Divisibilidad II(Criterios de divisibilidad)

1. Prof. Jenner Huamán Callirgos

2. Adivinar una cifra: (UN JUEGO)
Pedir a cada uno de los estudiantes que:
1) Escriban un número de varias cifras.
2) Luego, a éste número restarle la suma de sus cifras.
3) De la diferencia obtenida, pedirles que tarjen una de
las cifras pero que no sea cero.
4) Si nos dan como dato, la suma de las cifras
restantes de la diferencia, nosotros podemos
“adivinar” la cifra que tarjaron.
¿Cómo?

3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Llamamos Criterios de Divisibilidad a ciertas reglas prácticas
que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán
determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.

4. DIVISIBILIDAD POR 2. (21):
Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par o en
cero.
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 2
0
e = 0; 2; 4; 6; 8
Ejemplo
Si , calcule la suma de los valores de a, sabiendo
que a es positivo.
)235(𝑎𝑎 + 1 = 2
0
Resolución

5. DIVISIBILIDAD POR 4. (22):
Un número es divisible por 4 cuando el número formado por
sus dos últimas cifras es múltiplo de 4 o si termina en dos
cifras cero.
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 4
0
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4
0
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 00; 04; 08; 12; … ; 96
Otra forma:

6. •Si:

4a431 = ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”?
Ejemplo
Resolución

7. DIVISIBILIDAD POR 8. (23):
Un número es divisible por 8 cuando el número formado por sus
tres últimas cifras es múltiplo de 8 o si termina en tres cifras cero.
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 8
0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 8
0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 000; 008; 016; … ; 992
Otra forma:

8. •Si: , hallar el valor de “a”
Ejemplo
Resolución

8a63aa =

9. DIVISIBILIDAD POR 3 Ó 9
Un número es divisible por 3 (ó 9) cuando la suma de sus cifras es
múltiplo de 3 (ó de 9).

3=abcde

9=abcde
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 = 3
0
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 = 9
0

10. •Calcular el valor de “a” si:

97142 =aa
Ejemplo
Resolución

11. DIVISIBILIDAD POR 5. (51):
Un número es divisible por 5 cuando termina en cifra cinco o cero.
e= 0; 5𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 5
0
↔
Ejemplo

36a7 =

5bca4 =•Hallar el valor de “a” si: y
Resolución

12. Divisibilidad por 25. (52):
Un número es divisible por 25 cuando el número formado por sus
dos últimas cifras es múltiplo de 25 o si termina en dos cifras cero.
0
25=abcde 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 25
0
𝑑𝑑𝑑𝑑 =00,25,50,75

13. Divisibilidad por 125 . (53):
Un número es divisible por 125 cuando el número formado por sus
tres últimas cifras es divisible por 125 o si termina en tres cifras
cero.
0
125=abcde 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 = 125
0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =000,125,250;…;875
•Si el número , es divisible entre 125. ¿Cuál es el valor
de a?
0
125=abcde
Ejemplo
Resolución

14. Divisibilidad por 7:
Cuando al número dado se multiplican las cifras tomadas de
derecha a izquierda por los factores1, 3, 2; luego por estos
mismos pero con signo contrario; así sucesivamente. El
resultado de la suma algebraica deberá ser múltiplo de 7.
0
7=abcdefgh 3a + 1b − 2c − 3d − 1e + 2f + 3g + 1h = 7
0
+-+
3 1 2 3 1 2 3 1

15. Ejemplo
Resolución
•Determinar el valor de “x” para que:

7336 =xx

16. Divisibilidad por 11:
Cuando al número dado se suman las cifras intercaladas de
derecha a izquierda y a esta suma se le resta la suma de las
otras cifras, el resultado deberá ser múltiplo de 11, en caso
contrario dicho resultado nos indica el residuo entre 11.
0
11=abcdef -a+b-c+d-e+f= 11
0
- + - + - +

