fundamento del calculo

1. Álgebra de funciones. Composición de funciones.
Fundamento de Cálculo
Pontificia Universidad Católica del Perú
Estudios Generales Ciencias
1 / 43

2. Álgebra de Funciones
A veces es necesario trabajar con funciones que resultan de operar,
por ejemplo:
f (x) =
x + 5
x2 − 1
g(x) =
√
x + 3 + (2x2 + 1)
h(x) =
√
x − 1 −
√
x + 1
Surgen las siguientes preguntas:
a) ¿Qué se ha hecho con las funciones elementales?
b) ¿Para qué valores de x estarán definidas?
2 / 43

3. Ası́ como existen operaciones entre los números reales como la
suma, resta, multiplicación y división. También existen operaciones
entre las funciones.
Operaciones con Funciones
Dada las funciones f y g, definimos las siguientes operaciones:
1) f = g si f (x) = g(x) y Dom(f ) = Dom(g).
2) (cf )(x) = cf (x), c ∈ R y Dom(cf ) = Dom(f )
3) (f + g)(x) = f (x) + g(x) y Dom(f + g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
4) (f − g)(x) = f (x) − g(x) y Dom(f − g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
5) (f .g)(x) = f (x).g(x) y Dom(f .g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
6)
f
g
(x) = f (x)
g(x) si g(x) 6= 0 y
Dom
f
g
= (Dom(f ) ∩ Dom(g)) − {x ∈ R/g(x) = 0}
Observación
Recordemos que una función está completamente definida cuando
se especifica su dominio y su regla de correspondencia.
3 / 43

4. Ejemplo
Analizar si las siguientes funciones f (x) =
√
x − 1
√
x − 1 y
g(x) = |x − 1| son iguales.
Solución: Debemos analizar el dominio de cada función.
El dominio de f es
(x − 1) ≥ 0 ∧ (x − 1) ≥ 0 ⇒ Dom(f ) = [1; +∞[
El dominio de g es Dom(g) = R.
Como los dominios son diferentes entonces las funciones f y g no
son iguales. Además f (x) = (
√
x − 1)2 = x − 1 6= |x − 1| = g(x).
Observación
Las funciones f y g son iguales si Dom(f ) = Dom(g) y
f (x) = g(x) para todo x ∈ Dom(f ).
4 / 43

5. Ejemplo
Dadas las funciones
f (x) = 3x + 5, x ∈] − 3; 4] y g(x) = 2x − 3, x ∈ ]3/2; +∞[
hallar la regla de correspondencia de f
g , indicando su dominio.
Solución:La regla de correspondencia es
f
g
(x) =
f (x)
g(x)
=
3x + 5
2x − 3
,
para que la función
f
g
esté bien definida, debemos hallar su
dominio Dom
f
g
= (Dom(f ) ∩ Dom(g)) − {x ∈ R/g(x) = 0},
donde (Dom(f ) ∩ Dom(g)) = ]3/2; 4], luego
Dom
f
g
= ]3/2; 4] − {x ∈ R/2x − 3 = 0} = ]3/2; 4] − {3/2}
ası́ Dom
f
g
= ]3/2; 4].
5 / 43

6. Ejemplo
Dadas las funciones
f (x) = |x − 3| + |x + 1| y g(x) =
2 + 4x − 2x2, x 1
2 − x, x ≥ 1
Halle la función h :] − 1; 3[→ R tal que h(x) = f (x) + g(x).
Grafique la función h e indique su rango.
Solución: Como f (x) = |x − 3| + |x + 1|, debemos de hallar su
regla de correspondencia, para ello trabajaremos por zonas
|x + 1| = −(x + 1) |x + 1| = x + 1 |x + 1| = x + 1
|x − 3| = −(x − 3) |x − 3| = −(x − 3) |x − 3| = x − 3
6 / 43

7. Luego f (x) =



−(x − 3) − (x + 1), x ≥ −1
−(x − 3) + (x + 1), −1 x 3
(x − 3) + (x + 1), x ≥ 3
, de donde
f (x) =



