clases de matematica

1. FACULTAD DE OBSTETRICIA
Escuela Profesional de Obstetricia
MATEMÁTICA BÁSICA
Licenciada: Julia Ángela Ramón Ortiz
Mtra. Julia Ramón Ortiz

2. Nadie te puede dar sabiduría. Tú debes
descubrirla por ti mismo, en un viaje a través
de la vida, que nadie puede dar por ti. (Libro:
Actos de fe.Iyanla Vanzant).
Lograr el éxito no tiene misterio. ¡Es
sólo mucho trabajo! (Cita de: Oscar
de la Renta)
Mtra. Julia Ramón Ortiz

3. El desarrollo de las funciones nos lleva a
generar una serie de reglas que permiten
tomar decisiones acerca de los dominios y
codominios, entre otros.
Mtra. Julia Ramón Ortiz

4. IGUALDAD DE FUNCIONES
Dos funciones 𝑓 y 𝑔 son iguales si y solo si sus reglas de correspondencia y
sus dominios son respectivamente iguales. Es decir:
NO SON IGUALES, aunque tienen la misma regla de correspondencia, sus dominios no
coinciden.
Mtra. Julia Ramón Ortiz

5. SUMA DE FUNCIONES
Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se define
una nueva función: 𝒇 + 𝒈, “FUNCIÓN SUMA”
DIFERENCIA DE FUNCIONES
Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se
define una nueva función: 𝒇 − 𝒈, “FUNCIÓN DIFERENCIA”
Mtra. Julia Ramón Ortiz

6. PRODUCTO DE FUNCIONES
Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se define
una nueva función: 𝑓. 𝑔, “FUNCIÓN PRODUCTO”
COCIENTE DE FUNCIONES
Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se define
una nueva función: 𝑓/𝑔, “FUNCIÓN COCIENTE”
Mtra. Julia Ramón Ortiz

7. OBSERVACIÓN
1.El dominio de la suma, diferencia y producto es la
intersección del dominio de 𝑓 con el dominio de 𝑔.
2. El dominio de la división es la intersección del dominio
de 𝑓 con el dominio de 𝑔 sin los números para los
cuales 𝑔(𝑥) = 0.
Mtra. Julia Ramón Ortiz

8. Ejercicio Explicativo
Solución:
Primero determinar: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 𝐷𝑜𝑚(𝑔) , para ver si es posible determinar aquellas operaciones.
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {1; 5; 4; 9; 8}, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {9; 5; 8; 1} →𝐷𝑜𝑚(𝑓) Ռ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {1; 5; 9; 8}, luego:
i) SUMA “𝒇 + 𝒈” Para 𝑥 = 1 → (𝑓 + 𝑔)(1) = 𝑓(1) + 𝑔(1) = 2 + 4 = 6 → (𝟏; 𝟔) ∈ 𝒇 + 𝒈
𝑥 = 5 → (𝑓 + 𝑔)(5) = 𝑓(5) + 𝑔(5) = 3 + 1 = 4 → (𝟓; 𝟒) ∈ 𝒇 + 𝒈
𝑥 = 9 → (𝑓 + 𝑔)(9) = 𝑓(9) + 𝑔(9) = 6 + 7 = 13 → (𝟗; 𝟏𝟑) ∈ 𝒇 + 𝒈
𝑥 = 8 → (𝑓 + 𝑔)(8) = 𝑓(8) + 𝑔(8) = 1 + 0 = 1 → (𝟖; 𝟏) ∈ 𝒇 + 𝒈
𝑓 + 𝑔 = {(1; 6), (5; 4), (9; 13), (8; 1)}
Mtra. Julia Ramón Ortiz

