diseño de sotano

1. J. Calavera
Dr. Ingeniero de Caminos
MUROS DE CONTENCION
Y
MUROS DE SOTANO
2.a edición

2. A Eduardo Torroja (t), Juan Batanero (t),
Carlos Fernández Casado (t), Alfredo Páez
y Florencio del Pozo, a los que debo mi vo-
cación y mi primera formación en los temas
estructurales.

3. PROLOGO A LA l? EDICION
Los muros, como algunas otras estructuras tales como las cimentaciones y los
depósitos para líquidos, presentan la particularidad de que son elementos que impli-
can dos especialidades diferentes de la Ciencia de la Construcción. Quizá por eso la
normalización sobre ellos es escasa y la dispersión de los criterios aplicados en la
práctica profesional resulta mayor de la habitual. Por otro lado los muros, como los
depósitos para líquidos, presentan aspectos muy particulares desde el punto de vista
de la consideración de la seguridad en los cálculos.
El presente libro intenta desarrollar en forma completa el proyecto tanto de los
diversos tipos de muros de contención como de los muros de sótano. En el caso parti-
cular de los muros pantalla, por la extensión del tema resulta imposible hacerlo en
el espacio disponible. De todas formas el Capítulo ll proporciona una visión general
de su campo de aplicación, métodos de cálculo y proceso constructivo.
Estando la geotecnia fuera del campo de mi práctica profesional, me he concen-
trado fundamentalmente en los problemas del cálculo estructural, aunque he dedica-
do el Capítulo 3 a realizar un resumen de los métodos habituales de cálculo de empu-
jes, con una atención específica a la exposición de los casos de sobrecargas y cargas
sobre el relleno que con más frecuencia se presentan en la práctica, así como a las
acciones del oleaje y a las derivadas del sismo.
El Capítulo 13 se ha dedicado al tema de los detalles constructivos, siempre im-
portante, pero que en los muros resulta verdaderamente fundamental.
Se han incluido como Anejos siete colecciones de muros ménsula hasta 10 m.
de altura y de muros para uno y dos sótanos, que proporcionan soluciones comple-
tas, incluso medición de hormigón y armaduras, para los casos más frecuentes.
Debo expresar mi agradecimiento a los Ingenieros de Caminos, D. Enrique
González Valle, Subdirector General de INTEMAC, y D. José Tapia Menéndez, Jefe
del Departamento de Geotecnia y Cimentaciones de dicho Instituto, por sus críticas
y sugerencias sobre el manuscrito y al Ingeniero Técnico de 0. P. D. Fernando Blan-
co García, Director de la División de Asistencia Ténica de INTEMAC por su colabo-
ración en la redacción de las Tablas de Muros. También al Ingeniero de Caminos
D. Javier Rodríguez Besné, Jefe del Servicio de Proyectos y Obras de la Dirección
General de Puertos del M.O.P.U., por su información y revisión de la parte de empu-
jes producidos por el oleaje, y a los Ingenieros de Caminos D. Jorge Ley Urzaiz y
7

4. i
D. Fernando Rodríguez López, colaboradores en mi Cátedra de Edificación y Prefa-
/
bricación de la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid, por su revisión general
del texto.
Gracias también a las Srtas. María José Giménez y Carmen Bardon, que meca-
l nografiaron el original, a D. Antonio Machado y D. Fernando Marcos, que delinea-
ron las figuras, gráficos y tablas, así como a INTEMAC por su ayuda en la edición
de este libro.
~
Madrid, enero de 1987
J. CALAVERA

5. PROLOGO A LA 2.a EDICION
Agotada en un plazo muy breve la primera edición de este libro, al preparar esta
segunda, he mantenido su plantearnieto general, si bien introduciendo algunas modifi-
caciones y ampliaciones.
En particular, toda la documentación, incluso los gráficos y tablas de cálculo y
las siete colecciones de muros ya calculados, ha sido revisada de acuerdo con la Ins-
trucción EH-88.
En el apartado 6.3.2, correspondiente al dimensionamiento de la puntera, he tra-
tado el tema de la diferencia entre mayorar los esfuerzos o los empujes, tema impor-
tante que he tratado con más amplitud en otro trabajo que allí cito.
El el Capítulo ll se han añadido dos ejemplos, que clarifican el cálculo de esfuer-
zos en pantallas en voladizo y con apoyos, respectivamente.
También el Capítulo 12 ha experimentado algunas adiciones correspondientes a
nuevas soluciones de muros prefabricados.
Madrid, diciembre de 1989
J. CALAVERA
9

6. NOTACIONES DE REFERENCIAS
1. Las referencias a otros apartados del libro se realizan por su número.
P. ej.: «Véase 10.7...»
2. La notación entre corchetes indica fórmulas.
[los]
3. La notación entre paréntesis indica referencias bibliográficas.
(10.2)
es la segunda referencia bibliográfica del Capítulo 10.
Las referencias bibliográficas de cada Capítulo figuran al lina1 del mismo.
4. La notación GT- indica gráficos o tablas situados al final del libro.
10

7. CAPITULO 1
TIPOLOGIA GENERAL DE MUROS
1.1 INTRODUCCION
El carácter fundamental de los muros es el de servir de elemento de contención
de un terreno, que en unas ocasiones es un terreno natural y en otras un relleno artifi-
cial. (Fig. l-la).
En la situación anterior, el cuerpo del muro trabaja esencialmente a flexión y
la comprensión vertical debida a su peso propio es generalmente despreciable.
b)
Figura IrI
l l

8. Sin embargo, en ocasiones el muro desempeña una segunda misión que es la de
transmitir cargas verticales al terreno, en una función de cimiento. La carga vertical
puede venir de una cubierta situada sensiblemente a nivel del terreno (Fig. 1-lb), o
puede ser producida también por uno o varios forjados apoyados sobre el muro y
por pilares que apoyen en su coronación transmitiéndole las cargas de las plantas
superiores. (Fig. 1 - 1 c).
Las formas de funcionamiento del muro de contención (Fig. 1 - 1 a), y del de sóta-
no (Fig. 1-lb y c), son considerablemente diferentes. En el primer caso el muro se
comporta como en voladizo empotrado en el cimiento, mientras que en el segundo
el muro se apoya o ancla en él o los forjados, mientras que a nivel de cimentación
el rozamiento entre cimiento y suelo hace innecesaria casi siempre la disposición de
ningún otro apoyo. El cuerpo del muro funciona en este segundo caso como una losa
de uno o varios vanos.
1.2 DESIGNACIONES
Tomando el caso más común de muro, emplearemos las designaciones que se
indican en la Fig. l-2 (*).
TALON
PUNTERA
Figura l-2
1.3 TIPOS GENERALES DE MUROS DE CONTENCION
A continuación se describen en líneas generales los más frecuentes. En capítulos
sucesivos se analiza en detalle cada uno de ellos (**).
(*) En lo que sigue utilizo información de mi libro «Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón
Armado para Edificios» (1.1).
(**) No se incluyen en lo que sigue los muros anclados con tirantes, que constituyen una técnica específi-
ca que se sale del alcance de este libro.
12

9. 1.3.1 MUROS DE GRAVEDAD
Son muros de hormigón en masa (Fig. l-3) en los que la resistencia se consigue
por su propio peso. Normalmente carecen de cimiento diferenciado (Fig. l-3a),
aunque pueden tenerlo. (Fig. l-3b).
aI b)
Figura 1-3
Su ventaja fundamental es que no van armados, con lo cual no aparece en la
obra el tajo de ferralla. Pueden ser interesantes para alturas moderadas y aun eso,
sólo si su longitud no es muy grande, pues en caso contrario, y en definitiva siempre
que el volumen de muro sea importante, la economía que representan los muros de
hormigón armado justifica la aparición del tajo de ferralla.
1.3.2 MUROS MENSULA
Son los de empleo más corriente (Fig. l-4) y aunque su campo de aplicación de-
pende, lógicamente, de los costes relativos de excavación, hormigón, acero, encofra-
dos y relleno,
Figura 1-4
13

10. puede en primera aproximación pensarse que constituyen la solución económica has-
ta alturas de 10 ó 12 m.
1.3.3 MUROS DE CONTRAFUERTES
Constituyen una solución evolucionada de la anterior, en la que al crecer la altu-
ra y por lo tanto los espesores de hormigón, compensa el aligerar las piezas. Esto
conduce a ferralla y encofrados más complicados y a un hormigonado más dificil y
por lo tanto más costoso, al manejarse espesores más reducidos. Sin embargo, a par-
tir de los 10 ó 12 m. de altura es una solución que debe tantearse para juzgar su inte-
rés. Pueden tener los contrafuertes en trasdós (Fig. l-5a) o en intradós (Fig. l-Sb),
aunque la primera solución es técnica y económicamente mejor, por disponer el alza-
do en la zona comprimida de la sección en T que se forma. La segunda solución,
al dejar los contrafuertes vistos produce además, generalmente, una mala sensación
estética.
al b)
Figuru I-5
1.3.4 MUROS DE BANDEJAS
Su concepto es muy diferente del que origina el muro de contrafuertes. Aquí no
se trata de resistir el mismo momento flector, aumentando el canto y aligerando la
sección, sino de reducir los momentos flectores debidos al relleno mediante los produ-
cidos por la carga del propio relleno sobre las bandejas. (Fig. l-6).
Su inconveniente fundamental radica en la complejidad de su construcción. Pue-
de resultar una alternativa al muro de contrafuertes para grandes alturas.
1.3.5 MUROS CRIBAS Y OTROS MUROS PREFABRICADOS
El concepto de muro criba de piezas prefabricadas tiene su origen en muros análo-
gos realizados antiguamente con troncos de árboles (Fig. l-7a). El sistema (Fig. l-7b)
emplea piezas prefabricadas de hormigón de muy diversos tipos que forman una red
espacial que se rellena con el propio suelo.
14

11. a) b)
Figura l-b
Figura l-7
Existen además varios sistemas de muros prefabricados que ne general correspon-
den a los sistemas de muros ménsula o muros de contrafuertes, y que se analizan en
el Capítulo 12.
1.4 TIPOS GENERALES DE MUROS DE SOTANO Y CONTENCION
El tipo más elemental se indica en la Fig. 1-8 y recibe como única carga vertical,
aparte su peso propio, la reacción de apoyo del forjado de techo.
15

12. Figura l-8
Dentro de la tipología general, el caso más frecuente es que sobre el muro apo-
yen pilares que transmiten cargas de las plantas superiores y que existan además va-
rios sótanos, tal como se indica en la Fig. l-9.
Figura l-9
Dependiendo de que el terreno contenido sea o no de propiedad ajena y de la
relación entre empujes y cargas verticales, el cimiento va o no centrado respecto al
muro.
La ejecución de este tipo de muros puede ser con encofrados (Capítulo 10) o rne-
diante el pr.ocedimiento de muros pantalla (Capítulo ll).
BIBLIOGRAFIA
(1.1) CALAVERA. J.; «Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón Armado para Edifi-
cios)). Tomo II. INTEMAC. Madrid, 1985.
16

13. CAPITULO 2
INTRODUCCION DE LA SEGURIDAD
2.1 FORMAS DE AGOTAMIENTO
En general el muro puede alcanzar los siguientes estados límites, de servicio o
últimos.
a) Giro excesivo del muro considerado como un cuerpo rígido (Fig. 2-l).
b) Deslizamiento del muro. (Fig. 2-2).
Figura 2-l Figura 2-2
17

14. c) Deslizamiento profundo de muro (Fig. 2-3). Es debido a la formación de una
superficie de deslizamiento profunda, de forma aproximadamente circular.
Este tipo de fallo puede presentarse si existe una capa de suelo blando en una
profundidad igual a aproximadamente a vez y media la altura del muro, conta-
da desde el plano de cimentación de la zapata (2.1). En ese caso debe inves-
tigarse la seguridad frente a este estado límite, por los procedimientos clásicos.
Véase por ejemplo la referencia (2.2).
Figura 2-3
d) Deformación excesiva del alzado. (Fig. 2-4). Es una situación rara salvo en
muros muy esbeltos, lo cual es un caso poco frecuente.
Figura 2-4
e) Fisuración excesiva. (Fig. 2-5). Puede presentarse en todas las zonas de trac-
ción, y se trata de una fisuración especialmente grave si su ancho es excesivo,
ya que en general el terreno está en estado húmedo y la fisuración no es ob-
servable.
18

15. Figura 2-5
f) Rotura porflexión. (Figs. 2-6 a, b y c). Puede producirse en el alzado, la pun-
tera o el talón. Como las cuantías en muros suelen ser bajas, los síntomas
de prerrotura sólo son observables en la cara de tracción, que en todos los
casos esta oculta, con 10 cual no existe ningún síntoma de aviso.
g)
3
a) b)
Figura 2-6
Rotura por
tacón (Fig.
esfuerzo cortante. Puede presentarse en
2-7).
alzado. puntera, talón 0
Figura 2-7
19

16. h) Rotura por esfuerzo rasante. La sección peligrosa suele ser la de arranque del
alzado, AB (Fig. 2-X), que es una junta de hormigonado obligada, en zona
de máximo momento flector y máximo esfuerzo cortante.
Figura 2-8
i) Rotura por &allo de solape. La sección peligrosa suele ser la de arranque de
la armadura de tracción del alzado, donde la longitud f, de solape (Fig. 2-9)
debe ser cuidadosamente estudiada, ya que por razones constructivas el sola-
pe se hace para la totalidad de la armadura en la zona de máximos esfuerzos
de flexión y corte.
Figura 2-9
2.2 INTRODUCCION DE LA SEGURIDAD
En algunos aspectos, en general los correspondientes al muro como estructura
de hormigón, los coeficientes de seguridad están claramente establecidos, de acuerdo
con la Instrucción EH-88 (2.3).
En otros aspectos, tales como la seguridad al vuelco y a deslizamiento, no hay
normativa española concreta.
2 0

17. 2.2.1. SEGURIDAD DEL MURO COMO ESTRUCTURA DE HORMIGON
EN MASA
De acuerdo con la Instrucción EH-88 rigen los valores siguientes para los coeli-
tientes de seguridad.
Resistencia del hormigón a compresión
Resistencia del hormigón a tracción
Control reducido ~~1 = 2,04
Restantes casos y; = 1,8
Control reducido ri = 2,04
Restantes casos y(: = 1,8
El valor Y’~ correspondiente a hormigón armado es igual a 1,2 yc, de acuerdo con
EH-88 siendo yc el valor general de la citada Instrucción para estructuras de hormi-
gón armado.
Mayoración de acciones. Rigen los valores de la tabla T-2.1 para el coeficiente y,.
TABLA T-2.1
VALORES DEL COEFICIENTE y,
Acciones yr
I I I
Nivel de
Control de
Ejecución
Reducido
Normal
Intenso
Daños
previsibles
(1)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
Acción
desfa-
vorable
1,70
180
1,50
1,60
1,80
1,40
1,50
1,70
Acción favorable
de carácter
Permanente Variable
079 0
(1) Daños previsibles:
A) Muros cuyo fallo sólo puede ocasionar daños minimos y exclusivamente materiales.
B) Muros cuyo fallo puede ocasionar daños de tipo medio.
C) Muros cuyo fallo puede ocasionar daños muy importantes.
21

