Usamos la clásica prueba de que p 2 es irracional para introducir el lenguaje y los modelos de razonamiento tpicos de la logica (matematica) y el algebra. Al mismo tiempo, esta prueba sirve como pretexto para introducir los conceptos de la aritmetica de los numeros.

1. Cap´ıtulo 1: Introducci´on al ´algebra
por G3
Agosto 2014
Resumen
Usamos la cl´asica prueba de que
√
2 es irracional para introducir el
lenguaje y los modelos de razonamiento t´ıpicos de la l´ogica (matem´atica)
y el ´algebra. Al mismo tiempo, esta prueba sirve como pretexto para
introducir los conceptos de la aritm´etica de los n´umeros.
La l´ogica est´a en la base del ´algebra (de hecho, de todas las ramas de las
matem´aticas). La l´ogica sirve para hacer demostraciones de ciertos hechos
que no resultan evidentes, o bien para confirmar la evidencia de otros. Por
ejemplo:
Teorema 1. El n´umero
√
2 es irracional.
En efecto, la ´ultima afrimaci´on no es del todo evidente. Para empezar
a entender que significa este teorema debemos contextualizarlo. Primero,
¿qu´e es lo que entendemos por “ra´ız cuadrada de un n´umero”?
Definici´on 1. Decimos que un n´umero y es la ra´ız cuadrada de un n´umero
x, si y2 = x. Escribimos y =
√
x.
Queda claro entonces que la afirmaci´on de teorema 1, puede traducirse
diciendo: si y es un n´umero tal que y2 = 2, entonces y es irracional.
Pero, ¿qu´e significa que un n´umero sea irracional? Describimos en
seguida la clasificaci´on t´ıpica de los n´umeros.
1

2. N´umeros Naturales N. (De Natural en ingl´es). Los n´umeros naturales
son:
1, 2, 3, 4, ...
Aveces se incluye el cero. En este curso empezaremos siempre con 1
la lista de los n´umeros naturales.
En los n´umeros naturales definimos dos operaciones: suma y producto.
La suma de los n´umeros naturales m y n es un otro n´umero natural que
denotamos m + n. El producto es otro n´umero natural que denotamos mn.
El producto en N se entiende como una suma, por ejemplo, el producto
3 · 4, cuyo resultado es 12, podemos verlo como la suma del n´umero 4 con
sigo mismo 3 veces:
3 · 4 = 4 + 4 + 4 = 12,
o bien, tambi´en podemos verlo como la suma del n´umero 3 con sigo mismo
4 veces:
3 · 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
Pero la diferencia de n´umeros naturales en general no est´a definida dentro
de los n´umeros naturales. Por ejemplo, el resultado de la operaci´on
1 − 2
no existe en N. Aunque ciertamente, si m y n son n´umeros naturales tales
que m < n, entonces el resultado de
n − m
es un n´umero natural, por ejemplo,
2 − 1 = 1, 7 − 3 = 4, etc.
Postulamos entonces una definici´on con restricciones.
Definici´on 2. Si m y n son n´umeros naturales tales que m < n, entonces
definimos la diferencia de n menos m como el n´umero natural, que denota-
mos como n − m, tal que cumple
n = (n − m) + m.
2

3. Aqu´ı hay que detenermos un momento. Debemos aclarar un poco m´as la
naturaleza de la representaci´on que usamos para las operaciones aritm´eticas
b´asicas. Por supuesto, es factible (solo es una cuesti´on pr´actica) realizar
cualquier operaci´on particular como 21346 + 5673, o como (456223)(87215).
Hay algoritmos espec´ıficos para ello que aprendemos desde la educaci´on
primaria. No importa qu´e par de n´umeros intervengan en realidad. El
m´etodo es siempre aplicar el mismo algoritmo en todos los casos. Y en todos
ellos obtendremos siempre n´umeros naturales. De esta indudable confianza,
afirmamos que, en general, dados dos n´umeros naturales m y n, existen
otros n´umeros naturales, m + n y mn, que interpretamos como la suma y
el producto de m y n, respectivamente. Este es un t´ıpico ejemplo de razon-
amiento inductivo usado no para probar un argumento, sino para definir un
concepto matem´atico, en este caso, las operaciones artim´eticas.
La definici´on inductiva (descrita en el p´arrafo arriba) de las operaciones
aritm´eticas parece, en cierto modo, inexcusable. Afirmar simplemente que,
dados naturales m y n, existen un natural m + n no significa absolutamente
nada.
N´umero enteros Z. (De Zahlen, n´umero en alem´an). Los n´umeros enteros
son:
..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Por supuesto, todo n´umero natural es tambi´en un n´umero entero.
La relevancia del conjunto Z, es que la operaci´on suma incluye tambi´en
a la operaci´on diferencia como caso particular. La cosa es asumir que para
cada n´umero entero n, existe otro n´umero entero, que llamamos inverso
aditivo de n, y que denotamos como −n, de tal modo que se cumplen las
igualdades
n + (−n) = −n + n = 0.
Por supuesto, en todo este cuento, asumimos que el n´umero cero es neutro
para la adici´on, es decir, definimos el n´umero entero 0 como el ´unico n´umero
entero tal que para cualquier otro entero n,
n + 0 = 0 + n = n.
3