9. iv) COCIENTE “𝒇/𝒈”
Primero determinar: 𝐷𝑜𝑚(𝑓/𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)/𝑔(𝑥) = 0 .
De: 𝑓 = { (1; 2) , (5; 3) , (4; 7) , (9; 6) , (8; 1)} y 𝑔 = {(9; 7) , (5; 1) , (8; 0) , (1; 4) }.
Se tiene:
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {1; 5; 4; 9; 8}, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {9; 5; 8; 1} , pero 𝑔(8) = 0 ,
𝐷𝑜𝑚(𝑓/𝑔) = {1; 5; 4; 9; 8} ∩ {1; 5; 9 }, luego: 𝐷𝑜𝑚(𝑓/𝑔) = {1; 5; 9 }.
Pero: 𝑓/𝑔 = { (1; 2/4), (5; 3/1), (9; 6/7)}
𝑓/𝑔 = {(1; 1/2), (5; 3), (9; 6/7)}
Mtra. Julia Ramón Ortiz

10. Para 𝑥 = 1 → (𝑓 - 𝑔)(1) = 𝑓(1) - 𝑔(1) = 2 - 4 = -2 → (𝟏; -2) ∈ 𝒇 - 𝒈
𝑥 = 5 → (𝑓 - 𝑔)(5) = 𝑓(5) - 𝑔(5) = 3 - 1 = 2 → (𝟓; 2) ∈ 𝒇 - 𝒈
𝑥 = 9 → (𝑓 - 𝑔)(9) = 𝑓(9) - 𝑔(9) = 6 - 7 = -1 → (𝟗; -1) ∈ 𝒇 - 𝒈
𝑥 = 8 → (𝑓 - 𝑔)(8) = 𝑓(8) - 𝑔(8) = 1 - 0 = 1 → (𝟖; 𝟏) ∈ 𝒇 - 𝒈
Diferencia “𝒇 - 𝒈”
Para 𝑥 = 1 → (𝑓.𝑔)(1) = 𝑓(1) . 𝑔(1) = 2 . 4 = 8→ (𝟏; 8) ∈ 𝒇 . 𝒈
𝑥 = 5 → (𝑓.𝑔)(5) = 𝑓(5) . 𝑔(5) = 3 . 1 = 3 → (𝟓; 3) ∈ 𝒇 . 𝒈
𝑥 = 9 → (𝑓.𝑔)(9) = 𝑓(9) . 𝑔(9) = 6 . 7 = 42→ (𝟗; 42) ∈ 𝒇 . 𝒈
𝑥 = 8 → (𝑓.𝑔)(8) = 𝑓(8) . 𝑔(8) = 1 . 0 = 0 → (𝟖; 0) ∈ 𝒇 . 𝒈
Producto “𝒇 .𝒈”
𝑓 - 𝑔 = {(1; -2), (5; 2), (9; -1), (8; 1)}
De: 𝑓 = { (1; 2) , (5; 3) , (4; 7) , (9; 6) , (8; 1)} y 𝑔 = {(9; 7) , (5; 1) , (8; 0) , (1; 4) }.
𝑓 .𝑔 = {(1; 8), (5; 3), (9; 42), (8; 0)}
Mtra. Julia Ramón Ortiz

11. Dadas las funciones:
.f = { (1, 3 ) , ( 2, 6 ), ( 4, 8 ), (6, 2 ) }
.g = { ( 0, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, -1 ), (4, 5 ), ( 7, 0 )}. Calcular: f + g, f – g , f.g , f/g .
Dadas las funciones f(x) = 2√x , xϵ [ 0,  [
.g = { (-3, 6), (-2, 1) , ( 0, 2 ), (1, 5), (2, 3 ), (4, -2) }
Hallar las funciones: f + g , f – g, f. g
Mtra. Julia Ramón Ortiz

12. Sea f(x) = 5x2 – 2x + 3 y g(x) = x2 – 2
Halla f + g
Halla f – g
Mtra. Julia Ramón Ortiz

13. Encuentre lo siguiente:
Sea f(x) = 5x2 – 2x + 3 y g(x) = x2 – 2 Halla (f+g)(-3)
(f+g)(-3) = f(-3) + g(-3)
• = 5(-3)2 – 2(-3) + 3 + (-3)2 – 2
• = 5(9) + 6 + 3 + 9 – 2
• = 45 + 18 – 2
• = 45 + 16
• = 61
Mtra. Julia Ramón Ortiz