17. Ejemplo
Resolución
¿Cuál es el valor que debe tomar “ y “ para que el numeral 17y14
sea divisible entre 11?

18. Divisibilidad por 13:
Un numeral es divisible entre 13 y si al multiplicar a cada una de
sus cifras (a partir de la derecha) 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, -4, … y
luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre
13.
0
13=abcdefgh −3a + 1b + 4c + 3d − 1e − 4f − 3g + 1h = 13
0
+ +-
-3 1 4 3 1 4 3 1

19. Ejemplo
Resolución
¿Qué valor debe tomar “b” en el numeral si es
divisible entre 13?
306b128

20. •Si:

1435b9aa = .Hallar: a – b
Ejemplo
Resolución

21. DIVISIBILIDAD POR 33 y 99:
0
33=abcdef 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑒𝑒𝑒𝑒 = 33
0
𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑒𝑒𝑒𝑒 = 99
0
El número de la forma: . Hallar: a - b
Ejemplo
Resolución
8𝑎𝑎𝑎𝑎432 = 99
0

22. Algo Importante
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 − 1
0
+ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 + 1
0
− 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 =𝑛𝑛
0
+ 𝑑𝑑

23. APLICACIONES
1. El profesor le dijo a Pablo que escribiera en la pizarra el número
1234567, y luego le pidió que borre tres cifras de tal manera que el
número que quede escrito en la pizarra sea múltiplo de 6, y sea el
mayor posible. Calcule la suma de las cifras del número que quedó
escrito en la pizarra.
Resolución
Rpta.: 18

24. 2. ¿Cuántos números naturales n satisfacen las siguientes
condiciones a la vez?
a) n es par.
b) n deja residuo 1 al ser dividido entre 5.
c) n es múltiplo de 7.
d) n es menor que 1000.
e) La suma de los dígitos de n es 23.
Resolución
Rpta.: 1, el único número
que cumple es 896.

25. 3. Luis hace una lista con todos los números pares de cuatro dígitos
que tiene la forma tales que a + b + c es múltiplo de d.
Calcule la diferencia entre el mayor número y el menor número de la
lista de Luis.
𝑁𝑁 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
Resolución
Rpta.: 8970

26. 4. Halle el mayor número formado por cuatro dígitos distintos, que
sea divisible por cada uno de los dígitos.
Resolución
Rpta.: 9864

27. 5. ¿Cuántos enteros positivos de cuatro cifras terminan en 36 y son
múltiplos de 36?
Resolución
Rpta.: 10

28. 6. El número de la forma:
Resolución
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎. . . =9
º
+2
40 cifras
Hallar el valor de “a”
a) 8 b) 4 c) 5 d) 3 e) 2

29. 7. ¿Cuál es el resto de dividir
Resolución
44444 … 4 entre 7
200 cifras
a) 0 b) 2 c) 5 d) 3 e) 4

30. 8. Halle x, si
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 8 = 𝑛𝑛𝑛𝑛46 7 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 9
a) 7 b) 2 c) 6 d) 3 e) 4
Resolución

31. 9. Si al cuadrado del menor número de 4 cifras consecutivos y
múltiplo de 9 se le divide entre 7, el residuo es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución

32. 10. Tenemos el menor número conformado solo por cifras pares tal
que la suma de sus cifras coincide con el número que representa el
año 2018 ¿Cuál será el resto de dividir dicho número entre 7?
a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución

33. 11. Si , halle el residuo al dividir
entre 8
a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 2
Resolución
𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3
𝐸𝐸 = 𝑚𝑚𝑚𝑚12
(7)
+ 𝑚𝑚𝑚𝑚34
(7)
+ 𝑚𝑚𝑚𝑚56
(7)

34. 12. Si durante el mes de diciembre, Fabrizio visita a su abuelita los
días que son múltiplos de 5 y visita a su tía los días que son
múltiplos de 3, ¿cuántas veces durante este mes visita a su tía o a
su abuelita?
a) 13 b) 16 c) 8 d) 11 e) 14
Resolución

35. Continuará…