Material para presentación en clase

1. LA MULTIPLICACIÓN
Y LA DIVISIÓN
dan lugar a dos
conceptos
matemáticos que están
relacionados entre sí.

2. TEMA 2
MÚLTIPLOS Y DIVISORES

3. Un Múltiplo es
aquel nº que resulta
de una
multiplicación.

4. EJEMPLOS:
15 X 3= 45 45 es un Múltiplo de 15 porque es
el resultado de multiplicar 15 X 3.
También lo es de 3, porque es el resultado de
multiplicar 3 X 15.
9 X 3 = 27 27 es un Múltiplo de 9 porque es
el resultado de multiplicar 9 X 3.
También lo es de 3, porque es el resultado de
multiplicar 3 X 9.

5. Un Divisor es
aquel nº capaz de
dividir a otro
obteniendo de resto
cero

6. EJEMPLOS:
15 : 3= 5 3 es un Divisor de 15 porque la
división entre ellos es exacta..
Otro divisor de 15 es 5. 15 : 5 = 3
63 : 9 = 7 9 es un Divisor de 63 porque la
división entre ellos es exacta..
Otro divisor de 63 es 7 63 : 9 = 7

7. MÚLTIPLOS y DIVISORES
GUARDAN RELACIÓN

9. 6 es múltiplo de 1 porque resulta de multiplicar 1 X 6 = 6
1 es divisor de 6 porque su división es exacta
6 es múltiplo de 2 porque resulta de multiplicar 2 X 3 = 6
2 es divisor de 6 porque su división es exacta
6 es múltiplo de 3 porque resulta de multiplicar 3 X 2 = 6
3 es divisor de 6 porque su división es exacta
6 es múltiplo de 6 porque resulta de multiplicar 6 X 1 = 6
6 es divisor de 6 porque su división es exacta

10. MÚLTIPLO DIVISOR 1
DIVISOR 2

12. Un Múltiplo es
aquel nº que resulta
de una
multiplicación.

13. Se obtienen al multiplicar un nº
natural por cualquier otro nº natural .
Se llama múltiplos de un número a
todos los números que resultan de la
multiplicación de ese número con cada
uno de los naturales.

14. Para saber si un nº es múltiplo de otro,
hacemos la operación contraria
….DIVIDIMOS
. . . y así vemos si es el resultado de una
multiplicación.
¿Es 42 múltiplo de 3?
 Sí, porque su división es exacta.
 Por lo tanto, se obtiene al multiplicar
3 X 14

15. Ejemplo:
 ¿Es 770 múltiplo de 3?
 NO, porque al dividir 770 : 3 la división
no es exacta.
 Por lo tanto, 770 no se obtiene al
multiplicar 3 por ningún número natural.

16. ¿Es 27 múltiplo de 5?
27 no es múltiplo de 5, porque 27 : 5 no
es una división exacta.
No existe ningún nº que multiplicado
por 5 de 27.
¿Es 54 múltiplo de 6?
¿Es 38 múltiplo de 10?
¿Es 150 múltiplo de 3?

17. RECORDAMOS….
Para comprobar si un número es
múltiplo de otro, se divide el
primero entre el segundo y el
resto debe ser 0.
Y ALGO MÁS…
un múltiplo es siempre igual o
mayor que el número.

18. MÁS EJEMPLOS . . .

19. 6 Es MÚLTIPLO de 3, porque 3 X 2 = 6
6 Es MÚLTIPLO de 2, porque 2 X 3 = 6
6 Es MÚLTIPLO de 1, porque 1 X 6 = 6
6 Es MÚLTIPLO de 6, porque 6 X 1= 6
6
NO ES MÚLTIPLO de 4, porque no existen ningún nº
natural que al multiplicar 4 nos dé 6.
6
NO ES MÚLTIPLO de 5, porque no existen ningún nº
natural que al multiplicar 5 nos dé 6.

20. EXISTEN ALGUNAS
REGLAS QUE PERMITEN
CONOCER SI UN NÚMERO
ES MÚLTIPLO DE OTRO.

21. Múltiplos de 2
(pueden dividirse entre 2)
1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9-
10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-
20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-
30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-
40-41-42-43-44-45-46-47-48-49-
50-51-52-53-54-55-56-57-58-59-
Todos ellos pueden dividirse entre 2.
Todos terminan en cero o en cifra par.