4. De tal suerte que el conjunto Z es como una “extensi´on” del conjunto
N, pues asumimos que los inversos aditivos de los n´umeros naturales son
justamente los n´umeros negativos, los cuales agregamos a N junto con el
cero para completar al conjunto Z.
En general, para cualesquiera dos n´umeros enteros m y n, la diferencia
de n menos m queda definida como la suma de n con el inverso aditivo de
m, es decir,
n − m = n + (−m).
N´umeros pares. En Z est´an los n´umeros pares:
..., −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, ...
En general, un n´umero entero a es par si tiene la forma
a = 2n, para alg´un entero n.
Es decir, un n´umero entero es par si, y s´olo, si tiene al 2 como factor.
N´umeros impares. En Z est´an los n´umeros impares:
..., −5, −3, −1, 1, 3, 5, ...
En general, un n´umero entero a es impar si tiene la forma
a = 2n + 1, para alg´un entero n.
Pero aqu´ı hay dos cuestiones interesantes acerca de ciertos hechos que
casi siempre asumimos como obvios.
Cuesti´on 1. ¿Por qu´e un n´umero par es distinto de un n´umero impar? O
de forma m´as simple, ¿por qu´e 1 = 2?
Cuesti´on 2. ¿Por qu´e la colecci´on de n´umeros enteros queda completa con
la reuni´on de los n´umeros pares y los n´umeros impares?
Puede parecer bastante raro llegar a este nivel de cuestionamientos, dado
que, en cuanto a la primera cuesti´on, nos parece evidente que un n´umero
4

5. par debe ser distinto de por s´ı de cualquier n´umero impar. Finalmente, todo
mundo sabe, por ejemplo, que tener 2 pesos en el bolsillo es mejor que tener
1 peso. En cuanto a la segunda pregunta, es siempre obvio asumir que los
enteros pueden ponerse en una lista creciente
· · · < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < · · ·
lo que impl´ıcitamente significa que no hay n´umeros enteros entre los “huecos”
que hay entre cada n´umero de la lista anterior. De modo que pares e impares
completan todos los n´umeros enteros.
Pero, ¿cu´al es la raz´on de esta seguridad? Si es s´olo la experiencia,
entonces es leg´ıtimo preguntar donde est´a el dato de la experiencia que nos
ofrece la raz´on para que existan los n´umeros negativos, o m´as a´un, para los
n´umeros irracionales. As´ı que la propia experiencia nos conduce tambi´en,
inenudiblemente, a callejones aparentemente sin salida.
Por ahora dejaremos hasta aqu´ı esta discusi´on, aunque m´as adelante
en el curso volveremos a ella, con mayores herramientas para abordarla.
Asumiremos entonces que la reuni´on de los n´umeros pares e impares es la
totalidad de los n´umeros enteros, y que dichos conjuntos de n´umeros son en
todo diferentes (disjuntos o ajenos, en lenguage m´as preciso).
Ahora probamos algunos hechos relativos a los n´umeros pares e impares
Lema 1. Si a es un entero par, entonces a2 es un entero par.
Demostraci´on. Si a es par, entonces tiene la forma a = 2n, para alg´un entero
n. Luego,
a2
= (2n)2
= 22
n2
= 2(2n2
),
y desde luego, el n´umero 2n2 es entero, y por tanto a2 es par.
Lema 2. Si a es un entero impar, entonces a2 es un entero impar.
Demostraci´on. Si a es impar, entonces tiene la forma a = 2n+1, para alg´un
entero n. Luego,
a2
= (2n + 1)2
= 22
n2
+ 2(2n) + 1 = 2(2n2
+ n) + 1,
y desde luego, 2n2 + n es un n´umero entero, y por tanto a2 es impar.
5