18. TABLA T-2.2
COEFICIENTES DE SEGURIDAD ‘//
Valor del coeficiente de seguridad
&iones (3) ‘yr
Normal
Intenso
(1) No se adoptará en el cálculo una resistencia de proyecto mayor de 150 kp/cm2.
(2) Hormigón para elementos prefabricados en instalación industrial permanente con control in-
tenso.
(3) Se podrá reducir el valor y,en un 5 por 100 cuando la hipótesis y el cálculo sean muy rigurosos,
se consideren todas las combinaciones de acciones posibles y se estudien con el mayor detalle
los anclajes, nudos, apoyos, enlaces, etc.
(4) Daños previsibles:
A) Muros cuyo fallo sólo puede ocasionar daños mínimos y exclusivamente materiales.
B) Muros cuyo fallo puede ocasionar daños de tipo medio.
C) Muros cuyo fallo puede ocasionar daños muy importantes.
22

19. Conviene hacer algunas matizaciones en relación con la aplicación de la tabla
T-2.1, establecida en EH-88 con carácter general, al caso de los muros de hormigón
en masa.
En primer lugar, como ya se ha dicho, esta solución, por razones fundamental-
mente económicas, sólo suele aplicarse a muros de pequeña altura, por lo que en ge-
neral y desde el punto de vista de los daños previsibles, se estará en caso A o B y
muy raramente en el caso C, aunque ello queda a criterio del proyectista.
En segundo lugar, al comprobar las tensiones de tracción, el peso propio será
en general una acción permanente de carácter favorable, por lo que le corresponderá
el valor ‘I’/ = 0,9. (*)
Para comprobación a sismo, de acuerdo con P.D.S.-1 (1974) (2.4) se toma-
rá y/ = 1.
2.2.2 SEGURIDAD DEL MURO COMO ESTRUCTURA DE HORMIGON
ARMADO
Rigen los valores indicados en la tabla T-2.2.
Rige, respecto al carácter favorable de la carga permanente, lo dicho en el apar-
tado anterior y tampoco en este caso emplearemos el coeficiente 0,9.
Para comprobación a sismo, de acuerdo con P.D.S.-1 (1974) (2.4) se tomará
?r)r= 1.
2.2.3 SEGURIDAD A VUELCO
No existe una normativa española concreta. Es práctica usual aceptar una segu-
ridad de 1,8 para las acciones frecuentes y reducir este valor a 15 para combinaciones
que incluyan acciones infrecuentes 0 excepcionales.
En el caso particular de comprobación a sismo, el valor suele reducirse a 1,2.
2.2.4 SEGURIDAD A DESLIZAMIENTO
Tampoco existe normativa española concreta, aunque suele adoptarse un valor
mínimo de 15, excepto para las comprobaciones a sismo, en que dicho valor suele
reducirse a 1.2.
2.2.5 SENSIBILIDAD AL INCREMENTO DE EMPUJE
En el Capítulo 3 se resume el cálculo de empuje producido por el terreno, sus
variaciones de humedad y los distintos tipos de sobrecargas de posible actuación y
quedará claro su carácter fuertemente aleatorio.
(*) En sentido estricto, esto debería hacerse asi. Como los errores en densidad y dimensionales son pe-
queños en el caso de los muros, no lo haremos pues complicaría innecesariamente el cálculo.
23

20. Consideremos el muro de la figura
ultante de todas las cargas verticales.
2-10 sometido a un empuje E, siendo N la re-
Figura 2-10
Su seguridad a vuelco será
a-N
G’ = h,E P.11
Si por causas cualesquiera el empuje se incrementa hasta un valor E * = yt,. E,
el nuevo valor del coeficiente de seguridad a vuelco será
es decir
Análogamente la seguridad a deslizamiento será
WI
v.31
siendo p el coeficiente de rozamiento entre muro y terreno de cimentación y al incre-
mentarse Ea Er = y,E, resultará
c*, =LN.d
YJ
~2.41
es decir
12.51
24

21. En ambos casos por tanto los coeficientes de seguridad se han reducido en la
misma proporción que han aumentado los empujes.
Si consideramos en cambio la presión máxima bajo la puntera, al mayorarse E
hasta E* = yp E la presión resultante c* no es, ni mucho menos, y~. sino que puede
exceder grandemente este valor.
Resulta de ello que, dependiendo de la configuración del conjunto muro-suelo,
a incrementos dados, incluso moderados del empuje, pueden corresponderles muy
desiguales incrementos de la presión bajo la puntera y por tanto muy diferentes segu-
ridades del muro.
Esta sensibilidad al incremento de empuje es, a nuestro juicio, esencial en el pro-
yecto de muros, y será estudiada en detalle en los Capítulos siguientes. Véase (2.5).
BIBLIOGRAFIA
(2.1) TENG, W. C.; «Foundation Design». Prentice-Hall. New Jersey. 1962.
(2.2) JIMENEZ SALAS, J. A. et al. «Geotecnia y Cimiento». Editorial Rueda. Madrid.
1980.
(2.3) xlnstrucción para el proyecto y la ejecución de obras de hormigón en masa o armado))
(EH-88). MOPU. Madrid. 1988.
(2.4) P.D.S.-1 (1974). Parte A. Normativa. Separatas del Boletín Oficial del Estado. Madrid.
1974.
(2.5) CALAVERA, J.; CABRERA, A.; <<Un método para el proyecto de muros de contención)).
Informes de la Construcción. NP 210. Mayo, 1969.
25

22. CAPITULO 3
EMPUJES DEL TERRENO SOBRE LOS MUROS,
CARGAS Y SOBRECARGAS ACTUANTES
SOBRE EL TERRENO
3.1 CONCEPTOS GENERALES
La presión del terreno sobre un muro está fuertemente condicionada por la de-
formabilidad del muro, entendiendo por tal no sólo la deformación que el muro expe-
rimenta como pieza de hormigón, sino también la que en el muro produce la defor-
mación del terreno de cimentación.
Si el muro y el terreno sobre el que se cimenta son tales que las deformaciones
son prácticamente nulas, se está en el caso de empuje al reposo. Algunos muros de
gravedad y de sótano pueden encontrarse en ese caso.
Si el muro se desplaza, permitiendo la expansión lateral del suelo se produce un
fallo por corte del suelo y la cuña de rotura avanza hacia el muro y desciende (tig. 3-
la). El empuje se reduce desde el valor del empuje al reposo hasta el denominado
valor de empuje activo, que es el mínimo valor posible del empuje.
Por el contrario, si se aplican fuerzas al muro de forma que éste empuje al relle-
no, el fallo se produce mediante una cuña mucho más amplia, que experimenta un
ascenso. Este valor recibe el nombre de empuje pasivo y es el mayor valor que puede
alcanzar el empuje. El empuje al reposo es por tanto de valor intermedio entre el em-
puje activo y el empuje pasivo.
La figura 3-2 muestra la variación de presión p a una profundidad z, para un
relleno de densidad y, en función del giro y/H del muro, para una arena suelta, según
TERZAGHI (3.1). Como puede verse, bastan deformaciones muy pequeñas para
movilizar el empuje activo.
27

23. al b)
Figura 3-1
-0 002 0 0.002 0.004 0.c
R E L A C I O N VH
Figura 3-2
06
Como se ha indicado anteriormente, al producirse el fallo del terreno se produce
un corrimiento vertical relativo entre terreno y muro,‘que moviliza la fuerza de roza-
miento entre ambos.
Si no hay información procedente de ensayos directos, para terrenos granulares
puede aceptarse que el ángulo 6 de rozamiento con muros de hormigón es 6 = 20”.
Este valor no se ve afectado por el grado de humedad del suelo. (3.2).
Para terrenos cohesivos puede suponerse que la resistencia a corte a lo largo del
trasdós del muro (3.3), viene dada por la expresión
z=a+atgd f3.11
28

24. donde a es el valor de la adhesión, 0 la presión normal del terreno sobre el muro
en el punto considerado y 6 el ángulo de rozamiento entre terreno y muro, que de
nuevo a falta de ensayos directos se tomará como 20” para el caso de muros de hormi-
gón. Para la adhesión no deben considerarse valores superiores a 5 t/m*.
3.2 CALCULO DEL EMPUJE ACTIVO
En el estado actual de conocimiento podemos calcular los empujes del terreno
con razonable precisión en el caso de suelos granulares. Para otros tipos de suelo des-
graciadamente la precisión es poco satisfactoria.
3.2.1 TEORIA DE COULOMB PARA SUELOS GRANULARES
Este caso, el más frecuente en muros, especialmente si se quiere drenar el suelo
del trasdós por razones económicas y/o estéticas, fue resuelto por COULOMB en
1773. (3.4).
-,...ax.
I
El
!
l l
I !H
! 1
IF
Figura 3-3
Para un terreno de forma cualquiera (fig. 3-3) la mejor solución es el procedi-
miento gráfico. Suponiendo una línea de rotura recta, habrán de estar en equilibrio
el peso p, de la cuña de suelo comprendida entre el muro y la línea de rotura, la reac-
ción E, del muro contra el suelo, igual y contraria al empuje activo sobre el muro,
y la reacción F del terreno sobre la cuña, que formará con la normal a la línea de
rotura un ángulo igual al de rozamiento interno del terreno, cp. Los valores de cp,
a falta de ensayos directos, pueden tomarse de la tabla T-3.1 que contiene también
valores orientativos de las densidades secas de los distintos terrenos.
29

25. TABLA T-3.1
CLASE DE TERRENO
Grava arenosa
Arena compacta
Arena suelta
Pedraplen
DENSIDAD ANGULO DE ROZAMIENTO
SECA y INTERNO
(t/m’l cp
24 39-45”
270 3945”
197 30”-35”
13 350-45”
El método consiste en proceder por tanteos sucesivos. Elegido un punto 1 como
posible origen de una cuña de deslizamiento, se calcula el peso P, de la cuña, y en
el polígono vectorial de la figura se trazan los vectores Ea y F correspondientes, am-
bos de direcciones conocidas. El valor de E,, se lleva a partir de un origen EF conven-
cional. El cálculo se repite para varios puntos 1, 2, 3 . . . . Tres tanteos suelen ser smi-
tientes para determinar el punto G correspondiente a la cuña de empuje máximo, que
es el empuje activo. Con ello se tiene el punto C y la posición NC de la superficie
de rotura de la cuña correspondiente.
La posición de la resultante de las presiones sobre el muro, es decir el empuje
activo, puede obtenerse con suficiente aproximación trazando por el c.d.g. de la cuña
MNC la parela a NC hasta cortar al trasdós del muro.
Este empuje, conocido en posición y magnitud, permite, como veremos, compro-
bar la estabilidad a vuelco y deslizamiento del muro y calcularlo como estructura de
hormigón.
Para el caso de relleno limitado por una línea recta (fig. 3-4) son fáciles el plan-
teamiento analítico y la tabulación de los resultados.
Los valores de las componentes ph y pv de la presión en un punto A del trasdós
situado a profundidad z bajo la coronación vienen dados por las expresiones:
Ph = y& 13.21
PI, = YZA 13.31
donde
L3.51A, = Ah ’ cotg (a - 6)
siendo y la densidad seca del suelo (*).
La presión total p, viene dada por
p=Jpí:+d
(*) La presencia de agua en el relleno será considerada más adelante, así como las correspondientes varia-
ciones en el valor dey.
30

26. ci‘ llFigura 3-4
y sustituyendo [3.2] y [3.3]
p = yzJ$ + 1: = ylz
que forma un ángulo 6 con la normal al trasdós.
13.61
La distribución de presiones varía linealmente con la profundidad, con valor
nulo en coronación. Las tablas T-3.2 y T-3.3 tomadas de (3.5), proporcionan los coe-
ficientes A-,, y A, para diferentes valores de rp, 6, /I y a.
TABLA T-3.2
COEFICIENTES DE EMPUJE ACTIVO
-
“tz
IC
ie
te1
d e
m
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21
ua- d
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B 0.8 0,6 0.4 0.2 0 0.2 0.8 0.6 0,4 0,2 0
0,7l 0,67 0,62 0,56 0,49 0,42 0,57 W 0,25 0,ll O,oO
0,78 0,73 0,67 O,@J 0,52 W 0,62 09 0,27 O,l2 O,M
0,88 0,8l 0,74 0,65 0,57 0,48 0,70 0,49 0,29 O,l3 400
l,Ol 0,92 0,83 0,74 O,@ 0954 0,8l 0,55 0,33 0,IS ON
(47 1,31 l,l6 l,O2 0,88 0,76 l,l8 0,79 446 0,20 O,@J
0,63 WI 0,56 0,5l 0,45 0,39 0364 0.46 0,28 0.16 0,05
0,70 0266 0,62 0,56 0,48 0,42 0.71 0,5l 0.31 O,l8 f-406
0,80 0,75 0,68 0,6l 03 04 0,8l 0,58 0,34 0,20 O&
0,95 0,87 0,79 0,70 0,6l 0,52 0,96 0,67 0,39 0,23 0,07
l,47 1.21 l,l6 l,O2 0,88 0,76 (49 l,Ol 0,58 0,33 OJO
0,56
0.63
0,73
0,88
1,47
0,49
0,56
0966
0,82
1,47
0354 0,52 0948 0,42
0,6l 0,57 0,52 0,46
0,69 0364 0,58 0,5l
0,82 0,75 0,67 0,59
l,3l l,l6 l,O2 0,88
0,72 0,53 0,36 0,22 OJO
0,8l WJ 0,40 0,24 0,ll
0,93 0,67 0,45 0,27 O,l2
l,l3 0,8l 0,53 0,3l O,l4
l,88 l,28 0,82 0,47 0,2l
0,49 0,47 04 W
0,55 0,53 0948 04
0364 0360 0,55 0,49
0,77 0,7l 0764 0,57
l,3l l,l6 l,O2 0,88
0,37
W
0944
W
0,76
0,35
0,38
0,42
09
0,76
0,80 460 0,42
0,92 0,69 0,47
I,O8 0,78 03
l,35 l,Ol 0,69
2,42 l,62 L@l
,
0,27 0,IS
0,29 O,l6
0,33 O,l8
0,39 0,2l
O,@ 0,32
Coeliciente Ah de empuje activo horizontal Coefieien~e 1 y de empuje activo vertical
siendo la inclinación del muro: siendo la inclinación del muro:
cota = cota =
02
- 0,OI
-O,o!
-O,l(
-0,ll
-O,l!
- 0,o:
- 0,o:
-0,01
- O,@
- 0,ot
40
40
0,o:
0,o:
0,o.
40
401
W
40
41
31