22. Al observar la serie de los múltiplos
de 2 podemos ver que todos son
números pares.
Generalizando se puede decir que:
Todos los números pares son
múltiplos de 2.

23. Múltiplos de 3
(pueden dividirse entre 3)
1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9-
10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-
20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-
30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-
40-41-42-43-44-45-46-47-48-49-
50-51-52-53-54-55-56-57-58-59-
Si observamos nos damos cuenta de que . . .
al sumar las cifras de nºs como 12, 15, 18,
21 se obtiene el nº3 o un múltiplo de 3.
Eso ocurre con todos de ellos.

24. De esta manera, se concluye lo siguiente:
Un número es múltiplo de 3
si la suma de sus cifras es 3 o un
múltiplo de 3.

25. Múltiplos de 5
(pueden dividirse entre 5)
1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9-
10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-
20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-
30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-
40-41-42-43-44-45-46-47-48-49-
50-51-52-53-54-55-56-57-58-59-
Todos ellos terminan en cero o en 5.

26. Por lo tanto, se dice que
Un número es múltiplo de 5
cuando termina en 0 o en 5.

27. Múltiplos de 10
(pueden dividirse entre 10)
1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9-
10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-
20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-
30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-
40-41-42-43-44-45-46-47-48-49-
50-51-52-53-54-55-56-57-58-59-
Todos ellos terminan en cero.

28. Por lo tanto, se dice que
Un número es múltiplo de 10
cuando termina en 0.
Si un número acaba en un cero, es
divisible por 10.
Si acaba en dos ceros es divisible por
100.
Y así sucesivamente.

29. ALGUNAS REGLAS …

30. El cero es múltiplo de todos los
números
Todo número es múltiplo de sí
mismo y de la unidad. .

31. Hay números que son múltiplos
de más de un número.
Eso ocurren porque son el
resultado de multiplicaciones.

32. Identifica los múltiplos de estos números,
utilizando las tablas de multiplicar.
•4
•6
•7
•8
•9
0, 4, 8, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44
0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66
0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77
0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88
0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99

35. Un Divisor es
aquel nº capaz de
dividir a otro
obteniendo de resto
cero

36. Se obtienen al dividir un nº
natural entre cualquier otro ,
igual o menor, siendo el resultado
una división exacta.

37. 3
Es DIVISOR de 6, porque lo divide de manera
exacta.
2
Es DIVISOR de 6, porque lo divide de manera
exacta.
1
Es DIVISOR de 6, porque lo divide de manera
exacta.
6
Es DIVISOR de 6, porque lo divide de manera
exacta.
4
NO ES DIVISOR de 6, porque no lo divide de
manera exacta.
5
NO ES DIVISOR de 6, porque no lo divide de
manera exacta.

38. Es posible hallar todos los divisores de un
número buscando todos los números
naturales que lo dividen de forma exacta.
El 1 es divisor de todos los números.
Todo número es divisor de si mismo

39. MIRA ESTE EJEMPLO …

41. EXISTEN ALGUNAS
REGLAS QUE PERMITEN
CONOCER SI UN NÚMERO
ES DIVISOR DE OTRO.

44. Un número es divisible por 4,
si sus dos últimas cifras son ceros o
múltiplo de 4.
Ejemplo: 36, 400, 1 028, ...

46. ¿Cómo podemos saber si
un número es divisible por 7?
Una de las maneras de saberlo es dividir el
número entre 7. Si el resultado es cero
podemos afirmar que el número es divisible
por 7. Si el resto es distinto de cero, el
número no es divisible por cero.

47. Pero hay una manera más
rápida de comprobarlo, y es la
siguiente:

48. Para saber
si un número es divisible por 7,
• se multiplica por 2 la cifra de las unidades
• y el resultado se resta al número que forman las
cifras restantes.
Este proceso se repite hasta que la diferencia
esté formada por una o dos cifras.
Si estas cifras son cero o forman un número
múltiplo de 7, el número inicial es divisible por 7.
7.861

49. 343 34 − 2 X 3 = 28 28 es múltiplo de 7
105 10 − 5 X 2 = 0
2.261 226 − 1 X 2 = 224
Se repite el proceso con
224 22 − 4 · 2 = 14 14 es múltiplo de 7

50. Un número es divisible por 9,
si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
Ejemplo: 81 8 + 1 = 9
3 663 3 + 6 + 6 + 3 = 18 18 es múltiplo
de 9

51. Un número es divisible por 11,
Si la diferencia entre la suma de las
cifras que ocupan los lugares impares y
la de los pares es 0 o un múltiplo de 11 .
Ejemplo:
121 (1 + 1) − 2 = 0
4224 (4 + 2) − (2 + 4) = 0

55. ¿Cómo podemos
identificar todos
los divisores de
un número?.

