Operatoria con números reales, conjuntos numéricos,

1. OPERATORIA CON
NÚMEROS REALES

2. RECORDEMOS QUE:

3. ℝ= ℚ ∪ 𝕀
• La unión del conjunto de los números racionales (ℚ) con
el conjunto de los números irracionales (𝕀) conforman el
conjunto de los números reales (ℝ).
• Se llaman números reales todos aquellos números que
pertenecen a este conjunto, es decir, aquellos números
que se pueden expresar en forma decimal finita o
infinita.
• Ejemplos:
• 2 =
•
1
3
=
• −𝜋 =

4. AXIOMAS DE CUERPO
• 1. Conmutatividad
• Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ se cumple que:
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑦 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎
• 2. Asociatividad
• Para todo 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ se cumple que:
• 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑦 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐
• 3. Distributividad
• Para todo 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ se cumple que:
• 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐

5. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
• Existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números
reales, vale decir, que no quedan espacios en la recta por llenar.

6. • Igualdad en los números reales: Dos o más números reales son iguales si tienen igual parte
entera e igual parte decimal.
• Relación de orden: Dados dos números reales a y b, se dice que 𝑎 ≥ 𝑏 (“a es mayor o igual
que b”) si 𝑎 − 𝑏 es un número real positivo o es cero.
• Considerando que todo número real se puede expresar como un número decimal, se puede
establecer un orden para dos o más números reales comparando cifra a cifra:
• Ejemplo:
• 0,498 0,4975

7. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
• 1. Clausura
• Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ se cumple que:
𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℝ
• 2. Elemento neutro
• Para todo 𝑎 ∈ ℝ se cumple que:
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 𝑦 𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎
• 3. Elemento inverso
• Para todo 𝑎 ∈ ℝ se cumple que:
𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0 𝑦 𝑎 ∙
1
𝑎
= 1, 𝑎 ≠ 0

8. ORDEN OPERATORIO
• Para desarrollar ejercicios donde aparezcan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones,
potencias, etc., se debe tener presente que existe un orden operatorio. El orden es el
siguiente:
• 1. Potencias
• 2. Multiplicaciones y divisiones
• 3. Sumas y restas
• Por otra parte, si encontramos paréntesis dentro de algún ejercicio, nos indica que debemos
comenzar con las operaciones que están dentro de él.
• Por ejemplo:
6 + 4 ∙ 14 − 22
∙ 3 − 26 ÷ 2

9. M.C.M.
• El mínimo común múltiplo (M.C.M.) entre dos o más números reales es el número más
pequeño entre todos los múltiplos que tengan en común.
• Por ejemplo:
• Múltiplos de 4 = 4,8,12,16,20,24,28,32,36, …
• Múltiplos de 6 = 6,12,18,20,30,36,42, …
• Por lo tanto, la intersección entre ambos conjuntos es: = 𝟏𝟐, 24,36, …
De este modo, el M.C.M. entre 4 y 6 es 12.

10. M.C.D.
• Por otra parte, al referirnos al Máximo común divisor entre dos o más números reales,
estamos hablando del divisor más grande que tienen en común.
• Por ejemplo:
• Divisores de 16 = 1,2,4,8,16
• Divisores de 40 = 1,2,4,5,8,10,20,40
• Por lo tanto, la intersección entre ambos conjuntos es: = 1,2,4, 𝟖
De este modo, el M.C.M. entre 16 y 40 es 8.
• Ejercicio: Encontrar el M.C.D. entre 16 y 40 por medio de una tabla.

11. REGLAS DE MULTIPLICIDAD Y
DIVISIBILIDAD
• Para multiplicar o dividir números reales debes tener en cuenta su signo.
Para esto considera siempre la siguiente tabla:
• Además:
• Todos los números son divisibles por 1.
• Los números divisibles por 2, son todos aquellos cuyo último digito es par o 0.
• Los números divisibles por 3, son todos aquellos que cumplen que la suma de
sus dígitos es divisible por 3.
• Los números divisibles por 4, son todos cuyos últimos dos dígitos forman un
número divisible por 4.
• Los números divisibles por 5, son todos aquellos que terminan en 5 o 0.
• Los números divisibles por 6, son todos aquellos que son divisibles por 2 y por 3
al mismo tiempo.

12. OPERACIONES CON FRACCIONES
• Para multiplicar fracciones se deben
multiplicar los numerados para obtener el
resultado del numerados y realizar el
mismo procedimiento con el denominador.
• Ejemplos:
•
5
4
∙
6
7
=
•
3
2
∙ 3 =
•
1
4
∙
1
7
=
• En el caso de la división, el procedimiento
involucra que la multiplicación “cruzada”.
O también, y de una forma más sencilla,
podemos “transformar” la división en una
multiplicación invirtiendo el numerador
por el denominador en el divisor.
• Ejemplos:
•
7
6
÷
3
8
=
•
8
3
÷
4
9
=
•
1
6
÷
1
7
=

13. OPERACIONES CON FRACCIONES
• Cuando tienen igual denominador, se
operan los numeradores.
• Ejemplo:
•
7
4
−
9
4
=
• Pero cuando los denominadores son
distintos es necesario amplificar cada una
de las fracciones de forma tal de
igualarlos. Corresponde al M.C.M. entre
todos los denominadores.
• Ejemplo:
•
7
6
+
5
12
−
7
4
=
SUMA Y RESTA

14. RESOLVAMOS
1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, considerando que p,
q y r pertenecen al conjunto de los números reales. Mencione un contraejemplo
en el caso de las falsas.
a. 𝑝 + 𝑞 es siempre un número real
b. 𝑞 ∙ 𝑟 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
c. 𝑝 ∙ 𝑟 < 0
d. Si 𝑝 > 𝑞 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑝
𝑞
> 1

15. • Marca la casilla
correspondiente
de los siguientes
números reales.
ℕ ℤ ℚ 𝕀
1
4
−
16
2
0
π
− 5
-0,66