Este documento presenta diferentes temas relacionados con la resolución de desigualdades lineales, incluyendo cómo representar soluciones gráficamente en la recta numérica y con notación de intervalos, cómo resolver desigualdades compuestas con "y" u "o", y cómo resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. También incluye ejemplos para ilustrar los conceptos y métodos para resolver desigualdades.

1. Matematicas Nivelatoria
“Hay una fuerza motriz más poderosa que el
vapor, la electricidad y la energía atómica.
Esa fuerza es la voluntad. (Albert Einstein)”
Ing. Medardo Galindo

2. Resolución de desigualdades
lineales
• Resolver desigualdades
• Representar soluciones gráficamente en
la recta numérica, notación de intervalo y
conjuntos de solución
• Resolver desigualdades compuestas que
incluyan ´´y´´
• Resolver desigualdades compuestas que
incluyan ´´o´´

3. Resolver desigualdades
𝑆𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑
> 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒
≥ 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
< 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒
≤ 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

4. • Una expresion matematica con uno o mas
de estos simbolos es una desigualdad.
• La direccion del simbolo de desigualdad a
veces de denomina orden o sentido de la
desigualdad.
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
2𝑥 + 3 ≤ 5 4𝑥 > 3𝑥 − 5 1.5 ≤ −2.3𝑥 + 4.5
1
𝑥+3≥0
2

5. 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
1. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐
2. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐
3. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑦 𝑐 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
𝑎 𝑏
4. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑦 𝑐 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 >
𝑐 𝑐
5. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑦 𝑐 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
𝑎 𝑏
6. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑦 𝑐 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 <
𝑐 𝑐

6. • Las primeras dos propiedades establecen
que podemos sumar o restar el mismo
numero en ambos lados de una
desigualdad
• La tercera y cuarta que ambos lados
pueden multiplicarse o dividirse por
cualquier numero real o positivo

7. • Las dos ultimas propiedades indican que
cuando ambos lados se multiplican o
dividen por un numero negativo, la
dirección se invierte.

8. 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
4 > −2
−1 (4) < −1 (−2) 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒
−4 < 2 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
10 ≥ −4
10 −4
≤
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 5𝑡 − 7 ≥ −22 −2 −2
−5 ≤ 2

9. Representar soluciones
gráficamente, intervalo y CS
• Recuerde que en la recta numérica, un
circulo relleno indica que el punto extremo
es parte de la solución.
• Un circulo vacio indica que el punto
extremo no es parte de la solución.
• En la notación de intervalos se utilizan los
corchetes, para indicar que los puntos
extremos son parte de la solución

10. Reducir términos semejantes
• Los paréntesis, , indican que los
puntos extremos no son parte de la
solución.
• El símbolo ∞ , que se lee infinito, indica
que el conjunto solución continua
indefinidamente.

12. Resolver las siguientes
desigualdades
• De la solución tanto en la recta numérica
como en notación de intervalo.
1 1 2𝑧
𝑧− < +2
4 2 3
2 3𝑝 − 4 + 9 ≤ 8 𝑝 + 1 − 2(𝑝 − 3)

13. Sugerencia
• Por lo general, cuando se escribe la
solución de una desigualdad, la variable
se coloca a la izquierda.
−6 < 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑥 > −6
−3 > 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑥 < −3
𝑎< 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑥 > 𝑎
𝑎> 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑥 < 𝑎

14. Resolver
• En el boliche, el alquiler de zapatos para
boliche cuesta $2.50 y cada línea vale $4.
a) Escriba una desigualdad que pueda
usarse para determinar el numero
máximo de líneas que Ricardo puede
jugar si solo tiene $20
b) Determine el numero máximo de líneas
que puede jugar Ricardo

15. Desigualdades compuestas que
incluyan ´´y´´
• Una desigualdad compuesta esta formada
por dos desigualdades ligadas con la
palabra ´´y´´ o la palabra ´´o´´
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
3< 𝑥 𝑦 𝑥<5
𝑥+4>3 𝑜 2𝑥 − 3 < 6
4𝑥 − 6 ≥ −3 𝑦 𝑥−6<5

16. Importante
• Recuerde que la intersección de dos
conjuntos es el conjunto de elementos
comunes a ambos.
• Resolver, gráficamente y en intervalos
𝑥 + 2 ≤ 5 𝑦 2𝑥 − 4 > −2
−3 ≤ 2𝑥 − 7 < 8
4 − 3𝑥
−2 < <8
5

17. Desigualdades compuestas que
incluyan ´´o´´
• La solución de una desigualdad
compuesta que utiliza la palabra o, son
todos los números que hacen verdadera
cualquiera de las desigualdades.
• Para determinar el CS de la desigualdad
que contenga la palabra o, tome la unión
de los conjuntos solución de las dos
desigualdades que conforman la
desigualdad compuesta.

