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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN: MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

                          EJERCICIOS EXPLICADOS Y RESUELTOS

1. Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan

                                       2x + 3y = 3
                                       x − 2y = 5
                                       3x + 2 y = 7
La matriz aumentada del sistema es:

                                      2 3 3 
                                              
                                      1 - 2 5 
                                      3 2 7 
                                              

Se procede a conseguir el 1 principal en la primera fila y en las siguientes mediante
operaciones elementales de fila y/o de columna.

                    ≈
   2 3 3                          1 3/2 3/2         ≈             1 3/2 3/2 
                       F1                                                     
    1 - 2 5  F2 → F2 − 2          0 - 7/2 7/2  F2 → (2 / 7) F2    0 -1     1 
   3 2 7                         3    2    7  F3 → F3 − 3F1       0 - 5/2 5/2 
             F1 → F1 / 2                                                      

                             1    3/2 3/2      ≈             1   3/2 3/2 
                 ≈                                                       
                               0   -1   1  F3 → F3 + F2       0    1  -1 
            F3 → ( 2 / 5) F3 
                             0    -1   1  F2 → − F2          0    0   0 
                                                                         

En este punto se puede observar que el número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas, por lo que existirá única solución. Se ha obtenido los 1 principales de cada
fila, que tienen a su izquierda y debajo ceros. Comenzando con la última fila no nula,
avanzar hacia arriba: para cada fila obtener un 1 e introducir ceros arriba de éste,
aplicando las operaciones necesarias para conseguirlo.



                  1     3/2 3/2          ≈              1    0 3    
                                                                    
                  0      1  - 1  F1 → F1 + (3 / 2) F2   0    1 -1   
                  0      0   0                          0    0 0    
                                                                    

La solución del sistema es por lo tanto:

                                            x=3
                                           y = −1
2. Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan

                                   2 x + y − 3z = 5
                                   3x − 2 y + 2 z = 6
                                   5 x − 3 y − z = 16

La matriz aumentada del sistema es:

                                   2 1 -3 5 
                                                 
                                   3 - 2 2 6 
                                    5 - 3 - 1 16 
                                                 

Para resolver el sistema por el método de Gauss Jordan, debe llevarse la matriz a la
forma escalonada reducida haciendo operaciones entre filas o columnas. Al observar la
matriz se determina que el mejor paso para obtener el 1 en la primera fila es
      1
 F1 → F1 . Obtenemos la matriz:
      2

                  2 1 - 3 5        ≈      1 1/2 - 3/2 5/2 
                                                          
                  3 - 2 2 6  F → 1 F 3 - 2        2    6 
                   5 - 3 - 1 16  1   2
                                         1                  
                                          5 - 3 - 1 16 

A continuación se muestra el resto del procedimiento, para la solución del sistema
original.

              1 1/2 - 3/2 5/2      ≈             1 1/2 - 3/2 5/2 
                                                                    
             3 - 2    2    6  F2 → F2 − 3F1      0 - 7/2 13/2 - 3/2 
              5 - 3 - 1 16  F3 → F3 − 5 F1       0 - 11/2 13/2 7/2 
                                                                    


                  1 1/2     - 3/2 5/2                          1 1/2 - 3/2 5/2 
      ≈                                       ≈                                
                   0    1   - 13/7 3/7                          0 1 - 13/7 3/7 
F2 → −(2 / 7) F2                        F → F3 + (11 / 2) F2
                  0 - 11/2 13/2 7/2  3                         0 0 - 26/7 41/7 
                                                                               


                                         1 1/2 - 3/2   5/2 
                            ≈                                
                      F3 → −(7 / 26) F3  0 1 - 13/7 3/7 
                                        0 0      1   - 41/26 
                                                             

En este punto de la resolución se ha obtenido los 1 principales de cada fila, que tienen
a su izquierda y debajo ceros. Comenzando con la última fila no nula, avanzar hacia
arriba: para cada fila obtener un 1 e introducir ceros arriba de éste, aplicando las
operaciones necesarias para conseguirlo.