56. DESCOMPOSICIÓN DE
NÚMEROS COMO
PRODUCTO DE
FACTORES

57. d (16) = {
8 2
4 2
2 2
1 1
216
2
1 ,
Así calculamos los divisores
de un 16.

58. 8 2
4 2
2 2
1 1
216
2
2 ,d (16) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 16.

59. 4 ,2 ,d (16) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 16.
8 2
4 2
2 2
1 1
216
2

60. 84 ,2 ,d (16) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 16.
8 2
4 2
2 2
1 1
216
2

61. 16
,16 }8
Así calculamos los divisores
de un 16.
84 ,2 ,d (16) = { 1 ,
8 2
4 2
2 2
1 1
2
2

62. 16
,16 }8
Así calculamos los divisores
de un 16.
84 ,2 ,d (16) = { 1 ,
8 2
4 2
2 2
1 1
2
2

64. 1
Así calculamos los divisores
de un 14.
7 7
214
1
d (14) = {

65. Así calculamos los divisores
de un 14.
1 ,
1
7 7
214
1
d (14) = {

66. Así calculamos los divisores
de un 14.
1 ,
1
7 7
214
1
d (14) = { 7 ,

67. Así calculamos los divisores
de un 14.
1 ,
1
7 7
214
1
d (14) = { 7 , 14

68. Así calculamos los divisores
de un 14.
1 ,
1
7 7
214
1
d (14) = { 7 , 14 , 2 }

69. Así calculamos los divisores
de un 14.
1 ,
1
7 7
214
1
d (14) = { 7 , 14 , 2 }

71. 12
Así calculamos los divisores
de un 48.
24 2
6 2
1 1
248
2
d (48) = { 1 ,
3 3

72. 12
Así calculamos los divisores
de un 48.
3 ,
24 2
6 2
1 1
248
2
d (48) = { 1 ,
3 3

73. 12
2
6 ,
Así calculamos los divisores
de un 48.
3 ,
24 2
6
1 1
248
2
d (48) = { 1 ,
3 3

74. 2
12
2 ,6 ,
Así calculamos los divisores
de un 48.
3 ,
24 2
6
1 1
248
2
d (48) = { 1 ,
3 3

75. 12
2 ,6 ,
Así calculamos los divisores
de un 48.
3 ,
24 2
6 2
1 1
248
2
d (48) = { 1 ,
3 3
12 ,

76. 2 ,6 ,
Así calculamos los divisores
de un 48.
3 ,
24 2
12
6 2
1 1
248
2
d (48) = { 1 ,
3 3
12 , 24 ,

77. 2 ,6 ,
Así calculamos los divisores
de un 48.
3 ,
24 2
12
6 2
1 1
248
2
d (48) = { 1 ,
3 3
12 , 48 }24 ,

78. 2 ,6 ,
Así calculamos los divisores
de un 48.
3 ,
24 2
12
6 2
1 1
248
2
d (48) = { 1 ,
3 3
12 , 48 }24 ,

80. 16
Así calculamos los divisores
de un 64.
32 2
8 2
2 2
264
2
d (64) = {
4 2
1 1

81. Así calculamos los divisores
de un 64.
d (64) = { 1 ,
16
32 2
8 2
2 2
264
2
4 2
1 1

82. Así calculamos los divisores
de un 64.
2 ,d (64) = { 1 ,
16
32 2
8 2
2 2
264
2
4 2
1 1

83. 4 ,
Así calculamos los divisores
de un 64.
2 ,d (64) = { 1 ,
16
32 2
8 2
2 2
264
2
4 2
1 1

84. 8 ,4 ,
Así calculamos los divisores
de un 64.
2 ,d (64) = { 1 ,
16
32 2
8 2
2 2
264
2
4 2
1 1