14. Producto y cociente de funciones
• Sea f(x) = 5x2 y g(x) = 3x – 1
f•g = 5x2 (3x – 1)
15x3 – 5x2
f/g = 5x2 / 3x – 1 donde x ≠ 1/3
Halla f+g y f – g
• f(x) = 5x2 y g(x) = 3x – 1
Halla f.g y f/g y establece restricciones.
• f(x) = x2 -1 y g(x) = x + 1
Mtra. Julia Ramón Ortiz

15. Si f(x) = -3x3 – 2x2 + 3 y g(x) = 5x2 + 4 Son dos funciones,
entonces realiza las siguientes operaciones: f + g , f – g , f.g , f/g
Mtra. Julia Ramón Ortiz

16. FUNCIONES INYECTIVAS, SURYECTIVAS Y BIYECTIVAS
Sea f: A → B / y = f(x), una función. Se dice que f es inyectiva o uno a uno si cumple que para
elementos diferentes en el dominio A, las imágenes son también diferentes en B; es decir:
Si x1 ≠ x2 en A, entonces:
f(x1) ≠ f(x2) en B
O equivalentemente
Si f (x1) = f (x2) en B, entonces x1 = x2 en A
Ejemplo:
Las siguientes relaciones:
.f = {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 2) }
.g ={ (a, c), (b, d), (d, c), ( c, e), (e, c) }
.h ={(1, a ), (2, b), (3, c), (4, d), (5, e ), (6, m)}
.f es una función inyectiva , pues si arbitrariamente fijamos dos elementos diferentes en el dominio,
las imágenes correspondientes son también diferentes.
1 3
2 4
3 1
4 2
.f
¿Qué otra
función es
inyectiva?
Mtra. Julia Ramón Ortiz

17. Sea f: A B / y = f(x) una función. Se dice que f es una función suryectiva ó o definida sobre B si
Ran(f)=B; es decir, para cada y ϵ B, existe x ϵ A tal que f(x) = y
Ejemplo: Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y B= { 2, 3, 4, 5 }, consideramos las siguientes funciones de A en B
.f = { (1, 3), (2, 4 ), (3, 4 ), ( 5, 5)} Se tiene Ran (f) = { 3, 4, 5 } ≠ B o sea f no
es suryectiva de A a B
. g = { (1, 2), (3, 3), (2, 5), (4, 3 ), (5, 4 )} Ran( g) ={ 2, 3, 4, 5 }
.h = { (1, 2 ), ( 2, 2 ), (3, 3 ), (4, 4 ), ( 5, 5 ) } Ran( h )= {2, 3, 4, 5 } Por lo que
las funciones g y h son suryectivaso definidas sobre B
Mtra. Julia Ramón Ortiz

18. Sea f : A B / y =f(x) una función. Se dice que f es una función biyectiva ó una
correspondencia biunívoca, si f es inyectiva y suryectiva a la vez
Para A= { a, b, c, d, e } y B = { 1, 2, 3, 4, 5 } , sean las funciones de A en B
.f = { (a, 1), ( b, 2), (c, 3), (d, 4), ( e, 5 ) }
.g = { (a, 3) ,( b, 4), ( c, 1), ( d, 4 ), ( e, 5)}
.h ={ (b, 1), (a, 2) ( c, 4 ), ( d, 5 ) , ( e, 3) }
Tenemos que f y h son biyectivas mientras que g no es biyectiva ,pues b 4
d
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19. Mtra. Julia Ramón Ortiz

20. Reconociendo funciones inyectivas, suryectiva y biyectiva
Mtra. Julia Ramón Ortiz

21. Mtra. Julia Ramón Ortiz