Método Gráfico Investigación de Operaciones

1. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
Investigacion de Operaciones
M´etodo Gr´afico
Lcda. Clavel Quintana
Universidad Centrocidental
Lisandro Alvarado
19 de febrero de 2011
Lcda. Clavel Quintana
Investigacion de OperacionesM´etodo Gr´afico

2. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
Contenido
1 Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
Lcda. Clavel Quintana
Investigacion de OperacionesM´etodo Gr´afico

3. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
Consideremos el siguiente problema:
max z = 3x1 + x2
s.a:
2x1 + x2 ≤ 6(1)
x1 + 3x2 ≤ 9(2)
x1, x2 ≥ 0
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4. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
PASO 1: Modelar el problema
PASO 2: Expresar en forma gr´afica las desigualdades de restricci´on
PASO 3: Encontrar todos los puntos esquina (Si la regi´on es
acotada) evaluar en la funci´on objetivo.
PASO 4: Trazar una curva de nivel de la funci´on objetivo y graficar
el vector gradiente si el problema es de maximizaci´on Z crece en
direcci´on del gradiente, en caso de minimizaci´on Z decrece en
direcci´on del menos gradiente.
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5. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
Lcda. Clavel Quintana
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6. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
Observe que la regi´on factible es acotada, encontremos entonces
los puntos esquina y evaluemos en Z
A = (0, 0) zA = 0
B = (0, 3) zB = 3
C = (9
5, 12
5 ) zC = 39
5
D = (3, 0) zD = 9
as´ı el punto ´optimo es D y el valor optimal es 9.
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7. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
M´ultiples soluciones
Consideremos ahora el siguiente problema:
max z = 4x1 + x2
s.a:
8x1 + 2x2 ≤ 16(1)
5x1 + 2x2 ≤ 12(2)
x1, x2 ≥ 0
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8. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
Lcda. Clavel Quintana
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9. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
Observe que la regi´on factible es acotada, encontremos entonces
los puntos esquina y evaluemos en Z
A = (0, 0) zA = 0
B = (0, 6) zB = 6
C = (4
3, 8
3) zC = 8
D = (2, 0) zD = 8
as´ı el punto ´optimo es D y el valor optimal es 9.
Lcda. Clavel Quintana
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10. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
Observe que la pendiente de la recta descrita por (1) y la
pendiente de cualquier curva de nivel de z son iguales, esto nos
dice que graficamente se solaparan estas dos curvas as´ı hay
multiples soluciones entre los puntos C y D los cuales producen el
mismo valor de Z, mas a´un cualquier punto entre C y D es soluci´on
y produce el mismo valor de Z. Cu´al es la diferencia entre un punto
entre C y D y el punto esquina D?.
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11. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
No factible
Consideremos ahora el siguiente problema:
max z = x1 + x2
s.a:
x1 + x2 ≤ 4(1)
x1 − x2 ≥ 5(2)
x1, x2 ≥ 0
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12. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
Intersecci´on de los semiespacios VACIA
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13. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
No Acotada
Consideremos ahora el siguiente problema:
max z = −x1 + 3x2
s.a:
x1 − x2 ≤ 4(1)
x1 + 2x2 ≥ 4(2)
x1, x2 ≥ 0
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14. Soluci´on gr´afica de Programaci´on Lineal
Z → ∞
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