27. TABLA T-3.2
COEFICIENTES DE EMPUJE ACTIVO (continuación)
AI
de
ln
im
te3
lgul0
rOn-
iellt0
temo
del
Té”0
cp
25”
30”
32
de
0”
P=
3
3” 20
Yi!=
3
6” 40’
<p=
25”
0”
s!T=
3
lo”
yyP=
3
200
<p=
30”
flgd0
del
alud
del
Te”0
B
Coeficiente Ah de empuje ac11vo horizontal Co&iente 1,de empuje ac1ivo vertical
siendo la inclinación del muro: siendo ka inclinanón del muro.
co1 z = cota =
0.8 0.6 0.4
0”
lo”
15”
20”
25”
0.65
0.79
0,89
1.03
l,55
MO
),12
),80
),92
1,35
0” 0.56
lo” 0.70
15” 0.80
20” 0.96
25” 1.55
1.53
),65
),73
),86
1.35
0” 0.48
lo” 0.61
15” 0,72
20” 0.88
25” 1.55
),47
),58
3.67
3.80
l,35
0” 0.4
lo” 0,53
15” 0,63
20” 0,79
25” l,55
3,4l
0,52
MJ
Ll,74
1.35
0” WJ
lo” 0,71
20” 0,89
25” W
30” UO
0,54
0.64
0,78
09
l,36
0” 0,50 0,47
lo” 0.61 0.56
20” 0.79 0,7l
25 0.95 0.84
30” 1.60 l,36
0” 0,4l 0.40
lo” 0,52 0,49
20” 0,69 0,63
25” 0,86 0,77
30” 1960 l,36
OO 0,32 0,3?
lo” 0,42 0,4i
20” 0.58 0,sc
25” 0,75 0,7(
30” L60 1,3t
0 0,2 0.8 0.6 0.4 0
),55
1.64
3,70
3,80
1.16
0,48 0,4l
0.55 0,46
uo 0,50
0.69 0,57
0.98 0.82
),33
),37
1.41
),4
),68
0.52 0,36
D,63 0.43
0.71 0,48
0.82 0.55
1.24 0,8l
),22
j.26
),28
),32
),46
3.10
0.11
D,l2
D,l4
0,20
3.49
0.58
0.65
0.76
l,l6
0.4 0,37
0.51 0,43
0.56 0,47
0.65 0.55
0,98 0,82
3,30
3,34
3,38
WJ
3,68
0.60
0,75
0,86
1.03
l,ti
0,43
0,53
O,@
0.70
1.10
1.28
1.34
),38
1.4
),67
0.16 0,05
II,18 W
0,20 0,07
0.23 0.08
0,35 O,l2
o,u
0.53
o,QJ
0,7l
l,l6
W 0,35
0,47 0.40
0.53 0,45
0,62 0,52
0,98 0.82
D,29 0.69 0,5l
D,33 0,88 0.64
0,37 Lo4 0,73
ll,42 1.27 0.88
LI,68 2,24 l,47
3,35
3,42
3,48
0,56
D,92
0.21 0,lO
0.25 O,l2
0.28 O,l4
0,33 0.16
0.52 0,25
0.39 0.37 0.32
0.48 0.4 0,38
0.56 0,50 0.43
0.67 0.59 0,50
l,l6 0,98 0,82
0,27 0,Sl 0.60 0,42 0.27 O,l5
0,3l l,O7 0,77 0.51 0.32 O,l8
0,35 l,27 0,89 0.60 0,37 0,20
0,4l 1.60 1.10 0,7l 0,43 0,23
0,68 3,13 l,W 1.23 0,72 0.38
0,48 0.41 0,33 0,26 0,48 0.33 0.19 0.08 W
0,55 0.46 0.37 0,28 0,57 0,38 0,22 oS@ 0.00
0.67 0,55 444 0,33 0,7l 0,47 0,27 0,ll O,M
0,77 0.63 0,50 0,38 0,83 0,54 0,3l O,l3 O,oO
l,l4 0,93 0,75 0,59 l,28 0,82 0.45 0.19 O,oO
0,42 0,37 0,30 0,24 0,57 0,4l 0,26 O,l4 0,05
0.50 0,42 0.34 0,27 0,69 0,49 0.31 O,l6 WJ
0,6l 0.51 0,4l 0.32 0.90 0,62 0,38 0,20 0,07
0.72 0.60 0,48 0,37 LO8 0,73 0.45 0,23 0.08
1.14 0.93 0.75 0,59 0,82 l,l8 0,7l 0,36 O,l3
0.37 0,33 0,28 0,22 0,68 0,49 0,33
O,M 0.39 0,32 0,25 0,85 O,@ 0.39
0,56 0,48 0,39 0,30 1313 0,78 0,50
0,67 0.57 0,46 0.35 l,4l 0,96 0,60
(14 0,93 0,75 0,59 2,63 l,68 (02
0.20 OJO
0,24 O,l2
0,29 O,l4
0,35 O,l7
0,57 0,27
0,33 0,30 0,26 0.21 0,82 O,@ 0,4l
0,39 0,35 0,30 0,24 LO7 0,76 09
0,5l 04 0,37 0,29 L@ l,Ol 0,65
0,62 0,53 OY 03 l,92 l,26 0,79
l,l4 0.93 0,75 0,59 4,lO 2,45 1.44
0,26 0,IS
0,3l 0.17
0,39 0,2l
0,47 0,25
0,82 0,43
0.2
0.07
0,07
-0.08
.0,09 ,
-0.14 I
0,o; ,
,0.0;
0,o; ,
0.0; ,
0,oi I
0,o: I
0.0: I
0.0: I
O.@ I
o,ot 5
0.01
0,o 1
0,OIì
0.H 1
0,l’ 1
- 0,o:5
- 0,Ol5
- 0,o7
- op 8
-0,l 2
- 0,oI
- 0,o I
- 0,o1
-0,Ol
- 0,Ol
0,03
0.04
0,05
0,05
0.09
0,07
0,os
0,lO
0.12
0,20

28. TABLA T-3.3
COEFICIENTES DE EMPUJE ACTIVO (continuación)
4ngLi
del
talud
del
terren
B
Coeliaente Ah de empuje activo horizontal Coeticiente iv de empuje activo vertical
siendo la inclinación del muro: siendo la inclinación del muro:
cota = cota =
038 036 ti4 0.2 0 0,2 038 0.6 64 0.2 0 0.2
0”
15”
25”
30”
35”
W 0,49 0,42 0,35
0,70 0,6l 0,5l 0,42
0,88 0,75 0,62 W
404 0.88 0,72 0,57
l,63 l,35 l,lO 0,87
0” 04 0,4l 0,37 0,3l
15” O,@ 0,53 O,& 0,38
25” 0,77 0,67 0,57 0,4fJ
30” 0,94 0,Sl 0,67 0.54
35” l,63 1.35 IJO 0,87
0” 0,35 0,34 0,32 0,28
15” 0,49 0746 0,4l OY
25” 0366 O,@ 0,52 0,43
30” 0,83 0,73 0,62 0,5l
35” l,63 l,35 (10 0,87
0” 0,25 0,27 0,27 0.24
15” 0.36 0.37 0,35 0,3l
25” 0,52 0,5l 0.46 0.39
30” 0.69 O,@ 0,57 0,48
35” l,63 l,35 l,lO 0,87
0” 0,49 044 0,37 0.29
15” 0,63 0,53 44 OY
25” 0,76 O,M 0,52 WJ
35” l,O2 0,84 0,67 0,51
40” 1364 l,32 I,O5 0,80
0” 0,40 0.36 0,3l 0,26
15” 0.52 04 0,39 0,3l
25” 0.65 0,56 046 0.36
35” 0,92 0,77 0,62 0.48
40” W l,32 l,O5 0,80
0” 0,30 0,29 0,27 0,23
15” 0.41 0,38 0.33 0,28
25” 0,52 0,48 0,4l 0,33
35” 0,79 0,69 0.58 0,45
40” L@ l,32 1,05 0,80
0” 0,lS 0,2l
15” 0,26 0,29
25” 0,35 0,37
35” 0,59 0,58
40” W l,32
0,22 0,20
0,28 0,24
0,35 0,29
0,5l 0.42
l,O5 0,80
roza- (
lento
enlo
del
TenO
<p
15” -
10” -
‘
d e
0,27 0,20 0,43 0,29 O,l7 0.07 O,oO ~ 0.04
0,32 0,23 0.56 0,37 0,20 0,08 O,oO ~ 0,OI
0,38 0,27 0.70 0,45 0,25 0.10 040 - O.O?
04 0,3l 0,83 0,53 0,29 0.11 0.00 -O,(H
0,67 0,50 l,3l 0,SI 04 O,l7 O,oO -0.N
0,25 0.18 0.53 0,38 0,24 O,l3 0,05 O.o(
0,29 0,2l 0,72 0,49 0,30 O,l6 0,06 O,M
0,35 0,25 0,93 0,62 0,38 O,l9 0,07 W
0,4l 0,30 l,l3 0.75 04 0,23 0,08 O.o(
0,67 W l,96 l,24 0,73 0.37 O,l4 0.K
0,22 O,l7 0,Sl 0,47 0,32 0,19 0,lO 0.04
0,27 0.20 0,92 0764 0.41 0.23 0.12 O,M
0,33 0,24 l,24 0.83 0,52 0,30 O,l4 O,O!
0,39 0,29 l,56 l,O2 0,62 0.35 O,l7 O,ot
0,67 0,50 3,07 l,88 IJO 0.60 0,29 0,II
0,2l O,l6 0,85 O@ 0,41 0,26 O,l4 0,oi
0,25 O,l9 l,23 0,83 0,53 0,30 O,l7 0.08
0,3l 0,23 l,77 1.14 0,70 0.37 0,22 O.IC
0,37 0,27 2,35 l,43 0,87 0.46 0,26 O,l2
0,67 0,50 5,57 3,03 l,68 0,9l 0,47 0,22
0,22 0.15 0,39 0,26 O,l5 0906 O.@J - 0,03
0,25 O,l7 0.50 0,32 0,lS 0,07 WJ - 0,03
0,29 0.19 0,6l 0,38 0,2l 0,08 O,oO -0,04
0,37 0.24 0,82 0.50 0,27 0,lO 400 - 0,05
0,59 0,4l l,3l 0,79 0,42 O,l6 @oO - 0,08
0,20 O,l4 0,5l 0.35 0,22 0.12 0.05 0.00
0.23 O,l6 466 0,45 0.27 O,l4 0,05 0,Ol
0,27 0,lS 0,83 0,55 0.32 O,l6 0,06 0,Ol
0,35 0,23 1.18 0.76 04 0,22 0,08 0,Ol
0,59 0,4l 2,lO l,30 0,74 0,37 O,l4 0,Ol
0,lS O,l3 0,65 W 0,30 0,lS O,@ O,@l
0,2l 0,IS 0.89 0,60 0,37 0,22 0.10 W
0,25 O,l7 l,l3 0,76 0.46 0.26 0.12 0.05
0.33 0.22 l,72 Lo9 0,65 0,35 O,l7 0,06
0,59 0,4l 3.57 2,08 1.19 0,62 0,30 011
O,l6 O,l2 0,89 0,6l 0340 0,25 O,l4 0,07
O,l9 O,l4 l,30 0.84 0,52 0.30 O,l6 0,08
0,23 O,l6 l,74 l,O7 0,65 0,36 0,19 409
0,3l 0,21 2,94 I ,68 0,95 0,52 0,26 0,II
0,59 0,4l 8,17 3,83 l,95 IN 0,49 0.22
y mnrc
6
0”
!?=
3
ll”40
-=
3
23” 20’
cp=
35”
0”
‘PT
3
l3”20’
yP=
3
26” 40
<p=
40”
33

29. TABLA T-3.3
COEFICIENTES DE EMPUJE ACTIVO (continuación)
0"
15"
30”
40”
45”
0”
15
30”
40”
45”
0”
15”
30”
40”
45”
0”
15”
30”
40”
45”
4ngulo
le roza-
Coclixnte iv de empuje activo vertical
siendo la inclinación del muro:
cota =
Coeficiente Ah decmpuyeactivo horizontal
siendo la ~nclmaaón del muro:
cot dl =
tiento
Itemo
del
'nen
'p
d e T -
0 . 8 0.6 0.4
0.45 0,38 0,32
0,56 0,47 0,37
0,73 WJ 0,47
0,99 0,79 0,61
l,62 l,28 0,98
1
0 . 2 0
0,24 O,l7 0,II 0,36
0,28 O,l9 0,12 0,45
0,34 0,23 O,l4 0,58
0,45 0,30 O,l8 0,79
0.72 0,50 0,32 l,30
0,35 0,32 0,27 0,2l O,l4
0,45 0,39 0,32 0,25 OJ8
0,55 0,52 0,42 0,3l 0,22
0,88 0,72 0,57 0,42 0,29
l,62 1.28 0.98 0,72 0.50
0,25 0,25 0,22
0,33 0,3l 0,27
0,48 0,43 0,36
0,74 W 0,52
1.62 1.28 0.98
0,19 O,l4 O,@
0.22 O,l6 0,lO
0,28 0,20 O,l3
0,39 0,27 O,l7
0.72 0.50 0.32
0,ll O,l6 0.17
O,l6 0,2l 0,22
0,25 0,3l 0,30
0.45 0,50 0.45
1.62 1.28 0,98
0.16 0.13 0.09
0.19 0,IS 0.10
0,25 0.18 O,l2
0,35 0,25 OJ6
0.72 0,50 0.32
0 . 8 0.6 0.4 0 . 2 0
0,23 O,l3 0,05 0.00
0,28 O,l5 0,06 0.00
0,36 0,19 0,07 OJO
0,47 0,24 0,09 0.00
0,77 0,39 O,l4 0.00
0,48 0,33 0,20
0,6l 04 0,24
0,75 0.54 0,3l
l,20 0.74 0,43
2.20 1,32 0.73
OJO 404
0.12 0,05
O,l5 0,06
0,2l 0,08
0,36 O,l3
464
0,84
l,23
l,89
4.15
O,M
0,56
0,77
1.15
2,3l
0,28 O,l6 0,08
0,34 O,l9 0.09
0,46 0,25 0,II
0,66 0.34 0.16
1.25 0,63 0.29
0.97 0.63 0.40 0.24 O,l3
l,M 0.84 0,51 0.28 O,l5
2325 1.24 0,70 0.37 O,l8
4,05 2.00 l,O5 0.52 0,25
l4,60 5.12 2,29 1.08 0.50
0.2
OJO
0,ll
O,l3
O,l7
0,32
0.2
- O,O?
- 0.02
- 0.03
- 0,04
- 0.06
0,Ol
0.01
0.01
0.01
0.02
0,oi
0,oi
W
o.ot
0.11
o.ot
0.0
0.01
0.1
0.2
T
,
0”
9:
3
15”
*=
3
30”
cp=
45”
Los componentes Eh, E,, horizontal y vertical respectivamente, del empuje total
E, por unidad de longitud de muro, vienen dadas por las expresiones
13.71
El punto de aplicación del empuje total E = JE,f + E:, está situado a una pro-
fundidad y desde la coronación del muro, dada por la expresión
i3.91
Para el caso particular, pero muy frecuente, de superficie de terreno horizontal
(/3 = 0), ángulo 6 = 0 y trasdós del muro vertical (c( = 90“) las expresiones [3.4] y
[3.5] se transforman en
[3. lo]-- 1 - sen cp
hh - 1 + sen <p
siendo naturalmente A,, = 0
34