6. Teorema 2. Si a es un n´umero entero, entonces a2 es par si, y s´olo si, a2
es par.
Observaci´on 1. Este teorema est´a compuesto de dos partes:
Condici´on necesaria: a es par s´olo si a2 es par. Esto es, si a es par
entonces a2 es par. Decimos entonces que “a2 es par” es una condici´on
necesaria de “a es par”.
Condici´on suficiente: a es par si a2 es par. Esto es, si a2 es par entonces
a es par. Decimos entonces que “a2 es par” es una condici´on suficiente
de “a es par”.
Demostraci´on. Demostramos primero la condici´on necesaria. Supongamos
que a es par. Debemos mostrar que a2 es par. Pero ello ya est´a hecho en el
lema 1.
Ahora mostraremos la condici´on suficiente. Supongamos que a2 es par.
Queremos mostrar que a es par. Si no lo fuera, es decir, si a es impar,
entonces del lema 2, se sigue que a2 es impar, lo cual es contradictorio con
nuestro supuesto. As´ı que a debe ser par.
N´umeros primos. Un conjunto de n´umeros realmente importante, es el de
los n´umeros primos. Los n´umeros primos son los n´umeros naturales
mayores que 1, que no tienen factores, salvo el propio n´umero y el
n´umero 1. Dicho de otra forma, un n´umero natural p es primo si
p > 1, y si los ´unicos divisores de p son 1 y p mismo.
En la tabla siguiente enlistamos los primeros 20 n´umeros primos
2 3 5 7 11
13 17 19 23 29
31 37 41 43 47
53 59 61 67 71.
De los n´umeros primos puede decirse tanto que calquier cosa que se diga
aqu´ı es muy poca cosa. S´olo recordaremos el teorema fundamental de la
aritm´etica, conocido dese los cursos elementales.
6

7. Teorema 3. Todo n´umero natural mayor que 1 es un producto finito de
n´umeros primos.
Demostraci´on. La prueba de este hecho es casi elemental y el argumento es
iductivo. Es decir, asumiendo que si n es un natural tal que todo n´umero
menor o igual que n puede escribirse como producto finito de primos, en-
tonces se prueba que n + 1 cumple tambi´en dicha propiedad. Luego, dado
que los n´umeros 2 y 3 son en s´ı mismos un producto finito de n´umeros pri-
mos, se desencadena la “m´aquina inductiva”, pues se sigue que tambi´en el
4 es un producto finito de primos (de hecho, 4 = 2 · 2), y de aqu´ı que el
5 tambi´en lo es, y as´ı mismo el 6, el 7, 8, 9, 10,.... en s´ıntesis, se sigue
que todos los n´umeros naturales mayores que 1, son un producto finito de
primos.
Vamos con mayor detalle este argumento:
Supongamos que n > 1 es un n´umero natural tal que si 1 < k ≤ n,
entonces k es un producto finito de n´umeros naturales. A este supuesto
le llamamos hip´otesis inductiva. Queremos verificar que n + 1 es tambi´en
producto finito de primos.
Pues bien, pasamos a analizar la naturaleza del n´umero n + 1.
Si n + 1 no es primo, entonces tiene un factor a tal que 1 < a < n + 1.
Sea b el cociente de n + 1 dividido entre a. Como b ≤ n y a ≤ n, entonces,
seg´un la hip´otesis inductiva, a y b son productos finitos de n´umeros primos,
y dado que n + 1 = ab, se sigue que n + 1 es un producto finito de n´umeros
primos, como quer´ıamos ver.
En caso de que n+1 sea primo, entonces n+1 es en s´ı mismo un producto
finito de n´umeros primos y no hay nada m´as que hacer.
Ahora, el paso crucial es verificar que en efecto existe alg´un n > 1 que
cumple la hip´otesis inductiva. Pues si esto ocurre, tendremos la certeza
de que cualquier natural cumplir´a lo que deseamos, seg´un hemos mostrado
arriba.
Pero basta ver la lista de algunos de los primeros n´umeros naturales
expresados como producto de primos (ver abajo) para asegurar con certeza
7