85. Así calculamos los divisores
de un 64.
16 ,8 ,4 ,2 ,d (64) = { 1 ,
16
32 2
8 2
2 2
264
2
4 2
1 1

86. Así calculamos los divisores
de un 54.
32 ,16 ,8 ,4 ,2 ,d (64) = { 1 ,
16
32 2
8 2
2 2
264
2
4 2
1 1

87. Así calculamos los divisores
de un 64.
1
64 }32 ,16 ,8 ,4 ,2 ,d (64) = { 1 ,
16
32 2
8 2
2 2
264
2
4 2
1 1

88. Así calculamos los divisores
de un 64.
1
64 }32 ,16 ,8 ,4 ,2 ,d (64) = { 1 ,
16
32 2
8 2
2 2
264
2
4 2
1 1

89. Así calculamos los divisores
de un 64.
1
64 }32 ,16 ,8 ,4 ,2 ,d (64) = { 1 ,
16
32 2
8 2
2 2
264
2
4 2
1 1

91. d (18) = {
18 2
9 3
3 3
1 1
1 ,
Así calculamos los divisores
de un 18.

92. 18 2
9 3
3 3
1 1
3 ,d (18) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 18.

93. 9 ,3 ,d (18) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 18.
18 2
9 3
3 3
1 1

94. 18 }9 ,3 ,d (18) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 18.
18 2
9 3
3 3
1 1

95. 18 }9 ,3 ,d (18) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 18.
18 2
9 3
3 3
1 1

97. d (12) = {
12 2
6 2
3 3
1 1
1 ,
Así calculamos los divisores
de un 12.

98. 12 2
6 2
3 3
1 1
3 ,d (12) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 12.

99. 6 ,3 ,d (12) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 12.
12 2
6 2
3 3
1 1

100. 6 ,3 ,d (12) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 12.
12 2
6 2
3 3
1 1
2 ,

101. 12 }6 ,3 ,d (12) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 12.
12 2
6 2
3 3
1 1
2 ,

102. 12 }6 ,3 ,d (12) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 12.
12 2
6 2
3 3
1 1
2 ,

104. 8 2
4
2 2
1 1
216
2
232
d (32) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 32.

105. 8 2
4 2
2 2
1 1
216
2
2 ,d (32) = { 1 ,
232
Así calculamos los divisores
de un 32.

106. 2 ,d (32) = { 1 , 4 ,
Así calculamos los divisores
de un 32.
8 2
4 2
2 2
1 1
216
2
232

107. 82 ,d (32) = { 1 , 4 ,
Así calculamos los divisores
de un 32.
8 2
4 2
2 2
1 1
216
2
232

108. ,1682 ,d (32) = { 1 , 4 ,
Así calculamos los divisores
de un 32.
8 2
4 2
2 2
1 1
216
2
232

109. ,32 },1682 ,d (32) = { 1 , 4 ,
Así calculamos los divisores
de un 32.
8 2
4 2
2 2
1 1
216
2
232

110. ,32 },1682 ,d (32) = { 1 , 4 ,
Así calculamos los divisores
de un 32.
8 2
4 2
2 2
1 1
216
2
232

112. 27 3
9
3 3
1 1
254
3
d (54) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 54.

113. 27 3
9
3 3
1 1
254
3
d (54) = { 1 , 3 ,
Así calculamos los divisores
de un 54.

114. d (54) = { 1 , 3 , 9 ,
Así calculamos los divisores
de un 54.
27 3
9
3 3
1 1
254
3

115. d (54) = { 1 , 3 , 9 , 27 ,
Así calculamos los divisores
de un 54.
27 3
9
3 3
1 1
254
3

116. d (54) = { 1 , 3 , 9 , 27 ,
Así calculamos los divisores
de un 54.
27 3
9
3 3
1 1
254
3
54 ,

117. d (54) = { 1 , 3 , 54 ,9 , 27 ,
Así calculamos los divisores
de un 54.
27 3
9
3 3
1 1
254
3
2 }

118. d (54) = { 1 , 3 , 54 ,9 , 27 ,
Así calculamos los divisores
de un 54.
27 3
9
3 3
1 1
254
3
2 }

120. 36 2
18
9 3
1 1
272
2
d (72) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 72.
3 3