−2x + 2, x ≥ −1
4, −1 x 3
2x − 2, x ≥ 3
Consideremos
f (x) =



−2x + 2, x ≥ −1 · · · f1
4, −1 x 3 · · · f2
2x − 2, x ≥ 3 · · · f3
y
g(x) =
2 + 4x − 2x2, x 1 · · · g1
2 − x, x ≥ 1 · · · g2
7 / 43

8. Como Dom(h) =] − 1; 3[ trabajaremos sólo con f2, notemos que
h(x) =
f2 + g1, si Dom(f2) ∩ Dom(g1) 6= ∅
f2 + g2, si Dom(f2) ∩ Dom(g2) 6= ∅
donde
Dom(f2) ∩ Dom(g1) =] − 1; 1[
Dom(f2) ∩ Dom(g2) = [1; 3[
por tanto
h(x) =
6 + 4x − 2x2, −1 x 1
6 − x, 1 ≤ x 3
para graficar h1(x) = 6 + 4x − 2x2, debemos de completar
cuadrados de tal manera que podamos graficar la parábola
h1(x) = −2(x2
−2x)+6 = −2(x−1)2
+8 ⇒ h1(x) = −2(x−1)2
+8,
8 / 43

9. La gráfica de h(x) es
luego Ran(h) =]0; 8[.
9 / 43

10. Ejemplo
Dadas las funciones f y g definidas por
f (x) = x2
− 2x, 2 ≤ x 9 y g(x) =
|2 − x| , 1 ≤ x 7
√
3 − 2x , x 1/2
Halle el dominio y regla de correspondencia de la función f
g ,
además esboce su gráfica.
Solución: Consideremos
g(x) =



2 − x , 1 x 2 · · · g1
x − 2 , 2 ≤ x 7 · · · g2
√
3 − 2x , x 1/2 · · · g3
f
g
(x) =









f
g1
, si Dom
f
g1
6= ∅
f
g2
, si Dom
f
g2
6= ∅
f
g3
, si Dom
f
g3
6= ∅
10 / 43

11. Notemos que
Dom
f
g1
= (Dom(f ) ∩ Dom(g1)) − {g1(x) = 0} = ∅
Dom
f
g2
= (Dom(f ) ∩ Dom(g2)) − {g2(x) = 0}
= [2; 7[−{2} =]2; 7[.
Dom
f
g3
= (Dom(f ) ∩ Dom(g3)) − {g3(x) = 0} = ∅
Tenemos que
f
g
(x) =
x2 − 2x
x − 2
= x para x ∈]2; 7[. Su gráfica es
11 / 43

12. Ejemplo
Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmación:
Si f (x) = 2x − 1, x ∈ [−3; 5] y g(x) = x + 2, x ∈] − ∞; 3]
entonces el rango de la función f .g es [−25/8; 25].
Solución: Tenemos que
(f .g)(x) = (2x − 1)(x + 2) = 2x2
+ 3x − 2,
donde Dom (f .g) = (Dom(f ) ∩ Dom(g)) = [−3; 3]. Para hallar el
rango de la función cuadrática vamos a graficar. Completando
cuadrados, se obtiene (f .g)(x) = 2 x + 3
4
2
− 25
8 .
12 / 43

13. La gráfica es
De la gráfica se obtiene que Ran(f .g) = [−25/8; 25]. Por tanto, la
proposición es verdadera.
13 / 43

14. Ejemplo
Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmación:
Sean f : R → R y g : R → R dos funciones. Si (f .g)(x) = 0 para
todo x ∈ R, entonces f (x) = 0, g(x) = 0 para todo x ∈ R.
Solución: Definamos las funciones
f (x) =
−x si x 0
0 si x ≥ 0
y g(x) =
0 si x 0
−x si x ≥ 0
se cumple que (f .g)(x) = 0 para todo x ∈ R, pero f (x) y g(x)
ninguna de ellas es la función nula.
Observación: Hasta el momento hemos estudiado funciones como
f (x) = |x − 4|, g(x) =
√
2 − 5x, pero también podemos trabajar
con funciones de la forma h(x) = |x2 − 1| o k(x) =
√
1 − x2, entre
otras. A este tipo de funciones se les conoce como función
compuesta.
14 / 43