8. que hay muchos naturales que cumplen la hip´otesis inductiva.
2 = 2 3 = 3 4 = 2 · 2 5 = 5 6 = 2 · 3
7 = 7 8 = 2 · 2 · 2 9 = 3 · 3 10 = 2 · 5.
Se concluye as´ı que los n´umeros primos son suficientes para construir el
resto de los n´umeros enteros (junto con el cero y el uno), de ah´ı su nombre.
N´umeros racionales Q. (Del ingl´es Quotient, cociente). En cierto sen-
tido, los n´umeros enteros son un conjunto incompleto, pues no admite
en general la operaci´on cociente. Por ejemplo, ecuaciones sencillas del
tipo
2x − 1 = 0,
no tienen soluci´on en Z. Pero si admitimos los cocientes de n´umeros
enteros, entonces esta ecuaci´on tiene por soluci´on x = 1
2.
Los n´umeros racionales son todos los cocientes de n´umeros enteros. Es
decir, los n´umeros de la forma m
n , donde m y n son enteros y n = 0.
Ahora bien, toda expresi´on racional de la forma m
n tiene una expresi´on
m´ınima, esto es, siempre existen enteros m y n sin factores comunes tales
que
m
n
=
m
n
.
Esto es f´acil de verificar a partir del hecho de que todo entero es o bien
un producto finito de n´umeros primos o bien el negativo de un producto
finito de n´umeros primos. De modo que el mayor factor com´un de m y n se
obtiene como el producto de todos los factores primos de m y n, incluyendo
multiplicidades. Es decir, existe un n´umero natural k, que llamamos m´aximo
com´un divisor de m y n, igual al producto de todos los factores primos tanto
de m como de n, expresados en su mayor potencia. Por tanto existe un par
de enteros m y n sin factores comunes, tales que m = km y n = kn . De
donde se obtiene la expresi´on reducida m
n de m
n .
Ahora bien, todo n´umero racional tiene una expansi´on decimal finita
o bien peri´odica. En efecto, supongamos que m y n son n´umeros enteros
8

9. donde n > 0 y m > 0. Entonces, en la divisi´on de m entre n, cuyo algoritmo
representamos como
a0
n m
r1
el residuo es un n´umero entero r1 tal que 0 ≤ r1 ≤ n − 1. Continuando este
algoritmo (en su caso), tenemos que, seg´un lo que aprendimos en primaria,
a0 . a1
n m
r1
r2
Nuevamente, el residuo r2 es un entero tal que 0 ≤ r2 ≤ n − 1. En general,
si continuamos sucesivamente este algoritmo, en cada momemento obten-
dremos siempre un residuo rk, el cual es un n´umero entero entre 0 y n − 1.
Por lo tanto, dado que el conjunto de residuos 0, 1, ...,n − 1, es finito, en
alg´un momento, digamos depu´es de k∗ pasos, deber´a suceder que rk∗ = 0, o
bien, rk∗ = 0 y rk∗ = rj para alg´un j entre 1 y k∗ − 1.
En el primer caso, cuando, rk∗ = 0, la expresi´on decimal del cociente
m/n es finita.
En el segundo caso, cuando rk∗ = 0 y rk∗ = rj para alg´un j entre 1 y
k∗ − 1, la expresi´on decimal del cociente m/n es peri´odica.
Rec´ıprocamente, cualquier n´umero con expresi´on decimal finita o peri´odica,
es un n´umero racional. En efecto. Sea x un n´umero con expresi´on decimal
finita, entonces
x = a0.a1 . . . an,
donde a0 es un entero y cada ai es un n´umero entre 0 y 9, i = 1, ..., n.
Entonces
10n
x = a0a1 . . . an,
de donde
x =
a0a1 . . . an
10n
.
9

10. Por ejemplo, el n´umero 21.34509, es igual a la fracci´on
2134509
100000
.
Por otra parte, si x es un n´umero con expresi´on decimal peri´odica, digamos
de la forma
x = a0.a1a2 · · · anb1b2 · · · bkb1b2 · · · bk · · · ,
donde a0 es un entero, y cada ai y aj son n´umeros entre 0 y 9. En este caso,
el periodo est´a dada por la serie de n´umeros d´ıgitos b1b2 . . . bk. Entonces
10n
x = a0a1a2 · · · an.b1b2 · · · bkb1b2 · · · bk · · · y
10n+k
x = a0a1a2 · · · anb1b2 · · · bk.b1b2 · · · bkb1b2 · · · bk · · · ,
de donde
10n
(10k
− 1)x = a0a1a2 · · · anb1b2 · · · bk − a0a1a2 · · · an,
y por tanto
x =
a0a1a2 · · · anb1b2 · · · bk − a0a1a2 · · · an
10n(10k − 1)
.
Por ejemplo, el n´umero −11.34567567567 · · · es igual a la fracci´on
−1133433
99900
.
De esta forma, hemos dado una prueba m´as o menos formal del siguiente
resultado.
Teorema 4. Un n´umero x es racional si, y s´olo si, x tiene una expresi´on
decimal finita o peri´odica.
N´umeros irracionales y n´umeros reales. Los n´umeros irracionales son,
obviamente, los n´umeros que no son racionales. O sea, aquellos que
no son cocientes de n´umeros enteros. O lo que es lo mismo, aquellos
cuya expresi´on decimal no es finita ni peri´odica. El conjunto R de los
n´umeros reales es la reuni´on de los n´umeros racionales e irracionales.
10