121. Así calculamos los divisores
de un 72.
3 ,
36 2
18
9 3
1 1
272
2
d (72) = { 1 ,
3 3

122. Así calculamos los divisores
de un 72.
3 ,
36 2
18
9 3
1 1
272
2
d (72) = { 1 ,
3 3
9 ,

123. Así calculamos los divisores
de un 72.
3 ,
36 2
18
9 3
1 1
272
2
d (72) = { 1 ,
3 3
9 , 18 ,

124. Así calculamos los divisores
de un 72.
3 ,
36 2
18
9 3
1 1
272
2
d (72) = { 1 ,
3 3
9 , 18 , 2,

125. Así calculamos los divisores
de un 72.
3 ,
36 2
18
9 3
1 1
272
2
d (72) = { 1 ,
3 3
9 , 18 , 2, 36,

126. Así calculamos los divisores
de un 72.
3 ,
36 2
18
9 3
1 1
272
2
d (72) = { 1 ,
3 3
9 , 18 , 2, 36, 72 }

127. Así calculamos los divisores
de un 72.
3 ,
36 2
18
9 3
1 1
272
2
d (72) = { 1 ,
3 3
9 , 18 , 2, 36, 72 }

129. Así calculamos los divisores
de un 15.
1 ,
1
5 5
315
1
d (15) = {

130. Así calculamos los divisores
de un 15.
1 ,
1
5 5
315
1
d (15) = { 5 ,

131. Así calculamos los divisores
de un 15.
1 ,
1
5 5
315
1
d (15) = { 5 , 15 ,

132. Así calculamos los divisores
de un 15.
1
5 5
315
1
3 }1 ,d (15) = { 5 , 15 ,

133. Así calculamos los divisores
de un 15.
1
5 5
315
1
3 }1 ,d (15) = { 5 , 15 ,

135. 27 3
9
3 3
1 1
381
3
d (54) = { 1 ,
Así calculamos los divisores
de un 81.

136. 27 3
9
3 3
1 1
381
3
d (54) = { 1 , 3 ,
Así calculamos los divisores
de un 81.

137. d (54) = { 1 , 3 , 9 ,
Así calculamos los divisores
de un 81.
27 3
9
3 3
1 1
381
3

138. d (54) = { 1 , 3 , 9 , 27 ,
Así calculamos los divisores
de un 81.
27 3
9
3 3
1 1
381
3

139. d (54) = { 1 , 3 , 81 }9 , 27 ,
Así calculamos los divisores
de un 81.
27 3
9
3 3
1 1
381
3

140. d (54) = { 1 , 3 , 81 }9 , 27 ,
Así calculamos los divisores
de un 54.
27 3
9
3 3
1 1
254
3

142. SI QUEREMOS DESCUBRIR UN Nº QUE SEA
DIVISIBLE POR VARIOS NÚMEROS DIFERENTES
SE HACE ASÍ:
Escribe 5 números que sean divisible por 2,
por 3, por 5 y por 10.
2 × 3 × 5 × 10 = 300
300X2=600 / 300X3=900 / 300X4=1.200
/ 300X5=1,500
RESPUESTA: 300-600-900-1.200-1.500

143. Escribe 5 números que sean divisible por 2,
por 7 y por 10.
2 × 7 × 10 = 140
140X2=280 / 140X3=420 / 140X4=560 /
140X5=700
RESPUESTA: 140-280-420-560-700

144. Escribe 5 números que sean divisible por 3 y
por 13.
3 × 13 = 39
39X10=390 / 39X100=3.900 /
39X1.000=39.000 / 39X10.000=390.000
RESPUESTA: 39-390-3.900-39.000-
3390.000

148. Un número es primo
Si sólo tiene dos
divisores:
él mismo y la unidad

151. Un número es compuesto
Si tiene más divisores que
él mismo y la unidad.

152. Número
Se puede dividir
exactamente entre
¿Primo o
compuesto?
1 (1 no es primo ni compuesto)
2 1,2 Primo
3 1,3 Primo
4 1,2,4 Compuesto
5 1,5 Primo
6 1,2,3,6 Compuesto
7 1,7 Primo
8 1,2,4,8 Compuesto
9 1,3,9 Compuesto
10 1,2,5,10 Compuesto