Unidad 2. El método simplex

2. 2.1. Solución gráfica de un problema lineal.
2.1.1. Puntos extremos y optimalidad.
2.1.2. Tipos de solución.
2.2. Teoría del método simplex.
2.3. Solución básica factible.
2.4. Solución básica factible mejorada.
2.5. Forma tabular del método simplex.
CONTENIDO

3. SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN PROBLEMA LINEAL
El método Gráfico permite la resolución de
problemas sencillos de programación lineal de
manera intuitiva y visual, basado en los siguientes
pasos:
• Dibujar un sistema de coordenadas cartesianas
en el que cada variable de decisión esté
representada por un eje.
• Establecer una escala de medida para cada uno
de los ejes adecuada a su variable asociada.
• Dibujar en el sistema de coordenadas las
restricciones del problema, incluyendo las de
no negatividad (que serán los propios ejes).
• Determinar la región factible o espacio de
soluciones. Si esta región es no vacía, se
continuará, de lo contrario, no existe solución.
• Determinar los puntos candidatos para la
solución óptima.
• Evaluar la función objetivo en todos los vértices
y aquél (o aquellos) que maximicen (o
minimicen) el valor resultante determinaran la
solución óptima del problema.

4. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX
El Método Simplex es un método analítico de solución de
problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más
complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin
restricción en el número de variables.
Es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en
cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el
método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice
vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de
la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el
número de vértices que presenta un poliedro solución es finito
siempre se hallará solución.

5. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX
En el proceso de formulación de un modelo de programación lineal con el método
simplex se deben definir:
Las variables:
Representan los elementos del sistema a modelar que son controlables por el
decisor. En los modelos lineales continuos estas variables toman como valores
números reales y se representan por letras con subíndices. Ejemplo:
X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades)
X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades)
X3 = Cantidad de camas a producir (unidades)
X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)
Las restricciones:
Representan las limitaciones prácticas de determinados recursos o imposiciones
físicas de la realidad. Se expresan como ecuaciones e inecuaciones lineales de las
variables de decisión. Ejemplo:
2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 <= 24
2X1 + 2X2 + 1X3 <= 20
2X3 + 2X4 <= 20
4X4 <= 16

6. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX
La función Objetivo:
Se trata de la función que mide la calidad de la solución y que hay que optimizar (maximizar
un beneficio o minimizar un coste). También es una función lineal de todas o parte de las
variables de decisión.
ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4
Convertir las inecuaciones en ecuaciones
En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado que todas las
restricciones son "<=".
2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 24
2X1 + 2X2 + 1X3 + 0X4 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = 20
0X1 + 0X2 + 2X3 + 2X4 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = 20
0X1 + 0X2 + 0X3 + 4X4 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1S4 = 16
De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variables de
holgura las cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo la variable
de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1 en la restricción correspondiente a el recurso 1.

7. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX
La solución básica inicial
El Método Simplex parte de una solución básica inicial para realizar todas sus
iteraciones, esta solución básica inicial se forma con las variables de coeficiente diferente de
cero (0) en la matriz identidad.
1S1 = 24
1S2 = 20
1S3 = 20
1S4 = 16
Definir la tabla tabular simplex inicial
Cj
Cb Variable
Solución
Solución
Zj
Cj - Zj

8. SOLUCIÓN INICIAL MÉTODO SIMPLEX

9. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX
Realizar las iteraciones necesarias
Este es el paso definitivo en la resolución por medio del Método Simplex, consiste en
realizar intentos mientras el modelo va de un vértice del poliedro objetivo a otro. El
procedimiento a seguir es el siguiente:
1. Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la solución óptima:
Maximizar Minimizar
Variable que entra La más positiva de los Cj - Zj La más negativa de los Cj - Zj
Variable que sale Siendo b los valores bajo la
celda solución y a el valor
correspondiente a la
intersección entre b y la
variable que entra. La
menos positiva de los b/a.
Siendo b los valores bajo la
celda solución y a el valor
correspondiente a la
intersección entre b y la
variable que entra. La más
positiva de los b/a.

10. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX
En este caso todos los Cj – Zj son iguales, por tanto la decisión se toma al azar “X4”,
los valores de “a” son los que se encuentran en la columna “X4”: 2, 0, 2 y 4
respectivamente, los valores “b” son 24, 20, 20 y 16 respectivamente. Cuando el valor
de “a” es menor o igual a cero, éste no se toma en cuenta.
En la columna “b/a” se encuentran los resultados de la respectiva operación siendo
el menos positivo el resultado 4, por consecuencia la variable que sale es “S4”.

11. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX
El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solución implica
una serie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarán a
continuación.
Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en
este caso el "a = 4".

12. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX
Lo siguiente es rellenar el resto de la tabla fila por fila.

13. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX
Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, haciendo los cálculos
correspondientes en el resto de las celdas.

14. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX
De esta manera se culmina la primera iteración, este paso se repetirá cuantas
veces sea necesario y solo se dará por terminado el método según los siguientes
criterios.
Maximizar Minimizar
Solución Óptima
Cuando todos los Cj - Zj
sean <= 0
Cuando todos los Cj - Zj
sean >= 0

15. SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE
En Programación Lineal una Solución
Básica Factible (SBF) es aquella que
además de pertenecer a la región o área
factible del problema se puede representar
a través de una solución factible en la
aplicación del Método
Simplex satisfaciendo las condiciones de
no negatividad.
En este contexto una solución básica
factible corresponderá a uno de los
vértices del dominio de factibilidad cuya
coordenada o solución se puede
representar a través de un conjunto de
restricciones activas.

16. SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE MEJORADA
Es la solución que produce el
mejor valor en la función
objetivo y está compuesta por
todas y cada una de las variables
con sus respectivos valores
(incluye tanto variables de
decisión como variables de
holgura y/o de excedente).
El conjunto de los vértices de la
región factible se denomina
conjunto de soluciones factibles
básicas y el vértice donde se
presenta la solución óptima se
llama solución máxima o
mínima.
Área de
solución
factible
Solución
óptima

17. FORMA TABULAR DEL MÉTODO SIMPLEX