15. Composición de Funciones
A partir de las funciones elementales como lineal, polı́nomica, valor
absoluto y raı́z cuadrada, podemos elaborar otras funciones
haciendo uso de la composición de funciones.
Sean A, B y C ⊂ R, consideremos las funciones f : A → B y
g : B → C y el siguiente diagrama
Hemos asociado a un elemento x ∈ A un elemento z ∈ C por
medio de la ecuación z = g(f (x)).
15 / 43

16. A la expresión g(f (x)) se le llama composición de f por g, la que
se denota por g ◦ f y cuya regla de corresponde es
(g ◦ f )(x) = g(f (x)), ∀ x ∈ Dom(g ◦ f )
donde Dom(g ◦ f ) = {x/x ∈ Dom(f ) ∧ f (x) ∈ Dom(g)}.
Observación
Notemos que g ◦ f existe ⇔ Ran(f ) ∩ Dom(g) 6= ∅.
De manera similar definimos
(f ◦ g)(x) = f (g(x)), ∀ x ∈ Dom(f ◦ g)
donde Dom(f ◦ g) = {x/x ∈ Dom(g) ∧ g(x) ∈ Dom(f )}.
Observación
1 Notemos que f ◦ g existe ⇔ Ran(g) ∩ Dom(f ) 6= ∅.
2 g ◦ f 6= f ◦ g.
16 / 43

17. Ejemplo
Dadas las siguientes funciones compuestas
f (x) = |5 − x2|
g(x) = (|x| − 1)3
h(x) = |
√
x2 + 1 − 1|
indique qué funciones intervienen y en qué orden.
Solución: EJERCICIO.
Ejemplo
Dadas las funciones f (x) = x2 y g(x) =
√
x, halle f ◦ g y g ◦ f , e
indique si dichas funciones son iguales.
Solución: Notemos que Dom(f ) = R y Ran(f ) = [0; +∞[, además
Dom(g) = [0; +∞[ y Ran(g) = [0; +∞[.
17 / 43

18. Para que exista f ◦ g debemos verificar que Ran(g) ∩ Dom(f ) 6= ∅,
en este caso Ran(g) ∩ Dom(f ) = [0, +∞[, ası́ tenemos
f (g(x)) = f (
√
x) = (
√
x)2 = x, donde
Dom(f ◦ g) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g) ∧ g(x) ∈ Dom(f )}
= {x ∈ R : x ∈ [0; +∞[ ∧
√
x ∈ R}
= {x ∈ R : x ∈ [0; +∞[ ∧ x ∈ [0; +∞[}
= [0; +∞[,
ası́ f (g(x)) = x, x ≥ 0.
Para que exista g ◦ f debemos verificar que Ran(f ) ∩ Dom(g) 6= ∅,
en este caso Ran(f ) ∩ Dom(g) = [0; +∞[, ası́ tenemos
g(f (x)) = g(x2) =
√
x2 = |x| , donde
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom(f ) ∧ f (x) ∈ Dom(g)}
= {x ∈ R : x ∈ R ∧ x2 ∈ R}
= {x ∈ R : x ∈ R ∧ x ∈ R} = R,
ası́ g(f (x)) = |x|, x ∈ R. Por tanto, concluimos que las funciones
no son iguales.
18 / 43

19. Ejemplo
Dada las funciones
f (x) =
3x + 4, 0 ≤ x ≤ 2
−x + 1, 2 x ≤ 5
y g(x) =
x2, 0 ≤ x 3
4, 3 ≤ x ≤ 6
halle la función f ◦ g, esboce su gráfica e indique el rango de la
función.
Solución: Consideremos
f (x) =
3x + 4, 0 ≤ x ≤ 2 · · · f1
−x + 1, 2 x ≤ 5 · · · f2
y g(x) =
x2, 0 ≤ x 3 · · · g1
4, 3 ≤ x ≤ 6 · · · g2
ası́ tenemos
(f ◦ g)(x) =







f1 ◦ g1, si Dom(f1 ◦ g1) 6= ∅
f1 ◦ g2, si Dom(f1 ◦ g2) 6= ∅
f2 ◦ g1, si Dom(f2 ◦ g1) 6= ∅
f2 ◦ g2, si Dom(f2 ◦ g2) 6= ∅
19 / 43