11. ¿Qu´e pasa entonces con el n´umero
√
2? Con una calculadora de m´as de
60 cifras decimales, obtenemos que
√
2 ≈ 1.414235623730950488016887242096980785671875376948073176679 · · ·
Al menos hasta aqu´ı, no se ve que esta cifra de decimales sea finita o al
menos peri´odica. Tendr´ıamos que encontrar una calculadora m´as poderosa
para buscar alg´un periodo o para ver si en alg´un momento se acaba esta
serie de cifras.
Obviamente, esta tarea es in´util. Si descubrimos, despu´es de usar una
calculadora m´as poderosa que esta serie de cifras no se acaba, y que no es
posible identificar una serie de d´ıgitos peri´odica, entonces necesitaremos otra
calculadora m´as poderosa que la anterior, y as´ı sucesivamente.
Desafortunadamente, no hay un n´umero infinito de calculadoras, ni hay
calculadoras con la capacidad de calcular una infinidad de n´umeros deci-
males. (El equipo del profesor Daisuke Takahashi, en Jap´on, lleg´o a calcular
el n´umero π con una exactitud de hasta 2.5 billones de decimales).
Debemos entonces encontrar un argumento que nos de una respuesta.
Este argumento deber´a ser de tipo deductivo.
Prueba del Teorema 1. Supongamos que
√
2 es racional. Entonces existen
enteros m y n, con n = 0, tales que
√
2 =
m
n
.
Podemos escoger m y n sin factores comunes. Ahora, como m =
√
2n, se
sigue
m2
= (
√
2)2
n2
= 2n2
.
As´ı que m2 es par. Por tanto, m es par. As´ı, m = 2k para alg´un entero k.
Pero entonces
4k2
= m2
= 2n2
,
de donde
n2
= 2k2
.
Por tanto n es par. As´ı que m y n tienen factor com´un 2. Pero esto
contradice la elelecci´on de m y n. Luego,
√
2 no es racional.
11

12. En la prueba anterior hemos usado el m´etodo de demostraci´on por con-
tradicci´on, que ya usamos antes en la prueba del teorma 2. Este m´etodo
es usual en todas las matem´aticas. Existe una gran variedad de ideas y
argumentos que dan origen a este tipo de pruebas. Para acabar estas notas
ofrecemos un ´ultimo ejemplo.
Teorema 5. El n´umero
√
3 es irracional.
Demostraci´on. Supongamos que
√
3 es racional. Sean entonces p1 y q1 un
par de enteros distintos de cero tales que
√
3 = p1
q1
. Podemos suponer que
p1 y q1 son positivos. Note que 1 <
√
3 (en virtud de que 1 < 3). As´ı que
p1 > q1. Note ahora que
√
3 =
2
√
3 − 1
− 1
(Ello se sigue de la igualdad (
√
3 + 1)(
√
3 − 1) = 2). De modo que
√
3 =
2
p1
q1
− 1
− 1 =
3q1 − p1
p1 − q1
.
Pero p1
q1
< 3. (En virtud de que 3 < 32). As´ı que 3q1 − p1 > 0. Pero adem´as,
3
2
<
p1
q1
< 2,
(En virtud de 32 < 22(3) y 3 < 22). As´ı que 3q1 − p1 < p1 y p1 − q1 < q1.
Sean p2 = 3q1 − p1 y q2 = p1 − q1. Hemos probado que 0 < p2 < p1,
0 < q2 < q1 y
√
3 = p2
q2
. Repetimos entonces lo anterior para encontrar un
par de enteros p3 y q3 tales que 0 < p3 < p2, 0 < q3 < q2 y
√
3 = p3
q3
.
Sucesivamente, podemos encontrar colecciones de n´umeros enteros
0 < · · · < pn+1 < pn < · · · < p1 y 0 < · · · < qn+1 < qn < · · · < q1,
tales que
√
3 = pn
qn
. Pero esto significa en particular que entre 0 y p1 hay
una infinidad de n´umeros enteros, lo cual es imposible.
Por lo tanto,
√
3 no puede ser racional. Es irracional.
12