         1 1/2 - 3/2   5/2                                 1 1/2 - 3/2 5/2 
                                  ≈                                          
         0 1 - 13/7 3/7  F → F + (13 / 7) F               0 1      0   - 5/2 
        0 0      1   - 41/26 
                                2 2          3
                                                            0 0      1 - 41/26 
                                                                             


                          1 1/2 0 7/52                               1 0 0 18/13 
            ≈                                 ≈                                    
    F1 → F1 + (3 / 2) F3  0 1 0 - 5/2  F → F − (1 / 2) F             0 1 0 - 5/2 
                          0 0 1 - 41/26  1  1           2
                                                                       0 0 1 - 41/26 
                                                                                   


La solución del sistema es por lo tanto:

                                         x = 18 / 13
                                         y = −5 / 2
                                        z = −41 / 26



3. Determinar los valores de a para que el sistema:


                           (2a + 2) x + (a − 1) y + (a + 3) z = −2
                                    0 x + (a − 1) y − (a − 1) z = 0
                                                  2 x + y − z = −1

 a) Tenga solución única
 b) Tenga más de una solución
 c) No tenga solución


La matriz aumentada del sistema es:

                               2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2 
                                                          
                               0        a - 1 - (a - 1) 0 
                               2         1       -1     -1
                                                          

Si observamos la primera fila vemos que resulta complicado conseguir un 1, de las 3
operaciones elementales, la más fácil de aplicar es F3 ↔ F1 , es decir intercambiamos
la fila 3 por la fila 1.
 2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2             2         1       −1     -1
                                          ≈                                
           0        a - 1 - (a - 1) 0 
                                         F3 ↔ F1  0        a - 1 - (a - 1) 0 
           2         1       -1     -1          2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2 
                                                                           


A continuación se muestra el resto del procedimiento, para la solución del sistema
original (no se divide el 2 de la primera fila para 2, así obteniendo un 1, porque se
complicaría el proceso con las consiguientes fracciones).

         2         1       −1     -1     ≈           2         1     − 1 -1 
                                                                              
         0        a - 1 - (a - 1) 0         F2       0         1     -1 0 
                                       F →
         2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2  2      (a − 1)    2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2 
                                                                              

                       2 1      −1      -1                2 1    −1      -1 
          ≈                                      ≈                           
  F3 → F3 − (a + 1) F1 0 1       -1     0 
                                               F → F3 + 2F2 0 1     -1     0 
                        0 - 2 2(a + 2) a - 1 3             0 0 2(a + 1) a - 1
                                                                             

Aquí podemos observar que el proceso es similar al del método de Gauss, el
determinante de la matriz de coeficientes es 2*2*(a+1), el cual nos servirá para
reemplazar el o los valores de a que encontremos y así determinar cuando existe
solución, infinitas soluciones o no existe solución.

En este punto de la resolución, si queremos hacer 1 al elemento 2(a+1), debemos
garantizar que este elemento es diferente de cero (el coeficiente de la variable z no
debe ser cero, lo cual produciría un error al analizar las soluciones infinitas, única
solución o cuando no existe solución ya que estamos en medio del proceso).


                                        2(a + 1) = 0
                                          a +1 = 0
                                           a = -1
                                    es diferente de cero
                                                       F3
Por lo tanto se puede realizar la operación F3 →              y continuamos con el
                                                     2(a + 1)
proceso.

                                                                       
              2 1    −1      -1        ≈             2 1 −1    -1 
                                                                     
              0 1     -1     0           F3          0 1 -1    0 
                                    F3 →                         a -1 
               0 0 2(a + 1) a - 1      2(a + 1)     0 0 1
                                                    
                                                              2(a + 1) 
                                                                        
≈        2 1 0 [ (a - 1)/2(a + 1)] - 1
                                                                 
                      F2 → F2 + F3  0 1 0 (a - 1)/2(a + 1) 
                      F1 → F1 + F3  0 0 1 (a - 1)/2(a + 1) 
                                                                 