20. Hallemos los dominios y reglas de correspondencias
Dom(f1 ◦ g1) = {x/x ∈ Dom(g1) ∧ g1(x) ∈ Dom(f1)}
= {x/x ∈ [0; 2] ∧ x2 ∈ [0; 2]}
= {x/0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ x2 ≤ 2}
= {x/0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ x ≤
√
2} = [0;
√
2]
ası́ (f1 ◦ g1)(x) = f1(g1(x)) = f1(x2) = 3x2 + 4.
Dom(f1 ◦ g2) = {x/x ∈ Dom(g2) ∧ g2(x) ∈ Dom(f1)}
= {x/x ∈ [3; 6] ∧ 4 ∈ [0; 2]} = ∅
Dom(f2 ◦ g1) = {x/x ∈ Dom(g1) ∧ g1(x) ∈ Dom(f2)}
= {x/x ∈ [0; 3[ ∧ x2 ∈]2; 5]}
= {x/0 ≤ x 3 ∧ 2 x2 ≤ 5}
= {x/0 ≤ x 3 ∧
√
2 x ≤
√
5} =]
√
2;
√
5]
ası́ (f2 ◦ g1)(x) = f2(g1(x)) = f2(x2) = −x2 + 1.
20 / 43

21. Dom(f2 ◦ g2) = {x/x ∈ Dom(g2) ∧ g2(x) ∈ Dom(f2)}
= {x/x ∈ [3; 6] ∧ 4 ∈]2; 5]} = [3; 6]
ası́ (f2 ◦ g2)(x) = f2(g2(x)) = f2(4) = −3. Por tanto
(f ◦ g)(x) =



3x2 + 4, x ∈ [0;
√
2]
−x2 + 1, x ∈]
√
2;
√
5]
−3, x ∈ [3; 6]
su gráfica es
y su rango es Rang(f ◦ g) =] − 4; −1[∪[4; 10]. 21 / 43

22. En el ejemplo anterior para hallar la función compuesta f ◦ g, se ha
trabajado a ciegas hallando las 4 combinaciones, pero podemos ser
más efectivos si analizamos qué sucede con Ran(g) ∩ Dom(f ) 6= ∅,
esto se debe hacer con cada rama de la función g y la función f .
Un gráfico de las funciones puede ayudar mucho en estos casos
22 / 43

23. Gráficas de funciones como parte de cónicas
Algunas funciones compuestas resultan de aplicar la función raı́z
cuadrada f (x) =
√
x a una expresión cuadrática. Cuando se
componen estas funciones, algunas funciones resultan difı́cil de
graficar, sin embargo algunas podrı́an ser parte de algunás cónicas
(semicirculos, elipses, hipérbolas y parábolas, que se vieron en el
curso de AMGA).
1) La circunferencia con centro C(0; 0) y radio r 0, tiene como
ecuación C : x2 + y2 = r2, y su gráfica no corresponde al de
una función. Sin embargo podemos considerar semicı́rculos los
cuales si corresponden a funciones.
23 / 43

24. 2) La elipse con centro C(0; 0), eje mayor a y eje menor b, tiene
como ecuación E : x2
a2 + y2
b2 = 1, su gráfica no corresponde al
de una función, sin embargo podemos considerar semi-elipses
los cuales si corresponden a funciones.
La misma idea funciona si en lugar de considerar el centro C(0; 0)
se considera el centro C(h; k).
24 / 43

25. 3) La hipérbola con centro C(0; 0), eje focal y, tiene como
ecuación H : x2
a2 − y2
b2 = 1.
Su gráfica no corresponde al de una función, sin embargo
podemos considerar parte de la hipérbola, cuya gráfica si serı́a
el de una función.
La misma idea funciona si en lugar de considerar el centro C(0; 0)
se considera el centro C(h; k).
25 / 43

26. Ejemplo
Dadas las funciones f (x) = 3
2
√
x, x 0 y g(x) = x2 − 4, x ∈ R.
Halle la función f ◦ g, esboce su gráfico e indique su rango.
Solución: Tenemos Dom(f ) =]0; +∞[ y Dom(g) = R, luego
Dom(f ◦ g) = {x/x ∈ Dom(g) ∧ g(x) ∈ Dom(f )}
= {x/x ∈ R ∧ x2 − 4 ∈]0; +∞[}
= {x/x ∈ R ∧ x2 − 4 0}
= {x/x ∈ R ∧ x ∈] − ∞; −2[∪]2; +∞[}
= ] − ∞; −2[∪]2; +∞[.
Además (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 4) = 3
2
√
x2 − 4, con
x ∈] − ∞; −2[∪]2; +∞[.
26 / 43

