en el que se incurre si es que se fabrica el producto j (no depende de cuantos
unidades se produzcan).
Gj cantidad de combustible que se utiliza por unidad de producto j.
G consumo total de petróleo permitido.
H es el consumo máximo si es que se instala un filtro.
R costo de instalar el filtro.
Variables: (6 puntos)



−
−−−−−−−
=



−
−−−−−−−
=



−
−−−−−−−
=



−
−−−−
=
nosi
jproductodelunidadesCjproducesesi
x
nosi
jproductodelunidadesBjproducesesi
x
nosi
jproductodelunidadesAjproducesesi
x
nosi
filtroelcolocasesi
x
Cj
Bj
Aj
0
1
0
1
0
1
0
1
Función Objetivo: Maximizar el beneficio total.
(6 puntos)
( )( ) ( ){ }∑=
+++−−++
n
j
jCjBjAjjjCjjBjjAjj RxKxxxcpxCxBxAMax
1
Restricciones: (4 puntos cada una)

2. ( ){ } ( )
1)1(
1
≤++−
−+≤++∑=
CjBjAj
n
j
jCjjBjjAjj
xxxx
xGHGgxCxBxA

3. Pregunta 2 (3 puntos cada una) Si no tiene explicación no tiene puntaje
a) Falso. Esto es falso, ya que si consideramos el siguiente problema:
2 2
. .
1
0
0
Min x y
s a
x y
x
y
+
+ ≤
≥
≥
En el óptimo no se encuentran todas las restricciones activas (Sólo dos).
b) Falso. Existen problemas que son inconsistentes, y que por ende, no se puede encontrar
ni un óptimo ni una aproximación a la solución.
c) Falso. Puede ser que un problema con un dominio no cerrado tenga solución. Basta con
que las curvas de nivel de la función objetivo sigan el camino de crecimiento (o
decrecimiento) en sentido contrario a la región no cerrada.
d) Falso. Dos modelos equivalentes se refieren a que los puntos óptimos son iguales. No
necesariamente, los valores óptimos de los problemas deben ser iguales.
Pregunta 3
Graficando las restricciones, se tiene el siguiente escenario, donde evaluando las curvas de
nivel dadas por la función objetivo el punto rojo (3,-2) resulta ser el óptimo, con un valor
de -6. Al analizar la función objetivo se observa que la expresión xy va a ser mínima en erl
dominio definido por las restricciones.

4. Pregunta 4
Aplicando las equivalencias de los problemas se tiene que:
( )
1
1
.
max , ,
2
Min
s a
x y x z x y z
x y
µ
µ+ + + − ≤
+ ≤
3 pts
1
1
1
1
.
2
Min
s a
x y
x z
x y z
x y
µ
µ
µ
µ
+ ≤
+ ≤
+ − ≤
+ ≤
3 pts
1
1
1
1
1
1
1
.
2
2
Min
s a
x y
x y
x z
x z
x y z
x y z
x y
x y
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
+ ≤
+ ≥ −
+ ≤
+ ≥ −
+ − ≤
+ − ≥ −
+ ≤
+ ≥ −
2 pts
Problema 5
Datos:
Posición de los focos
A: (0, 75)
B: ( 60, 75)
C: (80,,45 )

5. D: (80, 0)
E: (0,0)
Alarma: (80, 45/2)
Posición preso ( X, Y)
Avenida1:y=75
Avenida2 x=0
Avenida3 y=0
Avenida 4 3*x+2*y-330=0
Avenida 5 x=90
Distancias:
Di: distancia preso al foco i i=A..E
Da = sqrt(x2
+(y-75)2
)
Db = sqrt((x-60)2
+(y-75)2
)
Dc = sqrt((x-80)2
+(y-45)2
)
Dd = sqrt((x-80)2
+(y-0)2
)
De = sqrt((x)2
+(y)2
)
Potencia viene en los datos
Luzi = (k* poti) / di
Ruidok = (alpha*VV) / dk
Distancias preso-avenidas
Dk= distancia preso a la avenida k, k = 1..4
D1= 75-y
D2= x
D3= y
D4= (3*x + 2*y-330) / (32
+22
)
Poner la avenida 5 es redundante ya que tendría que estar dentro de la cárcel
Restricciones:
Todas las variables mayores que cero
5 ≤ x ≤ 80
5 ≤ y ≤ 70 distancia de 5 de las avenidas
y + 3/2x ≤ 160
(x-80)2
+(y-45/2)2
≥ 9 distancia alarma
(x)2
+(y-75)2
≥ 202
Di ≥ 20 distancia mínima a las torres
Función Objetivo
MIN SUM(Luzi)+SUM(Ruidok)

6. D: (80, 0)
E: (0,0)
Alarma: (80, 45/2)
Posición preso ( X, Y)
Avenida1:y=75
Avenida2 x=0
Avenida3 y=0
Avenida 4 3*x+2*y-330=0
Avenida 5 x=90
Distancias:
Di: distancia preso al foco i i=A..E
Da = sqrt(x2
+(y-75)2
)
Db = sqrt((x-60)2
+(y-75)2
)
Dc = sqrt((x-80)2
+(y-45)2
)
Dd = sqrt((x-80)2
+(y-0)2
)
De = sqrt((x)2
+(y)2
)
Potencia viene en los datos
Luzi = (k* poti) / di
Ruidok = (alpha*VV) / dk
Distancias preso-avenidas
Dk= distancia preso a la avenida k, k = 1..4
D1= 75-y
D2= x
D3= y
D4= (3*x + 2*y-330) / (32
+22
)
Poner la avenida 5 es redundante ya que tendría que estar dentro de la cárcel
Restricciones:
Todas las variables mayores que cero
5 ≤ x ≤ 80
5 ≤ y ≤ 70 distancia de 5 de las avenidas
y + 3/2x ≤ 160
(x-80)2
+(y-45/2)2
≥ 9 distancia alarma
(x)2
+(y-75)2
≥ 202
Di ≥ 20 distancia mínima a las torres
Función Objetivo
MIN SUM(Luzi)+SUM(Ruidok)