18. Resolver
𝑥 + 3 ≤ −1 𝑜 − 4𝑥 + 3 < −5

19. Resolución ecuaciones y
desigualdades con valor absoluto
𝐸𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 = 𝑎, 𝑎 > 0
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 < 𝑎, 𝑎 > 0
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 𝑎, 𝑎 > 0
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 𝑎 𝑜 𝑥 < 𝑎, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 < 0
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 0 𝑜 𝑥 < 0
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 = 𝑦

20. Interpretación geométrica del
valor absoluto
• El valor absoluto puede considerarse
como su distancia (sin signo) respecto del
numero 0 en la recta numérica.
• Si consideramos 𝑋 < 3, para resolver
esta desigualdad, necesitamos determinar
el conjunto de valores cuya distancia
respecto del 0 es menor que 3 unidades
en la recta numérica. Estos son valores
entre -3 y 3

21. • Si consideramos 𝑋 > 3 , para resolver
esta desigualdad, necesitamos determinar
el conjunto de valores cuya distancia
respecto del 0 es mayor que 3 unidades
en la recta numérica. Estos son valores
que son menores que -3 o mayores que 3

22. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 = 𝑎, 𝑎 > 0
• Cuando resolvemos una ecuación con la
forma 𝑥 = 𝑎, ≥ 0 , estamos determinando
los valores que están exactamente a 𝑎
unidades de distancia respecto del 0 en la
recta numérica.
𝑆𝑖 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑎 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑎 𝑜 𝑥 = −𝑎

23. Resolver
𝑎) 𝑥 = 7 𝑏) 𝑥 = 0 𝑐) 𝑥 = −7
𝑑) 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2𝑤 − 1 = 5

24. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 < 𝑎, 𝑎 > 0
•𝑅𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 2𝑥 − 3 < 5
• La solución de esta desigualdad sera
el conjunto de valores tales que la
distancia entre 2x – 3 y 0 en la recta
numérica sea menor que 5 unidades.

25. • Para resolver desigualdades con la forma
𝑥 < 𝑎 podemos utilizar lo siguiente
𝑆𝑖 𝑥 < 𝑎 𝑦 𝑎 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 𝑎 < 𝑥 < 𝑎
Resuelva y represente gráficamente la
solución
1) 3𝑥 − 4 ≤ 5
2) 5.3 − 2𝑥 − 8.1 < 9.4

26. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 𝑎, 𝑎 > 0
• Para resolver desigualdades con la forma
𝑥 > 𝑎 podemos utilizar lo siguiente
𝑆𝑖 𝑥 > 𝑎 𝑦 𝑎 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 < −𝑎 𝑜 𝑥 > 𝑎
Resolver
1) 2𝑥 − 1 ≥ 7
3𝑥 − 4
2) ≥9
2

27. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 𝑎 𝑜 𝑥 < 𝑎, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 < 0
Resolver lo siguiente
1) 3𝑥 − 8 + 3 < 2
2) 𝑥 > −3
3) 2𝑥 + 3 + 4 ≥ −7

28. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 0 𝑜 𝑥 < 0
Resuelva cada desigualdad
1) 𝑥 − 5 ≤ 0
2) 𝑥 + 3 > 0
3) 3𝑥 − 4 ≤ 0

29. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 = 𝑦
• Para resolver ecuaciones de la forma 𝑥 = 𝑦
Utilizamos lo siguiente
𝑆𝑖 𝑥 = 𝑦 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑦 𝑜 𝑥 = −𝑦
Resolver
1) 𝑧 + 3 = 2𝑧 − 7
2) 4𝑥 − 7 = 6 − 4𝑥

30. • Resumen de los procedimientos para
resolver ecuaciones y desigualdades con
valor absoluto.
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 > 0
𝑆𝑖 𝑥 = 𝑎, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑎 𝑜 𝑥 = −𝑎
𝑆𝑖 𝑥 < 𝑎, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 𝑎 < 𝑥 < 𝑎
𝑆𝑖 𝑥 > 𝑎, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 < −𝑎 𝑜 𝑥 > 𝑎
𝑆𝑖 𝑥 = 𝑦 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑦 𝑜 𝑥 = −𝑦