27. Al realizar la composición resulta f (g(x)) = 3
2
√
x2 − 4, al observar
la función no es fácil reconocer la gráfica, pero si hacemos
y =
3
2
p
x2 − 4 ⇒ y2
=
9
4
(x2
− 4) ⇒
x2
4
−
y2
9
= 1,
observamos que se trata de una parte de la hipérbola. La gráfica es
y su rango es Ran(f ◦ g) =]0; +∞[.
27 / 43

28. Observación
Un error comun al resolver el ejemplo anterior es hallar el dominio
a partir de la regla de correspondencia, es decir, a partir de
f (g(x)) = 3
2
√
x2 − 4 se tendrı́a x ∈] − ∞; −2] ∪ [2; +∞[, lo cual
es incorrecto en este caso. Se sugiere usar la definición del dominio
de la función compuesta para hallar el dominio.
Ejemplo
Dadas las funciones f (x) = 4 − x2
4 y g(x) = −
√
x. Halle la función
g ◦ f , esboce su gráfico e indique su rango.
Solución: Como no se indica el dominio en las funciones, se debe
considerar el dominio máximo, en decir Dom(f ) = R y
Dom(g) = [0; +∞[, luego
Dom(g ◦ f ) = {x/x ∈ Dom(f ) ∧ f (x) ∈ Dom(g)}
= {x/x ∈ R ∧ 4 − x2
4 ≥ 0}
= {x/x ∈ R ∧ x2 − 16 ≤ 0}
= {x/x ∈ R ∧ x ∈ [−4; 4]} = [−4; 4].
28 / 43

29. Además (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g
4 − x2
4
= −
q
4 − x2
4 , con
x ∈ [−4; 4]. Al realizar la composición resulta
g(f (x)) = −
q
4 − x2
4 , al observar la función no es fácil reconocer
la gráfica, pero si hacemos
y = −
r
4 −
x2
4
⇒ y2
= 4 −
x2
4
⇒
x2
16
+
y2
4
= 1,
observamos que se trata de una parte de la elipse. La gráfica es
y su rango es Ran(g ◦ f ) = [−2; 0].
29 / 43

30. Ejemplo
Sea t ∈ R una constante, considere las funciones
f (x) = tx − 1 y g(x) = x − t.
a) Halle todos los valores de t para los cuales se cumple que la
gráfica de la función f ◦ g contiene al punto (−4; 2).
b) Halle todos los valores de t para los cuales se cumple que el
rango de la función g ◦ f sea un conjunto unitario.
Solución:
a) Como Dom(f ) = R y Dom(g) = R se tiene que
Dom(f ◦ g) = R. La gráfica de f ◦ g contiene al punto (−4; 2)
si y solo si (f ◦ g)(−4) = 2, ası́
(f ◦g)(−4) = f (g(−4)) = f (−4−t) = t(−4−t)−1 = −t2
−4t−1.
Luego, debemos de hallar todos los valores t tales que
−t2
− 4t − 1 = 2 ⇒ t = −1 ∧ t = −3.
30 / 43

31. b) De manera análoga al caso anterior, como Dom(f ) = R y
Dom(g) = R se tiene que Dom(g ◦ f ) = R. Por otro lado, la
regla de correspondencia es
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(tx − 1) = tx − 1 − t.
Notamos que g ◦ f es una función lineal, ası́ Dom(g ◦ f ) = R.
Si t 6= 0, sabemos que su rango es R (pues la pendiente de la
recta es t 6= 0) y si t = 0, se tendrı́a la función constante −1,
es decir, su rango serı́a el conjunto unitario {−1}. Por lo
tanto, el único valor posible del parámetro es t = 0.
31 / 43

32. Ejemplo
Dadas las funciones f y g definidas por
f (x) = x2
− 2x, 2 ≤ x 9 y g(x) =
|2 − x| , 1 ≤ x 7
√
3 − 2x , x 1/2
Halle el dominio y regla de correspondencia de la función g ◦ f .
Solución: Consideremos
g(x) =