30. y el empuje es horizontal, está situado a profundidad 7 y tiene como valor
H21 -sencp
E=E,,=y-
2 l+sen<p
[3.1 l]
3.2.2 METODO GRAFICO DE PONCELET
Consiste en una construcción gráfica, cuya demostración omitimos (ver p.ej. la
referencia (3.7)) y que permite el cálculo gráfico del empuje activo, aspecto realmente
hoy de escaso interés disponiendo de tablas, y del ángulo 0 correspondiente a la cuña
de deslizamiento, cuyo valor necesitaremos más adelante. (Fig. 3-5).
Figura 3-5
La construcción consiste en trazar AM, formando el ángulo <p con la horizontal.
Por la coronación N se traza NO formando el ángulo cp + 6 con el trasdós y se deter-
mina el punto 0. Sobre AM se traza una semicircunferencia y por 0 la perpendicular
a AM hasta obtener B. Con centro en A y radio AB se determina C en AM y se
traza CD paralela a NO. AD es el plano de deslizamiento y 0 el ángulo correspon-
diente. El empuje vale
-5 = Y
CD.DE
2
y actúa a profundidad r formando ángulo 6 con la normal al trasdós.
3.2.3 TEORIA DE RANKINE PARA SUELOS GRANULARES
La teoría de RANKINE para el cálculo de empujes (3.6) se basa en las hipótesis
de que el terreno presenta superficie libre plana y está en el llamado estado Rankine,
35

31. en el cual presenta dos series de superficies planas de rotura, formando ángulos de
45 f 2 con la horizontal (*).
Para el caso particular de trasdós vertical (fig. 3-5) las componentes ph, pv de
la presión a profundidad z vienen dadas por las expresiones
Ph = yzA’,
Pv = YZA’,
Figura 3.6
siendo
1
-
2
~-
T
1
xh = coti~
cos b - Jcosz fi - cos’ cp
cos/.l+ cos /3 - cos cp
1’” = sen fl cos j?
cosp - cos p - cos cp
cos #I + Jcos2 /Y? - cos2 q
H
[3.12]
El empuje varía linealmente con la profundidad y sus valores vienen dados por
Eh = ,$t?‘h [3.14]
estando su resultante a profundidad i H.
(*) Para una exposición del tema puede verse JIMENEZ SALAS (3.7).
36

32. Obsérvese que si además de a = 90” se supone /? = 6, las expresiones [3.4] y [3.5]
se transforman en las [3.12] y [3.13]. Si /3 = 6 = 0, se tiene
siendo ñ’, = 0.
II, =l-sencp
h
1 + senfq [3.16]
Es decir, que la teoria de COULOMB para trasdós vertical y superficie de terre-
no de ángulo /? igual al 6 de rozamiento del terreno con el muro conduce al mismo
valor del empuje que la de RANKINE. En particular ambas teorías coinciden para
trasdós vertical y superficie de relleno horizontal si 6 = 0.
3.2.4 CASO DE MUROS CON TALON
Sin embargo, si el muro en lugar de carecer de talón, como ocurre en los casos
indicados en las figuras 3-3, 3-4 y 3-5, lo tiene como se indica en la figura 3-7, que
es caso frecuente en muros ménsula y muros de contrafuertes, la situción es distinta
ya que la masa de tierra ABCD descansa sobre el talón y de hecho si el muro gira
o desliza, lo hace con él.
al b)
Figura 3- 7
El cálculo del empuje en este caso no está resuelto satisfactoriamente (*) y lo nor-
mal es calcularlo de acuerdo con lo expuesto en 3.2.1 ó 3.2.2. Sin embargo el CODE
OF PRACTICE «EARTH RETAINING STRUCTURES» de la Institution of
Structural Engineers británica (3.2) recomienda un método interesante que resumi-
mos a continuación.
(*) JIMENEZ SALAS, SERRANO y ALPAÑES, en la referencia (3.7), tomo II, recogen esta dispersión
de criterios y señalan como frecuente el cãlculo por la teoría de RANKINE, aunque con algunas
reservas.
37

33. Para el cálculo del muro como cuerpo rígido, a vuelco y deslizamiento, el empuje
se calcula también según 3.2.1 pero actuando sobre un trasdós virtual AB, pasando
por el extremo del talón, pero en este caso la presión se calcula para un valor 6 = <p.
(Fig. 3-7b).
El método puede suponer un ahorro importante en aquellos casos en que las
condiciones de vuelco o deslizamiento sean críticas en el proyecto, pero como vere-
mos más adelante, esto precisamente no es frecuente en los muros con talón.
Un método más riguroso de cálculo de empujes en muros con talón es el que
exponemos en 9.2.
3.2.5 SUELOS COHESIVOS
No existe un método satisfactorio de cálculo de los empujes en este caso. Una dis-
cusión detallada puede verse en la referencia (3.7). La Norma NBE-AE- (3.5) reco-
mienda que si no se realizan determinaciones directas de las características del terreno
se suponga, conservadoramente, que la cohesión es nula, y se utilicen por tanto las
tablas T-3.2 y T-3.3. La publicación (3.2) contiene recomendaciones prácticas, que
no se recogen aquí por su extensión, pero que distinguen los casos de arcillas no fisu-
radas, limos y arcillas parcialmente saturadas y arcillas rígidas fisuradas.
3.3 CASO DE EXISTENCIA DE CARGAS SOBRE EL TERRENO
Tanto en Edificación como en Obras Públicas son frecuentes los casos de sobre-
cargas de tipos muy variados, que a continuación se estudian.
3.3.1 CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA
Se supone indefinida en el sentido del muro y de valor q por unidad de longitud
de talud tal como se indica en la figura 3-8. Considerando la cuña MNC de la figura,
aplicamos el método de COULOMB.
1
Figura 3-8
38

34. El peso de la cuña MNC, a profundidad H, incluida la sobrecarga correspon-
diente, es
P, = t yl& sen (u + fl) + ql [3.17]
El peso P, se iguala al de una cuña NMC de un terreno virtual de densidad ticti-
cia yI, de donde
I yl2 & sen @ + B) + ql = f 14
H
~ sen
sen a
y por tanto
y,=y+%
sen a
H sen (a + fi)
y como en ambos casos el empuje ha de ser el mismo
E = f iy,H’
donde
sustituyendo yI, se tiene
H2
o bien
E=flyH2+IqH
sen a
sen (a + /?)
fa + B)
[3.18]
La fórmula [3.18] indica que el empuje producido por una sobrecarga q por uni-
dad de longitud de talud es el mismo que el producido por una altura adicional de
tierras tal que
yhe=q
sen a
sen (u + /?)
de donde
h, = !!
y sen”;a”T j?) (*)
[3.19]
Si fi = 0, h, = 4
Y
[3.20]
(*) Debe prestarse atención a que la Norma NBE-AE- (3.5) da h, = 5 (q’es la sobrecarga por uni-
dad de proyección horizontal), lo cual como hemos visto sólo es cierto para superficie de terreno
horizontal, o para muro con trasdós vertical, como puede verse haciendo fl = 0 h, = ; o
,
a=90 (he=*=5
c 1
siendo q’ la carga por unidad de proyección horizontal), en [3.19]. (La nor-
ma NBE-AE- es una reedición literal de la MV-101 publicada en 1962).
39

35. De acuerdo con [3.18], la presión adicional debida a la sobrecarga es
Ph = ihq
sen a
sen (a + /?)
PY = A”4
sen a
sen (a + b)
siendo E. = JAí:+x
P =Aq
sen a
sen (a + fl)
[3.21]
y su diagrama es rectangular tal como se indica en la figura 3-8. El diagrama total
de presiones es por tanto trapecial.
La profundidad del punto de aplicación del empuje total es de deducción inme-
diata, resultando
2yH+3q
sen a
Y, = H
sen (a + /?)
3yH+6q
sen a
sen (a + p)
Si /? = 0,
y =H2YH+3q *
R 3yH+6q( )
[3.22]
[3.23]
3.3.2 CARGA EN BANDA PARALELA A LA CORONACION (**)
De acuerdo con TENG (3.3), y según la figura 3-9, para el caso de trasdós verti-
cal y superficie de terreno horizontal, llamemos:
pq presión horizontal en el punto A
q carga en la banda, por unidad de superficie
La presión real contra un muro rígido es doble de la obtenida por la aplicación
de la teoría de la elasticidad.
pq = $[j? - sen/3 coslw] !***) [3.24]
donde p es el valor del ángulo en radianes.
(*) De nuevo NBE-AE- adopta [3.23] como expresión general, cuando sólo es válida para 0 = 0 o
bien para <y = 90” si q es la sobrecarga por unidad de proyección horizontal.
(**) Este caso puede ser resuelto también dividiendo la carga en banda en varias cargas lineales parale-
las y aplicando el método simplificado que se expone en 3.3.3b.
(***) Para muros no rígidos, como es lo frecuente, el valor 2q puede sustituirse por 1,5q.
4 0

36. La distribución de presiones varía de acuerdo con lo que se indica esquemática-
mente en la figura 3-9t1.
:.r” 2
/’-9q
al b)
3.3.3 CARGA EN LINEA PARALELA A LA CORONACION
a) Método basado en la teoría de la elasticidad
A partir de 3.3.2, puede resolverse este caso haciendo tender a cero el ángulo
fi (Fig. 3-10). Llamando z a la profundidad del punto considerado A, y N a la carga
lineal por unidad de longitud, para p z sen p z 0, se tiene
Ap = = B¿MN=-- P-MP=p
cos w (‘os 0 co.+ <o
Figura 3-10
b)

37. Deberá cumplirse
BzN=qMP=q&
de donde
48 =
N cos o
z
Para p Ñ sen /? Ñ 0, [3.24] toma la forma
PN = cos2w) = *sen2w
7c
[3.25]
[3.26]
y sustituyendo [3.25] y [3.26]
[3.27]
b) Método simplificado de TERZAGHI
El CIVIL ENGINEERING CODE OF PRACTICE (3.2) a la vista de las incer-
tidumbres en la aplicación de la teoría de elasticidad a los suelos, adopta un método
simplificado, debido a TERZAGHI, que resumimos a continuación.
Figura 3-11
El empuje producido por la carga en línea, N, puede considerarse equivalente
a otro 3Lh N, donde el valor Áh es el obtenido por la teoría de COULOMB y viene
dado por tanto por la fórmula [3.4] o más sencillamente por las tablas T-3.2 y T-3.3.
El empuje & N se aplica sobre el plano virtual BD, en un punto A’ situado a
la misma profundidad que el A, que a su vez se obtiene trazando por el punto C
de aplicación a la carga en línea, una recta formando 40” con la horizontal hasta que
4 2

38. corte al trasdós del muro. Si el corte se produce en el trasdós por debajo de la base
del muro, el efecto de la carga N, puede ser despreciado.
El método tiene la ventaja de su sencillez pero presenta el inconveniente de que
al sustituir la distribución continua de presiones a lo largo de la altura, por una carga
lineal única, Ah N, no permite calcular los esfuerzos a que está sometido el muro más
que en su arranque.
3.3.4 CARGAS PUNTUALES 0 CONCENTRADAS EN AREAS REDUCI-
DAS (ZAPATAS)
a) Método basado en la teoría de la elasticidad
En este caso la distribución de presiones no sólo es variable con la altura sino
también a lo largo del muro.
, x=mH IN
al
Figuru
b)
3-12
En el plano vertical perpendicular al trasdós del muro pasando por el eje de la
carga, las presiones son máximas para cada profundidad z considerada (figs. 3-12 a
y b), y la variación en dicho plano, de acuerdo con las notaciones de la figura 3-12 b,
viene dada por las fórmulas siguientes:
Si m < 0,4 p,q, = 0,2¿z l
nz
H7 (0,16 + n2)3
Si m > 0,4
N mz n2
p“0 = 1.777i;, l (m2 + n2)3
[3.28]
[3.29]
La distribución a lo largo del muro en cualquier plano horizontal puede ser cal-
culada mediante la fórmula
PN = PNo cos $ [3.30]
El significado de + se indica en la figura 3-l 2b.
4 3

39. b) Método simplificado del CIVIL ENGINEERING CODE OF PRACTICE
(3.2)
El método anterior aparte de las incertidumbres de la aplicación de la teoría de
la elasticidad a los suelos, presenta el inconveniente de corresponder únicamente al
caso de carga puntual. En el caso de cargas repartidas sobre áreas de una cierta exten-
sión, como es el caso de zapatas cuando existen edificios próximos a la coronación
del muro, el método no es aplicable, salvo que se proceda a la división del área carga-
da en pequeñas áreas, cuyas cargas puedan asimilarse a otras puntuales, operando
entonces por superposición, lo cual es muy trabajoso.
El Código de Práctica citada, adopta un método simplificado, derivado del ex-
puesto en 3.3.3b). De acuerdo con ello se determina el punto A trazando por el centro
0 de la aplicación de la carga la recta OA formando 40” con la horizontal.
IN
t
4o”
;’
,&
fLoJ
lr’:
u--
/
/
‘ A
Aa N
I x’-rI 2
. * I-- I-kal
Figura 3-13
4 -~---__
17b
-4
b)
El empuje equivalente es, como vimos, A,,N, siendo N la resultante de la carga
sobre el terreno y dicho empuje equivalente se reparte en un ancho b + x, según se
indica en la figura 3- 13 b).
El método tiene los inconvenientes ya señalados en 3.3.3b) respecto a la ignoran-
cia del reparto de esfuerzos sobre el muro por encima de su arranque.
3.4 MUROS PARALELOS
Este caso, relativamente frecuente en algunas obras públicas, presenta aspectos
especiales. En efecto, dependiendo de las características del suelo y de la separación
y altura de los muros, pueden resultar modificaciones en los empujes.
En primer lugar y de acuerdo con la teoría de COULOMB se determina la direc-
ción de la cuña de rotura, en la hipótesis de existencia de un solo muro. Si este ángulo