                   2 0 0         -1           ≈    1 0 0        - 1/2      
           ≈                                                               
      F1 → F1 − F2  0 1 0 (a - 1)/2(a + 1)  F → F1  0 1 0 (a - 1)/2(a + 1) 
                    0 0 1 (a - 1)/2(a + 1)  1   2  0 0 1 (a - 1)/2(a + 1) 
                                                                           

Luego de realizado el proceso, observamos que existe el determinante en la matriz de
coeficientes que ya lo determinamos. Analizamos el valor de a hallado en pasos
anteriores (a=-1) y los valores con los cuales los denominadores se hagan cero (se
observa que el valor de a encontrado antes es el mismo que hace que los
denominadores sean cero).

Si a es distinto de -1, el determinante es distinto de cero, luego:
a) ∃! sol∀a ∈ R − { − 1}
No existirá solución si a=-1, ya que el determinante se hace cero, si sustituimos este
valor en las soluciones del sistema, tampoco existirá solución ya que los
denominadores se harían cero, luego:
c) ¬∃sol si a = −1
No existen las infinitas soluciones, ya que como vemos en la matriz a la que llegamos,
aunque la solución del valor de y o z sea igual a cero, sigue existiendo la solución que
sería la trivial, además que no tenemos otro valor de a para analizar, lo que también se
vio al analizar el determinante de la matriz de coeficientes.

En este tipo de problemas se debe usar el método de Gauss-Jordan, ya que al
encontrar las soluciones al sistema de ecuaciones pueden existir otros valores para los
cuales los denominadores de estas soluciones se hagan cero, valores que deben
analizarse para dar respuesta al problema.
Estos valores se deben reemplazar en la matriz ampliada y luego debe aplicarse el
método de Gauss, se determinará si existen infinitas soluciones o no existe solución.

Otra recomendación es: NO SE DEBE ANALIZAR LAS SOLUCIONES EN MEDIO DEL
PROCESO EN CUALQUIERA DE LOS 2 MÉTODOS (GAUSS O GAUSS-JORDAN), ya que esto
lleva a errores en la solución del problema. Tampoco se debe analizar el o los valores
de a directamente en las soluciones del sistema, ya que con un valor de a reemplazado
en las soluciones parecería que existe única solución y sin embargo puede ser que con
este valor en realidad existan infinitas soluciones, se estaría analizando un caso
específico de las infinitas soluciones, lo cual produce un error al dar la respuesta del
problema. O al reemplazar el valor de a directamente en las soluciones parecería que
no existe solución y en realidad este valor produce infinitas soluciones. Por eso se debe
reemplazar estos valores en la matriz ampliada y luego aplicar el método de Gauss,
sólo así se encontrará las verdaderas respuestas.