2 − x , 1 ≤ x 2
x − 2 , 2 ≤ x 7
√
3 − 2x , x 1/2
32 / 43

33. Hallando el dominio se obtiene
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom(f ) ∧ f (x) ∈ Dom(g)}
Dom(g ◦ f ) =
x ∈ R : x ∈ [2; 9[ ∧ x2
− 2x ∈
−∞;
1
2
∪ [1; 7[
Trabajaremos en el dominio por casos
Caso 1, tenemos
x ∈ [2; 9[ ∧ 1 ≤ x2
− 2x 7
⇒ x ∈ [2; 9[ ∧ 1 ≤ x2
− 2x ∧ x2
− 2x 7
⇒ x ∈ [2; 9[ ∧ 0 ≤ x2
− 2x − 1 ∧ x2
− 2x − 7 0
⇒ x ∈ [2; 9[ ∧ (x − 1 −
√
2)(x − 1 +
√
2) ≥ 0
∧ (x − 1 − 2
√
2)(x − 1 + 2
√
2) 0
⇒ x ∈ [2; 9[ ∧ x ∈]1 − 2
√
2; 1 −
√
2] ∧ x ∈ [1 +
√
2; 1 + 2
√
2[
⇒ x ∈ [1 +
√
2; 1 + 2
√
2[
luego (g ◦ f )(x) = g(x2
− 2x) = | − x2
+ 2x + 2|.
33 / 43

34. Caso 2, tenemos
x ∈ [2, 9[ ∧ x2 − 2x 1
2
⇒ x ∈ [2; 9[ ∧ 2x2 − 4x − 1 0
⇒ x ∈ [2; 9[ ∧ x − 1 −
√
6
2
!
x − 1 +
√
6
2
!
0
⇒ x ∈ [2; 9[ ∧ x ∈
#
1 −
√
6
2
; 1 +
√
6
2
⇒ x ∈
2; 1 +
√
6
2
luego (g ◦ f )(x) = g(x2 − 2x) =
√
−2x2 + 4x + 3. Por tanto
(g ◦ f )(x) =
√
−2x2 + 4x + 3 , 2 ≤ x 1 +
√
6/2
| − x2 + 2x + 2| , 1 +
√
2 x 1 + 2
√
2
34 / 43

35. Ejemplo
Sean 0 k 1 una constante, g(x) = 1 − x2, x ≥ 1 y
f (x) =
|x2 − 1| , −
√
2 x k
√
x , x ≥ k
Halle la función g ◦ f , esboce su gráfica e indique si existe máximo
o mı́nimo.
Solución: Consideremos
f (x) =
|x2 − 1| , −
√
2 x k · · · f1
√
x , x ≥ k · · · f2
ası́
Dom(g ◦ f1) = {x ∈ R : x ∈ Dom(f1) ∧ f1(x) ∈ Dom(g)}
= {x ∈ R : −
√
2 x k ∧ |x2 − 1| ≥ 1}
donde
|x2
−1| ≥ 1 ⇔ x2
−1 ≥ 1 ∨ x2
−1 ≤ −1 ⇔ (x ≤ −
√
2 ∧ x ≥
√
2)∨x = 0
35 / 43

36. Luego
Dom(g ◦ f1) =] −
√
2, k[∩(] − ∞, −
√
2] ∪ [
√
2, +∞[) ∪ {0} = {0}
y g(f1(x)) = g(|x2 − 1|) = 1 − (x2 − 1)2, de donde g(f1)(0) = 0.
De manera similar
Dom(g ◦ f2) = {x ∈ R : x ∈ Dom(f2) ∧ f2(x) ∈ Dom(g)}
= {x ∈ R : x ≥ k ∧
√
x ≥ 1}
= {x ∈ R : x ≥ k ∧ x ≥ 1} = [1; +∞[
además g(f2(x)) = 1 − (
√
x)2 = 1 − x. Por tanto
(g ◦ f )(x) =
0 , x = 0
1 − x , x ≥ 1
36 / 43

37. De la gráfica se observa que
el rango de la función es Ran(g(f )) =] − ∞; 0] y alcanza su
máximo en 0 cuando x = 0 o x = 1, no tiene mı́nimo.
37 / 43