40. B
al
Figuru 3-14
-1B’ - cl
b)
es $, trazamos por D una paralela que cortará a AB en el punto F. Hasta la profundi-
dad F, en el caso de un solo muro el diagrama de empujes puede ser calculado y será
como el indicado A’F’ en la figura 3-14b).
Tanteamos ahora para distintos planos BG el valor del empuje, considerando
la existencia de ambos muros, lo cual se realiza mediante el polígono vectorial indica-
do en la figura 3-14~) en el que son conocidos el peso p, del relleno BGDA más la
sobrecarga correspondiente, la reacción en dirección y magnitud del muro DC contra
el relleno, igual y contraria al empuje deducido de la ley A’F’ hasta la profundidad
G, la dirección de F que ha de formar con BG el ángulo de rozamiento interno <p
y la del empuje buscado E, que ha de formar con AB el ángulo 6 de rozamiento entre
suelo y muro.
Tanteando varias profundidades del punto G, se determina el valor máximo de
E,. Restando a dicho valor máximo el empuje correspondiente hasta el nivel F’, la
diferencia se distribuye linealmente entre F’ y B’.
En lo anterior se ha supuesto que el punto G correspondiente al valor máximo
resulta por encima de la profundidad F. Si no es así, debido a la distancia entre los
muros se produce un efecto silo.
De acuerdo con NBE-AE- (3.5) las presiones sobre un plano vertical y otro hori-
zontal, respectivamente, vienen dadas por las fórmulas.
p’= yzo(l -e-i(,)& [3.31]
p” = yq (1 - e j,, ) [3.32]
donde
A
zo = ~
U 2,
[3.33]
45

41. siendo:
A: Sección horizontal, igual a la separación entre muros multiplicada por la lon-
gitud de la pareja de muros. I
U: Doble de la suma de la separación entre muros más la longitud de la pareja
de muros.
Ah, 2,: Tienen los significados vistos anteriormente.
Si la longitud de la pareja de muros es muy grande respecto a su separación d,
d
zo = ñ-Y
’
Si el trasdós del muro forma con la horizontal un ángulo ~1, se está en el mismo
caso que en las tolvas de los silos y la presión normal vale
pn = p’ sen2 a + p” co.9 a [3.34]
La tabla T-3.4, tomada de (3.5) proporciona los valores de 1 - e-$ .
1 - e-2 :<> z:z, z:z,
0,oo
0,05
0,lO
0,15
0,20
0,000 1,oo 0,632 2,00 0,865
0,049 1,05 0,650 2,05 0,871
0,095 1,lO 0,667 2,lO 0,877
0,139 1,15 0,683 2,15 0,883
0,181 1,20 0,699 2,20 0,889
0,25 0,221 1,25 0,713 2,25 0,895
0,30 0,259 1,30 0,727 2,30 0,900
0,35 0,295 1,35 0,741 2,35 0,905
0,40 0,330 1,40 0,754 2,40 0,909
0,45 0,362 1,45 0,766 2,45 0,914
0,50 0,393 1,50 0,777 2,50 0,918
0,55 0,423 1,55 0,788 2,55 0,922
0,60 0,451 1,60 0,798 2,60 0,926
0,65 0,478 1,65 0,808 2,65 0,929
0,70 0,503 1,70 0,817 2,70 0,933
0,75 0,528 1,75 0,826 2,?5 0,936
0,80 0,551 1,80 0,835 2,80 0,939
0,85 0,573 1,85 0,843 2,85 0,942
0,90 0,593 1,90 0,850 2,90 0,945
0,95 0,613 1,95 0,858 3,00 0,950
TABLA T-3.4
FUNCION DE PRESION EN SILOS
4 6

42. 3.5 EMPUJE AL REPOSO
Como ya hemos dicho este valor del empuje puede producirse cuando la defor-
mabilidad del muro es extremadamente pequeña.
El valor de 3, en la fórmula [3.6] es diticil de evaluar, pero en arenas suele variar
entre 0,4 y 0,6. Frecuentemente en terrenos granulares se estima por la fórmula
A = Z - sen <p. En terrenos cohesivos alcanza valores de 0,5 a 0,75.
Un método aproximado de uso frecuente es el indicado en la figura 3- 15. Para
el caso en que no hay carga sobre el relleno el diagrama triangular de presiones (tig. 3-
15a) se sustituye por uno rectangular de valor dos tercios de la presión máxima de
empuje activo pero calculado con A = 2 - sen cp. Para el caso en que existe carga so-
bre el relleno (fig. 3- 15b), se opera análogamente.
a)
X= l - s e n !Y
b)
Figura 3-1.5
En la práctica, incluso en muchos casos de muros de gran rigidez, no se produce
la situación de empuje al reposo, sino simplemente la de empuje activo, o una muy
próxima a ella. Ello es debido a que en la mayoría de los casos el relleno del trasdós
se compacta sólo moderadamente.
3.6 INFILTRACION DE AGUA EN EL RELLENO
En todo lo anterior hemos supuesto el terreno seco y manejado en las fórmulas
su densidad seca y. Esta es una situación poco frecuente en la práctica.
La presencia de agua en el relleno, bien por la acción de la lluvia, bien por infíl-
traciones subterráneas, afecta de manera importante a todo lo anterior.
4 7

43. a) Si el material del relleno es muy permeable como es el caso de las gravas y
de las arenas gruesas e incluso medias, la aportación de agua será evacuada por el
sistema de drenaje(*) mediante el establecimiento de una red de filtración de direc-
ción predominantemente vertical. Mientras el sistema de drenaje sea capaz de eva-
cuar el agua filtrante, el nivel de agua no rebasará la cota inferior del sistema de
drenaje y las fórmulas vistas hasta ahora para calcular las presiones y empujes siguen
siendo válidas sin más que reemplazar en ellas la densidad seca y por la densidad
aparente yh. Esta última densidad varía naturalmente con el grado de humedad del
suelo y la falta de ensayos directos puede ser estimada a partir de los datos de la tabla
T-3.5.
TABLA T-3.5
DENSIDADES APROXIMADAS DE DISTINTOS SUELOS GRANULARES (3.2)
7--
/
M A T E R I A L
Gravas
Arenas gruesas y medias
Arenas finas y arenas limosas
Granitos y pizarras
Basaltos
Calizas y areniscas
Ladrillo partido
Cenizas volantes
DENSIDAD
A P A R E N T E
?h
(tim’)
1,60-2,00 0,96-l ,28
1,68-2,OS 0,96- 1,28
1,76-2,16 0,96- 1,28
1,60-2,08 0,96-l ,28
1,76-2,24 1,12-1,60
1,28-1,92 0,64-l ,28
1,12-1,76 0,64-0,96
0,64-0,96 0,32-0,48
D E N S I D A D
S U M E R G I D A
(&)
b) Si el material del relleno es de baja permeabilidad, como ocurre en arenas finas
y arenas limosas, y la aportación de agua es importante, aunque se establezca la red
filtrante hacia el drenaje y éste sea capaz de desaguar el caudal correspondiente, se
produce un aumento de las presiones y empujes respecto al caso anterior.
Las presiones en este caso pueden ser estimadas sustituyendo en las fórmulas
la densidad seca y por la densidad sumergida y’ y añadiendo una presión que a pro-
fundidad z viene estimada por
p’ = OJzy,(**) [3.35]
donde yu es la densidad del agua y p’ actúa perpendicularmente al trasdós. El empuje
correspondiente es de cálculo inmediato.
c) Si la aportación de agua excede a la capacidad de desagüe de la red de drenaje,
el nivel del agua puede alcanzar la cota de la coronación del muro, en el caso limite
y en ese caso la presión p’ se duplica alcanzando el valor de la presión hidrostática.
p’ = zy”(**) [3.36]
(*) Para los sistemas y detalles de drenaje. véase el Capítulo 13.
(**) Se supone que la infiltración afecta a toda la altura del trasdós. En otro caso la teoría es inmediata-
mente generalizable.
48

44. d) En cualquier caso, la presión hidrostática debe ser considerada siempre para
niveles inferiores al más bajo del sistema de drenaje. Este es un caso particular del
más general indicado en el apartado siguiente.
3.7 RELLENO INUNDADO HASTA UNA CIERTA COTA
En el caso general indicado en la figura 3- 16, con relleno de ángulo b y una so-
brecarga q por unidad de longitud de talud, las presiones a profundidad z resultan:
1 sen a
Ph = $(z - ZO) + YZO + q
sen (a + /?) 1
Ah + ya (z - za) sen a [3.37]
1
y’ (z - zo) + yzo + q
sen a
py =
sen (a + /?) 1 i, + ya (z - z(,) cos a [3.38]
En [3.37] y [3.38] y debe ser sustituida por yh si el terreno puede estar húmedo.
Si z d za, en [3.37] y [3.38] debe hacerse za = z.
d. .
i!
NIVEL FREATICO
Figura 3- 16
3.8 RETRASO DE MAREA
- -/ jjjj;
i:.::::.
fi::i;.;li
,,:: .,.;
j$;;$:;;, P
/.,... .:.,.:
, :::::.
i
R.- ~~~
i;;;;jj;;j;j;l
!.~.‘.~.~.~.~.~.~
+::jf::F:,:,.
!:I:I:]:j:i:i:j:I:_::,,
;:::. ,~.~.~.~.~<_..‘.‘.‘... :::: ;:. .:.
:. ::::.:., :.:.::::;:.:::: ;:::.::: ~::;:: :::::;...
.:.:.:.: ‘.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.
En rellenos muy permeables y bien drenados, el retraso de marea produce efectos
despreciables. En arenas, dependiendo de la proporción de finos y por tanto de la
permeabilidad, el efecto puede ser importante siendo esperable una presión hidrostá-
tica y,,h apreciable, incluso en rellenos bien drenados. En terrenos arcillosos o limo-
sos puede ser necesario considerar como valor de h el de la carrera de marea entero.
49

45. Figura 3-17
3.9 EMPUJE PRODUCIDO POR LA COMPACTACION DEL RELLENO
En algunos casos los probables asientos futuros del relleno debidos a su propio
peso carecen de importancia pero frecuentemente no ocurre así, y para controlar tales
asientos se recurre a la compactación del relleno.
Esta compactación, en toda la zona correspondiente a la cuña de deslizamiento,
debe realizarse con especial cuidado, empleando medios ligeros. El empleo de com-
pactadores pesados puede conducir a una sobrecompactación que produzca presio-
nes superiores a las correspondientes al empuje activo.
3.10 EMPUJE PRODUCIDO POR EL HIELO
En zonas de fuertes heladas, si el terreno contiene agua por encima de la profun-
didad de helada, la expansión de volumen correspondiente puede producir empujes
muy considerables, tales que es antieconómico proyectar los muros para que sean
capaces de resistirlos.
El problema no existe con gravas y arenas gruesas o medias, pero puede presen-
tarse cuando el terreno está formado por arenas finas, limos o arcillas.
La solución más simple es sustituir el terreno hasta la profundidad de helada
por material fácilmente permeable y drenarlo adecuadamente.
3.11 EMPUJES PRODUCIDOS POR LA VARIACION DE TEMPERATURA
Un caso particular de empuje puede producirse en situaciones como la indicada
en la figura 3-18a), en la que la dilatación de otra parte de la construcción (en este
caso y a título de ejemplo, un pavimento de hormigón, p) está coartada por el muro.
Es económicamente muy costoso y técnicamente perjudicial para el muro y para el
pavimento intentar resistir la fuerza F y lo adecuado es evitar que se produzca dispo-
niendo una junta de dilatación. (Fig. 3-18b).
50

46. F t'
a) b)
Figura 3- 18
3.12 EMPUJE PRODUCIDO POR EL OLEAJEL
La evaluación del empuje producido por las olas contra un muro no puede hoy
hacerse con buena precisión y la experiencia práctica sigue aún siendo la guía princi-
pal. La presión ejercida es la suma de la presión hidrostática y de la presión dinámica
debida al movimiento de las partículas de agua.
CRESTA DEL
CLAPOTIS
_---- - -
-~L-L;H~L~oELAG”A
EPOSO
S E N O PC’
CLAPO
P R E S I O N
HIDROSTATICA
P2 =
LH
rosll z"L"
L = Longitud de ola
yw = Densidad del agua
H + h.
p1 = ( &qd + ‘2’ H + h + d
0
Figura 3-1 Y
51

47. Es esencial distinguir el caso de olas que se reflejan contra el muro, de aquel en
que las olas rompen contra el propio muro, en cuyo caso la estructura ha de absorber
un empuje mucho mayor. La presencia de uno u otro caso, depende, como es sabido
de la relación de la profundidad junto al muro a la altura de ola.
a) Ola rejlejada en el muro. La teoría clásica para ondas estacionarias es debida
a SAINFLOU (3.8) y se resume en la figura 3-19, que corresponde al diagrama de
presiones debido al paso de la cresta. (Valor máximo). Téngase en cuenta la carrera
de marea para el nivel del agua en reposo. En la figura no se indica la subpresión.
El método de SAINFLOU, se ha revelado como aceptable para valores de g
entre 0,08 y 0,20. Para valores inferiores a 0,08, infravalora el empuje y lo contrario
ocurre para valores superiores a 0,20.
Un tratamiento más completo del tema puede seguirse en el SHORE PROTEC-
TION MANUAL (3.9) que contiene un amplio conjunto de gráficos para el cálculo
de empujes en casos muy diversos.
b) Ola rompiendo contra el muro. Se dispone para el caso de ondas en rotura
solamente de algunas relaciones empíricas. MINIKIN (3.10) propone un diagrama
como el indicado en la figura 3-20. (No se indica en la figura la subpresión.)
-
I
PRESION OINAMICA
Figura 3-20
Para la estimación de la presión máxima propone la fórmula
pmti = 100 yw 2 ; (d, + d,)
dl 1 .
donde:
Hb = Altura de la ola rompiente
Ld, = Longitud de ola
d, = Profundidad a la distancia Ldl del muro
d, = Profundidad junto al muro
= Densidad del agua
[longitudes en pies y fuerzas en libras)
52
[3.39]