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  • 1. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN: MÉTODO DE GAUSS-JORDAN EJERCICIOS EXPLICADOS Y RESUELTOS 1. Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan 2x + 3y = 3 x − 2y = 5 3x + 2 y = 7 La matriz aumentada del sistema es: 2 3 3    1 - 2 5  3 2 7    Se procede a conseguir el 1 principal en la primera fila y en las siguientes mediante operaciones elementales de fila y/o de columna. ≈ 2 3 3   1 3/2 3/2  ≈  1 3/2 3/2    F1      1 - 2 5  F2 → F2 − 2  0 - 7/2 7/2  F2 → (2 / 7) F2  0 -1 1  3 2 7  3 2 7  F3 → F3 − 3F1  0 - 5/2 5/2    F1 → F1 / 2     1 3/2 3/2  ≈ 1 3/2 3/2  ≈     0 -1 1  F3 → F3 + F2 0 1 -1  F3 → ( 2 / 5) F3  0 -1 1  F2 → − F2 0 0 0      En este punto se puede observar que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, por lo que existirá única solución. Se ha obtenido los 1 principales de cada fila, que tienen a su izquierda y debajo ceros. Comenzando con la última fila no nula, avanzar hacia arriba: para cada fila obtener un 1 e introducir ceros arriba de éste, aplicando las operaciones necesarias para conseguirlo. 1 3/2 3/2  ≈ 1 0 3      0 1 - 1  F1 → F1 + (3 / 2) F2 0 1 -1  0 0 0  0 0 0      La solución del sistema es por lo tanto: x=3 y = −1
  • 2. 2. Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan 2 x + y − 3z = 5 3x − 2 y + 2 z = 6 5 x − 3 y − z = 16 La matriz aumentada del sistema es: 2 1 -3 5    3 - 2 2 6   5 - 3 - 1 16    Para resolver el sistema por el método de Gauss Jordan, debe llevarse la matriz a la forma escalonada reducida haciendo operaciones entre filas o columnas. Al observar la matriz se determina que el mejor paso para obtener el 1 en la primera fila es 1 F1 → F1 . Obtenemos la matriz: 2 2 1 - 3 5  ≈  1 1/2 - 3/2 5/2      3 - 2 2 6  F → 1 F 3 - 2 2 6   5 - 3 - 1 16  1 2 1      5 - 3 - 1 16  A continuación se muestra el resto del procedimiento, para la solución del sistema original.  1 1/2 - 3/2 5/2  ≈  1 1/2 - 3/2 5/2      3 - 2 2 6  F2 → F2 − 3F1  0 - 7/2 13/2 - 3/2   5 - 3 - 1 16  F3 → F3 − 5 F1  0 - 11/2 13/2 7/2       1 1/2 - 3/2 5/2   1 1/2 - 3/2 5/2  ≈   ≈   0 1 - 13/7 3/7   0 1 - 13/7 3/7  F2 → −(2 / 7) F2  F → F3 + (11 / 2) F2  0 - 11/2 13/2 7/2  3  0 0 - 26/7 41/7       1 1/2 - 3/2 5/2  ≈   F3 → −(7 / 26) F3  0 1 - 13/7 3/7  0 0 1 - 41/26    En este punto de la resolución se ha obtenido los 1 principales de cada fila, que tienen a su izquierda y debajo ceros. Comenzando con la última fila no nula, avanzar hacia
  • 3. arriba: para cada fila obtener un 1 e introducir ceros arriba de éste, aplicando las operaciones necesarias para conseguirlo.  1 1/2 - 3/2 5/2   1 1/2 - 3/2 5/2    ≈    0 1 - 13/7 3/7  F → F + (13 / 7) F 0 1 0 - 5/2  0 0 1 - 41/26  2 2 3 0 0 1 - 41/26       1 1/2 0 7/52   1 0 0 18/13  ≈   ≈   F1 → F1 + (3 / 2) F3  0 1 0 - 5/2  F → F − (1 / 2) F  0 1 0 - 5/2   0 0 1 - 41/26  1 1 2  0 0 1 - 41/26      La solución del sistema es por lo tanto: x = 18 / 13 y = −5 / 2 z = −41 / 26 3. Determinar los valores de a para que el sistema: (2a + 2) x + (a − 1) y + (a + 3) z = −2 0 x + (a − 1) y − (a − 1) z = 0 2 x + y − z = −1 a) Tenga solución única b) Tenga más de una solución c) No tenga solución La matriz aumentada del sistema es:  2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2     0 a - 1 - (a - 1) 0   2 1 -1 -1   Si observamos la primera fila vemos que resulta complicado conseguir un 1, de las 3 operaciones elementales, la más fácil de aplicar es F3 ↔ F1 , es decir intercambiamos la fila 3 por la fila 1.