38. Ejemplo
Dadas las funciones f (x) = |2x2 + 2x| y g(x) = | − 3x + 3|,
determine los valores de x tal que f (x) = g(x).
Solución: Para hallar los valores de x tal que f (x) = g(x), se debe
resolver |2x2 + 2x| = | − 3x + 3|. Lo cual es equivalente a
2x2 + 2x = −3x + 3 ∨ 2x2 + 2x = −(−3x + 3)
2x2 + 5x − 3 = 0 ∨ 2x2 − x + 3 = 0
(2x − 1)(x + 3) = 0 ∨ 2 x − 1
4
2
+ 23
8 = 0
(x = 1
2, x = −3) ∨ ∅
⇒ x ∈
1
2; −3 ∪ ∅ =
1
2; −3 . Luego C.S =
1
2; −3 .
Observación
Notemos que 2 x − 1
4
2
+ 23
8 0 para todo x ∈ R. Lo que implica
que no tiene raı́ces reales.
38 / 43

39. La gráfica es
podemos interpretarlo como las abscisas de los puntos de corte de
la intersección de las gráficas de las funciones f y g.
Ejemplo
Justifique la veracidad o falsedad de las siguiente proposición
|2x + 3 + x2| x2 es condición suficiente para x −1.
Solución: Usaremos la contrarrecı́proca. Es decir
Si x ≥ −1 entonces |2x + 3 + x2| ≥ x2.
39 / 43

40. En efecto, como x ≥ −1 entonces
2x + 3 ≥ 1 0 y 2x + 3 + x2
≥ x2
.
Como x2 + 2x + 3 0 concluimos que |2x + 3 + x2| ≥ x2. Por
tanto la proposición es verdadera.
Ejemplo
Resolver la inecuación |x2 − 9| ≥ 7 e interprete gráficamente el
resultado obtenido.
Solución: Por propiedad se tiene
|x2 − 9| ≥ 7 ⇔ (x2 − 9 ≥ 7 ∨ x2 − 9 ≤ −7)
⇒ x2 − 16 ≥ 0 ∨ x2 − 2 ≤ 0
⇒ (x − 4)(x + 4) ≥ 0 ∨ −
√
2 ≤ x ≤
√
2)
⇒ x ∈ (] − ∞; −4] ∪ [4; +∞[) ∨ x ∈ [−
√
2;
√
2]
⇒ x ∈] − ∞; −4] ∪ [4; +∞[∪[−
√
2;
√
2]
Por tanto C.S =] − ∞; −4] ∪ [−
√
2;
√
2] ∪ [4; +∞[.
40 / 43

41. Graficamente, podemos considerar f (x) = |x2 − 9| y g(x) = 7,
cuyas gráficas son
de donde se obtiene que x ∈] − ∞; −4] ∪ [−
√
2;
√
2] ∪ [4; +∞[.
41 / 43

42. Ejemplo
Resolver la inecuación |x2 − 3x − 6| ≤ |x + 6| para todo x ∈ R.
Solución: Por propiedad se tiene
|x2
− 3x − 6| ≤ |x + 6| ⇔ |x2
− 3x − 6|2
≤ |x + 6|2
lo cual es equivalente a
⇔ (x2 − 3x − 6 − (x + 6))(x2 − 3x − 6 + (x + 6)) ≤ 0
⇒ (x2 − 4x − 12)(x2 − 2x) ≤ 0
⇒ (x − 6)(x + 2)x(x − 2) ≤ 0
⇒ x ∈ [−2; 0] ∪ [2; 6]
Por tanto C.S = [−2; 0] ∪ [2; 6].
42 / 43

43. Ejercicios Propuestos
1) Considere las funciones f y g definidas por
f (x) = |x − 4| + |x + k2
|, −4 ≤ x k
g(x) =
1
4
x2
−
9
2
x +
61
4
, 9 x 14
donde k 1. Halle los valores de k para que la función g ◦ f
sea constante.
2) Resolver |x2 − x| + 2|x + 1| = 3 + x2, para todo x ∈ R.
3) Dadas las funciones f (x) = x − 1 y g(x) =
√
x2 − 4, hallar
los valores de x para los cuales f (x) g(x).
43 / 43