48. Como área dentro del diagrama de presiones dinámicas toma
Fd = ~már Hh
2
[3.40]
que da por tanto la fuerza dinámica total actuando a cota d,.
c) Método de GODA válido simultáneamente para ondas estacionarias y en rotu-
ra. El método, más moderno que los anteriores y basado en investigaciones experi-
mentales evita la discontinuidad que presentan los mismos según la ola rompa o no.
El método puede seguirse en detalle en la obra de SUAREZ BORES (3.1 l), en la
de DEL MORAL y BERENGUER (3.12) y en la referencia (3.13).
I.I.c.L IL. ““Y”
I 1 1 EN REPOSO
Figura 3-21
El diagrama de presiones dinámicas es el indicado en la figura 3-2 1, donde:
PI = ILHD (aI + ad [3.41]
Pr = PI
cosh @!’
L
[3.42]
donde
Yn = Densidad del agua
L = Longitud de ola de cálculo
HD = Altura de ola de cálculo
ai = 0,6 + ;
a2 = El menor de los valores
I 2d
HLJ
[3.43]
[3.44]
[3.45]
53

49. d = Profundidad de coronación de la berma
h = Profundidad en el pie de la escollera
hh = Profundidad a una distancia del pie igual a cinco veces la altura de ola
significante junto al muro, HI,+
Como valor de HD se toma el menor de los valores:
HD = 1,8 Hli3 si el muro está situado en zona donde no rompen las olas
HD = Hh, siendo Hb la altura de ola correspondiente a la profundidad hb, si el
muro está situado en zona donde rompen las olas.
A la ley de presiones dinámicas indicada hay que sumar la hidrostática (hg. 3-21).
El método de GODA considera además una subpresión variando de pz a 0, (ver
figura 3-21), donde
P3 = ala3ywHD [3.46]
donde
[3.47]
siendo h’ la profundidad de la cimentación del muro.
3.13 EMPUJE PRODUCIDO POR LA ACCION SISMICA
Expondremos a continuación tres diferentes métodos de cálculo de la acción sís-
mica en muros.
3.13.1 METODO DE LA NORMA SISMORRESISTENTE P.D.S.-1
Esta Norma, vigente en España, (3.14), a falta de estudios más refinados se limi-
ta a multiplicar las componentes E, y Eh del empuje por un coeficiente K, (tig. 3-22)
de valor
K,=l+c [3.48]
donde el valor de c viene indicado en la tabla T-3.6.
54
TABLA T-3.6
COEFICIENTE SISMICO BASICO, c
GRADO DE INTENSIDAD
G
COEFICIENTE SISMICO BASIC0
c
V 0,02
VI 0,04
VII 0,08
VIII 0,15
IX 0,30

50. Figuru 3-22
Para el grado de intensidad, véase el mapa de la figura 3-23.
Figura 3-23
El método adolece del defecto, entre otros, de considerar que la acción sísmica
mantiene el ‘punto de aplicación del empuje, aparte de infravalorar considerablemen-
te el propio valor de la acción.
55

51. 3.13.2 METODO DE SEED
Este método desarrollado por SEED (3.19, es una simplificación del de MO-
NONOBE-OKABE que exponemos más adelante.
Es siempre útil como mktodo de anteproyecto y para terrenos granulares ordina-
rios, puede emplearse en lugar del de MONONOBE-OKABE, ya que las diferencias
en los resultados son despreciables y en cambio el cálculo es extraordinariamente sim-
ple.
Figura 3-24
El método supone superficie de rotura plana que se extiende hasta un punto A
cuya distancia horizontal a la coronación es 0,75 H (fig. 3-24) siendo H la altura del
muro. Se supone también que el incremento de empuje debido a la acción sísmica es
horizontal e igual a la fuerza de inercia de la cuña de suelo, de lo que resulta
donde s es el coeficiente sísmico horizontal, especificado en nuestra Norma P.D.S.-I .
La fuerza AE,, se supone actuando a una cota igual a 5 H por encima del plano de
cimentación.
3.13.3 METODO DE MONONOBE-OKABE
Fue desarrollado por MONONOBE (3.16) y OKABE (3.17) y es un método
pseudoestático derivado de las teorías de empuje activo anteriormente expuestas, su-
poniendo superficie de rotura plana, que el muro puede deformarse hasta alcanzar
el empuje activo y que todos los puntos del relleno están sometidos a la misma acele-
ración en un mismo instante.
56

52. Llamando s al coeficiente sísmico horizontal y v al vertical (seguimos la notación
de P.D.S.-1), se define el ángulo 8 (fig. 3-25), de la resultante de las fuerzas aplicadas
a una masa m.
Figura 3-25
El empuje total Ed, incluido el debido a la acción sísmica, viene dado por la fór-
mula (tig. 3-26).
[3.50]
donde
sen”(q -8 + a)
t Co
[3.51]
H
Figura 3-26
El empuje total Ed, forma un ángulo 6 con la normal al trasdós.
57

53. Los ensayos en modelo reducido han mostrado una buena concordancia con los
resultados obtenidos con este método de cálculo. Conviene recordar la conveniencia
de tomar para el ángulo 6 de rozamiento entre relleno y muro valores muy modera-
dos, e incluso nulo, debido a la vibración que acompaña al sismo.
A partir de [3.50] se puede definir el incremento de empuje debido a la acción
sísmica.
AE,y = f yH-‘[(l -f v) A, - A]
donde A. se definió en [3.6] como 1, = Jm
[3.52]
Figura 3-27
Conocido AE,,, el empuje activo Ese supone actuando, como se vio anteriormen-
te, a una cota T por encima del plano de cimentación y el AE,T a una cota i H de
acuerdo con SEED (lig. 3-27).
Obsérvese que para que [3.5 13 esté definida, es necesario que
( p - p - 0 3 0
0 lo que es lo mismo
p<q-0 *
lo cual limita en zonas sísmicas el máximo talud posible para el relleno.
[3.53]
El método de MONONOBE-OKABE ha sido perfeccionado por RICHARDS
y ELMS (3.18) a base de admitir un cierto corrimiento del muro bajo la acción sísmi-
ca, lo cual es aceptable en muchos casos. Puede verse un resumen del método en el
trabajo de CORTE, ISNARD y SOULOUMIAC (3.19) incluido en la referencia
(3.20):
58

54. 3.13.4 MUROS EN CONTACTO CON LIQUIDOS
En este caso, durante el sismo la obra se encuentra sometida a efectos dinámicos
que pueden ser evaluados mediante la teoría clásica de WESTERGAARD, que con-
duce (lig. 3-28) a una distribución parabólica de presiones
[3.54]
Figura 3-28
siendo yw la densidad del líquido, s el coeliciente sísmico horizontal, z la profundidad
y h el calado.
La resultante vale
Ewd = ; y,.h2s [3.55]
y se ejerce a 0,4 h del fondo.
Para los muros de muelle (3.19) se aconseja que se introduzca como hipótesis
de comprobación el que:
- La presión del agua ante el muro se reduzca en la comprobación a sismo, en
el valor [3.54].
-La presión del agua del lado del relleno se aumente en el 70 % de la dada
por [3.54] actuando concomitantemente con el empuje del suelo.
Los dos puntos anteriores sólo son de aplicación si el terreno es muy permeable
y permite el desplazamiento del líquido respecto al suelo. Si no es así, las comproba-
ciones apuntadas son excesivamente pesimistas, siempre que no se produzca la licue-
facción del suelo. Véase (3.19) para más detalles.
3.13.5 PRESION DEBIDA A LA ACCION SISMICA EN EL CASO DE MU-
ROS NO DESPLAZABLES
En este caso (lig. 3-29) falla una de las hipótesis básicas del método de MONO-
NOBE-OKABE.
59

55. Figuru 3-29
Un procedimiento aproximado es suponer incrementado el empuje dinamico ac-
tivo en la diferencia entre el coeficiente de empuje al reposo que vimos en 3.5 y el
de empuje activo, con lo que el empuje total será
E, = f yH’ (1 f v) (A, + E,,, - i) [3.56]
donde
& coeficiente de empuje dado por [3.51].
& coeficiente de empuje al reposo.
1, coeficiente de empuje activo.
De [3.56] se deduce que el incremento de empuje debido al sismo es
AE,s = f yH’ [ (1 f v) [ E., + E.,, - E, 1 - E.,] [3.57]
y actúa a una profundidad 0,5 H, superponiéndose al empuje estático que actuará
en general a otra altura.
3.14 FUERZA HORIZONTAL EN CORONACION
Es un caso que se presenta a veces en edificios e instalaciones industriales (fig.
3-30), y habitualmente como tiro de bolardos en los muelles. (Ver ref. (3.21)).
El problema ha sido estudiado por ROWE (3.22) y el momento flector en senti-
do vertical, a una distancia x del punto de aplicac& de la fuerza viene dado por
la expresión
[3.58]
60

56. Figura 3-30
Este momento es por unidad de longitud de muro y constante en toda la altura
H del mismo, ya que el ancho de reparto crece linealmente como el momento. Su
valor máximo se presenta en la sección en que actúa la fuerza, en la que al ser $ = 0
resulta
Mm& = -
71
[3.59]
3.15 ACCIONES HORIZONTALES PRODUCIDAS POR GRUAS
Y VEHICULOS
Al tratarse de fuerzas horizontales que actúan a lo largo de toda la coronación,
su introducción en el cálculo es inmediata aplicando lo expuesto en 3.14, pero tenien-
do en cuenta que el punto de aplicación puede ser cualquier punto de la coronación,
pues estas cargas suelen ocasionarse en vías paralelas al muro.
3.16 ACCION DE LAS CARGAS DE TRAFICO
Es una situación frecuente y aunque su estudio puede abordarse de acuerdo con
lo expuesto en 3.3.4, un método más simple es adoptar una carga uniformemente re-
partida equivalente. La práctica ha demostrado que la sobrecarga de 1 t/m2 cubre,
a estos efectos, el caso de tráfico habitual en ciudad.
Es claro que en teoría (tig. 3-31) tal sobrecarga no debería extenderse a la zona
de acera A, pero el proyectista debe ser cauto con esta hipótesis, ya que futuros desa-
rrollos pueden suprimir provisional o definitivamente la acera.
61

57. Figuru 3-31
3.17 CHOQUE DE BUQUES
Es, evidentemente, una acción de carácter accidental, pero de alguna manera
debe ser tenida en cuenta al proyectar. Puede encontrarse información abundante en
la referencia (3.23). El impacto normal de atraque es por supuesto una acción habi-
tual, y debe ser previsto adecuadamente. Véase al efecto la referencia (3.24).
BIBLIOGRAFIA
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
62
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COULOMB, Ch. A.; «Essai sur quelques problemes de statique relatits a l’architectu-
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Sistemas de Diseño. 1980.
DEL MORAL, R. y BERENGUER, J. M.; «Obras Marítimas». Madrid. 1980.

58. (3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
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(3.24)
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ROWE, R. E.; «Concrete Bridge Desigm. John Wiley & Sons. New York. 1962.
«Ship Collision with Bridges and Offshore Structures)). International Association for
Bridge and Structural Engineering. Colloquium of Copenhagen. 1983.
«Defensas Portuarias de Atraque». Ministerio de Obras Públicas. Madrid. 1967.
63

59. CAPITULO 4
MUROS DE GRAVEDAD
4.1 INTRODUCCION
En general en el proyecto de un muro existen algunas características fijas y otras
seleccionables por el proyectista.
Son características fijas:
-El suelo de cimentación y por lo tanto las presiones máximas admisibles, el
coeficiente de rozamiento hormigón-suelo, y el empuje pasivo eventualmente
movilizable frente al muro.
~ La cota de coronación del muro.
~ La profundidad mínima de cimentación. Como norma general un muro no
debe cimentarse a profundidad inferior a 1 m ya que hasta esa profundidad
las variaciones de humedad del suelo suelen ser importantes, afectando a la
estabilidad del muro. La posibilidad de penetración de la helada también debe
ser considerada en relación con este aspecto.
Son en cambio características seleccionables:
~ Las dimensiones del muro.
- El material de relleno del trasdós.
- Las características resistentes de los materiales de muro.
El proceso de proyecto incluye las etapas siguientes:
a) Selección de las dimensiones.
b) Cálculo del empuje del terreno sobre el muro.
c) Comprobación de:
65

60. ~ La seguridad a vuelco.
~ La seguridad a deslizamiento.
-Las tensiones sobre el terreno de cimentación en condiciones de servicio.
- Las tensiones sobre el terreno de cimentación bajo el empuje mayorado.
~ Las comprobaciones resistentes del muro como estructura de hormigón.
Si alguna de las comprobaciones consignadas en c), no resulta satisfactoria, el
muro debe ser redimensionado y en definitiva las etapas a), b) y c) deben ser repetidas
hasta conseguir un diseño que sea a la vez económico y suficientemente seguro.
Esto puede exigir la repetición de los cálculos varias veces y de ahi el interés de
los métodos de predimensionamiento que eviten repeticiones o las reduzcan a un mi-
nimo.
En el Capitulo anterior hemos visto lo referente a la etapa b) correspondiente
al cálculo del empuje del terreno. En el apartado siguiente, para mayor claridad en
la exposición, veremos primeramente los métodos de comprobación, correspondien-
tes a la etapa c), y posteriormente desarrollaremos un método de predimensionamien-
to para resolver la etapa a). Por supuesto en el proyecto real las etapas deben abor-
darse en el orden a), b) y c).
4.2 COMPROBACION
Supongamos el caso más general de muro. representado en la figura 4- 1 y supon-
gamos calculado el empuje E, de componentes Eh, E,. de acuerdo con lo expuesto en
Figura 4-1
el Capítulo 3. Las comprobaciones a realizar son las que se exponen a continuación,
todas ellas para una rebanada de muro de ancho unidad en sentido perpendicular
al plano de la figura.
66

