Este documento define los números naturales a través de los axiomas de Peano. Los axiomas establecen que 1 es un número natural y que el sucesor de cualquier número natural también lo es, construyendo así el conjunto de números naturales de forma infinita. Se definen cuatro operaciones básicas en los naturales y se describen algunas de sus propiedades como la conmutativa, asociativa y distributiva.

1. Los números naturales
Definición de los números naturales
Es un tanto dificil definir al conjunto de los números naturales. La definición más aceptada y "amigable"
es la que se dá a través de los Axiomas de Peano, quien basandosé en una lógica de segundo orden
logró axiomatizar a este conjunto.
Acá hay que hacer un pequeño alto antes de explicar. Hay dos formas de presentar los axiomas de
Peano, una es a partir del 0 y la otra a partir del 1. En este caso, voy a tomar la definición a partir del 1
dado que es la mas usada.
Axiomas de Peano
1- El 1 es un número natural.
2- Si 'n' es un número natural, entonces su sucesor 'n+1' también es un número natural.
3- El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4- Si 'n' y 'm' son dos números naturales, de forma tal que 'n+1=m+1', entonces n=m
5- Si 'S' es un conjunto de números, que contiene al 1 y al sucesor de cada número
perteneciente a S, entonces S contiene a todos los números naturales.
Bien, ahora hay que explicar. Partimos de la base de que el 1 es un número natural, y a
partir de aca empezamos a construir nuestro conjunto. En el segundo axioma se definen a
los demás elementos del conjunto: dado cualquier número, ya sea 1, 2, 3, 4 o 1.000.000, la
suma entre ese número y uno pertenece al conjunto de los números naturales.
Intuitivamente esto implica dos cosas: la primera es que el conjunto de los números
naturales es infinito, es decir que cualquier número, en principio, tiene sucesor o que
cualquiera sea el número que yo tenga, siempre voy a poder encontrar uno más grande al
sumarle el 1; la segunda es que todos los números pertenecientes a los naturales son
enteros (vulgarmente, no tienen coma). El tercer axioma es el que termina de definir a los
elementos del conjunto. El hecho de que el número 1 no sea sucesor de ningún otro quiere
decir que no existe ningún número que al sumarle 1 nos dé 1. De esta manera el 1 es el
primer elemento del conjunto de los números naturales y quedan excluidos de él el 0 y los
números negativos.
El cuarto axioma es, ami parecer, el más entendible de todos. Si tenemos 2 números
naturales cualquiera, y sus sucesores son iguales, entonces esos dos números también
tienen que ser iguales. Esto implica que para cada número natural, existe un sólo sucesor.
El quinto axioma es el que en matemática se conoce como "Principio de inducción" y es
quizás el más dificil de entender. Pero veámoslo así: S es un conjunto de números
naturales, que comprende al 1 al sucesor de cada número perteneciente a él mismo. La
forma de S seria así:
S={1, 1+1, (1+1)+1, (1+1+1)+1, ......}
Donde 1 es el primer elemento del conjunto. El sucesor de 1 es 1+1=2, el segundo
elemento. El sucesor de 2 es (1+1)+1=2+1=3, el tercer elemento. Y así podemos seguir ad
infinitum, dado que cualquiera sea el número que elijamos su sucesor pertenece al conjunto
S.
Recordando el axioma 2, si el sucesor de un número natural es otro número natural, el
primer elemento de S es el 1, y S contiene al sucesor de cada uno de sus elementos,
entonces S debe contener a todos los números naturales.
De esta forma ya tenemos construido el conjunto de los números naturales de una manera
un tanto intuitiva. La construcción verdadera es un tanto más larga y comprende
conocimientos de matemática que no tengo la intención de explicar (y algunos que no
entiendo del todo) ya que no sería entendible para todos. Sin embargo encontré en un foro
de una página de matemática la construcción completa y dejo el link para el que esté
interesado/a.
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.0.html

2. Operacionesde los números naturales
Podemos definir 4 operaciones básicas para los números naturales: la suma (+), la resta (-
), la multiplicación ( . ó x) y la división ( / , ÷ , : ). No voy a explicar cómo se procede con
cada operación, pero voy a hacer algunas observaciones.
1- La suma y la multiplicación son operaciones cerradas en el conjunto de los naturales.
Esto quiere decir que si sumamos o multiplicamos 2 números naturales, cualquiera sean
esos números, el resultado SIEMPRE es un número natural.
2- La resta y la división son operaciones abiertas en el conjunto de los naturales. En otros
palabras, NO SIEMPRE que restemos o dividamos dos números naturales, vamos a obtener
como resultado un número natural. De esta forma operaciones como 1-3 ó 7/2 NO EXISTEN
en los números naturales ya que su resultado no es un número natural.
Propiedades de cada operación
Propiedad conmutativa
Esta propiedad sólo la cumplen la suma y la multiplicación. Para la suma, es significa que al
sumar dos números el resultado es el mismo. Cualquiera sea el orden de los números. De
otra forma si tenemos dos números cualquiera 'n' y 'm' la suma 'n+m' es igual a la suma
'm+n'. Lo mismo pasa en la multiplicación, el orden de los factores no altera el producto. Es
decir, 'n x m=m x m'.
En el caso de la resta esta propiedad no se cumple. Para ejemplificar, la resta 3-2= 1 no es
lo mismo que la resta 2-3, cuyo resultado es un número negativo. Tampoco se cumple para
la división. esto se puede probar de manera muy simple: la división 6/3 da como resultado el
número 2; pero si se cambia el orden de los números y se hace la división 3/6 el resultado
es 0,5 que no pertenece al conjunto de los números naturales (OBSERVACION: para que
una división este definida en los números naturales el dividendo, o número que se divide,
debe ser mayor que el divisor, o número por el cual se divide; pero ademas estos deben ser
multiplos, de otra manera el resultado es un número que no pertenece a los naturales.
Ejemplo: 5/2=2,5)
Propiedad asociativa
Propiedad que sólo cumplen la suma y la multiplicación. Al tener sumar 3 ó más números el
resultado es el mismo independientemente del orden en que hagamos la operacion. Así, si
tenemos los números 'n', 'm' y 'o':
'(n+m)+o=n+(m+o)' y '(n x m) x o=n x (m x o)'
En el caso de la resta y la división es fácil ver que esta propiedad no se cumple mostrando
ejemplos con números:
'(5-4)-3≠5-(4-3)' y, '(8/4)/2≠8/(4/2)
Propiedad del elemento neutro
En los números naturales, sólo la cumplen la multiplicación y la división. Esta propiedad dice
que existe un número tal que al operar un número cualquiera 'n' con ese elemento neutro, el
resultado es 'n'. Para la multiplicación y la división el elemento neutro es el 1 (Aclaración: en la
suma y la resta el elemento neutro es el 0, que NO ESTA DEFINIDO en los naturales).
ejemplificando:
'4 x 1=4' y '5/1=5'

3. Propiedad distributiva
Esta propiedad es la que una a la suma y la multiplicación. Implica que la suma de dos
números, cualquiera sean esos números, multiplicados por un tercero es igual a la suma de
cada sumando multiplicada por cada tercer número. De esta forma, si tenemos los números
'n', 'm', y 'o':
'(n+m) x o=n x o + m x o'
Ejemplo numerico:
(4+10) x 2=4 x 2 + 10 x 2=28
Fuente
http://mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html
Aclaración: en esa página sólo estan los axiomas de Peano en inglés, los cuales modifiqué
pues estan definidos a partir del 0 y no del 1 como se hace generalmente. Lo demás es mío.