  • 4.  2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2   2 1 −1 -1   ≈    0 a - 1 - (a - 1) 0  F3 ↔ F1  0 a - 1 - (a - 1) 0   2 1 -1 -1  2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2      A continuación se muestra el resto del procedimiento, para la solución del sistema original (no se divide el 2 de la primera fila para 2, así obteniendo un 1, porque se complicaría el proceso con las consiguientes fracciones).  2 1 −1 -1 ≈  2 1 − 1 -1       0 a - 1 - (a - 1) 0  F2  0 1 -1 0  F →  2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2  2 (a − 1)  2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2      2 1 −1 -1  2 1 −1 -1  ≈   ≈   F3 → F3 − (a + 1) F1 0 1 -1 0  F → F3 + 2F2 0 1 -1 0   0 - 2 2(a + 2) a - 1 3  0 0 2(a + 1) a - 1     Aquí podemos observar que el proceso es similar al del método de Gauss, el determinante de la matriz de coeficientes es 2*2*(a+1), el cual nos servirá para reemplazar el o los valores de a que encontremos y así determinar cuando existe solución, infinitas soluciones o no existe solución. En este punto de la resolución, si queremos hacer 1 al elemento 2(a+1), debemos garantizar que este elemento es diferente de cero (el coeficiente de la variable z no debe ser cero, lo cual produciría un error al analizar las soluciones infinitas, única solución o cuando no existe solución ya que estamos en medio del proceso). 2(a + 1) = 0 a +1 = 0 a = -1 es diferente de cero F3 Por lo tanto se puede realizar la operación F3 → y continuamos con el 2(a + 1) proceso.   2 1 −1 -1  ≈  2 1 −1 -1      0 1 -1 0  F3  0 1 -1 0  F3 → a -1   0 0 2(a + 1) a - 1 2(a + 1) 0 0 1     2(a + 1)  
  • 5.  2 1 0 [ (a - 1)/2(a + 1)] - 1   F2 → F2 + F3  0 1 0 (a - 1)/2(a + 1)  F1 → F1 + F3  0 0 1 (a - 1)/2(a + 1)    2 0 0 -1  ≈ 1 0 0 - 1/2  ≈     F1 → F1 − F2  0 1 0 (a - 1)/2(a + 1)  F → F1  0 1 0 (a - 1)/2(a + 1)   0 0 1 (a - 1)/2(a + 1)  1 2  0 0 1 (a - 1)/2(a + 1)      Luego de realizado el proceso, observamos que existe el determinante en la matriz de coeficientes que ya lo determinamos. Analizamos el valor de a hallado en pasos anteriores (a=-1) y los valores con los cuales los denominadores se hagan cero (se observa que el valor de a encontrado antes es el mismo que hace que los denominadores sean cero). Si a es distinto de -1, el determinante es distinto de cero, luego: a) ∃! sol∀a ∈ R − { − 1} No existirá solución si a=-1, ya que el determinante se hace cero, si sustituimos este valor en las soluciones del sistema, tampoco existirá solución ya que los denominadores se harían cero, luego: c) ¬∃sol si a = −1 No existen las infinitas soluciones, ya que como vemos en la matriz a la que llegamos, aunque la solución del valor de y o z sea igual a cero, sigue existiendo la solución que sería la trivial, además que no tenemos otro valor de a para analizar, lo que también se vio al analizar el determinante de la matriz de coeficientes. En este tipo de problemas se debe usar el método de Gauss-Jordan, ya que al encontrar las soluciones al sistema de ecuaciones pueden existir otros valores para los cuales los denominadores de estas soluciones se hagan cero, valores que deben analizarse para dar respuesta al problema. Estos valores se deben reemplazar en la matriz ampliada y luego debe aplicarse el método de Gauss, se determinará si existen infinitas soluciones o no existe solución. Otra recomendación es: NO SE DEBE ANALIZAR LAS SOLUCIONES EN MEDIO DEL PROCESO EN CUALQUIERA DE LOS 2 MÉTODOS (GAUSS O GAUSS-JORDAN), ya que esto lleva a errores en la solución del problema. Tampoco se debe analizar el o los valores de a directamente en las soluciones del sistema, ya que con un valor de a reemplazado en las soluciones parecería que existe única solución y sin embargo puede ser que con este valor en realidad existan infinitas soluciones, se estaría analizando un caso específico de las infinitas soluciones, lo cual produce un error al dar la respuesta del problema. O al reemplazar el valor de a directamente en las soluciones parecería que no existe solución y en realidad este valor produce infinitas soluciones. Por eso se debe reemplazar estos valores en la matriz ampliada y luego aplicar el método de Gauss, sólo así se encontrará las verdaderas respuestas.