61. 4.2.1 SEGURIDAD A DESLIZAMIENTO
La fuerza que puede producir el deslizamiento es la componente horizontal de
empuje, E,, - /l E, (*). Las fuerzas que se oponen al deslizamiento son el rozamiento
de la base del muro con el suelo de cimentación y el eventual pasivo, E,,, frente al muro.
La fuerza que resiste al deslizamiento viene dada por la expresión
donde
R = N’.p + Ep (**) 14.11
N’ = Resultante de los pesos de muro y de las zonas de terreno situadas verti-
calmente sobre la puntera y el talón (zonas 1, 2 y 3 de la figura 4-l) (***).
~1 = Coeficiente de rozamiento entre suelo y hormigón. En general será el re-
sultado del correspondiente estudio geotécnico. Para terrenos granulares
puede tomarse p = tgcp, siendo cp el ángulo de rozamiento interno,
aunque ello puede resultar conservador. La tabla T-4.1 contiene datos al
respecto.
Ep = Empuje pasivo frente al muro.
TABLA T-4.1
COEFICIENTES DE ROZAMIENTO p
(Tomada de la Ref. (4.1))
Tipo de suelo
Arenas sin limos
Arenas limosas
Limos
Roca sana con superficie rugosa
1
1 Coeficiente p
0,s
0,45
0,35
0,60
La resultante N’ es positiva en sentido descendente, es de cálculo inmediato en
su magnitud y su posición, definida por la distancia e,, excentricidad respecto al pun-
to medio de la base, considerada positiva hacia la puntera.
(*) En lo que sigue se supone horizontal el plano de contacto entre cimiento y suelo, como es usual.
Si no ocurre así, las fórmulas son inmediatamente generalizables trabajando con las componentes
de las fuerzas perpendiculares y paralelas al plano de contacto. (Téngase en cuenta que aparece
en ese caso una componente vertical del empuje pasivo frente al muro).
(**) En terrenos cohesivos debe considerarse ademls la adherencia. Obsérvese que como E, es concomi-
tante con Eh, colabora siempre en impedir el deslizamiento.
(***) El efecto de la cuña de terreno situada verticalmente sobre el trasdós, ya está incluido en el cálculo
de empuje y no entra por tanto en el cómputo del valor N’.
67

62. El valor de Ep puede ser estimado conservadoramente mediante la fórmula de
RANKINE
Ep = ; yh;
1 + sen <p
1 - sen cp
L4.21
y su resultante es horizontal y situada a profundidad : Ir, por debajo del nivel del te-
rreno frente al muro.
Sin embargo, la inclusión en [4. l] del valor de Ep requiere consideración deteni-
da. Por un lado, dicha inclusión nunca debe adoptarse sin un estudio cuidadoso del
suelo. Independientemente de lo anterior, la movilización del empuje pasivo requiere
corrimientos apreciables del muro, que pueden ser incompatibles con sus condiciones
de servicio (*). Finalmente, si se decide tenerlo en cuenta, no debería considerarse
el empuje pasivo correspondiente a los primeros 50 cm de profundidad en los que
la posibilidad de movilizar el empuje pasivo es siempre dudosa (**). De acuerdo con
ello, el valor de E,, dado por [4.2] se reduciría a
E, = ; y (hf.- 0,.5’)
1 + sen<p
1 - sen cp
donde h, se expresa en m y y en t/m.?.
Por otra parte debe comprobarse que el terreno existe frente al muro en distancia
suficiente, que suele estimarse en 2h,, y que esta existencia queda asegurada durante
la vida del muro.
En definitiva, el coeficiente de seguridad a deslizamiento viene dado por
y si como es usual se desprecia el empuje pasivo
& = N’ ’E,, - p E,
L4.41
La posibilidad de aumentar la seguridad al deslizamiento mediante la disposi-
ción de un tacón (ver tig. l-2), no es utilizada practicamente nunca en muros de gra-
vedad, porque como veremos no es necesario, aunque sí haremos uso de ella más ade-
lante en otros tipos de muros. Otra solución, consistente en inclinar el plano de
cimentación, resulta eficaz en cuanto a la seguridad al deslizamiento, y puede ser uti-
(*) Por tanto, en ese caso, en estado de servicio. es decir para C,,, = f, el no deslizamiento debe quedar
asegurado sin contar con el empuje pasivo, salvo que en servicio puedan tolerarse corrimientos im-
portantes.
(**) Por lo tanto la cara superior de la zapata debe quedar a no menos de 50 cm de profundidad si SC
quiere aprovechar todo su frente para movilizar el empuje pasivo.
68

63. lizada si bien con alguna mayor complejidad de ejecución de la excavación de cimien-
tos, y en el caso de muros de hormigón armado con complicación también de la ferra-
lla.
Normalmente la consideración exigida desde el punto de vista del deslizamiento
es
viniendo C,T, dada por [4.4] o [4.5] según sea el caso. Para el caso de sismo, suele adop-
tarse C, >, 1.2.
4.2.2 SEGURIDAD A VUELCO
Convencionalmente se supone que el giro del muro se produce alrededor del
Punto A, correspondiente a la arista exterior del cimiento (*).
El único momento volcador es el producido por el empuje E, y son momentos
establizadores los debidos a N y eventualmente al empuje pasivo Ep. Descomponien-
do E en Eh y E, y considerando las excentricidades de las fuerzas respecto al punto
medio de la base positivas hacia la puntera se tiene, de acuerdo con la figura 4- 1:
Momento volcador:
M, = E,, . h, - E, (4 -.r) (**)
Momento estabilizador:
+ E,m***)
de donde el coeficiente de seguridad a vuelco resulta:
c.s,. =
donde h’, despreciando los 50 cm superiores de suelo, viene dado por
h, = 2 h;- 0,125
3 hf - 0,25
La excentricidad ep es la correspondiente a la resultante N’.
14.71
L4.81
L4.91
(*) Realmente los escasos ensayos disponibles indican que el giro se produce alrededor de un punto
situado por debajo del plano de cimentación.
(**) Eh y Ev son concomitantes. La expresión [4.6] equivale, naturalmente, al momento volcador del em-
puje total E respecto al punto A.
( ***) Recuérdese que las distancias horizontales se consideran positivas hacia la puntera.
69

64. Como ‘en el caso de la seguridad a deslizamiento, y por las mismas razones allí
expuestas, lo usual es despreciar el empuje pasivo:
[4. lo]
siendo la condición habitual en cualquier caso
c,,. 3 13
si N representa las cargas frecuentes, y
c,y,. 2 1 s
si N incluye cargas infrecuentes 0 excepcionales.
Para el caso de sismo suele adoptarse
c,T,. 2 12
4.2.3 TENSIONES SOBRE EL TERRENO DE CIMENTACION EN CONDI
CIONES DE SERVICIO
Llamando N a la resultante de fuerzas normal a la base de contacto cimiento-
suelo y e, a la excentricidad respecto al punto medio de dicha base (lig. 4-l), sí las
tensiones del cimiento sobre el suelo son de compresión en todo el ancho AB de la
base, se acepta que la distribución de tensiones es lineal y viene expresada por la apli-
cación de la ley de HOOKE al caso de flexión compuesta. Para una rebanada de an-
cho unidad, se tiene:
donde N. e,,, es el momento aplicado y e la excentricidad del punto considerado, posi-
tiva hacia la puntera.
El valor de e, se obtiene inmediatamente tomando momentos respecto al punto
. medio de la base.
N’e, + Eh h, + E,,f = (N’ + E,.) e,
siendo e,, la excentricidad de la resultante N’
siendo N =’ N’ + E, [4.11]
70

65. y se obtiene
e, =
N’e, + Eh h, + E,f
N
[4.12]
Las tensiones en los bordes extremos se obtienen por tanto para e = f $
N 6Ne,
oB=-----
B B’
[4.13]
N 6Ne,
Cr,=-+-
B B’
f4.141
debiendo comprobarse que la mayor no rebasa la tensión admisible, CJ adm. de acuerdo
con la información geotécnica.
La validez de [4. lo] queda por tanto condicionada a que (r B > 0, en la hipótesis
de e, 3 0, lo que equivale, a partir de [4.13] a
N 6 N e
--@>O
B
[4.15]
es decir que para que toda la base esté comprimida, la resultante de empujes y pesos
debe pasar por el tercio central de la base.
Si la resultante pasa fuera del tercio central, la fórmula de NAVIER y por tanto
[4.13] y [4.14] no son aplicables, pero el vblor de la tensión máxima
Figura 4-2
71

66. õA es de deducción inmediata (fig. 4-2) ya que la condición de equilibrio conduce
a que si je,, 1 > +
AC = 3AD
siendo AD = 3 - Ie, 1
y también
l__
-UA’ AC= N
2
de donde
ZN
[4.16]
Debe verificarse en ambos casos que ãA < oah, si bien en general la tensión admi-
sible en los casos de distribución tanto trapecial como triangular de presiones suele
incrementarse del 25 al 33 % respecto al valor admisible en el caso de distribución
constante. En España la Norma NBE-AE- (4.2) permite un incremento del 25% siempre
que la presión en el c.d.g. de la superficie de apoyo no exceda la admisible.
Suele imponerse a veces algún límite a la excentricidad e,. En España no existe
normalización alguna referente a muros, pero es frecuente adoptar la limitación
( e, (,< B que es lo mismo que exigir que el punto de paso de la resultante no diste
3’
menos de g del borde del muro. La intención de una limitación de este tipo es evitar
6
el hecho, realmente peligroso, de que si la resultante está muy cerca del borde del
cimiento, un ligero aumento de empuje, y por tanto de la excentricidad, provoque
un fuerte incremento de la tensión en el borde. Sin embargo, como veremos más ade-
lante, el riesgo indicado se controla de manera más lógica mediante la comprobación
que se expone en el apartado siguiente.
4.2.4 TENSIONES EN EL TERRENO DE CIMtiNTACION BAJO EL EMPU-
JE MAYORADO
Profundizando en lo que se expuso de manera inicial en 2.2.5, consideremos el
muro de la figura 4-3.
Bajo la acción del empuje E, en condiciones de servicio, calculado de acuerdo
con lo expuesto en el Capítulo 3, y de la resultante de las cargas verticales, (peso pro-
pio del muro y del relleno situado verticalmente sobre el muro o el cimiento), se pro-
72

67. Figbra 4-3
duce una resultante R, cuyo punto de paso es C. Con la componente vertical de la
resultante, N, en el apartado anterior se obtuvo la distribución de tensiones y en par-
ticular la tensión crmax, en el borde del muro. Sea MN la distribución de tensiones.
Supongamos ahora que por cualquier razón el empuje pasa del valor de servicio
E a un valor mayorado E*. La nueva resultante R*, tendra como punto de paso el
D y una nueva distribución de tensiones, que puede, según los casos seguir siendo
trapecial, si es que lo era bajo el empuje E, o ser triangular.
Sea o,&~ la tensión máxima bajo el empuje mayorado, que llamaremos en adelan-
te tensión mayorada.
Si E* = y,. E, es evidente que ello no significa en absoluto que (T* = y, õ y de
hecho, la relación $ puede ser muy alta, dependiendo de la solución adoptada para
el muro. Es evidente la necesidad de limitar no sólo el valor de CJ sino también el
de G* (*).
En ausencia de normalización al respecto, adoptamos yI = 1,.5, como coeficiente
de mayoración del empuje y como límite para O* el de 20, aunque todos los ábacos
que se incluyen permiten al lector adoptar otros valores si los considera preferibles.
El valor de CT* es de deducción inmediata de acuerdo con lo expuesto en el apar-
tado anterior.
Llamando N* y e*, la componente vertical de la resultante y su excentricidad,
ambas bajo el empuje mayorado, las tensiones en los bordes, de acuerdo con [4.13],
[4.14] y [4.16] son ahora
CT* -
N* 6 N*e*B---2
B B’
N* 6 N*e*
0.4*=-+n
B BJ
(*) Véase J. CALAVERA y A. CABRERA (4.3).
[4.17]
[4.18]
73

68. siendo en todo caso N* = N’ + E*, y
e* _ NI-e, + E*,*h + E*y*f
n-
N*
y debiendo verificarse
[4.19]
[4.20]
[4.21]
4.3 BASES DEL METODO DE PREDIMENSIONAMIENTO
En el apartado 4.1 señalamos ya la necesidad de un predimensionamiento co-
rrecto, de tal manera que la comprobación del muro de acuerdo con lo expuesto en
4.2 resulte satisfactoria o al menos requiera sólo pequeñas modificaciones en sus di-
mensiones. En este apartado se desarrolla un método que permite el predimensiona-
miento de los muros de gravedad (*).
Consideremos los tipos de muros indicados en la figura 4-4 a) y b)
El primero corresponde a un muro trapecial con el ancho en coronación pe-
queño respecto al ancho B de la base, y con el trasdós próximo a la vertical. A efectos
de lo que sigue lo asimilaremos al muro triangular de la figura 4-4c), con trasdós ver-
tical y relleno de superficie horizontal.
El segundo, es decir el indicado en la figura 4-4b), corresponde a un muro trape-
cial, con intradós casi vertical que asimilaremos al caso de la figura 4-4d), que es un
muro rectangular con relleno de superficie horizontal, con independencia de su ancho
en coronación.
Si sobre el terreno contenido existe alguna sobrecarga repartida, su altura equi-
valente de tierras se añadirá al valor de H real.
4.3.1 MUROS TIPO A (fig. 4-4a) (**)
Adoptando como esquema simplificado el de la figura 4-4c), y calculando el em-
puje por el método de RANKINE [3.14], suponiendo un relleno con <p = JO”, un coe-
(*) El método es una derivación de lo expuesto en la referencia (4.3), que desarrollé en 1%9 en colabora-
ción con A. CABRERA para muros de ménsula.
(**) La lectura de este apartado no es necesaria para la aplicación del método. El lector interesado exclu-
sivamente en su aplicación puede pasar directamente al apartado 4.4.
74

69. c_B-( *
T I P O - A
al
H
T I P O - B
b)
!-J--l L-Q
cl d)
Figura 4-4
ficiente de rozamiento muro-suelo p = tg cp = 0,577, densidad del hormigón 2,3 t/m.3,
y densidad del suelo 1,8 t/m.j, se tiene:
a) Seguridad a deslizamiento
Resultante de las cargas verticales.
IV’ = ;2,3 BH c*>
(Se desprecia la pequeña cuña de terreno que reposa frente al muro sobre el pro-
pio muro. Ver figura 4-4~).
Empuje del terreno. De acuerdo con [3.14]
E=;l,S
1 - sen 30”
1 + sen 30’
.H2=0,3H2
(*) En este método de predimensionamiento se manejan como unidades el m y la t. como en general
es usual en el cálculo de muros.
75

70. Despreciando el empuje pasivo frente al muro y aplicando [4.5] con N = N
[4.22]
b) Seguridad a vuelco. Despreciando el empuje pasivo frente al muro y aplican-
do [4. lo] con E, = Ep = 0, se tiene:
y operando
1
12,3BH-;B
[4.23]
c) Tensiones en servicio. Aplicando [4.12] con E, = 0
- f 2,3 BH ; + 0,3 HZ ;
e, =
1
j 2,3 BH
y operando
e, = - 0,167 B + 0,087 z [4.24]
expresando la excentricidad en forma adimensional de excentricidad relativa
en B 0,087-=
H - 0p167E + BIH
[4.25]
que es la condición para que la distribución de tensiones sea trapecial, ello puede sig-
nificar
-Que se cumpla, siendo e, < 0
B 0,087 >-IB- 0,167H + BIH / 6 H
o lo que es lo mismo, operando
76

71. 0,087
BIH
> 0 que se cumple siempre para todo valor de 8.
Que se cumpla, siendo e, > 0
- 0 1678 +0,087 < LE
H B/H 6 H
0 lo que es lo mismo
; > 0,51 [4.26]
El valor frontera que separa los valores positivos de e, de los negativos se obtiene
al hacer e, = o en [4.25] de donde resulta
B
H = 0,72
[4.27]
y en definitiva se obtiene:
c-l) Si g 3 0,72, la resultante tiene excentricidad negativa o nula, es decir está
situada a la derecha o en el punto medio de la base y la distribución es siempre trape-
cial. El valor de crmár se obtiene aplicando [4.13] y sustituyendo en ella [4.24].
1
z 2,3 BH
(T -mu
B + B’
y operando
(T mo- 0x3
~ = z30 - cBIHJJ
H
[4.28]
c-2) Si g < 0,72, la resultante tiene excentricidad positiva, pudiendo la distribu-
ción de tensiones ser trapecial o triangular. De acuerdo con [4.26].
Si a 3 0,51, se tiene distribución trapecial y aplicando [4.14] y [4.24]
1
T 2,3 BH B - 0,087 ;’
ì
~rnrir = ~
B BJ
77

72. y operando
0,600
~rnur = 0’ [4.29]
Si g < 0,51, se tiene distribución triangular y de acuerdo con [4.16], teniendo
en cuenta que e, es positivo en este caso
CJrná, =
2 x ; 2,3 BH
B+O167B-O,087fff
2 ’ B
y operando
~móx~ = BIH
H
0,87 ; - ‘g
[4.30]
d) Tensiones bajo el empuje mayorado. Operando en forma completamente aná-
loga a la expuesta en c), pero para
E?= 1,5E=0,45H2
se tiene
e* =
~;2,3BH+0,45H2.;
” I
; 2,3 BH
y operando
e*, = - 0,167B + 0,13;:
y en forma adimensional
g?= -01678+‘2
H ’ H BIH
[4.3 l]
[4.32]
Si Ie*, Id 3 o lo que es lo mismo Ie4 1< a. $ que es la condición para que la
distribución de tensiones sea trapecial, ello puede significar
78

73. -Que se cumpla, siendo en < 0
- 0 l(j,!! + 0913 > - LE
H m’ 6 H
o lo que es lo mismo, operando
que se cumple siempre para todo valor de g .
-Que se cumpla, siendo en > 0
-0,167+# +;.;
y operando
; 2 0.62 [4.33]
El valor frontera que separa los valores positivos de ei de los negativos se obtiene
al hacer ei = 0 en [4.32], de donde resulta
B
p = 0,857 [4.34]
y en definitiva se obtiene:
d-l) Si a = 0.88, 1,d resultante tiene excentricidad negativa o nula, es decir está
situada a la derecha o en el punto medio de la base y la distribución es siempre trape-
cial. El valor de CT,,,~, se obtiene aplicando [4.13] y sustituyendo en ella [4.30].
1
0,167 B - 0,13
dlh =
z *2,3 BH 6. ; - 2,3 BH
B
+ i
B’
y operando
elck 0,897
__ = 2,30 - cBIHj2
H
[4.35]
d-2) Si $ < 0,88, la resultante tiene excentricidad positiva, pudiendo la distribu-
ción de tensiones ser trapecial o triangular. De acuerdo con [4.33].
7 9

74. -Si i 3 0,62, se tiene distribución trapecial y aplicando [4.14] y [4.3 l]
1
T * 2,3 BH 6. f - 2,3 BH
I
0,167 B - 0,13 ;’
ì
cir = -
B B2
[4.36]
y operando
~lib.r _ 0,897
H (BIH) 2
[4.37]
- Si i < 0,62, se tiene distribución triangular y de acuerdo con [4.16], teniendo
en cuenta que ei es negativo en este caso
a$& = _-
2 x f 2,3 BH
3
!
; + 0,167B - 0,13 ;
ì
y operando
B
dIó.r =
0.870 gH- 0%
[4.38]
4.3.2 MUROS TIPO B (fig. 4-4b) (*)
Aceptando como esquema simplificado el de la figura 4-4d) y con los mismos
métodos e hipótesis que en 4.3.1.) se tiene:
a) Seguridad a deslizamiento.
Resultante de las cargas verticales
N’ = 2,3 BH(**)
Empuje del terreno. De acuerdo con [3.14] ’
(*) La lectura de este apartado no es necesaria para la aplicación del método. El lector interesado única-
mente en su aplicación puede pasar directamente al apartado 4.4.
(**) Se considera el conjunto del muro y las tierras que descansan sobre él con densidad 2.3 t/m.‘.
80

75. Despreciando el empuje pasivo frente al muro y aplicando [4.5] con N = N’
[4.39]
b) Seguridad a vueko. Despreciando el empuje pasivo frente al muro y aplican-
do [4.8] con E,. = E,, = 0, se tiene
y operando
c) Tensiones en servicio. Aplicando [4.12] con E,. = 0
2,3 BH-0 + 0,3 H’ ;
e, =
2,3 BH
J operando
y en forma adimensional
4 =O044K’n > B
0,044
2 = (BIH)
es decir que la excentricidad es siempre positiva.
Para que la distribución sea trapecial
0,044 <LE
(BIH) ‘6H
y operando
B > 0,51
H
Si g 3 OJI, distribución trapecial.
[4.40]
[4.41]
[4.42]
[4.43]
2,3 BH +
6 - 2,3 BH * 0,044 g’
ãIr3á.x =
-
B BJ
81

76. y operando
y en forma adimensional
amáx = 2,3 H + 0,615
~már 0,61
~ = 2,3 + (B,H)2
H
Si a < 0,51, distribución triangular.
2 * 2,3 BH
CJmáx =
3
i
y operando
BH
(-JI& =
0,326 B - 0,029 ;’
y en forma adimensional
fln,,i _ BIH
H B 0,029
o’326 i? - (BIH)
[4.44]
[4.45]
[4.46]
[4.47]
d) Tensiones bajo el empuje mayorado. Operando en forma completamente aná-
loga a la expuesta en c), pero para
E* = 1,5 E = 0,45 H2
se tiene
(3 Zr
0,45H’+ s
n 2.3 BH
y operando
e*, = 0.065: [4.48]
82

77. y en forma adimensional
gt- 0,065
H (BIHJ
y la excentricidad es siempre negativa.
Para que la distribución sea trapecial
0,065 IB
yzpp6H
y operando
Si a 3 0,63, distribución trapecial.
2,3BH
CT:,, = ~ t
6*2,3 BH*0,065 G'
B B'
y operando
(T,,,,~, = 2.3 H + 0.90;*
y (:n forma adimensional
*
(Jnui 0,90
~ = 2J + (BIH)ZH
Si B < 0,62, distribución triaungular.
H
y operando
6L =
BH
; 326B - 0,042;'
[4.49]
[4.50]
[4.51]
[4.52]
83

78. y en forma adimensional
GL BIH
- =
H
0,326 B - ~
0,042
H (BIH)
[4.53]
4.4. ABACOS DE PREDIMENSIONAMIENTO
Con las fórmulas obtenidas en 4.3.1 y 4.3.2 se han realizado los ábacos de predi-
mensionamiento GT-1 y GT-2 que resuelven directamente el problema. El ejemplo
4.1 aclara su manejo.
4.5 COMPROBACION DEL ALZADO COMO ESTRUCTURA DE
HORMIGON EN MASA
La sección pésima es la de la base, sometida a un momento flector de cálculo (*).
y sustituyendo E = 0.3 H’
Md = 0,Z y,H3 [4.54]
y a un esfuerzo cortante
vd = yfE
v, = 0.3 yf H2 [4.55]
a) Comprobación aflexión. De acuerdo con EH-88 (Art. 46.4) la tensión de trac-
ción debe ser inferior a
0,45;/fck2
Y’C
donde fck viene en kp/cm*.
La tensión de tracción viene dada por la fórmula de HOOKE, para rebanada
de ancho unidad.
Md5 6M
fJc, = ~ = -
; B3
B2d
(*) Se elige el caso pésimo. que es el muro tipo A, a estos efectos.
84

79. y teniendo en cuenta [4.54] y expresando la fórmula en unidades t y m, excepto fck
que viene en kp/cm?.
036 y, H3 < 49.5 $-c?
B”
fc
de donde
; >.0,365 [4.56]
que es la condición de seguridad frente al estado límite último de flexión (*).
Normamente los muros de hormigón en masa se realizan en condiciones de con-
trol de hormigón reducido, por lo que de acuerdo con 2.2.1, ~(1 = 2,04. Suponiendo
control de ejecución reducido y daños previsibles tipo B, corresponde 7// = 1,80. Con
ello [4.56] toma la forma
[4.57]
que en función de la resistencia de hormigón a emplear y de la altura necesaria, da
la relación $ mínima.
Aun suponiendo el hormigón de resistencia más baja que podría emplearse en
la práctica, conf;.k = 125 kp/cm’, ello conduce a que [4.57] adopte el valor
con H en m, requisito que resulta mucho menos exigente que otras condiciones ante-
riormente expuestas, por lo que la comprobación a flexión nunca es crítica en muros
de gravedad, salvo que los vuelos de la puntera o el talón sean importantes.
b) Comprobación a esfuerzo cortante. De acuerdo con EH-88
Expresando [4.58] en m y t, excepto fck que viene en kp/cm?, se tiene
[4.58]
(*) En sentido estricto deberia considerarse el esfuerzo de compresión debido al peso propio del muro
y eventualmente de las zonas de terreno situadas verticalmente sobre la base, y estudiar el problema
como un caso de flexión compuesta. Como la influencia del esfuerzo de compresión es siempre des-
preciable, no será tenida en cuenta. Por otra parte, y de acuerdo con la tabla T-2.1 debería venir
afectado de y, = 0.9 en vez 1.8 ya que es favorable, lo que reduce aún más su influencia.
85

80. y para yfc = 2,04
Vd < 29.22 B a [4.59]
Teniendo en cuenta [4.55]
0,3.1,8. H2 < 2,22 B s [4.60]
que es la fórmula de comprobación a esfuerzo cortante.
Comof,k no será menor de 125 kp/cm2 [4.60] se transforma en i 3 0,01 H que
resulta menos exigente que otras condiciones anteriormente expuestas, por lo que la
comprobación a esfuerzo cortante nunca es crítica en muros de gravedad.
c) Comprobación a esfuerzo rasante en lasjuntas de hormigonado. Estas se dispo-
nen horizontalmente, a alturas variables según la capacidad de hormigonado.
La tensión rasante pésima, se presentaría en una posible junta situada inmedia-
tamente por encima del plano de cimentación y vale, para una rebanada de espesor
unidad,
vd
~nrd = -
B
y sustituyendo [4.55]
t,d = 02 Yf H2
B
[4.61]
Para y!- = 1,8 tlm3
La Instrucción EH-88 no da reglas para esta comprobación. De acuerdo con
CALAVERA (4.4) adoptaremos
z,,,d < 0945 &d
(unidades en kp/cm2) .
[4.62]
de donde
(unidades en m y t, excepto fcd que debe expresarse en kp/cm’)
Aun suponiendoA.k = 12.5 kp/cm2, se tiene
86

81. ; 3 0,015 H
que es siempre menos exigente que otras condiciones anteriormente expuestas.
d) En resumen, y de acuerdo con lo expuesto, las comprobaciones estructurales
son siempre superfluas en los muros de gravedad y la resistencia mínima del hormigón
deberá fijarse, fundamentalmente, por razones de durabilidad.
4.6 COMPROBACION DE LA PUNTERA Y EL TALON
Normalmente los muros de gravedad no tienen puntera ni talón, o si los tienen
sus vuelos son tan reducidos (fig. 4-5) que no requieren cálculo alguno. Si el vuelo
es importante, la comprobación se hace como si fuera de hormigón en masa, de for-
ma idéntica a lo expuesto en 4.5 para el alzado. En el caso del talón, aparte del peso
descendente del relleno situado verticalmente sobre él (fig. 4-5) y de su peso propio
debe tenerse en cuenta la componente vertical de presiones sobre BC, que da momen-
to negativo y la horizontal que lo da también negativo por tener su resultante por
debajo del punto medio de BC. Todas estas fuerzas tienen efectos despreciables sobre
el talón en la práctica.
Figura 4-5
EJEMPLO 4.1
Se desea construir un muro de hormigón en masa, para sostener un relleno hori-
zontal de material granular con <p = 30”, con altura de 5 m sobre el plano de cimenta-
ción y profundidad de cimentación de 1 ,OO m. Se desea que el ancho en coronación
sea de 0,50 m y el talud del intradós de h. Densidad del hormigón 2,3 t/m-‘. Densidad
del relleno 1,8 t/m3. Angulo de rozamiento entre suelo y muro S = 20”. Resistencia
característica del hormigón ,fck = 225 kp/cm’. Control reducido tanto en materiales
87

82. como en ejecución. Daños previsibles en caso de fallo, exclusivamente materiales.
Tensión admisible en el terreno (ya tenido en cuenta el incremento del 25 %) 2 kp/cm?.
Tensión admisible bajo empujes mayorados 4kp/cm2. Seguridad a deslizamiento ZJ.
Seguridad a vuelco 1,80. Despréciese el empuje pasivo frente al muro.
- Predimensionar el muro.
~ Comprobarlo calculando el empuje por la teoría de COULOM B.
De acuerdo con los datos, el perfil del muro tiene como condicionantes fijos los
indicados en la figura 4-6, siendo por tanto necesario seleccionar la dimensión B de
la base.
LL------l
050
I
I
n
Figura 4-6
1500
a) Predimensionamiento. De acuerdo con 4.3 el muro que se proyecta puede asi-
milarse al TIPO B y según el gráfico GT-2 se tiene:
88
a) Seguridad a deslizamiento. Para C,, = 1,5 el ábaco GT-2 nos da
; 3 0.35 + B 3 1.75 m
b) Seguridad a vuelco. Para C,, = 1,80 el ábaco GT-2 nos da
B
jj 2 0,40 + B > 2,OO.m
c) Tensiones en servicio. Para z,,,,,, - 20 t/m2 y H = .5 m, 2 = 4 t/mj y en-
trando en el ábaco GT-2, se obtiene
B
- 2 0,60
H
B 3 3,00 m